قواعد تاکتيک فنون حربيه معلم صنف دوم مکتب عسكريه [افغانيه؟] جنرال سید محمود خان [ILL] برای شاگردان مکتب عسكريه مطبعه مکتب فنون حربيه دارالسلطنه طبع گرديد ١٣٢٨ قوماندان مكتب فنون حربيه ومدير ومفتش عموم مكاتب عسکريه افغانستان : جنرال السيد محمود سامی پروگرام علم حساب برای شاکردان مكاتب عسکريه در مطبعه مكتب فنون حربيه با اراده سنيه طبع كرديد طبع اول کابل - دلو - ۱۲۹۸ پروگرام علم حساب قسم اول ( معلومات ابتدائیه ) سؤال ۱ - کمیت و یا مقدا چیست ؟ ۲ - کدام علوم از کمیت بحث میکنند ؟ ۳ - کمیات علوم ریاضیه ؛ چه شرط داشته باشند ؟ [ یعنی کمیاتیکه ممکن المساحه نباشند مانند جسارت و غیره معنویات آیا از جمله کمیات علوم ریاضیه شمرده میشوند ؟ ] . ٤ - کمیت چند نوع است ؟ کمیت عددیه و کمیت هندسیه چیست ؟ - علمیکه از کمیات عددیه و علمیکه از کمیات هندسیه بحث میکند چه نامیده میشود ؟ پس ؛ علوم ریاضیه اساساً یعنی نظر موضوع آنها چند قسم است ؟ ۲ ۷ - واحد چیست ؟ عدد چیست ؟ ج - : [ يك کمیت را از جنس خود بهمراه ديگر يك كميت معلومه ؛ که مقايسه کنيم يك نتيجه حاصل میشود آن نتیجه ( عدد ) ؛ و آن کمیت معلومه که بهمراه آن ؛ قیاس کردیم ( واحد قياسی ) ويا ( واحد ) نامیده میشود ! ] . ۸ - عدد مطلق يعنى عدد غير معين چیست ؟ [ عددیکه جنس و نوعش معلوم نباشد . مثلا : هشت ، پانزده ، بیست . . . و هكذا ] . ۹ - عدد معين چیست ؟ [ عد ديکه جنس و نوعش معلوم باشد . مثلا : سه آدم ، پنج سیر بادام . . . و هكذا ] . ۱۰ - كميت منفصله چیست ؟ [ كميتيكه واحد های آن جدا جدا باشد . مثلا : يك غند عسكر ، بیست و پنج خانه ، پانزده طياره ، بیست توپ . . . و هكذا ] . ۱۱ - كميت متصله چیست ؟ ۳ [ کمیتی که واحدهای آن بهم متصل باشد . یعنی واحد های آن ؛ ذهناً تصور میشود مثلا : يك سنگ ده سيره ، يك طوب قماش نود كزه ، راه هشتاد ميل ، . . . . و هكذا ] . ۱۲ - کمیات جبریه و کمیات عددیه چیست ؟ [ بهمراه مقدار هرگاه جهت نیز ملحوظ باشد يعنی جهت نیز بخیال آورده شود آن مقدار را ( كميت جبريه ) ؛ و هرگاه جهت ملحوظ نباشد (کمیت عددیه) مینامند ! یعنی كافه عدد هائیکه در علم حساب اند هر گاه به یكی از اشارتهای + و – مقید باشند ( كميت جبريه ) ناميده میشوند . مثلا : ۳ ؛ يك كميت عدديه است مگر + ۳ ؛ يك كميت جبريه است ونیز ۲ ، يك كميت عدديه است مگر – ۲ يك كميت جبريه است ! ] . ۱۳ - عدد تام و یا عدد صحیح چیست ؟ عددیست که پوره از واحدها مرکب باشد . مثلا : پنج روپیه ، هشت سیر ... وهكذا ] . ١٤ - کسر چیست ؟ ١٥ - عدد تام مع الكسر چیست ؟ ١٦ - موضوع علم حساب چیست وعلم حساب از چه بحث میکنند ؟ [ موضوع علم حساب : اعداد است . علم حساب ؛ فنیست از چنین قاعده ها باحث است : که بواسطه اعداد معلومه اعداد مجهوله را معلوم میکند ! ] . فصل اول اعداد تامه فصل اول ؛ دو بحث است : ۱ - تعداد وترقيم . ۲ - عملیات و قواعد حسابيه . ٥ مبحث اول تعداد و ترقیم سؤال ۱۷ — تعداد چیست ، ترقیم چیست ؟ ۱۸ — عدد ها چه کونه تشکیل می یابند ؟ ۱۹ — بقرار بیان فوق ؛ معلوم شد که عدد ها نا متناهی است یعنی حد و انتها ندارد . پس ؛ برای هر عدد اگر يك نام گذاشته شود نامها نیز نا متناهی میشوند . اینقدر نامها را در ذهن ؛ ضبط نمودن محال است . آیا اهل کمال بعوض همه نامهای نا متناهی ؛ چند نام اختراع نموده اصول تعداد را خیلی آسان ساخته اند ؟ ۲۰ — جمله چیست ؟ عددهائیکه از يك الی هزار اند چقد جمله تشکیل میدارند ؟ هر جمله چند مرتبه است ؟ مرتبۀ اولی را چه مینامند و چند احاد بسیطه دارد ؟ مرتبۀ دووم را چه مینامند و چند واحد عشرات دارد ؟ ٦ مرتبۀ سوم را چه مینامند و چند واحد مأت دارد ؟ ۲۱ - هر واحد هر مرتبه ؛ از هر واحد مرتبۀ مادونش ؛ چند دفعه کلان و از مرتبۀ مافوقش چند دفعه خرد است ؟ ۲۲ - جمله که از عدد يك الی هزار تشکیل یافته است یعنی جملۀ اول ؛ چه نام دارد ؟ دیگر جمله ها چه طور تشکیل میشود و نام آنها چیست ؟ ۲۳ - در خواندن جملۀ اول و دیگر جمله ها چه تفاوت هست ؟ [ ج - بدون نام جمله ؛ دیگر تفاوت ندارد . و نام جمله بعد از مرتبۀ احاد یاد میشود . مثلا : ] . ٢٤ - برای اینکه در خواندن اعداد ؛ غلط نکنید اول باول چه را باید تفریق کرده معلوم کنید و بعده از کدام طرف به خواندن ؛ شروع می کنید . و نام هر جمله را بعد ۷ از کدام مرتبه یاد میکنید ؟ [ یکچند مثال بیارید ! ] . سؤال ٢٥ - در اصول تعداد فوق ؛ چون ده را اساس گرفته اند لهذا اصول مذکور را چه مینامند ؟ واصول مذکور را کدام ملت قبول کرده رواج داده است ؟ [ ج - اصول مذکور را ( تعداد اعشاری ) مینامند . و بنابر فوائد کثیره اش امروزه روز در تمام دنیا رواج یافته است ! ] ٢٦ - در تعداد اعشاری آیا چرا ده را اساس یعنی استاد گرفته اند ؟ [ ج - انسانها عددها را حسب الطبیعه ؛ چون بواسطه انگشتهای خود می شمارند و مجموع انگشتها ده میباشد لهذا ده را اساس گرفته اند ! ] ۸ جدول يك چند جمله را بنویسد ! ۲۷ - آیا اصول تعداد اعشاری ؛ تنها برای اعداد تامه ؛ رواج است و یا برای کسورات نیز ؟ ترقیم ۲۸ - ترقیم چیست ؟ ۲۹ - در بحث تعداد ؛ بیان شده بود که عدد ها نامتنا هیست . پس ؛ هر عدد را ؛ بيك شکل مخصوص نشاندادن محال است . لهذا آیا اهل کمال ؛ چند شکل مقرر نموده اصول ترقیم را فوق العاده ؛ آسان ساختند ؟ ملت اسلامیه برای ده عدد مذکور ؛ کدام اشکال را و ملل اجنبیه ؛ کدام اشکال را قبول کرده اند ؟ ۳۰ - برای اینکه همه جمله ها را ترقیم کرده بتوانید یعنی نوشته بتوانید آیا اساس چیست ؟ ۹ یعنی آیا ترقیم چند جمله را که یاد بگیرید همه جمله ها را بآسانی نوشته کرده می توانید ؟ سؤال ۳۱ – بسیار جمله ها که باشد از کدام جمله و از کدام مرتبه به ترقیم ، شروع میشود ؟ آیا نام جمله نیز نوشته میشود ؟ [ ج – از جمله کلان و از مرتبۀ صد آن جمله ! ] ۳۲ – لزوم و اهمیت صفر چیست ؟ صفر هائیکه بچپ عدد نوشته میشود اهمیت دارد یعنی آیا قیمت عدد را بدل میکنند یا نه ؟ يك چند مثال بیا رید ! ۳۳ – برای اینکه در ترقیم ، غلط نکنید چه را باید همیشه فکر کیند ؟ [ ج – آیا صد های جمله ، عشرات جمله ، احاد جمله آمده یا نی . یعنی اگر آمده باشد می نویسم اگر نیامده باشد بجایش صفر ۱۰ مینمایم ! ] ٣٤ - هر عدد چند قیمت دارد ؟ [ ج - ۲ قیمت : قیمت مطلقه ، قیمت اضافیه ] بحث ثانی عملیات و قواعد حسابيه ٣٥ - عملیات حسابيه چیست ؟ [ ج - بواسطة قواعد مخصوصه ، اجرای عملیات نموده از اعداد معلومه ، نتيجة مطلوبه را کشیدن است ] . ٣٦ - عملیات حسابيه ، عبارت از چند عملیات است ؟ [ ج - عملیات حسابيه ، خیلی قاعده ها دارد . مگر ، آنها چون ۱۱ اساس همه قاعده هاست لهذا آنها را ( قواعد اربعه اصلیه ) و یا ( اعمال اربعه ) مینامند . اعمال اربعه اینهاست : جمع ، طرح ، ضرب ، تقسیم ] . سؤال ۳۷ - هریکی از قواعد و عملیات حسابیه آیا چیزی ماده ها دارد یا نه ؟ [ ج - بلی هریکی ؛ مواد ذیل را دارد : تعریف ، قاعده ، مثال ، میزان ] ۳۸ - تعریف چیست ، قاعده چیست ؟ [ ج - تعریف : - مرام و مقصد را موضحاً میدا نا ند . ۳۹ - مثال چیست ، میزان چیست ؟ [ مثال : -- عبارت از تطبیق قاعده است . میزان : - عملیاتیست که بواسطه آن ؛ سهو عملیات پیشتر را معلوم میکنیم . ] . ۱۲ ٤٠ - مسئله چیست ؟ [ ج - برای اینکه بواسطۀ اعداد معلومه ؛ يك و یا چند مجهول را استخراج کنیم هر سؤالیکه پرسیده شود ( مسئله ) نامیده میشود . ، عملیاتیکه برای استحصال مجهول ؛ اجرا یابد آن را ( اصول حل ) و یا ( طريق حل ) مینامند . ] . ٤١ - دعوی چیست ؟ [ ج - چنین حقیقت را گویند . که محتاج دلیل باشد . ] . متعارفه چیست ؟ [ ج - چنین حقیقت را گویند . که محتاج دلیل نباشد . آن را ( بدیهیات ) نیز مینامند ] . دلیل چیست ؟ [ ج - دعاوی معلومه و یا متعارفه هائیکه ۱۳ برای اثبات مدعا آورده شود ( دلیل ) نامیده میشود ] . - ( اشارات مستعمله در عملیات حسابیه ) - سوال ٤٢ - در عملیات حسابیه چند نوع اشارت مستعمل است ؟ [ ج - ۸ نوع اشارت مستعمل است : زائد ، ناقص ، ضرب ، تقسیم ، مساوی ، اشارت اعظمیت و اصغریت ، متعرضه ها ، اشارت جذر ] . اشارت زائد ( + ) هر وقتیکه مابین دو عدد باشد معلوم میشود که آن دو عدد ، جمع خواهد شد . اشارت ناقص ( - ) هر وقتیکه مابین دو عدد باشد معلوم میشود که عددیکه ١٤ بطرف چپ اشارت است از عدد دیگر که طرح خواهد شد . اشارت زائد و ناقص ؛ همیشه به عددیکه بطرف چپ آنهاست تعلق دارند . اشارت ضرب ( × ) هر وقتیکه مابین دو عدد باشد معلوم میشود که آن دو عدد بهم ضرب میشوند . اشارت تقسیم ( ÷ ) ویا اشارت نسبت ؛ هر وقتیکه ما بین دو عدد باشد معلوم میشود که عددیکه بطرف راست اشارت است بر عدد چپ ؛ تقسیم خواهد شد . اشارت مساوات (=) که همیشه مساوی خوانده میشود . هر وقتیکه مابین اعداد باشد معلوم میشود که طرفین بهم مساوی میباشد . اشارت اعظمیت ( > ) و اشارت اصغریت ( < ) هر وقتیکه یکی از اشارات ١٥ مذکور ما بین دو عدد باشد معلوم میشود که عددیکه در داخل اشارت است اعظم میباشد از عدد خارج . اشارت کره ( ) ، اشارت معترضه { } و اشارت کلان معترضه [ ] حدود ذو کثیرۀ که بداخل اشارات مذکورند حکم يك حد را دارند . یعنی عدد هائیکه بداخل معترضه های مذکور میباشند حکم يك عدد را دارند . ذو حدود کثيره : عدد هائیکه بواسطۀ اشارتهای زائد و ناقص ؛ تفریق شده باشند ( ذو حدود کثيره ) نامیده میشوند . عددیکه مابین دو اشارت باشد آن را ( حد ) میگویند . معترضه ها وکره هائیکه پهلو به پهلو بوده بواسطۀ اشارت زائد و ناقص ؛ تفریق نشده باشند بهم مضروب شمرده میشوند . علامت جذر ( ٧ــــ ) : عددهائیکه ١٦ زیر علامت مذکور اند معلوم میشود که جذر آنها گرفته خواهد شد . - جمع اعداد تامه - ٤٣ - جمع چیست ، حاصل جمع و یا مجموع چیست ؟ ٤٤ - اعداد مختلف الجنس را جمع نمودن یعنی عدد هائيكه ازيك جنس نباشند جمع نمودن چرا ممکن نیست ؟ [ یکچند مثال بیارید ] ٤٥ - در جمع ؛ قاعده چیست ؟ [ مثال آنی را به نظر غور ببینید : احاد عشرات مأت احاد الوف ٥ ٤ ٧ ٣ ٩ ٨ ٢ ٠ ٧ ٠ ٥ ١ ٢١ ١٢ ١٤ ٤ ١ ٤ ٥ ٥ ۱۷ سوال ٤٦ - آیا مراد و مقصد چیست که مرتبه ها را زیر به زیر می نویسند ؟ آیا چرا از طرف راست ؟ به جمع نمودن ؛ شروع میکنند ؟ اگر طرف چپ و یا از هر مرتبه که شروع شود چه میشود ؟ وممکن است یانه ؟ مسائل درباب جمع اعداد تامه حل نمودن ! طرح اعداد تامه ٤٧ - طرح را تعریف کنید . مطروح منه ، مطروح ، حاصل طرح و یا تفاضل و یا باقی چیست ؟ ٤٨ - اشارت طرح چیست و بکدام عدد ؟ عائد است ؟ قاعدهٔ عمومیهٔ طرح ؛ چه طور است ؟ ٤٩ - عملیات طرح آیا چرا از طرف راست ۱۸ میباشد ؟ آیا از طرف چپ نمی شود ؟ ۵۰ — بعض مرتبه های مطروح هر گاه از مرتبه های مطروح منه ؛ اعظم باشد یعنی هر گاه طرح آنها ممکن نبا شد چه باید کرد ؟ ۵۱ — اگر مطروح منه ؛ اعظم باشد حاصل طرح را چه گونه پیدا میکنید ؟ همین چهار مثال را طرح کنید : ۳۰۰۰۰۰ ۲۰۰۱۰۰ ۴۰۷۱۸ ۲۱۳۷۴ ۱۰۰۹۰۱ ۱۷۲۹۵۴ ۲۳۵۴۶ ۱۰۳۴۱ ۱۹۹۰۹۹ ۰۲۷۱۴۶ ۱۷۱۷۲ ۱۱۰۳۳ ۵۲ — متعارفه ۱ : — به مطروح و مطروح منه اگر يك عدد ضم کنیم یعنی علاوه کنیم و یا طرح کنیم حاصل طرح ؛ بدل ١٩ نمیشود مثلا : ٦ = ١٢ - ١٨ ویا ٥ / ٦ = ١٧ - ٢٣ ٥ / ٦ = ٧ - ١٣ سؤال ٥٣ - متعارفه ٢ : - هرگاه يك عدد را به حاصل طرح ؛ ضم نمودن لازم آيد عدد مذکور را یا به مطروح منه ؛ علاوه کردن و یا از مطروح ؛ طرح نمودن کفایت میکند . مثلا : ٧ = ٨ - ١٥ ویا ٣ / ١٠ = ٨ - ١٨ ٣ / ١٠ = ٥ - ١٥ و بالعکس هرگاه يك عدد را از حاصل طرح ؛ طرح نمودن لازم آید عدد مذکور را یا از مطروح منه ؛ طرح نمودن و یا به مطروح ؛ ضم نمودن کفایت میکند . مثلا : ۷ = ۸ - ۱۵ ۳ ۳ ٤ = ۸ - ۱۲ ویا ۷ = ۸ - ۱۵ ۳ ۳ ٤ = ۱۱ - ۱۵ ٥٤ - متعارفه ۳ : - هرگاه باقی را یعنی حاصل طرح را ازيك عدد ؛ طرح نمودن لازم آید میباید که عدد مذکور بهمراه مطروح جمع شود و از مجموع آنها مطروح منه طرح شود . مثلا : ۱۵ - ۸ = ۷ بالفرض ۷ را از ۱۹ طرح کنیم . برای طرح مذکور (۱۹ + ۸) - ۱۵ . نوشتن بس است . ۲۱ سوال زیرا : ۱۹ – ۷ = ۱۲ ∴ ۱۹ – (۱۵ – ۸) ∴ ۱۹ – ۱۵ = ٤ + ۸ ∴ ۱۹ – ۱۵ + ۸ = ۱۲ ∴ (۱۹ + ۸) – ۱۵ گردیده مطلوب ثابت میشود . در يك مثال هرگاه مطروح و مطروح منه تعدد کند یعنی بسیار باشد اولا مطروح منه ها را و مطروح ها را علیحده علیحده جمع کردن و بعده هر دو مجموع را از همدیگر طرح نمودن لازم است . اصول مذکور در حسابهای دفتر ؛ بسیار مستعمل است . مثلا : ۱۲ – ۷ = ۵ ۱۵ – ۱۲ = ۳ ۱٤ – ۵ = ۹ ٤۱ – ۲٤ = ۱۷ ۲۲ میزان طرح میزان طرح به ۲ عملیات میشود : ۱ - جمع ، ۲ - طرح . بواسطۀ جمع باید که مطروح منه حاصل شود . بواسطۀ طرح باید که مطروح پیدا شود . والا عملیات طرح ؛ غلط است . ٥٥ - هر عددیکه بطرف راستش اشارت ناقص نباشد اشارت آن ؛ زائد است ! مسائل در باب طرح اعداد تامه : حل نمودن . ضرب اعداد تامه ٥٦ - ضرب چیست ؟ مضروب ، مضروب فیه ، مضرو بین و حاصل ضرب کدام اند : ۲۳ سؤال و حاصل ضرب از جنس كدام مضروبين میباشد ؟ [ ج - يك عدد را بقدر واحد های ديگر عدد ، تكرار كردن ( ضرب ) ناميده ميشود ] . مثلا : ٥ × ٦ يعنی ٦ ٦ ٦ ٦ ٦ ٣٠ مثال ديگر : ٤ × ٢١٦ يعنی ٢١٦ ٢١٦ ٢١٦ ٢١٦ ٨٦٤ ٢٤ از دو مثال فوق ؛ چنین ظاهر شد که ضرب ؛ عبارت از عملیات جمع است . مگر عدد ها را زیر بزیر نوشته کرده جمع نمودن چون خیلی صبر و زمان میخواهد لهذا قاعدة ذیل که بسیار آسان است اختراع نموده نامش را ( ضرب ) گفته اند . ٥٧ - در نظریة ضرب یعنی در قاعدة ضرب ؛ ٤ حال تصور کرده میشود . حال اول : - مضروب و مضروب فیه ؛ اعداد طبیعیه باشند یعنی هر یکی از مضروب ها ؛ خرد تر از ١٠ باشند . در حال مذکور ؛ حاصل ضرب بواسطة عملیات جمع پیدا میشود . مگر برای اینکه آسان گردد میباید که حاصل ضرب همه اعداد طبیعیه یعنی حاصل ضرب عدد هائیکه يك رقم داشته باشند حفظ کرده شود . برای مدعای مذکور بقرار ٢٥ سؤال ذیل جدول كرات مستعمل است : - جدول كرات - | ٩ | ٨ | ٧ | ٦ | ٥ | ٤ | ٣ | ٢ | ١ | | ١٨ | ١٦ | ١٤ | ١٢ | ١٠ | ٨ | ٦ | ٤ | ٢ | | ٢٧ | ٢٤ | ٢١ | ١٨ | ١٥ | ١٢ | ٩ | ٦ | ٣ | | ٣٦ | ٣٢ | ٢٨ | ٢٤ | ٢٠ | ١٦ | ١٢ | ٨ | ٤ | | ٤٥ | ٤٠ | ٣٥ | ٣٠ | ٢٥ | ٢٠ | ١٥ | ١٠ | ٥ | | ٥٤ | ٤٨ | ٤٢ | ٣٦ | ٣٠ | ٢٤ | ١٨ | ١٢ | ٦ | | ٦٣ | ٥٦ | ٤٩ | ٤٢ | ٣٥ | ٢٨ | ٢١ | ١٤ | ٧ | | ٧٢ | ٦٤ | ٥٦ | ٤٨ | ٤٠ | ٣٢ | ٢٤ | ١٦ | ٨ | | ٨١ | ٧٢ | ٦٣ | ٥٤ | ٤٥ | ٣٦ | ٢٧ | ١٨ | ٩ | در سطر افقی نخستین جدول مذكور اعداد طبیعیه نوشته شده است . در سطر دوم ؛ دومثل اعداد طبیعیه مندرج است - ٢٦ در سطر سوم و متباقی سطرها هر عدد عبارت از مجموع عدد مافوقش و عدد سطر نخستین است . یعنی مثلا : ( ١٥ = ١٢ + ٣ ) و نیز ( ٣٥ = ٣٠ + ٥ ) ... وهكذا . از ترتیب مذکور ؛ معلوم میشود که تشکیل يك جدول كرات ؛ بسیار آسان است . رقمهای لك كه جدول را قطراً ٢ مثلث تقسیم نموده عبارت از مربعهای [ ١ ] اعداد طبیعیه است . رقمها ئيكه بداخل مثالهای مذکور است چون بهم مساوی میباشند ظاهر است که جدول کرات را بشكل يك مثلث نیز ؛ ترتیب و تشکیل نمودن ممکن است ! الحاصل جدول مذکور ؛ برای ضرب [١] مربع = هرگاه مضروبین بهم مساوی باشند حاصل ضرب را (مربع) مینامند . ۲۷ سوال نمودن اعداد طبيعيه بكار می آید . مگر بايد که از برکرده شود . والابرای هر ضرب دو عدد طبیعی ؛ به جدول مذكور مراجعت نمودن ؛ عملیات حسابيه را خیلی دشوار میسازد . ٥٨ — حال ثانى : — مضروب از ۱۰ کلان ، مضروب فيه از ۱۰ خرد باشد : مثلا : ٦ × ٤٣٨٧ فهمیده میشود که عدد ٤٣٨٧ را شش کره نوشته جمع کردن لازم است . یعنی : ٤٣٨٧ ٤٣٨٧ ٤٣٨٧ ٤٣٨٧ ٤٣٨٧ ٤٣٨٧ ۲۸ از شکل مذکور چنین مفهوم میشود که ۶ کره‌ هفت ، ۶ کره‌ هشت ، ۶ کره‌ سه و ۶ کره‌ چهار میباشد . پس ؛ عملیات مذکور به‌ حال اول ضرب یعنی به‌ ضرب مفردین ؛ رجوع کرد ! و لهذا ۴۳۸۷ ۶ ۲۶۳۲۲ میشود . ۵۹ ـــ حال ۳ : هرگاه مضروب فيه ؛ يك رقم صفردار باشد ؛ میباید که از صفرها صرف نظر نموده مضروب فیه به رقمهای مضروب ضرب کرده شود و پیشروی حاصل ضرب یعنی به‌ طرف راست حاصل ضرب ؛ صفرهای مذکور قطار کرده شود . مثلا : ۴۳۸۷ × ۶۰۰ اکنون از صفر ها که صرف نظر کنیم عملیات ضرب به‌ حال ثانی رجوع میکند . بقرار حال ثانی که ضرب کنیم حاصل ضرب : ۲۹ ٤٣٨٧ ٦ ٢٦٣٢٢ میشود . مگر چون از صفر ها صرف نظر کردیم گویا این حاصل ضرب از اصل حاصل ضرب ٤ صد گره خرد است . پس ٤ برای پیدا کردن حاصل ضرب حقیقی باید که عدد ٢٦٣٢٢ را صد کره کلان کنیم . حال آنکه در بحث تعداد و ترقیم خوانده بودیم که پیشروی يك عدد اكر يك صفر بمانیم قیمت عدد مذکور ده گره ؛ و اگر دو صفر بمانیم قیمت عدد ٤ صد گره و اگر سه صفر بمانیم قیمت عدد مذکور ٤ هزار کره کلان میشود : لهذا اگر پیشروی عدد ٢٦٣٢٢ دو صفر یعنی صفر های مضروب فیه را بمانیم قیمتش صد کره کلان کردیده حاصل ۳۰ ضرب اصلی پیدا میشود . ٦٠ - حال ٤ : - مضروب و مضروب فيه ؛ هر دو مرکب باشند یعنی هر دو ؛ بسیار رقم دار باشد . مثلا : ٦٤٩ X ٤٣٨٧ درین مثال ؛ مضروب فيه عبارت از مجموع : ٦٠٠ + ٤٠ + ٩ میباشد . پس ؛ حاصل ضرب مطلوب عبارت از ٦٠٠ کره ٤٣٨٧ و ٤٠ کره ٤٣٨٧ و ٩ کره ٤٣٨٧ میباشد . یعنی اگر اینها را ضرب کرده حاصل ضرب جزئی های شان را جمع کنیم حاصل ضرب کلی یعنی حاصل ضرب اصلی پیدا میشود . حال آنکه قاعدۀ ضرب نمودن ٦٠٠ و ٤٠ و ٩ بهمراه ٤٣٨٧ در ۳ حال سابق دیده شد . ۳۱ پس ؛ بواسطۀ ٤ حال گذشته ؛ حاصل ضرب هر نوع دو عدد را پیدا کرده میتوانیم مثال فوق را بقرار ذیل ؛ ترتیب نموده ضرب کنیم : ٤٣٨٧ X ٦٤٩ ٤٣٨٧ X ٩ ٣٩٤٨٣ ٤٣٨٧ X ٤٠ ١٧٥٤٨٠ ٤٣٨٧ X ٦٠٠ ٢٦٣٢٢٠٠ ٤٣٨٧ X ٦٤٩ ٢٨٤٧١٦٣ دیده میشود که صفرهای حاصل ضرب جزئی ها را نوشتن در عملیات ؛ اهمیت ندارد . چرا که صفر را بيك عدد علاوه نمودن ؛ عدد مذکور را تغییر نمی دهد . لهذا مرتبۀ احاد هر حاصل ضرب جزئی باید که يك خانه ؛ چپ تر از احاد حاصل ضرب ماقبل نوشته شود . ۳۲ یعنی مرتبۀ احاد مذکور را بزیر مرتبۀ مضروب فیه که احاد مذکور : حاصل آنست نوشته شود . مثال ۲ : ٥٧٣ ۲۰۰ ... ... ١١٤٦ ١١٤٦٠٠ ٥٧٣ ۲۰۰ ویا مختصراً ١١٤٦٠٠ مثال ٣ : ٥٧٣ ۱۰۰ ٥٧٣٠٠ ازین مثال چنین معلوم میشود که مضروب فيه هرگاه واحد صفردار باشد حاجت عملیات ضرب نمیبا شد . یعنی تنها ر صفرهای واحد را پیشروی مضروب ؛ قطار نموده حاصل ضرب پیدا میشود . و اگر مضروب ؛ صفردار باشد مضروب را ۳۳ سوال مضروب فيه و مضروب فيه را مضروب ساخته بقرار فوق ؛ ضرب کرده شود . و اگر مضروبین ؛ صفردار باشد از صفرها صرف نظر نموده تنها عددها را ضرب کردن و بعده صفرهای مضروبین را پیشروی حاصل ضرب ؛ نوشتن لازم است . و در باب اثبات آن باید که در بحث تعداد و ترقیم ؛ لزوم و اهمیت صفر پیش نظر آورده شود . مثلا : ٣٧٦٠٠٠ ٢٤٠٠ ١٥٠٤ ٧٥٢ ٩٠٢٤٠٠٠٠٠ ٣٤ قاعدهٔ عمومیهٔ ضرب ٦١ - قاعدهٔ عمومیهٔ ضرب چه طور است ؟ يك مثال بياريد ! هر گاه ما بين مرتبه های مضروب فيه صفر باشد چه طور میکنید ؟ مثال آتی را ضرب كنيد ! مضروب ٢٣٥ مضروف فيه ١٠٠١ حاصل ضرب جزئی ها ٢٣٥ « « « ٢٣٥ حاصل ضرب ٢٣٥٢٣٥ دعاوی در باب ضرب تعریف : - یکچند عددکه بهم مضروب ٣٥ باشند (مضروبات کثیره) نامیده میشوند . مثلا : ٩ × ١٢ × ٧ × ٥ × ٣ از مثال مذکور چنین معلوم میشود که اول ٣ به ٥ ضرب میشود و حاصل ضرب به ٧ و حاصل ضرب آنها به ١٢ و حاصل ضرب آنها به ٩ ضرب میشود . دعوی ١ : — هر گاه محل مضروبین ؛ تبدیل شود حاصل ضرب بدل نمیشود . مثلا : ٧ × ٣ تماماً به ٣ × ٧ مساوی میباشد . زیرا : | | | | | | | | | | | | | | ٧ دانه ٣ | | | | | | | ٣ دانه ٧ اگر عدد مضروبات از دو زیاده باشد هم حکم دعوی صحیح است . مثلا : ٣ × ٥ × ٧ = ٧ × ٥ × ٣ میباشد . دعوی ٢ : — هر گاه حاصل ضرب مضروبات کثیره را بيك عدد ضرب كردن ؛ لازم باشد ٣٦ عدد مذکور را به یکی از مضروبات مذکوره ؛ ضرب نمودن کفایت میکند . مثلا : ٣ × ٧ × ٨ = ١٦٨ همین حاصل ضرب را بالفرض به ٥ ضرب کنیم : ١٦٨ × ٥ اکنون بعوض ١٦٨ هرگاه مضروباتش را بمانیم : ١٦٨ × ٥ = ٧ × ٨ × ٥ میشود . عکس دعوی : — هرگاه یکی از مضروبات كثيره ؛ بيك عدد ضرب شود گویا حاصل ضرب مضروبات کثیره نیز بهمان عدد ؛ ضرب شده میباشد . دعوی ٣ : — عدد مرتبه های يك حاصل ضرب ؛ بقدر مرتبه های مضروب و مضروب فيه ويا يك مرتبه کمتر میباشد . مثلا : ٣٥١٧٨ × ٢٩٦ در حاصل ضرب مضروبین مذکور یا ٨ و یا ٧ مرتبه خواهد بود . ۳۷ زیرا : ، ۱۰۰ ۰۰۰ > ٣٥١٧٨ ۱۰۰۰ > ٢٩٦ میباشد . پس : ۱۰۰ ۰۰۰ ۰۰۰ > ٢٩٦ X ٣٥١٧٨ میشود. حال آنکه صد میلیون ؛ خردترین اعداد ۹ مرتبه‌دار است . وقتیکه حاصل ضرب فوق ؛ از صد میلیون یعنی از عدد خردترین هم ؛ خردتر است پس ؛ مرتبه‌های آن از ۹ کمتر خواهد بود لهذا حاصل ضرب مذکور احتمال دارد که ۸ مرتبه دار باشد . و اگر بقرار ذیل ملاحظه کنیم : ، ۱۰۰۰۰ < ٣٥١٧٨ ۱۰۰ < ٢٩٦ میباشد ، پس : ۱۰۰۰ ۰۰۰ < ٢٩٦ X ٣٥١٧٨ میشود . حال انكه يك مليون ؛ خرد ترین اعداد ۷ مرتبه دار است . چون حاصل ضرب ؛ از يك مليون ؛ اعظم است لهذا مرتبه های آن از ۷ کمتر نخواهد بود . ۳۸ پس ؛ حقیقته مرتبه های حاصل ضرب مذکور بقدر مرتبه های مضروبین آن و يا يك مرتبه كمتر ميباشد . دعوی ٤ : — هر گاه يك مجموع را بيك عدد ؛ ضرب كردن لازم باشد باید که هر یکی از اقسام مجموع مذكور به عدد مذكور ضرب نموده حاصل ضرب جزئی ها جمع کرده شود . مثلا : مجموع ( ٥ + ٤ + ٢ ) را به ۳ ضرب کنیم : ۳ ( ٥ + ٤ + ٢ ) اینهم = ۳ × ٥ + ۳ × ٤ + ۳ × ۲ میشود . زیراکه مراد از ۳ کره ( ٥ + ٤ + ٢ ) اینست : که عدد های داخل کره ۳ دفعه ؛ زیر به زیر نوشته شود وجمع شود . یعنی : ٥ + ٤ + ٢ ٥ + ٤ + ٢ ٥ + ٤ + ٢ این هم = ۳ × ٥ + ۳ × ٤ + ۳ × ۲ میباشد . ۳۹ [ اينك : عملیات ضرب : مبنی بر همین دعوی میباشد ]. دعوی ٥ : – هرگاه يك تفاضل را بيك عدد : ضرب کردن لازم باشد اولا مطروح و مطروح منه به عدد مذکور ضرب میشود . بعده حاصل ضرب ها از همدیگر طرح میشود . مثلا : ( ۹ - ٥ ) را به ۷ ضرب کنیم : ۷ X ( ۹ - ٥ ) = ۷ X ۹ - ۷ X ٥ میشود. زیرا : ۷ X ( ۹ - ٥ ) به این معنا میرود : ۹ – ٥ ۹ – ٥ ۹ – ٥ ۹ – ٥ ۹ – ٥ ۹ – ٥ ۹ – ٥ این هم = ۷ X ۹ - ۷ X ٥ میشود . ٤٠ نتیجه : - يك عددرا که به صفر ؛ ضرب کنیم حاصل ضرب ؛ صفر میشود . چرا که : صفر ؛ عبارت از حاصل طرح يك عدد از نفس خود میباشد . مثلا : ٥ × ٠ = ٠ میشود . زیرا : صفر = مثلا : ( ٣ – ٣ ) میباشد . این را که به پنج ضرب کنیم : ٥ (٣ – ٣) این هم : ٣ - ٣ ٣ - ٣ ٣ - ٣ ٣ - ٣ ٣ - ٣ ٠ = ١٥ – ١٥ = ٣ × ٥ – ٣ × ٥ میشود . ٤١ ضرب اشارات دعوی ٦ : - هرگاه دو عدد ؛ یکی زائد و یکی ناقص بوده ضرب شوند حاصل ضرب آنها ناقص میشود . مثلا : ٣ X - ٧ = - ٢١ میشود . زیرا : - ٧ - ٧ - ٧ _____ - ٢١ شده مطلوب حاصل میشود . و اگر هر دو مضروب ؛ زائد باشد حاصل ضرب آنها زائد میشود . مثلا : + ٣ X + ٥ = + ١٥ میشود . ٤٢ زیرا : ٣ × + ٥ یعنی : + ٥ + ٥ + ٥ ٣ × + ٥ = + ١٥ میشود . واگر هر دو مضروب ، ناقص باشد حاصل ضرب زائد میشود . مثلا : ( ٥ - ٥ ) معلوم دار است که صفر است . این را بالفرض به - ٣ ضرب کنیم : ٥ - ٥ - ٣ ناقص ٣ را به + ٥ که ضرب کنیم - ١٥ میشود . ناقص ٣ را به ناقص ٥ که ضرب کنیم یا + ١٥ و یا - ١٥ میشود . مگر هرگاه - ١٥ قبول کنیم . حاصل ضرب باید که - ٣٠ شود . حال آنکه حاصل ضرب يك عدد بهمراه صفر ٤٣ باید که صفر باشد . برای اینکه حاصل ضرب ؛ صفر شود البته یکی از ١٥ ها ناقص باشد . پانزده اول ؛ چون شك ندارد که – ١٥ میباشد . پانزده دوم كه شك داشت البته باید که + ١٥ باشد که حاصل ضرب ؛ صفر بماند . پس ؛ معلوم شد که حاصل ضرب ناقص ها زائد میباشد . دعوی ٧ : — هرگاه دو مجموع را بهم ضرب كردن لازم باشد اقسام یکی را بهمراه هر قسم دیگر ؛ علیحده علیحده ضرب نموده حاصل ضرب جزئی هارا جمع کردن کفایت میکند . مثلا : ( ٥ + ٣ ) ( ٦ + ٢ ) = ٥ × ٦ + ٥ × ٢ + ٣ × ٦ + ٣ × ٢ میشود . دعوی ٨ : — عدد هائیکه مابین ١٠ و ٢٠ اند برای اینکه حاصل ضرب آنها را ذهناً پیدا کنیم باید که احاد یکی را بردیگر عدد ؛ علاوه کرده پیشروی مجموع آنها يك صفر بمانیم . وبر عددیکه ٤٤ حاصل میشود حاصل ضرب احاد را افزود کنیم . مثلا : ١٦ X ١٨ = ٦ را بر ١٨ که علاوه کنیم ٢٤ میشود . پهلوی ٢٤ که يك صفر بمانیم ٢٤٠ میشود . و بر ٢٤٠ که ٤٨ علاوه کنیم ٢٨٨ میشود . زیرا : ١٦ X ١٨ = ( ١٠ + ٦ ) ( ١٠ + ٨ ) است .... والخ . تعریف : - هر گاه يك عدد به نفس خود : یکبار ضرب شود حاصل ضرب را ( مربع آن عدد ) و یا ( حاصل رفع آن عدد از دوم قوتش ) مینامند . مثلا : ٥ X ٥ = ٢٥ همین ٢٥ را ( مربع پنج ) و یا ( حاصل رفع پنج از دوم قوتش ) مینامند . و چنین نوشته میشود : ٥ = ٢٥ ٢ عدد ۲ که بالای پنج است مربع پنج و یا دوم قوت پنج را نشان میدهد . ٤٥ مساوات ٥ ^ ٢ = ٢٥ بقرار ذیل خوانده میشود : مربع پنج = ٢٥ ویا پنج اس ٢ = ٢٥ و اگر عدد پنج ؛ سه دفعه به نفس خود ضرب شود . مثلا : ٥ * ٥ * ٥ = ١٢٥ حاصل ضرب را یعنی عدد ١٢٥ را (مکعب پنج) ویا (حاصل رفع پنج از سوم قوتش) مینامند . و بدینگونه نوشته میشود : ٥ ^ ٣ = ١٢٥ این هم بقرار ذیل خوانده میشود : مکعب پنج = ١٢٥ ویا پنج اس ٣ = ١٢٥ . عدد ٢ و ٣ که در هر دو مثال ؛ بالای پنج مندرج است (قوت) ویا (اس) نامیده میشود . قوت ویا اس هرگاه ٢ باشد معلوم میشود هـ ٤٦ عدد پنج ؛ ۲ دفعه به نفس خود ضرب خواهد شد . و اگر ۳ باشد ۳ دفعه ؛ و اگر ٤ باشد ٤ دفعه به نفس خود ؛ ضرب میشود . و چهارم قوت ، پنجم قوت و . . . . هكذا ياد میشود . دعوی ۹ : -- حاصل ضرب قوای مختلفة يك عدد ؛ عبارت ازینست که : قوای مختلفه مذکور را جمع نموده برای عدد مذکور ؛ قوت بسازیم . ۱۲ ۷ ۳ ۲ مثلا : ٥ × ٥ × ٥ = ٥ میباشد . زیرا : مضروب اول ؛ ۲ پنج و مضروب دوم ؛ ۳ پنج و مضروب سوم ؛ ۷ پنج است . بعوض آنها اگر مساویهای شان را بنویسیم : ٥×٥ × ٥×٥×٥ × ٥×٥×٥×٥×٥ ٥×٥×٥ میشود . ٤٧ این هم ؛ عبارت از ۱۲ مضروب پنج یعنی : ۱۲ ۵ میباشد . دعوای مذکور درخصوص اختصار مضروبات ذیل خیلی مفید است : ٤ ۳ ۳ ۷ ۲ مثلا : (۳ × ۵ × ۹) ۱۲ × ۵ × ٤ ۲ = (۳ × ۹ ۳ ۵ ۱۱ ٦ ۳ × ۵ × ۹ × ۱۲ میشود . ٤٨ ٦٢ – میزان ضرب ، حل مسائل در باب ضرب . تقسیم اعداد تامه تعریف : - يك مقدار را به اقسام متساویه ؛ تفریق نمودن ( تقسیم ) نامیده میشود . مگر مقدار ها چون بواسطه عدد ها نشان داده میشوند لهذا تعریف فوق باید که بقرار ذیل گفته شود : يك عدد را بقدر واحد های دیگر عدد ؛ به اقسام متساویه ؛ تفریق نمودن ( تقسیم ) نامیده میشود . عدديكه به اقسام متساویه ؛ تفریق خواهد شد ( مقسوم ) ؛ و عدديكه عدد اقسام متساویه را نشان میدهد ( مقسوم علیه ) ؛ و یکی از اقسام متساویه ( خارج قسمت ) نامیده میشود . هر گاه مقدار یکی از اقسام متساويه يك شیء ٤٩ و نیز عدد اقسام متساویه آن معلوم باشد کل آن شی را معلوم کردن ؛ عبارت ازيك مسئله ضرب است . درینجا مقدار یکی از اقسام متساویه = عبارت از خارج قسمت است و عدد اقسام متساویه = عبارت از مقسوم علیه است . پس ؛ حاصل ضرب اینها باید که عبارت از مجموع اقسام متساویه یعنی عبارت از مقسوم باشد . مثلا : مقسوم ٢٤ ، مقسوم علیه ٦ باشد . عدد ٢٤ را که ٦ پارچۀ مساوی کنیم یکی از پارچه های مساوی یعنی خارج قسمت البته ٤ میباشد . همین ٤ را به عدد پارچه ها یعنی به ٦ که ضرب کنیم ٦ × ٤ = ٢٤ میشود . حاصل ضرب عبارت از مجموع اقسام متساویه یعنی عبارت از مقسوم میباشد . پس ؛ تعریف تقسیم بقرار ذیل خواهد بود : هرگاه حاصل ضرب و نیز یکی از مضروبین آن ؛ معلوم باشد مضروب دیگر را معلوم کردن (تقسیم) نامیده میشود . ٥٠ و یا يك عدد در دیگر عدد ، چند کره داخل است . عدد کره را معلوم كردن ( تقسيم ) نامیده میشود ! اکنون نظر به تعریف اخیر ؛ چنين ظاهر میشود که اگر مقسوم علیه را بقدر عدد خارج قسمت ؛ نوشته کرده جمع کنیم حاصل جمع ؛ عبارت از مقسوم خواهد بود . پس ؛ از همین مجموع یعنی از مقسوم هرگاه مقسوم علیه را متوالیاً طرح کنیم عدديكه تکرر طرح را نشان میدهد عبارت از خارج قسمت ؛ و حاصل طرحیکه از طرح آخرین پیدا میشود. ( باقی ) میباشد . مثلا : اگر مقسوم ٢٦ ؛ و مقسوم عليه ٦ باشد ٦٠ را متوالياً طرح کنیم : ٢٦ ٦ طرح اول ٢٠ ٥١ ۲۰ ٦ طرح دوم ١٤ ٦ طرح سوم ٠٨ ٦ طرح چهارم ٢ تفاضل آخرین یعنی حاصل طرح آخرین . اينك تفاضل آخرین که ۲ است (باقی) نامیده میشود . و عمل طرح ؛ چون ٤ دفعه تکرار شده است لہذا خارج قسمت باید که ٤ باشد . مگر بعوض اینکه ٦ را ٤ دفعه ؛ طرح کنیم ٤ كره ٦ که ٢٤ است اگر دريك دفعه ؛ طرح کنیم عین نتیجه حاصل میشود . لہذا : ٢٦ - ٤ × ٦ = ٢٦ - ٢٤ = ٢ میشود . باز ۲ باقی ماند . پس ؛ تعریف تقسیم بقرار ذیل نیز میباشد : ٥٢ چنين يك عدد تام اعظم پيدا كنيم كه وقتيكه بهمراه مقسوم عليه ضرب شود حاصل ضرب از مقسوم ؛ قابل طرح باشد . پيدا كردن عدد تام اعظم را ( تقسيم ) مینامند . نتيجه : — از تعريفات فوق ؛ چنین فهمیده میشود كه خارج قسمت را با مقسوم عليه ؛ ضرب كرده بهمراه باقی اگر جمع كنيم حاصل جمع به مقسوم بايد كه مساوی باشد . وباقی ؛ از مقسوم عليه دائما اصغر است ! متعارفه ۱ : — چون خارج قسمت ؛ عبارت از یکی از پارچه های مقسوم است لهذا از جنس مقسوم میباشد . باقی نیز از جنس مقسوم است . پس : مقسوم ؛ يك عدد معين ؛ و مقسوم عليه يك عدد مطلق است . متعارفۀ ٢ : — هرگاه يك عدد را بردیگر عدد ؛ تقسيم نمودن ممكن نباشد مقسوم را به جزو اصغر خود تحویل نمودن لازم است . ٥٣ درینصورت : مقسوم چون عدداً می افزاید تقسیمش ممکن میکردد . مگر خارج قسمت وباقی از جنس جزو اصغر میباشند . مثلا : اگر بخواهیم که ٢ عشرات را مساواتاً ٥ قسم کنیم . چون ٢ به پنج تقسیم نمیشود . ٢ عشرات را به جزو اصغرش که احاد بسیطه است تحویل کنیم چون هر عشرات ١٠ احاد بسیطه دارد لهذا ٢ عشرات ٢٠ احاد میشود . ٢٠ را که به پنج تقسیم کنیم خارج قسمت ٤ می آید . كذا مثلا : ٣ کجاوه پورتغال در هر کجاوه ١٠٠ دانه پورتغال باشد . این ٣ کجاوه را بالای ١٠ آدم تقسیم کنیم . چون عدد ٣ به عدد ١٠ تقسیم نمیشود . لهذا باید که ٣ را به جزو اصغرش تحویل کنیم . هر کجاوه ١٠٠ واحد دارد ٣ کجاوه ٣٠٠ واحد میشود . ٣٠٠ را که بالای ١٠ تقسیم کنیم فی نفر ٣٠ پورتغاله میرسد . ٥٤ تنبيه : — در مثال فوق ؛ چون مقسوم عليه ۱۰ آدم است يعنى عدد معين است . بخيال ؛ چنين ميرسد كه متعارفه اول ؛ مجروح شد . خير ؛ مجروح نشد . چرا كه مراد ؛ پورتقال را ۱۰ حصه كردن است . لهذا مقسوم عليه ؛ آدم نميباشد بلكه ۱۰ عدد مطلق ميباشد . لازمه : — عدد مرتبه هاى خارج قسمت را قبل از تقسيم ؛ دانستن موجب استفاده است . بقرار ذيل ؛ تعيين كرده ميشود : مثلا : ٣٧٨٩٦ ÷ ٢٤٣ خارج قسمت ؛ عبارت از چنين عدد است كه وقتيكه به مقسوم عليه ضرب شود حاصل ضرب ؛ مساوى باشد به مقسوم . درين مثال : مقسوم چون ٥ مرتبه است بايد مقسوم عليه به ۱۰۰ ضرب شود . اگر ضرب كنيم : ٢٤٣ × ١٠٠ = ٢٤٣٠٠ ميشود . مگر حاصل ضرب ؛ مساوى به مقسوم نشد يعنى : ٥٥ ٣٧٨٩٦ > ٢٤٣٠٠ آمد . پس معلوم شد که خارج قسمت از ١٠٠ اعظم است . اکنون مقسوم علیه را یعنی عدد ٢٤٣ را به ١٠٠٠ ضرب کنیم . حاصل ضرب ٢٤٣٠٠٠ میشود . مگر اینسفر از مقسوم ؛ زیاده تر شد یعنی : ٢٤٣٠٠٠ > ٣٧٨٩٦ آمد . پس معلوم شد که خارج قسمت از ١٠٠٠ اصغر است . از ٢ مناقشه فوق ؛ چنین ظاهر و ثابت شد که خارج قسمت مطلوب ؛ از ١٠٠ اعظم و از ١٠٠٠ اصغر است . حال آنکه عددیکه مابین ١٠٠ و ١٠٠٠ محصور باشد ٣ مرتبه داشته میباشد . پس ؛ برای تعیین عدد مراتب خارج قسمت میباید که پیشروی مقسوم علیه آنقدر صفر بمانیم که مرتبه های مقسوم علیه بقدر مرتبه های مقسوم گردد . درین اثنا هرگاه مقسوم علیه در مقسوم ؛ داخل باشد عدد مرتبه های خارج قسمت ؛ يك زیاده تر از صفر هائیکه مانده شد میباشد . و اگر [BLANK PAGE] [BLANK PAGE] [BLANK PAGE] [BLANK PAGE]