# Kitāb-i jabr va muqābalah ‏كتاب جبر و مقابله Silsilah-ʼi Mūʼallifāt-i Madrasah-i Mubārakah-i Ḥabībīyah-ʼi Dār al-Salṭanah-ʼi Kābul
# adl0258
# Kābul, Dār al-Salṭanah, 1332 [1914] ‏كابل :‏دار السلطنه،‏, . ‏١٣٣٢.‏
# Transcribed by gemini-3.1-pro-preview, 2026-08-09.
# Roughly two thirds of characters agree with a modern printed edition of the same text. Much of the disagreement is editorial, not misreading. Treat the transcription as a finding aid and read the page image before quoting.
# Text: CC0. Images: New York University Libraries, public domain.


--- page 1 ---

سلسله مؤلفات نصابی مکاتب ابتدائیه

کتاب حسانیه

مشتمل

بر بیان عقاید حقه واعمال سنیه
که بجهت متعلمین مکاتب ابتدائیه نگارش یافته

بمطبع
عنایت در دارالسلطنه کابل طبع گردید

--- page 2 ---

[BLANK PAGE]

--- page 3 ---

[BLANK PAGE]

--- page 4 ---

sha'bân 1332 /
juin 1914

--- page 5 ---

[BLANK PAGE]

--- page 6 ---

سلسله مؤلفات مدرسه مبارکه حبیبیه دارالسلطنه کابل

کتاب قرائت
حصهٔ اول

بامر و ارادهٔ سنیهٔ اعلیحضرت سراج المله والدین و نظارت جلیلهٔ حضرت معین السلطنهٔ حبا
افخم باجازهٔ انجمن معارف برای تعلیم درجه رشدیه مدرسه حبیبیه و باقی مدارس دولت
مقرر شده است

در مطبع دارالسلطنه کابل سنه ۱۳۳۲ با ر اول طبع گشته

--- page 7 ---

۲
بسم الله الرحمن الرحیم
چون از میامن وجود مسعود اعلیحضرت شهریار منر پرور هدایت ائین
سراج الملة والدین امیر حبیب الله خان پادشاه خود مختار دو لت
علیه مستقله افغانستان اجرای مکاتب عدیده و نشر معارف یوما فیوما
در ترقی و امر تعلیم و تربیت عمومی در تعالیست از انرو امر تالیف
و ترجمه کتب فنیه که اساس اذاعت علوم و بنیاد شیوع معارف میباشد
نیز لازم بوده اینست که از علم جبرو مقابله که رکن اکمل و فرد افضل
حکمت ریاضی میباشد و تکمیل علوم حسابیه و اخذ فوائد کلیه بدون
تحصیل و تکمیل آن متصور نیست مسائل ضروریه از کتابهای
متفرقه جدیده ترجمه و انتخاب و باتفاق اعضای هیئت تالیفیه

ابتر

--- page 8 ---

۳
ترتیب یافته برای تعلیم اولاد وطن مقدس بزبان فارسی ساده تحریر گشت و بحمایت حضرت شاهزاده کامگار بلند اقبال جناب سردار عنایت الله خان معین السلطنه صاحب افخم که نظارت معارف عمومیه دولت علیه افغانیه یکی از وظائف مهمه ذات عالی شانست بچاپ رسیده باجازه انجمن معارف برای تعلیم درجه رشدیه مدرسه حبیبیه و باقی مکاتب دولت مقرر شده است
مقدمه
١- طریق مقایسه اشیا و اظهار آن بواسطه اعداد تشریح این امر در چند امثله عامه فهم کرده خواهد شد-
ا اگر بخواهیم که طول یک پارچه کالا را معلوم کنیم مدعاء ما بشرطی حاصل میشود که دریافته بتوانیم که در طول این کالا یک طول خوردتر مثلا یک گز چند مرتبه شمولیت دارد-
ب اگر بخواهیم که دوری کابل و غزنین را معلوم کنیم مدعاء ما باین شرط حاصل میشود که دریافته بتوانیم که درین مسافت یک مسافت خوردتر مثلا یک میل چند مرتبه شمولیت دارد-

--- page 9 ---

۴
ج اگر بخواهیم که مقدار یک رقم روپیه را معلوم کنیم مدعاء ما باین شرط حاصل
میشود که دریافته بتوانیم که درین مقدار روپیه یک مقدار خوردتر مثلاً یکروپیه
چند مرتبه شمولیت دارد
د اگر بخواهیم که وزن یک مقدار برنج را معلوم کنیم مدعاء ما باین شرط حاصل
میشود که دریافته بتوانیم که درین وزن برنج یک وزن خورد تر مثلاً یکچهار یک
چند مرتبه شمولیت دارد
از امثله فوق ظاهر است که هرگاه بخواهیم که مقیاس چیزیرا معلوم کنیم مدعا
باین شرط حاصل میشود که ما این امر را در یافته بتوانیم که شیٔ مذکور چند
مرتبه بیک شیٔ خوردتر (که همجنس خود آنست) شامل میباشد این
شیٔ خوردتر مذکور را واحد قیاسی میگویند و آن عدد را که تعداد مراتب
شمولیت این واحد قیاسی را در همان شیٔ ظاهر میکند اندازه عددی
آن شیٔ میگویند- مثلاً در مثال اول واحد قیاسی طول یک گز است
و در مثال دوم واحد قیاسی مسافت یک میل است ـ و در مثال
سوم واحد قیاسی نقد یک روپیه است ـ و در مثال چهارم واحد قیاسی
وزن یک چهاریک است ـ پس اگر برای ما معلوم باشد که طول آن

--- page 10 ---

پاره کالا ۱۰گز است - یا دوری کابل و غزنین ۷۶ میل است - یاآن
مبلغ ۵۰۰ روپیه است - یا وزن برنج ۲۵سیر است - درینصورت
عدد ۱۰ اندازه عددی طول آن کالا میباشد و ۷۶ اندازه عددی دوری
کابل و غزنین و ۵۰۰ اندازه عددی مبلغ مذکور و ۲۵ اندازه عددی
وزن برنج
تنبیه - وقتیکه اندازه عددی شئے مخصوصی بواسطه اعداد
مختلفه دریافت نموده میشود از اصل شئے مذکور نیز بواسطه اعداد مختلفه
تعبیر میشود - مثلا اگر واحد قیاسی طول یک فت باشد از طول حچیکر که
۱۰فت باشد بعدد ۱۰ تعبیر خواهد شد - لیکن اگر واحد قیاسی طول بقدر ۲
باشد از همان طول ۱۰ فت بعدد ۵ تعبیر خواهد شد
مثال ۱ اگر واحد قیاسی طول یک فت باشد معلوم کنید که
اندازه عددی ۵ گز و ۲ فت چقدر خواهد بود
۵ گز و ۲ فت مساوی ۱۷ فت میباشد و چون این ۵ گز و ۲ فت بر واحد
قیاسی طول (یعنی یک فت) ۱۷مرتبه شمولیت دارد - بنابرین اندازه
عددی مطلوب آن ۱۷ میباشد -

--- page 11 ---

۶
مثال ـ ۲ اگر از یک و نیم دقیقه بعدد ۳۰ تعبیر شود معلوم کنید که
واحد قیاسی وقت چقدر میباشد
یک و نیم دقیقه مساوی ۹۰ ثانیه میباشد
چون ۳۰ اندازه عددی ۹۰ ثانیه میباشد لہذا واضح است که واحد
قیاسی وقت در ۹۰ ثانیه ۳۰ مرتبه شمولیت داردـ
بنابرین واحد قیاسی وقت یکم حصه ۹۰ ثانیه یعنی ۳ ثانیه است
امثله (۱)
(۱) اگر واحد قیاسی وزن یک سیر باشد اندازه عددی خروار ویمن و
۴ سیر چقدر خواهد بود
(۲) اگر واحد قیاسی وزن ۵ سیر باشد اندازه عددی همان وزن چقدر
خواهد بود
(۳) اگر از مسافت ۴۰۰ میل بعدد ۲۰ تعبیر شود پس معلوم کنید که واحد قیاسی
مسافت چقدر خواهد بود
(۴) اگر از همین مسافت بعدد ۴ تعبیر شود معلوم کنید که واحد قیاسی
چقدر خواهد بود

--- page 12 ---

۷

(۵) اگر از مبلغ ۲۰۰ روپیه بعدد ۱۶ تعبیر شود معلوم کنید که از مبلغ ۲۲۵ روپیه
بکدام عدد تعبیر خواهد شد؟

(۶) اگر از یک طول ۸ فت و ۴ اینچ بعدد ۲۵ تعبیر شود معلوم کنید که از فت
بکدام عدد تعبیر خواهد شد؟

(۷) معلوم کنید که واحد قیاسی وقت چقدر باشد که عدد ۳ از دو ساعت و
۱۵ دقیقه تعبیر کند؟

(۸) اگر واحد قیاسی وقت ۱۵ ثانیه باشد معلوم کنید که از کدام وقت بعدد
۶۰ تعبیر خواهد شد؟

(۹) اگر واحد قیاسی وزن ۷ ۱/۴ پوند باشد معلوم کنید که کدام عدد از ۵ ۱/۲ پوند
تعبیر خواهد کرد؟

(۱۰) اگر ۴ مربع فت واحد قیاسی مساحت باشد معلوم کنید که کدام عدد
از مساحت ۹ مربع اینچ و کدام عدد از مساحت ۹ مربع گز تعبیر خواهد کرد

(۱۱) اگر از یک مساحت ۱۲۵ مربع فت بعدد ۸ ۱/۳ تعبیر شود معلوم کنید
که در سه چند واحد قیاسی مساحت چند مربع گز شمولیت دارد

۱۲ اگر از ۵ روپیه و ۱۰ شاهی و ۲ پیسه بعدد ۴۲ تعبیر شود معلوم کنید که از

--- page 13 ---

واحد قیاسی نقد چقدر است؟
(١٣) اگر ٧ روپیه و ٨ شاهی واحد قیاسی نقد باشد معلوم کنید که اندازهٔ
عددی ١٥٣ روپیه و ۴ شاهی چقدر خواهد بود؟
(۱۴) اگر ٢ روپیه و ٣ آنه و ٧ پائی واحد قیاسی نقد باشد معلوم کنید که
اندازهٔ عددی ۲۵ روپیه و ۱۰ آنه و ٣ پائی چقدر خواهد بود؟
(١٥) از ٢٠ روپیه ١٠ آنه بعدد ۵ ۱/۴ تعبیر شده است پس معلوم کنید که اگر واحد
قیاسی سه چند باشد اندازه عددی ۴۵ روپیه چقدر خواهد بود؟
(١٦) عدد ۸ ٢/٥ اندازه عددی ٣٩ گز و ۲ فٹ میباشد پس معلوم کنید که اگر
واحد قیاسی طول ۳ ۱/۴ این واحد قیاسی باشد کدام عدد از ۵ گز
تعبیر خواهد کرد؟
(۱۷) از ۲۶ روز و ۱۰ ساعت و ٢۶ دقیقه بعدد ۱۳۰ تعبیر شده است پس معلوم
کنید که اگر واحد قیاسی وقت ۴/۵ دقیقه و ۱۳ ثانیه نسبت باین واحد
قیاسی کمتر باشد کدام عدد از ۳۶۶ تعبیر خواهد کرد؟
(١٨) اگر در سوال هفدهم واحد قیاسی دوم نسبت به واحد قیاسی اول
۶ ساعت و ۴۵ دقیقه و ۴٧ ثانیه زیاده تر باشد جواب چقدر خواهد بود

--- page 14 ---

۹
۲ معانی مختلفه لفظ مقدار
(۱) هر شی که بواسطه اعداد ازان تعبیر شده بتواند مقدار است مثلا و
یا وزن یا روپیه یا مسافت و غیره از هر یک از انها به اعداد
تعبیر شده میتواند (چنانکه در قاعده ۱ مذکور گشت) هر یک مقدار میباشد.
(ب) لفظ مقدار در عدد صحیح و کسر یکسان استعمال مییابد.
(ج) از یک جمله جبریه نیز بعض اوقات بلفظ مقدار تعبیر میشود (مگر درین
کتاب محض جمله جبریه را استعمال خواهیم نمود)
(این مطلب در موضع مناسب بتفصیل مذکور خواهد شد)
۳ جبر و مقابله
علم جبر و مقابله هم مانند علم حساب علم اعداد است ـ فرق محض انقدر است
که در جبر و مقابله بالعموم بواسطه حروف و علامات معینه از اعداد
بحث میشود. بنابرین هرگاه مقادیر در علم جبر و مقابله مذکور گردد
مقصود از انها محض قیمت عددی آن مقادیر میباشد.
۴ - اشارات جبریه
حروفیکه برای تعبیر اعداد و نیز علاماتیکه برای اظهار عمل جمع و تفریق و ضرب

--- page 15 ---

۱۰
وتقسیم وغیره استعمال میشوند ازهمگی بنام اشارات جبر تعبیر میکنند
فرق محض اینقدر است که حروف اشارات مقادیر میباشند
باب اول
تشریح اشارت
ه - اشارہ جمع
این علامت + را اشارت جمع میگویند وتلفظ آن بلفظ جمع یا زائد میباشد
و هر گاه این علامت جمع مابین چند عدد نوشته شود مفهوم آن این میباشد
که عددیکه ماقبل آن این علامت نوشته شده است بآن مقدار که
پیش از علامت مذکور است جمع شود - مثلا ا + ب که تلفظ آن ا
جمع ب میباشد) این را ظاهر میکند که از عدد یکه بحرف ب تعبیر شده است
باعددیکه ازان بحرف ا تعبیر گشته جمع گردد - بنابرین اگاه راوب
۳ را ظاهر کند ا + ب از ۸ تعبیر خواهد کرد و باز ا + ب + ج ظاهر میکند
که از عددیکه بحرف ب تعبیر شده است با آن عددیکه بحرف ا ازان
تعبیر شده است جمع شود و باز با این مجموع آن عددیکه بحرف ج ازان
تعبیر شده است جمع شود مثلا اگر ار شارات ا و ب و ج علی الترتیب

--- page 16 ---

۱۱

۵ و ۳ و ۲ را ظاهر کنند ا + ب + ج مجموع آنها را یعنی ۱۰ را ظاهر خواهد کرد
۶ - اشارت تفریق
تلفظ این علامت - بلفظ تفریق یا ناقص میباشد و هرگاه مابین
دو عدد این علامت نوشته شود مفهوم اینست که آن عدد را که پیش ازان این
علامت نوشته شده است ازان مقداریکه ماقبل علامت مذکور باشد
تفریق کرده شود - مثلا ا - ب که تلفظ آن ا تفریق ب است بظاهر
میکند که آن عدد را که تعبیر ازان بحرف ب شده است ازان عددیکه
تعبیر ازان بحرف ا شده تفریق شود - بنابرین اگر ا را به ۵ تعبیر کنند وبرا
از ۳ پس ا - ب از ۵ تعبیر خواهد کرد - باز ا - ب - ج ظاهر میکند که
عددیکه تعبیر ازان بحرف ب شده است از عددیکه بحرف ا ازان تعبیر
شده است تفریق شود بعد ازان از حاصل تفریق مذکور آن عدد را
که تعبیر ازان بحرف ج شده است تفریق شود - مثلا اگر ا و ب و ج
علی الترتیب ۸ و ۳ و ۱ را ظاهر کنند ا - ب - ج از ۴ تعبیر خواهد کرد؟
تنبیه - هرگاه چند مقادیر باشارات زائد و ناقص ربط داده شوند
ابتدای عمل از طرف دست راست میشود -

--- page 17 ---

۱۲
۷ - اشارت زائد ناقص یا جمع تفریق
هرگاه این علامت ذیل ± (که تلفظ آن زائد ناقص میباشد) قبل از
عددی نوشته شود مفهوم آن اینست که آن عدد را که بعد ازین علامت
نوشته شده است با هر چیزی که قبل ازانست جمع شود یا ازان تفریق
شود مثلاً اگر ۷ از ۷ و ب از ۲ تعبیر کند ۷ ± ب از ۹ یا ۵ تعبیر خواهد کرد
۸ - اشارت تفاوت
هرگاه این علامت ذیل ~ مابین دو عدد نوشته شود مفهوم ان اینست
که عدد خرد از کلان تفریق شود - مثلاً اگر ۷ از ۵ و ب از ۳ تعبیر کند
۷ ~ ب از ۳ تعبیر خواهد کرد -
۹ - اشارت ضرب
هرگاه این علامت ذیل × (که تلفظ آن بلفظ ضرب میباشد) مابین
دو عدد نوشته شود مفهوم این میباشد که آن هر دو یک با دیگر ضرب
شود - مثلاً ۷ × ب (که تلفظ آن ۷ ضرب ب باشد) ظاهر میکند که
آن عدد را که بحرف ب ازان تعبیر شده است در ان عددیکه تعبیر ازان
به ۷ شده است ضربه شود - بنابرین اگر ۷ ھ را و ب ۳ را ظاهر کند

--- page 18 ---

۱۳
پس مفهوم ا × ب اینست که عدد س پنج مرتبه گرفته شده است یعنی مراد
از ا ب ه ا میباشد
اشارت ضرب ما بین آن دو عدد که تعبیر ازانها بد و حرف شده باشد
اکثریه محذوف میباشد - و نیز مابین آن عدد که انرا ول بواسطه رقم وان
دوم بواسطه حرف تعبیر شود محذوف میباشد - مثلا ا ب برجای
ا × ب و ۴ ا برجای ۴ × ا نوشته میشود
تنبیه دلیل این امر که ۸۳ برجای ۳ × ۸ استعمال نمیشود
این است که پیش ازین در حساب ۸۳ مساوی ۸۰ + ۳ قرار داده شده است
بعض اوقات برجای اشارت ضرب محض یک نقطه نوشته میشود
مثلا ا . ب ا × ب را ظاهر میکند لیکن استعمال نقطه درین ارقام نمی شود
۱۰- اشارت تقسیم
هرگاه این علامت ذیل : ( که تلفظ آن بلفظ تقسیم میباشد ) مابین دو عدد
نوشته شود مفهوم آن اینست که عدد یکه بطرف راست این علامت است
بر عدد طرف چپ تقسیم شود - مثلا ا : ب ( که تلفظ آن ا تقسیم ب
میباشد ) ظاهر میکند که آن عدد را که بحرف از ان تعبیر شده است

--- page 19 ---

بران عددیکه بحرف ب ازان تعبیر شده است تقسیم شود - بنابرین اگرا
از ۶ تعبیر کند و ب از ۳ پس مفهوم ا ÷ ب ۲ میباشد و همچنین ا
÷ ب ÷ ج ظاهر میکند که عددیکه بحرف ا ازان تعبیر شده است بر عددیکه
ب ب تعبیر شده است تقسیم شود و این خارج قسمت باز بران عددیکه
بحرف ج ازان تعبیر شده است تقسیم شود
تنبیه هرگاه در چند مقادر بواسطه اشارت ضرب و تقسیم مربوط
گردند ابتدای عمل از طرف راست میشود
۱۱-جمله جبریه وحد
چند اشارات وارقام و حروف که یکجا با هم مربوط گردند بنام جمله جبریه
مسمی میشوند
(اشارات طرز عمل را ظاهر میکنند)
آن حصص یک جمله جبریه را که بواسطه اشارت + یا - مربوط گردند
حدود آن جمله میگویند- مثلاً ه ا + و ب ÷ ج × د - ه ج × ف
÷ ک یک جمله جبریه است و حدود آن ه ا و ا ب ÷ ج × د و ه ج
× ف ÷ ک میباشند

--- page 20 ---

۱۵
جملهای جبریه دو قسم دارند بسیط و مرکب
هر گاه حصص یک جمله جبریه بواسطه اشارات + یا - ربط نیابند آنرا
جمله بسیط میگویند مثلا ۳ ا ب جمله بسیط است و این را ذو حد واحد
نیز میگویند جمله مرکب آنست که دارای ده حد و دو داشته باشد و نیز اگر
دو حد مانند ۲ ا + ۵ ب ج د داشته باشد آنرا ذو حدین میگویند و اگر
۳ حد داشته باشد مانند ا + س ج + ع ف ک آنرا ذو حدود ثلاثه میگویند
و اگر زیاده از ۳ حد داشته باشد آنرا ذو حدود کثیره میگویند
۱۲ - اشارت مساوات
هر گاه این علامت ذیل = که تلفظ آن بلفظ مساوی میباشد)
ما بین دو جمله نوشته شود مفهوم آن اینست که هر دو متساوی میباشند
مثلا ب ج = ا که تلفظ آن بالفاظ ب زائد ج مساوی ۱ میباشد
ظاهر میکند که عددیکه بحرف ب + ج از ان تعبیر شده است مساویست
با عدد ۱
امثله
تنبیه (۱) ما بین ا : ب ب ج و ا : ب ج تمیز بکنید

--- page 21 ---

مفهوم مثال اول اینست که ا بر ب تقسیم شده و خارج قسمت درج ضرب
شده است. و مفهوم مثال دوم اینست که ا بر جـ ن تقسیم شده است
یعنے هرگاه علامت ضرب در بین مقادیری محذوف شود
آن مقادیر حکم مقدار واحد دارند-
(۲) هرگاه معلوم کردن قیمت عددی یک جمله جبریه مطلوب باشد اولا عمل
ضرب و تقسیم را بواسطه قواعد قاعده ۱۰ بکنید - و بعد از ان عمل جمع و تفریق
بواسطه قاعده ۶ بانجام برسانید. مثلا اگر قیمت عددی جمله ا نـ ب
ج ÷ د هـ ی + ف هـ ک مطلوب باشد لازم است که اولا قیمت
سه حد یعنی ا هـ ب و ج ÷ د هـ ی وف هـ ک جدا جدا معلوم شود و بعد
از ان حد دوم را از حد اول تفریق نموده حاصل تفریق با حد سوم جمع شود
تشریح اصول فوق در امثله فوق خواهد شد:-
مثال ۱- اگر ا = ۲ و ب = ۳ و ج = ۵ باشد قیمت عددی ۵ ا
+ ۸ ب + ۷ ج را معلوم کنید
۱۰ = ۲ × ۵ = ا × ۵ = ۵ ا
۲۴ = ۳ × ۸ = ب × ۸ = ۸ ب
۳۵ = ۵ × ۷ = ج × ۷ = ۷ ج

--- page 22 ---

۱۷

بنا برین ۵ ا + ۸ ب + ۴ ج = ۱۰ + ۲۴ + ۳۵

= ۳۴ + ۳۵

= ۶۹

مثال - ۲ اگر ا = ۸ و ب = ۵ و ج = ۲ باشد قیمت ۶ ا

- ۵ ب + ۴ ج را معلوم کنید

۶ ا = ۶ × ا = ۶ × ۸ = ۴۸

۵ ب = ۵ × ب = ۵ × ۵ = ۲۵

۴ ج = ۴ × ج = ۴ × ۲ = ۸

بنا برین ۶ ا - ۵ ب + ۴ ج = ۴۸ - ۲۵ + ۸

= ۲۳ + ۸ = ۳۱

مثال ۳ - اگر م = ۴ و ن = ۷ و ط = ۹ و د = ۴ باشد قیمت

عددی ۷ م ÷ ۲ ن × ۸ ط ÷ ۳ د را معلوم کنید و چون ابتدا

عمل از طرف راست میشود لهذا طریق عمل حسب ذیل خواهد بود

۷ م را بر ۲ ن تقسیم کنید و این خارج قسمت را در ۸ ط ضرب کنید و این حاصل

ضرب را بر ۳ د تقسیم کنید چون (۱) ۷ م ÷ ۲ ن = ۷ م ÷ ۲ ن - ۷ × ۳ ÷ ۳ × ۷ = ۳ ÷ ۲

--- page 23 ---

۱۸
۹×۴×۳ = ۹×۸×۳/۴ = ۶×۸×۳/۴ (۲)
۹ = ۹×۴×۳/۴×۳ = د = ۳ ÷ ۹×۴×۳ (۳)
بنابرین قیمت مطلوب = ۹ میباشد -
مثال ۴ اگر ۱=ا و ب=۲ وج=۳ ود=۶ وی=۵
وف=۰ باشد قیمت عددی جمله ذیل را معلوم کنید
ا ب ج - د ÷ ب × ا + د ی ف + ب ÷ ا ه ج - د ÷ ب ج
این جمله ۵ حد دارد و حل آنها در ذیل مندرج است -
(۱) ا ب ج = ا × ب × ج = ۱×۲×۳ = ۶
(۲) د ÷ ب × ا = ۶ ÷ ۲ × ۱ = ۳×۱ = ۳
(۳) د ی ف = د × ی × ف = ۶×۵ × ۰ = ۰
(۴) ب ÷ ا ه ج = ۲ ÷ ۱ × ۳ = ۲×۳ = ۶
(۵) د ÷ ب ح = د/ب ج = ۶/۲×۳ = ۱
بنابرین قیمت مطلوب = ۶-۳+۰+۶-۱ = ۳+۶-۱ = ۸ میباشد
مسئله (۴)
اگر ا=۲ و ب=۴ وج=۸ باشد قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید

--- page 24 ---

۱۹

(۱) ا + ب × ج (۲) ج - ا × ب (۳) ج ÷ ب × ا (۴) ج ÷ ب ا
(۵) ج ÷ ۳ × ا (۶) ج ÷ ۳ ا (۷) ج - ب ÷ ا (۸) ا + ج ÷ ب
(۹) ۳ ج - ۴ ب + ۲ ا (۱۰) ج - ب ÷ ا + ج ÷ ب (۱۱) ج ÷ ب ÷ ۳ × ا
(۱۲) ج ÷ ب ÷ ۲ ا (۱۳) ۵ ج ÷ ۲ ب (۱۴) ۵ × ج ÷ ۲ × ب
(۱۵) ۴ ا ب + ج ÷ ۴ × ا + ب ÷ ۱۲ (۱۶) ۸۰ ÷ ب × ج ا ÷ ۸۰ ÷ ب ج × ا
(۱۷) ۶۴ ÷ ج × ب × ا - ۶۴ ÷ ج ب ا
(۱۸) ۳ ب ج ÷ ۱۶ ا + ۵ ج ÷ ۱۶ × ا - ج ÷ ۲ ب × ب ÷ ا × ۴
(۱۹) ۱۰ ج ÷ ا - ب × ۲ + ۳۲ ب ÷ ۲ ا - ج + ۵ ا ج ÷ ۳ ب × ج ÷ ۵
(۲۰) ۴۸ ج ÷ ب ÷ ا × ۶ ÷ ۴ ب - ۳ ج ÷ ۲ ب ÷ ۴ × ۳ ÷ ۱ × ۸
+ ۱۶ ب ج ÷ ۲ × ب ÷ ۳ × ۵
اگر م = ۲ و ن = ۳ و ط = ۴ و ق = ۰ و س = ۷ و ش = ۱۰ باشد
قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید -
(۲۱) ۸ م - ۳ ط ÷ م ن + ق × ۳ س + ۵ س ÷ ۲ × ط
(۲۲) س × ۶ ÷ ۵ م × ۸ ط ÷ ۱۶ ن (۲۳) ۲۴ ÷ ۳ ط × ۴ س ÷ ۵ س × ۴ م
(۲۴) م ن س + ۵ ق س - ۳ س ÷ م ÷ ۵ ن + ۴ س ÷ ۳ ط × ۶ م

--- page 25 ---

۲۰
(۲۵) ۳ ب÷۵ س÷۷ط-۸س ن م÷۳بن÷۷ط+۵م÷۲ر۷۷
۳- مضروبات یا اجزای ضربی
اگر دو عدد یا زیاده در یکدیگر ضرب شود یا بصورت ضرب نوشته شود
عددیرا که از ضرب آنها حاصل میشود حاصل ضرب میگویند. و هر یک
ازین اعداد ضرب شده را مضروب آن حاصل ضرب مذکور میگویند
مثلا حاصل ضرب ۳ و ۵ و ۷ = ۱۰۵ است و مضروبات ۱۰۵
۳ و ۵ و ۷ میباشند
همچنین ۳ و ا و ب ولا مضروبات ۳ اب لا میباشند زیرا که ۳ ا ب لا
= ۳×ا×ب×لا
۴- امثال
عددی که بصورت رقم یا بصورت حرف در ابتدای جمله جبریه بطور
مضروب فیه نوشته شود آنرا امثال آن مقدار میگویند مثلا در ۵ ا ب ج
۵ امثال ا ب ج میباشد و ۵ ا امثال ب ج و ۵ ا ب امثال ج
تنبیه هرگاه قبل از مقدار جبریه امثال نباشد عدد ۱ مقدر شمرده میشود
مثلا مفهوم ا یک ا است

--- page 26 ---

۲۱
۱۵ قوت و قوت نما
اگر مقداری فی نفسه چند مرتبه ضرب شود حاصل ضرب یک
قوت خاص آن مقدار میباشد مثلا ا x ا و ا x ا x ا و ا x ا x ا x ا
و غیره همگی قوتهای ا میباشند
ا x ا را قوت دوم یا مربع ا میگویند و کتابت ان ۲ا میباشد ا x اx ا را
قوت سوم یا مکعب ا میگویند و کتابت آن ۳ا میباشد ا x ا x اx ا را
قوت چهارم میگویند و کتابت آن ۴ا میباشد ا x ا x ا x ا ... وغیره
اجزا را تان قوت نون ا میگویند و کتابت آن نا میباشد
آن رقم یا حرف که بر سر یک مقدار بطرف دست چپ برای تعبیر قوت
آن نوشته شود قوت نمای قوت مذکور میباشد ۔ مثلا ۲ و ۳ و ۵ و ن
علی الترتیب قوت نماهای ۲ا و ۳ا و ۵ا و نا هستند
تنبیه بتلفظ ۲ا ا مربع است و تلفظ ۳ا ا مکعب و تلفظ ۴ا ا بقوت
چهارم یا چهار است و همچنین تلفظ نا ا نون میباشد - و خود مقدار
ا را قوت اول ا میگویند - بنابرین مفهوم ا فی الحقیقت ۱ا
میباشد

--- page 27 ---

۲۲
مسئله
مثال ۱ اگر ا = ۳ باشد پس قیمت عددی ا۵-۵ ا را معلوم کنید
ا۵ = ا × ا × ا × ا × ا
= ۳ × ۳ × ۳ × ۳ × ۳
۲۴۳ =
و ۵ ا = ۵ × ا
= ۵ × ۳
۱۵ =
بنابرین جمله مفروضه = ۲۴۳ - ۱۵ = ۲۲۸
مثال ۲ اگر ا = ۴ باشد پس قیمت عددی ۲ ا۵ - ۵ ا۲ را معلوم کنید
۲ ا۵ = ۲ × ا × ا × ا × ا × ا
= ۲ × ۴ × ۴ × ۴ × ۴ × ۴
۲۰۴۸ =
و ۵ ا۲ = ۵ × ا × ا
= ۵ × ۴ × ۴
۸۰ =

--- page 28 ---

۲۳
بنابرین جمله مفروضه = ۲۰۴۸ - ۸۰ = ۱۹۶۸
مثال ۳ اگر ا = ۲ و ب = ۳ و ج = ۴ و د = ۵ باشد
پس قیمت عددی ا۵ ب۳ د را معلوم کنید :-
ج۲
جمله مذکوره = ا × ا × ا × ا × ا × ب × ب × ب × د
ج × ج
= ۵ × ۳ × ۳ × ۳ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲
۴ × ۴
= ۲ × ۳ × ۳ × ۳ × ۵ = ۲۷۰
مسئله (۳)
اگر ا = ۲ و ب = ۳ و ج = ۴ و م = ۶ و ن = ۷ و لا = ۸
و ی = ۱۲ باشد قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید
(۱) ۳ ا۴ (۲) ۷ لا أ ب ی
(۳) ۲ أ۲ - ۷ م۲ (۴) ۸ ب۲ ج - ۱ ب۲ لا
(۵) ۵ ج۳ ÷ ۳ لا۲ (۶) ۷ ا۲ ب۲ ی ÷ م۲ ن
(۷) لا۲ ب ن ج۲ (۸) وج۲ لا۲ ی ÷ ۸ ا۲ ب۲ م - ب ی ج ÷ ۱ ا
(۹) ۲ ا۲ ی ÷ لا۲ ی۲ (۱۰) ۳ ج۲ و۶ ÷ لا ب۲
(۱۱) اگر لا = ۸ باشد پس قیمت عددی ۴۰ + ۶۶ لا۲ - ۳۱ لا + لا۳ - ۶۵ لا را معلوم کنید

--- page 29 ---

۲۴
(۱۲) اگر لا = ۵۵۷ باشد پس قیمت عددی ۸ لا ۲ + ۶ لا۲ + ۱۱ لا + ۱۳ لا + ۲۹ را معلوم کنید
(۱۳) اگرم = ۲۲ باشد پس قیمت عددی ۳۵ م - ۴ م + ۷ م + ۱۵ م
- ۴ ۳ م - ۴ را معلوم کنید-
(۱۴) اگر ن = ۲ ، ۲ باشد پس قیمت عددی ۲۵ ن - ۲۷ + ۲۰ ن +
۸ ۵ ن - ۱۹۹ ن را معلوم کنید
(۱۵) اگر ی = ۴ ، ۳ باشد پس قیمت عددی ۵۰ ی - ۵۱ ی ۲ + ۳۵ی
- ۶۳ ۵ ی - ۱۹ را معلوم کنید-
(۱۶) اگر ک = ۵ ۷ ۳ ، ۱ باشد پس قیمت عددی ۸۴ ک - ۵۵ ک +
۳۲ ک - ۱۲۱ک + ۶۴ ک - ۴ ک + ۷۹ را معلوم کنید
قیمت ا۲ + ب۲ + ج - ۳ ا ب ج را در صورتهاے ذیل
معلوم کنید :-
(۱۷) چون ا = ۲۴ و ب = ۲۷ و ج = ۲۹
(۱۸) چون ا = ۶۲۵ ، ۳ و ب = ۶۲۵ ، ۴ و ج = ۶۲۵ ، ۵
(۱۹) چون ا = ۱/۲ ۴۴ و ب = ۱/۴ ۵۱ و ج = ۳/۴ ۵۸
(۲۰) چون ا = ۱۶۵۹ و ب = ۱۶۶۷ و ج = ۱۶۷۴

--- page 30 ---

۲۵
۱۶ - جذرها
جذر یک مقدار ا آن مقدار میباشد که مربع آن مساوی ا باشد و ازین
جذر ا بعلامت کا یا محض بعلامت ما تعبیر کرده میشود پس بدین
طریق ۳ = ٩٧ زیرا که ۲۳ = ۹ میباشد -
جذر مکعب یک مقدار ا آن مقدار میباشد که مکعب آن مساوی
طریق
ا باشد و ازین جذر مکعب بعلامت ٣/٢ تعبیر کرده میشود پس بدین
۲ = ٣/۸ زیرا که ۳۲ = ۸ میباشد
و بهمین طریق جذر مرتبه نون یک مقدار ا آن مقدار میباشد که
قوت نون آن مساوی ا باشد و ازین جذر مرتبه نون بعلامت ن/ا
تعبیر کرده میشود - بدین طریق ۲ = ٣٢/۵ زیرا که ۳۲۵ و ۳ = ۱۸۲
زیرا که ۴۳ = ۸۱ وعلیٰ ہذا القیاس
علامت ذیل را را اشارت جذر میگویند
۱۷ خطوط قوسی یا (وحدانی)
جمله علامات ذیل را ( ) و { } و [ ] خطوط قوسی میگویند
و هر یک از انها نام جداگانه دارد چنانچه علامت اول را قوس خردیا

--- page 31 ---

۲۶
و دوم را قوس میانه یا معترضه و سوم را قوس کلان گفته میشود-
هرگاه جمله جبریه در بین خطوط قوسی محدود باشد آن جمله حکم مقدار واحد دارد
مثلاً مفهوم (ا+ب) لا انیست که عدد لا در عدد ا+ب ضرب شود
برخلاف آن مفهوم ا+ب لا انیست که لا در ب ضرب شود
و این حاصل ضرب با ا جمع شود-
بنابرین جمله د+(ا+ب) لا ذو حدین است که دو حد آن د و(ا+ب) لا
میباشند و بر همین منوال ج- {د+(ا+ب) لا} ذو حدین است
که دو حد آن ج و {د+(ا+ب) لا} میباشند برخلاف این اگر خطوط
قوسی محذوف شوند ج- د+ا+ب لا ذو حدود کثیره میگردد
و حدود آن ج و د و ا و ب لا خواهند بود بعض اوقات بر جای
اینکه جمله جبریه در خطوط قوسی محدود شود یک خط عرضی باین شکل ـــــــ
که حکم خطوط قوسی دارد بر کل آن جمله مذکوره رسم میشود- مثلاً در مفهوم
ا-ب-ج و ا-(ب-ج) هیچ تفاوت نیست
تنبیه- مابین لا ا+ب و لا(ا+ب) و لاا+ب چه فرق
موجود است مفهوم هریک از دو جمله اول انیست که جذر آن عدد لا

--- page 32 ---

۲۷
گرفته شود که تعبیر ازان به ۱ + ب شده است - برخلاف آن مراد از جمله
سوم اینست که ب با جذر ۱ جمع شود - و بر همین منوال √ا√ب و √(ا ب)
یک مفهوم دارند یعنی مفهوم آنها جذر حاصل ضرب ا و ب است
برخلاف آن √ا ب این مفهوم داند که ب در جذر ا ضرب شود -
مسئله
مثال - اگر ا = ۱ و ب = ۴ و ج = ۹ باشد پس قیمت عددی
جمله های ذیل را معلوم کنید
√(ج ب) + √(ا ب) + ۵ و √(ج ب) + √(ا(ب + ۵)) و ۲√(ا ب) + ۳√(ب ج)
(۱) √(ج ب) + √(ا ب) + ۵ = √(۹×۴) + √(۱×۴) + ۵ = ۳×۲ + ۲ + ۵
۱۹ = ۵ + ۲ + ۱۲ =
(۲) √(ج ب) + √(ا(ب+۵)) = √(۹×۴) + √(۱(۴+۵))
= √۳۶ + √۹
۹ = ۳ + ۶ =
(۳) ۲√(ا ب) + ۳√(ب ج) = ۲√(۱×۴) + ۳√(۴×۹)
= ۲√۴ + ۳√۳۶
= ۲ × ۲ + ۳ × ۶
۲۲ = ۱۸ + ۴ =

--- page 33 ---

۲۸

مثال ۲ + اگر ا = ۳ وب = ۵ وج = ۸ و د = ۱۲ وی = ۲۰ با
پس فرق ما بین قیمت عددی { ا ( ب ج + ب ا - ا (ی - د)} و { ا ( ب ج
+ ب ا - ا ( ی - د )} معلوم کنید -
جمله اول = ۳ × { ۸ + ۵ × ۳ - (۲۰-۱۲)}
= ۳ × {۸ + ۲-۳ × ۸}
= ۳ × {۸ + ۲۰ - ۲۴}
= ۳ × ۹ = ۲۷
جمله دوم = ۳ × { ۸ + ( ۵ - ۳) × (۲۰ - ۱۲)}
= ۳ × { ۸ + ۲۲ × ۸ }
= ۳ × { ۸ + ۱۷۶}
= ۳ × ۱۸۴ = ۵۵۲
بنابرین فرق مطلوب = ۵۲ - ۲۷ = ۵۲۵
مثال ۳ - اگر م = ۱۰ و ن = ۸ وط = ۲ وق = ۱۲ وس = ۵ اباشد پس فرقا
مابین قیمت عددی [{ ۲ رم - ۳ ق - ن (ط ق - م)} : ط ] × {ر - م - ط}
و قیمت دی [{ رم - ۲ ق - ن ( ط ق - م )} : ط ] × ر - م - ط را

--- page 34 ---

۲۹
دریافت کنید.
جمله اول= {۵×۱۰-۲×۱۲-۸×(۲×۱۲-۱۰)}÷۲]×(۱۵-۱۰-۲)
=[{۱۵۰-۲۴-۸×۲۴}÷۲]×۳
=[{۱۲۶-۱۱۲}÷۲]×۳
=[۱۴÷۲]×۳
= ۲۱ = ۷×۳ =
و جمله دوم = [۵×۱۰-۲×(۱۲-۸)(۲×۱۲-۱۰)}÷۲]×۱۵-(۱۰-۲)
=[{۱۵۰-۲×۴×۲۴}÷۲]×۱۵-۸
=[{۱۵۰-۱۱۲}÷۲]×۱۵-۸
=[۳۸÷۲]×۱۵-۸
۲۷۷ = ۸ - ۲۸۵ = ۸ - ۱۵ × ۱۹ =
بنابرین فرق مطلوب = ۲۷۷ - ۲۱ = ۲۵۶
مسئله (۴)
اگر ا=۵ و ب=۲ و ج=۱ و د=۴ و ی=۹ و ف=۰ و م=۷ و ن=۳
وط=۸ باشد قیمت عددی جملہاے ذیل را معلوم کنید:-

--- page 35 ---

۳۰
(۱) ۱ اب وط
(۲) ۵ ا ء د
(۳) ۴ ا ط ن
(۴) ۶ تا (ی ن)
(۵) ۴ تا ء د
(۶) ۴
(۷) ۲ تا ب
(۸) ۲ تا b
(۹) ۱ + ب ء ای
(۱۰) ۱ + ب ء ای
(۱۱) ۳ ء ج + b
(۱۲) ۳ تا ج + b
(۱۳) ۳ تا (ج + ط)
(۱۴) ۳ تا ۸ (ن + ط)
(۱۵) ۳ تا ۸ (ن + ۳ ط)
(۱۶) ف ۴ م + ی
(۱۷) ف ۴ م + ی
(۱۸) ۳ ی - (۲ د - ب)
(۱۹) ۲ - (د - ب)
(۲۰) ۳ (ی - ۲ د) - ب
(۲۱) (۳ ی - ۲) د - ب
(۲۲) (۳ ی - ۲) د - ب
(۲۳) ۳ {ی - (۲ د - ب)}
(۲۴) ۳ (ی - ۲) (د - ب)
(۲۵) ۷ ط - (ن - ب)
(۲۶) (۷ ط - ن) ۲ - ب
(۲۷) ۷ ط - (ن - ب) ۲
(۲۸) ۷ (ط - ن) ۲ - ب ۲
(۲۹) {۷ ط - (ن - ب)} ۲
(۳۰) ۲ ا ط + ۳ ج + ۴ د (ج + ن) ۲
(۳۱) ۲ ا ط + ۳ ج + ۴ د (ج + ن) ۲
(۳۲) ۲ ا ط + ۳ ج + ۴ د (ج + ن) ۲
(۳۳) ۲ ا ط + (۳ ج + ۴ د) ج + ن
+ ۳ {د ج + ۴) د ج + ن}
اگر ۱ = ۲ وی = ۱ اوع = ۴ و ۱ = ۶ و د = ۸ و ج = ۵ ون = ۹ وط = ۴

--- page 36 ---

۳۱
قیمت عددی جملہای ذیل را معلوم کنید :-
(۳۵) و (لا + ی) (۱ - ج - ۶)
(۳۶) ۴ {ن - ۶ (د - ۱ + ط)} سه ۴ {ن - ۱ (د - و) + ط}
(۳۷) ۵ {ج + لا + ی (ن - د - ۶)} ۵ { (ج + لا + ی) ن - د - ۶}
(۳۸) [(لا + ی) {وط - ۶ (ج - ۱ - لا)}] - [(لا + ی) {(وط - ۶) ج - و} لا]
۱۸ - حدود متشابہہ و غیر متشابہہ
ہرگاہ چند حدود ہیچ تفاوت نداشته باشند یا محض در امثال تفاوت
داشته باشند آنہا را حدود متشابہہ میگویند مثلا ۳ ل ا ی ۵ و ۵ ل ا ی حدود
متشابہہ میباشند - و ۳ ل ا ی ۵ و ۵ ل ا ی حدود غیر متشابہہ و بر همین منوال
ا ب ج و ۵ ل ا ب دو ۲ ا ب و ج د لا ہمگی جملہای بسیط یا حدود
غیر متشابہہ میباشند -
۱۹ - مفہوم خاص اشارت و اشارات متحدہ مختلفه
اشارت اکثر محض برای تعبیر + یا - استعمال میشود مثلا اگر سوال
شود که اشارت این حد چیست در جواب آن زائد یا ناقص گفته خواهد شد
یعنی هر یک از اشارات زائد و ناقص که قبل از ان حد باشد در جواب

--- page 37 ---

۳۲
گفته میشود و نیز دو اشارت وقتی متحد گفته میشوند که هر دو زائد یا هر دو
ناقص باشند ورنه اشارات مختلفه گفته میشوند مثلا در جمله ا ا + ب اا
ج ی + د - ف اشارات حد سوم و پنجم و نیز حدو د اول و دوم و چها
متحد میباشند و برخلاف این اشارات حدود دوم و سوم و نیز حدود
چهارم و پنجم مختلف میباشند -
۲۰ - درجه حاصل ضرب
هرگاه یک حرف خاص ن بار در حدی مضروب گردد آن حد را
بلحاظ آن حرف حد درجه ن میگویند - مثلا حد ه ا ب ج بلحاظ حرف ا
حد درجه پنجم میباشد و بلحاظ حرف ب حد درجه دوم بلحاظ حرف ج حد
درجه اول - باز درجه یک حد بلحاظ چند حرف یا همه حروفیکه در آن حد
مندرج باشد آنقدر میباشند که مساوی مجموع قوت نماهای حروف
مذکوره شود مثلا ه ا ب ج بلحاظ اوب حد درجه هفتم میباشد و بلحاظ
ا وب و ج حد درجه هشتم - و نیز اگر در جمله مرکبه درجات حدود مختلف باشند
پس درجه جمله مذکوره مساوی درجه آن حد شمار کرده میشود که نسبت بهمه
حدود باقی مانده درجه آن زیاده تر باشد

--- page 38 ---

۳۳

۲۱ - جمله متجانس
هرگاه در جمله جبریه درجه هر حد یکسان باشد آن جمله را جمله متجانس میگویند
مثلا ۵ اَ ب - ۷ اَ ب ج + ۸ اَ ج۲ جمله متجانس میباشد چرا که
هر حد این جمله حد درجه چهارم است
(تنبیه امثال در درجه حد شمار کرده نمیشود)
۲۲- اشارات عظم وصغر < و >
هرگاه یکی ازین دو علامت < و > مابین دو مقدار نوشته شود آن مفهوم
اینست که مقدار طرف راس زاویه کلانتر از مقدار داخل زاویه خورد تر است
مثلا مفهوم اَ + ب < ج + د اینست که ج + د از اَ + ب زیاده
و اَ + ب از ج + د خورد تر است
این علامت ذیل .:. بطور مخفف لفظ چونکه استعمال میشود -
و این علامت ذیل :. بطور مخفف لفظ بنابران استعمال میشود
باب دوم
مقادیر مثبت و مقادیر منفی
۲۳ - مفهوم علامت مثبت و منفی

--- page 39 ---

۳۴

در علم حساب علامات مثبت و منفی در ذات اعداد شمولیت ندارند بلکه
حکم یک عامل جداگانه را دارند یعنے هرگاه این علامات با عد دو نشته
میشوند پس در انصورت ان تعلق و ربط را ظاهر میکنند که عدد مذکور با عداد
دیگر داشته باشد - مثلاً ۹ + ۷ = ۱۶ و ۹ - ۷ = لیکن تنها + ۷ و - ۷
هیچ مفهوم ندارد - لاکن در علم جبر و مقابله این علامات برای اظهار
این دو مفهوم استعمال میشوند یعنے اول اینکه حکم عامل را دارند دوم
اینکه در ذات عدد بطور صفت هم شمولیت دارند -
مثلاً فرض کنید که + ۷ یک چیز را در یک صورت خاص ظاهر میکند
پس - ۷ همان چیز را در صورتیکه نقیض صورت اول باشد ظاهر خواهد
کرد مثلاً اگر + ۷ نفع هفت روپیه را ظاهر کند پس - ۷ از نقصان
هفت روپیه تعبیر خواهد کرد یا اگر + ۷ ی نقصان هفت روپیه تعبیر کند
- ۷ نفع همانقدر روپیه را ظاهر خواهد کرد - علاوه بران ظاهر است
که اگر از دو مقدار متساوی باشارات مختلفه یکی جا تعبیر شود آنها یکدیگر را
محو خواهند کرد و حاصل آنها صفر خواهد بود و ظاهر است که این
صفر بصورت معدوم شدن معمول های مذکور پیدا میشود.

--- page 40 ---

۳۵
مثلاً فرض کنید که یک شخص اولاً نفع هفت روپیه حاصل میکند و بعد
ازان نقصان هفت روپیه را پس ظاهر است که شخص مذکور بحالت
اصلی خود مانده است نه سود کرده است و نه زیان لهذا این امر را
بواسطه مساوات ذیل ۷ - ۷ = ۰ ظاهر میکنند. ولیکن در علم جبر مقاما
علاوه برین همین مفهوم معانی دیگر نیز دارد مثلاً فرض کنید که یک
شخص اولاً نفع هفت روپیه را حاصل کرده است و بعد ازان نقصان
۹ روپیه پس در علم جبر و مقابله حالت شخص بلحاظ نفع و نقصان رقم
۷ - ۹ یا ۷ - ۷ - ۲ یا ۰ - ۲ یا - ۲ خواهد بود و ظاهر است که مفهوم - ۲ را
بواسطه مفهوم وسیع مقادیر منفی چنانکه در فوق ذکر آمده فهمیده میتوانیم
و فی الفور گفته میتوانیم که شخص نقصان دو روپیه کرده است
۲۴ - چند امثله دیگر در باب مسئله فوق
و بر همین منوال بسیار نظائر دیگر خود بخود در ذهن طالب العلم پیدا خواهد شد
مثلاً فرض کنید که از سطح زمین بر کوه بالا میشویم و باعتبار بلندی این فاصلۀ
بلندی را بمثبت تعبیر میکنیم پس برعکس آن اگر ما در یک چاه یا کان درآئیم
ظاهر است که این مسافت که درون چاه مذکور یا کان مذکور است منفی

--- page 41 ---

۳۶

خواهد بود- و همچنین فرض کنید که کابل را مبدأ قرار داده سوی مشرق تا ۱۰ میل
میرویم و این ۱۰ میل را مثبت میگوئیم پس اگر از کابل سوی مغرب مسافت
۱۰ میل را طی کنیم این ۱۰ میل مؤخرالذکر منفی خواهد بود- و علی ہذا القیاس
۲۵- تخصیص مقادیر مثبت و منفی
از بیان فوق ظاہر است که اعداد یا حروف که پیش آنها اشارت +
باشد یا هیچ علامت نباشد مقادیر مثبت را ظاهر میکنند و برخلاف
آن اعداد یا حروف که پیش آن اشارت - باشد مقادیر منفی را تعبیر کنند
مثلا هر یکی از ۴ و ۶ و ا و + ب مقدار مثبت میباشد- و هر یکی
از -۴ و -۶ و -ا و -ب و -ج مقدار منفی میباشد-
تنبیه ۱- قیمت مطلق یک عدد آن مقدار است که بغیر لحاظ
خاصیت مثبت و منفی عدد مذکور گرفته شود مثلاً قیمت +۴ و -۴
یکسان است یعنی ۴ است
تنبیه ۲- طالب العلم را باید که مفهوم فقرہائے ذیل را
بغور ذہن نشین خود نماید-
(۱) نفع - ۲۰ روپیہ (۲) ارتفاع - ۸ انچ (۳) مسافت - ۵ میل بطرف شمال

--- page 42 ---

۳۷
وعلى هذا القياس مفهوم فقره اول نقصان ۲۰ روپیه است
و مفهوم فقره دوم عمق ۸ اینچ است و مفهوم فقره سوم مسافت
۵ میل بطرف جنوب است
مسئله (۵)
(۱) اگر واحد قیاسی نقد ۲ روپیه باشد معلوم کنید که منفعت ۱ = - ۵
چه معنی دارد؟
(۲) اگر از نقصان ۶۰ روپیه بواسطه عدد ۶۰ تعبیر کرده شود معلوم کنید که
از نفع ۷۰ روپیه بکدام عدد تعبیر خواهد شد؟
(۳) اگر از آمدنی ۸۰ روپیه بعدد ۲۰ تعبیر کرده شود معلوم کنید که از قرض ۱۰
روپیه بکدام عدد تعبیر خواهد شد؟
(۴) اگر از قرض ۲۰۰ روپیه بعدد ۲۵ تعبیر کرده شود معلوم کنید که از آمدنی
۸۰۰ روپیه بکدام عدد تعبیر خواهد شد؟
(۵) اگر از مسافت ۹۰ میل بجانب شمال بعدد ۱۸ تعبیر کرده شود معلوم
کنید که از مسافت ۱۵۰ میل بجانب جنوب بکدام عدد تعبیر خواهد شد
(۶) اگر سطح یک دریا در یکروز ۸ اینچ بالا شود و روز دوم ۶ اینچ فرو وبا

--- page 43 ---

۳۸
روز سوم ۱۰ انچ بالا پس معلوم کنید که اگر ازین کمی و بیشی بلفظ "بالا"
تعبیر کرده شود و واحد قیاسی طول ۳ انچ باشد پس تعبیر ازین کمی و
بیشی سه روز مذکور بکدام عدد خواهد شد؟
(۷) یک شخص سال اوّل نفع ۳۰ روپیه حاصل کرد و سال دوّم نقصان
۲۰ روپیه و سال سوم نقصان ۴۰ روپیه لاکن سال چهارم باز نفع ۵۰ رویه
حاصل کرد پس معلوم کنید که اگر ۲ روپیه واحد قیاسی نقد باشد از نفع
هر سال مذکور چگونه تعبیر کرده خواهد شد؟
(۸) در سوال هفتم معلوم کنید که از نقصان آنشخص چگونه تعبیر کرده خواهد شد؟
باب سوّم
جمع
۲۶ - تعریف
هرگاه دو یا زیاده مقادیر یکجا کرده شود حاصل آنها را مجموع و یا حاصل جمع
میگویند و طریق دریافت نمودن این مجموع را جمع
تنبیه چون مقادیر منفی در علم حساب هیچ معنی ندارند بنابرین
ظاهر است که جمع جبر و مقابله از جمع حساب تفاوت دارد لهذا هرگاه

--- page 44 ---

۳۹

لفظ جمع در جبر و مقابله استعمال شود لازم نیست که کل مقادیر جمع شده
مقادیر مثبت باشند
۲۷- حاصل جمع یک مقدار مثبت با مقدار مثبت دیگر
ب' و اَ ب
فرض کنید که ب' ب یک سرک است و مسافتهائیکه از مبدأ و
بطرف راست میباشند مثبت و مسافتهائیکه بطرف چپ میباشند
منفی شمار کرده میشوند و نیز فرض کنید که و و اَ و ب سه نقطه بر ان سرک
واقع هستند و واَ ۲ میل و اب ۳ میل است پس اگر یک میل
واحد قیاسی مسافت باشد و مقام اَ و ب مطابق شکل فوق مسافت
و اَ + ۲ میل و اب + ۳ میل خواهد بود - پس اگر یک شخص از و
روانه شده تا اَ در یک ساعت و از اَ تا ب در یک ساعت دیگر
برسد ظاهر است که آنشخص در دو ساعت مذکور مسافت و ب یعنے
+ ۵ میل راطی کرده است - پس چونکه (مسافت طی شده ساعت
اول) + (مسافت طی شده ساعت دوم) = (مسافت طی شده
در دو ساعت مذکور میباشد) لہذا (+۲) + (+۳) = ۵ میباشد

--- page 45 ---

۴۰
بنابرین علی العموم (+ ا) + (+ ب) = + (ا + ب) یا اختصارا (ا)
+ (ب) = ا + ب پس هرگاه دو مقدار مثبت جمع کرده شوند مجموع
آنها یک مقدار مثبت میباشد که قیمت مطلق آن برابر مجموع قیمت های
مطلق مقادیر مذکور میباشد
۲۸ - حاصل جمع یک مقدار منفی با مقدار منفی دیگر
فرض کنید که در شکل فوق و اَ = ۲ میل و اَبَ = ۳ میل است و اینکه
اَ طرف چپ و است و بَ طرف چپ اَ چنانکه در شکل ظاهر است
پس و اَ را - ۲ و اَ بَ را - ۳ تعبیر خواهد کرد
پس اگر یک شخص از و روانه شده به اَ در یک ساعت و از اَ تابَ
در یک ساعت دیگر برسد ظاهر است که آنشخص در دو ساعت
مذکور مسافت و بَ یعنے - ۵ میل را طی کرده است؟
پس چونکه مسافت طی شده ساعت اول) + (مسافت طی شده
ساعت دوم) = (مسافت طی شده در دو ساعت مذکور میباشد)
لهذا (-۲) + (-۳) = - ۵ پس علی العموم (- ا ) + (- ب) =
-(ا + ب) لهذا هرگاه دو مقدار منفی جمع کرده شود مجموع آنها مقدار منفی میبا

--- page 46 ---

۴۱
و قیمت مطلق آن برابر مجموع قیمت های مطلق مقادیر مجموعهٔ مذکوره
بالا خواهد بود.
مثال ۱ مجموع - ۱ و - ب ج و - آب را معلوم کنید ا = ۲ و ب = ۳ و ج = ۵
پس ا = ۲ و ب ج = ۳ × ۵ = ۱۵
و آ ب = ۴ × ۳ = ۱۲
بنابرین (-۱) + (-ب ج) + (- آب) = (-۲) + (-۱۵) + (-۱۲)
= -(۲ + ۱۵ + ۱۲) = -۲۹
مثال ۲ - اگر ا = ۳ و ب = -۲ و ج = ۴ و د = ۵ و ف = -۶ و ک = -۸
باشد قیمت جمله ذیل را معلوم کنید:-
(-۳ ج) + (- آ د) + (ب + ف + ک)
ب + ف + ک = (-۲) + (-۶) + (-۸) = -(۲ + ۶ + ۸) = -۱۶
نیز ۳ ج = ۱۲
و آ د = ۳×۵ = ۲۷×۵ = ۱۳۵
لهٰذا جمله مفروضه = (-۱۲) + (-۱۳۵) + (-۱۶) = -(۱۲ + ۱۳۵ + ۱۶)
= -۱۶۳

--- page 47 ---

۴۴
اسئله (۶)
(۱) مجموع - ۳ و - ۷ و - ۱۲ را معلوم کنید
(۲) مجموع او - ب و - ج را معلوم کنید ا = - ۵ و ب = ۳ و ج = ۲
(۳) مجموع - ۵ و او ب را معلوم کنید ا = - ۶ و ب = - ۲۰
و نیز این مجموع را با - ۱۰ جمع کنید
(۴) مجموع - ا + (ب وج را معلوم کنید ا = ۵ و ب = - ۸ و ج = - ۶
(۵) قیمت جمله ذیل را معلوم کنید (- آ-ب) + (- ب ج ) + {- (آ- ب )}
چون ا = ۴ و ب = ۲ و ج = ۶ باشد
(۶) مجموع - ۳ آ ب و دوی و - ۲۰ ج و (د+ی) را معلوم کنید
ا = ۱ و ب = ۲ و ج = ۳ و د = - ۴ و ی = - ۵
(۷) مجموع ارقام ذیل را معلوم کنید :-
- آ (ب - ج ) و - ب (ج - ا ) و - ج (ب - ا )
چون ا = ۲ و ب = ۵ و ج = ۴
(۸) قیمت جمله ذیل را معلوم کنید :-
{- (آ - ی )} + {- (آ - ی )} + {- (آ - ی )} چون ا = ۵ و ی = ۳

--- page 48 ---

۴۳

(۹) مجموع جملہای ذیل را معلوم کنید :-
-لا (ی-ع) و-ی (ع-لا) وع (ی-لا)
چون لا=۳ و ی=۶ و ع=۵
(۱۰) مجموع جملہای ذیل را معلوم کنید
- {آ÷ب-ج} و- {آ÷(ب-ج)} و-{آ-ب×ج} و
-{ (آ-ب) ×ج} چون ا=۶۰ و ب=۴ و ج=۲
۲۹-حاصل جمع مقدار منفی و مقدار مثبت
در شکل فقره ۲۷ فرض کنید که یک شخص از ہ روانه شده در ساعت اول
تاب میرود و در ساعت دوم از ب تا ا پس مسافتیکه در ساعت اول
طی شده + ۵ میل میباشد و مسافتیکه در ساعت دوم طی شده -۳ میل
میباشد بنابرین در اختتام ساعت دوم آن مسافت را که از مقام و
طی شده از (+۵) + (-۳) تعبیر خواهد کرد-لیکن آنشخص در اختتام دوساعت
از و مسافت و ا یعنی ۲ میل میرسد لہذا (+۵) + (-۳) =+(۵-۳)
باز اگر آنشخص از و روانه شده در ساعت اول تاب برود و در ساعت
دوم از ب تا ا- پس مسافتیکه در ساعت اول طی شد + ۵ میل میبا[شد]

--- page 49 ---

۴۴
و مسافتیکه در ساعت دوم طی شده - ۷ میل لهذا مسافت شخص ازو
در اختتام ۲ ساعت (+ ۵) + (-۷) خواهد بود لیکن ظاهر است که در
اختتام دو ساعت آنشخص از و بمسافت و ۱ یعنے - ۲ میل میرسد
لهذا (+ ۵) + (-۷) = - ۲ = - (۷ - ۵)
پس علی العموم (+ ا) + (- ب) = + (ا - ب) یا - (ب - ا)
بقرار نقصان و زیادت ب نسبت به ا
پس اگر یک مقدار مثبت با یک مقدار منفی جمع شود علامت حاصل
جمع مثبت یا منفی میباشد بقرار این امر که قیمت مطلق مقدار منفی از
قیمت مطلق مقدار مثبت کم یا زیاده باشد و قیمت مطلق حاصل جمع
دائما مساوی فرق قیمت ہائے مطلق مقادیر مجموعه میباشد
نتیجه ۱- چونکه ا + (- ب) = - (ب - ا) بشرطیکه ب از ا
کلان باشد بنابراین اگرا = ۰ باشد + (- ب) = - ب خواهد بود
یعنی مفهوم جمع کردن مقدار منفی اینست که قیمت مطلق آن تفریق شود
و برعکس آن مفهوم تفریق مقدار مثبت انیست که همان مقدار منفی که
که مقدار مطلق آن مساوی مقدار مثبت مذکور است جمع شود-

--- page 50 ---

۴۵

تنبیه - بنابرین دریافت نمودن قیمت (ا-ب) وقتیکه ب
از ا زیاده باشد آسان خواهد بود چراکه ا - ب همیشه مساوی ا+(-ب)
میباشد واگر ب از ا زیاده باشد این جمله ثانی مساوی - (ب -ا) میشود
لهذا ۳ - ۸ = ۳ + (-۸) = -(۸-۳) = - ۵
نتیجه ۲ از نتیجه اول ظاهر است که مجموع چند مقدار باین طریق ظاهر
کرده میشود که آنهائیکه بعد از دیگر با اشارات مختلفه علی الترتیب
نوشته شود مثلا ا- ب + ج - د مساوی ا + (-ب) + ج + (-د)
میباشد
مثال - ۱ قیمت ا-۳ب + ۲ج - ۷د را معلوم کنید
اگر ا = ۲ و ب = ۴ و ج = ۳ و د = ۱
ا - ۳ ب + ۲ ج - ۷ د = ا + (-۳ ب) + ۲ ج + (- ۷ د )
= ۲ + (-۱۲) + ۶ + (-۷)
= -۱۰ + ۶ + (-۷)
= - ۴ + (-۷)
= - ۱۱

--- page 51 ---

۴۶
مثال ۲ - قیمت اب - ب ج + ج د - د ا - ب ج را معلوم کنید
اگر ا = ۱ و ب = ۲ و ج = ۳ و د = ۴
جمله مفروضه = (۱×۲) - (۲×۳) + (۳×۴) - (۴×۱) - (۲×۳)
۲ - ۶ + ۱۲ - ۴ - ۶ =
۱۸ - ۱۶ - ۳۶ + ۱۰ - =
۱۸ - ۱۶ - ۲۶ =
۱۸ - ۱۰ =
۸ - =
مسئله (۷)
(۱) مجموع ۷ و - ۴ را معلوم کنید (۲) مجموع ۸ و - ۱۳ را معلوم کنید
(۳) قیمت ب - ج + د را معلوم کنید اگر ب = ۳ و ج = ۵ و د = ۸
(۴) مجموع ۳ ا و - ۵ ب و ج و د و ۴ ی را معلوم کنید
اگر ا = ۲ و ب = ۳ و ج = ۴ و د = - ۷ و ی = ۳
(۵) قیمت جمله ذیل را معلوم کنند :-
۳ م - ۵ ن + ۶ ق + س اگر م = ۴ و ن = ۶ و ق = ۲ و س = - ۸
(۶) قیمت جمله ذیل را معلوم کنید :-
۲ لا ی - ۳ ی لا - ۵ لا ی + لا ی اگر لا = ی = ۲

--- page 52 ---

۴۷
(۷) مجموع جملهای ذیل را معلوم کنید :-
-اَج وب دَ و س ج بَ و - اُ دَ اگر ا = ۲ و ب = ۵ وج = ۳ ود = ۶
(۸) قیمت جملۀ ذیل را معلوم کنید :-
اَ - ۳ اُ ب + ۳ اَ ب - بَ اگر ا = ۳ و ب = ۵
(۹) قیمت جملۀ ذیل را معلوم کنید :-
مَ - ۴ مَ ن + ۶ مَ نَ - ۴ م نَ + نَ اگر م = ۲ ون = ۴
(۱۰) قیمت جملۀ ذیل را معلوم کنید :-
لَ - ۵ لَ یَ + ۱۰ لَ یَ - ۱۰ لَا یَ + ۵ لا یَ - یَ اگر لا = ۵ و ی = ۷
۳۰ هر گاه چند مقدار جمع شوند بترتیبی که نوشته شوند حاصل آنها
یکجا نست
فرض کنید که یک شخص از یک مبدا معین سوی شمال ۶ میل را
میرود و بعد ازان پس برهمان سرک مذکور مسافت ۸ میل را سوی
جنوب طی میکند پس در اختتام سفر مسافت شخص مذکور از مبدا ۲ میل
بطرف جنوب خواهد بود -
باز اگر آنشخص اولاً ۶ میل بسوی جنوب مبدا برود و بعد ازان ۸ میل سوی

--- page 53 ---

۴۸
شمال بر همان سمرک مذکور برود در ینصورت نیز مسافت الشخض ازمبدا
۲ میل بطرف جنوب خواهد بود.
بنابرین +۶(-۸)=(-۸)++۶ زیرا که ہر یکی از انها مساوی - ۲ میباشد
لهذا اختصاراً +۶ - ۸ = - ۸ ++۶ وعلی ہذا القیاس
بنا برین علی العموم ا- ب = - ب + ا باز چونکه ۲ - ۱۰ + ۶ = - ۸ + ۶ = - ۲
و نیز - ۱۰ + ۶ + ۲ = - ۴ + ۲ = - ۲ بنابرین ۲ - ۱۰ + ۶ = - ۱۰ + ۶ + ۲
بنابرین علی العموم ا - ب + ج = - ب + ج + ا
و بر همین منوال ا - ب + ج - د + ی - ف = ا + ج + ی - ب - د - ف
= - ب + ی - د - ف + ج + ا
۳۱ ہر گاه جمع چند مقدار مطلوب باشد و آنها را بچند حصه تقسیم نموده
جمع کنیم مجموع حصص مذکوره مساوی مجموع آن مقادیر خواهد بود
مثلاً ۳ - ۷ - ۸ + ۶ - ۴ + ۲ = - ۷ - ۸ + ۶ - ۴ + ۲
= - ۱۲ + ۶ - ۴ + ۲
= - ۶ - ۴ + ۲
= - ۱۰ + ۲
= - ۸
و (۳-۷) + (-۸+۶) + (-۴+۲) = ۴ - + (-۲) + (۳-) = - ۸
و ۳ + (-۷ - ۸ + ۶) + (-۴+۲) = ۳ + (۹-) + (۳-) = - ۸

--- page 54 ---

۴۹

و ۳+( - ۷ - ۸) + ( ۶ - ۴ ) + ۲ = ۳ + ( ۱۵ - ) + ۲ + ۲ = - ۸
بنابرین ۳ - ۷ - ۸ + ۶ - ۴ + ۲
= ( ۳ - ۷ ) + ( - ۸ + ۶ ) + ( - ۴ + ۲ )
= ۳ + ( - ۷ - ۸ + ۶ ) + ( - ۴ + ۲ ) س
= ۳ + ( - ۷ - ۸ ) + ( ۶ - ۴ ) + ۲ وعلیٰ ہذا القیا
بنابرین علیٰ العموم جمع ا + ب - ج - د + ی - ف + ک در صورتہای ذیل
نوشته شده میتواند :-
( ۱ ) ( ا + ب ) + ( - ج - د ) + ی + ( - ف + ک )
( ۲ ) ا + ( ب - ج ) - د + ( ی - ف + ک )
( ۳ ) ( ا + ب - ج ) + ( - د + ی - ف ) + ک
( ۴ ) ا + ( ب - ج - د ) + ی + ( - ف + ک )
( ۵ ) ( ا + ب - ج ) + ( ی - ف + ک )
نتیجه : - برعکس فوق ( ا + ب ) + ( - ج - د ) + ی
+ ( - ف + ک ) = ا + ب - ج - د + ی - ف + ک
بنابرین قاعدۀ ذیل مستقر راست :-
برای جمع کردن دو یا زیاده جملها جبر یه آنها را علیٰ الترتیب با اشارات متعلقه انهباید

--- page 55 ---

۵۰
نتیجه ۲ - چونکه ا - ب + ج - د + ی - ف = ا + ج + ی
- ب - د - ف = (ا + ج + ی) + (- ب - د - ف)
بنابرین قاعده ذیل مقرر است :-
هرگاه جمع چند مقدار مطلوب باشد که بعضی از انها مثبت باشد و منفی
پس بهتر اینست که مقادیر مثبت را یک حصه و مقادیر منفی را حصه دیگر
ساخته جمع شود و مجموع این هر دو حصه معلوم کرده شود.
مثلاً ۳ - ۷ + ۸ - ۹ + ۵ - ۶ = (۳ + ۸ + ۵) + (- ۷ - ۹ - ۶)
= ۱۶ + (-۲۲) = -۶
مثال ۱- مختصر کنید: ۱۵ - ۳ ب + ۲ ج - ۱۴ + ۲ ب - ۴ ج
جمله مفروضه = ۱۵ - ۱۴ - ۳ ب + ۲ ب + ۲ ج - ۴ ج
= (۱۵ - ۱۴) + (-۳ ب + ۲ ب) + (۲ ج - ۴ ج)
= ۱ + (- ب) + (-۲ ج)
= ۱ - ب - ۲ ج
مثال ۲- مختصر کنید: ۳ ا ب + ۵ ب ج - ۴ ج ا -
۱۰ ا ف - ۵ ب ج + ۶ ج ا + ۲ ا ب - ۸ ا ف + ج ا

--- page 56 ---

۵۱
جمله مفروضه = ٣ اب - ١٠ اب + ۴ اب + ٥ ب ج - ۷ ب ج
- ب ج - ۶ ج ا + ۸ ج ا + ج ا
= (٣ اب - ١٠ اب + ۴ اب) + (٥ ب ج - ۷ ب ج - ب ج)
+ (- ۶ ج ا + ۸ ج ا + ج ا )
= (- ٧ اب + ۴ اب) + (- ٢ ب ج - ب ج)
+ ( + ٢ ج ا + ج ا )
= (- ٣ اب) + (- ٣ ب ج) + (٣ ج ا)
= - ٣ اب - ٣ ب ج + ٣ ج ا
تنبیه در عمل فوق این امر بغور ملاحظه شود که چون جمع حدود متشابه
مطلوب باشد پس مجموع انها باین طریق معلوم میشود که امثال را جمع کرده
مجموع با حروف یک جمله نوشته شود. مثلاً ٥ ب ج - ٧ ب ج - ب ج =
- ٣ ب ج زیرا که - ٣ مجموع امثال ٥ و - ٧ و - ١ میباشد
مثال ٣ - حدود ذیل را جمع کنید ١٣ - ٢ ب + ج و - ٥ د + ٦ ی - ف
و قیمت عددی این مجموع را معلوم کنید چون ا = ٢ و ب = ١ و ج = ٣ و
د = ۴ و ی = ٧ و ف = ٥
پس (١٣ - ٢ ب + ج) + (- ٥ د + ٦ ی - ف)
= ١٣ - ٢ ب + ج - ٥ د + ٦ ی - ف (مجموع مطلوب)
= ١٣ - ٢ + ٣ - ٢٠ + ۴٢ - ٥
= (١٣ + ٣ + ۴٢) + (- ٢ - ٢٠ - ٥)
= ٥٨ + (- ٢٧)
= ٥٨ - ٢٧
= ٣١

--- page 57 ---

۵۲
مسئله (۸)
جملهای ذیل را مختصر کنید :-
(۱) ۱ + ب س ج - ۲ ا - ۳ ب + ۴ ج
(۲) ۵ آ - ۷ ب + ۸ ج + ۵ ب - ۷ ج - ۶ آ
(۳) ۱۸ - ا ب - ۱۷ + ۵ ج - ۱۳ + ۵ ا ب
(۴) ۵ م ن ط - ۶ ا ب س - ۷ ج س ۸ م ن ط + ۹ ج + ۴ ا ب س - ۵ ج
(۵) - ۷ آ ب - ۵ س ج + ۱۰ آ ب - ۳ س ج + ۳ د ف - آ ب - س ج - ۵ د ف
(۶) ۸ لأ س - ۵ لا س ع - ۷ الأ س + ۲۰ لأ س - ۲ لا س ع - ۳۵ لأ س
+ ۳ لأ س - ۴ لا س ع + ۵ لأ س
(۷) - ۱۳ أ س ج + ۱۵ ا س ج - ۲۷ ا س ج - ۵ أ س ج + ۱۳ ا س ج
- ۲۳ ا س ج + ۷ أ س ج + ۶ ا س ج + ۱۹ ا س ج
(۸) ۲۰ لأ م ن - ۳۳ م ن لا + ۱۴ ا ن لا م - ۳۷ لا م ن - ۴۷ ن لا م
+ ۴۵ م ن لا - ۸ لا م ن + ۱۳ ا ن لا م - ۱۵ م ن لا + ۲۰ ن لا م
اگر ا = ۲ و ب = ۳ و ج = ۴ و د = ۵ و ی = ۶ و ف = ۷
و ک = ۸ و ق = ۹ و م = ۱۰ و ن = ۱۲ قیمت جملهای ذیل را معلوم کنید

--- page 58 ---

۵۳

(۹) ا + ٣ ب + ۵ ج و ۵ د - ۴ ی - ۶ ف
(۱۰) ۵ ب - ۲ ف و - ۷ م - ۸ ن و ٣ د + ی - ۱۰ ق
(۱۱) ۳ اُ و - ۵ ب' + ۷ ج' و - ۲ ی + ۵ م - ن و ۱۰ د - ۷ ق
(۱۲) - ۲ ا + ۳ ب - ۴ ج و - د - ۵ ی + ۶ ف و ۳ ک - ۵ ق - ۳ م + ۵ ن
(۱۳) - ۱ ب + ک ق و ۴ ن - ۴ ب د + ف و - ج - ذ + م ق
وَ ۶ اُ ج - ۵ ف + ۷ ی + ۱ ب ج
(۱۴) ا ب - ج د ی و ف م - ا ب ن - ی د و - م ک + ۳ ق - ۴ ب د
وَ ۵ ج - ۷ د م ک + ۲ اُ ق - ۳ م' د
(۱۵) ۳ ب م - ۵ ق' ی - ۴ م ک - ۱۳ ا' م + ۴ ک' د - ۷ ن' ج و - ۵ ن' ج
+ ۸ ف' م' + ۹ ذ' وَ ۵ ک' ق - ۷ م' ن - ۴ ی م + ۸ ج د ق
۳۲ - قاعده عمومی جمع جملهای مرکب
قاعده - جملهای مفروضه را زیر یکدیگر باینقسم بنویسید که حدود متشابه بهم
در تحت حدود متشابهه باشند پس زیر سطر اخیر یک خط عرضی بکشید و بعد
ازان هر سطر عمودی را جمع کرده مجموع را زیر این خط عرضی بالترتیب بنویسید رقوم
امثله ذیل توضیح این قاعده را خواهند نمود :-

--- page 59 ---

۵۴
مثال ۱ - جمع کنید: ۱۳- ۵ب + ۴ج - ۹د و -۱ ج +۱۵
-۳د+۷ب و ۴د + ۲ج - ا و۲ب -۳ج+۶د
جمله اول =۱۳-۵ب+۴ج-۹د
جمله دوم = ۱۵+۷ب-۸ج-۳د
جمله سوم = -ا+۲ج+۴د
جمله چهارم = ۲ب-۳ج+۶د
مجموع = ۱۷+۴ب -۳ج-۲د
مثال ۲- قیمت عددی مجموع ذیل را معلوم کنید:.
۲۰ اٰ۲ب-۲۵ب۲ج۲+د۳-۲۲ اٰ۲ب+۱۹ اٰب۲ج۲-۳ د۳ و۲ اٰ۲ب+۷ب۲ج۲+۲د۳
اگر ا=۸ و ب=۳ و ج=۲ و د=۱ باشد
جمله اول = ۲۰ اٰ۲ب-۲۵ب۲ج۲+د۳
جمله دوم = -۲۲ اٰ۲ب+۱۹ اٰب۲ج۲-۳د۳
جمله سوم = ۲ اٰ۲ب+۷ب۲ج۲+۲د۳
مجموع = ب۲ج۲
و قیمت عددی مطلوب = ۳۲×۲۲ = ۹×۴ = ۳۶

--- page 60 ---

۵۵
مسئله (۹)
جمع کنید:-
(۱) ۱-۲ ب + ۵ ج و -۷ ۱+ ۳ب -۸ ج
(۲) -۳ لا + ۵ ی - ۶ و ۵ لا - ۳ ی + ۷ و - ۳ ی + ۶
(۳) لا + ۳ لا - ۵ لا + و ۲ لا - لا + ۷ لا - ۸ و - لا + ۷ لا - ۲ لا + ۹ و ۵ لا + ۲
(۴) ۱۳ - ۲ ب + ۷ ج - ۸ د و ۳ ج + ۶ د - ۱۵ و ۳ ب + د - ۱۰ ج
و ۲ ج - ۴ ب + ۱ و - ۷ د + ۵ ب
(۵) لا + ۲ لای + ۳ لا - لا + ی + ۲ و - ۵ لا + ی + ۲ لا - ۵ و - ۳ لای
- ۷ی + ۳ ی + ۱ و ۶ لا + لا ی - لا - ۴ ی + ۲
(۶) ۲ لا - ۵ لا ی + ی و ۴ ی - ۷ لا - ۵ لا + ۲ ی و ۳ لا ی - ۵ + ی - ۶ ی
و ۳ - ۴ ی + ۳ لا
(۷) ۲ ب ج + ا ب - ب ج و ۵ ا ب - ۱۲ ب ج - ۳ ا ب ج و ۸ ب ج
- ۴ ا ب + ۴ ا ب ج و ۴ ا ب + ۵ ب ج
(۸) م ن - ۲ م ن + ۲ و م ن + ۸ م ن و ۵ م ن - ۱۰ م ن + ۵ م ن - ۶ م ن و
۲ م ن - ۵ م ن + ۳ م ن و - ۷ م ن + م ن - ۴ م ن

--- page 61 ---

۵۶
(۹) ۱۲ اَ ۲ب لا - ۲۹ ب۲ لا اَ + ۳۷ لاَ اَ ب + ۳۵ اَ ب لاَ و ۲۵ ب لاَ - ۱۶ اَ ب۲
- ۱۸ اَ ب لا - ۱۵ لاَ اَ ب و ۲۲ اَ ب۲ لاَ - ۲۳ لاَ اَ ب + ۳۰ اَ ب لا - ۲۸ ب۲ لااَ
وَ - ۹ لاَ اَ ب - ۱۴ اَ ب۲ لا - ۶۰ اَ ب لاَ + ۳۲ ب۲ لاَ اَ
(۱۰) - ۱۵ اَ ب۲ ج۲ + ۴ ج۲ اَ ب۲ - ۲۳ ب۲ ج۲ اَ + ۲۷ اَ ب۲ ج۲ و ۵ ج۲ اَ ب۲ - ۵ اَ ب۲ ج۲
+ ۲۳ اَ ب۲ ج۲ - ۸ ب۲ ج۲ اَ و ۲۹ ب۲ ج۲ اَ + ۱۱ اَ ب۲ ج۲ - ۹ اَ ب۲ ج۲ - ۴ ج۲ اَ ب۲
وَ - ۳ اَ ب۲ ج۲ - ۱۰ ج۲ اَ ب۲ + ۳ ب۲ ج۲ اَ - ۱۸ اَ ب۲ ج۲
(۱۱) ۲۵ اَ ب۲ - ۸ ب۲ ج - ۳ ج۲ اَ + ۱۹ اَ ب۲ ج۲ و ۶ ج۲ اَ - ۱۲ اَ ب۲ ج۲ - ۱۹ اَ ب۲ - ۲ اَ ب۲
وَ ۲۷ اَ ب۲ ج۲ + ۱۳ اَ ب۲ + ۷ ج۲ اَ - ۳۰ ب۲ ج و ۲۹ ب۲ ج - ۶ اَ ب۲ ج۲ - ۲۱ اَ ب۲ - ۳ ج۲اَ
وَ ۱۰ ب۲ ج۲ + ۳ اَ ب۲ + ۸ ج۲ اَ - ۲۷ اَ ب۲ ج۲
(۱۲) ۵ اَ - ۱۸ ب۲ - ۳ ه ج۲ - ۲۵ ا ب ج و ۸ ج۲ ه - ۳ اَ - ۷ ا ب ج + ۲۹ ب۲
وَ ۲۶ ا ب ج - ۷ ج۲ ه + ۱۱ ب۲ + ۳ ه ج۲ و ۱۳ ب۲ - ۱۸ ا ب ج + ۴ اَ + ۱ ه ج۲
وَ - ۱۴ اَ + ۲ ج۲ ه + ۲۱ ا ب ج - ۳۴ ب۲
اگر اَ = ۵ و ب = ۴ و لا = ۸ و ی = ۷ باشد قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید
(۱۳) (۳ لاَ + ۵ ی۲ - ۳۰ اَ + ۲۹ ب۲ ) + ( ۱۷ اَ - ۷۲ ب۲ - ۳۳ لاَ )
+ ( - ی۲ + ۳ ب۲ - ۳ اَ ) + ( - ۲۳ ب۲ - ۴ ی۲ + ۷ اَ + ۲۰ لاَ )

--- page 62 ---

۵۷
(۱۴) (۱۰ آ - ۲۶ لاٴ س + ۳۰ لاٴ ب + ۷ ا س) + (۳۵ لاٴ س + ۱۶ ا س - ۴ - ۳۰ آ
- ۲۸ لاٴ ب) + ( - ۸ ا س - ۹ لاٴ س - ۷ لاٴ ب) + (۵ لاٴ ب - ۲۵ ا س + ۲۸۹ آ)
(۱۵) (۲ آ - ۷ ب + ۹ لاٴ - ۱۳ س + ۵ ا ب - ۲۱ لا س) + (۵ س + ۸ ب + ۷ ا لا س
- ۶ آ - ۸ ا ب - ۲۰ لاٴ) + (۱۳ لاٴ - ۲۰ ا ب + ۵ آ - ۱۶ لا س - ۱۰ س - ۳ ب)
+ (۱۳ ا ب - ۳ لاٴ + ۳ ب + ۲۳ لا س - آ + ۱۸ س)
(۱۶) (۲۹ ا ب لا - ۳۹ ب لا س + ۴۹ لا س - ۵۹ س ا ب) + (۲۹ ب لا س
+ ۴۹ س ا ب - ۹ ۱ا ب لا - ۳۹ لا س) + (۲ ا ب لا - ۱۲ لا س + آب لا س
+ ۲۲ س ا ب) + (۳ لا س + ۴ ب لا س - ۱۳ ا ب لا - ۱۴ س ا ب)
(۱۷) (۱۸ آ ب - ۴۳ ب لاٴ + ۶۲ لاٴ س - ۴۳ ا ب لا س) + (۳۹ ا ب لا س - ۴۸ ب لاٴ
- ۲۵ آ ب - ۴۲ لاٴ س) + (۱۹ ب لاٴ + ۳۷ آ ب - ۲۵ ا ب لا س + ۳۵ لاٴ س)
+ (۹ ا ب لا س - ۲۹ آ ب - ۵۵ لاٴ س - ۴ ب لاٴ)
(۱۸) (۴۶ آ + ۳۸ ب - ۷۸ ا ب لاٴ - ۱۰۵ س) + (۴۷ ا ب لاٴ + ۸۵ س - ۵۶ آ
- ۵۸ ب) + (۵۵ س + ۷۵ ب + ۲۳ آ + ۶۳ ا ب لاٴ) + ( - ۳۳ ب
+ ۸ س - ۲۷ ا ب لاٴ - ۳۹ آ) + (۲۶ آ - ۴۵ س - ۲۲ ب + ۱۵ ا ب لاٴ)
(۱۹) (۳۵ لا س + ۲۷ ا ب - ۹۸ ب لاٴ - ۶۲ س آ - ۸۳ ا ب لاٴ س) + (۴۸ ب لاٴ

--- page 63 ---

۵۸
+ ۱۰۲ ی اً - ۶۵ لای اً - ۷۸ ا ب + ۵۳ ا ب لای ) + ( ۲۶ ا ب لای
- ۷۵ ا ب - ۲۵ ی ا + ۲۳ ب لاً + ۵۳ لای ) + (۴۸ ی ا - ۲۹ لای
۶۵ ا ب لای + ۲۵ ا ب + ۲۶ ب لاً ) + ( - ۸۹ ا ب - ۴۳ ی اً
+ ۶۹ ا ب لای + ۶ لای - ۴۹ ب لاً )
(۲۰) (۵۷ اً ب لا + ۲۵ ب لای - ۲۳ ا لای ا + ۳۷ ی اً ب - ۲۵۳ اً ب لای
+ ( ۶۳ لای ا - ۹۲ ی اً ب - ۶۳ اً ب لا + ۷۳ اً ب لاً - ۸۵ ب لای )
+ (۳۵ ی اً ب + ۱۳۲ ب لای + ۸۳ اً ب لاً + ۳۶ لا ی ا + ۹۶ اً ب لا)
+ ( - ۵ اً ب لاً - ۷۸ اً ب لا + ۴۷ ی اً ب - ۷ ا لا ی ا - ۵۴ ب لای
+ ( ۶۱ لا ی ا - ۲۰ ب لای + ۴۸ ا اً ب لاً - ۷ ی اً ب - ۱۲ اً ب لا )
باب چهارم
تفریق و خطوط قوسی
۳۳ - تعریف
مفهوم تفریق یک مقدار ب از مقدار ا اینست که یک مقدار دیگر ج
[ILL] معلوم شود که مجموع ب و ج مساوی ا باشد و بعبارت دیگر
رج = ا - ب آنوقت میشود که ب + ج = ا باشد -

--- page 64 ---

۵۹
آن مقدار را که از یک مقدار دیگر تفریق یا منها شود مفروق میگویند
و آن مقدار را که ازان کدام مقدار دیگر تفریق شود مفروق منه و باقی را
فرق یا حاصل تفریق مثلاً اگر ا - ب = ج باشد ا مفروق منه است
و ب مفروق و ج فرق یا حاصل تفریق
۳۴- مفهوم تفریق یک مقدار مثبت همانست که مفهوم جمع آنمقدار
منفی میباشد که قیمت مطلق آن مقدار منفی مساوی قیمت مقدار
مثبت مذکور است و نیز مفهوم تفریق یک مقدار منفی همانا
که مفهوم جمع آن مقدار مثبت میباشد که قیمت مطلق آنمقدار
مساوی قیمت مطلق مقدار منفی مذکور است -
چونکه ۳ + ۴ = ۷ لہذا ۷ - ۳ = ۴ = ۷ + (-۳) باز چونکه ۶ + (-۲) = ۴
لہذا ۴ - ۶ = -۲ = ۴ + (-۶) لہذا دائماً ا - ب = ا + (-ب)
مفهوم تفریق یک مقدار مثبت همانست که مفهوم جمع آن مقدار منفی
میباشد که قیمت مطلق آن مقدار منفی مساوی قیمت مطلق مقدار مثبت
مذکور است -

--- page 65 ---

۶۰
چونکہ (۳) + ۵ = ۲ لهذا ۲ - (-۳) = ۵ { بحکم تعریف ۳۳ }
۳ + ۲ =
و بهمین طریق چون (-۶) + (-۴) = - ۱۰
لهذا (-۱۰) - (-۶) = -۴ = (-۱۰) + ۶
لهذا علی العموم چونکہ (- ب) + (+ ب) = ا بنابرین ا - (- ب)
= ا + ب یعنے مفهوم تفریق یک مقدار منفی همانست که مفهوم جمع
آن مقدار مثبت میباشد که قیمت مطلق آن مقدار مثبت مساوی قیمت مطلق
مقدار منفی مذکور است -
تنبیہ یک مقدار ۱ از ب آنوقت اعظم گفته میشود که حاصل ا - ب
مثبت باشد مثلاً (-۴) از (-۵) اعظم است چرا که (-۴) - (-۵)
= - ۴ + ۵ = ۱ و بر همین منوال - ۵ < - ۷ و - ۱۰ < - ۳ وعلی ہذا القیاس
بنابرین در سلسله اعداد ذیل یعنے ۵ و ۴ و ۳ و ۲ و ۱ و ۰ و -۱ و - ۲
و -۳ و - ۴ و - ۵ و - ۶ و - ۷ و - ۸ وغیره هر عد از عدد ماقبل خود اصغر
۳۵ - تشریح اصول فوق
د ج ب ط ا

--- page 66 ---

٦١
فرض کنید که ادسز کسيست که از طرف غرب بسو مشرق میرود و اوط و ب
وج و د پنج رباط است که بران سرک وقوع دارند و نیز اط = طب = ۲ میل
و ب ج = ۳۰ میل و ج د = ۱۰ میل اگر یک شخص از ط روانه شده تاج
در ۲ روز برسد پس ظاهر است که (مسافت طی شده روز اول)
+ (مسافت طی شده روز دوم) = ۵۰ میل لہذا از روی تعریف
فقره ممتاز ۵۰ میل - (مسافت طی شده روز اول = مسافت
طی شده روز دوم)
(١) اگر روز اول آنشخص از ط تاب یعنی ۳۰ میل سو مشرق طی کند
پس روز دوم شخص از ب تاج یعنی ۳۰ میل هم سو مشرق طی خواهد کرد
(۲) اگر روز اول انشخص ازط تا ا یعنی ۲۰ میل سوی مغرب طی کند
پس روز دوم لازم است که آنشخص از ا تاج یعنی ۷۰ میل سو مشرق
طی بکند۔
(۳) باز اگر روز اول انشخص از ط تا د یعنی ۶۰ میل سو مشرق طی بکند
پس روز دوم لازم است که آن شخص از د تاج یعنی ۱۰ میل سو
مغرب طی بکند۔

--- page 67 ---

۶۲
پس اگر یک میل واحد قیاسی مسافت باشد از امثله فوق نتایج ذیل اخذ
شده میتوانند:-
۳۰ = ۲۰ - ۵۰
۷۰ = (۲۰ -) - ۵۰
۱۰ - = ۶۰ - ۵۰
مثال ۱- قیمت ا- ب + ج را اگر ا = ۵ و ب = -۲ و ج = -۳
باشد معلوم کنید-
ا- ب + ج = ۵ - (-۲) + (-۳)
= ۵ + ۲ - ۳ = ۴
مثال ۲ - قیمت - ا - (-ب) + ج را اگر ا = -۲ و ب = -۳
و ج = - ۴ باشد معلوم کنید :-
جمله مفروضه = - ا + ب + ج
= -(-۲) + (-۳) + (-۴)
= ۲ - ۳ - ۴
= -۵
امثله (۱۰)
اگر ا = ۳ و ب = - ۵ و ج = - ۶ و د = - ۸ باشد قیمت عددی جملهای ذیل معلوم کنید

--- page 68 ---

۶۳
(۱) - ا + ب س ج + د (۲) ۱ - ب + ج - د
(۳) ج - د - (- ب) - ا (۴) ج - (- د) + ب - ا
(۵) - (- ۱) + ب - (س ج) - داگر م = - ۷ م و ن = ۵۰ و لا = - ۱۵۲
و ی = - ۲۳۴ باشد قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید
(۶) ن - م - (- لا) + ی (۷) - (- م) + ی - (- ن) - لا
(۸) - (- لا) + م - ی - (- ن) (۹) - (- ی) - م - لا - (- ن)
(۱۰) - (- ن) - ی - (- لا) - م
۳۶ دلیل این که ا - (ب س ج) = ا - ب س ج و ا - (ب - ج) = ا - ب + ج
چونکه (ب س ج) + (ا - ب س ج) = ا
.: از روی تعریف فقره ۳۳ ا - (ب + ج) = ا - ب س ج
باز چونکه (ب - ج) + (ا - ب + ج) = ا
.: ا - (ب - ج) = ا - ب + ج *
* هرگاه ا و ب و ج همه مقادیر مثبت باشند و ا < ب و ب < ج باشد پس دلیل ذیل را
در اکثر کتب جبر و مقابله نوشته اند
اگر ب از ا تفریق شود باقی ا - ب میباشد لیکن در ینصورت از ا زیاده از مطلوب
تفریق کردیم چراکه مدعای ما این نیست که ب را تفریق کنیم بلکه آن مقدار را
که از ب بقدر ج کمتر است از ا تفریق میکنیم بنابرین لازمست که با باقی مذکور
ج جمع شود - لہٰذا ا - (ب - ج) = ا - ب + ج

--- page 69 ---

۶۴
نتیجه پس بحکم فقره فوق برای تفریق یک جمله جبریه از جمله دیگر
قاعده ذیل اخذ شده است :-
قاعده - علامت هر حد مفروق را از مثبت بمنفی و از منفی بتبت
تبدیل نموده بعد ازان این همه حدود را علی الترتیب با علامات
تبدیل یافته بعد از مفروق منه بنویسید مثلاً اگر ۱۲ + ۳ ب - ۵ ج
از ۱ - ۲ ب + ج تفریق شود باقی = ۱ - ۲ ب + ج - ۱۲ - ۳ ب + ۵ ج
= - ۱ - ۵ ب + ۶ ج خواهد بود
مثال ۱ ۳۱ + ۲ ب - ۵ ج را از ۱۲ + ب - ۸ ج تفریق کنید
باقی مطلوب = ۱۲ + ب - ۸ ج - ۱۳ - ۲ ب + ۵ ج
= (۱۲ + ۱۳) + (ب - ۲ ب) + (-۸ ج + ۵ ج)
= ۱۵ + (- ب) + (- ۳ ج)
= ۱۵ - ب - ۳ ج
مثال ۲ ۲ ا۲ + ۳ ا ب - ۵ ب۲ را از - ۳ ا۲ + ۲ ا ب - ۴ ب۲ تفریق کنید
باقی مطلوب = - ۳ ا۲ + ۲ ا ب - ۴ ب۲ - ۲ ا۲ - ۳ ا ب + ۵ ب۲
= (- ۳ ا۲ - ۲ ا۲) + (۲ ا ب - ۳ ا ب) + (- ۴ ب۲ + ۵ ب۲)
= - ۵ ا۲ - ا ب + ب۲

--- page 70 ---

۶۵
مسئله (۱۱)
تفریق کنید
(۱) ۱-ب+ج را از ۲ ۱+۳ ب-ج
(۲) ۲ ۱-۵ ب+۴ ج را از -۱-۲ ب+۸ ج
(۳) -لا+ی-۶ را از ۲ لا+۳ ی-۴ ء
(۴) -۳ م۲+۲ م ن+۵ را از-۵ م۲-م ن+۴
(۵) لا۳-۲ ی۲+۳ ء۲ را از ۳ لا۳-ی۲+۲ ء۲
(۶) ۳ دلا-۴ لای+۵ ی را از ۲ دلا+لای-۶ ی
(۷) -۳ اً-۲ اب-۷ ب۲ را از اً-۵ ا ب-۸ ب۲
(۸) -۲ ب ج+۶ ج۲-۸ لای را از ۵ ب ج س ج۲+۲ لای
(۹) ۲ لا۲-۴ لا۲+۷ لا+۵ را از لا۳-۳ لا۲+۶ لا+۷
(۱۰) لا۴+۲ لای-۳ لا۲ ی۲+۶ لای۳-ی۴ را از ۲ لا۴-۲ لا۳ ی-۳ لا۲ ی۲+۴ لای۳-ی۴
(۱۱) ۳ م۴-۷ م۳ ن+۸ م ن۲-۱۳ ن۴ را از ۲ م۴-۱۳ م۳ ن+۵ ۱ م ن۲-۴ ی۴
(۱۲) ۸ ط۴-۷ ط۳ ق+۱۰ ط۲ ق۲-۱۳ ط ق۳+۵ ق۴ را از ۵ ط۴-۱۲ ط۳ ق
+۷ ط۲ ق۲-۲۳ ط ق۳+۳ ق۴

--- page 71 ---

۶۶

(۱۳) ۷ لا + ۶ لا ی – ۸ لا ۲ ی – ۱۳ لا ۲ ی + ۹ ی را از ۳ لا – ۵ لا ۲ ی
+ ۲ لا ی – ۷ لا ی ۲ + ۶ ی

(۱۴) ۳ م ن لا – ۱۰ ن لا م + ۱۴ لا ۲ م ن – ۲۰ م ۲ ن لا – ۷ ۲ ن لا م را از
۵ م ۲ ن لا – ۷ ا ن لا م + ۲۶ لا م ن – ۱۳ م ۲ ن لا – ۱۹ ن لا م

(۱۵) ۳۷ لا – ۲۸ لا ی + ۲۳ لا ۲ ی – ۵۴ لا ی – ۲۷ لا ی + ۸۴ لا ی – ۹۳ ی
از ۴۸ لا – ۳۱ لا ی – ۷ لا ۲ ی – ۳۹ لا ۲ ی – ۴۱ لا ی + ۶۵ لا ی – ۸۳ ی

۳۷- قاعده عمومیه برای تفریق یک جمله مرکب از جمله دیگر
اولا مفروق را زیر مفروق منه بنویسید باین طریق که حدود مشابه زیر
حدود مشابه باشند ثانیا زیر مفروق مذکور یک خط عرضی بکشید
و بعد ازان اشارت هر حد مفروق را تبدیل داده آن حدود را جمع کنید
مثال ۱ - ۲ لا + لا ی – ی را از لا – ۲ لا ی – ۳ ی تفریق کنید

مفروق منه = لا – ۲ لا ی + ۳ ی
مفروق = + ۲ لا + لا ی + ی
حاصل تفریق = ۳ لا – ۵ لا ی + ۴ ی

مثال ۲ و – ۳ و ب + ۵ لا – ی را از ۳ لا + ۲ ی – ۷ و تفریق کنید

--- page 72 ---

۶۷۰
مفروق منه = ۳ لا۲ + ۲ س۲ - ۷ أ
مفروق = ۵ لا ۲ - س ۲ + أ - ۳ ب
حاصل تفریق = - ۲ لا۲ + ۳ س ۲ - ۸ أ + ۳ ب
مسئله (۱۳)
تفریق کنید
(۱) ۳ أ - ۴ ب + ۵ ج را از ۲ أ + ۳ ب - ۵ ج
(۲) -۳ م + ۵ ن - ۷ س را از ۷ م - ۲ ن + ۵ س
(۳) - لا ۲ + لاسی - س ۲ را از ۲ لا ۲ - ۳ لاسی + ۴ س ۲
(۴) لا ۲ - ۲ لا + ۵ لا + ۶ را از ۲ لا ۳ + ۳ لا ۲ - ۳ لا + ۵
(۵) أ - ۵ ا ب + ۲ ب ۲ + ۷ ب ج را از ۲ أ - ۳ ا ب + ۳ ب ج
(۶) - ۵ لا ۲ + ۶ لاسی - ۴ لاسی ۲ + ۷ س ۲ را از ۳ لا ۲ - ۲ لاسی + ۸ لاسی ۲ - ۵ س ۲
(۷) - ۲ + ۳ لا - ۵ لا ۲ + ۷ لا ۳ را از ۴ - ۶ لا - ۷ لا ۲ - ۹ لا ۳
(۸) لا ۳ - ۷ لا ۲ + ۹ را از ۳ لا ۳ - ۲ لا ۲ - ۸ لا + ۷
(۹) - ۵ لا ۴ + ۲ لا ۳ - لا ۲ - ۶ لا + ۹ + ۸ را از لا ۴ - ۶ لا ۳ - ۴ لا ۲ + ۵
(۱۰) ۲ لا ۳ - ۳ لاسی + ۷ لاسی ۲ - ۸ س ۳ + أ - ۳ ب را از لا ۳ - ۴ لاسی - ۸ لاسی ۲ - ۵ لا ۳

--- page 73 ---

۶۸

(۱۱) ۳ لای ۶-۲ لاسی-۷ لاس ۶+۲ لاسی را از ۱۲ لاسی-۵ لاسی+۸ لای ۶
- ۹ لاسی ۶
(۱۲) ۲ س ج - ۳ ج+ ۱ رج + ۵ ژ-۴ ب-۷ ا ب را از ۴ ژ-۳ ب
+ ۵ ج-۶ ا ب + ۷ س ج - ۸ ا رج
(۱۳) - ۵ لا- ۳ لا + ۱۲ + ۲ لاسی-۷ ی + ۴ ی را از ۲ لا - ۳ لاسی + ۵ ی
-۶ لا - ۸ ی+ ۹
(۱۴) - ۵ ا + ۲ ا + ۴ ب - ۷ ا ب - ۲ ا ب - ۷ ب + ۵ ا ب را از
۳ ا- ۳ ا ب + ۵ ا ب- ۹ ب + ۳ ا- ۲ ا ب+ ب
(۱۵) - ۲ ی ۶ س ج + ۴ ی ۶ س ج - ۳ ا لا - ۹ ی ۶ س ج + ۳ ا لا را از
۳ ا لا- ۵ ا لا+ ۶ ی ۶ س ج - ۷ ی ۶ س ج + ۸ ی ۶ س ج
(۱۶) ۱۹ لا ۶ ی - ۵ الا ی ۶ + ۲۷ + ۱۱ لا ی ۶-۱۳ الا ی ۶-۱۹ لا ی ۶ را از
۲۵ - ۱۶ لا ی ۶ + ۲۱ لا ۶ ی - ۶ لا ی ۶ + ۸ لا ی ۶
(۱۷) ۴۳ لا ی ۶- ۲۳ لا ی ۶ + ۲۵ لا ی ۶- ۶۶ لا ی ۶ + ۲۶ لا ی ۶
+ ۳۵ لا ی ۶ را از ۳۹ لا ی ۶ - ۳۷ لا ی ۶ + ۵۴ لا ی ۶- ۶۷ لا ی ۶
+ ۸۹ لا ی ۶ - ۴۵ لا ی ۶

--- page 74 ---

۶۹

(۱۸) ۲۹لاسیء + ۵ء لاسیء + ۱۳لاسیء + ۵۳ لاسیء - ۹۴ لاسیء
- ۸۴ لاسیء را از ۲۱لاسیء - ۷۴ لاسیء - ۴۸ لاسیء + ۶۳ لاسیء
- ۵۵ لاسیء - ۵۷ لاسیء
(۱۹) معلوم کنید که با ۳ لا - ۵ لای + ۶سی + ۷سیء چقدر جمع شود که حاصل
جمع مساوی - لا - سی - سیء باشد؟
(۲۰) معلوم کنید که با - ۵لا + ۱۳لاسی - ۶ ب لا + ۵ ب لای + ۷ لای اب
چقدر جمع شود که حاصل جمع مساوی لا + لاسی + ۶ ب لا - ۲ ب لای
- ۲ لای ا ب باشد؟
(۲۱) معلوم کنید که با ۵لا - ۶ لاسی + ۷ لاسی - ۸ لاسی - ۱۹ی چقدر جمع شود
که حاصل جمع مساوی ۳لا + ۵ لاسی - ۱۲سی باشد؟
(۲۲) معلوم کنید که با - ۵لا - ۳ لاسی - ۶ لاسی + ۷ لاسی + ۱۳ لاسی
- ۲۱ سی چقدر جمع شود که حاصل جمع مساوی - ۷لا - ۴ لاسی + ۱۳ لاسی
+ ۲۹ سی باشد؟
(۲۳) معلوم کنید که از ۲ء + ۱۵ ب - ۶ب چقدر تفریق شود که باقی ۱ء + ۲ب با
(۲۴) معلوم کنید که از ۵ لا - ۶ لای + ۴ سی - ۱۰سی + ۱۵ - ۸ لا چقدر تفریق شو

--- page 75 ---

۷۰
که باقی لا٢ + ٢ لاسی + ٣ سی٢ + ۴ لا + ۵ سی + ٦ باشد ؟
(٢۵) معلوم کنید که از ٣ آ٢ - ۴ آ ب + ۵ ا ب٢ - ٨ ب٣ چقدر تفریق شود
که باقی آ٣ - ۴ ا ب٢ + ٧ ب٣ باشد ؟
(٢٦) معلوم کنید که از - ٨ لاسی + ۴ لاسی٢ - ١١ لاسی٣ + ١٢ لا٢ - ١٣ سی + ٢٧
چقدر تفریق شود که باقی ۴ لاسی - ٣ لاسی٢ - ١١ لاسی٣ + ٢٠ لا٢ - ٣٠ سی
+ ۵٦ باشد ؟
(٢٧) معلوم کنید که ٣ ا٢ - ٧ ا ب - ٨ ب ج + ٩ ب٢ از کدام جمله تفریق شود
که باقی ٢ ا٢ + ٣ ا ب + ٣ ب ج + ٢ ب٢ بماند ؟
(٢٨) معلوم کنید که - ٣ لا٢ + ۵ سی٢ - ٧ لاسی + ٨ لا - ٩ از کدام جمله تفریق شود
که باقی لا٢ - ٨ سی٢ + ٢ لاسی - ١١ لا + ٧ بماند ؟
(٢٩) معلوم کنید که - ٧ آ - ٨ ب٢ ج - ١٣ ا٢ ج + ٣ ب٢ از کدام جمله تفریق شود
که باقی ۴ آ - ٣ ب٢ ج + ٧ ا٢ ج - ٨ ب٢ بماند ؟
(٣٠) معلوم کنید که ٢١ لا٢ - ٧٣ لاسی٢ + ۴٢ سی٢ - ٨١ لا + ١٩ لاسی - ٣٩
از کدام جمله تفریق شود که باقی - ٢۵ لا٢ + ۵١ لاسی - ٧٨ سی٢ + ٧ لا
- ٣۴ لاسی + ٣۴ بماند ؟

--- page 76 ---

۷۱
۳۸ رفع خطوط قوسی
قواعد رفع خطوط قوسی در ذیل مندرج میباشند :-
(۱) اگر چند حد ما بین خطوط قوسی محدود باشند و پیش آن اشاره + باشد
خطوط قوسی مذکور بدون تغیر اشارات حدود داخله آن رفع میشود
(۲) اگر چند حد ما بین خطوط قوسی محدود باشند و پیش آن اشارت - باشد
خطوط قوسی مذکور باین شرط رفع میشود که اشارت هر حد داخل خطوط
قوسی از جمع بتفریق و از تفریق بجمع تبدیل شود - و دلیل قواعد مذکور
ظاهر است چرا که هرگاه یک جمله داخل خطوط قوسی باشد و پیش از آن
اشارت + باشد مفهوم اینست که جمله مذکو رجمع شود و همچنین اگر پیش
ازان اشارت - باشد پس مفهوم اینست که آن جمله تفریق شود
مثلاً ا - ب + ( ج - د + ی ) = ا - ب + ج - د + ی
و نیز ا - ب - ( ج - د + ی ) = ا - ب - ج + د - ی
و برعکس آن
(۱) چند حد را در خطوط قوسی که پیش ازان اشارت + باشد محدود کرده میتوانیم
(۲) و چند حد را در خطوط قوسی که پیش ازان اشارت - باشد نیز محدود کرده میتوانیم

--- page 77 ---

۷۲
بشرط اینکه اشارت سرحد را از جمع بتفریق و از تفریق بجمع تبدیل نموده
در اینچنین خطوط قوسی بنویسیم
مثلاً ا - ب + ج - د + ی - ف = ا - ب - (ج - د - ی + ف)
تنبیه اکثر اوقات قسمی از خطوط قوسی در خطوط قوسی دیگر واقع میشود
مثلاً در جمله ذیل ۳ ا - [ ۳ ب - { ۴ ج - (۵ د - ۶ ی) } ] پس
مفهوم اینچنین خطوط قوسی اینست که جمله داخله { } از ۳ ب تفریق شود
و باقی از ۳ ا تفریق شود و نیز جمله داخله { } اینطور دریافت نمود
میشود که جمله داخله ( ) از ۴ ج تفریق شود
وقتیکه اختصار جمله مانند جمله سابقه مطلوب باشد برای مبتدی بهتر
انیست که ابتدای عمل را از خطوط قوسی خورد بنماید
مثال ۱ - مختصر کنید: ا - {ب - (ج - د)}
ا - { ب - (ج - د) } = ا - {ب - ج + د}
= ا - ب + ج - د
مثال ۲ - مختصر کنید: ا - [ب - {ج - (د - ط)} - ف]
ا - [ب - {ج - (د - ط)} - ف] = ا - [ب - {ج - د + ط} - ف]
= ا - [ب - ج + د - ط - ف]
= ا - ب + ج - د + ط + ف

--- page 78 ---

۷۳
مثال ۳ مختصر کنید: ۱+ [- ب - {ج - (د - ط - ف) - ک} ع]
جمله مفروضه = ۱+ [- ب - {ج - (د - ط + ف) - ک} - ع]
= ۱+ [- ب - {ج - د + ط - ف - ک} - ع]
= ۱+ [- ب - ج + د - ط + ف + ک - ع]
= ۱ - ب - ج + د - ط + ف + ک - ع
مثال ۴ مختصر کنید: ۱۲- [۳ ا+ {۴ ب - (۲ ا - ب) + ۵ ا} - ۷ ب]
جمله مفروضه = ۱۲- [۳ ا + {۴ ب - ۲ ا + ب + ۵ ا} - ۷ ب]
= ۱۲- [۳ ا + ۴ ب - ۲ ا + ب + ۵ ا - ۷ ب]
= ۱۲- ۳ ا - ۴ ب + ۲ ا - ب - ۵ ا + ۷ ب
= - ۴ ا + ۲ ب
مثال ۵ ۱- [- ب - {ج - (د - ط - ف)}] را مختصر کنید
باین طریق که اول [ ] و بعد ازان { } و بعد ازان ( ) رفع شود
جمله مفروضه = ۱ + ب + {ج - (د - ط - ف)}
= ۱ + ب + ج - (د - ط - ف)
= ۱ + ب + ج - د + ط - ف
= ۱ + ب + ج - د + ط - ف

--- page 79 ---

۷۴

تنبیه جمله داخله ( ) بر دو حد مشتمل میباشد یعنی بر-ب و
- {ج - (د-ط-ف)} بنابرین وقتیکه این خطوط قوسی که پیش ازان
اشارت - است رفع شود باقی ب + {ج - (د-ط-ف)} میماند
و همین عمل در باقی خطوط قوسی جاری میباشد
این امر بغور ملاحظه شود که در یک وقت یک قسم خطوط قوسی رفع میشود
مثال ۶ مختصر کنید :-
{{(د ۴ - ج ۲) + ب ۳} - ۱۲} - {(د - ج) - ب} - ا}
{د + ج ۳ - ب} - ا = {(د - ج) - ب} - ا
= ا - ب + ج - د
{د ۴ - ج ۲ + ب ۳} - ۱۳ = {{(د ۴ - ج ۲) + ب ۳} - ۱۲} و
= ۱۲ - ۳ ب - ۲ ج + ۴ د
لهذا جمله مفروضه = (ا - ب + ج - د) - (۱۲ - ۳ ب - ۲ ج + ۴ د)
= ا - ب + ج - د - ۱۲ + ۳ ب + ۲ ج - ۴ د
= - ا + ۳ ب + ۳ ج - ۵ د
مثال ۷ از جمله ا + ب + ج + د - ط - ف سه حد اول و سه حد اخیر را
داخل خطوط قوسی جداگانه بنمائید و پیش ازانها اشارت - بنویسید

--- page 80 ---

۷۵
بعد ازان دو حد اخیر هر یکی از خطوط قوسی فوق را داخل خطوط قوسی
دیگر که پیش از هر یکی از انها اشارت - باشد بنمائید - مثلاً
ا + ب ج + د - ط - ف = - { - ا - ب ج } - { - د + ط + ف }
= - { - ا - (ب ج ) } - { - د - ( - ط - ف ) }
مسئله (۱۳)
جمله های ذیل را مختصر کنید :-
(۱) ۱۲ - ۳ ب - (۴ و - ۶ ب ) + ( - ۱۲ + ۵ ب )
(۲) لا + ( - ی + ۴ لا ) - ( - ۲ لا + ۳ ی )
(۳) - ( ۵ لا - ی ) + ( - ۳ لا + ی ) - ( ۲ ی - ۶ لا )
(۴) ۱۳ - { ۱۶ - (۲ ب - ۱ ) } (۵) - ۱ - {۲ ب - (۱۹ + ۴ ب )}
(۶) ۱۲ + {۵ ب - ۷ ب - ۴ } (۷) ۳ - {۵ - (۶ - ۷ - ۹)}
(۸) - ۲ - { - ۲ - { - ۴ - (۵ - ۶)}}
(۹) - ۱ - { - ۳ ب - { - ۲ ا - ( - ا - ۴ ب)}}
(۱۰) ۱ - { ۲ ب - { ۳ ج - ( ۱ - ۲ ب - ۳ ج )}}
(۱۱) ۱۳ - { ۵ ی - {۱۰ ع - ( ۵ لا - ۱۰ ی - ۳ ع)}}
(۱۲) - ۱ - { - ب - { - ج - ( - ا - ب - ج)}}

--- page 81 ---

۷۹
جمله‌های ذیل را مختصر کنید باین طریق که اولاً خطوط قوسی خارجی و بعد
ازان خطوط قوسی داخلی را رفع کنید-
(۱۳) ۲ لا - [ ۵ ی - { ۹ لا - ( ۱۰ ی - ۴ لا ) } ]
(۱۴) - ۱۵ - [ ۳ ب - { ۱۶ - ( ۵ ب - ۷ ) } ]
(۱۵) - ۴ م - [ ۳ ن - { ۸ م - ( ۴ ن - ۱۰ م ) } ]
(۱۶) - ۱۲ - [ - ۴ ب - { - ۶ ج - ( - ۱۸ - - ۱۰ ب - ۱۲ ج ) } ]
(۱۷) - ۳ لا - [ - ۵ ی - { - ۷۶ - ( - ۹ لا - - ۱۱ ی - ۱۳ ء ) } ]
(۱۸) - ۲ لا - [ - ۴ ی - { - ۶ ء - ( - ۱۳ - - ۵ ی - ۷ ء ) } ]
(۱۹) - لا - [ - ۳ ی + { - ۵ ء - ( - ۲ لا + - ۴ ی - ۶ ء ) } ]
(۲۰) - ۲ ر + [ - ۵ ب - { - ۸ ج + ( - ۳ ر - - ۶ ب + ۹ ج ) } ]
(۲۱) - لا + [ - ۵ ی - { - ۹ ء + ( - ۳ لا - - ۷ ی + ۱۱ ء ) } ]
مختصر کنید :-
(۲۲) { ۱۲ - ( ۳ ب - ۵ ج ) } - { ۱ - [ ۲ ب - ( ج - ۱۲ ) - ی ] }
(۲۳) { لا - [ ی - ( ۶ - لا ) - ( ی - ۶ ) ] - [ ۶ - لا - ( ی - ۶ ) ] }
(۲۴) { ۲ ر - ( ب  ج ) - [ ۲ ب - ( ۲ ر  ج ) ] } - [ ۱۲ + ( ج - ۴ ب ) ]
- [ ۳ ب - ( ۱۲ - ۴ ج ) + { ۲ ج - ( ۲ ب - ۱۳ ) } - { ۵ ج + ( ۱۶ - ۷ ب ) } ]

--- page 82 ---

۷۷
در جمله ا - ب - ج + د - م + ن - لا + ی - ع :-
(٢٥) حد دوم و سوم و چهارم را در خطوط قوسی که قبل ازان اشارت - باشد بنویسید
و حد پنجم و ششم و هفتم را در خطوط قوسی دیگر که قبل ازان اشارت + باشد بنویسید
(٢٦) همه حدود که بعد از حد اول نباشند در خطوط قوسی که قبل ازان اشارت - باشد بنویسید
و چهار حد اخیر داخل این خطوط قوسی را داخل خطوط قوسی دیگر که قبل از ان اشارت + باشد بنویسید
(٢٧) پنج حد اول را داخل خطوط قوسی که قبل از ان هیچ اشارت نباشد بنویسید و چهار
حد اخیر را در خطوط قوسی دیگر که قبل از ان اشارت - باشد بنویسید و بعد از ان
حد اخیر هر دو خطوط قوسی را داخل اینچنین خطوط قوسی نمائید که قبل از انها اشارت باشد
(٢٨) از حد اول ابتدا نموده سه سه حد را در اینچنین خطوط قوسی که قبل از انها
اشارت - باشد بنویسید و بعد از ان دو حد اخیر این خطوط قوسی را در اینچنین
خطوط قوسی محدود کنید که پیش از انها اشارت - باشد
باب پنجم
ضرب
۳۹ - تعریف
مفهوم ضرب یکعدد اینست که تکرار یکعدد بقدر آحاد عدد دیگر نموده شود

--- page 83 ---

۷۸

مثلا ۴ = ۱+۱+۱+۱

لهذا ۴ لا یا ۴ لا = لا+لا+لا+لا

و همچنین ۵ × ۵ = ۵+۵+۵+۵ = ۲۰

و ۳ × ۶ = ۶+۶+۶ = ۱۸ } ...... (۱)

و ۵ × ۳ = ۳+۳+۳+۳+۳= ۱۵

و نیز ۳ × (-۵) = (-۵)+(-۵)+(-۵)=-۱۵

و ۴ × (-۳) = (-۳)+(-۳)+(-۳)+(-۳)=-۱۲ } ...... (ب)

و ۵ × (-۴) = (-۴)+(-۴)+(-۴)+(-۴)+(-۴)=-۲۰

باز چون - ۴ = -۱-۱-۱-۱

لهذا (-۴) × لا = -لا-لا-لا-لا

و همچنین (-۴)×۵ = -۵-۵-۵-۵= -۲۰

و (-۳)× ۶ = -۶-۶-۶= -۱۸ } ...... (ج)

و (-۵)× ۳ = -۳-۳-۳-۳-۳=-۱۵

و نیز (-۳)÷(-۵) = -(-۵)-(-۵)-(-۵)

= ۵+۵+۵ = ۱۵

و (-۴)×(-۳) = -(-۳)-(-۳)-(-۳)-(-۳) } ...... (د)

= ۳+۳+۳+۳ = ۱۲

و (-۵)×(-۴) = -(-۴)-(-۴)-(-۴)-(-۴)-(-۴)

= ۴+۴+۴+۴+۴ = ۲۰

--- page 84 ---

۷۹
اگر ا در ب ضرب شود ا را مضروب میگویند و ب را مضروب فیه
و حاصل را حاصل ضرب
امثله (۱۴)
بقرار تعریف فقره ۳۹ حاصل ضرب ارقام ذیل را دریافت کنید :
(۱) حاصل ضرب ۶ در ۵ (۲) حاصل ضرب ۷ در ۴
(۳) حاصل ضرب ۱۲ در ۳ (۴) حاصل ضرب - ۸ در ۴
(۵) حاصل ضرب - ۹ در ۵ (۶) حاصل ضرب - ۱۳ در ۶
(۷) حاصل ضرب ۸ در - ۳ (۸) حاصل ضرب ۱۲ در - ۵
(۹) حاصل ضرب ۱۵ در - ۳ (۱۰) حاصل ضرب - ۹ در - ۴
(۱۱) حاصل ضرب - ۱۲ در - ۵ (۱۲) حاصل ضرب - ۱۶ در - ۴
۴۰ قاعده اشارات
از فقره ۳۹ ظاهر است که اگر ا و ب دو عدد صحیح باشند
(+ا) × (+ب) = +(ا ب)
(+ا) × (-ب) = -(ا ب)
(-ا) × (+ب) = -(ا ب)
(-ا) × (-ب) = +(ا ب)

--- page 85 ---

پس اگر دو عدد صحیح و متحدالاشاره در یکدیگر ضرب شود حاصل ضرب مثبت خواهد بود
و نیز اگر دو عدد صحیح و مختلف الاشاره در یکدیگر ضرب شود حاصل ضرب منفی خواهد بود
و همین قاعده در ضرب کسور نیز جاری میباشد مثلاً چون ٢/٣- = ١/٣-٢
یعنے چون -٢/٣ بدو دفعه تفریق حصه سوم یک واحد حاصل میشود لهذا
حاصل ضرب لادر-٢/٣ بدو دفعه تفریق حصه سوم لا حاصل خواهد شد
بنابرین (-٢/٣) × لا = -لا/٣ -لا/٣ = -٢لا/٣
همچنین (-٢/٣) × ٤/٥ = -٤/١٥ -٤/١٥ = -٨/١٥
و (-٢/٣) × (-٤/٥) = -(-٤/١٥) -(-٤/١٥)
= +٤/١٥ +٤/١٥ = ٨/١٥ و علیٰ ہذا القیاس
پس قاعده اشارات بطور وضاحت حسب ذیل خواهد بود:-
اگر اشارات مضروب و مضروب فیه متحد باشند حاصل ضرب مثبت خواهد بود
و اگر اشارات مضروب و مضروب فیه مختلف باشند حاصل منفی خواهد بود
نتیجه چونکه (-لا) × (-لا) = لا٢ و نیز (+لا) × (+لا) = لا٢
لہٰذا لا٢\ = لا+- پس ظاهر است که هر جمله جبریه دو جذر مربع دارد که قیمت
مطلق انها با هم مساوی و اشارات آنها مختلف میباشند-

--- page 86 ---

۸۱
مثال جمله ذیل را مختصر کنید: (أ ب ج د) (ج- د)
اگر ا= -۲ و ب = -۳ و ج = -۴ و د= ۵ باشد
چونکه ا ب = (-۲) × (-۳) = ۲ × (-۳) = -۱۲
و ج د = (- ۴) × ۵ =
∴ أ ب ج د= -۱۲ - (-۲۰) = -۱۳+۲۰ =۸ . . . . ( ا)
ونیز چون ج = ( - ۴ )    = ١۶
و    د = (۵ )    = ۲۵
∴ ج - د = ١۶- ۲۵    = -٩ . . . . . (ب)
پس بموجب (ا) و (ب) (أ ب ج د) (ج - د) = ۸ × (-٩)= -۷۲
مسئله (۱۵)
قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید:-
(۱) ا ب ج د اگر ا = - ۲ و ب = -۳ و ج = -۸ و د = ۶
(۲) (أ - ب) ج اگر ا = - ۵ و ب = -۶ و ج = -٩
(۳) ا ب ج + ب ج ج د اگر ا = ۳ و ب = -۵ و ج = -۷ و د = -۴
(۴) (-ا) ب ج د + ب (ج ج) اگر ا = ۵ و ب = -۷ و ج = ۴ و د = -۳

--- page 87 ---

۸۲
(۵) {آ+(ب-آ)-(ج-آ)} (ب ج- ا د) اگر آ = -۳ و ب = ۴ و ج = ۶ و د = -۹
(۶) آ (ب- ج) + ب (ج-ا) + ج (ا-ب) اگر ا = -۲ و ب = -۵ و ج = ۷
(۷) لآ(ی-ع) + ی۲(ع-لا) + ع۲(لا-ی) اگر لا = -۳ و ی = ۸ و ع = -۵
(۸) ط(ق-س) + ق(س-ط) س(ط-ق) اگر ط = -۳ و ق = -۵ و س = -۷
(۹) آ + ب۲ + ج۳ - ۳ ا ب ج اگر ا = -۱۲ و ب = -۱۳ و ج = -۱۵
(۱۰) ثابت کنید که (ا + ب)۴ = آ۴ + ۴ آ۳ب + ۱۰آ۲ب۲ + ۴ آ ب۳ + ب۴
اگر ا = -۵ و ب = ۲
ام اثبات این امر که ا * ب = ب * ا ست
(۱) فرض کنید که ا و ب هر دو مثبت میباشند
پس احاد ب را در یک خط عرضی بنویسید و اینقسم سطور را بقدر آحاد ا
باین طریق بنویسید که احاد علی الترتیب در یک سطر عمودی واقع باشد
۱ ۱ ۱ ۱ ۱ . . . . . "تا ب دفعه
۱ ۱ ۱ ۱ ۱ . . . . . " تا ب دفعه
۱ ۱ ۱ ۱ ۱ . . . . . " تا ب دفعه
. . . . . . . . . . 
. . . . . . . . . . الی ا

--- page 88 ---

۸۳

پس ظاهر است که اگر عمل بقرار فوق نموده شود مفهوم آن همانست که آحاد را
در خطوط عرضی ب نوشته شود پس همگی آحاد را که بطریق فوق نوشته شدند شمار کنید
چون تعداد همه سطور عرضی ا است و در هر سطر ب احاد است
لهذا کل تعداد احاد = (تعداد احاد در سطر عرضی اول) + (تعداد احاد در سطر
عرضی دوم) + (تعداد احاد در سطر عرضی سوم) + . . . . . . . . .
(تعداد احاد در سطر عرضی اخیر) که بالف ازان تعبیر شده است = ب
+ ب + ب . . . . تا ا = ا × ب (۱)

و نیز چون تعداد همه قطارهای عمودی ب است و در هر قطار ا احاد هستند
لهذا کل تعداد احاد = (احاد در سطر عمودی اول) + (احاد در سطر عمودی دوم)
+ (احاد در سطر عمودی سوم) . . . . . . . . . + (احاد در سطر عمودی اخیر)
که به ب ازان تعبیر شده است = ا + ا + ا + . . . . تا ب = ب ا (۲)
بنا برین از (۱) و (۲) چنین اخذ میکنیم که ا × ب = ب × ا (۱)
یعنی ب دفعه ا = ا دفعه ب و همچنین در کسور نیز قاعده مذکوره جاری میباشد
نتیجه ا در فقره ۴ ثابت شده است که لا × (-ی) = - (لای) و (-ی)
× لا = - (ی لا) لیکن چون لای = ی لا ∴ لا × (-ی) = (-ی) × لا (ب)

--- page 89 ---

۸۴
نتیجه ۲ در فقره ۴ ثابت شده است که ( - لا ) × ( - ی = + لا ی و ( - ی )
× ( - لا ) = + ی لا لیکن چون لا ی = ی لا ∴ ( - لا ) × ( - ی ) = ( - ی )
× ( - لا )
(ج)
پس از ( ا ) و ( ب ) و ( ج ) ثابت گردید که برای هر قسم
قیمتهای ا و ب ا × ب = ب × ا
مسئله (۱۶)
ثابت کنید که
(۱) ۲ × ۵ = ۵ × ۲
(۲) ۶ = ۳ × ۲
(۳) ۷ × ۵ = ۵ × ۷
(۴) ۴ × ۸ = ۸ × ۴
(۵) ۹ × ۵ = ۵ × ۹
۴۲ اثبات این امر که ( ا ب ) × ج = ا ( ب ج )
= ب × ( ا ج )
ب عدد احاد رج را که هر یک در خط قوسی باشد در سطر عرضی بنویسید
و ا عدد اینچنین سطور را باین طریق بنویسید که هر یک از خطوط قوسی در بر خط
قوسی دیگر علی الترتیب در یک سطر عمودی واقع باشند -

--- page 90 ---

۸۵

[ج] [ج] [ج] [ج] . . الی ب
[ج] [ج] [ج] [ج] . . الی ب
[ج] [ج] [ج] [ج] . . الی ب

پس ظاهر است که در عمل فوق اگر بر جای ج ب نوشته شود و یا بر جای
ا ب یا ج باشد در هر سه صورت مفهوم عمل تغییر نمییابد
پس چون کل تعداد خطوط قوسی ا ب میباشد و نیز چون در هر یک
از خطوط قوسی ج احاد میباشند بنا برین کل تعداد احاد = (ا ب)
x ج . . . . . . . . . . . (۱)
باز چون در یک سطر عرضی ب خطوط قوسی است و در هر یک از
خطوط قوسی ج احاد هستند بنا برین تعداد احاد در یک سطر عرضی
ب ج میباشد و نیز چون کل تعداد سطور عرضی ا هست بنا برین
کل تعداد احاد = ا x (ب ج) میباشد . . . . . . (ب)
باز چون در یک سطر عمودی ا خطوط قوسی است و در هر یک از

--- page 91 ---

٨٦
خطوط قوسی ج احاد است بنابرین تعداد احاد در یک سطر عمودی
ا ب ج میباشد و نیز چون کل تعداد سطور عمودی ب است بنابر
کل تعداد احاد = ب * (ا ب ج) میباشد . . . . . . (ج)
لهذا از (ا) و (ب) و (ج) نتیجه ذیل اخذ میشود:
(ا ب) * ج = ا * (ب ج) = ب * (ا ب ج)
نتیجه از فقره ۴۱ و ۴۲ ظاهر است که ا ب ج = ب ج ا = ج ا ب
پس نتیجه اینست که بهر ترتیب که مضروبات یکعدد نوشته شود در حاصل
ضرب هیچ تفاوت نمیشود
تنبیه اگرچه ترتیب مضروبات بر حاصل ضرب هیچ اثر ندارد
لیکن بهتر اینست که مضروبات بترتیب حروف تهجی علی الترتیب نوشته شود
مثلاً بهتر است که ج * د * ا * ب * آ را بصورت ا ب ج د آ نوشته شود
۴۳ اثبات این امر که آن * ام = آن+م اگر م و ن اعداد
صحیح و مثبت باشند
چون آن = ا *
و ام = ا * ا

--- page 92 ---

۸۶
.۰. ا۲ × ا۳ = (ا ا) × (ا ا ا)
= ا ا ا ا ا     {فقره ۲ م
= ا۵ = ا۲+۳
و نیز چون ا۴ = ا ا ا ا
و ا۶ = ا ا ا ا ا ا
.۰. ا۴ × ا۶ = (ا ا ا ا) × (ا ا ا ا ا ا)
= ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا {فقره ۲ م
= ا۱۰ = ا۴+۶
و بالعموم ام = ا ا ا ا . . . . . تا م
و ان = ا ا ا ا . . . . تا ن
.۰. ام × ان = (ا ا ا ا . . . تا م) × (ا ا ا ا . . . تا ن)
= ا ا ا ا ا ا ا ا ا . . . . تا (م+ن)
= ام+ن
نتیجه ۱ ام × ان× اط = ام+ن+ط اگر م و ن و ط هر یک عدد صحیح و مثبت باشد
و چون ام × ان = ام+ن .۰. ام × ان× اط = ام+ن × اط = ام+ن+ط
نتیجه ۲ (ام) م = ام م اگر م و ن هر دو عدد صحیح و مثبت باشند
زیرا که (ام) م = ام × ام× ام × . . . . . تا ن
= ام+م+م+م
= ام م

--- page 93 ---

۸۸
۴۴ تطبیقات فقرات سابقه
مثال ۱ ثابت کنید که (- ا ب ) ۲ = ا ۲ ب ۲
(- ا ب)۲ = (- ا ب ) (- ا ب )
= ( ا ب ) ( ا ب )  { فقره ۴۰
= ا × ب × ا × ب  { فقره ۴۲
= ا × ا × ب × ب  { نتیجه فقره ۴۲
= ( ا ا ) × ( ب ب )  { فقره ۴۲
= ا ۲ ب ۲  { فقره ۴۳
مثال ۲ ضرب کنید: - ۵ ا ۲ ب را در ۴ ا ۳ ب ۳ (- ۵ ا ۲ ب)
× (۴ ا ۳ ب ۳ ) = - { ( ۵ ا ۲ ب ) × ( ۴ ا ۳ ب ۳ ) }  { فقره ۴۰
= - { ۵ ا ۲ × ب × ۴ × ا ۳ × ب ۳ }  { فقره ۴۲
= - { ۵ × ۴ × ا ۲ × ا ۳ × ب × ب ۳ }  { نتیجه فقره ۴۲
= - { ۲۰ × ( ا ۲ ا ۳ ) × ( ب ب ۳ ) }  { فقره ۴۲
= - ۲۰ ا ۵ ب ۴
مثال ۳ جملهای ذیل را مختصر کنید :-
( - ۲ لا ۳ ی ۵ ع۴ ) × ( ۴ لا ی ۴ ع ۵ ) × ( - ۶ لا ی ۲ ع ۳ )
( - ۲ لا ۳ ی ۵ ع۴ ) × ( ۴ لا ی ۴ ع ۵ ) = - { ( ۲ لا ۳ ی ۵ ع۴ ) × ( ۴ لا ی ۴ ع ۵ ) }
= - { ۲ × لا ۳ ی ۵ × ع۴ × ۴ × لا × ی ۴ × ع ۵ }

--- page 94 ---

۸۹

{۴×۲ لا × لا × ی × ی × ع × ع} = -
{(لا×لا) × (ی×ی)×(ع×ع)} × ۸- = -
۸- لا ی ع = -
بنا برین جمله مفروضه = (-۸ لا ی ع ) × (-۶ لا ی ع )
= (۸ لا ی ع ) × (۶ لا ی ع )
= ۸ × لا × ی × ع × ۶ × لا × ی × ع
= ۸×۶ × لا × لا × ی × ی × ع × ع
= ۴۸ (لا لا) × (ی ی) × (ع ع)
= ۴۸ لا ی ع
مسئله (۱۷)
ثابت کنید که:-
(۱) (ا-) × (۳ب) = -۳ ا ب (۲) (۲ا) × (-۴ب) = -۸ ا ب
(۳) (-۳ ا) × (-۶ ا) = ۱۸ ا (۴) (-۴ب) × (-۱۵) = ۲۰ ب
(۵) (-۷ج) × (-۳ ا ب) = ۲۱ ا ب ج (۶) ۱۰ × ۲۵ = ۳۵ × ۱۲
(۷) ۱۵ × ۷۵ = ۵ × ۳ (۸) (-ا) = -ا
(۹) (ا ب) = ا ب (۱۰) (-ا ب) = - ا ب
(۱۱) (- ا ب) = ا ب (۱۲) (-لا) = - لا
(۱۳) (-لا ی) = - لا ی

--- page 95 ---

۹۰
ضرب کنید :-
(۱۴) ۶ لآی را در ۷ لآی (۱۵) - ۳ لآی را در ۸ لآی
(۱۶) - ۵ لآی را در - ۸ لآی (۱۷) - ۱۲ لآی ۶ را در ۳ لآی ۶
(۱۸) - ۴ لآی ۶ را در - ۱۰ لآی ۶
مختصر کنید :-
(۱۹) (- ۳ ا ب) × (۴ ا ب) × (- ۲ ا ب)
(۲۰) (- ۲ ا) × (- ۷ ا ب) × (- ۵ ا ب)
(۲۱) (- ۶ لآی ۶) × (۲ ۶ لآی) × (- ۴ ی ۶ لا)
(۲۲) (- ۳ لآی) × (۴ ۶ ی لا) × (- لآ ۶ ی) × (۲ ۶ لا ی)
۴۵ حاصل ضرب جملہای مفرد دائماً بقرار فقرات سابقہ معلوم میشود
لیکن در حل اکثر سوالات مغلق چنان ضرورت می افتد که عمل ضرب
در ذہن کرده شود - لہذا برای افاده و مشق طلبہ چند مثال در با
اینچنین عمل ذہنی در ذیل مندرج گشتہ :-
مثال ۱ حاصل ضرب ۳ لا و - ۵ لای بنویسید
۳ لا × (- ۵ لای) = - ۱۵ لآی
مثال ۲ حاصل ضرب - ۵ ا ب و - ۸ ا ب را بنویسید
(- ۵ ا ب) × (- ۸ ا ب) = ۴۰ ا ب

--- page 96 ---

۹۱
مسئله (۱۸)
حاصل ضرب جملهای ذیل را بنویسید:-
(۱) ۲ آ در ۵ آ (۲) ۵ آ ب در - ۴ ا ب
(۳) - ۳ م ن در - ۷ ن م (۴) ۳ لآی در - ۶ لای
(۵) - آب در - ۳ آ ب (۶) ۵ م ن در - ۸ م ن
(۷) - ۱۰ لای ع در - ۵ لای ع (۸) م۲ در - ۶ لای ع
(۹) - ۶ لآی ع در ۸ لآی ء (۱۰) - ۵ آ ب ج در - ۵ آ ب ج
(۱۱) ۳ لآی ع در - ۸ لای ع (۱۲) - ۴ ا ب لای در + ۸ آلاب ی
(۱۳) - ۷ آب ع در - ۵ ا ب ع (۱۴) ۵ آلای در - ۱۲ لآی ا
(۱۵) - ۴ الای در - ۵ لآی ع (۱۶) ۲ ا ب ج در - ۹ آ ب ج
(۱۷) - ۷ آلای در - ۹ لآی ا (۱۸) - ۸ لآی ع در - ۲۰ ی ع لا
(۱۹) - ۱۳ ا ب ج در - ۵ ب ج ا
(۲۰) - ۷ آلای ع در - ۱۶ ع لا ا ی
۴۶ اثبات این امر که ا(ب+ج) = ا ب + ا ج
اگر ا عدد صحیح و مثبت باشد قیمت عددی ب و ج معین نباشد
ا(ب+ج) = (ب+ج)+(ب+ج)+(ب+ج) ..... تا ا
=(ب+ب+ب....تا ا)(ج+ج+ج).....تا ا
=ا ب+ا ج ............(۱)

--- page 97 ---

۹۲

اگر ا عدد صحیح ومنفی باشد مثلاً ا = -لا باشد
پس (-لا)(ب+ج) = -[لا(ب + ج)]
= -(لاب + لاج)
= -لاب - لاج
= (-لا)ب + (-لا)ج
پس برای هر قیمت منفی ا لازم است که ا(ب+ج) = اب+اج
نتیجه ۱ بر عکس فوق اب + اج = ا(ب+ج)
و همچنین لای ا+لای ب= لای (ا+ب)
نتیجه ۲ چون ب-ج = ب+(-ج)
ا(ب-ج)= ا[ب+(-ج)]
= اب+ا(-ج)
= اب-اج
و بر عکس آن اب-اج=ا(ب-ج)
لهذا ۳الا-۲امی = ۲ا(لا-می)
نتیجه ۳ ا(ب+ج+د)=ا{ب+(ج+د)}
= اب+ا(ج+د)= اب+اج+اد
و همچنین ا(ب+ج+د+ط+ع+ف . . . . . . .)
= اب+اج+اد+اط+اع . . . . . . .

--- page 98 ---

۹۳

پس هرگاه یک جمله مرکب در یک جمله مفرد ضرب شود حاصل ضرب انها
مساوی مجموع ان حدود میباشد که از حاصل ضرب هر حد جمله مرکب مذکو
در حد جمله مفرد مذکور پیدا میشوند -
وبرعکس ان اب + اج + اد + اط .... = ا ( ب + ج + د + ط .....)
مثال ۱ ۲ اب - ۳ ب را در ۵ اب ضرب کنید -
۵ اب (۲ اب - ۳ ب) = ۵ اب {۲ اب + (-۳ب)}
= ۵ اب × ۲ اب + ۵ اب × (-۳ب)
= ۱۰ اب۲ - ۱۵ اب۲

مثال ۲ آ۲ - ۳ آ + ۵ آ - ۶ آ + ۴ را در -۶ آ ضرب کنید -
(-۶ آ) (آ۲ - ۳ آ + ۵ آ - ۶ آ + ۴)
= (-۶ آ) {آ۲ + (-۳ آ) + ۵ آ + (-۶ آ) + ۴}
= (-۶ آ) (آ۲) + (-۶ آ) (-۳ آ) + (-۶ آ) (۵ آ) + (-۶ آ) (-۶ آ) + (-۶ آ) (۴)
= -۶ آ۳ + ۱۸ آ۲ - ۳۰ آ۲ + ۳۶ آ۲ - ۲۴ آ

تنبیه مبتدی را باید که حل امثله را بطریق فوق بنماید لیکن چون قدری
استعمال بنماید پس اختصار عمل لازم است چنانکه از امثله ذیل ظاهر خواهد
مثال ۳ حاصل ضرب -۴ آ۲ + ۵ آ ب - ۶ آ ب۲ - ۸ ا ب۳ + ۹ ب۴ و -۳ ا۲ ب را سنجی
-۴ آ۲ + ۵ آ ب - ۶ آ ب۲ - ۸ ا ب۳ + ۹ ب۴
- ۳ آ۲ ب
۱۲ آ۴ ب - ۱۵ آ۳ ب۲ + ۱۸ آ۲ ب۳ + ۲۴ آ۲ ب۴ - ۲۷ آ۲ ب۵

--- page 99 ---

۹۴

مثال ۴ مختصر کنید :- ۲ لا (۳ لا - ۲) + ۲ لا (۲ لا + ۳) - (لا ۳) ۶
چون ۲ لا (۳ لا - ۲) = ۶ لا ۲ - ۴ لا
و ۲ لا (۳ لا + ۳) = ۴ لا ۲ + ۶ لا
و ۶ (لا - ۳) = ۶ لا - ۱۸
.·. جمله مفروضه = (۶ لا ۲ - ۴ لا) + (۴ لا ۲ + ۶ لا) - (۶ لا - ۱۸)
= ۶ لا ۲ - ۴ لا + ۴ لا ۲ + ۶ لا - ۶ لا + ۱۸
= ۱۰ لا ۲ + ۱۸
مثال ۵ جملہای ذیل را مختصر کنید: ۳ ۱ (۱ ۲ - ۵) - ۳ ۱ ۲
بر جای (۱ ۲ - ۵) لا را بنویسید وبجای (۱ ۲
.·. ۳ ۱ (۱ ۲ - ۵) - ۳ ۱ (۱ - ۶) = ۳ ۱ لا - ۳ ۱ ی
= ۳ ۱ (لا - ی)
= ۳ ۱ { (۱ ۲ - ۵) - (۱ - ۶) }
= ۳ ۱ (۱ + ۱) = ۳ ۱ ۲ + ۳ ۱
مسئله (۱۹)
ضرب کنید :-
(۱) (۲ ا - ۳ ب) در - ۱ ب (۲) ۱ - ۲ ب + ۳ ج
(۳) ۲ ا ۲ - ۳ ب ۲ ج ۲ در ا ب ج (۴) لا ۲ ی - ۲ لا ی ۲ - ی در - ۳ لای
(۵) - ا ۲ ب + ا ب ۲ - ۳ ا ۲ ب + ۵ ا ۲ در - ۷ ب ۲
(۶) ۲ ا ب - ۳ ب ج + ۴ ا ج - ۵ ا ب ج در - ۸ ا ۲ ب ج

--- page 100 ---

۹۵

حاصل ضرب جملهای ذیل را بنویسید:-
(۷) ۳ أ لا - ۴ الاً + ۵ ۱ لا و - ۲ أ
(۸) - ۲ مً + ۳ مً ن - ۵ م نً و ۴ م ن
(۹) ۵لاً - ۶لأ + ۷لأ - ۸ لا و - ۴ لأ
(۱۰) - ۲ جً د + ۳ دً ج - ۵ ج دً - ۴ جً دً و - ۶ جُ دُ
(۱۱) ۸ أ - ۶ أ ب + ۵ أ بً - ۴ ا بً و - ۲ أ بَ
(۱۲) - أ ب ج + ا بً ج - ا ب جً + أ بً - بً جُ و - أ بً جً
جملهای ذیل را مختصر کنید :-
(۱۳) ۷ لاً (لا - ۲) - ۲ لاً (لا - ۳) - ۸ لاً (۱ - ۲ لا)
(۱۴) - ۵لاً ( لا + ۷ ) - ۷ لاً ( ۳ - ۵لا ) + ۳ لا (۷لا - ۴ ) + ۷ الا
(۱۵) ۹ لاً (لاً - ۲ ی ) + ۵ ی (۳ لاً + یً ) + ۳ یً ( لاً - ۱۰یً)
(۱۶) لاً (لاً + ۲لاً + ۲لا) - ۲ لا ( لاً + ۲لاً + ۲لا) + ۲ (لاً + ۲ لأ + ۲ لا)
(۱۷) اً بَ ( أ بً - ۲ أ بً + ۲ أ ب) + ۲ أ بً ( أ بً - ۲ أ بً +۲ أب)
+ ۲ أ ب ( أ بً - ۲ أ بً + ۲ أ ب)
(۱۸) ۲ أً بَ ( ۲ اً بَ + ۶ اً بَ + ۹ أ بً) - ۶ أ بً ( ۲ أً بَ + ۶ اً بَ + ۹ أ بً)
+ ۹ أ بً ( ۲ اً بَ + ۶ ا بَ + ۹ أ بً)
(۱۹) أً (۲لا - ۳ ی) + أً (۳ لا + ۳ ی) - أً ( ۵لا - ۲ی)
(۲۰) ۲ ا ب ( ۳ أ - ۴ بً) - ۲ ا ب ( ۴ أ - ۳ بً) - ۲ ا ب ( ۳ أ - بً)
(۲۱) لاً (۲لا + ۳ ب لا + ۴ ج لا) - لاً ( لا + ۲ ب لا + ۳ج لا) - لاً (ب لا + ج لا)

--- page 101 ---

٩۶
۴۷ اثبات این امر که (ا + ب) (ج + د) = ا ج
+ ا د + ب ج + ب د
فرض کنند که ج + د = لا
:. (ا + ب) (ج + د) = (ا + ب) لا
= لا (ا + ب)
= لا ا + لا ب ..... [فقره ۴۲
= ا لا + ب لا
= ا (ج + د) + ب (ج + د)
= ا ج + ا د + ب ج + ب د ... [فقره ۴۳
نتیجه ابطریق فوق این هم ثابت شده میتواند که
(ا + ب + ج + د + ۰۰۰۰) (م + ن + ط + ق + ۰۰۰۰)
= ا (م + ن + ط + ق + ۰۰۰۰) + ب (م + ن + ط + ق + ۰۰۰۰)
+ ج (م + ن + ط + ق + ۰۰۰۰) + د (م + ن + ط + ق + ۰۰۰۰) و علی هذا القياس
پس برای معلوم کردن حاصل ضرب یک جمله مرکب در یک جمله
مرکب دیگر قاعده اینست که هر حد جمله اول را در کل حدود جمله دوم ضرب
کرده مجموع جبری همه این حاصل ضربهای جزوی نوشته شود
نتیجه ۲ چون ا - ب = ا + (- ب) و ج - د = ج + (- د)
لہذا (ا - ب) (ج - د) = {ا + (- ب)} {ج + (- د)}
= ا ج + ا (- د) + (- ب) ج + (- ب) (- د)
= ا ج - ا د - ب ج + ب د

--- page 102 ---

۹۷
مثال ۱ ضرب کنید :- ۱۲+۳ب را درم ۱+۵ب
(۱۲+۵ب) (۱۲+۳ب) = (۱۲) (۱۲) + (۱۲) (۳ب) + (۵ب)
(۱۲) + (۵ب) (۳ب)
= ۲ ۱+۱۲اب +۱۰اب + ۱۵اب
= ۲ ۱+۲۲اب + ۱۵اب
مثال ۲ ضرب کنید:- (۳لا-۷ی) را در (۲لا-۵ی)
(۲لا-۵ی) (۳لا-۷ی) = (۲لا) (۳لا) + (۲لا) (-۷ی) + (-۵ی)
(۳لا) + (-۵ی) (-۷لا)
مسئله (۴۰)
ضرب کنید :-
(۱) ۱۲+۳ب را در ۱+ب
(۲) ۲م -۳ن را در م -ن
(۳) ۱+ب+ج را در ۱+ب+ج
(۴) ۱-ب+ج را در ۱-ب+ج
(۵) ۱-ب-ج را در ۱-ب-ج
(۶) ۱-۲ب -۳ج را در ۲ ۱- ب-ج
(۷) ۲لا-۳ی-۴ع را در لا-ی -ع
(۸) -۵لا+۲ ۱-۳ب را در -لا-۱+ب
(۹) لا+ی+ع را در لا-ی -ع
(۱۰) لای+یع+علا را در لای-یع-علا
۴۸ تنظیم جمله جبریه بلحاظ صعود و نزول قوای یک حرف خاص
هرگاه حدود مختلفه یک جمله جبریه که قوتهای مختلفه یک حرف خاص داشته باشند
چنین تنظیم داده شود که اول آن حد نوشته شود که دران قوت انحرف خاص اکبر

--- page 103 ---

۹۸

زیاده تر باشد و قوای ما بعد آنحرف بالتدریج کمتر شده برود و درینصورت
این چنین عمل را تنظیم جمله نظر به قوای متناقصه آن حرف خاص گفته میشود
لیکن اگر تنظیم جمله بر عکس فوق باشد آنرا تنظیم جمله نظر بقولی متزائده
آن حرف گفته میشود-

مثلا جمله منتظمه ۴لا + ۳آلاسی - ۵آلاسی + ۴ولاسی۳ - ۲ ولاس۴ + لاس۵
نظر بقولی ا متناقص و نظر بقولی ی متزائد میباشد
و جمله منتظمه ذیل - ۵آلاسی + لاس۵ + ۴ولاس۴ + ۴لا - ۲ آلاسی + ۳آلای
نظر بقولی لا متناقص میباشد

تنبیه هر گاه ضرب یک جمله در جمله دیگر مطلوب باشد بهتر اینست
که اولاً مضروب و مضروب فیه هر دو را نظر بقولی متزائده یا متناقصه
یک حرف خاص تنظیم داده عمل ضرب نموده شود-
مثال ۱ أ - ب - ا ب را در اب - ب + أ ضرب کنید
مضروب = أ - اب - ب
مضروب فیه = أ + ا ب - ب
حاصل ضرب در أ = أ - أ ب - أ ب
و حاصل ضرب ب = اب + أ ب - أ ب - ا ب

--- page 104 ---

۹۹
وحاصل ضرب -ب = - اً ب + ا ب۲ + ب۳
.: حاصل ضرب = اً۳ - ۳ اً ب + ب۳
تنبیه - تشریح عمل فوق
اولاً مضروب ومضروب فیه نظر بقولی متناقصه تنظیم شده
زیر یکدیگر نوشته وتحت آن یک خط عرضی کشیده شده است بعد
از ان حاصل ضرب هر حد مضروب فیه در کل حدود مضروب اینطور
نوشته شده که حدود مشابهه زیر حدود مشابهه وحدود غیر مشابهه جدا
میباشند و بعد از ضرب حد اخیر مضروب فیه در تحت آن یک خط عرضی
کشیده شده است وبعد از ان همه سطور عمودی جمع شده اند-
مثال ۲ ۳اً۲ - ۳ لا - ۵ الا را در - ۳ لا + ۳ اً + ۵ الا ضرب کنید
اول مضروب ومضروب فیه هر دو را نظر بقولی متزایده لاً تنظیم کنید
پس مضروب = ۳ اً۲ - ۵ ا لا - ۳ لاً
مضروب فیه = ۳ اً + ۵ ا لا - ۳ لاً
۹ اً۳ - ۱۵ اً۲ لا - ۹ اً لاً
+ ۱۵ اً۲ لا - ۲۵ اً لاً - ۱۵ ا لاً۲
- ۹ اً لاً + ۱۵ ا لاً۲ + ۹ لاً۳
حاصل ضرب = ۹ اً۳ - ۳۴ اً لاً + ۹ لاً۳

--- page 105 ---

۱۰۰
مثال ۳ ۲آ۳ب - ۵ ا ب۲ - ا۴ + ۳ آ۲ ب را در۲ آ - ۳ ا۲ب
+۴ ا ب۲ - ۵ ا۳ب ضرب کنند-
اول مضروب و مضروب فیه هر دو را نظر بقولی متناقصه تنظیم کنید
مضروب = - ا۴ + ۲ آ۳ب + ۳ آ۲ب۲ - ۵ ا ب۳
مضروب فیه = ۲ ا۳ - ۳ ا۲ب - ۵ ا ب۲ + ۴ ب۳
- ۲ ا۷ + ۴ ا۶ ب + ۶ ا۵ ب۲ - ۱۰ ا۴ب۳
+ ۳ ا۶ب - ۶ ا۵ب۲ - ۹ ا۴ب۳ + ۱۵ ا۳ب۴
+ ۵ ا۵ب۲ - ۱۰ ا۴ب۳ - ۱۵ ا۳ب۴ + ۲۵ ا۲ب۵
- ۴ ا۴ب۳ + ۸ ا۳ب۴ + ۱۲ ا۲ب۵ - ۲۰ ا ب۶
حاصل ضرب = -۲ ا۷ + ۷ ا۶ب + ۵ ا۵ب۲ - ۳۳ ا۴ب۳ + ۸ ا۳ب۴ + ۳۷ ا۲ب۵ - ۲۰ ا ب۶
تنبیه در مثال فوق مضروب و مضروب فیه هر دو جمله متجانس
درجه چهارم میباشند و حاصل ضرب نیز جمله متجانس درجه هشتم است
و بهمین طریق ثابت شده میتواند که هرگاه مضروب و مضروب فیه هردو
جمله متجانس باشند حاصل ضرب نیز جمله متجانس خواهد بود و درجه حاصل ضرب
مساوی مجموع درجه های مضروب و مضروب فیه خواهد بود-
پس معلوم کردن صحت حاصل ضرب اینچنین جملها بسیار آسانست زیرا که هرگاه
حد غیر متجانس در حاصل ضرب واقع شو ظاهر است که حاصل ضرب نذکور غلط خواه بو

--- page 106 ---

۱۰۱
مثال ۴ ا۴-اب + ب۲ و ا۲+اب + ب۲ وا۲- ا۲ب + ب۲ را با هم ضرب کنید
(۱) ا۲-اب + ب۲
ا۲+ اب + ب۲
ا۴-ا۳ب + ا۲ب۲
ا۳ب - ا۲ب۲+ ا ب۳
+ ا۲ب۲- ا ب۳+ ب۴
+ ا۲ب۲ + ب۴
(۲) ا۴+ ا۲ب۲+ ب۴
ا۲- ا۲ب + ب۲
ا۶+ ا۴ب۲+ ا۲ب۴
- ا۶ب۲ + ا۴ب۴- ا۲ب۶
+ ا۴ب۲ + ا۲ب۴+ ب۶
+ ا۲ب۴ + ب۶
مثال ۵ م لا۳-ن لا - ط را در لا۲+ ط لا - ا ضرب کنید:-
مضروب = م لا۳-ن لا - ط
مضروب فیه = لا۲+ ط لا - ۱
م لا۳-ن لا۳-ط لا۲
+ط م لا۴-ط ن لا۲- ط۲لا
- م لا۳+ن لا+ ط
م لا۵-لا۴(ن- ط م) -لا۳(ط+ ط ن+ م)+لا(ن- ط۲)+ط۲

--- page 107 ---

۱۰۳
تنبیه مجموع سطور عمودی بحکم نتایج فقره ۴ و بموجب قواعد خطوط
قوسی نوشته شده است -
مسئله (۲۱)
ضرب کنید :-
(۱) لا۴ - لا + ۱ را در لا + لا + ۱ (۲) ا - ا ب + ب۲ را در ا + ب
(۳) ا۲ + ا ب + ب را در ا - ب (۴) ا۴ -۲ ا ب + ب۲ را در ا۲+ ۲ ا ب + ب۲
(۵) لا۴ + لا۲ + ۱ را در لا۲ - لا + ۱ (۶) ی۴ - لای۲ + لا۲ را در لا + لای۲ + ی۴
(۷) م۴ - من + ن۲ را در م۲ + ن۲ (۸) ط۴ ق۴ + ط۲ق۲ را در - ق۴ + ط۲
(۹) ۲۵ ب۴ + ۳۰ ا ب + ۹ ا۲ را در ۱۳ - ۵ ب
(۱۰) ا۲ + ۵ ا ب۲ - ۶ ا۲ ب را در ۵ ب۲ + ا۲ + ۶ ا ب
(۱۱) ۱۲ - ۳ ب + ۴ ج را در ۱۲ + ۳ ب - ۴ ج
(۱۲) لا۴ - ۳ لا۲ + ۳ لا - ۱ را در لا۲ + ۳ لا + ۱
(۱۳) ۲ لا۴ + ا۲ + ۳ ا لا + لا۲ + ۲ ا لا را در ا۲ + لا۲ - ۲ ا لا
(۱۴) ا۲ + ۳ ا۲ ب + ب۴ + ۳ ا ب۲ را در ۳ ا ب۲ - ب۲ + ا - ۳ ا۲ ب
(۱۵) لا۴ - ۱۱ + لا۳ - ۴ لا + ۲ لا۲ را در ۳ + لا۲ - ۲ لا
(۱۶) ۱ + ۲ لا + لا۲ + ۲ لا۳ + ۳ لا۴ را در ۱ + لا۲ - ۳ لا
(۱۷) ب۷ + ا ب۶ + ا۲ ب۵ + ا۳ ب۴ را در ا ب۴ - ا۲ ب۳ - ا۳ ب۲ - ا۴ ب۲

--- page 108 ---

۱۰۳
(۱۸) لا- لامی - لاء + ی۲ - می ع + ع را در لا + می + ع
(۱۹) ا + ب ۲ + ج - ب رج - ج ا - ا ب را در ا + ب + ج
(۲۰) ۵ ا ب + ۴ ب۲ + ۲ ا - ۳ ا ب را در ۲ ا ب۲ - ۳ ا ب + ا - ۵ ب۲
جملهای ذیل را با هم ضرب کنید :-
(۲۱) ا + ب و ا - ب و ا ۲ + ب ۲
(۲۲) ا ۲ + ا ب + ب۲ و ا + ب و ا - ب
(۲۳) لا۲ + لا ی۲ + ی۴ و لا۲ + ی۲ و لا۲ - ی۲
(۲۴) ۲ لا۲ + ۳ لا ی + ۵ ی۲ و لا۲ - ۳ لا ی + ۵ ی۲ و لا۴ - لا۲ ی۲ + ی۴
(۲۵) ا ۴ + ا ۲ ب ۲ + ب۴ و ا ۲ + ا ب + ب۲ و ا + ب و ا - ب
ضرب کنید :-
(۲۶) ا لا + ب لا - ج در ط لا - ق
(۲۷) م لا۲ - ن لا - س در ن لا - س
(۲۸) ولا۳ - ب لا + ج در لا۲ - ب لا - ج
(۲۹) ا لا۲ - ب لا + ج لا - د در ب لا - رج لا + د
(۳۰) ط لا ۲ - (ق - س) لا + س در م لا ۲ - ن لا - س
(۳۱) لا + ا و لا + ب و لا + رج را با هم ضرب کنید :-
(۳۲) لا - ا و لا - ب و لا - ج را با هم ضرب کنید :-

--- page 109 ---

۱۰۴
بواسطۀ مساوات اُ×اُ=اُم +ن که در جمیع قیمتهای م و ن صحیح
میباشد مساوات ذیل را ثابت کنند :۔
(۳۳) اُ۳/۱×اُ۳/۲=اُ {اُ۳/۲×اُ۳/۱=اُ۳/۲+۳/۱=اُ۳/۳=اُ۱=اُ}
(۳۴) لا۳/۱×لا۳/۲=لا
(۳۵) اُ۲/۱×اُ۳/۱×اُ۶/۱=اُ [اُ۶/۱×اُ۳/۱×اُ۲/۱=اُ۶/۱+۳/۱+۲/۱=اُ۶/۶=اُ۱=اُ]
(۳۶) اُ۲/۱=(اُ۲)۴/۱
[اُ۲/۱=(اُ۲)۴/۱=اُ۲×۴/۱=اُ۴/۲=اُ۲/۱=اُ۱=اُ.ا.=اُ]
(۳۷) لا۳/۴=(لا۴)۳/۱ (۳۸) ی۵/۴=(ی۴)۵/۱
(۳۹) ء۴/۳=(ء۳)۴/۱ (۴۰) ب۳/۲×ب۲/۳=ب۶/۱۳
(۴۱) ج۵/۱×ج۵/۲×ج۵/۳=ج۵/۶ (۴۲) ی۳/۱×ی۴/۱×ی۵/۱=ی۶۰/۴۷
(۴۳) لا۱/۳×لا۱/۲[لا۱/۲×لا۱/۳=لا۲+۳=لا۵] (۴۴) ی۵/۳×ی۷/۴=ی۳۵/۴۱
(۴۵) ء۵/۶×ء۶/۵=ء۳۰/۶۱ (۴۶) اُ۳/۴=(اُ۴)۳/۱
[اُ۳/۴=(اُ۴)۳/۱=اُ۴×۳/۱=اُ۳/۴=اُ۳/۴=اُ.ا.=اُ۳/۴]
(۴۷) ب۳/۵=(ب۵)۳/۱ (۴۸) ج۵/۴=(ج۴)۵/۱
(۴۹) اُ-۳/۲×اُ-۴/۳=اُ-۱۲/۱۷ (۵۰) لا-۳/۴×لا-۴/۳=لا-۱۲/۲۵

--- page 110 ---

۱۰۵

حاصل ضرب جملهای ذیل را بنویسید:-

(۵۱) -۳ لا در ۲ لا ۴ (۵۲) ۵ ی۴ در - ۴/۵ ی۵

(۵۳) ۲ لای در ۳ لای (۵۴) - ۵ لای در - ۳ لای

(۵۵) ۴ ا ب در - ۳/۴ ا ب (۵۶) ۳/۴ ا ی در - ۵/۴ ا ی

(۵۷) -۴ ا ب ج در ۳ ا ب ج (۵۸) - ۵ لا ی ع در - ۳ لا ی ع

(۵۹) - ۶ ا ب ج در ۵ ا ب ج (۶۰) - ۴/۷ لا ی در - ۱/۲ لا ی

ضرب کنید:-

(۶۱) ۱/۲ + ب در ۱/۳ + ب (۶۲) ۱/۲ - ب در ۱/۳ - ب

(۶۳) ۳ لا - ۴ ی در ۲ لا + ۴ ی (۶۴) ۱/۲ - ا ب + ب در ۱/۲ + ب

(۶۵) لا + لای + ی در لا - ی (۶۶) ۱/۲ - ا ب + ب در ۱/۳ + ا ب + ب

(۶۷) ۲ لا - ۵ لای - ۳ ی در ۲ لا + ۵ لای - ۳ ی

(۶۸) ۱/۴ + ۱/۲ ب + ا ب + ا ب + ا ب + ب در ۱/۲ - ب

(۶۹) لا - لا ی + لا ی - ی در لا + ی

(۷۰) ۱/۲ + ا ب + ا ب + ب در ۱/۲ - ب

(۷۱) لا + ی + ع - لا ی - ی ع - ع لا در لا + ی + ع

--- page 111 ---

١٠٦
(٧٢) آن - ولا + لاً درآ + لاً
(٧٣) آ- ۴ آب+ ۴ أبّ - بً درآ - ٢ آب + بّ
(٧٤) لاً + ٣ لاّ یً + ٢ یً درلاً - ٣ لاّ یً + ٢ یً
(٧٥) ٢ أ + ٣ أ بً - ٥ بً در٢ أ + ١٣ أ بّ + ٥ بّ
(٧٦) ٣ لاّ - ٥ لاً یً + ٢ یً در ٣ لاً + ٥ لاّ یً - ٢ یً
(٧٧) جمله ذیل را نظر بقوای مناقصهٔ لاً تنظیم کنید
٨ لاً أ - ٣ لاّ أ + ٦ لاً أ + ٢ لاّ - ٧ لاً أ - ٥ لاً أ + ۴ لاّ أ
(٧٨) جمله ذیل را نظر بقوای متزایدهٔ آ تنظیم کنید
٥ أ بّ + ٨ أّ بّ - ٣ آ - ٥ أ بّ - ٧ أّ بّ + ٩ أّ بّ + ٢ أ بّ
باب هشتم
۴٩ دساتیریه جبریه یا اشکال جبریه و استعمال آنها
تعریف
نتایج جبریه را که بواسطه علامات وحروف از ان تعبیر میشود دساتیر جبریه
ومراد از دساتیر جبریه چند قواعد عمومیه در باب مقادیر حسابیه وجبریه میباشند
تنبیه چون بیان مفصل این دساتیر جبریه برای حل سوالات

--- page 112 ---

١٠٧
و باقی عملیات جبری نهایت ضروری میباشد بنابرین برای افاده
طلبه آنرا درج نمودیم لیکن طالبعلم میباید که اولا دساتیر آسانرا ذهن نشین خود
بسازد و دساتیر دیگر را که علامات معینه دارد بعد از حصول مشق بخوابد
۵۰ دستور (ا + ب)۲ = ا۲ + ۲ ا ب + ب۲
(ا + ب)۲ = (ا + ب) (ا + ب)
= ا(ا + ب) +ب (ا + ب)
= (ا۲ + ۲ ا ب + ب۲)
یعنی مربع مجموع دو مقدار جبری مساوی مجموع مربع هر یکی از انها
و دو چند حاصل ضرب آنها میباشد -
نتیجه ا۲ + ب۲ = (ا۲ + ۲ ا ب + ب۲) - ۲ ا ب
= (ا + ب)۲ - ۲ ا ب
مثال ۱ مربع ۲ لا + ۳ ی را معلوم کنید -
(۲ لا + ۳ ی)۲ = (۲ لا)۲ + ۲ (۲ لا) (۳ لا) + (۳ ی)۲
= ۴ لا۲ + ۱۲ لا ی + ۹ ی۲
مثال ۲ مربع ۵ لا + ۴ را معلوم کنید -
(۵ لا + ۴)۲ = (۵ لا)۲ + ۲ (۵ لا) (۴) + (۴)۲
= ۲۵ لا۲ + ۴۰ لا + ۱۶

--- page 113 ---

مثال ۳ مربع ۴ آ + ۷ ب را معلوم کنید
(۴ آ + ۷ ب) ۲ = (۴ آ) ۲ + ۲ (۴ آ) (۷ ب) + (۷ ب) ۲
= ۱۶ آ۲ + ۵۶ آ ب + ۴۹ ب ۲
مثال ۴ مربع ا + ب + ج را معلوم کنید
(ا + ب + ج)۲ = {ا + (ب + ج)}۲ (ب + ج را یک حد تصور کنید)
= آ۲ + ۲ ا (ب + ج) + (ب + ج)۲
= آ۲ + ۲ ا ب + ۲ ا ج + ب۲ + ۲ ب ج + ج۲
= ا + ب۲ + ج۲ + ۲ ا ب + ۲ ا ج + ۲ ب ج
مثال ۵ مربع ا + ب + ج + د را معلوم کنید -
(ا + ب + ج + د)۲ = {(ا + ب) + (ج + د)}۲ باز (ا + ب) را یک حد
و (ج + د) را حد دیگر تصور کنید
= (ا + ب)۲ + ۲ (ا + ب) (ج + د) + (ج + د)۲
= ا۲ + ب۲ + ۲ ا ب + ۲ ا ج + ۲ ا د + ۲ ب ج ۲ + ب د + ج۲ + ج د + د۲
= ا۲ + ب۲ + ج۲ + د۲ + ۲ ا ب + ۲ ا ج + ۲ ا د + ۲ ب ج + ۲ ب د + ۲ ج د
مثال ۶ جمله ذیل را مختصر کنید :-
(ا + ب - ج)۲ + ۲ (ا + ب - ج) (ا - ب + ج) + (ا - ب + ج)۲
فرض کنید که (ا + ب - ج) = لا و (ا - ب + ج) = ی
لہذا جمله مفروضه = لا ۲ + ۲ لا ی + ی ۲ = = (لا + ی)۲
= {(ا + ب - ج) + (ا - ب + ج)}۲ = (۲ ا)۲ = ۴ ا۲

--- page 114 ---

۱۰۹
مثال ۷ اگر لا= ۵ اوی = - ۹ باشد قیمت عددی ۹ لا + ۳۰ لای
+ ۲۵ ی۲ را معلوم کنید
جمله مفروضه = (۳ لا)۲ + ۲ (۳ لا) (۵ی) + (۵ی)۲
= (۳ لا + ۵ی)۲
لیکن ۳لا+ ۵ی = ۳لا+ ۵ی = ۳× ۱۵+ ۵ × (-۹)
= ۴۵ - ۴۵ = ۰
.. جمله مفروضه = ۰
مسئله (۳۲)
مربع جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۳لا+ ۴ (۲) ۷ لا + ۸ (۳) ۱+ ۵ب (۴) ۱۲ + ۷ ب
(۵) ۳ لا + ۸ی (۶) ۵ م + ۸ ن (۷) ۱ لا + ۳ب ی (۸) ۴ اب + ج۲
(۹) ۲ أ + ۵ ب۲ (۱۰) ۴ م۲ + ن۲ (۱۱) ۱ + ۲ب + ۳ ج (۱۲) ا ب + ج ب + ج ا
(۱۳) ۲ط + ۳ ق + ۴س (۱۴) لا + ی۲ + ء۲
(۱۵) ۲لا + ۳ ی + ۴ء (۱۶) لا+ ی۲ + ء۲
(۱۷) لا + ی + ۲ أ + ۳ب (۱۸) ۳ أ + ۴ ب + ج + ۲ د
(۱۹) ۲ أ + لا + ۴ ی + ۳ء (۲۰) ۴ م + ۳ ن + ۳ ط + ۲ق
جملهای ذیل را مختصر کنید :-
(۲۱) (لا + ی)۲ + ۲ (لا + ی) (لا - ی) + (لا - ی)۲
(۲۲) (لا - ی + ء) + (ی+ ء - لا)۲ + ۲ (لا - ی + ء) (ی+ ء - لا)

--- page 115 ---

۱۱۰
(۲۳) (۱۲ - ۳ ب + ۴ ج) ۲ + ( ۱۲ + ۳ ب - ۳ ج) ۲ + ۲ ( ۱۲ - ۳ ب + ۴ ج)
( ۱۲ + ۳ ب - ۴ ج )
(۲۴) (۱۵ - ۷ ب) ۲ + (۵ لا - ۷ ب) ( ۹ ب - ۳ و ) + (۹ ب - ۳ و)
(۲۵) (۱۲ لا - ۵ ی - ۶۳) ۲ + (۶ ی + ۶۳ - لا) ۲ + ۲ (۱۲لا - ۵ ی - ۶۳)
(۶ ی + ۶۳ - لا )
قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۲۶) ۴ لا + ۲۸ لا + ۴۹ اگر لا = - ۴
(۲۷) ۲۵ ا + ۲۰ ا ب + ۱۶ ب ۲ اگر ا = - ۱۸ و ب = ۲۳
(۲۸) ۸۱ لا ۲ + ۹۰ لا ی + ۲۵ ی ۲ اگر لا = ۱۵ و ی = - ۲۷
(۲۹) ۱۶ م ۲ + ۵۶ م ن + ۴۹ ن ۲ اگر م = - ۱۳ و ن = ۷
(۳۰) ۶۴ ا + ۱۶ ا ۲ ج + ج ۲ اگر ا = ۶ و ج = - ۸۹
(۳۱) ۸۱ لا + ۱۸ لا ع + ع ۲ اگر لا = ۷ و ع = - ۶۷
(۳۲) ۳۶ ط ۲ + ۱۳۲ ط ق + ۱۲۱ ق ۲ اگر ط = ۱۲ و ق = - ۷
(۳۳) اگر م + ۱ / م = ۴ باشد ثابت کنید که م ۲ + ( ۱ / م ۲) = ۱۴
۵۲ دستور ( ۱ - ب) ۲ = ۱ ۲ - ۲ ا ب + ب ۲
( ا - ب) ۲ = ( ا - ب) ( ا - ب)
= ا (ا - ب) - ب ( ا - ب)
= ا ۲ - ا ب - ب ا + ب ۲

--- page 116 ---

یعنی مربع تفاضل دو مقدار جبری مساوی مجموع مربع هر یکی از مقادی
مذکور ناقص دو چند حاصل ضرب مقادیر مذکور میباشد
نتیجه ۱- ۲(ا+ب) = (ا۲+ ۲اب+ ب۲) + ۲اب = (ا-ب)۲ + ۴اب
نتیجه ۲- چون (ا+ب)۲ = ا۲+ ۲اب+ ب۲ و (ا-ب)۲ = ا۲- ۲اب+ ب۲
لهذا (ا+ب)۲ = (ا-ب)۲ + ۴اب
و (ا-ب)۲ = (ا+ب)۲ - ۴اب
مثال ۱ مربع (۳ا - ۴ب) را معلوم کنید.
(۳ا - ۴ب)۲ = (۳ا)۲ - ۲(۳ا)(۴ب) + (۴ب)۲
= ۹ا۲ - ۲۴اب + ۱۶ب۲
مثال ۲ مربع لا - ی - ۶ را معلوم کنید.
(لا - ی - ۶)۲ = {لا - (ی + ۶)}۲
= لا۲ - ۲لا(ی + ۶) + (ی + ۶)۲
= لا۲ - ۲لای - ۱۲لا + ی۲ + ۱۲ی + ۳۶
= لا۲ + ی۲ + ۳۶ - ۲لای - ۱۲لا + ۱۲ی
مثال ۳ مربع (۲لا - ۳ی - ۴۶) را معلوم کنید
(۲لا - ۳ی - ۴۶)۲ = {۲لا - (۳ی + ۴۶)}۲
= (۲لا)۲ - ۲(۲لا)(۳ی + ۴۶) + (۳ی + ۴۶)۲
= ۴لا۲ - ۱۲لای - ۱۶لا + ۹ی۲ + ۲۴ی + ۱۶۶۲
= ۴لا۲ + ۹ی۲ + ۱۶۶۲ - ۱۲لای - ۱۶لا + ۲۴ی

--- page 117 ---

۱۱۲
مثال ۴ مربع (ا - ب - ج + د) را معلوم کنید :-
(ا - ب - ج + د) ۲ = { (ا - ب) - (ج - د) }۲
= (ا - ب) ۲ - ۲ (ا - ب) (ج - د) + (ج - د) ۲
= (ا۲ - ۲ ا ب + ب۲) - ۲ (ا ج - ا د - ب ج + ب د)
+ (ج۲ - ۲ ج د + د۲)
= ا۲ - ۲ ا ب + ب۲ - ۲ ا ج + ۲ ا د + ۲ ب ج
- ۲ ب د + ج۲ - ۲ ج د + د۲
= ا۲ + ب۲ + ج۲ + د۲ - ۲ ا ب - ۲ ا ج + ۲ ا د + ۲ ب ج
- ۲ ب د - ۲ ج د
مثال ۵ جمله ذیل را مختصر کنید :-
(ا لا - ب ی + ج ء) ۲ + (ا لا - ب ی - ج ء) ۲ - ۲ (ا لا - ب ی + ج ء)
(ا لا - ب ی - ج ء)
فرض کنید که (ا لا - ب ی + ج ء) = م
(ا لا - ب ی - ج ء) = ن
.: جمله مفروضه = م۲ + ن۲ - ۲ م ن
= (م - ن)۲
= { (ا لا - ب ی + ج ء) - (ا لا - ب ی - ج ء) }۲
= (۲ ج ء) ۲ = ۴ ج۲ ء۲

--- page 118 ---

۱۱۳

مثال ۶ قیمت جمله ذیل را معلوم کنید :-
۹ اَ - ۴۸ اب + ۶۴ ب۲ اگر ا = ۱۵ و ب = ۶
جمله مفروضه = (۱۳)۲ - ۲ (۱۳) (۸ ب) + (۸ ب)۲
= ( ۱۳ - ۸ ب )۲
= ( ۴۸ - ۴۵ )۲
= ( - ۳ )۲ = ۹

مسئله ( ۲۳ )
مربع جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۱۲ا - ۷ (۲) ۸ لا - ۵ (۳) ۱۱ا - ب ی
(۴) - ۵ لا - ۳ی (۵) ۴ م - ۸ ن (۶) - ا ب - ج د
(۷) اَ ب ۲ ج۲ د (۸) ل۲ - ۲ ی ۶ (۹) - م ن ط - ق س
(۱۰) ۲ اَ - ۵ ب۲ (۱۱) ۱ - ۲ ب ۳ ج (۱۲) ۳ لا - ۳ ی - ۴ ۶
(۱۳) ۳ م - ۴ ن - ۵ ق (۱۴) اَ۲ - ۳ ب۲ - ۵ ج۲ (۱۵) لا - ی - ۱ - ب
(۱۶) ۱ - ۲لا - ۳ ب - ۴ی (۱۷) ۹۰ - ۱ (۱۸) ۱۲۰ - ۳
(۱۹) ۵۰۰ - ۲ (۲۰) ۱۰۰۰ - ۷
جملهای ذیل را مختصر کنید :-
(۲۱) ( ۱ + ۳ ب )۲ - ۲ ( ۱ + ۳ ب ) ( ۱ - ۳ ب ) + ( ۱ - ۳ ب )۲
(۲۲) ( ۱۲ - ۴ ب + ۵ ج )۲ + ( ۱۲ + ۴ ب + ۵ ج )۲ - ۲ ( ۱۲ - ۴ ب + ۵ ج )
( ۱۲ + ۴ ب + ۵ ج )

--- page 119 ---

۱۱۴

(۲۳) (۱۳+۵ب+۴ج)۲+(۴ج-۲ا+۵ب)۲-۲(۱۳+۵ب+۴ج)
(۴ج-۲ا+۵ب)
(۲۴) (۲لا۲-ی۲-۵ع۲)۲-۲(۲لا۲-ی۲-۵ع۲) (۶ع۲+۲لا۲-ی۲)
+(۶ع۲+۲لا۲-ی۲)۲
(۲۵) (اب-ب ج+ج ا)۲+(اب+۲ب ج+۲ج ا)۲-۲(اب-ب ج+ج ا)
(اب+۲ب ج+۲ج ا)
قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید:-
(۲۶) ۳ب ا-۱۲اب ج+۳۶ج۲ اگر ا=۲ و ب=۷ و ج=۵
(۲۷) لای۲-۲۴لایع+۱۴۴ع۲ اگر لا=۷ و ی=۹ و ع=۶
(۲۸) ۲۵(لا+ی)۲+۶۰-۱۰ع(لا+ی) اگر لا=۲۷ و ی=-۲۳ و ع=۲۹
(۲۹) وج۲-۲بج (ا+ب)+۴۹(ا+ب)۲ اگر ا=-۳۷ و ب=۵۷ و ج=۴۵
(۳۰) ۶۴(۷ط-۵ق)۲-۹۶(۷ط-۵ق)س+۳۶س۲
اگر ط=۲۸ و ق=۳۲ و س=۴۶
(۳۱) اگر ج-۱/۲ج=۴ باشد پس ثابت کنید که ج۲+(۱/۲ج)۲=۱۸
۵۲ (ا+ب)(ا-ب)=ا۲-ب۲
(ا+ب)(ا-ب)=ا(ا-ب)+ب(ا-ب)
=ا۲-ب۲
یعنی حاصل ضرب مجموع و تفاضل دو مقدار جبری مساوی تفاضل مربع مقادیر مذکور
و نیز برعکس ان چون ا۲-ب۲=(ا+ب)(ا-ب) میباشد بنابرین هرگاه
یک جمله شکل ا۲-ب۲ را داشته باشد مضروبات آنرا معلوم کرده میتوانیم

--- page 120 ---

۱۱۵
مثال ١ ۳ لا + ۵ی و ۳لا - ۵ی را باهم ضرب کنید-
(۳لا+۵ی) (۳لا -۵ی)= (۳لا)٢ - (۵ی)٢
= ۹لا٢ - ۲۵ی٢
مثال ٢  آ + ب ج و آ - ب + ج را با هم ضرب کنید-
(آ+ ب ج) (آ- ب +ج)= {آ+(ب ج)}{آ-(ب - ج)}
= آ٢ - (ب- ج)٢
= آ٢ - (ب٢- ٢ب ج+ج٢)
= آ٢- ب٢ + ۲ب ج - ج٢
مثال ۳ لآ + لای + ی٢ ولآ - لای + ی٢ را با هم ضرب کنید-
(لآ+ لای + ی٢)(لآ- لای+ی٢)={لآ+ی٢)+ لای} { (لآ+ی٢) - لای }
= (لآ +ی٢)٢ - لآی٢
=لآ٢ + ٢لآی٢ + ی۴- لآی٢
=لآ٢ + لآی٢ + ی۴
مثال ۴ جمله ذیل را مختصر کنید(آ٢ + اب + ب٢)٢ - (آ٢ - اب + ب٢)٢
جمله مفروضه = {(آ٢+ ا ب + ب٢) + (آ٢- ا ب + ب٢)}{ (آ٢+ ا ب + ب٢)
- (آ٢- ا ب + ب٢)}
= (٢ آ٢ + ٢ب٢)(٢ ا ب)
=۴ اب (آ٢ + ب٢)

--- page 121 ---

١١٦

مثال ۵ قیمت (۹۷۲۶۸۵۴ - ۹۷۲۶۸۴۹) را معلوم کنید
جمله مفروضه = (۹۷۲۶۸۵۴ + ۹۷۲۶۸۴۹) (۹۷۲۶۸۵۴ - ۹۷۲۶۸۴۹)
= ۱۹۴۵۳۷۰۳ × ۵
= ۹۷۲۶۸۵۱۵

مثال ۶ مضروبات جمله ذیل را معلوم کنید :-
(ا + ب)۲ - (ج - د)۲
جمله فوق = { (ا + ب) + (ج - د) } { (ا + ب) - (ج - د) }
= (ا + ب + ج - د) (ا + ب - ج + د)

مثال ۷ ۱۶ ا۴ - ۸۱ لا۴ را بمضروبات تفریق کنید
جمله فوق = (۴ ا۲)۲ - (۹ لا۲)۲
= (۴ ا۲ + ۹ لا۲) (۴ ا۲ - ۹ لا۲)
و چون ۴ ا۲ - ۹ لا۲ = (۲ ا)۲ - (۳ لا)۲
= (۲ ا + ۳ لا) (۲ ا - ۳ لا)
∴ جمله مفروضه = (۴ ا۲ + ۹ لا۲) (۲ ا + ۳ لا) (۲ ا - ۳ لا)

مسئله (۴۴)
جملهای ذیل را با هم ضرب کنید :-
(۱) ۷ لا + ب ی و ا لا - ب ی (۲) ۵ لا + ۸ و ۵ لا - ۸
(۳) ج لا + د و ج لا - د (۴) ا ب + ب ج و ا ب - ب ج

--- page 122 ---

(۵) ا + ۳ ب و ۲ ا - ۳ ب (۶) ۴ ا - ۵ ب ۲ و ۴ ا + ۵ ب ۲
(۷) م ۲ - ۳ ن و م ۲ + ۳ ن (۸) ۲ ا ب - ۷ ب ج و ۲ ا ب + ۷ ب ج
(۹) ل ۱ + ۱ و ل ۱ - ۱ و لا ۲ + ۱ (۱۰) ا ۲ + ب ۲ وا ۲ - ب ۲ وا ۲ + ب ۲
(۱۱) ا + ب + ج وا + ب - ج (۱۲) ا + ب + ج وا - ب - ج
(۱۳) م ۲ + م ن + ن ۲ و م ۲ - م ن + ن ۲
(۱۴) ۱ لا + ب ی - ج ء و ۱ لا - ب ی + ج ء
(۱۵) ۱ - ۲ ب + ۳ ج وا + ۲ ب - ۳ ج
(۱۶) لا ۲ - لا + ۱ و لا ۲ + لا + ۱
(۱۷) لا ۳ - لا ۲ + ۱ و لا ۳ + لا ۲ + ۱
(۱۸) لا ۲ + ۲ لا ی + ۲ ی ۲ ولا ۲ - ۲ لا ی + ۲ ی ۲
(۱۹) ا ۳ + ا ب ۲ + ب ۳ وا ۳ - ا ب ۲ + ب ۳
(۲۰) لا ۳ - ۲ لا + ۱ و لا ۳ + ۲ لا + ۱ ولا ۳ + ۲ لا ۲ + ۱
جملہای ذیل را مختصر کنید :-
(۲۱) ( ۱ + ب - ج ۲ ) - ( ۱ - ب + ج ۲ )
(۲۲) ( ۱ - ۲ ب + ۳ ج ۲ ) - ( ۱ + ۲ ب - ۳ ج ۲ )
(۲۳) ( لا ۲ + لا ی + ی ۲ ) - ( لا ۲ - لا ی + ی ۲ )
(۲۴) ( لا + ی - ۱ + ب ۲ ) - ( لا - ی + ۱ - ب ۲ )
(۲۵) ( ۱۲ + ۳ ب - ۵ ج + ۷ د ۲ ) - ( ۱۲ - ۳ ب + ۵ ج - ۷ د ۲ )

--- page 123 ---

۱۱۸

قیمت جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۲۶) ۲۳۴۵ × ۲۳۴۵ - ۲۳۴۳ × ۲۳۴۳
(۲۷) (۵۳۴۹۷)۲ - (۵۳۴۸۷)۲
(۲۸) ۴۹۸۵۶۷ × ۴۹۸۵۶۷ - ۴۹۸۵۶۲ × ۴۹۸۵۶۲
جملهای ذیل را بمضروبات تفریق کنید :-
(۲۹) ۲۵ لا۲ - ۳۶
(۳۰) ۹ وا۲ - ۱۶ ج۲
(۳۱) ۱۶ م۲ - ۴۹ ن۲
(۳۲) ۴ ط۲ - ۸۱ ق۲
(۳۳) آ لا۴ - ۶۴ ب۴
(۳۴) ۳۶ لا۲ - ۱۲۱ ی۲
(۳۵) ۴۹ - ۶۴ د۲
(۳۶) ۴۴۱ ج۲ - ۲۲۵ د۲
(۳۷) (ا + ب)۲ - ج۲
(۳۸) (ا + ۲ ب)۲ - ۲۵ ج۲
(۳۹) ۴ لا۲ - ( ۳ و - ۴ ب)۲
(۴۰) آ۲ - (۲ ب - ۳ ج)۲
(۴۱) آ۴ - ۸۱ ب۴
(۴۲) (لا - ی)۲ - (ا - ب)۲
(۴۳) ۸۱ لا۲ - ۶۲۵ ی۴
(۴۴) (۲ و - ۵ لا)۲ - ۳۶ لا۲
(۴۵) ۲۵ لا۲ - (۴ لا + ا)۲
(۴۶) (۴ و + ۷ ب)۲ - (۳ و - ۸ ب)۲
(۴۷) (۳ لا + ۵ ی)۲ - (۲ لا - ۷ ی)۲
(۴۸) (ا + ۲ ب - ۳ ج)۲ - (ا + ب - ج)۲
(۴۹) (۲ م + ۳ ن - ۵ ط)۲ - (۲ ن + ۳ ط)۲
(۵۰) (۳ لا - ۴ ی + ۶ ط)۲ - (۲ لا - ۳ ی + ۵ ط)۲

--- page 124 ---

۱۱۹
۵۳ دستور (ا + ب) ۳ = ا۳ + ۳ ا ۲ ب + ۳ ا ب ۲ + ب ۳
یا = ا۳ + ب۳ + ۳ ا ب ( ا + ب )
( ا + ب )۳ = ( ا + ب ) ( ا + ب )۲
= ( ا + ب ) ( ا۲ + ۲ا ب + ب۲)
= ا ( ا۲ + ۲ ا ب + ب۲ ) + ب ( ا۲ + ۲ ا ب + ب۲)
= ا۳ + ۳ ا۲ب + ۳ اب۲ + ب۳
و نیز = ا۳ + ۳ ا ب ( ا + ب ) + ب۳
= ا۳ + ب۳ + ۳ ا ب ( ا + ب )
نتیجه ا۳ + ب۳ = { ا۳ + ب۳ + ۳ ا ب ( ا + ب ) } - ۳ ا ب ( ا + ب)
= (ا + ب )۳ - ۳ ا ب ( ا + ب )
مثال ۱ کعب ( ۳ ا + ۵ ب ) را معلوم کنید
( ۳ ا + ۵ ب) ۳= (۳ ا) ۳ + ۳ ( ۳ ا) ۲ (۵ ب) + ۳ (۳ ا) (۵ ب) ۲ + ( ۵ ب )۳
= ۲۷ ا۳ + ۳(۹ ا۲) ( ۵ ب ) + ۳ ( ۳ ا ) ( ۲۵ ب۲ ) + ۱۲۵ ب۳
= ۲۷ ا۳ + ۱۳۵ ا۲ب + ۲۲۵ ا ب۲ + ۱۲۵ ب۳
مثال ۲ مختصر کنید :- (لا - ی)۳ + ( لا + ی)۳ + ۳
(لا - ی) ۲ (لا + ی) + ۳ (لا + ی)۲ (لا - ی)
فرض کنید که ا = لا - ی و ب = لا + ی
:. جمله مضروب = ا۳ + ب۳ + ۳ ا۲ب + ۳ ب۲ ا
= ا۳ + ۳ ا۲ب + ۳ ب۲ ا + ب۳
و ∴ = ( ا + ب )۳
= { (لا - ی) + (لا + ی) }۳
= ( ۲لا )۳ = ۸ لا۳

--- page 125 ---

۱۲۰
مثال ۳ اگر ا+ ب = ۵ و ا ب = ۶ باشد قیمت عددی آ+ بّ را معلوم کنید
آ + ب = (ا + ب) ۳ – ۳ ا ب (ا + ب)
∴ بقرار شرط سوال = (۵) ۳ – ۳ × ۶ × ۵
= ۱۳۵ – ۹۰ = ۴۵
مثال ۴ اگر لا + = ط باشد ثابت کنید که لآ + (  ) = ط۳ - ۳ ط
چون آ + ب = (ا + ب)۳ – ۳ ا ب (ا + ب)
∴ لا + = (لا +  )۳ – ۳ لا ×  (لا +  )
= (لا +  )۳ – ۳ (لا +  )
پس قیمت مطلوب = ط۳ - ۳ ط
مثال ۵ مکعب ط + ق + س را معلوم کنید :-
(ط + ق + س)۳ = {(ط + ق) + س}۳
= (ط + ق)۳ + ۳(ط + ق)۲ س + ۳ (ط + ق) س۲ + س۳
= (ط۳ + ۳ ط۲ ق + ۳ ط ق۲ + ق۳) + ۳ (ط۲ + ۲ ط ق + ق۲)
+ ۳ س۲ (ط + ق) + س۳
= ط۳ + ق۳ + س۳ + ۳ ط۲ ق + ۳ ق۲ ط + ۳ ط۲ س + ۳ ق۲ س
+ ۳ ق۲ س + ۳ ق س۲ + ۶ ط ق س
مثال ۶ اگر لا = ۵ و ی = - ۲ باشد قیمت عددی لآ + ۹ لای۲
+ ۲۷ لا ی۲ + ۲۷ ی۳ را معلوم کنید
جملۀ مفروضه = لآ + ۳ لا۲ (۳ ی) + ۳ لا (۳ ی)۲ + (۳ ی)۳
= (لا + ۳ ی)۳ = (۵ - ۶)۳
= (-۱)۳ = -۱

--- page 126 ---

۱۲۱
مسئله (۲۵)
مکعب جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۲ لا + ۱
(۲) ۳ لا + ۵ ی
(۳) ۲ لا + ۳ لو
(۴) آ + ۲ ب
(۵) ۱ ب + ۵ ج
(۶) ۱ + ۲ لا + ب
(۷) ۲ م + ۳ ن + ط
(۸) لای + ی ع + ع لا
جملهای ذیل را مختصر کنید :-
(۹) (۳م + ۵ن)۳ + ۳(۳م + ۵ن)۲ (۲م - ۵ن) + ۳ (۳م + ۵ن)
(۲م - ۵ن)۲ + (۲م - ۱۵ن)۳
(۱۰) (۳ لا - ۸ ی)۳ + (۹ی - ۲لا)۳ + ۳(لا + ی)(۳ لا - ۸ ی)
(۹ی - ۲لا)
(۱۱) (۱۳ - ۷ب)۳ + (۱۰اب - ۱۳)۳ + ۹ ب(۱۳ - ۷ب)(۱۰اب - ۱۳)
(۱۲) (۵لا - ۲)۳ + (۳ - ۴ لا)۳ + ۳(لا + ۱)(۵لا - ۲)(۳ - ۴لا)
(۱۳) (۳ - ۷لا)۳ + (۸ لا - ۱)۳ + ۳(۱ - ۸لا)(۳ - ۷لا)(لا + ۲)
(۱۴) (۱ - ب + ج)۳ + (۱ + ب - ج)۳ + ۶ {۱ - (ب - ج)۲}
قیمت عددی آ۳ + ب۳ را در دو سوال ذیل معلوم کنید :-
(۱۵) اگر ا + ب = ۶ و ا ب = ۷
(۱۶) اگر ا + ب = ۷ و ا ب = ۸
(۱۷) اگر ا + ۱/ا = ۳ باشد ثابت کنید که ا۳ + (۱/ا )۳ = ۱۸
(۱۸) اگر ء + ۱/ء = ۴ باشد قیمت عددی ء۳ + (۱/ء )۳ را معلوم کنید -

--- page 127 ---

۱۲۲
قیمت عددی جملہای ذیل را معلوم کنید
(۱۹) ۶۴ + ۳۸ لا + ۱۲ لا۲ + لا۳ اگر لا = - ۸
(۲۰) ۸م + ۳۶م ن + ۵۴م ن۲ + ۲۷ن۳ اگر م = ۶ و ن = - ۵
(۲۱) لا۳ + ۱۵ لا۲ + ۷۵ لا + ۱۸۹ اگر لا = - ۹
(۲۲) لا۳ + ۱۸ لا۲ + ۱۰۸ لا + ۳۵۱ اگر لا = - ۱۱
(۲۳) اگر لا + ی = ۵ باشد ثابت کنید که لا۳ + ی۳ + ۱۵لای = ۱۲۵
(۲۴) اگر ا + ب = ج باشد ثابت کنید که ا۳ + ب۳ + ۳ا ب ا = ج۳
(۲۵) اگر ط + ق = ۲ باشد ثابت کنید که ط۳ + ق۳ + ۶ ط ق = ۸
۵۴ دستور ( ا - ب)۳ = ا۳ - ۳ا۲ب + ۳ ا ب۲ - ب۳
یا = ا۳ - ب۳ - ۳ ا ب ( ا - ب)
( ا - ب)۳ = ( ا - ب) (ا۲ - ۲ا ب + ب۲) = (ا - ب) (ا - ب)۲
= ا(ا۲ - ۲ا ب + ب۲) - ب(ا۲ - ۲ا ب + ب۲)
= ا۳ - ۳ ا۲ب + ۳ ا ب۲ - ب۳
= ا۳ - ۳ ا ب ( ا - ب) - ب۳
= ا۳ - ب۳ - ۳ ا ب ( ا - ب)
نتیجه ا۳ - ب۳ = { ا۳ - ب۳ - ۳ ا ب ( ا - ب)} + ۳ا ب ( ا - ب)
= ( ا - ب)۳ + ۳ ا ب ( ا - ب)

--- page 128 ---

۱۳۳

مثال ۱ مکعب ۳ لا - ۴ ی را معلوم کنید -

(۳ لا - ۴ ی) ۳= (۳ لا) ۳ - ۳ (۳ لا)۲ (۴ی) + ۳ (۳لا) (۴ی)۲ - (۴ی)۳
= ۲۷ لا ۳ - ۳ (۹لا۲) (۴ی) + ۳ (۳لا) (۱۶ی۲) - ۶۴ ی۳
= ۲۷ لا ۳ - ۱۰۸ لا ۲ ی + ۱۴۴ لا ی ۲ - ۶۴ ی ۳

مثال ۲ مکعب ا - ب - ج را معلوم کنید -

(ا - ب - ج)۳ = {(ا - ب - ج)}۳
= (ا - ب)۳ - ۳ (ا - ب)۲ ج + ۳ (ا - ب) ج۲ - ج ۳
= (ا ۳ - ۳ ا ۲ ب + ۳ ا ب ۲ - ب ۳) - ۳ (ا ۲ - ۲ ا ب + ب ۲)
ج + ۳ (ا - ب) ج ۲ - ج ۳
= ا ۳ - ب ۳ - ج ۳ - ۳ ا ۲ ب + ۳ ا ب ۲ - ۳ ا ۲ ج + ۳ ا ج ۲ - ۳ ب ۲ ج
- ۳ ب ج ۲ + ۶ ا ب ج

مثال ۳ قیمت عددی ۲۷ لا ۳ - ۵۴ لا ۲ + ۳۶ لا - ۶۴ را معلوم کنید
اگر لا = ۴ ۲
جمله مفروضه = (۳ لا) ۳ - ۳ (۹ لا ۲) × ۲ + ۳ (۳ لا) ۴ - ۸ - ۵۶
= (۳ لا - ۲) ۳ - ۵۶
قیمت مطلوب = (۷ - ۲) ۳ - ۱
۵۶ - ۱۲۵ =
۶۹ =

--- page 129 ---

۱۲۴
امثله (۲۶)
مکعب جملہای ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۱-۲ا	(۲) ۲-۳لا	(۳) ۳-۴لا
(۴) ۵م-۴ن	(۵) ۲ط-۵ق	(۶) ۲لا-ی-۶
(۷) ۲م-۳ن-ط	(۸) ل-م-ن
جملہای ذیل را حل کنید :-
(۹) (ا+۲ب)۳-۳(ا+۲ب)۲(ا-۲ب)+۳(ا+۲ب)(ا-۲ب)۲-(ا-۲ب)۳
(۱۰) (۳لا-۸ی)۳-(۳لا-۷ی)۳-۳(۳لا-۸ی) (۳لا-۷ی) (لا-ی)
(۱۱) (۵لا-۸)۳-(۳لا-۸)۳-۶لا(۵لا-۸)(۳لا-۸)
قیمت عددی جملہای ذیل را معلوم کنید :-
(۱۲) م۳-۱۲م۲ن+۴۸من۲-۶۴ن۳	اگرم= ۱۲ ون= ۳
(۱۳) ۲۷ا۳-۱۳۵ا۲+۲۲۵ا -۱۲۵	اگرا= ۴
(۱۴) ۸-۱۹ا+۲۷ا۲-۲۷ا۳	اگرا= ۳
(۱۵) ۲۱۶-۴۴ا لا+۱۰۸لا۲-۲۷لا۳	اگر لا= ۳
(۱۶) اگر ا - ۱/ا = ۳ باشد قیمت عددی ا۳-(۱/ا۳) را معلوم کنید
(۱۷) اگر ج - ۱/ج = ۵ باشد قیمت عددی ج۳-(۱/ج۳) را معلوم کنید
(۱۸) اگر لا- ی = ۳ باشد ثابت کنید که لا۳-ی۳- ۹لا ی = ۲۷
(۱۹) اگر ط-۲ق = ۴ باشد ثابت کنید که ط۳-۸ق۳-۲۴ ط ق= ۶۴
(۲۰) اگر ۲ا-۳ب = ۵ باشد ثابت کنید که ۸ا۳-۲۷ب۳-۹۰ اب= ۱۲۵

--- page 130 ---

۱۲۵
۵۵ دستور (ا + ب) (ا۲ - اب + ب۲) - ا۳+ب۳
[(ا + ب) (ا۲ - اب + ب۲) = ا (ا۲ - اب + ب۲) + ب (ا۲ - اب + ب۲)]
= (ا۳ - ا۲ب + اب۲) + (ا۲ب - اب۲ + ب۳)
= ا۳ + ب۳]
و برعکس آن ا۳ + ب۳ = (ا + ب) (ا۲ - اب + ب۲)
لهذا هر جمله که شکل آن ا۳ + ب۳ باشد بمضروبات تجزیه میشود
مثال ۱ لا۲ - لا + ۱ را در لا + ۱ ضرب کنید
فرض کنید ا = لا و ب = ۱
∴ لا۲ - لا + ۱ = (لا)۲ - لا × ۱ + (۱)۲
= ا۲ - اب + ب۲
پس (لا + ۱) (لا۲ - لا + ۱) = (ا + ب) (ا۲ - اب + ب۲)
= ا۳ + ب۳
= (لا)۳ + (۱)۳ = لا۳ + ۱
مثال ۲ ۹ لا۲ - ۱۲لا + ۱۶ را در ۳ لا + ۴ ضرب کنید
فرض کنید که ا = ۳ لا
و ب = ۴
پس چون ۹ لا۲ - ۱۲لا + ۱۶ = (۳ لا)۲ - (۳ لا) × ۴ + (۴)۲
= ا۲ - اب + ب۲
∴ (۳ لا + ۴) (۹ لا۲ - ۱۲لا + ۱۶) = (ا + ب) (ا۲ - اب + ب۲)
= ا۳ + ب۳
= (۳ لا)۳ + (۴)۳
= ۲۷ لا۳ + ۶۴

--- page 131 ---

۱۳۶
مثال ۳ ۱۶ آ۲- ۲۰ ا ب + ۲۵ ب۲ را در ۴ ا + ۵ ب ضرب کنید
فرض کنید که لا = ۴ ا
وی = ۵ ب
چون ۱۶ آ۲ - ۲۰ اب + ۲۵ ب۲ = (۴ ا)۲ - (۴ ا) (۵ ب) + (۵ ب)۲
= لا۲ - لای + ی۲
لهذا (۴ ا + ۵ ب) (۱۶ آ۲ - ۲۰ ا ب + ۲۵ ب۲)
= (لا + ی) (لا۲ - لای + ی۲)
= لا۳ + ی۳
= (۴ ا)۳ + (۵ ب)۳ = ۶۴ آ۳ + ۱۲۵ ب۳
مثال ۴ آ۳ ب۳ + ۸ ج۳ را بمضروبات تجزیه کنید -
آ۳ ب۳ + ۸ ج۳ = (ا ب)۳ + (۲ ج)۳
= (ا ب + ۲ج) { (ا ب)۲ - (ا ب) (۲ ج) + (۲ ج)۲}
= (ا ب + ۲ج) { آ۲ ب۲ - ۲ ا ب ج + ۴ ج۲}
مسئله (۴۷)
ضرب کنید -
(۱) آ۲ - آ + ۱ را در آ + ۱ (۲) ۴ لا۲ - ۲ لا + ۱ را در ۲ لا + ۱
(۳) ۲۵ م۲ - ۵م + ۱ را در ۵ م + ۱ (۴) ۱۶ آ۲ - ۲۸ لای + ۴۹ ی۲ را در ۴ لا + ۷ی
(۵) ۹ م۲ - ۶ م ن + ۴ ن۲ را در ۳ م + ۸ ن
(۶) آ۲ ب۲ - ۴ ا ب ج + ۱۶ ج۲ را در ا ب + ۴ ج
(۷) آ۲ لا۲ - ۵ ا ب لا + ۲۵ ب۲ را در ا لا + ۵ ب
(۸) ۳۵ آ۲ - ۴۵ ا ب + ۸۱ ب۲ را در ۵ ا + ۹ ب

--- page 132 ---

۱۲۷

جملهای ذیل را بمضروبات تجزیه کنید :-
(۹) لا ۳ + ۸ (۱۰) م ۳ + ۱ (۱۱) م ۳ + ۲۷
(۱۲) ۲۷ لا ۳ + ۱ (۱۳) ی ۳ + ۶۴ (۱۴) ۱۲۵م ۳ + ۱
(۱۵) م ۳ + ۳ م ۲ لا (۱۶) ۶۴ لا ۳ + ۲۷ ی ۳
۵۶ دستور (ا-ب) (ا ۲ + اب + ب ۲) = ا ۳ - ب ۳
(ا-ب) (ا ۲ + اب + ب ۲) = ا(ا ۲ + اب + ب ۲) - ب(ا ۲ + اب + ب ۲)
= ا ۳ + ا ۲ب + ا ب ۲ - ب ا ۲ - ا ب ۲ - ب ۳
= ا ۳ - ب ۳

و برعکس آن ا ۳ - ب ۳ = (ا-ب) (ا ۲ + اب + ب ۲)
لهذا هر جمله که بشکل آن مثل ا ۳-ب ۳ باشد بمضروبات تجزیه شده میتواند-
مثال ۱ ۴ ا ۲ ب ۲ + ۲ ا ب + ۱ را در ۲ ا ب - ۱ ضرب کنید -
(۲ ا ب - ۱) (۴ ا ۲ ب ۲ + ۲ ا ب + ۱)
={(۲ ا ب) - (۱)}{(۲ ا ب) ۲ + (۲ ا ب)×۱ + (۱) ۲}
= (۲ ا ب) ۳ - (۱) ۳
= ۸ ا ۳ ب ۳ - ۱

مثال ۲ ۶۴ لا ۳ - ا ی ۳ را بمضروبات تجزیه کنید
۶۴ لا ۳ - ۲ ی ۳ = (۴ لا) ۳ - (ا ی) ۳
={(۴ لا) - (ا ی)} {(۴ لا) ۲ + (۴ لا) (ا ی) + (ا ی) ۲}
= (۴ لا - ا ی) (۱۶ لا ۲ + ۴ م لا ی + ا ۲ ی ۲)

--- page 133 ---

۱۲۸
مسئله (۲۸)
ضرب کنید :-
(۱) ۱ + ۳ و + ۹ واً را در ۱-۳ و (۲) ۱۶ لا۲ + ۴ لا + ۱ را در ۴ لا-۱
(۳) ۲۵ م۲ + ۱۵ م ن + ۹ ن۲ را در ۵م-۳ن (۴) لا۴ + ۲ لاى ۶ + ۴ ى۱۲ را در لا -۲ى ۶
(۵) ۹ آ۲ + ۳ ا ب ج + ب۲ ج۲ را در ۳ ا - ب ج
بمضروبات تجزیه کنید
(۶) ۲۵ آ۲-۱ (۷) ۴۴۳ لا۲ - ۸ م۲ (۸) ۲۱۶ ک۲ - ۱۲۵ ل۲
(۹) ۱- ۵۱۲ک۳ (۱۰) ۷۲۹ م۲ - ۶۴ تون
۵۷ دستور (لا + ا) (لا + ب) = لا۲ + (ا + ب) لا + ا ب
[(لا + ا) (لا + ب) = لا (لا + ب) + ا (لا + ب)
= لا۲ + (ا + ب) لا + ا ب]
و نیز ظاهر است که (۱) (لا - ا) (لا - ب) = لا۲ - (ا + ب) لا + ا ب
(۲) (لا - ا) (لا + ب) = لا۲ + (ب - ا) لا - ا ب
(۳) (لا + ا) (لا - ب) = لا۲ + (ا - ب) لا - ا ب
پس توضیح دستور فوق بالفاظ ذیل میشود :-
(لا + ا) (لا + ب) = لا۲ + (مجموع جبری ا و ب) + حاصل ضرب ا و ب
مثال ۱ حاصل ضرب لا + ۳ و لا + ۴ را معلوم کنید :-
چون ۳ + ۴ = ۷ {∴ حاصل ضرب مطلوب = لا۲ + ۷ لا + ۱۲
و ۳ × ۴ = ۱۲}

--- page 134 ---

۱۲۹
مثال ٢ لا - ٤ را در لا + ٤ ضرب کنید :-
چون - ٤ + ٤ = - ٣ } .:. حاصل ضرب مطلوب = لا٢ - ٣ لا - ٢٨
و ( - ٤ ) x ٧ = -٢٨ {
مثال ٣ حاصل ضرب لا + ٥ ولا - ٩ را بنویسید :-
چون ٥ - ٩ = - ٤ } .:. حاصل ضرب مطلوب = لا٢ -٤ لا - ٤٥
و ٥ x ( - ٩ ) = -٤٥ {
مثال ٤ حاصل ضرب لا - ٣ ولا + ٤ را بنویسید :-
چون - ٣ + ٤ = ٥ } .:. حاصل ضرب مطلوب = لا٢ + ٥ لا - ١٢
و - ٣ x ٤ = -١٢ {
مثال ٥ حاصل ضرب لا - ٥ ولا - ٨ را بنویسید :-
چون - ٥ - ٨ = - ١٣ } .:. حاصل ضرب مطلوب = لا٢ - ١٣ لا + ٤٠
و ( - ٥ ) x ( - ٨ ) = ٤٠ {
مسئله ( ۳۹ )
حاصل ضرب جملہائے ذیل را بنویسید :-
(١) لا + ٢ در لا + ٨ (٢) لا + ٣ در لا + ٥ (٣) لا + ٦ در لا + ١١
(٤) م + ٤ در م + ٩ (٥) لا - ٦ در لا + ٢ (٦) م - ٢ در م + ٨
(٧) لا - ٣ در لا - ٤ (٨) لا + ٥ در لا - ٣ (٩) لا - ٤ در لا + ٩
(١٠) لا + ٥ در لا - ١٠ (١١) لا - ١٢ در لا + ٥ (١٢) (ک - ١٤) (ک + ٣)
(١٣) ا + ٥ در ا + ١٤ (١٤) م - ١٤ در م + ٦ (١٥) لا - ٥ در لا - ١٣

--- page 135 ---

۱۳۰
(۱۶) لا+۷ درلا +۱۲ (۱۷) ر-۳ درر -۱۱ (۱۸) لا+۴ درلا -۳
(۱۹) م + ۵ درم -۱۲ (۲۰) لا- ۸ درلا -۱۰ (۲۱) ا +۶ در ۱ -۱۲
(۱۳) م-۷ درم + ۱۳ (۲۳) لا- ۱۰ در لا -۱۶ (۲۴) لا+۵ درلا-۱۰
(۲۵) لا-۱۶ درلا+۱۰
۵۸ دستور (لا+۱) (لا+ب) (لا+ج) = لآ+ (ا+ب+ج)
لآ+ (ا ب + اج + ب ج) لا+ ا ب ج
اثبات این دستور بسیار اسانست خود طالب علم این را بطریق ضرب حال نما
و نیز (لا-ا) (لا- ب) (لا- ج)
= لآ- (ا + ب + ج) لآ+ (ا ب + ا ج + ب ج) لا - ا ب ج
و (لا+ ۱) (لا+ ب) (لا- ج)
= لآ+ (ا + ب + ج) لآ+ (ا ب - ا ج - ب ج) لا - ا ب ج
و (لا+ ۱) (لا- ب) (لا- ج)
= لآ+ (ا - ب + ج) لآ- (ا ب + ا ج - ب ج) لا + ا ب ج
تنبیه این نتایج بطریق ضرب نیز حاصل میشود
مثال ۱ حاصل ضرب لا+ ۲ ولا+ ۴ ولا+ ۶ را معلوم نمائید
۱۲ = ۶+۴+۲
۴۴ = ۲۴+۱۲+۸ = ۶x۴+۶x۲+۴x۲
۴۸ = ۶x۴x۲
پس حاصل ضرب مطلوب = لآ+۱۲ لاّ+ ۴۴ لا+ ۴۸

--- page 136 ---

مثال ۲ حاصل ضرب جمله ذیل را بنویسید لا - ۳ ولا - ۵ ولا - ۷
۱۵ - = (۷-) + (۵-) + (۳-)
۷۱ = ۳۵ + ۲۱ + ۱۵ = (۷-)(۵-) + (۷-)(۳-) + (۵-)(۳-)
۱۰۵ - = (۷-)(۵-)(۳-)
پس حاصل ضرب مطلوب = لا۳ - ۱۵ لا۲ + ۷۱ لا - ۱۰۵
مثال ۳ حاصل ضرب جمله ذیل را بنویسید لا - ۴ ولا + ۵ ولا - ۳
۲ - = (۳-) + ۵ + (۴-)
۲۳ - = ۱۵ - ۱۲ + ۲۰ - = (۳-) ۵ + (۳-) (۴-) + ۵ × (۴-)
۶۰ = (۳-) ۵ × (۴-)
پس حاصل ضرب مطلوب = لا۳ - ۲ لا۲ - ۲۳ لا + ۶۰
مثال ۴ حاصل ضرب لا + ۳ ولا + ۵ ولا - ۸ را معلوم کنید
۰ = (۸-) + ۵ + ۳
۴۹ - = ۴۰ - ۲۴ - ۱۵ = (۸-) × ۵ + (۸-) × ۳ + ۵ × ۳
۱۲۰ - = (۸-) × ۵ × ۳
پس حاصل ضرب مطلوب = لا۳ - ۰ لا۲ - ۴۹ لا - ۱۲۰
= لا۳ - ۴۹ لا - ۱۲۰
مسئله ( ۳۰ )
حاصل ضرب جملهای ذیل را بنویسید
(۱) لا + ۱ ولا + ۲ ولا + ۳ (۲) لا + ۲ ولا + ۵ ولا + ۷
(۳) لا + ۳ ولا - ۶ ولا + ۲ (۴) لا + ۴ ولا + ۵ ولا - ۱۰

--- page 137 ---

(۵) لا - ۸ ولا + ۳ ولا + ۱ (۶) لا - ۵ ولا - ۲ ولا + ۸
(۷) لا - ۳ ولا + ۷ ولا - ۴ (۸) لا + ۶ ولا - ۵ ولا - ۷
(۹) لا - ۵ ولا - ۷ ولا - ۱۱ (۱۰) لا - ۳ ولا - ۶ ولا - ۹
(۱۱) لا + ۴ ولا - ۵ ولا - ۱۲ (۱۲) لا + ۵ ولا + ۹ ولا + ۱۱
(۱۳) لا - ۶ ولا + ۸ ولا - ۲ (۱۴) لا - ۳ ولا - ۷ ولا - ۱۳
(۱۵) لا - ۳ ولا + ۱۲ ولا + ۴ (۱۶) لا - ۹ ولا - ۱۰ ولا + ۱۲
(۱۷) لا + ۹ ولا - ۵ ولا - ۷ (۱۸) لا + ۸ ولا + ۱۲ ولا + ۱۵
(۱۹) لا - ۱۴ ولا + ۸ ولا + ۶ (۲۰) لا - ۵ ولا - ۱۰ ولا - ۱۶

۴۹ مربع جملهای ذو حدود کثیره
در مثال چهارم و پنجم فقره ۵۰ ثابت شده است که
(ا + ب + ج)۲ = آ۲+ ب۲ + ج۲ + ۲ ا ب + ۲ ا ج + ۲ ب ج
ونیز (ا + ب + ج + د)۲ = آ۲ + ب۲ + ج۲ + د۲ + ۲ ا ب + ۲ ا ج + ۲ ا د + ۲ ب ج + ۲ ب د + ۲ ج د
پس در هر یک از صورتهای فوق می بینیم که مربع جملهای مذکور
باین طریق حاصل شده است که اولاً مربع هر حد گرفته شده و ثانیاً با آن
مجموع دو چند حاصل ضرب هر حد و هر یکی از ان حدود که بعد از حد
مذکور می آیند علیحده علیحده جمع گشته لهذا نتایج مذکور بصورت ذیل
بخوبی ظاهر میشود :-
(ا + ب + ج)۲ = آ۲ + ب۲ + ج۲ + ۲ ا (ب + ج) + ۲ ب ج
(ا + ب + ج + د)۲ = آ۲ + ب۲ + د۲ + ۲ ا (ب + ج + د) + ۲ ب (ج + د) + ۲ ج د

--- page 138 ---

و همین قاعده در معلوم کردن مربع هر جمله ذوحدود کثیره جاری میباشد
مثلاً فرض کنید که مربع ا + ب + ج + د + ی مطلوب است
(ا + ب + ج + د + ی)٢ = {(ا + ب + ج) + (د + ی)}٢
= (ا + ب + ج)٢ + ٢(ا + ب + ج)(د + ی) + (د + ی)٢
= {ا٢ + ب٢ + ج٢ + ٢ا(ب + ج) + ٢ب ج} + {٢ا(د + ی)
+ ٢ب(د + ی) + ٢ج(د + ی)} + (د٢ + ی٢ + ٢دی)
= ا٢ + ب٢ + ج٢ + د٢ + ی٢ + ٢ا(ب + ج + د + ی) + ٢ب
(ج + د + ی) + ٢ج(د + ی) + ٢دی
پس ظاهر است که مربع یک جمله مرکب مساوی مجموع مربع‌های هر حد جمله مذکور
با دو چند حاصل ضرب هر حد در هر یکی از ان حدودیکه بعد از حد مذکور می‌آیند میباشد
تنبیه چون (ا + ب + ج)٢ = ا٢ + ب٢ + ج٢ + ٢(ا ب + ا ج + ب ج)
پس ٢(ا ب + ا ج + ب ج) = {(ا + ب + ج)٢ + ٢(ا ب + ا ج + ب ج)}
- (ا٢ + ب٢ + ج٢)
= (ا + ب + ج)٢ - (ا٢ + ب٢ + ج٢)
و بهمین طریق (ا٢ + ب٢ + ج٢) = (ا + ب + ج)٢ - ٢(ا ب + ا ج + ب ج)
مثال مربع لا - ی + ء - د را دریافت کنید.
(لا - ی + ء - د)٢ = لا٢ + ی٢ + ء٢ + د٢ + ٢لا(- ی + ء - د) + ٢(- ی)(ء - د) + ٢ء(- د)
= لا٢ + ی٢ + ء٢ + د٢ - ٢لای + ٢لا ء - ٢لاد - ٢ی ء + ٢ی د - ٢ء د

--- page 139 ---

مثال ۲ مربع - ا + ۲ ب - ۳ ج - د را معلوم کنید :-
( - ۱ + ۲ ب - ۳ ج - د) ۲ = آ۲ + ۴ ب۲ + وج۲ + د۲ + ۲ (-۱) (۲ ب - ۳ ج - د)
+ ۲ (۲ ب) (-۳ ج - د) + ۲ (-۳ ج) (-د)
= ا۲ + ۴ ب۲ + ۹ ج۲ + د۲ - ۴ ا ب + ۶ ا ج + ۲ ا د
- ۱۲ اب ج - ۴ ب د + ۶ ج د
مثال ۳ قیمت عددی ۱۲ + ب۲ + ج۲ + ۲ ا ب - ۲ ا ج - ۲ ب ج را دریافت
اگر ا = ۱۹ و ب = ۱۸ و ج = ۳۲
جملہ مفروضہ = ا۲ + ب۲ + ج۲ + ۲ ا (ب - ج) + ۲ ب (-ج)
= (ا + ب - ج) ۲
پس قیم مطلوب = (۱۹ + ۱۸ - ۳۲)۲ = (۵)۲ = ۲۵
مثال ۴ اگر لا = ب + ج و ی + ج - ا و ۶ = ا - ب باشد پس ثابت کنید کیا
لا۲ + ی ۲ + ۶ ۲ - ۲ لا ی - ۲ لا ۶ + ۲ ی ۶ = ۴ ب۲
لا۲ + ی۲ + ۶ ۲ - ۲ لا ی - ۲ لا ۶ + ۲ ی ۶
= لا۲ + ی۲ + ۶ ۲ + ۲ لا (-ی - ۶) + ۲ (-ی) (-۶)
= (لا - ی - ۶)۲
= { (ب + ج) - (ج - ا) - (ا - ب)}۲
= (۲ ب)۲ = ۴ ب۲
مسئله (۳۱)
مربع جملہای ذیل را بنویسید
(۱) لا + ی - ۶ (۲) لا - ی + ۶ (۳) -لا + ی + ۶
(۴) -لا - ی + ۶ (۵) لا - ی - ۶ (۶) ۱ - لا + ی - ۶

--- page 140 ---

۱۳۵

(۷) ۱ - لا - ی - ۶ (۸) م + ن + ط + ق + س (۹) ط - ق + س - لا - ی
(۱۰) - ا + ب + ج + لا - ی (۱۱) ۱ - ۲ لا - ۳ ی - ۴۶ (۱۲) ۱۲ - ب + ۲ ج - د
قیمت عددی جملہ ہائے ذیل را معلوم کنید :-
(۱۳) ل٢ + م٢ + ن٢ - ۳ ل م + ۲ ل ن - ۳ م ن اگر ل = ۷ أو م = ۲۳ ون = ۱۳
(۱۴) ط٢ + ق٢ + س٢ + ۳ ط ق - ۲ ط س - ۲ ق س اگر ط = ۱۶ وق = ۱۲ و س = ۲۵
(۱۵) ا٢ + ب٢ + ج٢ - ۲ ا ب - ۳ ا ج + ۲ ب ج اگر ا = ۲۸ وب = ۱۳ وج = ۱۵
(۱۶) لا٢ + ی٢ + ۱ + ۲ لا ی - ۲ لا - ۲ ی اگر لا = ۶ وی = ۷
(۱۷) لا٢ + ی٢ + لا ی - ۲ لا - ۲ ی + ۳۶ اگر لا = ۲۳ وی = ۱۸
(۱۸) لا٢ + ۴ ی٢ + ۱ - ۴ لا ی - ۲ لا + ۴ ی اگر لا = ۲۶ وی = ۱۲
(۱۹) لا٢ + ۹ ی٢ - ۶ لا ی - ۲ لا + ۶ ی + ۶۴ اگر لا = ۴۹ وی = ۱۶
(۲۰) ۹ لا٢ + ی٢ - ۶ لا ی + ۶ لا - ۲ ی - ۲۴ اگر لا = ۱۴ وی = ۳۸
(۲۱) اگر ا + ب + ج = ۱۲ وا٢ + ب٢ + ج٢ = ۵۰ باشد قیمت عددی ا ب ، ا ج
+ ب ج را معلوم کنید :-
(۲۲) اگر ا + ب + ج = ۱۳ و ا ب + ا ج + ب ج = ۵۰ باشد قیمت عددی
ا٢ + ب٢ + ج٢ را معلوم کنید :-
۶۰ قوتهای مختلفہ جملہ ہاے ذو حدین
بواسطہ عمل ضرب معلوم میکنیم که
( ا + ب )٢ = ا٢ + ۲ ا ب + ب٢
( ا - ب )٢ = ا٢ - ۲ ا ب + ب٢

--- page 141 ---

۱۳۶

(ا + ب)۳ = {ا۳ + ۳ ا۲ب + ۳ ا ب۲ + ب۳}
(ا - ب)۳ = {ا۳ - ۳ ا۲ب + ۳ ا ب۲ - ب۳}
(ا + ب)۴ = {ا۴ + ۴ ا۳ب + ۶ ا۲ب۲ + ۴ ا ب۳ + ب۴}
(ا - ب)۴ = {ا۴ - ۴ ا۳ب + ۶ ا۲ب۲ - ۴ ا ب۳ + ب۴}
(ا + ب)۵ = {ا۵ + ۵ ا۴ب + ۱۰ ا۳ب۲ + ۱۰ ا۲ب۳ + ۵ ا ب۴ + ب۵}
(ا - ب)۵ = {ا۵ - ۵ ا۴ب + ۱۰ ا۳ب۲ - ۱۰ ا۲ب۳ + ۵ ا ب۴ - ب۵}
(ا + ب)۶ = {ا۶ + ۶ ا۵ب + ۱۵ ا۴ب۲ + ۲۰ ا۳ب۳ + ۱۵ ا۲ب۴ + ۶ ا ب۵ + ب۶}
(ا - ب)۶ = {ا۶ - ۶ ا۵ب + ۱۵ ا۴ب۲ - ۲۰ ا۳ب۳ + ۱۵ ا۲ب۴ - ۶ ا ب۵ + ب۶}
تنبیه اگر حاصل ضربهای فوق بخوبی ملاحظه شود معلوم میشود
(۱) کل تعداد حاصل ضرب از قوت نمای جمله ذوحدین بقدر یک زیاد
میباشد مثلاً اگر قوت جمله پنج باشد تعداد حدود شش میباشد واگر
قوت جمله شش باشد تعداد حدود هفت میباشد وعلی ہذا القیاس
(۲) هر قوت ا + ب از همان قوت ا - ب محض اینقدر تفاوت دارد این دو
اول ہمہ اشارات زائد و در صورت دوم نوبت بنوبت زائد و ناقص میباشد
(۳) حد اول ا است وقوت ا بعینه قوت جمله ذوحدین است وحد اخیر ب است
وقوت این نیز همانقدر است مثلاً در (ا - ب)۴ حد اول ا۴ وحد اخیر ب۴ میباشد
و در (ا - ب)۵ حد اول ا۵ است وحد اخیر (- ب۵) وعلی ہذا القیاس

--- page 142 ---

۱۳۷
و نیز در حدود باقیمانده قوت ا ب بقدر یک کم و قوت ب بقدر یک از حد
ماقبل آن زیاده میباشد.
(۴) امثال حد دوم مساوی قوتی جمله ذوحدین است اگر امثال یکحد در قویتنای
آن حد ضرب نمود بران عدد تقسیم شود که مقام حد مذکور را از حد اول ظاهر میکند
پس حاصل مساوی امثال آن حد خواهد بود که بعد از حد مذکور واقع است
مثلاً اگر مثال حد دوم را در قوتنمای آن حد ضرب نموده بر دو تقسیم کنیم حاسل
امثال حد سوم میباشد و نیز اگر امثال حد سوم را در قوینمای آن حد ضرب
نموده برسه تقسیم کنیم حاصل امثال حد چهارم میباشد و علی هذا القیاس
(۵) امثال ان حدودیکه دوری آنها از حد اول و اخیر مساوی باشد با هم مساوی
میباشند بواسطه پنج قاعده مذکوره هر قوتی ذوحدین بدین از عمل ضرب معلوم شود
(باید دانست که در صورتهای فوق هر حاصل را حاصل بسط ذو حدین میگویند
مثال قوت هفتم ا+ ب را معلوم کنید:-
کل تعداد حدد = ۸
و حد اول = اَ
حد دوم = ۷ اَب        } بموجب قاعده (۳) و (۴)
حد سوم = ۶ × ۷ اَب = ۲۱ اَبَ
حد چهارم = ۵ × ۲۱ ۳۵ اب        } نسبت
چون امثال چهار حد باقیمانده از طرف اخیر بموجب قاعده (۵) سما

--- page 143 ---

۱۳۸
که امثال چهار حد اول میباشند بنابراین حد و باقیمانده این حاصل بسط
۳۵ ا۳ ب۴ و۲۱ ا۲ ب۵ و ۷ اب۶ و ب۷ میباشند پس (ا+ب)۷
=ا۷+ ۷ ا۶ ب+ ۲۱ ا۵ ب۲+ ۳۵ ا۴ ب۳+ ۳۵ ا۳ ب۴+ ۲۱ ا۲ ب۵+۷ اب۶+ ب۷
مثال ۲ حاصل بسط (لا-ی)۷ را معلوم کنید :-
کل تعداد حدود درین حاصل بسط = ۹
حد اول = لا۸
حد دوم = ۸ لا۷ ی
حد سوم = ۸×۷÷۲ لا۶ ی۲ = ۲۸ لا۶ ی۲
حد چهارم = - ۲۸×۶÷۳ لا۵ ی۳ = - ۵۶ لا۵ ی۳ بموجب قاعده (۲) و(۳) و(۴)
حد پنجم = ۵۶×۵÷۴ لا۴ ی۴ = ۷۰ لا۴ ی۴
و حدود باقیمانده را بقرار قاعده پنجم بنویسید :-
پس (لا-ی)۸ = لا۸ - ۸ لا۷ ی+ ۲۸ لا۶ ی۲ - ۵۶ لا۵ ی۳+ ۷۰ لا۴ ی۴ - ۵۶ لا۳ ی۵+ ۲۸ لا۲ ی۶
- ۸ لا ی۷+ ی۸
مثال ۳ حاصل بسط (۲لا- ۳ی)۷ را معلوم کنید:-
کل تعداد حدود = ۸
حد اول = (۲لا)۷
حد دوم = - ۷ (۲لا)۶ (۳ی)
حد سوم = ۷×۶÷۲ (۲لا)۵ (۳ی)۲ = ۲۱ (۲لا)۵ (۳ی)۲
حد چهارم = - ۲۱×۵÷۳ (۲لا)۴ (۳ی)۳ = - ۳۵ (۲لا)۴ (۳ی)۳

--- page 144 ---

۱۳۹

و بموجب قاعده پنجم حدود باقیمانده بقرار ذیل میباشد
۳۵ (۲ لا) ۴ (۳ ی) ۴ و - ۲۱ (۲ لا) ۵ (۳ ی) ۲ و ۷ (۲ لا) ۶ (۳ ی) و (- ۳ ی) ۷
پس (۲ لا - ۳ ی) ۷ = (۲ لا) ۷ - ۷ (۲ لا) ۶ (۳ ی) + ۲۱ (۲ لا) ۵ (۳ ی) ۲
- ۳۵ (۲ لا) ۴ (۳ ی) ۳ + ۳۵ (۲ لا) ۳ (۳ ی) ۴ - ۲۱ (۲ لا) ۲ (۳ ی) ۵ + ۷ (۲ لا)
(۳ ی) ۶ - (۳ ی) ۷ = ۱۲۸ لا ۷ - ۱۳۴۴ لا ۶ ی + ۶۰۴۸ لا ۵ ی ۲ - ۱۵۱۲۰ لا ۴ ی ۳
+ ۲۲۶۸۰ لا ۳ ی ۴ - ۲۰۴۱۲ لا ۲ ی ۵ + ۱۰۲۰۶ لا ی ۶ - ۲۱۸۷ ی ۷
مثال ۴ قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید :-
اگر لا = ۲ ۳ = ۱ لا ۶ + ۶ لا ۵ + ۱۵ لا ۴ + ۲۰ لا ۳ + ۱۵ لا ۲ + ۶ لا - ۸
این جمله = (لا ۶ + ۶ لا ۵ + ۱۵ لا ۴ + ۲۰ لا ۳ + ۱۵ لا ۲ + ۶ لا + ۱) - ۹
= (لا + ۱) ۶ - ۹
= (۳) ۶ - ۹
= ۹ - ۹ = ۰

مسئله (۳۲)
حاصل بسط جملهای ذیل را معلوم کنید
(۱) (لا + ۱) ۵ (۲) (لا + ۱) ۶ (۳) (لا + ب) ۴ (۴) (ا + ب) ۶
(۵) (لا - ی) ۴ (۶) (م - ن) ۷ (۷) (لا + ۲) ۳ (۸) (لا + ۲) ۴
(۹) (لا + ۱) ۸ (۱۰) (لا + ۳) ۳ (۱۱) (لا - ۱) ۵ (۱۲) (۲ - ۶) ۲
(۱۳) (۲ لا - ۱) ۴ (۱۴) (لا - ی) ۶ (۱۵) (۳ لا - ۲) ۵ (۱۶) (۱ - لا) ۶
(۱۷) (۱ - ج) ۸ (۱۸) (۱ - ۳ لا) ۳ (۱۹) (۱ - ۲ لا) ۵ (۲۰) (۲ لا - ۱) ۵
(۲۱) (لا - ۱) ۷ (۲۲) (۳ لا - ۲) ۵

--- page 145 ---

۱۴۰
جملهای ذیل را مختصر کنید :-
(۲۳) (لا + ۱)۲ - (لا - ۱)۲ (۲۴) (لا - ۱)۲ + (لا + ۱)۲ (۲۵) (لا + ۱)۲ - (لا - ۱)۲
در حاصل بسط جملهای ذیل مجموع امثال را معلوم کنید
(۲۶) (لا + ۱)۴ (۲۷) (لا + ۱)۹ (۲۸) (لا + ۱)۱۰
(۲۹) (لا + ۱)۱۰ (۳۰) (لا + ۱)۱۶
قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۳۱) لا ۵ + ۵ لا ۴ + ۱۰ لا ۳ + ۱۰ لا ۲ + ۵ لا + ۳۲ اگر لا = - ۲
(۳۲) لا ۶ - ۶ لا ۵ + ۱۵ لا ۴ - ۲۰ لا ۳ + ۱۵ لا ۲ - ۶ لا اگر لا = ۱+۲
(۳۳) ۱۶ لا ۴ - ۳۲ لا ۳ + ۲۴ لا ۲ - ۸ لا - ۸۰ اگر لا = ۲
(۳۴) لا ۴ + ۱۲ لا ۳ + ۵۴ لا ۲ + ۱۰۸ لا + ۸۱ اگر لا = - ۵
(۳۵) لا ۴ + ۸ لا ۳ + ۲۴ لا ۲ + ۳۲ لا - ۶۰۹ اگر لا = - ۷
۶۱ دستور (ا + ب + ج) (ا ۲ + ب ۲ + ج ۲ - ا ب - ا ج - ب ج)
= ا ۳ + ب ۳ + ج ۳ - ۳ ا ب ج
[ ا + ب + ج) ( ا ۲ + ب ۲ + ج ۲ - ا ب - ا ج - ب ج )
= (ا + ب + ج ) { ( ا ۲ + ب ۲ - ا ب) - (ا ج + ب ج) + ج ۲ }
= ( ا + ب + ج ) { ( ا + ب) ۲ - ۳ ا ب - ج ( ا + ب) + ج ۲ }
= (ا + ب + ج ) { (ا + ب) ۲ - ج ( ا + ب) + ج ۲ - ۳ ا ب }
= (ا + ب) ۳ + ج ۳ - ۳ ا ب ( ا + ب + ج)
= ( ا + ب) ۳ - ۳ ا ب (ا + ب) + ج ۳ - ۳ ا ب ج
= ا ۳ + ب ۳ + ج ۳ - ۳ ا ب ج]

--- page 146 ---

۱۴۱
نتیجه برعکس فوق ا۳+ ب۳+ ج۳- ۳ ا ب ج = (ا + ب + ج)
(ا۲+ ب۲+ ج۲- ا ب - ا ج - ب ج) میباشد :-
لهذا هرجمله که این شکل ا۳+ ب۳+ ج۳- ۳ ا ب ج داشته باشد
بمضروبات تفریق میشود -
مثال ۱ لا۳+ ی۳+ ع۳+ لای+ لاع- یع را درلا-ی-ع ضرب کنید
فرض کنید که ا = لا  و ب = - ی  و ج = - ع
پس (لا - ی - ع) (لا۲+ ی۲+ ع۲+ لای + لاع - عی)
= (ا + ب + ج) (ا۲+ ب۲+ ج۲- ا ب - ا ج - ب ج)
= ا۳+ ب۳+ ج۳- ۳ ا ب ج
= لا۳- ی۳- ع۳- ۳ لای ع
مثال ۲ م۳- ن۳+ ۱+ ۳ م ن را بمضروبات تفریق کنید
فرض کنید م = ا  و ب = - ن  و ج = ۱
پس م۳- ن۳+ ۱+ ۳ م ن = ا۳+ ب۳+ ج۳- ۳ ا ب ج
= (ا + ب + ج) (ا۲+ ب۲+ ج۲- ا ب - ا ج - ب ج)
= (م - ن + ۱) (م۲+ ن۲+ ۱+ من - م + ن)
مثال ۳ ثابت کنید که (لا-ی)۳+ (ی-ع)۳+ (ع-لا)۳= ۳(لا-ی)
(ی-ع) (ع-لا)
فرض کنید که لا-ی = ا  و ی - ع = ب  و (ع-لا) = ج
پس ا + ب + ج = (لا - ی) + (ی - ع) + (ع - لا) = ۰

--- page 147 ---

۱۴۲

لهذا {۳(لا-ی)+۳(ی-ع)+۳(ع-لا)} ۳(لا-ی)(ی-ع)(ع-لا)
= ۳ا+ ۳ب+ ۳ج- ۳ ا ب ج
= (ا+ب+ج)( ۲ا+ ۲ب+ ۲ج- ا ب-ا ج-ب ج)
= ۰X( ۲ا+ ۲ب+ ۲ج- ا ب- ا ج-ب ج)
= ۰
∴ ۳(لا-ی)+۳(ی-ع)+۳(ع-لا) = ۳(لا-ی)(ی-ع)(ع-لا)
مسئله (۳۳)

حاصل ضرب جملهای ذیل را بنویسید:-
(۱) ۲لا+ ۲ی+ ۲ع- لای+ لاء+ عی در لا+ی-ع
(۲) ۲ط+ ۲ق+ ۲س+ طق+ طس- ق س در ط- ق-س
(۳) ۴۲لا+ ۹ ۲ی+ ۶۲ع+ لای+ ۲ لاء- ۳ی ع در ۲لا-۳ی-ع
(۴) ۲ا+ ۴ ۲ب+ ۲ا ب- ۳ا+ ۶ ب+ ۹ در ا- ۲ب+ ۳
(۵) ۲۹ا+ ۲۵ ۲ب+ ۱۵ا ب+ ۱۲ا- ۲۰ب+ ۱۶ در ۳ا-۵ب-۴

جملهای ذیل را بمضروبات تفریق کنید:-
(۶) ۲لا+۲ی- ۲ا-۳ لای (۷) ۳لا-۳ی+ ۶ لای+ ۸ (۸) ۳لا-۸ ۳ی- ۲۷ ۳ع-۱۸ لای ع
قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید:-
(۹) ۳لا+ ۳ی+ ۸ الا ی- ۲۱۶ اگر لا+ی = ۶
(۱۰) ۳ا- ۸ ۳ب- ۲۴ ا ب- ۶۴ اگر ا- ۲ب = ۴
(۱۱) ۳(س- ا)+۳(س- ب)+۳(س+ ج)- ۳(س- ا)(س- ب)(س+ ج)
اگر ۳ س = ا+ب+ج

--- page 148 ---

۱۴۳
(۱۲) ثابت کنید که (ا-۲ب)۳+(۲ب-۳ج)۳+(۳ج-ا)۳=۳(ا-۲ب)
(۲ب-۳ج)(۳ج-ا)
(۱۳) ثابت کنید که (لا+ی-۲ع)۳+(ی+ع-۲لا)۳+(ع+لا-۲ی)۳
=۳(لا+ی-۲ع)(ی+ع-۲لا)(ع+لا-۲ی)
(۱۴) ثابت کنید که (ا+۲ب-۳ج)۳+(ب+۲ج-۳ا)۳+(ج+۲ا-۳ب)۳
=۳(ا+۲ب-۳ج)(ب+۲ج-۳ا)(ج+۲ا-۳ب)
(۱۵) ثابت کنید که (۲ط-۵ق+۳س)۳+(۲ق-۵س+۳ط)۳+(۲س-۵ط+۳ق)۳
=۳(۲ط-۵ق+۳س)(۲ق-۵س+۳ط)(۲س-۵ط+۳ق)
۶۲ دستور (ا-ب)(ا-ج)(ب-ج)=ا۲(ب-ج)
+ب۲(ج-ا)+ج۲(ا-ب)
[(ا-ب)(ا-ج)(ب-ج)={ا۲-ا(ب+ج)+ب ج}(ب-ج)
=ا۲(ب-ج)-ا(ب۲-ج۲)+ب ج(ب-ج)
=ا۲(ب-ج)+ب۲(ج-ا)+ج۲(ا-ب)]
نتیجه ۱ بر عکس فوق ا۲(ب-ج)+ب۲(ج-ا)+ج۲(ا-ب)
=(ا-ب)(ا-ج)(ب-ج)
لهذا هر جمله که بشکل ا۲(ب-ج)+ب۲(ج-ا)+ج۲(ا-ب) باشد
بمضروبات تفریق شده میتواند-
نتیجه ۲ چون ا-ج=-(ج-ا)
و(ا-ب)(ا-ج)(ب-ج)=-(ا-ب)(ب-ج)(ج-ا)
لهذا دستور فوق بصورت ا۲(ب-ج)+ب۲(ج-ا)+ج۲(ا-ب)
=-(ا-ب)(ب-ج)(ج-ا) نیز نوشته میشود-

--- page 149 ---

۱۴۴

نتیجه ۳ چون ا۲(ب-ج)+ ب۲(ج-ا)+ج۲(ا-ب)بصورت
اب(ا-ب)+ ب ج(ب-ج)+ج ا(ج-ا)نوشته میتوانیم لهذا
اب(ا-ب)+ ب ج(ب-ج)+ج ا(ج-ا)=-(ا-ب)(ب-ج)(ج-ا)
مثال جمله ذیل را مختصر کنید(ا+۲ب+۳ج)۲(ا-۲ب+ج)
+(ب+۲ج+۳ا)۲(ب-۲ ا)+(ج+۲ا+۳ب)۲(ج-۲ا+ب)
+(ا-۲ب+ج)(ب-۲ج+ا)(ج-۲ا+ب)
فرض کنید که ا+۲ب+۳ج =لا
ب+۲ج+ ۳ا = ی
ج+ ۲ ا + ۳ ب = ۶
∴ ی - ۶ = ا - ۲ ب + ج
۶ - لا = ب - ۲ ج + ا
لا - ی = ج - ۲ ا + ب
پس جمله مفروضه=لا۲(ی-۶)+ی۲(۶-لا)+۶۲(لا-ی)+(ی-۶)(۶-لا)(لا-ی)
=-(ی-۶)(۶-لا)(لا-ی)+(ی-۶)(۶-لا)(لا-ی)=.
مسئله (۳۴)
(۱) ثابت کنید که (لا-۲ی+۶) (۲لا-ی-۶) (ی-۲۶+لا)
= (لا-ی) (ی-۶۲+لا)+(ی-۶) (۶-۲لا+ی)
+(۶-لا) ۲ (لا-۲ی+۶)
(۲) ثابت کنید(ا+ب)۲(ب-ا)+(ب+ج)۲(ج-ب) +(ج+ا)۲
(ا-ج)+(ب-ا)(ج-ب)(ا-ج) = ۰
(۳) مضروبات ۲(ا-ب+ج)۲(ا-ج)+۲(ب-ج+ا)۲(ب-ا)
+۲(ج-ا+ب)۲(ج-ب) را معلوم کنید :-

--- page 150 ---

۱۴۵
(۴) مضروبات - (لا+ی) (ی-لا)+ (س+ع) (ع-س)+(ع+لا) (لا-ع) را معلوم کنید
(۵) جمله ذیل را مختصر کنید ۲ (ا - ب+ج) (ا - ب -ج)+۲ (ب+ج - ا)
(ج - ا) +۲ (ج + ا - ب) (ا - ب)+ ۸(ا - ب)(ب+ج)(ج - ا)
(۶) جمله ذیل را مختصر کنید (ا - ی) (س - ع - (لا - ۲ ی + ع) + (ی-ع)(ع-لا)
(ع- ۲ + لا)+(ع-لا)(لا-ی) (ع-۲ لا+س)+(لا-۲ ی + ع)
(ی - ۲ + لا) (ع - ۲ لا+ی)
امثله متفرقه
مثال اثابت کنید که ۴ ا ب - (ا+ ب - ج)۲
= س (س - ۲ ا) (س - ۲ ب) (س - ۲ج) اگر س = ا + ب+ج
۴ ا ب - (ا+ ب -ج)۲
= {۲ ا ب}۲ - (ا+ ب -ج)۲
= { ۲ ا ب + (ا+ ب - ج)۲} { ۲ ا ب - (ا+ ب - ج)۲}
= {(ا+ ب)۲ - ج۲} { ج۲ - (ا+ ب - ۲ ا ب)۲}
= { ا+ ب)۲ - ج۲} {ج۲ - (ا - ب)۲}
= {(ا+ ب+ج) (ا+ ب -ج)} {ج + (ا - ب) (ج - ا - ب)}
= (ا+ ب + ج) (ا+ ب -ج) (ج + ا - ب) (رج - ا+ ب)
= (ا+ ب+ج) (ا+ ب+ج - ۲ج) (ا+ ب+ج - ۲ب) (ا+ب+ج-۲ ا)
= س (س - ۲ ج) (س - ۲ ب) (س - ۲ ا)

--- page 151 ---

۱۴۶
مثال ۲ اگر س = ا + ب + ج ثابت کنید که (س - ا) (س - ب)
(س - ج) = (ا ب + ا ج + ب ج) (ا + ب + ج) - ا ب ج = (س - ا)
(س - ب) (س - ج)
= س۳ - (ا + ب + ج) س۲ + (ا ب + ا ج + ب ج) س - ا ب ج
= س۳ - س × س۲ + (ا ب + ا ج + ب ج) (ا + ب + ج) - ا ب ج
= (ا ب + ا ج + ب ج) (ا + ب + ج) - ا ب ج
مثال ۳ ثابت کنید که (لا - ی)۲ + (ی - ء)۲ + (ء - لا)۲
= ۲ (لا - ی) (لا - ء) + ۲ (ی - ء) (ی - لا) + ۲ (ء - لا) (ء - ی)
فرض کنید که لا - ی = ا
ی - ء = ب } .: ا + ب + ج = ۰
ء - لا = ج
لهٰذا { (لا - ی)۲ + (ی - ء)۲ + (ء - لا)۲ } - {۲ (لا - ی) (لا - ء)
+ ۲ (ی - ء) (ی - لا) + ۲ (ء - لا) (ء - ی)}
= (ا۲ + ب۲ + ج۲) - {۲ ا (س - ج) + ۲ ب (- ا) + ۲ ج (- ب)}
= ا۲ + ب۲ + ج۲ + ۲ ا ج + ۲ ا ب + ۲ ب ج
= (ا + ب + ج)۲ = ۰
.: (لا - ی)۲ + (ی - ء)۲ + (ء - لا)۲
= ۲ (لا - ی) (لا - ء) + ۲ (ی - ء) (ی - لا) + ۲ (ء - لا) (ء - ی)

--- page 152 ---

۱۴۷

مثال ۴ اگر ۲ س = ا + ب + ج باشد ثابت کنید که (س - ا)^۳
+ (س - ب)^۳ + ۳ (س - ا) (س - ب) ج = ج^۳
چون ج = ۲ س - (ا + ب) = (س - ا) + (س - ب)
.۰. (س - ا)^۳ + (س + ب)^۳ + ۳ (س - ا) (س - ب) ج
= (س - ا)^۳ + (س - ب)^۳ + ۳ (س - ا) (س - ب)
{ (س - ا) + (س - ب) }
= { (س - ا) + (س - ب) }^۳ (بحکم فقره ۵۳)
= ج^۳
مثال ۵ ثابت کنید که (لا - ا) (لا - ب) (ا - ب) + (لا - ب) (لا - ج)
(ب - ج) + (لا - ج) (لا - ا) (ج - ا) = - (ا - ب) (ا - ج) (ب - ج)
فرض کنید که لا - ا = ط } .۰. ط = ا - ب
لا - ب = ق } ق = ب - ج
لا - ج = س } ط - س = ج - ا
لہٰذا (لا - ا) (لا - ب) (ا - ب) + (لا - ب) (لا - ج) (ب - ج)
+ (لا - ج) (لا - ا) (ج - ا)
= ط ق (ق - ط) + ق س (س - ق) + س ط (ط - س)
= - (ق - ط) (س - ق) (ط - س) ... (نتیجه ۳ فقره ۶۲
= - (ا - ب) (ب - ج) (ج - ا)
= (ا - ب) (ب - ج) (ا - ج)

--- page 153 ---

۱۴۸

مثال ٦ (لا+ی+ع)۳-لا۳-ی۳-ع۳=۳(لا+ی)(ی+ع)(ع+لا)
(لا+ی+ع)۳={لا+(ی+ع)}۳
=لا۳+۳لا۲(ی+ع)+۳لا(ی+ع)۲+(ی+ع)۳
=لا۳+۳لا۲(ی+ع)+۳لا(ی+ع)۲+{ی۳+۳ی۲ع+۳یع۲+ع۳}
=لا۳+ی۳+ع۳+۳(ی+ع){لا۲+لا(ی+ع)+یع}
=لا۳+ی۳+ع۳+۳(ی+ع){(لا+ی)(لا+ع)}
=لا۳+ی۳+ع۳+۳(لا+ی)(لا+ع)(ع+ی)
لهذا (لا+ی+ع)۳-لا۳-ی۳-ع۳={لا۳+ی۳+ع۳+۳(لا+ی)(لا+ع)
(ع+ی)}-لا۳-ی۳-ع۳
=۳(لا+ی)(ی+ع)(ع+لا)

مثال ۷ اگر ۲س=ا+ب+ج باشد ثابت کنید که
۲(س-ا)(س-ب)+۲(س-ب)(س-ج)+۲(س-ج)(س-ا)=۲س۲-ا۲-ب۲-ج۲
چون ۲لا+۲ی+۲ع=(لا+ی)+(ی+ع)+(ع+لا)
؞ ۲(س-ا)(س-ب)+۲(س-ب)(س-ج)+۲(س-ج)(س-ا)
={(س-ا)(س-ب)+(س-ب)(س-ج)}+{(س-ب)(س-ج)
+(س-ج)(س-ا)}+{(س-ج)(س-ا)+(س-ا)(س-ب)}
و چون (س-ا)(س-ب)+(س-ب)(س-ج)
=(س-ب){(س-ا)+(س-ج)}
=(س-ب){۲س-ا-ج}
=(س-ب)(ب)

--- page 154 ---

۱۴۹
و همچنین (س - ب)(س - ج) + (س - ج)(س - ا) = (س - ج)(س - ا)
و (س - ج)(س - ا) + (س - ا)(س - ب) = (س - ا)(س - ب)
جمله مفروضه = (س - ب)ب + (س - ج)ج + (س - ا)ا
= س(ا + ب + ج) - ب۲ - ج۲ - ا۲
= ۲س - ا۲ - ب۲ - ج۲
مثال ۸ اگر س = ا + ب + ج باشد ثابت کنید که س(س - ۲ب)
(س - ۲ج) + س(س - ۲ج)(س - ۲ا) + س(س - ۲ا)
(س - ۲ب)
= (س - ۲ا)(س - ۲ب)(س - ۲ج) + ۸ ا ب ج
مجموع دو حد اول جمله مفروضه = س(س - ۲ج){(س - ۲ب) + (س - ۲ا)}
= س(س - ۲ج){۲س - ۲(ا + ب)}
= س(س - ۲ج) × ۲ج
و حد سوم = (س - ۲ج + ۲ج)(س - ۲ا)(س - ۲ب)
= (س - ۲ج)(س - ۲ا)(س - ۲ب) + ۲ج(س - ۲ا)
(س - ۲ب)
پس جمله مفروضه = س(س - ۲ج)۲ج + {(س - ۲ج)(س - ۲ا)(س - ۲ب)}
+ ۲ج(س - ۲ا)(س - ۲ب)
= (س - ۲ا)(س - ۲ب)(س - ۲ج) + ۲ج{س(س - ۲ج)
+ (س - ۲ا)(س - ۲ب)}

--- page 155 ---

۱۵۰
و چون س (س - ۳ ج) + (س - ۳ ا) (س - ۳ ب)
= (س - ۳ ج س) + {س - ۳ س (ا + ب) + ۹ ا ب}
= ۲ س - ۳ س (ا + ب + ج) + ۹ ا ب
= ۲ س - ۳ س × س + ۹ ا ب = ۹ ا ب
.:. جمله مفروضه = (س - ۳ ا) (س - ۳ ب) (س - ۳ ج) + ۸ ا ب ج)
مسئله (۳۵)
(۱) ثابت کنید که (ا + ا لا - لا) (ا - ا لا + لا) = ا - ا لا + ۳ ا لا - لا
(۲) ثابت کنید که (ا - ا لا + لا) (ا لا - ا + لا) = لا - ا لا + ۳ ا لا - ا
(۳) ثابت کنید که (ا + ب + ج) (ا - ب - ج) + (ب + ج - ا)
(ا - ب + ج) = ۴ ب (ا - ب - ج)
(۴) ثابت کنید که ۲ (ا + ب + ج - ا ب - ا ج - ب ج) = (ا - ب)
+ (ب - ج) + (ج - ا)
(۵) ثابت کنید که ۱/۲ (ا + ب + ج) {(ا - ب) + (ب - ج) + (ج - ا)}
= ا + ب + ج - ۳ ا ب ج
(۶) ثابت کنید که (ا + ب) (ا + ج) (ب + ج) = ا (ب + ج) + ب
(ج + ا) + ج (ا + ب) + ۲ ا ب ج
(۷) ثابت کنید که ۳ (لا - لا) + ۳ لا (لا + ۱) = لا (لا + ۱) (۲ لا + ۱)
(۸) ثابت کنید که لا + لا + لا (لا + ۱) (۲ لا + ۱) - ۲ لا (۱ + ا) = لا (لا + ا)
(۹) ثابت کنید که (ا + ب) (ج + د) = (ا ج - ب د) + (ا د + ب ج)

--- page 156 ---

۱۵۱

(۱۰) ثابت کنید که (ا+ ب۲)- ( ج+ د۲)+ (ا+ ج۲)- (ب+ د۲) = ۲
( ا+ ب+ ج+ د) ( ا- د)
(۱۱) ضرب کنید ۹ لآ+ ۴می۲+ ۶ع۲- ۲ی ع - ۳ لاع - ۶ لای را
در ۳ لا+ ۲ی+ ع
(۱۲) ثابت کنید که (ا+ ب+ ج- د) (د- ا- ب+ ج) تج۲-(ا+ ب- د۲)
(۱۳) ثابت کنید که حاصل ضرب (ب+ ج۲)- ا۲ وا۲- ب۲ ج۲+ ۲ب ج
= ۲آب۲+ ۲آج۲+ ۲ب۲ ج۲- ا۴- ب۴- ج۴
(۱۴) جملهای ذیل را باهم ضرب کنید ا+ ب+ ج وا+ ب- ج
وا- ب+ ج وب+ ج- ا
(۱۵) جملهای ذیل را مختصر کنید (ا۲+ ب۲+ ج۲)+ (ا+ ب+ ج)
(ا+ ب+ ج) (ا+ ج- ب) (ب+ ج- ا)
(۱۶) جمله ذیل را مختصر کنید (ا۲+ ب۲+ ج۲)- (ا+ ب+ ج) (ا+ ب+ ج)
(ا+ ج- ب) (ب+ ج- ا)
(۱۷) اگر لا= ا۲- ب ج وی= ب۲- ج ا وع= ج۲- ا ب باشد
ثابت کنید که الا+ ب ی+ ج ع = (ا+ ب+ ج) (لا+ ی+ ع)
(۱۸) اگر لا- ی ع= ا۲ وی۲- ع لا= ب۲ وع۲- لا ی= ج۲ باشد
ثابت کنید که ا۲ لا+ ب۲ ی+ ج۲ ع= (لا+ ی+ ع) (ا۲+ ب۲+ ج۲)
جمله ذیل را مختصر کنید (ا+ ب+ ج۲)-(ا+ ب+ ج۲)+ (ا+ ج- ب۲)
- (ب+ ج- ا۲)

--- page 157 ---

۱۵۲

(۱۹) جمله ذیل را مختصر کنید (۱ + ب ۲ج) - (۱ + ب ۲ج) + (۱ + ج - ب) - (ب ۲ج - ۱)
(۲۰) جمله ذیل را مختصر کنید (أ + ب۲ + ج۲) - (ب۲ + ج۲ - أ) - (أ - ب۲ + ج۲) + (أ + ب۲ -ج۲)
(۲۱) ثابت کنید که (ب ۲ج + د - ۱) (د + ۱ - ب ۲ج) + (ج - د + ۱ + ب)
(ب ۲ج + ۱ - د) = ۴ (۱ د + ب ج)
(۲۲) ثابت کنید که (ب ۲ج + ۱ - د) (ب ۲ج - ۱ + د) = ۲ (۱ د + ب ج)
- (أ - ب۲ + ج۲ + د۲)
(۲۳) ۲(۱ د + ب ۲ج) - (أ - ب۲ + ج۲ + د۲) را بچهار مضرب تفریق کنید.
(۲۴) جملهای ذیل را با هم ضرب کنید أ۳ - أ۲ + ۱ و أ۴ + أ۲ + ۱ و أ۴ - أ۲ + ۱
(۲۵) ضرب کنید أ + ۲ ا ب + ب۲ + ج را در أ - ۲ ا ب + ب۲ + ج
(۲۶) ثابت کنید که (لا - ی + ۶م) + (ی - ۶ + لا) + (۶ - لا + ی) + ۲(لا - ی + ۶م) (ی - ۶ + لا)
+ ۲(ی - ۶ + لا) (۶ - لا + ی) + ۲(۶ - لا + ی) (لا - ی + ۶م) = (لا + ی + ۶م)
(۲۷) (أ - ب) (ب - ج) (ج - ۱) - {أ(ج - ب) - {ج (أ - ب) - ب(أ - ج + أ)} } را
مختصر کنید:-
(۲۸) (أ - ب) (ب - ج) (ج - ۱) - {ب(ب - أ) + ب ج (ج - ب) أ + ج (أ + ج + ۱)} را مختصر کنید
(۲۹) ثابت کنید که (لا - ی)(ب - ج) + (لا - ب)(ج - ۱) + (لا + ج)(۱ - ب)
+ (ب + ج)(ج - ۱)(۱ - ب) = ۰
(۳۰) ثابت کنید که (أ + ب۲ + ج۲) (لأ + ی۲ + ۶۲) - (ل لا + ب ی + ج ۶)۲
= (۱ ی - ب لا)۲ + (ج لا - ۱ ۶)۲ + (ب ۶ - ج ی)۲

--- page 158 ---

۱۵۳
(۳۱) اگر س = ا + ب + ج باشد ثابت کنید که (ا س + س ج) (ب س + ج ا)
(ج س + ب ا) = (ب + ج) (ج + ا) (ا + ب)
(۳۲) ثابت کنید که (ا + ب) (ا + ج) (ب + ج) - ۲ ا ب ج = ا (ب + ج)
+ ب (ج + ا) + ج (ا + ب)
(۳۳) ثابت کنید که (ا + ج) ۳ - (ب + ج) ۳ - ۳ (ا + ج) (ب + ج) (ا - ب) = (ا - ب) ۳
(۳۴) (لا - ۲ ی + ۳ ع) ۲ + (لا + ۲ ی - ۳ ع) ۲ + ۶ لا (لا - ۲ ی + ۳ ع)
(لا + ۲ ی - ۳ ع) را مختصر کنید:-
(۳۵) ثابت کنید که ۴ (ا + ب + ج) ۳ = (ا + ب) ۳ + (ب + ج) ۳ + (ج + ا) ۳
+ ۳ (ا + ب) (ب + ج) + ۳ (ب + ج) (ج + ا) + ۳ (ج + ا) (ا + ب)
(۳۶) ثابت کنید که ۸ (ا + ب + ج) ۳ = (ا + ب) ۳ + (ب + ۳ ج + ا) ۳ + ۶ (ا + ب)
(ب + ۳ ج + ا) (ا + ب + ۲ ج)
(۳۷) ثابت کنید که ۲۷ (ا + ب + ج) ۳ = (ا + ۳ ب + ۳ ج) ۳ + (۲ ا + ج) ۳
+ ۹ (ا + ۳ ب + ۳ ج) (۲ ا + ج) (ا + ب + ج)
(۳۸) ثابت کنید که ۸ (ا + ب + ج) ۳ - (ا + ب) ۳ - (ب + ج) ۳ - (ج + ا) ۳
= ۳ (۲ ا + ب + ج) (ا + ۲ ب + ج) (ا + ب + ۲ ج)
(۳۹) ثابت کنید که ۲۷ (ا + ب + ج) ۳ - (ا + ۲ ب) ۳ - (ب + ۲ ج) ۳ - (ج + ۲ ا) ۳
= ۳ (ا + ۳ ب + ۲ ج) (ب + ۳ ج + ۲ ا) (ج + ۳ ا + ۲ ب)
(۴۰) اگر ۲ س = ا + ب + ج باشد ثابت کنید که ۲ (س - ا) (س - ب) (س + ج)
+ ا (س - ب) (س + ج) + ب (س + ج) (س - ا) + ج (س - ا) (س - ب) = ا ب ج

--- page 159 ---

۱۵۴
(۴۱) اگر س = ا + ب وج باشد ثابت کنید که س (س - ا) (س - ب) + س (س - ا)
(س - ج) + س (س - ۱) (س - ج) + ج (س + ۱) (س + ب) = (س - ۱)
(س + ب) (س + ج)
(۴۲) اگر ۲ س = ا + ب وج باشد ثابت کنید که (س - ا)۳ + (س - ب)۳ + (س - ج)۳
- ۳ (س - ا) (س - ب) (س - ج) = ۱/۲ ( ا۳ + ب۳ + ج۳ - ۳ ا ب وج )
(۴۳) اگر س = ا + ب وج باشد ثابت کنید که (س - ۳ ا)۲ + (س - ۳ ب)۲
+ (س - ۳ج)۲ = ۳ { (ا - ب)۲ + (ب - ج)۲ + (ج - ا)۲ }
در سوالات ذیل قیمت عددی ا۳ + ب۳ + ج۳ - ۳ ا ب ج را معلوم کنید
(۴۴) اگر ا + ب + ج = ۱۳ وا۲ + ب۲ + ج۲ = ۶۹
(۴۵) اگر ا + ب + ج = ۱۲ و ا ب + ب ج + ج ا = ۴۷
(۴۶) اگر لا + ی + ع = ۱۴ و لا + ی + ع۲ = ۷۴ و لا۳ + ی۳ + ع۳ = ۴۳۴ باشد
قیمت عددی لا ی ع را معلوم کنید :-
(۴۷) اگر لا + ی + ع = ۱۳ و لا ی + ی ع + ع لا = ۵۴ و لا ی ع = ۶۰ باشد
قیمت عددی لا۲ + ی۲ + ع۲ را معلوم کنید :-
۶۴ فهرست دساتیر جبریه
همه دساتیر جبریه که بالتفصیل مذکور شدند در ذیل درج میشوند تا بر طالب العلم
در وقت ضرورت موجب سهولت باشد - مگر میباید که آنرا کامل ضبط نماید
که در وقت ضرورت احتیاج بمراجعت کتاب نباشد :-
(۱) (ا + ب)۲ = ا۲ + ۲ ا ب + ب۲
(۲) (ا - ب)۲ = ا۲ - ۲ ا ب + ب۲
(۳) (ا + ب) (ا - ب) = ا۲ - ب۲

--- page 160 ---

۱۵۵
= آ۳ + ۳ آ۲ ب + ۳ آ ب۲ + ب۳
= آ۳ + ب۳ + ۳ آ ب (آ + ب) } ۴) (آ + ب)۳

= آ۳ + ب۳ + ج۳ + ۳(آ ب + ج) + ۳ ب (آ + ج)
+ ۳ ج(آ + ب) + ۶ ا ب ج ۵) (آ + ب + ج)۳

= آ۳ - ۳ آ۲ ب + ۳ آ ب۲ - ب۳
= آ۳ - ب۳ - ۳ آ ب (آ - ب) ۶) (آ - ب)۳

= (آ + ب)۳ - ۳ آ ب (آ + ب)
= (آ + ب) (آ۲ - آ ب + ب۲) ۷) آ۳ + ب۳

= (آ - ب)۳ + ۳ آ ب (آ - ب)
= (آ - ب) (آ۲ + آ ب + ب۲) ۸) آ۳ - ب۳

= لا۲ + (آ + ب) لا + آ ب ۹) (لا + آ) (لا + ب)
= لا۲ + (ب - آ) لا - آ ب ۱۰) (لا - آ) (لا + ب)
= لا۲ - (آ + ب) لا + آ ب ۱۱) (لا - آ) (لا - ب)
= لا۳ + (آ + ب + ج) لا۲ + (آ ب + آ ج + ب ج) لا + آ ب ج ۱۲) (لا + آ) (لا + ب) (لا + ج)
= لا۳ - (آ + ب + ج) لا۲ + (آ ب + آ ج + ب ج) لا - آ ب ج ۱۳) (لا - آ) (لا - ب) (لا - ج)
= آ۲ + ب۲ + ج۲ + ۲ آ ب + ۲ آ ج + ۲ ب ج ۱۴) (آ + ب + ج)۲
= آ۲ + ب۲ + ج۲ + د۲ + ۲(آ ب + ج + د) + ۲ ب (ج + د) + ۲ ج د ۱۵) (آ + ب + ج + د)۲
= آ۴ + ۴ آ۳ ب + ۶ آ۲ ب۲ + ۴ آ ب۳ + ب۴ ۱۶) (آ + ب)۴
= آ۵ + ۵ آ۴ ب + ۱۰ آ۳ ب۲ + ۱۰ آ۲ ب۳ + ۵ آ ب۴ + ب۵ ۱۷) (آ + ب)۵
= (آ + ب + ج) (آ۲ + ب۲ + ج۲ - آ ب - ب ج - آ ج) ۱۸) آ۳ + ب۳ + ج۳ - ۳ آ ب ج

--- page 161 ---

۱۵۶

(۱۹) اَ (ب - ج) + بَ (ج - ا) + جَ (ا - ب) = (ا - ب) (ا - ج) (ب - ج)
= - (ا - ب) (ب - ج) (ج - ا)
(۲۰) ا ب (ا - ب) + ب ج (ب - ج) + ج ا (ج - ا) = (ا - ب) (ا - ج) (ب - ج)
= - (ا - ب) (ب - ج) (ج - ا)
باب هشتم
تقسیم
۶۵ تعریف
مفهوم تقسیم ا بر ب اینست که یک مقدار دیگر ج معلوم شود که ج × ب = ا باشد
و بعبارت اخری ا ÷ ب = ج آنوقت میباشد که ا = ب × ج باشد
پس اگر لا = ی × ء باشد لا ÷ ی = ء و لا ÷ ء = ی خواهد بود
آن مقدار را که بر مقدار دیگر تقسیم شود مقسوم میگویند و همان مقدار دیگرا
مقسوم علیه و حاصل تقسیم را خارج قسمت
تنبیه خارج قسمت ا بر ب بصورت ا/ب نوشته میشود.
۶۶ چند مسئله اساسیه
(۱) اثبات این امر که ا ÷ ب × ب = ا اگر ا ÷ ب = لا باشد پس بحکم
تعریف فقره ۶۵ لا × ب = ا
لهذا ا ÷ ب × ب = لا × ب = ا

--- page 162 ---

۱۵۷

(۲) اثبات این امر که ا ÷ ب × ج = ا ÷ ب ج
چون ( ا ÷ ب × ج ) × ب ج = { ( ا ÷ ب ) × ج } × ج × ب
= [ { ( ا ÷ ب ) × ج } × ج ] × ب
= ( ا ÷ ب ) × ب (بحکم (۱))
= ا
.: بحکم تعریف فقره ۶۵ ا ÷ ب × ج = ا ÷ ب ج یعنی مفهوم تقسیم یک مقدار
بر چند مقدار اینست که آن مقدار بر حاصل ضرب مقادیر مذکور تقسیم شود
نتیجه پس ا ÷ ب ÷ ج = ا ÷ ج ÷ ب میباشد زیرا که هر یک
از آنها = ا ÷ (ب × ج)
(۳) اثبات این امر که ا ÷ ب = ا × ۱/ب
چون ۱/ب × ب = ا ÷ ب × ب = ۱
لهذا ا × ۱/ب × ب = ا × (۱/ب × ب) (بحکم (۱))
= ا × ۱ = ا
یعنی (ا × ۱/ب) × ب = ا
.: بقرار تعریف فقره ۶۵ ا ÷ ب = ا × ۱/ب پس مفهوم تقسیم یک مقدار
بر مقدار دیگر اینست که مقدار اول در عکس مقدار دوم ضرب شود.
نتیجه ا ÷ ب × ج = ا × ج ÷ ب میباشد زیرا که ا ÷ ب × ج = ا × ۱/ب × ج
= ا × ج × ۱/ب
= ا × ج ÷ ب

--- page 163 ---

۱۵۸
۶۷ قاعده اشارت تقسیم
چون ا × (- ب) = - ا ب
بموجب تعریف فقره ۶۵ ( - ا ب ) ÷ ا = - ب } ....(۱)
( - ا ب ) ÷ ( - ب ) = ا
و چون (- ا ) × (- ب) = ا ب
∴ ا ب ÷ (- ا ) = - ب } .........(۲)
و ا ب ÷ (- ب) = - ا
و نیز ا ب ÷ ا = ب }
ا ب ÷ ب = ا
پس از ۱ و ۲ و ۳ قاعده ذیل اخذ میشود:-
هرگاه مقسوم و مقسوم علیه متحد الاشارت باشند خارج قسمت مثبت
و هرگاه مختلف الاشارت باشد خارج قسمت منفی خواهد بود یعنی از اشارت
مشابهه + و از اشارت غیر مشابهه - پیدا میشود چنانچه در ضرب نیز همین قاعده جاریست
۶۸ تقسیم یک جمله مفرد بر جمله مفرد دیگر
برای معلوم نمودن قاعده تقسیم یک جمله مفرد بر جمله دیگر اینصورتهای
ذیل ملاحظه شود:-
(۱) چون ۳ ا۲ ب × ۵ ا۳ ب۲ ج = ۱۵ ا۵ ب۳ ج
لهذا (۱۵ ا۵ ب۳ ج) ÷ (۵ ا۳ ب۲ ج) = ۳ ا۲ ب
پس اگر مقسوم = ۱۵ ا۵ ب۳ ج
= ۳ × ۵ × ا۲ × ا۳ × ب × ب۲ × ج } ....(۱)
و مقسوم علیه = ۵ ا۳ ب۲ ج
خارج قسمت = ۳ ا۲ ب

--- page 164 ---

۱۵۹
(۲) چون (-۲ اب٢ ج د) × (-۳ ا٢ ج) = ٦ ا٣ ب٢ ج٢ د
لهذا ٦ ا٣ ب٢ ج٢ د ÷ (-۲ ا ب٢ ج د) = -۳ ا٢ ج
پس اگر مقسوم = ٦ ا٣ ب٢ ج٢ د
= ۲ × ۳ × ا × ا٢ × ب٢ × ج × ج × د
و مقسوم علیه = -۲ ا ب٢ × ج د     ..... (ب)
خارج قسمت = -۳ ا٢ ج
(۳) چون (-۵ ا ب٢ ج د) × (۴ ب ج٢) = -۲۰ ا ب٣ ج٣ د
لهذا (-۲۰ ا ب٣ ج٣ د) ÷ (-۵ ا ب٢ ج د) = ۴ ب ج٢
اگر مقسوم = -۲۰ ا ب٣ ج٣ د = -۵ × ۴ × ا × ب٢ × ب × ج × ج٢ × د
و مقسوم علیه = -۵ ا ب٢ × ج × د     ..... (ج)
= ۴ ب ج٢
پس از ا و ب و ج قاعده ذیل اخذ شده میتواند :-
از مقسوم آن مضروبات را که در مقسوم علیه نیز موجود میباشد طرح کنید
پس اگر مقسوم و مقسوم علیه متحد العلامت باشند قبل از خارج قسمت
اشارت زائد واگر مختلف الاشاره باشند اشارت ناقص بنویسید
تنبیه ا٢ ÷ ا = (ا × ا) ÷ ا = ا  [ ا٢-١ ]
وهمچنین ا٣ ÷ ا = ا٢ و ا ÷ ا٢ = ا و علیٰ هذا القیاس
پس علی العموم ا م ÷ ا ن = ا م-ن  اگر م و ن مثبت واعداد صحیح باشند
و م > ن باشد-

--- page 165 ---

١٦٠

مثال ١ ١٨ م٢ ن ط را بر - ٦ م ن ط تقسيم کنيد.
مقسوم = ١٨ م٢ ن ط
= ٦ × ٣ × م × م × ن × ط
و مقسوم عليه = - ٦ م ن ط
. . خارج قسمت = - ٣ م
مثال ٢ - ٢٤ ا٢ ب ج را بر - ٦ ا٢ ب ج تقسيم کنيد.
مقسوم = - ٢٤ ا٢ ب ج = - ٦ × ٤ × ا٢ × ا٢ × ب × ب × ج
مقسوم عليه = - ٦ ا٢ ب ج
. . خارج قسمت = ٤ ا٢ ب
مسئله ( ٣٦ )
تقسيم کنيد.
(١) ٨ ا را بر - ٢ ا (٢) - ١٥ ا٢ را بر ٣ ا٢
(٣) - ٢٠ لا٢ ا٢ را بر - ٥ لا ا (٤) ٢٧ م٢ ن را بر ٩ م ن
(٥) - ٢٨ ط٢ ق را بر ٤ ط ق (٦) - ٣٠ ا٢ ب را بر - ١٠ ا٢ ب
(٧) - ٧٠ لا٢ ی٤ ع را بر - ١٤ لا ی (٨) ٦٤ ا٢ ب ج را بر - ٨ ا ب٢ ج
(٩) - ٨١ م٢ ن ط را بر ٢٧ م ن ط (١٠) ٢٥ لا٢ ی٤ ع٤ را بر - ٥ لا٢ ی٤ ع٢
(١١) - ٦٩ ا٢ ب٤ ج را بر - ٢٣ ا ب٤ ج (١٢) - ٤٢ لا٣ ی٩ ع را بر - ١٤ لا٢ ی٥ ع
(١٣) ا٦ بر ا٥ (١٤) ٢٨ لا١٥ بر - ٤ لا١٢
(١٥) ٥٦ م٣٠ بر - ٨ م٢٨ (١٦) - ٩١ ا١٣ ب٢٩ را بر ١٣ ا٩ ب١٨

--- page 166 ---

۱۶۱
۶۹ تقسیم جمله ذو حدود کثیره برجمله ذو حد واحد
بحکم نتیجه ۳ فقره ۴۶
ا (ب + ج) + د + ی + ف + ....) = اب + اج + اد + ای + اف +...
لهذا (ا ب + ا ج + ا د + ا ی + ....) ÷ ا = ب + ج + د + ی + ... =
= (ا ب ÷ ا) + (ا ج ÷ ا) + (ا د ÷ ا) + (ا ی ÷ ا) + ...
پس قاعده تقسیم ذو حدود کثیره بر ذو حد واحد این است
که هر حد ذو حدود کثیره بر مقسوم علیه تقسیم شود
و مجموع این خارج قسمتها جزوی خارج قسمت مطلوب میباشد
مثال ۱ ۴ لا۴ - ۶ لا۳ + ۱۰ لا۲ را بر - ۲ لا تقسیم کنید
خارج قسمت مطلوب = ۴ لا۴ - ۶ لا۳ + ۱۰ لا۲ / - ۲ لا
= ۴ لا۴ / - ۲ لا + - ۶ لا۳ / - ۲ لا + ۱۰ لا۲ / - ۲ لا
= - ۲ لا۳ + ۳ لا۲ - ۵ لا
مثال ۲ ۹ لا۵ - ۴ لا۴ - ۲ لا۲ را بر ۳ لا۲ تقسیم کنید
خارج قسمت مطلوب = ۹ لا۵ - ۴ لا۴ - ۲ لا۲ / ۳ لا۲
= ۹ لا۵ / ۳ لا۲ + - ۴ لا۴ / ۳ لا۲ + - ۲ لا۲ / ۳ لا۲
= ۳ لا۳ - ۴ / ۳ لا۲ - ۲ / ۳

--- page 167 ---

١٦٢
مسئله (٣٧)
تقسیم کنید :-
(١) ٦ ب ٢ - ٢ أ ب را بر أب (٢) ٣ لا٣ - ٦ لا٢ و را بر - ٣ لا
(٣) ٤ لا٣ و - ٨ لا٢ و٢ را بر ٤ لا٢ و (٤) - ٩ و٢ + ١٢ أ ب را بر - ٣ و٢
(٥) ١٤ أ٢ ب٣ - ٢١ أ ب را بر - ٧ أ ب٢ (٦) ٢ و لا٢ - ٤ و٢ لا٢ + ٦ ولا : ٢ و لا
(٧) - ٣ ولا٢ + ٦ ولا٣ - ٩ و٢ لا را بر - ٣ ولا
(٨) ١٢ لا - ٨ لا٢ + ٣٠ ولا را بر - ٤ لا
(٩) ١٠ م٢ ن٣ - ١٥ م٣ ن - ٢٠ م٤ ن را بر ٥ م ن
(١٠) ٨ ط٣ ق - ٥ ط٢ ق٢ - ٣ ط ق را بر - ٨ ط ق
(١١) - ١٤ لا ٤ ی٢ + ٢١ لا ٣ ی٣ - ٢٨ لا٢ ی را بر ٧ لا٢ ی
(١٢) ١٥ و٢ لا - ٣٠ و٣ لا - ٤٥ و لا را بر ٢٠ ألا
(١٣) - ٦٠ لا١ - ٧٥ لا٢ + ٨٠ لاأ را بر - ٢٠ لاأ٢
(١٤) ٢٥ م٢ ن٢ ط - ٣٥ م٢ ن ط٢ - ٤٠ م ن ط را بر ٥ م ن ط
(١٥) - و٢ لا ٣ ی٣ + و٣ لا ٢ ی - و لا ٤ ی٢ + و٤ لا ی را بر - ولا ی
تقسیم یک جمله مرکب بر جمله مرکب دیگر
از امثال ذیل قاعده تقسیم جمله مرکب بر جمله مرکب دیگر دانسته میشود
آنرا بخوبی ملاحظه باید کرد -

--- page 168 ---

۱۶۳

چون (۲ آ ۲ + ۳ ا ب + ۴ ب ۲) ( ا + ۳ ب)
= ۲ آ ۲ ( ا + ۳ ب ) + ۳ ا ب ( ا + ۳ ب ) + ۴ ب ۲ ( ا + ۳ ب )
= ۲ آ ۳ + ۹ آ ۲ ب + ۱۳ ا ب ۲ + ۱۲ ب ۳
لهذا ( ۲ آ ۳ + ۹ آ ۲ ب + ۱۳ ا ب ۲ + ۱۲ ب ۳ ) ÷ ( ا + ۳ ب ) = ۲ آ ۲
+ ۳ ا ب + ۴ ب ۲
پس اگر درین عمل بدقت نظر نموده شود نتایج ذیل اخذ میشود
(۱) مقسوم و مقسوم علیه هر دو بلحاظ قوای متناقصه یک حرف مشترک
یعنے آ تنظیم مییابند -
(۲) حد اول خارج قسمت یعنے ۲ آ ۲ = ۲ آ ۳ ÷ ا یعنے = (حد اول مقسوم)
÷ (حد اول مقسوم علیه)
(۳) اگر ۲ آ ۲ ( ا + ۳ ب ) از مقسوم تفریق شود حاصل تفریق ۳ آ ۲ ب + ۱۳ ا ب ۲
+ ۱۲ ب ۳ میباشد و نیز حد دوم خارج قسمت یعنے ۳ ا ب = ۳ آ ۲ ب ÷ ا
یعنے = (حد اول حاصل تفریق اول) ÷ (حد اول مقسوم علیه)
(۴) اگر ۳ ا ب ( ا + ۳ ب ) از حاصل تفریق اول تفریق شود حاصل تفریق
دوم ۴ ا ب ۲ + ۱۲ ب ۳ میباشد و نیز حد سوم خارج قسمت یعنے ۴ ب ۲
= ۴ ا ب ۲ ÷ ا یعنے = (حد اول حاصل تفریق دوم) ÷ (حد اول مقسوم علیه)
(۵) اگر ۴ ب ۲ ( ا + ۳ ب ) از حاصل تفریق دوم تفریق شود هیچ باقی نمیماند
و عمل تقسیم با تمام میرسد و عمل فوق بطرز ذیل نیز نوشته میشود :-

--- page 169 ---

١٦٤

(ا + ٣ ب) ٢ ا٣ + ٩ ا٢ ب + ١٣ ا ب٢ + ١٢ ب٣ (٢ ا٢ + ٣ ا ب + ٤ ب٢
٢ ا٣ + ٦ ا٢ ب

٣ ا٢ ب + ١٣ ا ب٢
٣ ا٢ ب + ٩ ا ب٢

٤ ا ب٢ + ١٢ ب٣
٤ ا ب٢ + ١٢ ب٣
X

پس قاعدۀ ذیل اخذ میشود:-
مقسوم و مقسوم علیه هر دو را بلحاظ قوای متناقصه یک حرف
مشترک منظم بدهید و بقرار قاعدۀ تقسیم علم حساب بنویسید
حد اول مقسوم را بر حد اول مقسوم علیه تقسیم کرده نتیجه را حد اول خارج قسمت
قرار بدهید و این مقدار را در مقسوم علیه ضرب کرده حاصل را از مقسوم تفریق کنید
این حاصل تفریق را مقسوم جدید تصور کنید و نیز ملاحظه کنید که ترتیب
این مقسوم بلحاظ قوای متناقصه حرف مشترک باشد - بعد ازان
حد اول این مقسوم را بر حد اول مقسوم علیه تقسیم کرده خارج را تقسیم
حد دوم خارج قسمت بنویسید و آنرا در مقسوم علیه ضرب نموده حاصل ضرب را
از مقسوم جدید تفریق کنید - و بهمین طرز عمل را جاری بدارید تا اینکه هیچ باقی نماند
مثال ا٤ - ٤ ا٣ + ١٢ ا - ٩ را بر ا٢ - ٢ ا + ٣ تقسیم کنید :-
مقسوم و مقسوم علیه هر دو بلحاظ قوای متناقصه ا منظم یافته اند

--- page 170 ---

۱۶۵

پس طریق عمل حسب ذیل خواهد بود:-
مقسوم علیه = لا۲-۲لا+۳ ) لا۴ - ۴لا۳+۱۲لا۲-۹لا+۲لا-۳
لا۴-۲لا۳+۳لا۲
-۲لا۳+۹لا۲-۹لا
-۲لا۳-۴لا۲+۶لا
-۳لا۲+۱۵لا-۹
-۳لا۲+۶لا-۹
X
پس خارج قسمت = لا۲+۲لا -۳
تنبیه چون حد لا۳ در مقسوم این مثال موجود نیست بنا برین جاده مخفی لا۳ بانام
نوشته شده است که مقام حد سائق آن خالیست و مدعا ازین ترتیب اینست که حدود
مشابهه تحت حدود مشابهه نوشته شود و اگر این ترتیب ملحوظ نگردد عمل زحمت زیاد میرساند
مثال ۳ ۱۶لا۴+۳۶لا۲+۸۱ را بر ۴لا۲+۶لا+۹ تقسیم کنید-
۴لا۲-۶لا+۹ ) ۱۶لا۴ +۳۶لا۲ +۸۱ ( ۴لا۲+۶لا+۹
۱۶لا۴+۲۴لا۳+۳۶لا۲
-۲۴لا۳ +۸۱
-۲۴لا۳-۳۶لا۲-۵۴لا
+۳۶لا۲+۵۴لا+۸۱
+۳۶لا۲+۵۴لا+۸۱
X
پس خارج قسمت مطلوب = ۴لا۲-۶لا+۹ میباشد :-

--- page 171 ---

١٦٦
تنبیه بعض اوقات مقسوم بر مقسوم علیه بدون باقی تقسیم میشود
مثلا اگر در مثال فوق مقسوم ٦لا٤ + ٣٦لا٣ + ٦لا٢ + ٨٦ باشد حاصل تفریق
دوم ٣٦لا٣ + ٦لا٢ + ٨٦ میشود وحاصل تفریق اخير ٦لا٢ + ٥ وچون ٦لا٢ +٥
بر ٣لا٢ + ٦لا + ٩ کامل تقسیم نمیشود لہذا در تقسیم درینصورت باقی میماند
وبقرار قواعد علم حساب قرار ذیل نوشته میشود یعنی
١٦لا٤ + ٣٦لا٣ + ٦لا٢ + ٨٦ = ٤لا٢ - ٦لا + ٩ + ٦لا٢ + ٥ / ٣لا٢ + ٦لا + ٩
و آن حصہ مقسوم را کہ بر مقسوم علیه تقسیم شده نمیتواند باقی میگویند
پس اگر از مقسوم بحرف م و از مقسوم علیه بحرف ع واز خارج قسمت بحرف خ
و از باقی بحرف ب تعبیر شود نتیجه ذیل دائما صحیح خواهد بود۔
م = ع × خ + ب
مثال ٣لا - ٤لا٢ - ٢لا٣ + ٣لا٤ + ٨لا - ١٢ را بر لا٤ - ٤ تقسیم کنید
تنبیه این امر ضروری نیست که مقسوم ومقسوم علیہ محض بلحاظ قوای
متناقصہ یک حصی مشترکہ ترتیب داده شوند بلکہ اینقدر لازم است که یک تربیتی خاص
داشته باشند خواه بلحاظ قوای متناقصه و خواه بلحاظ قوای متزائده یک حصہ مشترکہ
چنانچہ حل این مثال بعد از ترتیب مقسوم و مقسوم علیہ بلحاظ قوای متزائده لا کرده میشود
- ٤ + لا٢) - ١٢ + ٨لا + ٣لا - ٤لا٢ - ٢لا٣ + ٣لا٤ ( ٣ - ٢لا + لا٢
- ١٢         + ٣لا٢
+ ٨لا       - ٣لا٢
+ ٨لا       - ٣لا٢
+ ٤لا٣ + لا٤
+ ٤لا٣ + لا٤
×

--- page 172 ---

۱۶۷
مثال ۴ ا۴ ب + ۲ ا ب ج - ا ب ج  ا  راب + اج - ب ج تقسیم کنید
ترتیب مقسوم بلحاظ قوای متناقصه احسب ذیلست ا۴ (ب ۲ ج) + ۲ ب ج ا - ب ج ۲
و ترتیب مقسوم بلحاظ قوای متناقصه آن (ب + ج) ا - ب ج است
پس مقسوم ذو حدود ثلثه و مقسوم علیه ذو حدین است
(ب + ج) ا - ب ج (ب ۲ + ج) ا ۴ + ۲ ب ج ا - ب ج ۲ (ا ب + ج) ا + ب ج
(ب ۲ + ج) ا ۴ - (ب ۲ ج - ب ج ۲) ا
(ب ج + ب ج ۲) ا - ب ج ۲
(ب ج + ب ج ۲) ا - ب ج ۲
پس خارج قسمت = ا ب - ا ج + ب ج
مثال ۵ ا ۶ + ب ۲ + ج ۶ + ۳ ا ب ج را بر ا + ب + ج تقسیم کنید
ترتیب مقسوم و مقسوم علیه بلحاظ قوای متناقصه احسب ذیل میباشد
ا ۶ + ۳ ا ب ج + (ب ۲ + ج ۶) و ا + (ب + ج)
پس مقسوم ذو حدود ثلثه و مقسوم علیه ذو حدین میباشد
ا + (ب + ج) ا ۶ + ۳ ب ج ا + (ب ۲ + ج ۶) ا ۵ - ا (ب + ج) + (ب ۲ + ج ۲ + ب ج)
ا ۶ + ا ۵ (ب + ج)
- ا ۵ (ب + ج) + ۳ ب ج ا
- ا ۵ (ب + ج) - ا ۴ (ب + ج) ۲
ا ۴ (ب ۲ + ج ۲ + ب ج) + (ب ۲ + ج ۶)
ا ۴ (ب ۲ + ج ۲ + ب ج) + (ب ۲ + ج ۶)
خارج قسمت مطلوب = ا ۵ + ب ۵ + ج ۵ - ا ب + ا ج + ب ج

--- page 173 ---

۱۶۸
مثال ۶ (ب ج) آ+ (ب ج - ا) ب + (ا- ب) ج ترابر آ - اب-اج
+ ب ج تقسیم کنید:-
مقسوم و مقسوم علیه را بلحاظ قوای متناقصه ا ترتیب بدهید
مقسوم = (ب+ج) آ - ب آ+ ج آ + ب ۲ ج - ب ج۲
= (ب-ج) آ - (ب ۲ - ج۲) ا + ب ج (ب-ج)
و مقسوم علیه = آ - (ب+ج) ا + ب ج
پس مقسوم ذو ثلثه و مقسوم علیه ذو حدین است
آ - ا(ب+ج) + ب ج / آ ۳ (ب - ج) - ا(ب ۲- ج ۲) + ب ج (ب-ج) / آ ۲(ب-ج) - ا(ب-ج)
آ ۳(ب-ج) - آ۲(ب ۲-ج۲) + آ ب ج (ب-ج)
آ ۲(ب ۲-ج۲) - ا (ب ۲- ج۲ + ب ج- ب ج) + ب ج (ب ۲- ج۲)
آ ۲(ب ۲-ج۲) - ا (ب ۲-ج۲ + ب ۲ ج- ب ج ۲) + ب ج (ب ۲-ج۲)
X
خارج قسمت مطلوب = ا ب - ا ج + ب آ - ج آ
تنبیه باید دانست که جملهائیکه در خطوط قوسی بطور امثال نوشته شده
تنظیم آنها بلحاظ قوای متناقصه ب میباشد- و اینچنین ترتیب
موجب سهولت و وضوح عمل میگردد -
تقسیم کنید:- مسئله (۳۸)
(۱) ل ۲ - ۵لا + ۶ بر لا - ۳ (۲) ۲ لا ۲ - ۱۱ لا + ۵ بر ۲ لا - ۱
(۳) ۶ لا ۲ - لا - ۱۲ بر ۲ لا - ۳ (۴) ۱۵لا ۲ - لا - ۲۸ بر ۳ لا + ۴

--- page 174 ---

۱۶۹
(۵)۲ آ-۷ اب+۶ ب۲ برا-۲ ب (۶) لآ+ لآی۴+ی۲ بر لآ+لای+ی۲
(۷)۴ لآ-۹ لو بر ۲ لا+۳ و (۸) لآ+ لو بر لا+و
(۹)۴-آب-۷ اب۲+۳ ب۳ بر ا-۳ ب
(۱۰)۲ م۲-۹ من+۱۳ م ن-۶ ن۲ بر ۲ م-۳ ن
(۱۱) ۴-۳ آ ب+۳ ا ب۲- ب۳ بر آ- ب۲
(۱۲) ۲ لآ-۳ لآی-۳ لا ی۲-۲ ی۳ بر لآ+ی۲
(۱۳) ۲ لو۲-۳۶ لو لآ-۱۶ لو لآ بر ۲ لو+۸ و لا
(۱۴) ۳+۲ لا+۴ لآ+۵ لا۲-۴ لآ+۲ لآ بر ۱+۲ لآ
(۱۵) لآ-۴ لآ+۱۳ الا-۹ بر لآ+۲ لا-۳
(۱۶) ۴ آ-۹ آ ب۲+۴۴ ا ب۳-۱۶ ب۴ بر ۲ آ-۳ ا ب+۴ ب۲
(۱۷) آ+۴ آ لآ+۱۶ الا بر آ+۲ ا لا+۴ لآ
(۱۸) آ+۴ ب۳ بر آ+۲ ا ب+۲ ب۲
(۱۹) ۲ لآ-۷ لآ-۲ لآ+۸ الا-۳ لا-۸ بر لآ-۲ لآ+۱
(۲۰) لآ-۸۱ بر لا-۳ (۲۱) لو-۳۲ بر ا-۲
(۲۲) ۳-۹ لا+۲ لآ+۵ لآ-۷ لآ+۲ لآ بر ۱-۳ لا+لا۲
(۲۳) ۲ ۸ لا+۴۰-۴۵ لا+۸ الا-۷۶ لا بر ۶ لآ+۸-۷ لا
(۲۴) ۶۴-لآ بر ۴-لا (۲۵)۱+لا-۲ لآ بر لآ+۱-۲ لا
(۲۶) ۱۳ ا ب۲+۲ آ ب۳+۶ آ-آ ب+۴ ب۴ بر ۴ ا ب+ب۲+۳ آ
(۲۷) آ ب-۱۵ ا ب۲-۸ آ ب۲+آ+۱۹ ا ب۳ بر آ+۳ ب۲-۲ ا ب

--- page 175 ---

۱۷۰

(۲۸) لا ۳ - لا ۳ برلا ۲ - ۲ لا ۲ و + لا ۲ و - و ۳
(۲۹) ۸ آ ب + ۳ ب ۲ + و - ۹ آ ب - ۲ ا ب - آب بر ۲ ا ب - ۳ ب ۲ + و ۲
(۳۰) ی ۲ + لا - ۳ لا ی ۲ بر لا ۲ + ی ۲ - ۲ لای
(۳۱) لا - ۲ و لا + و ۳ بر لا - ۲ و لا + و ۳
(۳۲) ۲ لا ی ۲ + ی ۲ + لا ۳ بر ۲ لای + لا + ی ۲
(۳۳) لا ۲ + (ا + ب + ج) لا + (ا ب + ا ج + ب ج) لا + ا ب ج بر لا + ج
(۳۴) لا ۲ - (ب + ج - ا) لا + (ج ا - ا ب - ب ج) لا + ا ب ج بر لا ۲ + (ب - ا) لا - ا ب
(۳۵) آ ۳ - آ ب + آ ج - ا ب ج - ب ج - ب ج ۲ بر آ - ب ج
(۳۶) آ (ب + ج) - ب ۲ (ا + ج) + ج ۲ (ا + ب) + ا ب ج بر ا - ب + ج
(۳۷) لا (ب + ج) + ب ۲ (ا - ج) + ج ۲ (ا - ب) + ا ب ج بر ا + ب + ج
(۳۸) لا - ۲ و لا + (و - ا ب - ب ۲) لا + و ۲ ب + ا ب ۲ بر لا - ا - ب
(۳۹) آ + ب ۲ + ج ۲ - ۳ ا ب ج بر ا + ب + ج
(۴۰) لا ۲ + ی ۲ - ۱ + ۳ لا ی بر لا + ی - ۱
(۴۱) لا ۳ - ۸ ی ۲ - ۲۷ ۶ ۳ - ۱۸ لا ی ۶ بر لا - ۲ ی - ۳ ۶
(۴۲) لا ۲ - ی ۲ + ۶ ۲ + ۳ لا ی ۶ بر لا - ی + ۶
(۴۳) ۸ لا ۲ - ۲۷ ی ۳ - ۸ الای ۶ بر ۴ لا ۲ + ۹ ی ۲ + ۶ ۲ + ۶ لای + ۲ لا ۶ - ۳ ی ۶
(۴۴) آ (ب + ج) + ب ۲ (ج - ا) + ج ۲ (ا - ب) بر ا - ب
(۴۵) (لا ۲ - ب لا + ج لا) ا - ب ج (لا + و) + (لا - ب + ج) لا بر (لا + ا) (لا - ب)
(۴۶) ج (ا ب - لا ۲) + (ا - ب) (لا + ج) لا + لا (لا ۲ - ا ب) بر (لا - ب) (لا + ج)

--- page 176 ---

۱۷۱
(۴۷) آ ( ب - ج ) + ب ( ج - ا ) + ج ( ا - ب ) بر آ - ب + ب - ج - ا - ج - ب ۲
(۴۸) آ ( ب ۲ - ج ۲ ) + ب ( ج ۲ - ا ۲ ) و ج ( ا ۲ - ب ۲ ) بر آ - ب - ب - ج - ا - ج + آ - ج
(۴۹) لا - ی ۲ + ۲ - ی ۲ ع - لا - ی ۲ ع + لا - ی ع ۲ - لا ۲ ی - ۲ ی ع ۲ + لا ۲ ع - لا ع بر ی + ع - لا
(۵۰) ب ( لا + آ ) + و لا ( لا ۲ - آ ۲ ) + آ ( لا + ا ) بر ( ا + ب ) ( لا + ا )
(۵۱) ( ا - ب ) ج ۲ + ( ا - ب ) ج - ( ج - ا ) ب ۲ + ( ج - ا ) ب بر ( ا - ب ) ج ۲ - ( ج - ا ) ب ۲
جملهای فوق را بلحاظ قوای متناقصه تنظیم بدهید
(۵۲) ( آ لا + ب ی ) ۳ + ( آ لا - ب ی ) ۳ - ( آ ی - ب لا ) + ( آ ی + ب لا ) ۳ را
بر ( ا + ب ) لا ۲ - ۳ ( ب ( لا ۲ - ی ۲ )
اول مقسوم را مختصر کنید و بعد از ان مقسوم و مقسوم علیه را بلحاظ
قوای متناقصه لا تنظیم بدهید
(۵۳) لا ( ا + ی ۳ ) ( ا + ع ۲ ) + ی ( ا + ع ۲ ) ( ا + لا ۲ ) + ع ( ا + لا ۲ ) ( ا + ی ۲ ) + ۳ لا ی ع
بر ا + لا ی + ی ع + ع لا
این جملها را بلحاظ قوای متناقصه لا تنظیم بدهید
(۵۴) ( ۴ لا - ۳ آ لا ) ۲ + ( ۴ ی - ۳ آ ی ) ۲ - [ بر لا + ی ۲ - آ ۲ کنید
اگر آ : ا = آ - ن برای قیمت های م و ن صحیح باشد پس اشکال ذیل را ثابت [؟]
(۵۵) ۱ = آ       [ ۱ = آ : آ = آ م - م ]
(۵۶) آ ن = ۱/آ ن  [ آ - ن = آ ۰ - ن = آ ۰ : آ ن = ۱ : آ ن ]
(۵۷) آ م : لا م = (لا/آ) م  (۵۸) لا م : لا ن = لا م - ن

--- page 177 ---

۱۷۲
تقسیم کنید:-
(۵۹) آ ۳ ۲ برآ ۲ ۱ (۶۰) آ ۳ ۲ ج  ۱ برآ ۱ ۲ ج ۱
(۶۱) ۵ الایء  بر - ۵ لا ۱ ۲ ی  ۲ ۳ (۶۲) ۹ لا ۳ ۴ - ۱۶ ی  ۲ ۳ بر ۳لا  ۱ ۲ + ۴ی  ۱ ۳
(۶۳) آ + ب  برآ ۱ ۳ + ب  ۱ ۳ (۶۴) آ  ۲ ۳ + آ ۱ ۳ ب  ۱ ۳ + ب  ۲ ۳ برآ  ۱ ۳ + ب  ۱ ۳
(۶۵) ۴ لا  ۴ ۳ - ۳ لا  ۲ ۳ ی  ۱ ۳ + ۹ ی بر۲ لا  ۲ ۳ + ۵ لا  ۱ ۳ ی  ۱ ۳ - ۳ ی  ۲ ۳
(۶۶) آ - ب بر آ ۱ ۳ - ب  ۱ ۳
(۶۷) آ ۳ + ۱۲ آ  ۵ ۲ ب  ۱ ۲ + ۹ آ  ۲ ب - ۲۵ ب  ۳ ۲ بر ۲ آ  ۳ ۲ + ۳ آ  ۱ ۲ ب  ۱ ۲ - ۵ ب
(۶۸) ۹لا  ۴ ۵ - ۲۵ لا  ۲ ۵ ی  ۲ ۳ + ۷۰ لای  ۴ ۳ - ۴۹ ی  ۶ ۳ بر ۳ لا  ۲ ۵ + ۵ لا  ۱ ۵ ی  ۱ ۳ - ۷ ی  ۲ ۳
(۶۹) آ - ب برآ ۱ ۴ - ب  ۱ ۴ (۷۰) لا + ی + ء - ۳ لا  ۱ ۳ ی  ۱ ۳ ء  ۱ ۳ برلا  ۱ ۳ + ی  ۱ ۳ + ء  ۱ ۳
اے نتایج مفیده
چون (لا ۲ - آ ۲ ) = (لا - آ) (لا + آ) و (لا ۳ - آ ۳ ) = (لا - آ) (لا ۲ + لا آ + آ ۲ )
∴ لا ۴ - آ ۴ = [لا (لا ۳ - آ ۳ ) + آ (لا ۳ - آ ۳ )]
= (لا - آ) {لا (لا ۲ + لا آ + آ ۲ ) + آ ۳ }
= (لا - آ) {لا ۳ + لا ۲ آ + لا آ ۲ + آ ۳ }
و لا ۵ - آ ۵ = [لا (لا ۴ - آ ۴ ) + آ (لا ۴ - آ ۴ )]
= (لا - آ) {لا (لا ۳ + لا ۲ آ + لا آ ۲ + آ ۳ ) + آ ۴ }
= (لا - آ) (لا ۴ + لا ۳ آ + لا ۲ آ ۲ + لا آ ۳ + آ ۴ )

--- page 178 ---

۱۷۳
و بقرار فوق ثابت شده میتواند که لا-ا یکی از مضروبات لا-ا ولا-ا ولا-ا
و غیره میباشد پس لا-ا دائماً یکی از مضروبات لا-ا خواهد بود بشرط انکه
ن عدد صحیح باشد پس ظاهر است که برای همه قیمتهای ن که مثبت
وصحیح باشند لا-ا بر لا-ا بدون باقی تقسیم شده میتواند -
باز چون لا+ا = (لا-ا)+٢ او یک حصه ازین یعنی لا-ا بر لا-ا
بدون باقی تقسیم شده میتواند لیکن ٢ ا بدون باقی تقسیم نمیشود -
:: لا+ا بر لا-ا بدون باقی تقسیم شده نمیتواند-
پس اگر ن عدد مثبت و صحیح باشد
لا-ا دائماً لا-ا را بدون باقی تقسیم میکند }.... (١)
لیکن لا+ا را هرگز بدون باقی تقسیم کرده نمیتواند
نتیجه لا+ا در انوقت لا-ا را بدون باقی تقسیم کرده میتواند که ن عدد
صحیح و جفت باشد-
زیرا که اگر ن جفت باشد (ا)=او ::لا-ا = لا- (ا)
وچون ن طاق باشد (ا)=-ا و :: لا-ا = لا+(ا)
و نیز لا+ا = لا- (-ا)
اشارت این امر از روی قانون اشارات ظاهر است مثلاً (-ا) = ا
::(ا) =(-ا)*(-ا)=-ا و (ا) = (-ا) * (-ا) * (-ا) = ا
هذا القياس يعنی بقرار زوج يا فرد بودن قوت طاقت قولی (-ا) مثبت یا منفی میباشد

--- page 179 ---

۱۷۴

پس از (۱) ظاهر است که لا - (- ۱) جمله لا - (-۱)ن را بدون باقی تقسیم میکند
ولا + (- ۱) را تقسیم میکند پس لا + ۱ جمله لان - ۱۹ را بدون باقی تقسیم میکند
بشرط اینکه ن جفت باشد و بعبارت اخری لا - ۱۹ را آنوقت بدون باقی تقسیم نما
باقی تقسیم کرده میتواند که ن عدد صحیح و جفت باشد -
نتیجه ۲ لا + ۱ آنوقت لا + ۱۹ را بدون باقی تقسیم کرده میتواند که
ن عدد صحیح و طاق باشد - زیرا که اگر ن طاق باشد (-۱)ن = - ۱
و :. لا + ۱۹ = لان - (- ۱)ن و اگر جفت باشد (- ۱)ن = ۱
و :. لان + ۱۹ = لان + (- ۱)ن
و نیز لا + ۱ = لا - (-۱)
پس از (۱) ظاهر است که لا - (-۱) جمله لان - (- ۱)ن را بدون باقی تقسیم
میتواند ولا + (-۱) را تقسیم نمیتواند - لہذا لا + ۱ جمله لان + ۱۹ را باین شرط
بدون باقی تقسیم میکند که ن طاق باشد و بعبارت دیگر لا + ۱ جمله
لان + ۱۹ را آنوقت بدون باقی تقسیم کرده میتواند که ن عدد صحیح و طاق باشد
پس از بحث فوق نتایج ذیل اخذ میشوند :-
لا - ۱ دائما لان - ۱۹ را بدون باقی تقسیم میکند {
و لا + ۱۹ را هرگز بدون باقی تقسیم نمیکند }
لا + ۱ جمله لان - ۱۹ را آنوقت بدون باقی تقسیم میکند که ن جفت باشد
ولا + ۱۹ را آنوقت که ن طاق باشد -

--- page 180 ---

۱۷۵

مسئله (۳۹)
از روی عمل تقسیم ثابت کنید که جملها ذیل بر لا+ ۱ بدون باقی تقسیم شده میتوانند

(۱) لا۴ + ۱  (۲) لا۶ - ۱ (۳) لا۹ + ۱ (۴) لا۱۰ - ۱

(۵) لا۴ + ۱ (۶) لا۶ - ۱

از روی عمل تقسیم ثابت کنید که جملها ذیل بر لا+ ۱ بدون باقی تقسیم نمیشوند

(۷) لا۵ - ۱ (۸) لا۶ + ۱ (۹) لا۹ - ۱ (۱۰) لا۱۰ + ۱

(۱۱) لا۶ - ۱ (۱۲) لا۹ + ۱

در امثله ذیل خارج قسمت را بنویسید:-

(۱۳) لا۲ - ۱ بر لا- ۱ (۱۴) لا۳-ی۳ بر لا+ ی (۱۵) لا۴- ۱ بر لا-۱

(۱۶) لا۵+ی۵ بر لا+ ی (۱۷) لا۶ - ۱ بر لا - ۱ (۱۸) لا۶ - ی۶ بر لا+ی

(۱۹) لا۷ - ۱ بر لا - ۱ (۲۰) لا۷ + ی۷ بر لا+ ی

باب هشتم

مضروبات

۷۲ تعریفات

هر گاه یک جمله جبریه مساوی حاصل ضرب دو یا زیاده جمله جبریه باشد پس هر یکی
از جملهای دوم را مضروب جمله اول میگویند

تنبیه در اینجا بحث از جملهای منطق و صحیح کرده خواهد شد یعنی بحث از منقسم
جملها میشود که نه کسر داشته باشند و نه اشارت جذر و نیز مراد از مضروبات

--- page 181 ---

۱۷۶

یک جمله مضروباتی صحیحه و منطقہ میباشند در باب ششم نیز کیفیت مضروبات
چیزی مذکور شده است اما درینجا بفصل ذکر آن نموده میشود
۷۳ چند صورت آسان در باب تفریق مضروبات
ہر جملہ جبریہ کہ ہر حد آن یک مضروب مشترک داشته باشد بآسانی بدو مضروب
تفریق میشود و یکی از مضروبات مذکور مفرد و دیگر مرکب میباشد مثلاً
(۱) ۱ لا + ۱ لا = ۱ لا (۱ + لا) (۲) ۲ آ ب ـ ۳ آب = آب (۲ آـ ۳ ب)
(۳) ۲۴ لا آ - ۴۰ لا آ + ۵۶ لا آ = ۸ لا آ ( ۳ لا - ۵ لا د + ۷ آ)
اسئله (۴۰)
جملہای ذیل را بمضروبات تفریق کنید :-
(۱) ۱ ب + ۱ ج (۲) اَ ب + اَ ب (۳) لا ی - ۲ لا ی
(۴) ۲ لا ی + ۴ لا ی - ۶ لا ی (۵) ۴ اَ ب - ۶ اَ ب - ۸ اَ ب
(۶) ۶ لا ی - ۵ آ لا ی + ۳ د لا (۷) ۳ لا ی - ۱۲ آ لا ی + ۲۱ لا ی ج
(۸) ۲۸ اَ ب - ۴۲ اَ ب (۹) ۷۲ لا ی - ۱۰۸ لا ی
(۱۰) ۳۹ اَ ب ج - ۶۵ ب ج آ - ۹۱ ج آ ب
۷۴ جملہای کہ شکل اَ - ب دارند
در فقره (۵۲) مضروبات جملہای قسم فوق مذکور گردیده درینجا چند
مثال دیگر نیز برای مشق طلبہ علم نوشته شده است :-

--- page 182 ---

۱۷۷
امثله (۴۱)
جملهای ذیل را بمضروبات تفریق کنید:-
(۱) او۲ - ۱۶ب۲ (۲) ۴و۲ - ۲۵لا۲ (۳) ۳۶لا۲ - ۱ (۴) ۱۶لا۲ - ۱
(۵) ۱۶لا۲ - ۹لا (۶) ۱۶لا۲ - ۸۱لا (۷) ۱ - ۱۶ا۲ (۸) لا - ۸۱لا۲
(۹) ۳۶ - لا۲و۲ (۱۰) ۶۴و۲ - ۴۹لا۲ (۱۱) ۱۲۱ - م۲ (۱۲) ۴۹لا۲و۲ - ۱م۲
(۱۳) او۲ب۲ - ۲۵ج۲د۲ (۱۴) ۸۱لا۲ - ۶۴و۲ (۱۵) ط۲ق۲ - ۱۰۰ط۲
(۱۶) ۱۴۴لا۲ - ۲۵لا۲و۲ (۱۷) ۱۹۲و۲ - ۲۴۳و۲لا۲
(۱۸) ۴۹۸و۲لا۲ - ۱۲۸لا (۱۹) ۳۲۴ لا۲و۲ - ۴۸۴لا۲و۲
(۲۰) ۲۲۵م۲ن۲ - ۶۰۵م۲ن۲ (۲۱) (۱ + ۲ب)۲ - ۲۵ج۲
(۲۲) و۲ - (۳ب - ۵ج)۲ (۲۳) (لا + ی)۲ - (لا - ی)۲
(۲۴) (۱۳ + ۲لا)۲ - (۳و + لا)۲ (۲۵) ۴(۱ - ب)۲ - ۹(ج - د)۲
(۲۶) ۴۹لا۲ - (۵ی - ۳ء)۲ (۲۷) (۸لا + ۵)۲ - (۲لا - ۷)۲
(۲۸) (۱ + ب - ج)۲ - (۱ - ب + ج)۲
(۲۹) (۲و - ۳ب + ۴ج)۲ - (۱ + ۲ب - ۵ج)۲
(۳۰) ۶۴ (۱ + ۳لا - ۴ی)۲ - ۹ (۲و - لا + ۳ی)۲
(۳۱) (۴لا۲ - ۵ا۲)۲ - (۵لا۲ - ۴و۲)۲
(۳۲) (۵و۲ - ۱۳ + ۷)۲ - (۵و۲ - ۱۳ - ۷)۲
۷۵ جملها ئیکه بیک نظر بشکل ا۲ - ب۲ تبدیل شده نمیتوانند
امثله ذیل تشریح تبدیل فوق را خواهند کرد:-

--- page 183 ---

۱۷۸
مثال ۱ آ۴ + ا۲ب۲ + ب۴ را بمضروبات تفریق کنید
آ۴ + ا۲ب۲ + ب۴ = (آ۴ + ۲ا۲ب۲ + ب۴) - ا۲ب۲
= (ا۲ + ب۲)۲ - (اب)۲
= { (ا۲ + ب۲) + (اب) } { (ا۲ + ب۲) - اب }
= (ا۲ + اب + ب۲) (ا۲ - اب + ب۲)
مثال ۲ لا۴ + ۴ را بمضروبات تفریق کنید
لا۴ + ۴ = (لا۴ + ۴لا۲ + ۴) - ۴لا۲
= (لا۲ + ۲)۲ - (۲لا)۲
= { (لا۲ + ۲) + ۲لا } { (لا۲ + ۲) - ۲لا }
= (لا۲ + ۲لا + ۲) (لا۲ - ۲لا + ۲)
مثال ۳ لا۴ - ۶لا۲ + ۱ را بمضروبات تفریق کنید
لا۴ - ۶لا۲ + ۱ = (لا۴ - ۲لا۲ + ۱) - ۴لا۲
= (لا۲ - ۱)۲ - (۲لا)۲
= { (لا۲ - ۱) + ۲لا } { (لا۲ - ۱) - ۲لا }
= (لا۲ + ۲لا - ۱) (لا۲ - ۲لا - ۱)
مثال ۴ آ۴ - ب۴ + ۲ب۲ج۲ - ج۴ را بمضروبات تفریق کنید
آ۴ - ب۴ + ۲ب۲ج۲ - ج۴ = آ۴ - (ب۴ - ۲ب۲ج۲ + ج۴)
= آ۴ - (ب۲ - ج۲)۲
= { آ۲ + (ب۲ - ج۲) } { آ۲ - (ب۲ - ج۲) }
= (آ۲ + ب۲ - ج۲) (آ۲ - ب۲ + ج۲)

--- page 184 ---

۱۷۹
مثال ۳۵ (۱ ب + ج د) - ا - ب + ج + د را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = (ج۲ + ۲ ج د + د۲) - (ا۲ - ۲ ا ب + ب۲)
=(ج + د)۲ - (۱ - ب)۲
={(ج + د) + (۱ - ب)} {(ج + د) - (ا - ب)}
=(ج + د + ا - ب) (ج + د - ا + ب)
مسئله (۴۲)
جملهای ذیل را بمضروبات تفریق کنید:-
(۱) لا۲ + لا + ۱ (۲) لا۲ + لا + ۱ (۳) ا۲ + ۲ لا + لا۲
(۴) ا۲ + ۲ لا + لا۲ (۵) لا۲ + ۲ ۶ (۶) ۴ لا۲ + ۸۱
(۷) ۹ لا۲ + ۳۶ (۸) ا۲ + ۲ ا + ۹ (۹) لا۲ - ۷ لا + ۹
(۱۰) ۴ لا۲ + ۸ لا + ۹ (۱۱) ۴ لا۲ - ۱۶ لا + ۹ (۱۲) ۴ لا۲ + ۳ لا + ۶
(۱۳) ۴ ا۲ - ۷ ا + ۹ (۱۴) ۴ ا۲ + ۲۵ ۶ (۱۵) ۹ لا۲ + ۲۳ لا + ۱۶
(۱۶) ۹ ا۲ - ۲۵ ا + ۱۶ (۱۷) ۹ لا۲ - ۳۳ لا + ۱۶ (۱۸) ۹ ا۲ - ا + ۱۶
(۱۹) ۱۶ لا۲ + ۴ لا ا + ۲۵ ا۲ (۲۰) ۹ ا۲ - ۱۹ ا لا + ۲۵ لا۲ (۲۱) لا۲ + ۸ لا + ۱۴۴
(۲۲) ا۲ - ۳۵ ا ب + ۲۵ ب۲ (۲۳) ۳۶ ا۲ - ۱۶ ا ب + ب۲
(۲۴) ۴۹ م۲ + ۱۶ ن۲ - ۶۰ م ن (۲۵) ۶۴ ا۲ + ۸۱ لا۲
(۲۶) ۴ لا۴ + (۱۷)۲ (۲۷) لا۲ - ی۲ + ۲ ی ع - ع۲ (۲۸) ۴ ا۲ - ب۲ - وج + ۹ ب ج
(۲۹) ۹ لا۲ - ۴ ی۲ + ۱۲ ی ع - ۹ ع۲ (۳۰) ا۲ - ۴ ب۲ - ۲۵ ج۲ + ۲۰ ب ج
(۳۱) ۳۰ لا ع + ۱۶ ی۲ - ۹ لا۲ - ۲۵ ع۲ (۳۲) ا۲ + ۴ ب۲ - وج۲ - ۴ د۲ - ۴ ا ب + ۴ ج د
(۳۳) (لا۲ - ۲ لا ی) - (ع۲ - ۲ ی ع) (۳۴) ۴ لا - ۱ + ۹ ا۲ - ۲۵ ب۲ + ۱۲ لا و - ۱۰ ب

--- page 185 ---

۱۸۰
(۳۵) ۹ لا ۶ - ۴ ی ۶ - ۴۹ ءُ - ۳۰ لا + ۲۸ ی ۶ + ۲۵
(۳۶) ۱۶ اُ - ۱۶ جُ - ۹ بٰ - ۲۴ اُ + ۲۴ ب ج + ۹
(۳۷) ۴۹ یُ + ۳۰ ء + لاً - ۱۲ الای - ۲۵ ءُ - ۴
(۳۸) ۱۶ الاً + ۲۴ ب ی - ۹ یُ + ۲۰ لا و - ۴۹ وُ + ۲۵ وُ
(۳۹) ۴۹ لاً - ۱ + ۱۶ یً - ۴ ءً ۱۶ + ۶۱ - ۵۶ لای
(۴۰) اً - بً جً + دً - ۲ (ا د - ب ج)
۷۶ جملہائیکہ شکل اٰ + بٰ یا اٰ - بٰ دارند
طریق معلوم کردن مضروبات اینچنین جملہآ در فقره ۵۵ و ۵۶ بیان شدہ است
درینجا چند سوال دشوار دیگر نوشته میشوند :-
مثال ۱ اٰ + بٰ را بمضروبات تفریق کنید
چون اٰ + بٰ = (ا + ب) (اُ - ا ب + بُ)
لہذا اُ + بُ = (اُ) + (بُ)
= (اُ + بُ) { (اُ) - (اُ) (بُ) + (بُ) }
= (اُ + بُ) { اً - اُ بُ + بً }
= (ا + ب) (اُ - ا ب + بُ) (اً - اُ بُ + بً)
مثال ۲ اٰ - لاٰ را بمضروبات تفریق کنید :-
چون اٰ - بٰ = (ا - ب) (اُ + ا ب + بُ)
لمحہ دا اُ - لاٰ = (اُ) - (لاً)
= (اُ - لاُ) { (اُ) + (اُ) (لاُ) + (لاُ) }
= (اُ - لاُ) (اً + اُ لاُ + لاً)
= (ا - لا) (اُ + ا لا + لاُ) (اً + اُ لاُ + لاً)

--- page 186 ---

۱۸۱
مثال ۶۴لا۴-لاؤ را مضروبات تفریق کنید
۶۴لا۴-لاؤ=لا(۶۴لا۳-ؤ)
=لا{(۴لا)۳-(ؤ)۳}
=لا(۴لا-ؤ){(۴لا)۲+(۴لا)(ؤ)+(ؤ)۲}
=لا(۴لا-ؤ)(۱۶لا۲+۴لاؤ+ؤ۲)
=لا(۲لا+و)(۲لا-و){(۱۶لا۲+۸لاؤ+ؤ۲)-(۴لاؤ)}
=لا(۲لا+و)(۲لا-و){(۴لا+ؤ)۲-(۲لاو)۲}
=لا(۲لا+و)(۲لا-و)(۴لا+ؤ+۲لاو)(۴لا+ؤ-۲لاو)
بصورت دیگر
۶۴لا۴-لاؤ=لا(۶۴لا۳-ؤ)
=لا(۸لا-ؤ)(۸لا+ؤ)
=لا(۲لا-و)(۴لا۲+۲لاو+ؤ)(۲لا+و)(۴لا۲-۲لاو+ؤ)
=لا(۲لا-و)(۲لا+و)(۴لا۲+۲لاو+ؤ)(۴لا۲-۲لاو+ؤ)
مسئله (۴۳)
جملهای ذیل را مضروبات تفریق کنید :-
(۱) ۱-۸ ب۳ (۲) ژ-۱۲۴لا۳ (۳) ۵۱۲لا۹+۱ (۴) ژ-۵۱۲ ب۹
(۵) ۲۷+۱۲۵لا (۶) م۶-ن۶ (۷) ۳۴۳لا۳+۵۱۲ی۳ (۸) ۶۴لا۶-۱
(۹) ۱-۶۴لا۱۲ (۱۰) ۱۲۵لا۶-۲۱۶ (۱۱) ۶۴آ۳ ب+۳۴۳دت۳
(۱۲) ۷۲۹لائی۳-۶۴لا۳ی۶ (۱۳) (آ+ب)۳+۸آب۳
(۱۴) (۲لا-۳ی)۳+ی۳ (۱۵) (۲آ-ب)۳-ب۳

--- page 187 ---

۱۸۲
۷۷ جملہائیکہ شکل لا۲ + ط لا + و دارند بیک نظر
بمضروبات تفریق شده میتوانند
چون لا۲ + (ا + ب) لا + اب = (لا + ا) (لا + ب)
لهذا ظاهر است که اگر مضروبات اینچنین جمله مطلوب باشد که شکل لا۲ + ط لا + و
دارد لازم است که اینچنین و مقدار ا و ب را معلوم کنید که ا + ب = ط
و اب = و باشد واین هر دو دائماً بیک نظر معلوم شده میتواند بشرط
اینکه او صحیح و منطق باشند برائے توضیح فقره مذکور فقره ۷ ملاحظہ
مثال ۱ لا۲ + ۱۷لا + ۳۰ را بمضروبات تفریق کنید :-
اول دو عدد را معلوم کنید که مجموع آنها = ۱۷ و حاصل ضرب آنها = ۳۰ باش
و دو عدد که حاصل ضرب آنها ۳۰ میباشد حسب ذیل هستند :-
(۱) ۱ و ۳۰ (۲) ۲ و ۱۵ (۳) ۳ و ۱۰ (۴) ۵ و ۶
از جمله این چهار قسم آن دو مضروب مطلوبست که حاصل جمع آنها ۱۷ باشد
لهذا دو مضروب مطلوب ۲ و ۱۵ میباشد :-
پس لا۲ + ۱۷لا + ۳۰ = (لا + ۲) (لا + ۱۵)
مثال ۲ لا۲ - ۱۱ لا + ۲۴ را بمضروبات تفریق کنید -
درین مثال آن عدد معلوم کرده شود که حاصل ضرب آنها ۲۴
و مجموع آنها - ۱۱ باشد پس ظاهر است که هر دو عدد منفی خواهند بود -

--- page 188 ---

و چون دو عدد منفی که حاصل ضرب آنها ۲۴ میباشد حسب ذیل هستند
(۱) -۱ و -۲۴ (۲) -۲ و -۱۲ (۳) -۳ و -۸ (۴) -۴ و -۶
بنابرین از چهار قسم فوق آن دو مضروب گرفته شود که حاصل جمع آنها -۱۱ باشد
لهذا دو عدد مطلوب -۳ و -۸ است پس لا۲ -۱۱لا + ۲۴= (لا-۳) (لا-۸)
مثال ۳ لا۲+ ۶ لا - ۴۰ را بمضروبات تفریق کنید
درین مثال آن عدد را معلوم کنید که حاصل ضرب آنها -۴۰ و مجموع آنها + ۶ باشد
و چون آن دو عدد که حاصل ضرب آنها -۴۰ میباشد بقرار ذیل میباشند
(۱) ۱ و -۴۰ (۲) -۱ و ۴۰ (۳) ۲ و -۲۰ (۴) -۲ و ۲۰
(۵) ۴ و -۱۰ (۶) -۴ و ۱۰ (۷) ۵ و -۸ (۸) -۵ و ۸
بنابرین از هشت قسم فوق آن دو عدد مطلوبست که مجموع آنها + ۶ باشد
لا ۲+۶لا -۴۰=(لا -۴) (لا+۱۰)
تنبیه چون مجموع دو عدد مطلوب مثبت است ظاهر است که عدد مثبت
از عدد منفی زیاده تر خواهد بود لهذا قسم اول و سوم و پنجم و هفتم سایا نظر ترک میشوند
مثال ۴ لا۲ - ۵ لا - ۳۶ را بمضروبات تفریق کنید
درین مثال آن دو عدد را دریافت کنید که حاصل ضرب آنها -۳۶ و مجموع آنها
-۵ باشد پس ظاهر است که اعداد مطلوب مختلف الاشاره و عدد منفی
از عدد مثبت زیاده تر خواهد بود-

--- page 189 ---

۱۸۴

پس دو عدد مطلوب یکی از اقسام ذیل میباشند :-
(۱) ۱ و - ۳۶ (۲) ۲ و - ۱۸ (۳) ۳ و - ۱۲ (۴) ۴ و - ۹
از اقسام فوق آن دو عدد مطلوبست که مجموع آنها - ۵ باشد لہذا دو عدد مطلوب
۴ و - ۹ است پس لا۲ - ۵ لا - ۳۶ = (لا + ۴) (لا - ۹)
مثال ۵ ا۲ + ۷ اب + ۱۲ ب۲ را بمضروبات تفریق کنید
ظاهر است که مضروبات مطلوب ا + ط ب وا + ق ب میباشند بشرط
اینکه ط + ق = ۷ و ط ق = ۱۲ پس بقرار امثله فوق ۳ و ۴ انچنین
اعداد میباشند که مجموع آنها ۷ است و حاصل ضرب آنها ۱۲
لہذا ا۲ + ۷ ا ب + ۱۲ ب۲ = (ا + ۳ ب) (ا + ۴ ب)
مثال ۶ م۲ - ۱۳ م ن + ۲۰ ن۲ را بمضروبات تفریق کنید
آن دو عدد را معلوم کنید که مجموع آنها = - ۱۳ و حاصل ضرب آنها ۲۰ باشد
پس حسب دلائل امثله فوق - ۱۰ و - ۳ اعداد مطلوب هستند
لہذا م۲ - ۱۳ م ن + ۲۰ ن۲ = (م - ۱۰ ن) (م - ۳ ن)
مثال ۷ ا۴ - ا۲ - ۱۲ را بمضروبات تفریق کنید -
فرض کنید که لا = ا۲ :. جمله فوق = لا۲ - لا - ۱۲
پس ظاهر است که (لا۲ - لا - ۱۲) = (لا - ۴) (لا + ۳)
ا۴ - ا۲ - ۱۲ = (ا۲ - ۴) (ا۲ + ۳)
= (ا + ۲) (ا - ۲) (ا۲ + ۳)

--- page 190 ---

۱۸۵

مثال ۸ (لا ۲ + ۳ لا) ۲ - ۳ (لا ۲ + ۳ لا) - ۱۸ را بمضروبات تفریق کنید
فرض کنید که ا = لا ۲ + ۳ لا :. جمله فوق = ا ۲ - ۳ ا - ۱۸
و نیز ظاهر است که ا ۲ - ۳ ا - ۱۸ = (ا - ۶) (ا + ۳)
لهذا جمله مفروضه = { (لا ۲ + ۳ لا) - ۶ } { (لا ۲ + ۳ لا) + ۳ }
= (لا ۲ + ۳ لا - ۶) (لا ۲ + ۳ لا + ۳)

مثال ۹ (۱۵ + ب) ۲ + ۵ (۱۵ + ب) (ا + ۲ ب) - ۲۰ (ا + ۲ ب) ۲ را بمضروبات تفریق کنید
فرض کنید که لا = ۱۵ + ب و ی = ا + ۲ ب :. جمله فوق = لا ۲ + ۵ لا ی - ۲۰ ی ۲
لیکن ظاهر است که لا ۲ + ۵ لا ی - ۲۰ ی ۲ = (لا + ۵ ی) (لا - ۴ ی)
لهذا جمله مفروضه = { (۱۵ + ب) + ۵ (ا + ۲ ب) } { (۱۵ + ب)
- ۴ (ا + ۲ ب) }
= (۱۱ ا + ۱۱ ب) (ا - ۷ ب)

مثال ۱۰ ۸ لا ۲ + ۲ لا - ۳ را بمضروبات تفریق کنید :-
۸ لا ۲ + ۲ لا - ۳ = ۱/۸ (۸ × ۸ لا ۲ + ۲ × ۸ لا - ۳ × ۸)
= ۱/۸ (ا ۲ + ۲ ا - ۲۴) (بشرط اینکه ا = ۸ لا)
و چون (ا ۲ + ۲ ا - ۲۴) = (ا + ۶) (ا - ۴)
لهذا جمله مفروضه = ۱/۸ (ا + ۶) (ا - ۴)
= ۱/۸ (۸ لا + ۶) (۸ لا - ۴)
= ۱/۸ { ۲ (۴ لا + ۳) × ۴ (۲ لا - ۱) }
= (۴ لا + ۳) (۲ لا - ۱)

--- page 191 ---

١٨٦

مثال ١٢لا٢ + ٧لا - ١٠ را بمضروبات تفریق کنید -
١٢ لا٢ + ٧لا - ١٠ = ١/١٢ (١٢ × ١٢لا٢ + ٧× ١٢لا - ١٠ × ١٢)
= ١/١٢ (لا١ ٢ + ٧لا١ - ١٢٠) (بشرط اینکه لا١ = ١٢لا)
و چون لا١ ٢ + ٧لا١ - ١٢٠ = (لا١ + ١٥) (لا١ - ٨)
لہٰذا جملہ مفروضہ = ١/١٢ (١٢لا + ١٥) (١٢لا - ٨)
= ١/١٢ { ٣ (٤لا + ٥) × ٤ (٣لا - ٢)}
= (٤لا + ٥) (٣لا - ٢)
مسئله (٤٢)
جملہای ذیل را بمضروبات تفریق کنید :-
(١) لا٢ + ٤لا + ٣ (٢) لا٢ + ٥لا + ٦ (٣) لا٢ + ٧لا + ١٢
(٤) لا٢ + ٩لا + ٢٠ (٥) لا٢ + ٩لا + ١٨ (٦) لا٢ + ١١لا + ٢٨
(٧) لا٢ - ١٠لا + ٢٤ (٨) لا٢ - ٨لا + ١٥ (٩) لا٢ - ١١لا + ٣٠
(١٠) لا٢ - ١٢لا + ٣٢ (١١) لا٢ - ١٢لا + ٢٤ (١٢) لا٢ - ٢٢لا + ٤٠
(١٣) لا٢ + ٧لا - ٣٠ (١٤) لا٢ + ٢لا - ٤٨ (١٥) لا٢ + ١٦لا - ٣٦
(١٦) لا٢ + ٩لا - ٣٦ (١٧) لا٢ + ١١لا - ٤٢ (١٨) لا٢ + ٤لا - ٧٢
(١٩) لا٢ - ٣لا - ٤٠ (٢٠) لا٢ - ١١لا - ٨٠ (٢١) لا٢ - ٢٩لا - ٩٦
(٢٢) لا٢ - ١٠لا - ٥٦ (٢٣) لا٢ - لا - ٤٢ (٢٤) لا٢ - لا - ٧٢
(٢٥) لا٢ + ٢٢لا + ١٢٠ (٢٦) لا٢ + ١٦لا - ٨٠ (٢٧) لا٢ - ٢١لا - ٧٢
(٢٨) لا٢ + ٥لا - ٨٤ (٢٩) لا٢ - ٢٠لا + ٩٦ (٣٠) لا٢ + ٢٣لا - ٧٨

--- page 192 ---

۱۸۷

(۳۱) لا - ۶ لا - ۷۲ (۳۲) لا - ۲۵ لا + ۱۴ (۳۳) لا - ۲۶ لا + ۸۸
(۳۴) لا + ۷ لا - ۱۲۰ (۳۵) لا - ۲ لا - ۸۰ (۳۶) لا + ۸ لا - ۸۴
(۳۷) و - ۱ - ۵۶ (۳۸) م - ۹ م - ۹۰ (۳۹) و + ۱۱ و - ۶۰
(۴۰) و - ۱۱ و + ۵۴ (۴۱) ط - ۲۲ ط - ۴۸ (۴۲) م + م - ۷۲
(۴۳) م + ۲۷ م - ۹۰ (۴۴) و - ۲۹ و + ۱۲۰ (۴۵) لا + ۷ لا - ۷۸
(۴۶) و - ۴۹ و - ۱۰۲ (۴۷) و - ۱۹ و + ۶۰ (۴۸) لا + ۱۲ لا - ۶۴
(۴۹) لا - ۴۶ و - ۱۲۰ (۵۰) لا + ۸ لا - ۱۰۵ (۵۱) لا - ۷ ی - ۴۲ ی
(۵۲) و - ۱۲ ا ب + ۳۲ ب (۵۳) م + م ن - ۳۰ ن (۵۴) و + ا ب - ۱۲ ا ب
(۵۵) و - ۲ ا ب - ۱۵ ا ب (۵۶) لا - ۷ لا ی - ۸ ی (۵۷) لا + ۳ لا ی - ۴۰ ی
(۵۸) ط - ۴ ا ط ق + ۴۸ ق (۵۹) ط + ۲ ط ق - ۸۰ ق (۶۰) لا + ۲۰ لا ی - ۹۶ ی
(۶۱) و + ۴ و - ۵ (۶۲) لا + ۲ لا - ۱۵ (۶۳) لا + ۳ لا - ۲۸
(۶۴) لا + ۲ لا - ۳ (۶۵) و - ۱۰ و + ۱۶ (۶۶) لا + ۳۶ لا - ۲۷
(۶۷) و + ۷ و - ۸ (۶۸) لا - ۲۰ لا + ۶۴ (۶۹) و - ۱۱ و - ۸۰
(۷۰) لا - ۷ لا - ۸ (۷۱) ( و + ۲ ) - ( و + ۲ ) - ۲
(۷۲) ( لا + ۳ لا ) + ۳ ( لا + ۳ لا ) + ۲ (۷۳) ( لا - ۲ لا ) - ۲ ( لا - ۲ لا ) - ۳
(۷۴) ( و - ۳ و ) - ۳ ( و - ۳ و ) - ۴ (۷۵) ( لا - ۴ لا ) - ۴ ( لا - ۴ لا ) - ۵
(۷۶) ( لا - لا ) - ۸ ( لا - لا ) + ۱۲ (۷۷) ( لا - ۵ لا ) + ۱۰ ( لا - ۵ لا ) + ۲۴
(۷۸) ( و + ۷ و ) - ۸ ( و + ۷ و ) - ۱۸۰ (۷۹) ( و + ۶ و ) - ۳۲ ( و + ۶ و ) - ۳۲۰

--- page 193 ---

۱۸۸
(۸۰) (لا- ۸ لا) - ۲۹ (لا - ۸ لا) + ۱۸۰
(۸۱) (۳لا + ۲ی) + (۳ لا + ۲ ی) (لا + ۲ ی) - ۲ (لا + ۲ی)۲
(۸۲) (۲ ا - ۵ ب)۲ + ۲ (۲ ا - ۵ ب) (ا + ۲ ب) - ۳ (ا + ۲ ب)۲
(۸۳) (۴ م - ۳ ن)۲ + ۳ (۴ م - ۳ ن) (م + ۵ ن) - ۴ (م + ۵ ن)۲
(۸۴) (۵ ا + ۳ ب)۲ + ۴ (۵ ا + ۳ ب) (ا + ب) - ۵ (ا + ب)۲
(۸۵) (۵ لا + ۷ ی)۲ - ۲ (۵ لا + ۷ ی) (لا - ی) - ۸ (لا - ی)۲
(۸۶) (۷ ا + ۳ ب)۲ - ۳ (۷ ا + ۳ ب) (ا - ۴ ب) - ۱۰ (ا - ۴ ب)۲
(۸۷) (۱۹ - ۴ ب)۲ - ۵ (۱۹ - ۴ ب) (ا - ۳ ب) - ۶ (ا - ۳ ب)۲
(۸۸) (۲م۲ + ۳ ن)۲ + ۵ (۲م۲ + ۳ن) (م۲ - ۲ ن) - ۱۴ (م۲ - ۲ن)۲
(۸۹) (لا۲ + ۶ لا ی)۲ - ۳ (لا۲ + ۶ لای) (لای - ۶ ی۲) + ۲ (لا ی - ۶ی۲)۲
(۹۰) (ا۲ - ۵ ا ب)۲ - ۹ (ا۲ - ۵ ا ب) (ا ب - ۴ ب۲) + ۸ (ا ب - ۴ ب۲)۲
(۹۱) ۲ لا۲ - لا - ۱۵    (۹۲) ۶ ا۲ - ا - ۱۵   (۹۳) ۸ م۲ - ۶ م - ۹
(۹۴) ۶ لا۲ + ۷ لای - ۲۴ ی۲ (۹۵) ۱۰ ا۲ - ۴۱ ا وب + ۲۱ ب۲ (۹۶) ۱۲ م۲ - م ن - ۲۰ ن۲
(۹۷) ۱۲ لا۲ + ۲۸ لای - ۵ ی۲   (۹۸) ۲۰ ا۲ + ا ب - ۳۰ ب۲
(۹۹) ۸ لا۲ - ۵۱ لای + ۳۵ ی۲ (۱۰۰) ۳ لا۲ + ۲۳ لای - ۴۴ ی۲
۷۸ طریق دریافت نمودن مضروبات جمله لا۲+ط لا+ق
بقاعده تفاضل دو مربع تام
توضیح مثال فوق بقرار ذیل است:-

--- page 194 ---

۱۸۹
مثال ۱ لا۲-۷ لا + ۱۲ را بمضروبات تفریق کنید:-
لا۲-۷ لا +۱۲=لا۲-۷ لا+ (۷/۲)۲-(۷/۲)۲+۱۲[ازجمع و تفریق(۷/۲)۲]
= {لا-۷/۲}۲-(۴۹/۴ - ۱۲)
= (لا-۷/۲)۲-۱/۴
= {(لا-۷/۲)+۱/۲} {(لا-۷/۲)-۱/۲}
= (لا-۳)(لا-۴)
تنبیه باید دانست که برای حصول مربع تام بالا ۷/۲ لا۲مربع نصف۷
(یعنے نصف امثال لا) جمع شده است- و این قاعده عمومی میباشد
که اگر بالا ۲÷۱ لا مربع ۱ جمع شود جمله مذکور مربع تام میگردد-
مثال ۲ لا۲+۲ لای-۸ ی۲-۴ ء۲+۱۲ ی ء را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = (لا+۲ لای+ی۲)-(۹ ی۲+۴ ء۲-۱۲ ی ء)
= (لا+ی)۲-(۳ی-۲ء)۲
= {(لا+ی)+(۳ی-۲ء)}{(لا+ی)-(۳ی-۲ء)}
=(لا+۴ی-۲ء)(لا-۲ی+۲ء)
مثال ۳ ۳ لا۲+۱۱لا-۴ را بمضروبات تفریق کنید:-
۳ لا۲+۱۱لا-۴ = ۳(لا۲+۱۱/۳ لا-۴/۳)
= ۳{(لا+۱۱/۶)۲-(۱۱/۶)۲-۴/۳}
= ۳{(لا+۱۱/۶)۲-(۱۲۱/۳۶+۴/۳)}

--- page 195 ---

۱۹۰

۳{ (لا+ ۱۱/۶)۲ - ۱۶۹/۳۶ } =
۳{ (لا+ ۱۱/۶) + ۱۳/۶ } { ۱۳/۶ - (لا+ ۱۱/۶) } =
=۳ (لا+ ۲۴/۶) ( -لا+ ۲/۶) = (لا+۴) (۳لا-۱)
مثال ۴ ۸لا۲ -۱۰لا+۳ را بمضروبات تفریق کنید
۸{لا۲ -۱۰/۸لا+ ۳/۸} = ۸لا۲ -۱۰لا+۳
=۸{لا۲ -۱۰/۸لا+ (۵/۸)۲ - (۵/۸)۲ + ۳/۸ }
=۸{ (لا- ۵/۸)۲ - (۲۵/۶۴ - ۳/۸) }
=۸{ (لا- ۵/۸)۲ - (۱/۸)۲ }
=۸{ (لا- ۵/۸) + ۱/۸ } { (لا- ۵/۸) - ۱/۸ }
=۸{ (لا- ۴/۸) (لا- ۶/۸) }
=(۲لا-۱) (۴لا-۳)
مثال ۵ ۲ ا۲ + ۵ ا ب - ۱۲ ب۲ را بمضروبات تفریق کنید
۲ ا۲ + ۵ ا ب - ۱۲ ب۲ = ۲(ا۲ + ۵/۲ ا ب - ۶ ب۲)
=۲{ا۲ + ۵/۲ ا ب + (۵/۴ ب)۲ - (۲۵/۱۶ ب۲ + ۶ ب۲)}
=۲{ (ا+ ۵/۴ ب)۲ - ۱۲۱/۱۶ ب۲ }
=۲{ (ا+ ۵/۴ ب) + ۱۱/۴ ب } { (ا+ ۵/۴ ب) - ۱۱/۴ ب }
=۲(ا+ ۱۶/۴ ب) (ا- ۶/۴ ب)
=(ا+ ۴ب) (۲ا- ۳ب)

--- page 196 ---

۱۹۱

مثال ۶ ولاّ+ (اّ+۱) لا+ ۱ را مضروبات تفریق کنید

{ولاّ+ (اّ+۱)لا+۱= ولاّ+ اّ+۱/و لا+۱

= {ولاّ+ اّ+۱/و لا+ (اّ+۱/۲و)٢} - (۱- ۱+اّ٢+اّ٢/۴و٢)}

={ولاّ+ اّ+۱/۲و}٢- ۱+اّ٢-اّ٢/۴و٢}

= {ولاّ+ اّ+۱/۲و+ ۱-اّ/۲و}{ولاّ+ اّ+۱/۲و - ۱-اّ/۲و}

= {ولا+۱}{ولا+اّ/و}

= (لا+۱)(ولا+اّ)

و بطرق فوق نیز ثابت شده میتواند که

ولاّ- (اّ+۱)لا+اّ= (ولا-۱)(لا-اّ)

و ولاّ+(اّ-۱)لا-اّ= (ولا+۱)(لا-اّ)

و ولاّ-(اّ-۱)لا-اّ= (ولا-۱)(لا+اّ)

مثال ۷ ۴(لا٢+٣لا+۵)٢+۱۷(لا٢+٣لا+۵)(لا٢+۶لا)+۴(لا٢+۶لا)٢ را

بمضروبات تفریق کنید

فرض کنید که ا=لا٢+٣لا+۵ وب=لا٢+۶لا

پس جمله مفروضه= ۴ا٢+۱۷اب+۴ب٢

وچون ۴ا٢+۱۷اب+۴ب٢= (ا+۴ب)(۴ا+ب) از قرار قاعده فوق

لهذا جمله مفروضه= {(لا٢+٣لا+۵)+۴(لا٢+۶لا)}{۴(لا٢+٣لا+۵)+(لا٢+۶لا)}

= (۵لا٢+٣۶لا+۵)(۵لا٢+۱۲لا+۲۰)

= (۵لا+۱)(لا+۵)۵(لا٢+۱۲لا+۲۰)

--- page 197 ---

۱۹۲

مسئله (۲۵)
بموجب قاعده مقرره فوق جمله‌های ذیل را بمضروبات تفریق کنید

(۱) لا٢+٤لا+٣
(٢) لا٢+٦لا+٥
(۳) لا٢+٨لا+١٥
(٤) لا٢-١٠لا+٢١
(٥) لا٢-١٢لا-٢٨
(٦) لا٢-٢لا-٢٥
(۷) لا٢-١٢لا+٣٢
(٨) لا٢-١٦لا-٥٥
(۹) ا٢+٢اب+ب٢+٢ب ج
(١٠) لا٢+٢لا-ی٢+٢ی
(١١) لا٢+٦لا-ی٢+٤ی+٥
(۱۲) ا٢+٤اب-٥ب٢ ج٢+٦ب ج (۱۳) لا٢-٦لای+٥ی٢-ع٢+٤ی ع
(١٤) لا٢-١٠لای+١٦ی٢-ع٢+١٢ی ع (١٥) ا٢-١٢اب-٣اب٢-و٢ ج+٢٤ب ج
(١٦) لا٢+١٢لای-٩ع٢+٣٦ی ع (۱۷) لا٢-١٤لای-١٥ی٢-٢٥ع٢+٨٠ع
(١٨) ٢لا٢-٥لا-٣
(١٩) ٣لا٢-٥لا-٢
(٢٠) ٣لا٢+١٢لا+٨
(٢١) ٤لا٢+٧لا-٢
(٢٢) ٦لا٢+لا-٢
(٢٣) ٦لا٢-٥لا-٤
(٢٤) ٦لا٢+٧لا-٣
(٢٥) ٨لا٢+١٢لا-١٥
(٢٦) ٤لا٢+٢لا-٣٥
(٢٧) ٦لا٢-لا-١٢
(٢٨) ٣لا٢-١٦لا-١٢
(٢٩) ٢لا٢-٩لا-٣٥
(٣٠) ٢لا٢+٥لا-٤٢
(٣١) ٣لا٢+١٣لا-٣٠
(٣٢) ١٢لا٢+لا-٦
(٣٣) ٢ا٢+٧اب-١٥ب٢ (٣٤) ٦لا٢-١٣لای+٦ی٢ (٣٥) ٦م٢-١١من-١٠ن٢
(٣٦) ٣ط٢+٥ط ق-١٢ق٢ (٣٧) ٨ا٢-١٢اب-١٥ب٢ (٣٨) ١٠م٢+١١من-٦ن٢
(٣٩) ١٢لا٢+١٣لای-٤ی٢ (٤٠) ١٥ا٢-١١اب-١٢ب٢ (٤١) ٢ا٢-٥اب+٢ب٢
(٤٢) ٣ا٢-٨اب-٣ب٢ (٤٣) ٣لا٢+٨لای-٣ی٢ (٤٤) ٤لا٢+١١لا-٤
(٤٥) ٤ا٢-٧اب+٢ب٢
(٤٦) ٥لا٢-٢٢لا-٥

--- page 198 ---

۱۹۳
(۴۷) ۵لآ - ۲۶ لای + ۵ی۲ (۴۸) ۶لا۲ + ۷لا + ۶ (۴۹) ۲ و۲ + ۳۵ وب - ۶ب۲
(۵۰) ۶ و۲ - ۳۵ وب - ۶ب۲ (۵۱) ۷ و۲ - ۵۰ وب + ۷ب۲ (۵۲) ۷ و۲ + ۴۸ وب - ۷ب۲
(۵۳) ۷ و۲ - ۴۸ وب - ۷ب۲ (۵۴) ۸لا۲ + ۶۳ لای - ۸ی۲ (۵۵) ۹لآ - ۸۲ لای + ۹ی۲
(۵۶) ۱۰لآ + ۹۹ لای - ۱۰ی۲ (۵۷) ۲ (و + ب)۲ + ۳ (و + ب) - ۲
(۵۸) ۴ (لآ + ی۲)۲ - ۳ لای (لآ + ی۲) - ۲لآ ی۲
(۵۹) ۲ (و + ب۲)۲ + ۵ وب (و + ب۲) + ۲ و۲ب۲
(۶۰) ۴ (لآ - ۴ لای + ی۲)۲ + ۵ الای (لآ - ۴ لای + ی۲) - ۴لآ ی۲
(۶۱) ۲ لآ - ۵لآ - ۱۲ (۶۲) ۸ و۲ - ۱۴ و ب - ۹ ب۲ (۶۳) ۹ و۲ + ۴ و ب - ۳۲ ب۲
(۶۴) ۸ لآ - ۶۵ لآ + ۸ (۶۵) ۴ و۲ - ۷ و ب + ۴ب۲
۷۹ طریق معلوم نمودن مضروبات جملهای جبرّیه
بقرار ترتیب حدود
مضروبات بعض جملها بذریعهٔ ترتیب حدود معلوم میشود که برای معلوم نمودن
مضروبات جملهای دیگر قاعده معینه نمیباشد -
لهٰذا چند مثال برائی افاده طلبه نوشته شدند تا در معلوم کردن مضروبات جملها
برائی ایشان سهولت حاصل شود مگر تعیین قاعده مقرره درینجای نشواند
مثال ۱ (۳لآ - ۴ب۲) و + (۳و۲ - ۴لآ) ب را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = ۳لآ و - ۴ب۲ و + ۳ و۲ ب - ۴لآ ب
= (۳لآ و + ۳و۲ب) - (۴ب۲ و + ۴لآب)
= ۳و(لآ + وب) - ۴ب(وب + لآ)
= (لآ + وب) (۳و - ۴ب)

--- page 199 ---

۱۹۴
مثال ۳ لآ + لآی ـ ی ع ـ ع را مضروبات تفریق کنید
حد چهارم با حد اول و حد دوم با حد سوم گرفته شود ـ
لهذا لآ+ لآی ـ ی ع ـ ع = (لآ ـ ع) + (لآی ـ ی ع)
= (لآ+ ع)(لآ ـ ع) + ی(لآ ـ ع)
= (لآ ـ ع) {لآ + ع + ی}
= (لا + ع)(لا ـ ع) {لآ + ع + ی}
مثال ۳ لآ + ۷ لآ ـ ۲۱لا ـ ۲۷ را مضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = (لآ ـ ۲۷) + (۷ لآ ـ ۲۱لا)
= (لا ـ ۳)(لآ+۳لا+۹) + ۷لا(لا ـ ۳)
= (لا ـ ۳) {لآ+۳لا+۹+۷لا}
= (لا ـ ۳) {لآ+۱۰لا+۹}
= (لا ـ ۳)(لا + ۱)(لا + ۹)
مثال ۴ ۴آ + ۱۲ ا ب + ۹ب ـ ۸ و ـ ۱۲ ا ب را مضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = (۴ لآ+ ۱۲ ا ب + ۹ب) ـ (۸ و + ۱۲ ا ب)
= (۲ا + ۳ب) ـ ۴(۲ا + ۳ب)
= (۲ا + ۳ب) { (۲ا + ۳ب) ـ ۴}
= (۲ا + ۳ب) (۲ا + ۳ب ـ ۴)
مثال ۵ ۲ و ـ ۲ ب ج + ۶ب + ا ج ـ ۷ ا ب را مضروبات تفریق کنید
ظاهر است که حد اول سوم و پنجم بلحاظ ا و ب حد و درجه دوم میباشند دوم و چهارم
بلحاظ حروف مذکور حد و درجه اول لهذا اگر سه حد اول را یکجا و دو حد دوم را یکجا بنویسیم

--- page 200 ---

۱۹۵
جمله مفروضه = (۳آ - ۷ ا ب + ۶ ب۲) + ج ( ا - ۲ ب)
= ( ا - ۲ ب) (۳آ - ۳ ب) + ج (ا - ۲ ب)
= (ا - ۲ ب) (۳آ - ۳ ب + ج)
مثال ۶ لا۲ - ی۲ - ۶۲ + ۲ ی ۶ + لا + ی - ۶ را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = ( لا۲ - ی۲ - ۶۲ + ۲ ی ۶) + (لا + ی - ۶)
= { لا۲ - (ی - ۶)۲} + (لا + ی - ۶)
= (لا + ی - ۶) (لا - ی + ۶) + (لا + ی - ۶)
= (لا + ی - ۶) {لا - ی + ۶ + ۱}
مثال ۷ اُلا۲ + اُ - ۲ ا ب لا۲ + ب۲ لا۲ + آب۲ - ۲ آ ب را بمضروبات تفریق کنید
ظاهر است که در حداًول مع سوم و چهارم لا و در حدو باقیمانده اُ مشترک میباشد
لهذا جمله مفروضه = ( اُلا۲ - ۲ ا ب لا۲ + ب۲ لا۲) + ( اُ + اُ ب۲ - ۲ اُ ب)
= لا۲ ( اُ - ۲ ا ب + ب۲) + اُ (۱ + ب۲ - ۲ ا ب)
= (اُ - ۲ ا ب + ب۲) (لا۲ + اُ)
= (۱ - ب)۲ (لا + اُ) (لا۲ - لا اُ + اُ۲)
مثال ۸ (ا + ب + ج) (ا ب + ب ج + ج ا) - ا ب ج را بمضروبات تفریق کنید
جملهای داخل خطوط قوسی را بقرار قولی ا ترتیب بدهید -
لهذا جمله مفروضه = {ا + (ب + ج)} {ا (ب + ج) + ب ج} - ا ب ج
= اُ (ب + ج) + اُ (ب + ج)۲ + ب ج (ب + ج)
= (ب + ج) {ا۲ + ا (ب + ج) + ب ج} = (ب + ج) (ا + ب) (ا + ج)

--- page 201 ---

۱۹۶

مثال ۹ آ (ب-ج) + ب۲ (ج-ا) + ج۲ (ا-ب) را بمضروبات تفریق کنید
آ (ب-ج) + ب (ج-ا) + ج۲ (ا-ب)
= آ (ب-ج) + (ا-ب+ج) + ب ج (ب-ج)  (ترتیب جمیع بلحاظ قوا آ)
= (ب-ج) {آ۲ - ا (ب+ب ج+ج۲) + ب ج (ب+ج)}
= (ب-ج) {-ب۲ (ا-ج) - ب ج (ا-ج) + ا (ا-ج۲)} .... (ترتیب جمیع بلحاظ قوا ب
= (ب-ج) (ا-ج) {-ب۲ - ب ج + ا (ا+ج)}
= (ب-ج) (ا-ج) {ج (ا-ب) + (ا۲-ب۲)} .... (ترتیب جمیع بلحاظ قوا ج
= (ب-ج) (ا-ج) (ا-ب) (ج+ا+ب)
تنبیه باید دانست که
(۱) بمجرد ترتیب دو جمله بلحاظ قوی آ یک مضروب ب-ج فورا ظاهر میشود
(۲) بمجرد ترتیب جزء آن جمله که در خطوط قوسی کلانست مضروب دیگر ا-ج ظاهر میشود
(۳) بمجرد ترتیب دو جمله که در خطوط قوسی کلان باقی میماند یک مضروب دیگر یعنی ا-ب ظاهر میشود
و در جمله مفروضه ترتیب حروف ا و ب و ج هم ملاحظه شود چنانچه ظاهر است
که اگر حد اول یعنی ا و ب و ج را بحروف ب و ج و ا تبدیل دهیم حد دوم پیدا میشود
و همچنین اگر حروف جمله دوم یعنی ب ج ا را بحروف ج ا ب تبدیل دهیم حد سوم پیدا میشود
لهذا این ترتیب حروف را ترتیب مدور میگویند.

--- page 202 ---

۱۹۷
مسئله (٤٦)
جملهائی ذیل را مضروبات تفریق کنید:-
(١) لا۲ + لا۳ + لا + ١ (٢) لا۲ + لا۲ - لا - ١ (٣) لا۲ - لا۲ - لا + ١
(٤) ب ج (آ + ١) + (ا ب۲ + ج) (٥) لا۲ - ا ب۲ + لا ب۲ - لا ۱
(٦) ا ب (لا۲ + ی۲) + لا ی (آ۲ + ب۲) (٧) لا۲ + لا ی - ی ۶ - ع۲
(٨) لا ب - ا رج - لا رج + ا ب (٩) (۲ آ۲ + ٣ ب۲) ا - (۲ آ + ٣ لا۲) ب
(١٠) ا (ا + رج) - ب (ب + ج) (١١) ۴ آ۲ + ٨ ا رج - ١٢ ب ج - ٩ ب۲
(١٢) و لا۲ + لا ج لا ۶ - ب ی - ب ج ی ۶ (١٣) لا۲ - ی۲ ۶ + ی لا۲ - ی۲ ۶
(١٤) ١٦ لا۲ - ١٥ ا ب + ١٢ ب لا - ٢٥ ا۲ (١٥) آ (ا + ٢ ب) + ب۲ (۲ ا + ب)
(١٦) م۲ - ٢ م۲ ن + ٢ م ن۲ - ن۲ (١٧) آ۲ + ٣ آ ب - ٢ ا ب۲ - ب۲
(١٨) لا (لا - ٣ ی) + ی (٣ لا - ی) (١٩) آ۲ + ٥ آ + ١٠ ا + ٨
(٢٠) لا۲ - ٧ ا لا۲ + ٨٥ لا - ١٢٥ (٢١) ٨ آ۲ + ١٨ آ ب - ٢٧ ا ب۲ - ٢٧ ب۲
(٢٢) لا۲ - ٣ لا ی + ی۲ - لا + ی (٢٣) ۴ آ - ٤ ا ب + ب۲ - ١٦ + ٣ ب
(٢٤) لا۲ - ٢ ولا + ٣ آ لا۲ - ٢ ولا + آ (٢٥) آ - ٣ آ ب + ٤ آ ب۲ - ٦ ا ب۲ + ٤ ب۲
(٢٦) آ۲ + ٣ ا ب + ٢ ب۲ + لا ج + ٢ ب ج (٢٧) لا۲ - ٤ لا ی + ٣ ی۲ + لا ۶ - ٣ ی ۶
(٢٨) م۲ + ٢ ط م - ٥ م ن - ٤ ط ن + ٦ ن (٢٩) آ - ١٠ ا ب - ٥ ا ب ج + ٢١ ب۲ + ٥ ا ج
(٣٠) ٢ لا۲ + ٤ لا (٤ ب - ٣ لا) + لا (٤ ب + ٥ لا) (٣١) ا۲ - ٣ ا (٣ ب - ١) + ٤ ب۲ (٢ ب - ٣)
(٣٢) ٣ لا (لا + ٢) - ٣ ی (٤ لا - ١) - ٣ ی (٣٣) آ - ب۲ - ج۲ - ٢ ب ج + ا - ب + ج
(٣٤) لا۲ - ٤ ی۲ - ٩ ۶۲ + ١٢ ی ۶ + ٤ لا - ٨ ی + ١٢ ۶

--- page 203 ---

۱۹۸
(۳۵) ۹ لا ۳- ۴ ع ۲ - ۲۲ لا ی + ۱۶ ی ۲ + ۲۰ ی - ۵ الا + ۱۰ء
(۳۶) ۲ آلا - ۵ آلا + ۳ آ - ۲ ب لا + ۵ آ ب لا - ۳ آ ب
(۳۷) ۲ لا ۲ + (۲ آ - ۳ ب) لا - (۲ ب + ۳ آ ب) لا + ۳ ب ۲
(۳۸) (آ + ب) لا - آ ب (۲ آ + ب) + ۱ (۲ ب لا - آ)
(۳۹) آ (ب + ج) + ب ۲ (ج - ۱) + ج ۲ (۱ - ب)
(۴۰) آ (ب + ج) + ب ۲ (ج + ۱) + ج ۲ (۱ + ب) + ۲ ا ب ج
(۴۱) آ ۲ (ب + ج) + ب ۲ (ج - آ) + ج ۲ (آ - ب ۲)
(۴۲) آ ۲ (ب + ج) + ب ۲ (ج - ۱) + ج ۲ (۱ - ب)
(۴۳) آ ۲ (ب + ج) + ب ۲ (ج - آ) + ج ۲ (آ - ب)
(۴۴) آ ۲ (ب + ج) + ب ۲ (ج - ۱) + ج ۲ (۱ - ب)
مثله متفرقه
مثال ا آ + ب ۲ + ج ۲ - ۳ ا ب ج را بر ا + ب + ج تقسیم کنید
چون ب ۲ + ج ۲ = (ب + ج) ۲ - ۳ ب ج (ب + ج)
.: آ + ب ۲ + ج ۲ - ۳ ا ب ج = آ + (ب + ج) ۲ - ۳ ب ج (ب + ج) - ۳ ا ب ج
= { آ + (ب + ج) } - ۳ ب ج { ا + (ب + ج) }
= { ا + (ب + ج) } { آ ۲ - ا (ب + ج) + (ب + ج) ۲ } - ۳ ب ج ( ا + ب + ج)
= ( ا + ب + ج) { آ ۲ - ا ب - ا ج + ب ۲ + ج ۲ - ۲ ب ج } - ۳ ب ج ( ا + ب + ج)
= ( ا + ب + ج) ( آ ۲ - ا ب - ا ج + ب ۲ + ج ۲ + ۲ ب ج - ۳ ب ج)
= ( ا + ب + ج) ( آ ۲ + ب ۲ + ج ۲ - ا ب - ا ج - ب ج)
.: خارج قسمت مطلوب = آ ۲ + ب ۲ + ج ۲ - ا ب - ا ج - ب ج

--- page 204 ---

۱۹۹
مثال ۳ لا۳+۷ لا۲+۱۴لا+۸ را لمضروبات تفریق کنید
اگر در مثال فوق بنظر دقت ملاحظه کنیم واضح میگردد که جمله مفروضه با نچنین
دو حصه تقسیم کرده میتوانیم که هر یک از انها بر لا+۲ بدون باقی تقسیم میشود
(۱) (لا۲+۸)+۷ لا(لا+۳) (۲) لا(لا+۳)+۵ لا(لا+۳)+۴(لا+۴)
پس بقرار طریق دوم لا۳+۷ لا۲+۱۴لا+۸=(لا+۳)(لا۲+۵لا+۴)
=(لا+۳)(لا+۱)(لا+۴)
تنبیه ـ باید دانست که اگر لا= -۱ یا -۲ یا -۴ باشد
قیمت جمله مفروضه در هر حالت صفر خواهد بود
مثال ۳ لا۳+۶ لا۲+۱۱لا+۶ را بمضروبات تفریق کنید
بعد از تحقیق معلوم میشود که جمله مفروضه باینچنین دو حصه منقسم شده میتواند
که هر حصه برلا+۳ بدو طریق ذیل بدون باقی تقسیم میشود : ـ
(۱) لا(لا+۳)+۳لا(لا+۳)+۲(لا+۳) و (۲) لا(لا۲+۶لا+۹)+۲(لا+۳)
پس بموجب طریق دوم لا۳+۶ لا۲+۱۱لا+۶=لا(لا+۳)۲+۲(لا+۳)
=(لا+۳){لا(لا+۳)+۲}
=(لا+۳)(لا۲+۳لا+۲)
=(لا+۳)(لا+۱)(لا+۲)
تنبیه درین مثال نیز ظاهر است که اگر لا= -۳ یا -۱ یا -۲ باشم
در هر حالت قیمت جمله مفروضه صفر خواهد بود
مثال ۴ لا۳-۳ لا۲-۵لا+۶ را بمضروبات تفریق کنید

--- page 205 ---

٢٠٠
بعد از ملاحظه معلوم میشود که جمله مفروضه باینچنین دو حصه منقسم شده میتواند
که هر حصه بر لا-١ بدو طریق ذیل بدون باقى تقسیم میشود:-
(١)لا (لآ-٢لا+١)-٦(لا-١) (٢)لآ(لا-١) ٤لا(لا-١)-٦(لا-١)
پس بطریق اول لآ-٣لآ- ٥لا+٦=لا(لا-١)-٦(لا-١)
=(لا-١) {لا (لا-١) - ٦}
=(لا-١)(لآ-لا-٦)
=(لا-١)(لا-٣)(لا+٢)
تنبیه درین مثال نیز اگر لا=١ یا ٣ و یا -٢ باشد قیمت جمله معروضه صفر خواهد بود
پس ظاهر است که هرگاه در یک جمله جبریه اِ بجای لا نوشته شود
و قیمت جمله صفر باشد در انصورت لا-١ یک مضروب جمله مذکور میباشد
و مثال ذیل بقرار اصول فوق حل میشود:-
مثال ٥لآ+لآ-٢١لا-٣٨ را بمضروبات تفریق کنید:-
بعد از امتحان معلوم میشود که اگر -٢ بجای لا نوشته شود جمله مفروضه صفر میباشد
لهذا لا+٢ یک مضروب جمله مفروضه خواهد بود
.٠. لآ+لآ-٢١لا-٣٨=لآ(لا+٢)-لا(لا+٢)-١٩(لا+٢)
=(لا+٢)(لآ-لا-١٩)
مثال ٦٨لآ+١٦لا-٩ را بمضروبات تفریق کنید
ظاهر است که جمله مفروضه باینچنین دو حصه منقسم شده میتواند که هر حصه آن
بر ٢لا-١ بدو طریق ذیل بدون باقى تقسیم میشود:-

--- page 206 ---

۲۰۱

(۱) (۸ لا۲ - ۱) + ۸ (۳ لا - ۱) و (۲) ۳ لا (۴ لا - ۱) + ۹ (۳ لا - ۱)
پس حسب طریق اول ۸ لا۲ + ۱۶ لا - ۹ = (۸ لا۲ - ۱) + ۸ (۳ لا - ۱)
= (۳ لا - ۱) { (۴ لا۲ + ۱) + ۸ }
= (۳ لا - ۱) (۴ لا۲ + ۲ لا + ۹)
مثال ۷ آ ۳ + ۷ اب ۲ - ۲۲ ب ۳ را بمضروبات تفریق کنید
ظاهر است که جمله مفروضه بآنچنین دو حصه منقسم شده میتواند که هر حصه آن
بر ۱ - ۲ ب بد و طریق ذیل بدون باقی تقسیم میشود :-
(۱) ۱ ۳ - ۸ ب ۳ + ۷ ب ۲ (۱ - ۲ ب) (۲) ۱ (۱ ۲ - ۴ ب ۲) + ۱ ب (۱ - ۲ ب)
پس بطریق (۱) ۱ ۳ + ۷ ا ب ۲ - ۲۲ ب ۳ = (۱ ۳ - ۸ ب ۳) + ۷ ب ۲ (۱ - ۲ ب)
= (۱ - ۲ ب) { (۱ ۲ + ۲ ا ب + ۴ ب ۲) + ۷ ب ۲}
= (۱ - ۲ ب) (۱ ۲ + ۲ ا ب + ۱۱ ب ۲)
مثال ۸ لا۲ + ۲ (۱ ۲ + ب ۲) + ۳ و لا - ب (۳ لا + ۱۵) را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه را نظر بقواعد متناقضه لا تنظیم بدهید
پس جمله مفروضه = لا۲ + ۳ (ا - ب) لا + (۲ ۱ ۲ - ۵ ا ب + ۲ ب ۲)
= لا۲ + ۳ (ا - ب) لا + (۲ ۱ - ب) (۱ - ۲ ب)
= لا۲ + { (۲ ا - ب) + (ا - ۲ ب) } لا + (۲ ۱ - ب) (۱ - ۲ ب)
= { لا + (۲ ا - ب) } { لا + (۱ - ۲ ب) }
= (لا + ۲ ۱ - ب) (لا + ۱ - ۲ ب)

--- page 207 ---

۲۰۳
مثال ۹ لا۴ - ۶لای + ۸ ی۲ -ع۲ + ۲ی ع را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = (لا۴ - ۶لای + ۹ ی۲) - (ی۲ + ع۲ - ۲ ی ع)
=(لا۲-۳ی)۲ - (ی - ع)۲
= {(لا۲-۳ی) + (ی - ع)}{(لا۲-۳ی) - (ی - ع)}
= (لا۲-۲ی -ع)(لا۲-۴ی + ع)
مثال ۱۰ (ا۲-ب۲)(لا۲-ی۲) + ۴ اب لای را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = ا۲لا۲ - ا۲ی۲ - ب۲لا۲ + ب۲ی۲ + ۴ ا ب لای
= (ا۲لا۲ + ب۲ی۲ + ۲ ا ب لای) - (ا۲ی۲ + ب۲لا۲ - ۲ ا ب لای)
= (الا + ب ی)۲ - (ای - ب لا)۲
= {(الا + ب ی) + (ای - ب لا)}{(الا + ب ی) - (ای - ب لا)}
= {(ا - ب) لا + (ا + ب) ی} {(ا + ب) لا - (ا - ب) ی}
مثال ۱۱ لا۴ + ۶لا۳ + ۲لا۲ - ۱۵لا + ۶ را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = (لا۴ + ۶لا۳ + ۹لا۲) - (۵لا۲ + ۱۵لا) + ۶
= (لا۲ + ۳لا)۲ - ۵(لا۲ + ۳لا) + ۶
= {(لا۲ + ۳لا) - ۲}{(لا۲ + ۳لا) - ۳}
= (لا۲ + ۳لا - ۲) (لا۲ + ۳لا - ۳)
مثال ۱۲ لا۴ + ۲لا۳ی + ۳لا۲ی۲ + ۲لای۳ + ی۴ را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = (لا۴ + ۲لا۳ی + لا۲ی۲) + لا۲ی۲ + (۲لا۲ی + ۲ لای۳)
= (لا۲ + لا ی)۲ + (لا ی)۲ + ۲(لا ی)(لا۲ + لا ی)
= {(لا۲ + لا ی) + لا ی}۲
= (لا۲ + لای + ی۲)۲

--- page 208 ---

۲۰۳
مثال ۱۳ (لا-۱)(لا-۲)(لا+۳)(لا+۴)+۴ را بمضروبات تفریق کنید
(لا-۱)(لا-۲)(لا+۳)(لا+۴)={(لا-۱)(لا+۳)}{(لا-۲)(لا+۴)}
=(لآ+۲لا-۳)(لآ+۲لا-۸)
پس اگر لآ+ ۲لا = ء باشد
جمله مفروضه = (ء-۳)(ء-۸)+۴
=ء-۱۱ء+۲۸
=(ء-۴)(ء-۷)
=(لآ+۲لا-۴)(لآ+۲لا-۷)
تنبیه طالب علم را باید که این امر را بغور ملاحظه کند که لا- ۱ در لا+۳
ولا+۴ در لا-۲ چرا ضرب شده است یے کند
مثال ۱۴ اگر لا+ی=ا ولای=ب باشد قیمت جملها ذیل رامعلوم
(۱) لآ+ ی (۲) لآ- لآی- لای+ ی
(۱) لآ+ ی =(لآ+ی)-۲لآی
={(لا+ی)-۲لای}-۲لآی
پس قیمت مطلوب =(ا-۲ب)-۲ب
=ا-۴ا ب+۲ب
(۲) لآ-لآی -لای+ ی=لآ(لا-ی)-ی(لا-ی)
=(لا-ی)(لآ-ی)
=(لا-ی)(لا+ی)
={(لا+ی)-۴لای}(لا+ی)=(ا-۴ب)ا

--- page 209 ---

۲۰۴
مثال ۵ اقیمت لا - لا + لا + ۲ را معلوم کنید اگر لا + ۲ = ۲ لا باشد
لا - لا + لا + ۲ = ( لا + لا + لا ) - ۲ ( لا - ۱ )
= لا ( لا + لا + ۱ ) - ۲ ( لا - ۱ ) ( لا + لا + ۱ )
= ( لا + لا + ۱ ) { لا - ۲ ( لا - ۱ ) }
= ( لا + لا + ۱ ) ( لا - ۲ لا + ۲ )
پس قیمت مطلوبه = ( لا + لا + ۱ ) × ۰
= 
مثال ۶ اقیمت ا + ب + ج - ۳ ب ج - ۲ ج ا - ۲ ا ب را معلوم کنید
اگر ا + ب = ج
جمله مفروضه = ا - ۲ ( ب + ج ) ا + ب + ج - ۲ ب ج
= { ا - ۲ ( ب + ج ) ا + ( ب + ج ) } - ( ب + ج ) + ب + ج - ۳ ب ج
= { ا - ( ب + ج ) } - ۴ ب ج
= { ا - ب - ج } - ۴ ب ج
= ( ا - ب - ج + ۲ ب ج ) ( ا - ب - ج - ۲ ب ج )
= { ا - ( ب - ج ) } { ا - ( ب + ج ) }
= ( ا + ب - ج ) ( ا - ب + ج ) ( ا + ب + ج ) ( ا - ب - ج )
پس جمله مفروضه = ۰ زیرا که ا + ب = ج
مسئله (۴۷)
تقسیم کنید
(۱) ا + ب - ج + ۳ ا ب ج را بر ا + ب - ج (۲) لا - ی - ۱ - ۳ لای را بر لا - ی - ۱

--- page 210 ---

۲۰۵
(۳) لا۲ - ۸ سی۲ + ۲۷ ع۲ + ۱۸لاسی ع را بر لا - ۲ سی + ۳ ع
(۴) ۸ آ - ۲۷ ب۲ ج۳ - ۱۸ اوب ج را بر ۴ آ + ۹ ب۲ ج۲ + ۶ اوب - ۱۲ ب ج
(۵) لا - ۲۶ لا۲ - ۲۷ را بر (لا + ۳ لا + ۹) (لا - لا + ۱)
(۶) (آ - ب ج) + ۲۷ ب ج آرا بر آ - ۵ آ۲ ب ج + ۱۳ آ ب ج۲
(۷) ۱۲۵ - ۸ آ + ب۲ + ۳۰ اوب را بر (ا + ب۲) + (۱ + ۵)۲ + ۲ آ - ۵ ب
(۸) ۲ لا۲ - لا + لا + ۴ را بر لا + ۱ (۹) لا۲ - ۴ لا + ۷ لا۲ - ۱۱ لا + ۱۰ را بر لا - ۲
(۱۰) لا۳ - لا - ۳ ا لا + ۱۳ لا - ۶ را بر لا + ۳ (۱۱) لا۲ + ۴ لا - ۳۹ را بر لا - ۳
(۱۲) ۲ آ - ۴ آ ب + ۴ ۲ ب۲ را بر ۱ + ۲ ب
(۱۳) ۲ آ - ۵ آ۲ ب + ۸ آ ب۲ - ۷ ا ب۲ + ۳ ب۲ را بر ۱ - ۳ ب
(۱۴) لا۳ + لا۲ - ۱۰ لا۲ + ۷ لا - ۴ را بر لا + ۴ (۱۵) لا + ۳ لا سی۲ - ۲۷ سی را بر لا - ۴ سی
جملهای ذیل را بمضروبات تفریق کنید:-
(۱۶) لا۲ + ۸ لا + ۱۹ لا + ۱۲ (۱۷) لا۲ + ۹ لا + ۲۶ لا + ۲۴ (۱۸) لا۲ - ۶ لا۲ + ۱۱ لا - ۶
(۱۹) لا۲ + ۵ لا۲ - ۲ لا - ۲۴ (۲۰) لا۳ - ۴ لا۲ + لا + ۳ (۲۱) لا + ۵ لا - ۲ لا - ۶
(۲۲) لا۳ - ۶ لا۲ + ۱۳ لا - ۱۰ (۲۳) لا۳ - ۳ لا۲ - ۹ لا + ۱۳ لا + ۲۰
(۲۴) لا۳ - ۳ لا۲ - لا + ۱۳ لا - ۱۰ (۲۵) لا۳ - ۵ لا۲ + لا + ۱۳ لا + ۶
(۲۶) لا۳ + ۵ لا - ۸ لا۲ - ۳۰ لا + ۳۶ (۲۷) لا۳ - ۷ لا۲ + ۹ لا۲ + ۲۶ لا - ۵۶
(۲۸) لا۳ - ۷ لا۲ + ۱۳ لا - ۱۵ (۲۹) لا۳ - ۵ لا + ۱۲ (۳۰) لا۳ - ۶ لا۲ + ۳۲
(۳۱) ۲ لا۲ - ۳ لا۲ - ۴ (۳۲) لا۲ - ۹ لا ی - ۱۰ ی۲ (۳۳) ۲ آ + ۴ آ ب - ۹ ب۲
(۳۴) ۵ آ - ۳ آ ب - ۲۸ ب۲ (۳۵) ۸ لا۲ + ۲ لا - ۳ (۳۶) ۲ لا + ۵ لا - ۴ لا - ۳
(۳۷) لا۳ - ۲ لا - ۲ (۳۸) ۲ آ - آ۲ ب - ب۲ (۳۹) ۳ لا + ۸ لا۲ - ۸ لا - ۳

--- page 211 ---

۲۰۶

(۴۰) لا۳-۶ لای + ۹ ی۳ (۴۱) لا۳+ب لا-(ا-۳ ا ب +۲ ب۲)
(۴۲) لا۴+۴لاب لای۲-(ا-ب۲)ی۲ (۴۳) آ۲+۲(لا+ی) آب+(لا-ی) ۲ب۲
(۴۴) آ۲+(لا+ی) ا-۲لا۲+۵لای-۳ی۲ (۴۵) لا (لا+۱)-۳آ+۳ب (ا+لا)+۳ب۲
(۴۶) لا۴+۴ لای+۳ی۲+۲یء-ء۲ (۴۷) ۲ا-۴ ا ب-۳ب۲+۱۲ب ج-وج۲
(۴۸) لا۲+ ۶ لا۲+۸لا۲+۶لا-۹ (۴۹) آ۲-۴ ا ب-۵اب۲+۶ا ب-ب۳
(۵۰) ۴ لا۲-۳۰لا۳+۲۴لا+۶لا-۹ (۵۱) لا-۲لا+۳لا-۴لا+۱
(۵۲) ا-۹ا۲+۳۰ا-۲۵ (۵۳) ا-۲ ا ب لا-(ا ج-ب)لا+ب ج لا۲
(۵۴) لای۲+لای۲-ء۲+۲لایء+۱ (۵۵) لا(ی-ء)+۴لایء-ی۲+ء۲
(۵۶) (ا-ب)(لا+ی)+۲(ا+ب)لای (۵۷) لا۳-۴لا-لا+۱۰لا+۴
(۵۸) ا-۶ا۲+۱۵ا-۸+۵ ۱ (۵۹) ۴لا+۱۲لا-۵لا-۳۱لا+۱۲
(۶۰) لا۲-۵لای+۶لای-۵لای+ی (۶۱) لا۲-۵لا+۴: لا-۲۰لا+۱۶
(۶۲) ا-۷ آب+۴ا۲ب-۴ا ب۲+۴ ب۳ (۶۳) لا+۴لا-۱۱لا+۳۰لا+۲۵
(۶۴) لا۴+۴ا۳ب-۱۰ا ب+۴ا ب۳+ب۴ (۶۵) لا۲+۸لا۲+۲۴لا+۳۲لا-۲۰
(۶۶) (لا+۱)(لا+۳)(لا-۴)(لا-۶)+۱۳ (۶۷) (لا+۲)(لا+۳)(لا+۴)(لا+۵)-۳۶۰
(۶۸) لا (۲لا+۱) (لا-۲) (۲لا-۳)-۶۳ کنند
(۶۹) قیمت لای (لا+ی)+یء(ی+ء)+ءلا(ء+لا)+۳لایء را معلوم
اگر لا=۱(ب-ج) وی=ب(ج-ا) وء=ج(ا-ب)
(۷۰) قیمت (ی-ء)(ی۲-ء۲)-لا{(ی-ء)+لا(ی+ء)}+لا را معلوم کنید
اگر لا=ا-ب۲ وی=ب-ج۲ وء=ا۲-ج۲

--- page 212 ---

۲۰۷

(۷۱) قیمت لا۲-۲(ی-۲) لا-۳ی۲+۲۰ی-۳۲ را معلوم کنید اگر لا+ی=۴
(۷۲) قیمت لا۲-ی۲+۲لا+۴ی-۴۵ را معلوم کنید اگر لا+ی=۲۵ ولا-ی=۶
(۷۳) قیمت لا۲+ی۲-ع۲+۳لائی ع را معلوم کنید اگر لا=ا-ب وی=۲اوب
وع=ا۲+ب۲ باشد
(۷۴) قیمت ۸ لای (لا۲+ی۲) را معلوم کنید اگر لا+ی=۴۳ ولا-ی=۲۱
(۷۵) قیمت لا۳+ی۳ را معلوم کنید اگر لا+ی=ا ولا ی=ب
(۷۶) قیمت لا۳+ی۳+ع۳-۳ لای ع را معلوم کنید اگر لا= ۶۵۸ وی=۶۶۸
وع=۶۷۴ باشد
باب هشتم
عاد اعظم یا قاسم مشترک اعظم
۱- تعریف مضروب مشترک دو یا زیاده جمله جبر یه آن جمله میباشد
که هر یکی از انها را بدون باقی تقسیم کند
تنبیه مراد از جمله در فقره فوق جمله منطق و صحیح میباشد
مضروب اصلی یک جمله آنست که بمضروبات تفریق نمیشود حاصل ضرب
مضروبات اصلیه مشترکه دو یا زیاده جمله را قاسم مشترک اعظم یا عاد اعظم میگویند
مثلاً چون ۶ا۲ ب(لا۲-ا)=۲×۳×ا×ا×ب×(لا+ا)×(لا-ا)
و ۱۵اوب۲(لا۲-۴لا+۳)=۳×۵×ا×ب×ب×(لا-ا)×(لا-۳)
لهذا مضروبات اصلیه مشترکه دو جمله فوق ۳ وا وب ولا-ا میباشند
بنابرین قاسم مشترک اعظم جملهای مذکور ۳ اوب (لا-ا) است-

--- page 213 ---

۲۰۸
تنبیه‌ ۱ باید دانست که در مثال فوق علاوه از ۲ اب (لا-۱) مضروبات
مشترکه ۳ ا و ب (لا-۱) و ا ب و ۳ (لا-۱) و ۳ ا و ب نیز میباشند مگر مضروبات اصلیه نیستند
تنبیه‌ ۲ اگر ا = ط × ق و ب = ط × ق باشد و ق و ق هیچ مقسوم
مشترک نداشته باشند عاد اعظم ا و ب عبارت از عاد اعظم ط و ط میباشد
تنبیه‌ ۳ اگر ا = م × ن و ب = م × ن باشد عاد اعظم ا و ب
= (عاد اعظم م و م) × (عاد اعظم ن و ن)
۸۲ طریق دریافت نمودن قاسم مشترک جمله‌های مفرد
جمله‌های مفرد بمضروبات اصلیه مشترکه تحلیل شده میتوانند بنابرین
قاسم مشترک اعظم آنها بآسانی دریافت شده میتواند
مثال ۱ قاسم مشترک اعظم ا۳ ب ج و ا۲ ب۲ ج و ا۴ ب۲ ج۲ را دریافت کنید
مضروبات اصلیه مشترک جمله‌های فوق ا و ب و ج هستند کلانترین قوای مشترکه
مضروبات محقق ا و ب و ج میباشند لهذا قاسم مشترک اعظم مطلوب = ا۲ ب ج
مثال ۲ قاسم مشترک اعظم ۲۴ ا ب۲ لا۳ ع۲ و ۳۶ ا۲ لا ع۵
و ۴۲۰ ب۲ لا۲ ع۶ را معلوم کنید:-
چون ۲۴ ا ب۲ لا۳ ع۲ = ۳ × ۳۸ ا ب۲ لا۳ ع۲
و ۳۶ ا۲ لا ع۵ = ۲ × ۳ × ا۲ لا ع۵
و ۴۲۰ ب۲ لا۲ ع۶ = ۳ × ۵ × ۲۸ ب۲ لا۲ ع۶
پس ظاهر است که مضروبات اصلیه مشترکه ۳ و ۲ و لا میباشند و کلانترین قوا مشترکه
مضروبات محقق ۳ و ۲ و لا میباشند لهذا قاسم مشترک اعظم مطلوب = ۳ × ۲ × لا = ۱۲ لا

--- page 214 ---

۲۰۹
مسئله (۴۸)
قاسم مشترک اعظم جملهای ذیل را معلوم کنید
(۱) آب و آب (۲) ۱۲ آب و ۲۰ آج
(۳) ۹ لای ۶ و ۲۴ لای (۴) ۲۰ آلای ده ۷ آی
(۵) ۱۸ مرن و ۴۵ مرن (۶) ۱۶ آلای و ۴۰ آی لا و ۲۸ لآ لا
(۷) ۲۴ مرن ط و ۶۰ مرن ط و ۸۴ م ط
(۸) ۴۵ لای ع و ۷۵ لای ع و ۹۰ لای ع
(۹) ۳۶ آب ج لا و ۵۲ آج لا و ۹۰ آب ج
(۱۰) ۷۲ آ س ب ج و ۹۶ س ج د و ۱۲۰ ج د ه
(۱۱) ۴۸ آ لای ع و ۶۰ لای ع ب و ۷۲ ی ع ب آ و ۸۴ ع ب آ لا
(۱۲) ۷۵ مر ن ط ق و ۹۰ مر ن ط ق و ۱۰۵ مر ن ط ق و ۱۳۵ مرن ط ق
(۱۳) ۵۴ آ س ج د و ۷۲ آ س ج د و ۱۰۸ آ س ج د و ۱۳۶ آ س ج د
(۱۴) ۱۸ آلای و ۲۴ آ ی ع و ۶۰ لای ع ه و ۷۸ آ لای
(۱۵) ۳۲ آ ب لای ع و ۴۰ آ لای ع و ۵۶ ب لای ع و ۷۲ لا ای ع ا
و ۹۶ ب ا لای آ
۸۳ طریق دریافت نمودن قاسم مشترک اعظم جملهای مرکب
که مضروبات اصلیه آنها بآسانی معلوم شده میتواند.
درینصورت نیز بحکم فقره ۸۲ عمل خواهد شد:-

--- page 215 ---

۲۱۰

مثال ۱ قاسم مشترک اعظم آ ب۲ + ۲ آ ب واٌ ب -۴ اٌ ب را معلوم کنید
اٌ ب۲ + ۲ اٌ ب = اٌ ب (ا + ۲ ب)
واٌ ب - ۴ اٌ ب۲ = اٌ ب (ا - ۴ ب)
= اٌ ب (ا + ۲ ب)(ا - ۲ ب)
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = اٌ ب (ا + ۲ ب)
مثال ۲ قاسم مشترک اعظم لآی۴+لآی۳ ولآی+۲لآی۲+لآی را معلوم کنید
لآی۴+لآی۳ = لآی(لآ+ی۳) = لآی(لا+ی)(لآ-لای+ی۲)
ولآی+۲لآی۲+لآی۳ = لآی(لآ+۲لای+ی۲)
=لآی(لا+ی)۲
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = لآی(لا+ی)
مثال ۳ قاسم مشترک اعظم ۲۴(لآ-۲ولا-۸ اٌ لآ)
و۵۴(لآ-الآ-۶اٌلآ) را معلوم کنید
جمله اول = ۳×۸×لآ(لآ-۳ولا-۸اٌ)
= ۳×۴×لآ(لا+۲اٌ)(لا-۴اٌ)
وجمله دوم = ۶×۹×لآ(لآ-ولا-۶اٌ)
= ۲×۳×لآ(لا+۲اٌ)(لا-۳اٌ)
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = ۳×۲×لآ(لا+۲اٌ)
= ۶لآ(لا+۲اٌ)

--- page 216 ---

۲۱۱
مثال ۴ قاسم مشترک اعظم آ - ۱۶لا وآ + ۶لا - ۱۰لا + ۸لا را معلوم کنید
جمله اول = (آ + ۴لا) (آ - ۴لا)
= (آ + ۴لا) (۱ + ۲لا) (۱ - ۲لا)
وجمله دوم = (۱ - ۲لا) (آ + ۳ولا - ۴لا)
= (۱ - ۲لا) (۱ - لا) (آ + ۴لا)
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = (۱ - ۲لا)
تنبیه اگر چه مضروبات جمله دوم ظاهر نیست مگر قیاساً معلوم میشود
که یکی از مضروبات جمله اول مضروب جمله دوم نیز خواهد بود و بعد از امتحان
ظاهر میشود که ۱ - ۲لامضروب جمله دوم است
مسئله (۴۹)
قاسم مشترک اعظم جملہای ذیل را معلوم کنید -
(۱) آ - اب وآ + ۲آب + آب (۲) لا س - لا س ولا س + لاس
(۳) ۶(لا - ۹) و ۱۵(لا + ۲۷) (۴) ۱۲(آ - آب ج) و۲۰(آ ب ج + آب ج)
(۵) م ن - ۲ م ن + م ن و (م ن - م ن) (۶) ۴آلا - ۹ولا و ۴ولا + ۶ولا
(۷) ۸آب - ۳۲آب و ۸آب + ۲۴آب
(۸) ۹لاس - ۳۶لاس و ۲۴لاس - ۴۸لاس
(۹) ۶آب - ۲۴آب و ۴آب + ۳۲آب
(۱۰) ۴۸آآ(لا + لا) (لا آ - لا آ) و ۶۴(لاآ - لاآ) (لاآ + لاآ)
(۱۱) ۲۴(لا - آ) و۴۰(لا + لا آ + آ) (۱۲) ۵۶(لا آ - لاآ) و ۷۲(لاآ + ۳ ولا + ۲ ولا)

--- page 217 ---

۲۱۴
(۱۳) ۳۰ (آ + ۲ اب + ۳ ب۲) و ۴۲ (آ + اب - ۶ ب۲)
(۱۴) ۳۸ (لآ - ۳ ل۲ - ۱۰لا) و ۵۲ (لآ - ۸ آ + ۱۵ لآ)
(۱۵) لاآسی + ۳ لاآسی - ۸ (لآآسی) و لاآسی + ۱۰ لآآسی + ۲۴ لآآسی
(۱۶) آلا - ۴ آلا - ۱۲ آلا و آلا + ۸ آلا + ۱۲ آلا
(۱۷) ۴ لآ + ۱۲ لآ + ۹ لا و ۴ لآ - ۴ لا - ۱۲
(۱۸) آ - اب - ۲ ب۲ و آ - ا۲ب - ۴ ا ب۲ + ۴ ب۳
(۱۹) لآ - ۳ ل۲ - ۱۰ و لآ - لآ - ۴ الا + ۲۴
(۲۰) ۵۴ (لآ + ۸ آ) و ۹۰ (لآ + ۷ آلا + ۱۶ آلا + ۱۲ آو)
(۲۱) (آ - ب) (ا + ب) و آ - ب۴ و ۳ آ + ۲ ا۲ب - ۵ ا ب۲
(۲۲) (۲ لا - ۳ ع) (لآ + لا - ۲) و ۴ لآ - لا - ۱۸ و ۲ لآ - ۲۳ لا - ۵۴
(۲۳) ۸ (۴ ا۲ب + ا ب۲) و ۱۲(۶ ا۲ب - ۷ ا ب - ۳ ا ب۴) و ۴۰ (۲ ا ب۴ + ۱۳ ا ب۲ + ۱۵ب۳)
(۲۴) لآ - ۱۳ لآ + ۳۶ و ۳ لآ + ۱۳ لآ + ۸ لا - ۱۲ و ۴ لآ + ۷ لآ + ۹ لا - ۱۸
۸۴ قاعده عمومیه در یافتنی د قاسم مشترک اعظم جملها
کثیر الحدود که هیچیک از مضروبات مشترکه آن ذو حد واحد نباشد
فرض کنید که قاسم مشترک اعظم دو جمله ا و ب مطلوبست اولاً جملهای مفروض
بلحاظ قوای متناقصه یک حرف مشترک تنظیم کنید و نیز فرض کنید که کلانتر
قوت حرف مذکور در جمله ا از کلانترین قوت همانحرف در جمله ب کم نمیباند

--- page 218 ---

۲۱۳
پس ارا بر ب تقسیم کنید و فرض کنید که ق خارج قسمت وج باقی میماند
لہذا ج = ا - ب ق ...... (۱) یا ا = ب ق +ج .... (۲)
از (۱) ظاهر است که ہر مضروب مشترک ا و ب مضروب ج نیز میباش
(زیرا که اگر ا = طا و ب = ط ب باشد ج = ط (ا - ب ق) میشود)
پس اگر ع قاسم مشترک اعظم ا و ب باشد مضروب ج نیز خواهد بود
لہذا مضروب مشترک ب و ج نیز میباشد -
پس ظاهر است که قاسم مشترک اعظم ب و ج یا ع میباشد
یا جمله دیگر ی که درجه آن از ع زیاده باشد (ل)
لیکن از (۲) ظاهر است که مضروب مشترک ب و ج مضروب ا میاش
لہذا مضروب مشترک ا و ب نیز میباشد بنابراین ظاهر است که
قاسم مشترک اعظم ب و ج نیز مضروب مشترک ا و ب است -
لہذا درجه آن از درجه ع زیاده شده نمیتواند -
پس از روی (ل) قاسم مشترک اعظم ب و ج ع میباشد و هو المطلوب
بطریق فوق اگر ب بر ج تقسیم شود و د باقی جدید بوده قاسم مشترک عظم
ج و د بعینه قاسم مشترک اعظم ب و ج میباشد -
پس ج را بر د تقسیم کنید و فرض کنید که باقی ہیچ نمانده باشد
پس ظاهر است که د عاد اعظم ج و د است و بنابرین عاد اعظم مطلوب میباشد

--- page 219 ---

۲۱۴
نتیجه ۱ چون قاسم مشترک اعظم هر مقسوم علیه و مقسوم آن قاسم مشترک اعظم مطلوب
میباشد ظاهر است که برای سهولت عمل مقسوم علیه را در یک عددی حداً واحد ضرب یا بیدیک
ذوحد واحد تقسیم کرد میتوانیم بشرط اینکه ذو حد واحد مذکور مضروب مقسوم نباشد و همچین
طریق مقسوم را در یک عددی حد واحد ضرب یا بر یک حد تقسیم کرده میتوانیم بشرط اینکه
ذوحد واحد مذکور مضروب مقسوم علیه نباشد بحکم تنبیه فقره ۸۱
نتیجه ۲ اگر در حین عمل تقسیم ا بر ب قبل از تکمیل عمل تقسیم ق خارج قسمت جفری
و ج باقی آن باشد پس قاسم مشترک اعظم ب و ج نیز قاسم مشترک اعظم ا ب ج خواهی
پس بحکم نتیجه اول در وقت تقسیم ج برب یا ب برج بشرطیکه درجه ج از درجه ب
زیاد نباشد هر ج را بوقت ضرورت بیک عدد حدا واحد تقسیم یا دران ضرب کرده میتوانیم
بشرط اینکه ذحد واحد مذکور مضرب ب نباشد و بترمین منوال ب را بیک د حد در
واحد تقسیم یا دران ضرب کرده میتوانیم بشرط اینکه ذحد واحد مذکور مضرب ج نباشد
پر از نتایج فوق قاعده ذیل اخذ میشود - برای دریافت نمودن قاسم مشترک اعظم
دو جمله جبر یه آنها را بلحاظ قوای متناقصه یک حرف مشترک تنظیم کنید بعد از ان آن جمله را
که درجه ان زیاد باشد بر جمله دیگر تقسیم کنید(واگر برابر باشند یکی را بر دیگر تقسیم کنید)
پس اگر باقی بماند انرا مقسوم علیه و مقسوم علیه اول را مقسوم بسازید و همین عمل ار
جاری بدارید تا اینکه عمل تقسیه تکمیل یابد پس مقسوم علیه اخیر قاسم مشترک عظم مطلوبه
خواهد بود - و نیز هر مقسوم علیه در یک عدی حداً واحد ضرب یا بران تقسیم شده میتواند بشرط انیکہ

--- page 220 ---

۲۱۵
دو حد واحد مذکور مضرب آن مقسوم نباشد و همچنین مقسوم نیز در یک دو حد واحد ضرب
یا بران تقسیم شده میتواند بشرط اینکه دو حد واحد مذکور مضرب آن مقسوم علیه نباشد
مثال اقاسم مشترک اعظم ۳ لا۲- ۷لا-۸ الا-۸ و ۲لا۳-۳لا۲- ۷ لا-۱۲ را معلوم
جمله دوم را در ۳ ضرب کنید و حاصل ضرب را بر جمله اول تقسیم کنید
۲لا۳- ۳ لا۲ -۷ لا-۱۲
۲               ۳
۳لا۲- ۷لا-۸ الا-۸ ) ۶لا۳- ۹لا۲ - ۵۱لا-۳۶
                     ۶لا۳ - ۱۴لا۲ - ۱۶لا- ۱۶
                      ۵لا۲ - ۱۵لا - ۲۰
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب بعینه قاسم مشترک اعظم ۳لا۲- ۷لا-۸ الا-۸
و ۵لا۲- ۱۵لا-۲۰[=۵(لا۲-۳لا-۴)]میباشد. یعنی قاسم مشترک اعظم مطلوبه
قاسم مشترک اعظم ۳لا۲- ۷لا-۸ الا-۸ و لا۲-۳لا-۴ میباشد (بحکم نتیجه اول)
لهذا عمل بطریق ذیل جاری خواهد شد:-
۵) ۵لا۲- ۱۵لا-۲۰(
     لا۲- ۳ لا-۴ )  ۳ لا۲- ۷ لا-۸ الا-۸ ( ۳ لا + ۲
                        ۳ لا۲- ۹ لا- ۱۲الا
                       ۲ لا۲ - ۶ لا-۸
                       ۲لا۲- ۶ لا- ۸
                                   x
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = لا۲- ۳ لا-۴

--- page 221 ---

۲۱۶
مثال ۳ قاسم مشترک اعظم ۲۲ لا - ۷۸ لا + ۱۱ لاً و ۲ لا - ۷۸ لا- ۴۴ لا معلوم کنیم
جمله اول = ۱۱لا (۱۱ - ۳۹لا - ۸) وجمله دوم = ۲لا(لا - ۳۹لا - ۲۲)
پس بموجب تنبیه ۷ فقره ۱۸ قاسم مشترک اعظم مطلوب = (قاسم مشترک اعظم ۱۱لا
و ۲لا) * (قاسم مشترک اعظم ۱۱لا - ۳۹لا - ۸ ولا - ۳۹لا - ۲۲)
پس قاسم مشترک اعظم مضروبات ذو حدود کثیره را معلوم کنیم
لا - ۳۹لا - ۲۲) ۱۱ لا - ۳۹لا - ۸( ۱۱
۱۱ لا - ۴۲۹لا - ۲۴۲
۲۳۳ لا + ۴۲۹ لا + ۳۹- (۳-
۱۳ ) ۱۳ لا - ۱۴۳ لا - ۷۸
لا - ۱۱ -لا ۶
لا - ۳۹لا - ۲۲ (لا
لا - ۱۱ لا - ۶ لا
۱۱) ۱۱لا - ۳۳ لا - ۲۲
لا - ۳ لا - ۲) لا - ۱۱لا - ۶ (لا + ۳
لا - ۳ لا - ۲ لا
۳لا - ۹لا - ۶
۳لا - ۹لا - ۶
*
وچون قاسم مشترک اعظم مضروبات ذوحدود کثیره = لا - ۳لا - ۲
لهذا قاسم مشترک اعظم مطلوب = ۲لا (لا - ۳لا - ۲)

--- page 222 ---

۲۱۷
مثال ۳ قاسم مشترک اعظم ۲ لا ۵ + ۵ لا ۴ + ۶ لا ۳ - ۲۷ لا ۲
و ۸ لا ۵ + ۶۰ لا ۴ - ۲۸ لا ۳ - ۱۸ لا ۲ + ۳ لا را معلوم کنید :-
جمله اول = ۶ لا ۲ ( ۳ لا ۳ + ۴ لا ۲ - ۹ لا - ۱۳ )
جمله دوم = ۴ لا ۲ ( ۲ لا ۳ + ۱۵ لا ۲ + ۳۰ لا ۲ + ۲۵ لا ۲ + ۱۸ )
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم مضروبات ذیصل وکثیره
قاسم مشترک اعظم (۶ لا ۲ و ۴ لا ۲ )
۲ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۳ لا - ۱۳ ) ۳ لا ۳ + ۱۵ لا ۲ + ۳۰ لا ۲ + ۲۵ لا ۲ + ۱۸ ( ۲ لا
۶ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۳ لا - ۱۳ لا ۲
۶ لا ۳ + ۳۹ لا ۲ + ۵۷ لا ۲ + ۱۸ لا ۲ ( ۳ )
۲ لا ۳ + ۱۳ لا ۲ + ۱۹ لا ۲ + ۶ لا ۱ )
۲ لا ۳ + ۹ لا ۲ - ۳ لا - ۱۳ ) ۲ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۳ لا - ۱۳
۲ لا ۳ + ۱۸ لا ۲ + ۶ لا + ۱۰ ( ۵ )
۲ لا ۲ + ۹ لا + ۶ ( ۲ )
۲ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۳ لا ) ۴ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۳ لا - ۱۳ ( ۲ لا
۲ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۶ لا ۲
- ۳ لا ۲ - ۸ لا - ۱۳
۲ لا + ۳
۲ لا + ۳ ) ۲ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۹ لا + ۳ ( لا ۲ + ۳ لا + ۱
۲ لا ۳ + ۳ لا ۲
۶ لا ۲ + ۹ لا
۶ لا ۲ + ۹ لا
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = (۲ لا + ۳ و ) ۲ لا ۲

--- page 223 ---

۲۱۸
مثال ۴ قاسم مشترک اعظم ۴ لا ۴ + ۱۱ لا ۳ + ۷ لا ۲ + ۷ لا + ۵
و ۶ لا ۴ ۱۴ لا ۳ + ۳۶ لا ۲ + ۴۱ لا + ۱۰ را معلوم کنید :
جمله دوم = ۲ (۳ لا ۴ + ۷ لا ۳ + ۸ لا ۲ + ۷ لا + ۵) و چون عدد ۲ مضروب جمله
اول نمیباشد لهذا قاسم مشترک اعظم مطلوب بعینه قاسم مشترک اعظم
جمله اول و ۳ لا ۴ + ۷ لا ۳ + ۸ لا ۲ + ۷ لا + ۵ میباشد :-
۴ لا ۴ + ۱۱ لا ۳ + ۷ لا ۲ + ۷ لا + ۵
۳ لا ۴ + ۷ لا ۳ + ۸ لا ۲ + ۷ لا + ۵ ) ۱۲ لا ۴ + ۳۳ لا ۳ + ۸۱ لا ۲ + ۵۱ لا + ۱۵ (۴
۱۲ لا ۴ + ۲۸ لا ۳ + ۳۲ لا ۲ + ۲۸ لا + ۲۰
۵ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۲۳ لا - ۵
۳ لا ۴ + ۷ لا ۳ + ۸ لا ۲ + ۷ لا + ۵
۵
۵ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۲۳ لا - ۵) ۱۵ لا ۴ + ۳۵ لا ۳ + ۹۰ لا ۲ + ۳۵ لا + ۲۵( ۳لا
۱۵ لا ۴ + ۲۷ لا ۳ + ۶۹ لا ۲ - ۱۵ لا
۸ لا ۳ + ۲۱ لا ۲ + ۵۰ لا + ۲۵
۵
۴۰ لا ۳ + ۱۰۵ لا ۲ + ۲۵۰ لا + ۱۲۵ (۸
۴۰ لا ۳ + ۷۲ لا ۲ + ۱۸۴ لا - ۴۰
۳۳) ۳۳ لا ۲ + ۶۶ لا + ۱۶۵
لا ۲ + ۲ لا + ۵
لا ۲ + ۲ لا + ۵ ) ۵ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۳۳ لا - ۵ (۵لا - ۱
۵ لا ۳ + ۱۰ لا ۲ + ۲۵ لا
- لا ۲ - ۸ لا - ۵
- لا ۲ - ۸ لا - ۵
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = لا ۲ + ۲لا + ۵

--- page 224 ---

۲۱۹

مثال ۵ قاسم مشترک اعظم ۴لا۲ - ۱۶لا + ۱۸ و ۶لا۳ - ۴لا۲ - ۲۰لا + ۲۴ سر معلوم
جمله اول = ۲(لا۲ - ۸لا + ۹) وجمله دوم = ۲(۳لا۲ - ۲لا - ۱۰لا + ۱۸)
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم مضروبات دو حدود کثیره
ضرب (قاسم مشترک اعظم ۲ و ۲)
لا - ۸لا + ۹ (۳لا۲ - ۲لا - ۱۰لا + ۱۸ ( ۳لا + ۲۲
۳لا۲ - ۲۴لا + ۲۷لا
۲۲لا۲ - ۱۰لا - ۲۷لا + ۱۸
۲۲لا۲ - ۱۷۶لا + ۱۹۸لا
۱۶۶لا - ۲۲۵لا + ۱۸
لا۲ - ۸لا + ۹
۴۱
۴۱لا۲ - ۱۶۶لا + ۱۱۰۷
۴۱لا۲ - ۸لا - ۹ (۴۱لا۲ - ۱۶۶لا + ۱۱۰۷( لا
۴۱لا۲ - ۳۲۸لا - ۳۶۹لا
۱۶۲لا - ۳۶۹لا + ۱۱۰۷
۱۶۲لا - ۱۲۹۶لا - ۱۴۵۸لا
۹۲۷لا - ۲۵۶۵لا ( ۹
۴۱
۱۰۳لا - ۲۸۵لا ( ۹۲۷لا - ۲۵۶۵لا ( ۹
۱۰۳لا - ۸۲۴لا + ۹۲۷لا
۵۳۹لا - ۳۴۹۲لا ( ۵۳۹
لا + ۱۲
لا۲ - ۸لا + ۹ ( لا + ۱۲ ( لا۲ - ۸لا + ۹(لا - ۲۰
لا۲ + ۱۲لا
- ۲۰لا + ۹
- ۲۰لا - ۲۴۰
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = ۲(لا + ۱۲ + ۳)

--- page 225 ---

۳۳۰
مسئله (۵۰)
قاسم مشترک اعظم جملهای ذیل را معلوم کنید
(۱) ۲ لا۲ + ۵ لا - ۳ و ۲ لا۲ + ۳ لا۲ - ۲ لا + ۱۵
(۲) ۳ لا۲ + ۱۶ لا - ۱۲ و ۳ لا۲ + ۴ لا۲ - ۲۸ لا + ۱۶
(۳) ۲ لا۳ - ۳ ولا - ۲۰ لا۲ و ۲ لا۳ + ۳ ولا۲ - ۳۵ ولا - ۱۰۰ لا۲
(۴) ۳ لا۴ - ۷ لا۳ - ۱۴ لا۲ - ۲۴ لا و ۶ لا۴ - ۱۰لا۳ - ۲۲ لا۲
(۵) ۶ و۲ - ۱۱ و - ۳ و + ۲ و ۳ و۲ + ۲۰ و۲ + ۳۳ و - ۱۰
(۶) ۶ و - ۲۵ و ب + ۲۴ و ب۲ - ۱۲ ب۲ و ۴ و۲ + ۱۲ و ب - ۷ ۱ ب۲ - ۳ ب۳
(۷) ۳ لا۴ + ۵ لا۳ + ۵ لا + ۲ و ۲ لا۴ + ۵ لا۳ + ۵ لا + ۳
(۸) ۴ لا۴ - ۷ لای + ۷ لای۲ - ۳ ی۳ و ۳ لا۴ - ۷ لای + ۷ لای۲ - ۴ ی۳
(۹) ۶ لا۴ + ۷ لا۳ + ۵ لا۲ + ۲ لا و ۸ لا۴ - ۸ لا۳ - لا۲ - ۱۰ لا
(۱۰) ۳ لا۴ + ۱۰ لا۳ + ۷ لا۲ + ۲ لا + ۱ و ۲ لا۴ + ۳ لا۳ - ۷ لا - ۳
(۱۱) ۴ لا۴ + ۱۳ لا۳ - ۸ لا - ۳ و ۳ لا۴ + ۱۳ لا۳ + ۹ لا۲ + ۹ لا + ۲
(۱۲) ۲ ( ۱ + ۱۱ ولا + ۶ ولا۲ + لا۳ و ۱ + ۲ + ۱۷ ولا + ۹ ولا۲ + لا۳
(۱۳) ۳۵ و + ۳۱ ولا + ۱۳ ولا۲ + ۲ ولا۳ و ۱۵ و + ۳۴ ولا + ۲۲ ولا۲ + ۳ ولا۳
(۱۴) ۷۰ لا - ۹ ولا + ۱۱ ولا + ۶ و۳ و ۹۱ لا - ۳۵ ولا + ۲۰ ولا + ۴ و۳
(۱۵) ۷۵ لا۳ - ۳۵ لا۲ + ۲۲ لا + ۴ و ۸۵ لا۳ - ۳۶ لا۲ + ۲۵ لا + ۶
(۱۶) ۵ الا۴ - ۳۴ لا۲ + ۷۳ + ۲ و ۹ لا۴ - ۹ لا۳ + ۵ لا + ۳
(۱۷) ۴ لا۴ + ۱۲ لا۳ + ۱۳ لا۲ + ۱۰ لا + ۲۴ لا۳ و ۶ لا۴ + ۳۱ ولا۲ + ۳۰ لا۲ + ۴۲ لا۳

--- page 226 ---

۲۲۱
(۱۸) م۴+۳م۳+۷م۲+۹م+۸ و ۶م۴+۵م۳+۱۳م۲+۷م+۱۲
(۱۹) ۲لآ-۱۹لآ+۲۱لا-۶ ولآ+۲۱لآ+۳لا-۶
(۲۰) ۱۲لآ۳-۳۰لآ۲+۱۲۶لا+۹۰ و ۱۵لآ-۲۵لآ+۱۲۵لا-۷۵
(۲۱) ۸للا۴+۱۱لآ۳+۱۶۲لآ۲+۷لا+۹ و ۱۲للا۴+۲۸لآ۳+۲۷لآ۲+۱۰۸لا+۲۰
(۲۲) لآ-۵لآ+۶لا+۱۲ ولآ-۸لآ-۲۴لا-۳۲
(۲۳) لآ+۵لآ+۳لآ-۴الا-۴۰ ولآ-۴لآ+۲۵لا+۷۵
(۲۴) ۴لآ۴-۸لآ۳+۲۸لآ۲-۴۴لآ+۳۲ و ۶لآ۴+۴لآ۳-۱۲لآ۲-۳۴لآ+۹۶ و آ
(۲۵) ۹لآ-۸الآی-۱۳الآی۲-۴۸لآسی-۱۲ی۲ و ۶لآ+۳لآی+۵لآسی+۴لآسی۲+۸سی۴
(۲۶) ۲لآ-۱۱لآ-۹ و ۳لآ+۱۱لآ+۸
(۲۷) ۳م۴+۱۰م۳-۲۰م۲-۱۱۲م+۳۰ و ۶م۴+۱۰م۳-۲۵م۲+۲۵م-۱۵۰
(۲۸) لآ+۲لآ-۵لآ-۷لا+۳ و ۳لآ-۳لآ-۸الآ+لآ+۳لا+۳
۵۸ چند قاعده دیگر در باب معلوم کردن قاسم مشترک اعظم جملها جبرئیه
فرض کنید که ا و ب دو جمله جبریه است و نیز فرض کنید که ا و ب هیچجمله
ذوحد واحد مضروب مشترک ندارد پس اگر م ون وط و ق اینقسم چهار عدد باشند
که م وق-ن ط صفر نباشد پس در انصورت قاسم مشترک اعظم ا و ب بعینه قاسم
مشترک اعظم م ا+ن ب و ط ا+ق ب میباشد بشرط اینکه مضروبات مشترک
عددی قبل از عمل جدا شوند- و دلیل قواعد سابقه بقرار ذیل است:-
فرض کنید که ع قاسم مشترک اعظم ا و ب و ع قاسم مشترک اعظم م ا+ن ب

--- page 227 ---

۳۳۳

وط ا + و ب میباشد (بعد از جدا کردن مضروبات عددی مشترک) و چون
ہر مضروب مشترک اوب مضروب ما + ن ب وط ا + و ب میباشد
لہٰذا ع مضروب مشترک م ا + ن ب وط ا + و ب است
پس ظاہر است که ع یا مساوی ع یا در ع از در جن ع زیادتر خواهد بود... (ل)
و باز چون و (م ا + ن ب) - ن (ط ا + و ب) = (م و - ن ط) ا
وم (ط ا + و ب) - ط (م ا + ن ب) = (م و - ن ط) ب
لہٰذا ظاہر است که ہر مضروب مشترک م ا + ن ب وط ا + و ب
مضروب (م و - ن ط) ا و نیز مضروب (م و - ن ط) ب میباشد
و چون (م و - ن ط) مقدار عددیست
لہٰذا ہر مضروب مشترک دو جملہ فوق (بغیر مضروبات عددی) مضروب ا
و نیز مضروب ب میباشد بنابراین ع مضروب مشترک ا و ب است
بہین دلیل در چه آن از ع زیاده شده نمیتواند پس از روی (ل) ع=ع
نتیجه ۱ قاسم مشترک اعظم ا و ب بعینه قاسم مشترک اعظم ا و ب است
زیرا که درینصورت م = ۱ و ن = ۱ و ط = ۱ و و = -۱ است
نتیجه ۲ قاسم مشترک اعظم ا و ب بعینه قاسم مشترک اعظم ا و ب است
زیرا که م = ۱ و ن = +- ۱ و ط = . و و = ۱
و همچنین قاسم مشترک اعظم ا و ب مساوی قاسم مشترک اعظم ا + ب و ا میباشد

--- page 228 ---

۲۲۳
مثال ۱ قاسم مشترک اعظم لا۳ - ۵ لا۲ - ۳ لا + ۲ و لا۳ - ۳ لا۲ + ۳ لا - ۲ را معلوم کنید
فرض کنید که ا = لا۳ - ۵ لا۲ - ۳ لا + ۲ و ب = لا۳ - ۳ لا۲ + ۳ لا - ۲
پس ا + ب = ۲ لا۳ - ۲ لا۲ - ۴ لا = ۲ لا ( لا۲ - لا - ۲ )
و ا - ب = ۴ لا۲ - ۶ لا + ۴ = ۲ ( ۲ لا۲ - ۳ لا - ۳ لا + ۲ )
پس از روی نتیجهٔ اول قاسم مشترک اعظم مطلوب یعنی قاسم مشترک اعظم ا ( لا۲ - لا - ۲ )
و ۲ لا۲ - ۳ لا - ۳ لا + ۲ میباشد یعنی قاسم مشترک اعظم ( لا - ۱ ) ( لا - ۲ ) و ۲ لا۲ - ۳ لا - ۳ لا + ۲
فرض کنید که ا = لا۲ - لا - ۲ و ب = ۲ لا۲ - ۳ لا - ۳ لا + ۲
پس ا + ب = ۳ لا۲ - ۴ لا - ۴ لا = لا ( ۳ لا - ۴ - ۲ )
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم ا و ا + ب اقرار نتیجهٔ دوم
= لا۲ - لا - ۲
مثال ۳ قاسم مشترک اعظم ۴ لا۵ + ۱۱ لا۴ + ۷ لا۳ + ۷ لا۲ + ۵ و ۳ لا۵ + ۷ لا۴
+ ۷ لا۳ + ۷ لا + ۵ را معلوم کنید :-
فرض کنید که ا = ۴ لا۵ + ۱۱ لا۴ + ۷ لا۳ + ۷ لا۲ + ۵ و ب = ۳ لا۵ + ۷ لا۴ + ۸ لا۳ + ۷ لا + ۵
لهذا ا - ب = لا۵ + ۴ لا۴ + ۹ لا۳ + ۱۰لا = لا ( لا۴ + ۴ لا۳ + ۹ لا۲ + ۱۰ )
و ۳ ا - ۴ ب = ۵ لا۴ + ۹ لا۳ + ۲۳ لا - ۵
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم لا۴ + ۴ لا۳ + ۹ لا۲ + ۱۰
و ۵ لا۴ + ۹ لا۳ + ۲۳ لا - ۵
و نیز فرض کنید که ا = لا۴ + ۴ لا۳ + ۹ لا۲ + ۱۰ و ب = ۵ لا۴ + ۹ لا۳ + ۲۳ لا - ۵
پس ا + ۲ ب = ۱۱ لا۴ + ۲۲ لا۳ + ۵۵ لا = ۱۱ لا ( لا۳ + ۲ لا۲ + ۵ )
و ۵ ا - ب = ۱۱ لا۳ + ۲۲ لا + ۵۵ = ۱۱ ( لا۳ + ۲ لا + ۵ )
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم لا ( لا۲ + ۲ لا + ۵ )
و لا۳ + ۲ لا + ۵ میباشد یعنی = لا۲ + ۲ لا + ۵

--- page 229 ---

۲۲۴
مثال ۳ قاسم مشترک اعظم ۲ لا - ۱۱ لا - ۹
فرض کنید که ا = ۲ لا + ۱۱ لا + ۹ وب = ۲ لا - ۱۱ لا - ۹
لهذا ا - ۲ ب = ۱۱ لا + ۳۳ لا + ۹۹ = ۱۱ ( لا + ۳ لا + ۹ )
و ا + ۹ ب = ۲۲ لا + ۱۱ لا - ۹۹ لا = ۱۱ لا ( ۲ لا + لا - ۹ )
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم لا + ۳ لا + ۹ و لا ( ۲ لا + لا - ۹ )
= قاسم مشترک اعظم لا + ۳ لا + ۹ و ۲ لا + لا - ۹
و نیز فرض کنید که ا = لا + ۳ لا + ۹ وب = ۲ لا + لا - ۹
:. ا + ب = لا + ۲ لا + ۳ لا = لا ( لا + ۲ لا + ۳ )
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم ۲ لا + لا - ۹ = ب و لا + ۲ لا + ۳ = ج فرضاً
و چون ب + ۲ ج = ۲ لا + ۴ لا + ۶ لا = ۲ ( لا + ۲ لا + ۳ )
:. قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم ج و ب + ۲ ج = لا + ۲ لا + ۳
مسئله ( ۵۱ )
قاسم مشترک اعظم جمله های ذیل را معلوم کنید:
( ۱ ) لا - ۳ لا - ۴ لا - ۱۲ و لا - ۷ لا + ۱۶ لا - ۱۲
( ۲ ) ۲ لا - ۷ لا + ۱۴ لا + ۱۲ و ۴ لا - ۲ لا - ۳۳ لا + ۳۱ لا - ۱۲
( ۳ ) ۳ لا + ۲ لا + ۱۹ لا + ۴ و ۲ لا + ۵ لا + ۵ لا - ۴
( ۴ ) ۳ لا - ۵ لا + ۷ و ۶ لا - ۷ لا - ۵ لا + ۱۲ لا + ۷
( ۵ ) ۶ لا - ۱۱ لا + ۱۶ لا - ۲۲ لا + ۸ و ۶ لا - ۱۱ لا - ۸ لا + ۲۲ لا - ۸
( ۶ ) ۳ لا + ۱۹ لا + ۳۰ لا - ۳۱ لا + ۸ و ۲ لا + ۷ لا - ۲۴ لا + ۶۲ لا - ۱۶

--- page 230 ---

۲۲۵
(۷) ۳ لا۳ - ۷ لا۲ - ۲ لا - ۶ لا + ۲  و ۳ لا۳ - ۱۳ لا۲ - ۴ لا - ۹ لا + ۳
(۸) ۵ لا۴ - ۱۸ لا۲ - ۷ لا + ۱۲ لا + ۳  و ۵ لا۴ - ۲۳ لا۲ - ۹ لا + ۱۶ لا + ۴
(۹) ۲ لا۴ - ۵ لا۳ - ۷ لا۲ - ۳ لا + ۲  و ۶ لا۴ + ۲۳ لا۳ + ۳۴ لا۲ + ۲۱ لا - ۱۲ لا - ۳
(۱۰) ۶ لا۴ + ۹ لا۳ - ۱۳ لا۲ - ۴ لا + ۹ لا - ۳  و ۹ لا۴ + ۱۳ لا۳ - ۱۸ لا۲ - ۵ لا + ۱۲ لا - ۴
(۱۱) لا۴ - لا۲ + ۸  و لا۴ - لا۳ + ۴  (۱۲) ۳ لا۴ + ۱۳۹ لا۳ - ۴۴  و ۳۹ لا۴ + ۱۳۹ لا - ۱۶
طریق معلوم کردن قاسم مشترک اعظم سه جمله جبریه یا زیاده.
فرض کنید که ا و ب و ج سه جمله جبریه است که قاسم مشترک اعظم انها مطلوبست
مثلا فرض کنید که ص قاسم مشترک اعظم ا و ب است و ع قاسم مشترک اعظم ص و ج
پس چون ص حاصل ضرب همه مضروبات اصلیه و مشترکه ا و ب میباشد
لهذا هر مضروب یا قاسم ص قاسم ا و ب نیز خواهد بود -
بنابراین هر قاسم مشترک ص و ج قاسم مشترک ا و ب و ج نیز خواهد بود -
پس ع قاسم مشترک ا و ب و ج نیز میباشد  لهذا قاسم مشترک اعظم مطلوب
یا مساوی ع یا مساوی ا ن جمله خواهد بود که درجه ان از درجه ع زیاده تر با..... (م)
و چون هر قاسم مشترک ا و ب قاسم ص نیز میباشد
بنابرین هر قاسم مشترک ا و ب و ج قاسم مشترک ص و ج نیز خواهد بودی آن
قاسم مشترک اعظم مطلوب قاسم مشترک ص و ج میباشد بنابرین درجه
از ع زیاده تر شد نمیتواند پس از روی (م) قاسم مشترک اعظم مطلوب
= ع  و نیز از دلائل فوق ظاهر است که اگر د جمله چهارم باشد قاسم مشترک اعظم

--- page 231 ---

۲۲۶

ا و ب و ج و د بعینه قاسم مشترک اعظم ج و د میباشد پس قاعده ذیل حاصل میشود
قاعده معلوم کردن قاسم مشترک اعظم چند جمله ا و ب و ج و د و غیره اینست
که اولاً قاسم مشترک اعظم ا و ب را معلوم کنید و بعد ازان قاسم مشترک اعظم
این حاصل و ج را معلوم کنید و علی ہذا القیاس
پس حاصل اخیر قاسم مشترک اعظم مطلوب خواهد بود -
مثال قاسم مشترک اعظم ۲ لا۴ - ۷ لا۳ - ۵۸ لا ۲ - ۲۴ و ۳ لا ۴ + ۲ لا۳
- ۱۱ لا۲ - ۷۰ لا + ۲۴ و ۵ لا ۴ + ۹ لا۳ - ۴۷ لا۲ - ۸۱ لا + ۱۸ را معلوم کنید
اول قاسم مشترک اعظم دو جمله اول را معلوم کنید
مثلاً فرض کنید که ا = ۲ لا۴ - ۷ لا۳ - ۵۸ لا۲ - ۲۴ و ب = ۳ لا ۴ + ۲ لا۳ - ۱۱ لا۲ - ۷۰ لا+۲۴
ا + ب = ۵ لا ۴ - ۷ لا۳ - ۲۸ لا ۲ - ۱۲ لا = لا ( ۵ لا ۳ - ۷ لا ۲ - ۲۸ لا - ۱۲ )
و - ۳ ا + ۲ ب = ۴۹ لا ۳ + ۲۹ لا۲ - ۳۱۴ لا + ۱۲۰
پس قاسم مشترک اعظم ا و ب بعینه قاسم مشترک اعظم ۵ لا ۳ - ۷ لا۲ - ۲۸ لا - ۱۲
و ۴۹ لا ۳ + ۲۹ لا ۲ - ۳۱۴ لا + ۱۲۰ میباشد
و نیز فرض کنید آ = ۵ لا ۳ - ۷ لا۲ - ۲۸ لا - ۱۲ و بَ = ۴۹ لا ۳ + ۲۹ لا۲ - ۳۱۴ لا + ۱۲۰
۱۰ ا + بَ = ۹۹ لا ۳ + ۹۹ لا ۲ - ۵۹۴ لا = ۹۹ لا ( لا ۲ + لا - ۶ )
پس قاسم مشترک اعظم ا و ب بعینه قاسم مشترک اعظم ۵ لا ۳ - ۷ لا ۲ - ۲۸ لا - ۱۲ = ( ا )
و لا ۲ + لا - ۶ = ج فرضاً میباشد -

--- page 232 ---

۲۲۷
وچون اَ - ب ج = ۵ لاَ۴ + ۵ لاَ۳ - ۳۰ لاَ = ۵ لاَ (لاَ۳ + لاَ۲ - ۶) قاسم مشترک اعظم
اَ و ب = قاسم مشترک اعظم ج و اَ - ب ج = لاَ۲ + لاَ - ۶
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب مساوی قاسم مشترک اعظم لاَ۲ + لاَ - ۶
و ۵ لاَ۴ + ۹ لاَ۳ - ۴۷ لاَ۲ - ۸۱ لاَ + ۱۸ میباشد و این قاسم مشترک اعظم بطریق ذیل معلوم
لاَ۲ + لاَ - ۶ ) ۵ لاَ۴ + ۹ لاَ۳ - ۴۷ لاَ۲ - ۸۱ لاَ + ۱۸ ( ۵ لاَ۲ + ۴ لاَ
۵ لاَ۴ + ۵ لاَ۳ - ۳۰ لاَ۲
۴ لاَ۳ - ۱۷ لاَ۲ - ۸۱ لاَ
۴ لاَ۳ + ۴ لاَ۲ - ۲۴ لاَ
- ۳ ) - ۲۱ لاَ۲ - ۵۷ لاَ + ۱۸
۷ لاَ۲ + ۱۹ لاَ - ۶ ( ۷
۷ لاَ۲ + ۷ لاَ - ۴۲
۱۲ ) ۱۲ لاَ + ۳۶
لاَ + ۳
لاَ + ۳ ) لاَ۲ + لاَ - ۶ ( لاَ - ۲
لاَ۲ + ۳ لاَ
- ۲ لاَ - ۶
- ۲ لاَ - ۶
×
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = لاَ + ۳
مسئله (۵۲)
قاسم مشترک اعظم جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۳ لاَ۴ + ۷ لاَ۳ - ۵ لاَ۲ - ۴ و لاَ۴ + ۸ لاَ۳ + ۱۱ لاَ۲ - ۲۰ و ۳ لاَ۴ + ۱۹ لاَ۳ + ۴۹ لاَ + ۲۰
(۲) ۲ لاَ۴ + ۳ لاَ۳ + ۸ لاَ + ۵ و ۲ لاَ۵ - ۵ لاَ۴ + ۱۲ لاَ۳ - ۲۵ لاَ۲ + ۱۰ و ۲ لاَ۵ - ۵ لاَ۴ + ۱۰ لاَ۲ - ۲۰ لاَ + ۳۰

--- page 233 ---

۲۲۸

(۳) ۳ لا ۲ + ۷ لا - ۱۹ لا - ۱۴ لا + ۳۰ لا ۲ + ۵ لا - ۱۶ لا - ۷۰ لا + ۲۲ و ۲ لا + ۵ لا - ۱۰ لا + ۵ لا - ۱۲
(۴) ۲ لا - ۴ لا - ۶۹ لا - ۲ لا - ۳۵ و ۲ لا - ۶ لا - ۵۵ لا - ۳ لا - ۲۸ و ۴ لا + ۸ لا + ۴۱ لا + ۹ لا + ۲۰
(۵) ۳ آ + ۲۸ آ ب + ۵۲ ا ب - ۴۸ ب ۲ و ۳ آ + ۴ آ ب - ۲۸ و ب + ۱۶ ب
و ۳ آ + ۱۰ آ ب - ۴۴ ا ب ۲ + ۲۴ ب ۲
(۶) ۶ آ + ۵ آ ب - ۳۴ ا ب ۲ + ۱۵ ب ۲ و ۶ آ - ۷ ۳ آ ب + ۷۵ ا ب ۲ - ۲۰ ب ۲
و ۳ آ - ۸ آ ب - ۳۱ ا ب ۲ + ۶۰ ب ۲
(۷) ۳ لا + ۱۱ لا - ۳۲ لا - ۴۴ لا + ۸۰ و ۳ لا - لا - ۵۲ لا + ۱۲۴ لا - ۸۰
و ۳ لا + ۲ لا - ۲۰ لا - ۸ لا + ۳۲ و ۳ لا + ۲ لا - ۸۳ لا - ۵۰ لا + ۲۰۰
(۸) ۶ لا + ۱۴ لا - ۵۳ لا - ۳۲ لا + ۶۶ لا + ۲۴ و ۶ لا - ۲۸ لا + ۷ لا ۲ + ۵۴ لا - ۳۹ لا - ۱۸
و ۶ لا + ۸ لا - ۷۹ لا - ۳۶ لا + ۱۰۵ لا + ۳۶ و ۲ لا - ۱۲ لا - ۳۱ لا + ۵۱ لا + ۳۲ لا - ۷۲

باب دهم
ذو اضعاف اقل یا مثل مشترک اصغر

۸۷ تعریف
هر گاه یک جمله جبریه بر جمله دیگر بدون باقی تقسیم شود جمله اول را مثل جمله دوم میگویند
و نیز هر گاه یک جمله جبریه بر دو یا زیاده جمله جبریه بدون باقی تقسیم شود جمله اول مثل
مشترک جمله‌های دیگر میگویند - از امثال مشترکه دو یا زیاده جمله جبریه آن مثل را
که اقل امثال مشترکه باشد ذو اضعاف اقل یا مثل مشترک اصغر میگویند

--- page 234 ---

۲۳۹
مثلا امثال مشترک ا و ب هر یکی از ا ب و ۲ ا ب و اَ ب و ا بَ و اَ بَ و غیره میبا
لیکن از امثال مذکور ا ب اقل امثال مشترکه میباشد لهذا ا ب مثل مشترک اصغر ا و ب میباشد
۸۸ طریق دریافت نمودن مثل مشترک اصغر جملهای بسیط
یا جملهای مرکب که بآسانی مضروبات تفریق شده میتوانند
در صورتها فوق مثل مشترک اصغر بیک نظر نوشته شده میتواند امثله ذیل تشریح طریق عمل میکنند
مثال ۱ مثل مشترک اصغر ۴ اَ ب ج و ۶ ا بَ د را معلوم کنید
جمله اول = ۲ × اَ × ب × ج جمله دوم = ۲ × ۳ × ا × بَ × د
لهذا ۴ × ۳ × اَ × بَ × ج × د مضروبات اصلیه مثل مشترک اصغر جملهای مفروضا
و ∴ مثل مشترک اصغر مطلوب = ۴ × ۳ × اَ × بَ × ج × د = ۱۲ اَ بَ ج د
مثال ۲ مثل مشترک اصغر ۲۴ لاَی ع و ۱۸ لایَ عَ و ۲۷ لایَ عَ را دریافت کنید
جمله اول = ۲۳ × ۳ × لاَ × ی × ع جمله دوم = ۲ × ۳۲ × لا × یَ × عَ
و جمله سوم = ۳۳ × لاَ × یَ × عَ
لهذا ۳۲ × ۳۳ × لاَ × یَ × عَ مضروبات اصلیه مثل مشترک جملهای مفروضه میبا
∴ مثل مشترک اصغر مطلوب = ۲۳ × ۳۳ × لاَ × یَ × عَ = ۲۱۶ لاَ یَ عَ
مثال ۳ مثل مشترک اصغر ۴ لاَ (لا+اَ) و ۶ اَ لا (لا-اَ) و ۹ اَ (لاَ-اَ) را معلوم کنید
جمله اول = ۲۲ × لا (لا+اَ) و جمله دوم = ۲ × ۳ × اَ × لا × (لا+اَ) (لا-اَ)
و جمله سوم = ۳۲ × اَ × (لا-اَ) (لاَ+اَ لا+ اَ)
لهذا ۲۲ × ۳۲ × اَ × لاَ (لا+اَ) (لا-اَ) (لاَ+اَ لا+ اَ) مضروبات اصلیه مثل
مشترک اصغر جملهای مفروضه میباشد-

--- page 235 ---

۲۳۰

مثل مشترک صغیر مطلوب = ۲ × ۳ × لآ × لا (لا + ۱) × (لا - ۱) × (لا۲ + ولا + ۱)
= ۶ لا (لا + ۱) (لا۲ - ۱)
مثال ۴ مثل مشترک صغیر لا - ۳لا + ۲ و لا۲ + لا - ۳ لا و لا۲ + لا - ۶ لا را دریافت بکنید
جمله اول = (لا - ۱) (لا - ۲) جمله دوم = لا (لا + ۲ لا - ۳) = لا (لا - ۱) (لا + ۳)
و جمله سوم = لا (لا + لا - ۶) = لا (لا - ۲) (لا + ۳)
لہذا لا (لا - ۱) (لا - ۲) (لا + ۳) مضروبات اصلیہ مثل مشترک صغیر جملہائے مفروضہ میباشد
مثل مشترک صغیر مطلوب = لا (لا - ۱) (لا - ۲) (لا + ۳)
مثال ۵ مثل مشترک اصغر لا - ۳ لا + ۳ لا - ۱ و لا - لا۲ - لا + ۱
ولا۲ - ۲ لا۲ + ۲ لا - ۱ و لا۲ - ۲ لا۲ + ۲ لا - ۲ لا + ۱ را معلوم کنید :-
لا - ۳ لا + ۳ لا - ۱ = (لا - ۱)۳ و لا - لا۲ - لا + ۱ = لا (لا - ۱) - (لا - ۱)
= (لا - ۱) (لا۲ - ۱) = (لا - ۱)۲ (لا + ۱)
ولا۲ - ۲ لا۲ + ۲ لا - ۱ = (لا - ۱) - ۲ لا (لا - ۱) = (لا - ۱) { (لا - ۱) - ۲ لا }
= (لا - ۱) (لا - ۱)۲ = (لا - ۱)۳ (لا + ۱)
ولا۲ - ۲ لا۲ + ۲ لا - ۲ لا + ۱ = لا (لا۲ - ۲ لا + ۱) + (لا۲ - ۲ لا + ۱) = (لا۲ - ۲ لا + ۱) (لا + ۱)
= (لا - ۱)۲ (لا + ۱)
لہذا (لا - ۱)۳ (لا + ۱) (لا۲ + ۱) مضروبات اصلیہ مثل مشترک صغیر جملہائے مفروضہ میباشد
مثل مشترک صغیر مطلوب = (لا - ۱)۳ (لا + ۱) (لا۲ + ۱)
مثلہ (۵۳)
مثل مشترک اصغر جملہائے ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۱۲ ب و ۱ ب (۲) ۱۲ ب۲ و ۱۲ ب ج (۳) ۶ لا۲ ی و ۱۰ لای (۴) ۴ م۲ ن و ۱۴ م۲ ن۲ و ۱۲ م ن۲

--- page 236 ---

۲۳۱

(۵) ۸ لا ی ع و ۱۲ الا ی ع (۶) ۴ آ ب ج و ۱۰ ا ب ج و ۲۴ ا ب ج
(۷) ۸ ا ب ج و ۱۲ ا ب ج و ۲۰ ا ب ج (۸) ۶ لا ی و ۹ لا ی ع و ۱۲ اولا ی و ۱۵ اولا
(۹) اب - ا ب و ا ب + ا ب (۱۰) ۴ (لا - ی) و ۶ (لا - ی) و ۸ (لا + ی)
(۱۱) لا - ۴ لا + ۳ ولا - ۵ لا + ۶ (۱۲) ا + ۲ ولا - ۳ ولا وا + ولا - ۶ ولا
(۱۳) آ (آ - ۴) و آ + ۲ ا - ۸ ا (۱۴) ۳ الا کو ۲ لا (لا - لا) و ۶ ولا (لا + لا)
(۱۵) ۱۲ (لا + ۳ لا - ۱۰) و ۱۶ (لا + ۴ لا - ۱۲) (۱۶) لا + ۲ لا - ۵ اولا + ۹ لا + ۲۰ ولا + ۴ لا - ۳۱
(۱۷) ۱۳ ا - ۲۷ ا ب و ۲ ا + ا ب - ۳ ب و ۲ ا - ا ب - ۳ ب
(۱۸) ۸ ا + ۷۲ ب و ۸ ا - ۷۲ ب و ۱۶ ا + ۳۶ ا ب + ۸۱ ب
(۱۹) ۸ لا - ۵۰ لا ی و ۱۲ الا + ۲۴ لا ی - ۱۵ الا ی و ۱۶ الا - ۴۸ لا ی + ۲۰ ی
(۲۰) ۴ لا - ۱۲ الا + ۹ ا و ۶ لا - ۷ ولا - ۳ ا و ۶ لا - ۱۱ الا - ۳ ا
(۲۱) ۲ لا + ۶ لا + ۹ و ۴ لا - ۱۲ الا + ۸ الا و ۴ لا + ۸۱
(۲۲) ۹ و - ۶ ولا + لا و ۱۶ و + ۱۰ لا - ۴ لا و ۹ و - ۳۱ ولا + ۶ لا
(۲۳) ۸ لا - ۱۲ الا + ۶ لا - ۱ و ۸ لا - ۴ لا - ۲ لا + ۱ و ۲ لا + ۵ لا - ۳
(۲۴) لا - ۶ لا ی + ۸ ی ولا - ۷ لا ی + ۱۲ ی ولا + ۲ لا ی - ۱۵ ی ولا + لا ی - ۲۰ ی
(۲۵) ۶ لا - لا - ۱ و ۳ لا + ۷ لا + ۲ و ۲ لا + ۴ لا - ۲
(۲۶) ۱ + ۴ لا + ۴ لا - ۱۶ الا وا + ۴ لا - ۸ لا - ۱۶ الا
(۲۷) ۹ لا - ۲۸ لا + ۳ و ۷ ۲ لا - ۱۳ الا + ۱ و ۷ ۲ لا + ۶ لا - ۱ ولا - ۶ لا + ۹

برای حل این مثال اخیر اولا مضروبات جمله اخیر را معلوم کنید
و بوساطت آن مضروبات جمله اول را دریافت کنید:-

--- page 237 ---

۲۳۲
۸۹ طریق دریافت نمودن مثل مشترک اصغر دو جمله که
مضروبات اصلیه آنها ظاهر نباشد
فرض کنید که ا وب دو جمله جبر یه است و قاسم مشترک اعظم آنها ع است
پس ا و ب را بر ع تقسیم کنید و فرض کنید که خارج قسمت ا و ب میباشند
لهذا ا = اَ ع و ب = بَ ع
و چون اَ بَ هیچ یک مضروب اصلی مشترک ندارند. لہذا ہر مثل مشترک
ا و ب بالضرور بر اَ ضرب ع ضرب بَ بطور مضروب شامل میباشد
لهذا مثل مشترک اصغر مطلوب = اَ رع بَ
و چون اَ رع بَ = اَ (رع بَ) = اَ بر ع ضرب ب
یا = (اَ رع) بَ = ا ضرب بَ بر ع
لهذا مثل مشترک اصغر مطلوب = ا بر ع ضرب ب
یا = ا ضرب بَ بر ع
پس برای دریافت نمودن مثل مشترک اصغر دو جمله جبریه یکی را
بر قاسم مشترک اعظم آنها تقسیم کنید و خارج قسمت را در جمله دیم ضرب بکنید
نتیجه اگر ص مثل مشترک اصغر ا و ب باشد ظاهر است که
ص ضرب ع = ا ضرب ب پس حاصل ضرب مثل مشترک اصغر
و قاسم مشترک اعظم دو جمله جبریه مساوی حاصل ضرب دو جمله مفروضه کورتیا

--- page 238 ---

۲۳۳
مثال مثل مشترک اصغر ۶ لا۳ + ۲۵ لا۲ + ۱۶ لا + ۷ و ۶ لا۴ - ۱۱ لا۳ - ۸ لا۲ - ۵ لا در یابید
۶ لا۴ - ۱۱ لا۳ - ۸ لا۲ - ۵ ) ۶ لا۳ + ۲۵ لا۲ + ۱۶ لا + ۷ ( لا
۶ لا۴ - ۱۱ لا۳ - ۸ لا۲ - ۵
۱۲ ) ۳۶ لا۳ + ۳۲ لا + ۱۳
۳ لا۳ + ۲ لا - ۱
۳ لا۳ + ۲ لا + ۱ ) ۶ لا۳ - ۱۱ لا۲ - ۸ لا - ۵ ( ۲ لا - ۵
۶ لا۳ + ۴ لا۲ + ۲ لا
- ۱۵ لا۲ - ۱۰ لا - ۵
- ۱۵ لا۲ - ۱۰ لا - ۵
×
∴ قاسم مشترک اعظم جملہائے مفروضہ = ۳ لا۲ + ۲ لا + ۱
و مثل مشترک اصغر مطلوب = ۶ لا۴ - ۱۱ لا۳ - ۸ لا۲ - ۵ ( ۶ لا۳ + ۲۵ لا۲ + ۱۶ لا + ۷ )
۳ لا۲ + ۲ لا + ۱
= ( ۲ لا - ۵ ) ( ۶ لا۳ + ۲۵ لا۲ + ۱۶ لا + ۷ )
= ۱۲ لا۴ + ۲۰ لا۳ - ۹۳ لا۲ - ۶۶ لا - ۳۵
مسئله (۵۴)
مثل مشترک اصغر جملہائے ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۳ لا۳ + ۲ لا۲ - ۱۱ لا + ۴ و ۳ لا۳ + ۴ لا۲ + ۱۳ لا - ۸
(۲) ۶ لا۴ + ۷ لا۳ + ۹ لا - ۴ و ۶ لا۴ - ۷ لا۳ - ۷ لا۲ + ۸
(۳) ۱۲ لا۳ - ۴ لا۲ - ۲۵ لا + ۱۲ و ۱۲ لا۳ - ۲۸ لا۲ + ۷ لا + ۱۲
(۴) ۹ لا۳ - ۱۲ لا۲ - ۱۵ لا + ۲۰ و ۱۵ لا۳ + ۱۲ لا۲ - ۲۵ لا - ۲۰
(۵) ۴ لا۴ - ۱۰ لا۳ - ۱۸ لا + ۴۵ و ۶ لا۴ + ۸ لا۳ - ۷ لا۲ - ۳۶
(۶) ۴ لا۴ + ۴ لا۳ + ۷ لا۲ + ۱۱ لا + ۴ و ۶ لا۴ + ۷ لا۳ + ۴ لا۲ + ۵ لا + ۲

--- page 239 ---

۲۳۴

(۷) ۸لآ ـ ۲لآ ـ ۸لآ + ۹لآ ـ ۶ و ۱۶لآ ـ ۱۲لآ + ۲۰لآ ـ ۹لآ + ۶
(۸) ۴لآ + ۸لآ + ۲۱لآ + ۸الا + ۳۷ و ۳لآ + ۶لآ + ۷الا + ۱۶الا + ۲۴
(۹) اگر ع قاسم مشترک اعظم و ص مثل مشترک اصغر دو جمله ا و ی باشد و نیز اگر ع ص
= لا + ی باشد پس ثابت کنید که ع + ص = لآ + ی
۹۰ طریق دریافت نمودن مثل مشترک اصغر سه جمله یا زیاده
که مضروبات شخصا ظاهر نباشد ـ
فرض کنید که ا و ب و ج سه جمله جبریه و ص مثل مشترک اصغر ا و ب و ق
مثل مشترک اصغر ص و ج است
پر ظاهر است که هر مثل مشترک ص و ج مثل مشترک ا و ب و ج نیز میباشد .... (۱)
و نیز هر مثل مشترک ا و ب و ج مثل مشترک ص و ج نیز میباشد .... (۲)
از (۱) ظاهر است که ق مثل مشترک ا و ب و ج است ـ بود
لهذا ق یا یک جمله دیگر که در جه آن از ق کمتر باشد مثل مشترک اصغر ا و ب و ج خواهید
و چون آن جمله که درجه آن از ق کمتر باشد مثل مشترک اصغر ا و ب و ج شده نمیتواند
زیرا که از (۲) ظاهر است که مثل مشترک اصغر ا و ب و ج مثل مشترک ص و ج
پس مثل مشترک اصغر مطلوب = ق خواهد بود ـ
بنابرین برای دریافت نمودن مثل مشترک اصغر چند جمله اول ا و ب و ج و د وغیر
اولا مثل مشترک اصغر ا و ب را معلوم کنید بعد ازان مثل مشترک اصغر این حاصل و
و ج را و علی هذا القیاس پس حاصل اخیر مثل مشترک اصغر مطلوب خواهد بود

--- page 240 ---

۲۳۵
مثال مثل مشترک صغر ۶ لا ۴ - ۱۱ لا ۳ + ۳ - ۴ لا ۲ - لا - ۳ و ۶ لا ۲ + ۲۵ لا - ۹ را دریافت کنید
۶ لا ۴ - ۱۱ لا ۳ + ۳ ) ۶ لا ۲ + ۲۵ لا - ۹ ( ۱
۶ لا ۲ - ۱۱ لا + ۳
۳۶ لا - ۱۳ ( ۱۲
۳ لا - ۱
۳ لا - ۱ ( ۶ لا ۲ - ۱۱ لا + ۳ ) ۳ لا - ۳
۶ لا ۲ - ۲ لا
- ۹ لا + ۳
- ۹ لا + ۳
قاسم مشترک اعظم ۶ لا ۴ - ۱۱ لا ۳ + ۳ و ۶ لا ۲ + ۲۵ لا - ۹ = ۳ لا - ۱
لهذا مثل مشترک صغر دو جمله فوق = ۶ لا ۴ - ۱۱ لا ۳ + ۳ ( ۶ لا ۲ + ۲۵ لا - ۹ )
۳ لا - ۱
= ( ۲ لا - ۳ ) ( ۶ لا ۲ + ۲۵ لا - ۹ )
= ۱۲ لا ۳ + ۳۲ لا ۲ - ۹۳ لا + ۲۷
و چون مثل مشترک صغر این جمله و ۴ لا ۲ - ۴ لا - ۳ را معلوم شود
۴ لا ۲ - ۴ لا - ۳ ) ۱۲ لا ۳ + ۳۲ لا ۲ - ۹۳ لا + ۲۷ ( ۳ لا + ۱۱
۱۲ لا ۳ - ۱۲ لا ۲ - ۹ لا
۴۴ لا ۲ - ۸۴ لا + ۲۷
۴۴ لا ۲ - ۴۴ لا - ۳۳
- ۴۰ لا + ۶۰ ( - ۲۰
۲ لا - ۳
۳ لا - ۳ ) ۴ لا ۲ - ۴ لا - ۳ ( ۲ لا + ۱
۴ لا ۲ - ۶ لا
۲ لا - ۳
۲ لا - ۳
پس قاسم مشترک اعظم این دو جمله = ۲ لا - ۳
لهذا مثل مشترک آنها = ۴ لا ۲ - ۴ لا - ۳ ( ۱۲ لا ۳ + ۳۲ لا ۲ - ۹۲ لا + ۲۷ )
۲ لا - ۳
= ( ۲ لا + ۱ ) ( ۱۲ لا ۳ + ۳۲ لا ۲ - ۹۳ لا + ۲۷ )
= ۲۴ لا ۴ + ۷۶ لا ۳ - ۱۵۴ لا ۲ - ۱۳۹ لا + ۲۷

--- page 241 ---

۲۳۶
مسئله (۵۵)
مثل مشترک اصغر جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۳لا۲ - ۱۱لا - ۸ و ۴لا۲ - ۲۰ لا + ۹ و ۶ لا۲ + لا - ۲
(۲) ۳لا۲ - ۲۳لا - ۸ و ۶لا۲ - ۷ لا - ۳ و ۲لا۲ - ۱۱لا + ۱۲
(۳) ۶لا۲ - ۱۹لا + ۱۰ و ۱۲لا۲ - ۱۱لا + ۲ و ۸لا۲ - ۱۰لا - ۳
(۴) ۲لا۴ + ۳لا۳ + لا۲ - ۶لا - ۳ و ۴لا۴ + ۸لا۳ - ۷لا۲ - ۶لا + ۳ و ۸لا۴ + ۴لا۳ - ۲لا۲ - ۳لا - ۳
باب یازدهم
کسور
۹۱ تعریف
برای هر قسم قیمت عددی (ا و ب) کسر جبری اب ان مقدار است که
اگر در ب ضرب شود حاصل ا میباشد یعنے اراب مراد ا ب میباشد
و در کسر جبری اب ا را صورت و ب را مخرج میگویند
تنبیه از تعریف فوق ظاهر است که کسر جبری محض آن خارج قسمت
میباشد که دران مقسوم بالای یک خط عرضی نوشته میشود و مقسوم علیه زیر خط 
و نیز مقسوم را که بصورت فوق نوشته شود صورت میگویند و مقسوم علیه را مخرج
۹۲ اگر صورت و مخرج کسور جبریه را در یک مقدار غیر معین
ضرب یا بران تقسیم شود در قیمت کسور مذکور هیچ تفاوت پیدا نمیشود
اثبات این امر که برای هر قیمت عددی ا و ب و م اب = ام بم میباشد

--- page 242 ---

۲۳۷
فرض کنید که ا/ب = ا/ب :. ا/ب x ب = ا/ب x ب = ا.... (بحکم تعریف فقره ۹۱)
:. ا/ب x م x ب = ا x م یا ا/ب x ب م = ام لہذا ا/ب = ام ÷ ب م یعنی ا/ب = ام/ب م
و نیز بر عکس آن چون ام/ب م = ا/ب :. ام/ب م = ام ÷ م/ب م ÷ م و هو المراد
نتیجه = ا/ب = ا x (-۱) / ب x (-۱) = -ا/-ب
یعنے اگر علامات صورت و مخرج یک کسر جبری تبدیل شود قیمیت کسر
هیچ فرق واقع نمیشود :-
۹۳ طریق اختصار کسور جبریه
کسر مختصر آنست که صورت و مخرج آن هیچ مضروب مشترک نداشته باشد
پس مفهوم اختصار یک کسر جبری اینست که یک کسر دیگر مساوی کسر
مفروض انقسم معلوم شود که صورت و مخرج آن هیچ مضروب مشترک نداشته با
ظاهر است که اگر صورت و مخرج کسر بر قاسم مشترک اعظم آنها تقسیم شود
کسر مذکور مختصر میشود :-
تنبیه اگر مضروبات صورت و مخرج ظاهر باشند پس برای اختصا کسر
همینقدر کافیست که مضروبات مشترک صورت و مخرج برداشته شود -
مثال ۱ ۴ ا۲ ب۲ ج۳ / ۱۰ ا ب۲ ج۳ را مختصر کنید :-
۴ ا۲ ب۲ ج۳ / ۱۰ ا ب۲ ج۲ = ۲ x ۲ x ا۲ x ب۲ x ج۳ / ۲ x ۵ x ا x ب۲ x ج۲
= ۲ ا ج / ۵ ب

--- page 243 ---

۲۳۸
مثال ۲ ۳ اب (ا - ب) را مختصر کنید
۳ اب (ا+ب)
اب (ا-ب)_اب(ا+ب)(ا-ب)_(ا-ب)
۳اب (ا+ب) ۳ اب(ا+ب)(ا-ب+ب) ۳اب(ا-اب+ب
مثال ۳ لا+۳لا-۴۰ را مختصر کنید
لا+۴لا-۳۲
صورت=(لا+۸)(لا-۵) و مخرج=(لا+۸)(لا-۴)
. : کسر مفروض=(لا+۸)(لا-۵)_لا-۵
(لا+۸)(لا-۴) لا-۴
مثال ۴ ۲ا+۳ولا-۲وب-۳ب لا را مختصر کنید :
۳ا-۲ولا-۳وب+۲ب لا
صورت=۲ا(ا-ب)+۳لا(ا-ب)=(۲ا+۳لا)(ا-ب)
و مخرج=۳ا(ا-ب)-۲لا(ا-ب)=(۳ا-۲لا)(ا-ب)
. : کسر مفروض=(۲ا+۳لا)(ا-ب)_۲ا+۳لا
(۳ا-۲لا)(ا-ب) ۳ا-۲لا
مثال ۵ ۳لا-۲۷ولا-۷۸ول-۲۷و را مختصر کنید
۳لا+۱۵ولا-۱۲ولا-۸۴و
صورت=۳(لا-۹ولا+۲۶ولا-۲۴و) و مخرج=۳(لا+۵ولا-۴ولا-۲۴و
قاسم مشترک اعظم آنها را معلوم کنید :-
لا+۵ولا-۴ولا-۲۴و
لا-۹ولا+۲۶ولا-۲۴و
۴اولا) ۱۴ولا-۲۸ولا
لا-۲و
لا-۲و) لا-۹ولا+۲۶ولا-۲۴و(لا-۷ولا+۱۲و
لا-۲ولا
-۷لا+۲۶ولا
-۷لا+۱۴ولا
۱۲ولا-۲۴و
۱۲ولا-۲۴و
. : قاسم مشترک اعظم =لا-۲و

--- page 244 ---

۲۳۹
لهذا حاصل مطلوب = {۳ (لا۴ - ۹ لا۳ + ۳۶ لا۲ - ۳۴ لا) ÷ (لا - ۲)} / {۲ (لا۵ + ۵ لا۴ - ۲۰ لا۳ - ۳۴ لا) ÷ (لا - ۲)}
= ۳ (لا۳ - ۷ لا۲ + ۱۲ لا) / ۲ (لا۴ + ۷ لا۳ + ۱۳ لا)
مثال ۶ ۲ لا۴ - لا۳ - ۹ لا۲ + ۱۳ لا - ۵ را مختصر کنید
۷ لا۴ - ۱۹ لا۳ + ۷ لا۲ - ۵
قاسم مشترک اعظم صورت و مخرج را بطریق ذیل معلوم کنید
۲ لا۴ - لا۳ - ۱۹ لا۲ + ۱۳ لا - ۵
۷ لا۴ - ۱۹ لا۳ + ۷ لا۲ - ۵
۲ لا { ۲ لا۴ - ۸ لا۳ + ۱۰ لا۲ - ۴ لا
لا۳ - ۴ لا۲ + ۵ لا - ۲
لا۳ - ۴ لا۲ + ۵ لا - ۲ } ۷ لا۴ - ۱۹ لا۳ + ۷ لا۲ - ۵ (۷
۷ لا۴ - ۲۸ لا۳ + ۳۵ لا۲ - ۱۴
۹ ( ۹ لا۳ - ۱۸ لا۲ + ۹
لا۳ - ۲ لا۲ + ۱
لا۳ - ۲ لا۲ + ۱ ) لا۳ - ۴ لا۲ + ۵ لا - ۲ ( لا - ۲
لا۳ - ۲ لا۲ + لا
- ۲ لا۲ + ۴ لا - ۲
- ۲ لا۲ + ۴ لا - ۲
×
∴ قاسم مشترک اعظم مطلوب = لا۲ - ۲ لا + ۱
لهذا حاصل مطلوب = (۲ لا۴ - لا۳ - ۱۹ لا۲ + ۱۳ لا - ۵) ÷ (لا۲ - ۲ لا + ۱) / (۷ لا۴ - ۱۹ لا۳ + ۷ لا۲ - ۵) ÷ (لا۲ - ۲ لا + ۱)
= ۲ لا۲ + ۳ لا - ۵ / ۷ لا۲ - ۵

--- page 245 ---

٢٤٠
مسئله (٥٦)
كسور ذیل را مختصر كنيد:-
(١) ٤ لاب ٢
٢ ا٤ ب ٣
(٢) ٦ ل ا ٥ ى ٤
٨ لا ى ٤
(٣) ٣ ا ٣ لا ى ٤
١٠ ا ٥ لا ى ٦
(٤) ١٥ لا ا ى ٤ ع ٤
٢٥ لا ٤ ى ٣ ع ٣
(٥) ١٨ ا ٢ ب ج ٢ د ٣
٧٢ ا ٣ ب ٢ ج د ٤
(٦) ١٦ لا ٣ و ى ٢ ع ٥
٢٠ و ٤ ع ٣ لا ى ٤
(٧) ٧٠ ا ٢ ب ت ج ٤ د ٣
١٠٥ ا ج ٢ د ٢ ا ٣ ب
(٨) ٣٩ م ٢ ن ٥ ط ٢ ع
٦٥ ط ٤ م ن ٢ ع ٥
(٩) لا ٢ - و ٢
لا + و لا
(١٠) لا ٢ - ٣ لا
لا ٢ - ٩ لا
(١١) ٤ لا ٢ - ٩ و ٢
٢ لا ٢ + ٦ لا و
(١٢) ٣ ا ٢ - ١٢ ا و ب
٨ ب ٢ - ٢ ا ٢
(١٣) ٣ لا ٢ - ١٢ ا ٢
لا ٢ - ١٦ لا
(١٤) ٤ لا ٣ - ٤ لا ٢ لا ٣
لا ٤ - ٤ لا ٣ + ٤ لا ٢
(١٥) ٤ لا ٢ + ٨ لا
لا ٢ + ٥ لا + ٦
(١٦) لا ٢ + ٣ لا - ٨
لا ٢ - لا - ١٢
(١٧) لا ٢ + ١٣ لا - ١٥
لا ٢ + ٩ لا + ٢٠
(١٨) ا ٢ - ٣ ا ب - ٤ ب ٢
ا ٢ - ٤ ا ب - ٥ ب ٢
(١٩) ا ٣ - ا ٢ ب + ا ب ٢
ا ٣ + ب ٣
(٢٠) - ١ - ٧ لا + ١٢ لا ٢
- ١ - ٨ لا + ١٥ لا ٢
(٢١) لا ٢ - ٦ لا ى + ٥ ى ٢
لا ٢ + ٢ لا ى - ٣٥ ى ٢
(٢٢) ١ - ٩ ا ٢ + ١٤ ا ٣
١ - ٤ ا ٢ - ١٢ ا ٣
(٢٣) لا ٢ - ٨ لا ٢ - ٦٥
لا ٢ + لا - ٢٠
(٢٤) ٣ و ٣ لا + ٩ و ٢ لا ٢ + ٧ و لا ٣
و ٣ لا - ٧ و لا ٣
(٢٥) ٢ لا ٢ - لا - ٦
٣ لا ٢ - ٧ لا - ٨
(٢٦) ٣ لا ٢ - ٥ لا ا + ٢ ا ٢
٣ لا ٢ - لا ا - ٢ ا ٢
(٢٧) ٣ لا ٢ - ١٦ لا ا + ٥ ا ٢
٣ لا ٢ + ٢٣ لا ا + ٤ ا ٢
(٢٨) ٦ لا ٢ - ٧ لا - ٢٠
٩ لا ٢ + ٦ لا - ٨
(٢٩) ٣ لا ٢ + ٣ ولا - ٢٠ و ٢
٣ لا ٢ - ٨ لا و + ٥ و ٢
(٣٠) - ١ - ٧ لا ا + ٣ ا ٢ لا ٢
- ٥ - ٢٦ لا ا + ٥ ا ٢ لا ٢
(٣١) لا ٢ - (ا + ب) لا - ا ب
لا ٢ + ب لا + ا لا + ا ب
(٣٢) ٦ ا ج + ١٠ ا ب ج + ٩ ا لا + ١٥ ا ب لا
٦ ج ٢ + ٩ ج لا - ٢ ج - ٣ لا

--- page 246 ---

۲۴۱

(۳۳) ٨ ب لا + ١٢ ا ب + ٦ لا ی + ٩ ا ی (٣٤) ٣ آ ٣ + ا و ب - ب٢
١٢ ب لا + ٨ ا ب + ٩ لا ی + ٦ ا ی ا ٣ + ا وب - ا وب

(٣٥) لا ٢ + ا لا - ٦ (٣٦) ا ٢ ب - ٢ ب ج + ج٢ (٣٧) لا٣ - ٧ لا + ٦
٢ - ٨ + ١ ا٢ + ا و ب + ب ا ج لا ٣ + ا ٣ - ١٣ لا + ١٠

(٣٨) ا ٢ - ا ٢ ب - ٢ ا ب٢ + ٣ ب٢ (٣٩) لا ٤ + (٢ ب٢ - ١) لا٢ + ب٤
ا ٣ - ا ب + ٥ ا ب - ٤ ب٢ لا ٤ + ٢ و لا٢ + ١ لا٢ - ب٢

(٤٠) ٣ لا ٤ + ٢ لا ٣ ی - ٧ لا ٢ ی٢ + ٢ ی ٤ (٤١) ١ + ٣ لا - لا ٣ - ٣ لا٤
٣ لا ٣ + ٩ لا ٢ ی + ٨ لا ی٢ - ٥ ی ٣ ١ - لا + ٢ لا ٢ + لا ٣ + ٢ لا ٤

(٤٢) لا ٣ - لا ٢ - لا + ١ (٤٣) لا ٤ + لا ٢ + ٢٥
لا ٤ - ٢ لا ٣ - لا ٢ + لا لا ٤ - ٩ لا ٢ + ٣٠ - لا ٤ - ٢٥

(٤٤) لا ٢ + ٣ و لا + ٥ ا لا - ٣١ ا ٢ (٤٥) ٣ لا ٤ + لا ٣ - ٣ لا ٢ + ٣
٣ لا ٢ - ١٢ ا لا + ١٩ ا لا - ١٥ ا ٢ ٣ لا ٤ + لا ٣ - ٣ لا ٢ + ٤

(٤٦) ٩ لا ٤ - ٧ ا لا ٣ - ٢ ا٤ (٤٧) ا ٣ - ١٦ ا ٢ ب + ٤٤ ا ب ٢ - ٣٢ ب٤
٩ لا ٤ + ٦ ا لا ٣ - ٥ ا ٢ لا٢ - ٢ ا ٤ ٣ ا ٤ + ١٦ ا ٣ ب - ٣٣ ا ب٢ - ٦٢ ب٤

(٤٨) ٩ لا ٤ + ٣٠ لا ٣ + ١٢ ا لا ٢ - ٦ لا - ٢٥ ا٢ (٤٩) ا ٤ - ٩ ا ٢ ب + ا و ب٣ + ٣ ا ٢ ب - ا وب٣
٨ لا ٤ + ٣٨ لا ٣ + ١٦ لا ٢ - ٣ لا - ٤٨ ٤ ا ٤ - ٩ ا ٣ ب + ٣ ا و ب٢ - ا ب ٣

(٥٠) ٣٢ لا ٥ + ١٦ لا ٤ ی - ٢٨ لا ٣ ی٢ - ٤٢ لا ٢ ی ٣ - ١٢ لا ی٤
٢٥ لا ٥ ی + ٣٠ لا ٤ ی٢ - ١٥ لا ٣ ی ٣ - ٢ لا ٢ ی ٤ - ١٠ ی ٥

٩٣ توحيد مخرج كسور جبرية

فرض كنيد ج و د ج و ه ی وغيره كسور جبريه ميباشد و ص مثل مشترك
مخارج ب و د و ف وغيره
پس چون صورت و مخرج يك كسر جبري در يك مقدار غير معين ضرب شود
در قيمت كسر مذكور هيچ فرق واقع نميشود -

--- page 247 ---

۲۴۲
لهذا ۱ = ۱ × (ص ÷ ب) = ا × (ص ÷ ب)
ب ب × (ص ÷ ب) ص
و ی = ی × (ص ÷ ت) = ی × (ص ÷ ت)
ت ت × (ص ÷ ت) ص
و علی هذا القیاس
پس کسور ستون سوم مساوی ستون اول میباشند و متحدالمخرج نیز میباشند
لهذا برای توحید مخرج کسور قاعده ذیل مقرر است-
اولا مثل مشترک اصغر همه مخارج کسور مفروضه را معلوم کنید بعد ازان صورت
و مخرج هر کسر را در ان خارج قسمت ضرب کنید که از تقسیم مثل مشترک اصغر
مذکوره بر هر یک از مخارج مذکوره حاصل میشود-
مثال ۱ / ا+ب و ۱ / ا(ا-ب) و لا۲ / ب (ا۲-ب۲) را متحدالمخرج بسازید
مثل مشترک اصغر مخارج = ا ب (ا۲- ب۲) و خارج قسمت هائیکه از تقسیم
این مثل مشترک اصغر بر مخارج مختلفه حاصل میشوند حسب ذیل میباشند
ا ب (ا - ب) و ب (ا + ب) و ا
لهذا ۱ / ا+ب = ۱ × ا ب (ا - ب) = ااب(ا-ب)
(ا+ب) × ا ب (ا-ب) اب (ا۲-ب۲)
۱ / ا(ا-ب) = ۱ × ب ( ا + ب) = اب(ا+ب)
ا (ا-ب) × ب (ا+ب) اب (ا۲-ب۲)
لا۲ / ب(ا۲-ب۲) = لا۲ × ا / ب (ا۲-ب۲) × ا = لا۲ا / ا ب (ا۲-ب۲)

--- page 248 ---

۲۴۳
مثال ۴ لا-۱/ لا۲ - ۵ لا + ۶ و لا-۲ / لا۲ - ۴ لا + ۳ و لا-۳/ لا۲ - ۳ لا + ۲ را متحد المخرج بسازید
مخارج مختلفه حسب ذیل هستند (لا-۲) (لا-۳) و (لا-۱) (لا-۳) و (لا-۱) (لا-۲)
پس مثل مشترک اصغر مخارج = (لا-۱) (لا -۲) (لا -۳)
و خارج قسمتهای مختلفه که از تقسیم مثل مشترک اصغر بر مخارج مختلفه حاصل میشوند
لا - ۱ و لا - ۲ و لا-۳ میباشند
لهذا لا-۱/لا۲- ۵لا + ۶ = (لا-۱) (لا-۱)/(لا۲ - ۵ لا + ۶) (لا-۱) = لا۲ - ۲ لا + ۱/لا۳ - ۶ لا۲ + ۱۱لا - ۶
لا -۲/لا۲ - ۴ لا + ۳ = (لا-۲) (لا -۲)/(لا۲ - ۴ لا + ۳) (لا-۲) = لا۲ - ۴ لا + ۴/لا۳ - ۶ لا۲ + ۱۱لا - ۶
لا-۳/لا۲ - ۳ لا + ۲ = (لا-۳) (لا-۳)/(لا۲ - ۳ لا + ۲) (لا-۳) = لا۲ - ۶ لا + ۹/لا۳ - ۶ لا۲ + ۱۱لا - ۶
مسئله (۵۷)
کسور ذیل را متحد المخرج بسازید :-
(۱) ا/۲ ب و ۳ج/د و ی/۲ (۲) لا۲/۲ ب ج و ی۱/۳ ج ا و ۴/ب
(۳) ا/۴ لا ی و ب ج/۶ لا ی و ج ا/۱۰ لا۳ (۴) ا/ب و ب/ا + ب و ج/ا (ا+ب)
(۵) لا۲/لا۲ + ۳ اب و ی/ا۲ - ۳ ب (۶) ا۲/ا - ب و ۱۲ ج/ا ب - ا۲
(۷) ا۲/ا - ب و ۳ ب/ب - ا و ۴ ج/ا + ب (۸) لا۲/ا۳ (ا+لا) و ۳ ی/ب (ا - لا) و ۶ م/ج (ا۲ - لا۲)
(۹) ۱/۲ لا ی - ۳ ی۲ و ۲/۳ لا۲ ی - ۴ لا ی۲ و ۳/۴ لا۲ ی - ۹ ی۳ (۱۰) لا/لا۲ + لا + ۱ و ب/لا۳ - ۱ + ۱

--- page 249 ---

۲۴۴

(۱۱) ا٣/٢ ـ لا + لا٣/٦ (۱۲) ا (و ٢ ا و ب + ٣ ب ج) / ا٢ ب٢

(١٣) ا - ٣ ب / ج + و ٣ ا ب + ٩ ب٢ / ب ج + و ٢ ا - ٢ ب٢ / ا٢ ج

(١۴) ب (ا ـ ب + ج) / ا ج + ٢ (ا ـ ب + ج) / ب ج + ب ا + ج - ٢ ا ب / ا ب ج

(۱۵) (ا ـ ب) / (ب ـ ج) و (ا ـ ج) / (ب ـ ج) و (ج ـ ا) / (ا ـ ب)

۹۵ جمع کسور جبریه
بحکم نتیجه سوم قضیه هندسه چهل و هشتم
و (ب + ج + د + ی) = ا ب + ا ج + ا د + ا ی (برای هر قیمت ا و ب و ج و د و ی)
ثه برعکس آن ا ب + ا ج + ا د + ا ی = ب + ج + د + ی / ا
= ا ب / ا + ا ج / ا + ا د / ا + ا ی / ا

لهذا اگر ط و ق و س و س بجای ا ب و ا ج و ا د و ا ی نوشته شوند
ط + ق + س + س / ا = ط / ا + ق / ا + س / ا + س / ا (برای هر قیمت ط و ق و س و س و ا)

پس مجموع چند کسر جبری که متحد المخرج باشند مساوی آن کسریست که صورت آن
مساوی مجموع همه صورتهای کسور مذکور و مخرج آن مساوی مخرج کسر مفروضه باشد
پس برای جمع کسور جبریه اولاً آنها را متحد المخرج بسازید بعد از ان مجموع آنها را بطریق فوق معلوم کنید
مثال ۱ قیمت ا / ا ـ ب + ب / ب ـ ا را معلوم کنید:-
چون ب / ب ـ ا = ب × (- ا) / (ب - ا) (- ا) = - ب / ا ـ ب
∴ ا / ا ـ ب + ب / ب ـ ا = ا / ا ـ ب + - ب / ا ـ ب = ا + (- ب) / ا ـ ب = ا ـ ب / ا ـ ب = ١

--- page 250 ---

۲۴۵

مثال ۳ قیمت لا / لا+و + و / لا-و را معلوم کنید
چون مخرج مشترک اصغر مخارج = لا۲-و۲
لا / لا+و = لا(لا-و) / لا۲-و۲ و و / لا-و = و(لا+و) / لا۲-و۲
لهذا قیمت مطلوب = لا(لا-و) / لا۲-و۲ + و(لا+و) / لا۲-و۲ = لا(لا-و)+و(لا+و) / لا۲-و۲ = لا۲+و۲ / لا۲-و۲
مثال ۳ قیمت ۱ / ا+ب + ۱ / ا-ب - ۲ ا / ا۲+ب۲ را معلوم کنید
چون در مثال همه کسور بآسانی متحدالمخرج نمیشوند لهذا صورت عمل بطریق ذیل خواهد بود
۱ / ا+ب + ۱ / ا-ب = (ا-ب)+(ا+ب) / ا۲-ب۲ = ۲ ا / ا۲-ب۲
قیمت مطلوب = ۲ ا / ا۲-ب۲ - ۲ ا / ا۲+ب۲ = ۲ ا(ا۲+ب۲)-۲ ا(ا۲-ب۲) / ا۴-ب۴ = ۴ اب۲ / ا۴-ب۴
مثال ۴ ۱ / لا-۲ - ۱ / لا+۲ - ۴ / لا۲+۴ + ۳۲ / لا۴+۱۶ را مختصر کنید
پس ۱ / لا-۲ - ۱ / لا+۲ = (لا+۲)-(لا-۲) / لا۲-۴ = ۴ / لا۲-۴
و ۴ / لا۲-۴ - ۴ / لا۲+۴ = ۴(لا۲+۴)-۴(لا۲-۴) / لا۴-۱۶ = ۳۲ / لا۴-۱۶
و ۳۲ / لا۴-۱۶ + ۳۲ / لا۴+۱۶ = ۳۲(لا۴+۱۶)+۳۲(لا۴-۱۶) / لا۸-۲۵۶ = ۶۴ لا۴ / لا۸-۲۵۶

--- page 251 ---

۲۴۶
مثال ۵ ۱/ا+ب - ۱/ا+۲ب + ۱/ا+۳ب - ۱/ا+۴ب را مختصر کنید
جمله مفروضه = {۱/ا+ب - ۱/ا+۲ب} - {۱/ا+۳ب - ۱/ا+۴ب}
و چون ۱/ا+ب - ۱/ا+۲ب = (ا+۲ب)-(ا+ب)/(ا+ب)(ا+۲ب) = ب/(ا+ب)(ا+۲ب)
و ۱/ا+۳ب - ۱/ا+۴ب = (ا+۴ب)-(ا+۳ب)/(ا+۳ب)(ا+۴ب) = ب/(ا+۳ب)(ا+۴ب)
لهذا ب/(ا+ب)(ا+۲ب) - ب/(ا+۳ب)(ا+۴ب) = ب(ا+۳ب)(ا+۴ب)-ب(ا+ب)(ا+۲ب)/(ا+ب)(ا+۲ب)(ا+۳ب)(ا+۴ب)
و صورت کسر مذکور = ب(ا۲+۷اب+۱۲ب۲)-ب(ا۲+۳اب+۲ب۲)
= ب(۴اب+۱۰ب۲) = ۲ب۲(۲ا+۵ب)
پس قیمت مطلوب = ۲ب۲(۲ا+۵ب)/(ا+ب)(ا+۲ب)(ا+۳ب)(ا+۴ب)
مسئله (۵۸)
قیمت کسور ذیل معلوم کنید :-
(۱) ا+ب/ا - ا-ب/ب (۲) لا-ی/لای - ی-ع/ی‌ع - ع-لا/ع‌لا (۳) ۱/ا-لا + لا/ا۲-لا۲
(۴) ا+ب/ا-ب - ا-ب/ا+ب (۵) ۱/ا+ب - ۱-ب/۲(ا+ب) (۶) ۴لا+۹ی/۴لا۲-۹ی۲ - ۲لا-۳ی/۲لا+۳ی
(۷) ا/(ا+ب)۲ - ب/(ا-ب)۲ (۸) ا۲+اب+ب۲/ا+ب - ا۲-اب+ب۲/ا-ب (۹) ۱/(ا-ب)(ا-ج) + ۱/(ا-ج)(ب-ج)
(۱۰) ۱/لا۲-۳لا+۲ + ۱/لا۲-۵لا+۶ (۱۱) ۱/لا۲+۷لا+۱۰ + ۱/لا۲+۱۳لا+۴۰ (۱۲) ۱/(۲لا-۳ی) - ۱/۴لا۲+۳ی۲-۱۲لای

--- page 252 ---

۲۴۷
(۱۳)۲(۱+ب)  _ ۱-ب + ۲ب (۱۴) ۱  + ۱  + ۲ر
 ۱-ب    ۱+ب   ب۲-۱    ۱+۲ب    ۲-ب    ۴ب۲-۱
(۱۵)لا+ی + لا-ی _ ۲(لا۲-ی۲) (۱۶) ۱-لا۲ _ ۱+لا۲ + ۸لا
   لا-ی   لا+ی   لا۲+ی۲     ۱+لا۲   ۱-لا۲   ۱+لا۴
(۱۷)لا۳+۱_ لا-۳+ ۵لا۲+۳لا (۱۸)۲ب۲-ب-۱۲+ب-۴_ب(۱-۸)
   لا-۳  لا۲+۹  لا۳-۱۸     ۱-۲ب ۱+۲وب ۱-۴ب۲
(۱۹)  لا   +   لا   +  ۲لا۲   (۲۰)  ب  + ۳ب + ۲ب
   لا-۳    لا+۳     لا۲+۹     ۱-ب    ۱+ب    ۱-ب۲
(۲۱)  لا   +   لا   _  ۲لا۶  (۲۲)  ۱  _   ۱   _   ۱-لا
  لا۳-ی۳  لا۳+ی۳  لا۶+ی۶     لا-۳   لا۲+۶   لا۳+۱۸
(۲۳)۲(۱+ب۲) _  ۱  _  ۱  (۲۴) ۱ _ ۱  +  ۱ _  ۱
   ب(۱-ب)    ب    ۱-ب      لا-۱  لا+۱  لا-۲  لا+۲
(۲۵) ۱ _ ۲ + ۱ _ ۲ (۲۶) ۲ _ ۱ + ۳ _ ۱
   لا-۱  لا۲+لا   لا-۲  لا۲-لا     لا-۱  لا+۳   لا+۱  لا-۳
(۲۷) ۱ _ لا _ لا + ۳ (۲۸)  ا-ج   _   ب-ج
   لا-۱   لا۲+۱   لا+۱   ۱-لا۴    (۱-ب)(لا-۱)   (ب-۱)(لا-ب)
(۲۹)    ۱    _    ۱    +    ۲   
    لا۲-۳لا+۲   لا۲-۵لا+۶   لا۲+۸لا+۱۵
(۳۰)    ۱    +    ۱    _     ۲    
    لا۲+۵لا+۶   لا۲+۱۱لا+۳۰   لا۲+۹لا+۲۰
(۳۱)    ۱    +    لا۲    _    ۱    (۳۲)   ۱   _   ۱   _   لا۲   
    لا۲+۳لا+۲   لا۲+۴لا+۳   لا۲+۵لا+۶    لا-۱   لا+۱   لا۲-۱+۲لا۴
(۳۳)    ۱    _    ۱    _    لا۲    (۳۴)  ۱   _ لا-۲ _ لا-۴ 
    لا+۱   لا-۱+لا۲   لا-۱+لا۲    لا-۲   لا۲+۲لا+۴   لا۳+۸
(۳۵)    ۱    _    ۱    +    ۱۴لا   
    لا۲-۱۶لا+۶۴   لا۲+۱۶لا+۶۴   لا۴-۲۵۶

--- page 253 ---

۲۴۸

فرض کنید که ا/ب و ج/د دو کسر است و قیمت ا/ب × ج/د مطلوب
فرض کنید که لا = ا/ب × ج/د
لهذا لا × ب × د = ا/ب × ج/د × ب × د = ا/ب × ب × ج/د × د = ا × ج
یعنی لا × ب د = ا ج . : لا = ا ج / ب د یعنی ا/ب × ج/د = ا ج / ب د
لهذا ا/ب × ج/د × ی/ف = ا ج / ب د × ی/ف = ا ج ی / ب د ف
و ا/ب × ج/د × ی/ف × س/ش = ا ج ی / ب د ف × س/ش = ا ج ی س / ب د ف س
وعلی هذا القیاس

پس حاصل ضرب چند کسر آن کسر یباشد که صورت آن مساوی حاصل ضرب صورتهای
کسور مفروضه و مخرج آن مساوی حاصل ضرب مخارج کسور مفروضه باشد
نتیجه چون خ = خ/۱ لهذا ا/ب × خ = ا خ / ب
مثال ۱ ا ی/ی ع، ی ی/لا ی، و ع/لا را در یکدیگر ضرب کنید
حاصل ضرب مطلوب = لا × ی × ع / ی ع × لا ی × لا = لا × ی × ع / ی × ع × لا = ۱
مثال ۲ لا (لا - ۱) / لا۲ + ۳ لا + ۲ را در لا ( لا + ۱) / لا۲ - ۴ لا + ۳ ضرب کنید
حاصل ضرب مطلوب = لا (لا - ۱) × لا (لا + ۱) / (لا + ۲) (لا + ۱) × (لا - ۳) (لا - ۱) = لا لا (لا - ۱) (لا + ۱) / (لا + ۲) (لا + ۱) (لا - ۳) (لا - ۱)
= لا لا / (لا + ۲) (لا - ۳)

--- page 254 ---

۲۴۹
مثال ۳ ۱-لا ۱+ی و ا+ ی وا+ لا را در یکدیگر ضرب کنید
لا+لا۲ ۱-لا
چون ا+ لا = ۱-لا +لا = ۱
۱-لا ۱-لا ۱-لا
∴ حاصل ضرب مطلوب = (۱+لا)(۱-لا) x (۱+ی)(۱-ی) x ۱
۱+ی لا(۱+لا) ۱-لا
= (۱+لا)(۱-لا)(۱+ی)(۱-ی) = ۱-ی
لا(۱+ی)x(۱+لا)x(۱-لا) لا
مسئله (۵۹)
کسور ذیل را در یکدیگر ضرب کنید :-
(۱) ۳ا۲ و ۹ب۲ و ۸ج۲ (۲) ۴ا۲ب۳ و ۱ج۳ و ۳د۲
۴اب ۱۶اج ۹ب ج ۳ج۲ ۱۶د۲ ۲ب
(۳) لا۳ و ی۲ و ع۳ (۴) ۷ا۲ب۴ج۳ و ۴لا۳ی۲ع۲
ی۶ ع۴ لا۵ ۱۲لاییع۶ ۲۱ا۳ب۴ج۳
(۵) ۱۲م۲ن۳ و ۳۵لا۴ی۶
۷لا۴ی۳ ۶۹م۳ن
مختصر کنید :-
(۶) لا+۱ x لا۲+لا-۲ (۷) ۱۲-۹ب۲ x ۲۱۳
۱-لا لا+لا۲ ا۲+۳اب ا۲-۳اب
(۸) ا۲-ب۲ x (ا + ب)۲ (۹) لا۲+۸لا x لا۲-۴لا+۴لا۲
ا۲+اب ا۲+۲اب+ب۲ لا۲-۴لا لا۲-۴لا+۴لا۲
(۱۰) لا۲+۴لا+۳ x لا۲-۳لا+۲ (۱۱) لا۲-۷لا+۱۰ x لا۲-۳لا-۱۸
لا۲-۴ ۹-لا۲ لا۲-۳لا-۱۵ لا۲-۸لا+۱۲
(۱۲) لا۲-۴لا+۳ x لا۲-۷لا-۱۰ (۱۳) ا۲-ب۲ x ا-ب
لا۲-۶لا+۵ لا۲-۵لا+۶ ا۲-۲اب+ب۲ ا۲+اب

--- page 255 ---

۲۵۰
(۱۴) لا۲ - ۵ لا + ۲ × لا۳ + ۴ لا (۱۵) لا۲ - ۶ لا - ۱۶ × لا۲ - ۱۱ لا + ۲۸
لا۳ - ۵ لا - ۲ لا۲ - ۲ لا۲ - ۴ لا - ۲۱ لا۲ - ۱۲ لا + ۳۲
(۱۶) ۱۲ - لا۲ / ۱ - ب۲ × (۱ + لا / ۱ - لا)
ا + ب لا۲ + لا
(۱۷) (۱ / لا - ۱ / ۴ + ۱ / لا۲) (۱ + ۴ / لا + ۴ / لا۲) (۱۸) (۲ / لا۳ + ۳ / لا۲) (۳ / لا۲ + ۲ / لا۳)
(۱۹) (۱ / ب + ۱ / پ) (ج / پ + ج / ب) - (۱ / ب - ۱ / پ) (ج / پ - ج / ب)
(۲۰) ۲ لا۲ - ۷ لا + ۳ × ۳ لا۳ + ۱۱ لا۲ - ۴ لا + ۱۵
۲ لا۲ + ۷ لا - ۴ ۳ لا۳ + ۸ لا۲ - ۳ لا۲ + ۱۱ لا + ۱۵
(۲۱) ب۲ - ج۲ - ۱۲ + ۲ ا ج × ب۲ + ج۲ - ۱۲ - ۲ ب ج
ج۲ + ۱۲ - ب۲ + ۲ ا ج ۱۲ - ب۲ + ج۲ - ۲ ا ج
(۲۲) ج۲ - ۱۲ - ب۲ + ۲ ا ب × ۱۲ - ب۲ + ج۲ - ۲ ا ج
ب۲ - ج۲ - ۱۲ + ۲ ا ج ۱۲ + ب۲ - ج۲ - ۲ ا ب
۹۷ تقسیم کسور
فرض کنید که ا / ب و ج / د دو کسر است و قیمت ا / ب ÷ ج / د مطلوب
و نیز فرض کنید که لا = ا / ب ÷ ج / د
لهذا لا × ج / د = ا / ب ÷ ج / د × ج / د
ا / ب = ا / ب {م ÷ ن × ن = م برای هر قیمت م و ن}
∴ لا × ج / د × د / ج = ا / ب × د / ج
یعنے لا = ا / ب × د / ج {∵ ج / د × د / ج = ۱}

--- page 256 ---

۲۵۱
پس برای تقسیم یک کسر بر کسر دیگر کسر اول را در عکس کسر دوم ضرب کنید
نتیجه أ/ب ÷ ج = أ/ب ÷ ج/۱ = أ/ب × ۱/ج = أ/ب ج
مثال أ٣+ب٣/أ٣-ب٣ ÷ أ٢-اب+ب٢/أ-ب را مختصر کنید
حاصل مطلوب = أ٣+ب٣/أ٣-ب٣ × أ-ب/أ٢-اب+ب٢
= (أ+ب)(أ-ب)/(أ-ب)(أ٢-اب+ب٢)
= (أ+ب)(أ٢-اب+ب٢)(أ-ب)/(أ+ب)(أ-ب)(أ٢-اب+ب٢)
= ۱
مثال ٢ لا٢+لا-٢/لا٢+٧لا+١٢ ÷ لا٢-٣لا-١٠/لا٢-لا-١٢ × لا٢-٤لا-٥/لا٢-٣لا+٣ را مختصر میکنید
حاصل مطلوب = لا٢+لا-٢/لا٢+٧لا+١٢ × لا٢+لا-١٢/لا٢-٣لا-١٠ × لا٢-٤لا-٥/لا٢-٢لا+٣
= (لا-١)(لا+٣)/(لا+٣)(لا+٤) × (لا-٣)(لا+٤)/(لا-٥)(لا+٢) × (لا-٥)(لا+١)/(لا-٣)(لا-١)
= (لا-١)(لا+٣)(لا+٤)(لا-٣)(لا-٥)(لا+١)/(لا+٣)(لا+٤)(لا-٥)(لا+٢)(لا-٣)(لا-١)
= لا+١/لا+٣

--- page 257 ---

۲۵۲
مثال ۳ 
۱/ا + ب - ۱/ا - ب
÷
ا + ب/ا - ب + ا - ب/ا + ب
× 
ا/ا + ب

پس ۱/ا + ب - ۱/ا - ب = ا/ا + ب - ۱/ا - ب = ا (ا - ب) - ۱ (ا + ب) / (ا + ب) (ا - ب)

=
-۲ب / ا۲ - ب۲

و
ا + ب/ا - ب + ا - ب/ا + ب = ۱/ا - ب + ۱/ا + ب = ا(ا + ب) + ۲(ا - ب)/ا۲ - ب۲

=
۲(ا۲ + ب۲)/ا۲ - ب۲

پس از (۱) و (۲) ظاهر است که جمله مقسوم = 
-۲ب / ا۲ - ب۲
÷
۲(ا۲ + ب۲)/ا۲ - ب۲

=
-۲ب / ا۲ - ب۲
×
ا۲ - ب۲ / ۲(ا۲ + ب۲)

=
-ب / ا۲ + ب۲
.......... (۳)

و جمله مقسوم علیه = 
ا/ا + ب

پس از (۱) و (۳) ظاهر است که جمله مقسوم = 
-ب / ا۲ + ب۲
÷
ا / ا + ب
×
ا / ا + ب

=
-ب / ا۲ + ب۲
×
ا + ب / ا
×
ا / ا + ب

=
-اب / (ا۲ + ب۲)

--- page 258 ---

۲۵۳
مسئله (۶۰)
کسور ذیل را مختصر کنید:-
(۱) ۴واب ج ÷ ۸ واب ج (۲) ا+ ا ب ÷ ا ب
۱۵الای ۶ ۲۵ الای ۶ ا - ب ۲اب - ب۲
(۳) لا۲ - ۴۹ ÷ لا + ۷ (۴) ۲ا - ب۲ ÷ ۲ا + ب۲
۲ا - ۲۵ لا + ۵ ۴ا۲ + ۴ا ب + ب۲ ÷ ۴ا + ب
(۵) م۲ - ۹ن۲ ÷ م۲-۲من-۳ن (۶) م۳ -ن۳ ÷ م۲ + م ن + ن۲
م۲ +۵م ن+۶ن۲ م۲-ن۲ م + ن م۲ - ن۲
(۷) (۲لا+ ی(-۱) ÷ (۱- ی ) (۸) ( ا/ب + ب/ا ) ÷ ( ۱/اب - ۱/ب)
لا+ ی لا+ ی
(۹) (لا+ ی/لا- ی - لا- ی/لا+ ی) ÷ (لا+ ی/لا- ی -۱) (۱۰) لا - ۴ . لا۲ - ۵لا - ۱۴
لا۲ + ۳لا - ۱۸ لا۲ - ۳۶
(۱۱) {۱- ۲ط ق/ط۲+ ق۲} ÷ {ط۲ - ق۲ / ط - ق - ۳ط ق}
(۱۲) ۲ا۲ ب۲ + ۳ا ب (ا + ب) ÷ (ا - ب)۲ + ۴ا ب
(ا + ب)۲ - ۴ ا ب ۴ا۲ ب۲ - ۳ ا ب (ا - ب)
(۱۳) لا۲+ ی۲ ÷ (لا+ ی)۲ - ۳لا ی × لا ی
(لا - ی)۲ + ۳لا ی لا۲- ی۲ لا۲- ی۲
(۱۴) ۱/۲(ا - ب) + ۴ا۲ ب ÷ ا - ب × ب(ا + ب)۲ - ۴ا ب۲
ا ب + ب۲ ا ب ا۲ - ا ب
(۱۵) لا۳ - لا - ۳۰ ÷ لا۲ + ۳لا - ۱۰ ÷ لا + ۴
لا۳ - ۳۶ لا۲ + ۲لا - ۸ لا۳ + ۲لا۲
(۱۶) لا۳ + ۴لا - ۱۰۸ . لا + ۶ لا - ۷۲ ÷ لا۳ - ۱۶لا + ۶۳
لا۲ - ۳۶ لا۲ + لا - ۵۶ لا۳ - ۳لا۲ + ۴۸
(۱۷) (لا+ ی/لا- ی - لا- ی/لا+ ی) ÷ (لا+ ی/لا- ی - لا- ی/لا+ ی)
(۱۸) {ا + ب/ا - ب + ا - ب/ا + ب} ÷ {ا + ب/ا - ب - ا - ب/ا + ب - ۲}

--- page 259 ---

۲۵۱

(۱۹) 
اب
(ا+ب)۲ - ۳ ا ب (ا + ب) 
÷
(ا+ب)۲ - ۴ اب
(ا+ب)۳ - ۳ اب × (ا+ب)۲ - ۲ اب

(۲۰) (ا-ب) { (ا+ب) - اب } 
(ا-ب)۲ + ۳ ا ب
÷
(ا-ب)۳ + ۳ ا ب
(ا+ب) { (ا-ب)۲ + اب } × (ا+ب)۲ - ۳ ا ب

(۲۱) ( ۱ / ب - ۱ / ا ) ( ۱ / ب + ۱ / ا ) 
÷
ا / ب - ب / ا
×
۱ / ا - ۱ / ب
۱ / ا۲ + ۱ / ا ب + ۱ / ب۲

۹۸
مسئله متفرقه
مثال مختصر کنید
۱+ ا / ا + ب - ا - ب / ا + ب
۲(ا+ب) - ۱ / ا + ب
ا / ا + ب

چون ا - ا - ب / ا + ب = ا۲ + ا ب - ا + ب / ا + ب = ا۲ + ب / ا + ب
لهذا جمله مفروضه = ۱+ ا۲ + ب / ا + ب
۲(ا+ب) - ا / ا + ب
(ا+ب) / ا
= ۱+ ا۲ + ب / ۲(ا+ب)۲ - (ا+ب) / ا
= ۱+ ا۲ + ب / ۲(ا+ب)۲ - (ا+ب) / ا
= ۱+ ا۲ + ب / ۲ ا۲ + ۴ ا ب + ۲ ب۲ - ا۲ - ا ب
= ۱+ ا۲ + ب / ا۲ + ۳ ا ب + ۲ ب۲
= ا۲ + ب / ا۲ + ۳ ا ب + ۲ ب۲

--- page 260 ---

۲۵۵
مثال ۲ ثابت کنید که لا / لا + ق = ۱ / لا - ق / لا۲ + ق۲ / لا۳ - ق۳ / لا۴ (لا + ق)
لا را بر لا + ق تقسیم کنید :-
لا + ق ) لا ( ۱ / لا - ق / لا۲ + ق۲ / لا۳ - ق۳ / لا۴
لا + ق
- ق
- ق - ق۲ / لا
+ ق۲ / لا
+ ق۲ / لا + ق۳ / لا۲
- ق۳ / لا۲
- ق۳ / لا۲ - ق۴ / لا۳
+ ق۴ / لا۳
پس اگر عمل تقسیم را درینجا باختام برسانیم (ق۴ / لا۳) / لا + ق + ق۳ / لا۳ - ق۲ / لا۲ + ق / لا - ۱ / لا = لا / لا + ق
(ق۴ / لا۳) ۱ / لا + ق + ق۳ / لا۳ - ق۲ / لا۲ + ق / لا - ۱ / لا =
مثال ۳ اگر لا = ق / ب باشد قیمت لا۲ + ۱ / لا - ۲ + لا + ۲ ب / لا - ۳ ب را معلوم کنید
جمله مفروضه = (لا۲ + ۱ / لا - ۲) + (لا + ۲ ب / لا - ۳ ب) = ۲ + (۱ - لا۲ + ۱ / لا - ۲)
= لا۲ + ۱ / لا - ۲ + لا + ۲ ب / لا - ۳ ب + ۲
= (لا - ۲) (لا - ۳ ب) / { (لا - ۲ ب) + ب (لا - ۲ لا) } + ۲
= (لا - ۲) (لا - ۳ ب) / { (۱ + ب) لا - ۳ ب۲ } + ۲
= ۲ + ۰ . { (۱ + ب) لا = ۳ ب۲ }

--- page 261 ---

۲۵۶
مثال ۴ قیمت لا ۲ن/لا ۳ن-۱ + ۱/لا ۲ن+لا ن+۱ - ۱/لان-۱ + ۱/لان+۱ را معلوم کنید
جملۀ مفروضه = (لا ۳ن/لان-۱ - ۱/لان-۱) - (۱/لا ۲ن+لان+۱ - ۱/لان+۱)
= لان-۱/لان-۱ - لا ۲ن-۱/لا ۳ن+۱
= ((لان-۱)(لا ۲ن+لان+۱)/(لان-۱)) - ((لا ۲ن+۱)(لان-۱)/(لان+۱))
= (لا ۲ن+لان+۱) - (لان-۱)
= ۲لان + ۲
مثال ۵ (لا ۲-(ی-۶) ۲)/((لا+۶) ۲-ی ۲) + (ی ۲-(لا-۶) ۲)/((لا+ی) ۲-۶ ۲) + (۶ ۲-(لا-ی) ۲)/((ی+۶) ۲-لا ۲)
کسر اول = {(لا+(ی-۶)} {لا-(ی-۶)}/{(لا+۶)+ی} {(لا+۶)-ی}
= (لا+ی-۶)(لا-ی+۶)/(لا+۶+ی)(لا+۶-ی) = لا-ی+۶/لا+ی+۶
همچنین کسر دوم = (ی+لا-۶)(ی-لا+۶)/(لا+ی+۶)(لا+ی-۶) = ۶-لا+ی/لا+ی+۶
و کسر سوم = (۶+لا-ی)(۶-لا+ی)/(ی+۶+لا)(ی+۶-لا) = ۶+لا-ی/لا+ی+۶
لهذا جملۀ مفروضه = (لا-ی+۶) + (۶-لا+ی) + (۶+لا-ی)/لا+ی+۶
= لا+ی+۶/لا+ی+۶ = ۱

--- page 262 ---

۲۵۷
مثال ۶ ثابت کنید که (ب/ج + ج/ب) + (ج/ا + ا/ج) + (ا/ب + ب/ا)
= ۲ + (ب/ج + ج/ب) + (ج/ا + ا/ج) + (ا/ب + ب/ا)
و چون (ا/ب + ب/ا) + (ج/ا + ا/ج) + (ب/ج + ج/ب) = ۲ + (ب/ا + ا/ب) + (ج/ب + ب/ج) + (ا/ج + ج/ا)
= ۲ + (ا/ب + ب/ا) (ج/ا + ا/ج) + ۲ (ا/ب + ب/ا) (ب/ج + ج/ب) + ۲ (ج/ا + ا/ج) (ب/ج + ج/ب)
= ۲ + (ا/ب + ب/ا) (ج/ا + ا/ج) + (ا/ب + ب/ا) (ب/ج + ج/ب) + (ج/ا + ا/ج) (ب/ج + ج/ب)
جمله مفروضه = ۲ + (ب/ج + ج/ب) {(ا/ب + ب/ا) + (ج/ا + ا/ج)}
= ۲ + (ب/ج + ج/ب) {(ا/ب + ب/ا) + (ج/ا + ا/ج)}
= ۲ + (ب/ج + ج/ب) {(ا/ب + ب/ا) + (ج/ا + ا/ج)}
= ۲ + (ب/ج + ج/ب) (ا/ب + ب/ا) (ج/ا + ا/ج)
مثال ۷ اگر م = ا + ب + ج باشد ثابت کنید که
۱ / م - ا + ۱ / م - ب + ۱ / م - ج - ۱ / م = ا ب ج / م (م - ا) (م - ب) (م - ج)
و چون ۱ / م - ا + ۱ / م - ب = ۲م - ا - ب / (م - ا) (م - ب) = (م - ا) + (م - ب) / (م - ا) (م - ب)
و ۱ / م - ج - ۱ / م = م - (م - ج) / م (م - ج) = ج / م (م - ج)
∴ جمله مفروضه = (م - ا) + (م - ب) / (م - ا) (م - ب) + ج / م (م - ج)
= ج × م (م - ج) + (م - ا) (م - ب) / م (م - ا) (م - ب) (م - ج)
= ا ب ج / م (م - ا) (م - ب) (م - ج) = ۲م^۲ - م (ا + ب + ج) / ... = ۲م^۲ - م . ۲م = ۰

--- page 263 ---

۲۵۸
مثال ۸ اب (ا+ب-ج)+ب-ج (ب+ج-ا)+ج+ا
(ج+ا-ب) را مختصر کنید:-
فرض کنید که ا+ب+ج = ۲م
لهذا ا+ب-ج = (ا+ب+ج)-۲ج = ۲ (م-ج)
ب+ج-ا = (ا+ب+ج)-۲ا = ۲ (م-ا)
ج+ا-ب = (ا+ب+ج)-۲ب = ۲ (م-ب)
جمله مفروضه = ۲ (ا÷ب)(م-ج)+۲(ب÷ج)(م-ا)+۲(ج÷ا)(م-ب)
=۲ {۱÷ا(۲م-ب-ج)+۱÷ب(۲م-ج-ا)+۱÷ج
(۲م-ا-ب)}
=۲ {ا×۱÷ا+ب×۱÷ب+ج×۱÷ج}
=۲ (ا+ب+ج)
مثال ۹ ثابت کنید که - ۱+ا۳÷۱-ا۳ - ۱+ا÷۱-ا } ۱÷۲ = ۱÷۱-ا + ۱+ا÷۱-ا + ۱+ا۲÷۱-ا۲
{ ۱+ا۳÷۱-ا۳ - ۱+ا÷۱-ا } ۱÷۲ = (۱+ا۳)-(۱+ا)÷۱-ا۳ × ۱÷۲ = ا۲÷۱-ا۳ × ۱÷۲ = ا÷۱-ا
{ ۱+ا۶÷۱-ا۶ - ۱+ا۲÷۱-ا۲ } ۱÷۲ = (۱+ا۶)-(۱+ا۲)÷۱-ا۶ × ۱÷۲ = ا۴÷۱-ا۶ × ۱÷۲ = ا۲÷۱-ا۶
{ ۱+ا۱۲÷۱-ا۱۲ - ۱+ا۴÷۱-ا۴ } × ۱÷۲ = (۱+ا۱۲)-(۱+ا۴)÷۱-ا۱۲ × ۱÷۲ = ا۸÷۱-ا۱۲ × ۱÷۲ = ا۴÷۱-ا۱۲
لهذا جمله مفروضه = ۱÷۲ { (۱+ا۳÷۱-ا۳ - ۱+ا÷۱-ا) + (۱+ا۶÷۱-ا۶ - ۱+ا۲÷۱-ا۲) + (۱+ا۱۲÷۱-ا۱۲ - ۱+ا۴÷۱-ا۴) }
= ۱÷۲ { ۱+ا۳÷۱-ا۳ - ۱+ا÷۱-ا }

--- page 264 ---

۲۵۹
مثال جمله ذیل را مختصر کنید :-
ا+د ب+د ج+د
ب ج × ـــــ + اج × ـــــ + اب × ـــــ
(ا-ب)(ا-ج) (ب-ا)(ب-ج) (ج-ا)(ج-ب)
چون ب - ا = - (ا - ب)
و(ج-ا)(ج-ب) = [- (ا - ج)] [- (ب - ج)]
= (ا - ج) (ب - ج)
لهذا جمله مفروضه = ب ج × ا+د + اج × -(ب+د)
ـــــ ـــــ
(ا-ب)(ا-ج) (ا-ب)(ب-ج)
+ اب × ج+د
ـــــ
(ا-ج)(ب-ج)
= ب ج (ا+د)(ب-ج) - ا ج (ب+د)(ا-ج)
ـــــــــــــــــ
(ا-ب)(ا-ج)
+ ا ب (ج+د)(ا-ب)
ـــــ
(ب-ج)
و چون صورت کسر = ا ب ج {(ب - ج) - (ا - ج) + (ا - ب)}
+ د {ب ج (ب - ج) - ا ج (ا - ج) + ا ب (ا - ب)}
= د {ب ج (ب - ج) - ا ج (ا - ج) + ا ب (ا - ب)}
= د { ا (ب - ج) + ب (ج - ا) + ج (ا - ب)}
= د { (ا - ب) (ا - ج) (ب - ج) ..... (دستور ۱۹ فقره نمبر ۲۶)}
لهذا جمله مفروضه = د
مثال اا جمله ذیل را مختصر کنید
ا ج ب ج ا ج
ـــــ + ـــــ + ـــــ
(ا-ب)(ا-ج)(لا+ا) (ب-ا)(ب-ج)(لا+ب) (ج-ا)(ج-ب)(لا+ج)
جمله مفروضه = ا ج - ب ج +
ـــــ ـــــ
(ا-ب)(ا-ج)(لا+ا) (ا-ب)(ب-ج)(لا+ب)
ج ج
ـــــ
(ا-ج)(ب-ج)(لا+ج)
= ا(ب-ج)(لا+ب)(لا+ج) - ب(ا-ج)(لا+ج)(لا+ا)
ـــــــــــــــــ
(ا-ب)(ا-ج)(ب-ج)(لا+ا)
+ ج(ا-ب)(لا+ا)(لا+ب)
ـــــ
(لا+ب)(لا+ج)

--- page 265 ---

٢٦٠
چون که = ا (ب - ج) { لا ۲+ لا ( ب+ ج ) +ب ج} + ب ( ج - ا ) { لا ٢ + لا ( ج+ ا ) + ج ا }
+ ج (ا - ب { لا ٢ + لا (ا +ب ) + ا ب}
= لا ۲ { ا (ب-ج) + ب (ج -ا ) + ج (ا -ب)}
+ لا { ا ( ب ٢-ج٢ ) + ب ( ج٢-ا٢) +ج (ا٢-ب٢) }
+ ا ب ج { (ب-ج) + ب (ج -ا ) +ج (ا - ب ) }
= لا ٢ { ا (ب-ج) + ب (ج -ا ) + ج (ا -ب)}
= لا ٢ (ا - ب ) ( ا - ج ) ( ب -ج ) ..... (دستور ۱۹ فقره نمبر ۶۲)
پس جمله مفروضه = لا ٢ / (لا + ا) ( لا+ ب) ( لا+ ج)
مثال ۱۳ جمله ذیل را مختصر کنید :-
ا / (ا -ب ) ( ا - ج ) + ب / ( ب - ج ) ( ب -ا ) + ج / ( ج -ا ) ( ج - ب )
جمله مفروضه = ا ( ب - ج ) - ب ( ا - ج ) + ج (ا -ب) / ( ا -ب ) ( ا -ج ) ( ب -ج )
= ا ( ب - ج ) - ب ( ا - ج ) + ج (ا -ب) / ( ا -ب ) ( ا -ج ) ( ب -ج )
و چون کسر = ا ( ب- ج ) + ب ( ج -ا ) + ج ( ا - ب )
= ( ا - ب ) ( ا -ج ) ( ب -ج ) (ا + ب+ ج) ( مثال ۵ فقره نمبر ۵۹)
لهذا جمله مفروضه = ا + ب+ ج
مسئله (۶۱)
جملہ های ذیل را مختصر کنید :-
(۱) ۱ / ب + ج / ۱ + د / ف
(۲) لا / لا - ۱ / ۱ - لا / ۱ + لا
(۳) ۱+ ۱ / ب / ۱ - ۱ / ب
(۴) م - م ۲ - ۱ / م + ۱ / م + ۱
(۵) لا ۲ - ۲ لا ی + ی ۲ / لا + ی / لا + ی - (لا - ی) ۲ - ۱ / لا + ی
(۶) لا ( لا + ٢ ) / لا ٢+ ٨ لا+ ٣٣ / ٢ لا + ۶ + لا ( لا -٣ ) - لا ( لا- ٣ ) / لا + ٢

--- page 266 ---

٢٦١
در امثله چهار ده گانه ذیل ثابت کنید که جمله طرف راست علامت = بجمله
طرف چپ علامت مذکور تبدیل مییابد:-
(۷) ا + ب۳/ ا - ب = ١+ ا ب + ب٢ + ٢ب٣ / ا - ب
(۸) ا - ب٣/ ا + ب = ١- اب + ب٢ - ٢ب٣/ا+ب
(٩) ا٣ + ٢اب + ٣ب٢/ ا + ب = ١+ ب + ٢ب٢/ا+ب
(١٠) ا٣ + ٢اب - ٣ب٢ / ا + ب = ١+ ب - ٢ب٢/ ا+ب
(١١) لا٣ / لا + ی = لا٢ - لای+ ی٢ - ی٣/لا+ی
(١٢) لا٣ / لا - ی = لا٢ + لای+ ی٢ + لا٣ ی٣
(١٣) لای۶ + لا٢ی۶+لا ی۴/ لا٣ ی۴ = ١/ی٣ ء + ١/ء لا + ١/ لا٢
(١۴) لای۴ + ۶ ی۴ لا ٣+ ۶ لا ی٢/لا ٣ ی ء٢ = ١/لا + ١/ ی + ١/ ء
(١٥) ٩ - لا٣ / (١-لا) (٣-لا) (۶-لا) = ١/ (٣-لا) (۶-لا) + ١/ (١-لا) (۶-لا) + ١/ (١-لا) (٣-لا)
(١۶) ١٢ - لا٣ / (١+لا) (٢+لا) (٣+لا) = ١/ (٢+لا) (٣+لا) + ١/ (١+لا) (٣+لا) + ١/ (١+لا) (٢+لا)
(١٧) ١ - لا/ ١ + لا = ١ - ٢لا + ٢لا٢ - ٢لا٣ + ٢لا٣/ ١+ لا
(١٨) ٢/ ١ - لا٢ = ١/١+لا + ١/١-لا + ١/(١-لا)٢
(١٩) ١/ لا٣ - ١ = ١/لا-١ - ١/لا٢ - ١/(لا-١)٢
١/ ١+ لا٣ = ١/لا+١ - ١/لا٢ + ١/(لا+١)٢
١ - لا/ لا + ١ = لا - لا٢ + لا٣ - لا٣/ لا+١

--- page 267 ---

٢٦٢

(٢١) قیمت جمله ذیل معلوم کنید لا+٢ و - لا -٢ و ٣ اگر لا = ١-ب / ١+ب
(٢٢) ثابت کنید که لا+١ / ١-ب + لا+ج / لا-ج = ٣ - ٦ وب ج / (لا-١)(لا-ب)(لاج)
وقتیکه لا = ٢ (١ ب + ب ج + ج ١) / ١ + ب + ج
(٢٣) اگر لا = ١ب+ب ج+ج ١ / ١+ب+ج ثابت کنید که لا+١ / لا-١ + ب+٢لا / ب-٢لا + ج+٢لا / ج-٢لا = ٣+ ٦ ا ب ج / (ا-٢لا)(ب-٢لا)(ج-٢لا)
(٢٤) قیمت جمله ذیل را معلوم کنید لا٢ - (ب+ج) لا / (لا-ب)(لا-ج) + لا٢ -(ج+ا) لا / (لا-ج)(لا-ا)
+ لا٢ -(ا+ب) لا / (لا-ا)(لا-ب) اگر لا = ٣ ا ب ج / ا ب + ب ج + ج ا
(٢٥) قیمت لا٢-ی٢+لا / ی٢-لا+ی را معلوم کنید اگر لا = ا-ب / ا+ب و ی = ا+ب / ا-ب باشد
(٢٦) قیمت لا٣+اوب لا٢-ا١٢ب٢ لا+٢ا٣ب + ب٣ / لا٣+٢ ا ب لا٢+ ١٠ا٢ب٢ لا+ ٣ ا٣ب +ب٣ معلوم کنید اگر لا= ا٢+ب٢ / ا٢-ب٢
(٢٧) قیمت لای +٣ (لا٢-ی) ١ ب - ٨ ا ب٢ / ی٤ + ٩ اوب ی٢+١٨ ا٢ب٢ × ا٢-ب٢ / ا٢+ب٢ را معلوم کنید-
اگر لا= ١+ب و ی = ١-ب باشد
(٢٨) قیمت لا٣+اوب لا٢-٢ا٢ب٢ / لا٢ ی٢ + (لا٢+٢ی٢) ا٢ب+٢ا٢ب٢ - ١٢+اوب+ب٢ / ١٢+اوب+ب٢ معلوم کنید
اگر لا= ١+ب و ی = ١-ب باشد
(٢٩) لا٢ / لا+١ + لا / لا٢-١ - ١ / لا٢-١ را مختصر کنید:-
(٣٠) لا٢-(١-ب)٢ / (لا+ب)٢-١٢ + ١٢-(لا-ب)٢ / (لا+١)٢-ب٢ + ب٢-(لا-١)٢ / (١+ب)٢-لا٢ را مختصر کنید

--- page 268 ---

۲۶۳
(۳۱) (ا + ۲ب)۴ - ب۴ ، (ا-ب)۴ - ۴ ب۴ ، (۲ ا + ۳ب) - ب۴ را مختصر کنید
(ا+ب) - ۴ ب۴ ، (ا-۲ب) - ب۴ ، (۲ ا+ب) - ۹ب۲۴ را مختصر کنید
(۳۲) لا۲ - (لا - ۱)۲ ، لا۲ - (لا - ۱)۲ ، لا(لا - ۱) - ۱ را مختصر کنید
(۱+لا)۲ - لا۲ ، ۱ - (۱+لا)۲ ، لا۲ - (۱+لا)
(۳۳) اگر ۳س = ا+ب+ج ثابت کنید که ا- ا+ب+ج را (س-ا) (س-ب)
۳                 اب
(۳۴) ا- (ب-ج)۲+ ب۲- (ج-ا)۲+ ج۲- (ا-ب)۲ را مختصر کنید
ب-ج              ج-ا              ا-ب
(۳۵) ا+ب (ا+ب+ج)+ ب+ج (ب+ج-ا)+ ج+ا (ج+ا-ب) را مختصر کنید
۲ اب              ۲ ب‌ج              ۲ ا‌ج
(۳۶) لا+ی (لا+ی-ء)+ ی+ء (ی+ء-لا)+ ء+لا (ء+لا-ی) را مختصر کنید
۲ لای              ۲ ی‌ء              ۲ ءلا
(۳۷) ا+ب (ا+ب+ج)+ ب+ج (ب+ج-ا)+ ج+ا (ج+ا-ب) را مختصر کنید
۲ اب              ۲ ب‌ج              ۲ ا‌ج
(۳۸) اگر لا= ب+ج که ا=ی= ا+ج که ب=ء= ا+ب+ج باشد قیمت جمله ذیل را معلوم کنید
۲ ب‌ج            ۲ ا‌ج            ۲ اب
(ب+ج)لا+(ج+ا)ی+(ا+ب)ء معلوم کنید
(۳۹) اگر ط= ا-ب و س= ب-ج و ص= ج-ا باشد قیمت ط+س+ص+ط‌س‌ص را
ا-ب              ب-ج              ج-ا
معلوم کنید
(۴۰) ثابت کنید که ( ۱ + ۱ + ۱ )۲ = ۱ + ۱ + ۱
ا-ب    ب-ج    ج-ا      (ا-ب)۲   (ب-ج)۲   (ج-ا)۲
(۴۱) ثابت کنید که ۱ + لا + لا۲ + لا۴ + لا۸ + لا۱۶
۱-لا   ۱+لا   ۱+لا۲   ۱+لا۴   ۱+لا۸   ۱-لا۱۶
جمله‌های ذیل را مختصر کنید
۱                          ۱                          ۱
(ا-ب)(ا-ج) + (ب-ا)(ب-ج) + (ج-ا)(ج-ب)
ا۲                          ب۲                          ج۲
(ا-ب)(ا-ج) + (ب-ا)(ب-ج) + (ج-ا)(ج-ب)

--- page 269 ---

٢٦٤
(۴۴) لای ۶   ی ۶ لا   ۶ لای
(لا - ی)(لا - ۶) + (ی - ۶)(ی - لا) + (۶ - لا)(۶ - ی)
(۴۵) سب ج   ج ا   ا ب
(ا - ب)(ا - ج) + (ب - ج)(ب - ا) + (ج - ا)(ج - ب)
(۴۶) لا - ی ۶   ی ۶ لا   ۶ + لای
(لا - ی)(لا - ۶) + (ی + ۶)(ی - لا) + (۶ - لا)(۶ + ی)
(۴۷) ۱/ لا(لا - ی)(لا - ۶) + ۱/ ی(ی - لا)(ی - ۶) + ۱/ ۶(۶ - لا)(۶ - ی)
(۴۸) ۱/ (ا - ب)(ا - ج)(لا - ا) + ۱/ (ب - ا)(ب - ج)(لا - ب) + ۱/ (ج - ا)(ج - ب)(لا - ج)
(۴۹) ا/ (ا - ب)(ا - ج)(لا - ا) + ب/ (ب - ا)(ب - ج)(لا - ب) + ج/ (ج - ا)(ج - ب)(لا - ج)
(۵۰) ا ۲/ (ا - ب)(ا - ج)(لا - ا) + ب ۲/ (ب - ا)(ب - ج)(لا - ب) + ج ۲/ (ج - ا)(ج - ب)(لا - ج)
(۵۱) ا ۲ ع ا + ک/ (ا - ب)(ا - ج)(لا - ا) + ب ۲ ع ب + ک/ (ب - ا)(ب - ج)(لا - ب) + ج ۲ ع ج + ک/ (ج - ا)(ج - ب)(لا - ج)
(۵۲) ثابت کنید که ا ۲/ (ا - ب)(ا - ج) + ب ۲/ (ب - ج)(ب - ا) + ج ۲/ (ج - ا)(ج - ب) = ا + ب + ج
(۵۳) ثابت کنید که ا ۳/ (ا - ب)(ا - ج) + ب ۳/ (ب - ج)(ب - ا) + ج ۳/ (ج - ا)(ج - ب) = ا ب + ب ج + ج ا
(۵۴) ثابت کنید که ا ۲(ا + ب)(ا + ج)/ (ا - ب)(ا - ج) + ب ۲(ب + ا)(ب + ج)/ (ب - ا)(ب - ج) + ج ۲(ج + ا)(ج + ب)/ (ج - ا)(ج - ب) = ا + ب + ج
(۵۵) ثابت کنید که سب ج/ (ا - ب)(ا - ج) + ا ج/ (ب - ا)(ب - ج) + ا ب/ (ج - ا)(ج - ب) = ۱
(۵۶) سب ج (لا - ا) ۲/ (ا - ب)(ا - ج) + ا ج (لا - ب) ۲/ (ب - ج)(ب - ا) + ا ب (لا - ج) ۲/ (ج - ا)(ج - ب) را مختصر کنید

--- page 270 ---

٢٦٥
جواب
مسئله (١)
(١) ١٢٠ (٢) ٤٨ (٣) ٢میل (٤) ١/٢میل (٥) ٩
(٦) ١٣ (٧) ٤٥ دقیقه (٨) ١٥ دقیقه (٩) ٣٢ (١٠) ١/١٢ و ١/٢٠
(١١) ٥ میل وگز (١٢) ١٦ (١٣) ٢٠ (١٤) ٩ (١٥) ٤
(١٦) ٩٠٠ (١٧) ١٩٥٣ (١٨) ٧٢٠
مسئله (٢)
(١) ٣٢ (٢) ٠ (٣) ٤ (٤) ١ (٥) ٥١/٣
(٦) ١١/٤ (٧) ٦ (٨) ٤ (٩) ١٣ (١٠) ٨
(١١) ٢ (١٢) ١/٢ (١٣) ٥ (١٤) ٨٠ (١٥) ٢٩
(١٦) ٣٢٥ (١٧) ٦٣ (١٨) ٠ (١٩) ٤٠ (٢٠) ١٤
(٢١) ١١٢ (٢٢) ٤ (٢٣) ٦٤ (٢٤) ٦٩ (٢٥) ١٩
مسئله (٣)
(١) ٢٤ (٢) ٣٤١/٢ (٣) ٤ (٤) ٧٣٠ (٥) ٣١/٣
(٦) ٤/٣ (٧) ١ (٨) ٤٠ (٩) ٢/٣ (١٠) ٤/١
(١١) ٠ (١٢) ٥٠ (١٣) ١ (١٤) ٢٥ (١٥) ١٠٠
(١٦) ٢٠٠ (١٧) ١٥٣٠ (١٨) ٤١,٤٢٥ (١٩) ٢٢٦٨٠ (٢٠) ٨٤٥٠٠٠
مسئله (٤)
[ILL] ٢(٢) ٦(٣) ١٨(٤) ٨(٥)
[ILL] ٣٢(٧) ٢٥٦(٨) ١١(٩) ٢١(١٠)

--- page 271 ---

۲۶۶
۱۸ (۱۵) ۱۶۲ (۱۴) ۳ (۱۳) ۹ (۱۲) ۱۱ (۱۱)
۱ (۲۰) ۳۳ (۱۹) ۲۱ (۱۸) ۰ (۱۷) ۹ (۱۶)
۵۱ (۲۵) ۴۴ (۲۴) ۹ (۲۳) ۵۰ (۲۲) ۹۸ (۲۱)
۱۹۲ (۳۰) ۲۴۰۱ (۲۹) ۱۷۱ (۲۸) ۷ (۲۷) ۲۸۰۵ (۲۶)
۸۷۵۰ (۳۵) ۱۲۴ (۳۴) ۴۸ (۳۳) ۱۲۱۸ (۳۲) ۱۰۲۹ (۳۱)
۷۸ (۳۸) ۱۶۰ (۳۷) ۱۶ (۳۶)
امثله (۵)
(۱) نقصان ۱= ۱۰۰ روپیه (۲) - ۷۰ (۳) - ۲۵
(۴) - ۱۰۰ (۵) - ۳۰ (۶) ۲ و ۳ - و ۵
(۷) ۵ او - ۱۰ و - ۲۰ و ۳۰ (۸) - ۱۵ و ۱۰ و ۲۰ و - ۳۰
امثله (۶)
(۱) - ۲۲ (۲) - ۱۸ (۳) - ۹۴۱-۴ (۴) - ۱۹ (۵) - ۱۱۸۰۰
(۶) - ۲۲۲ (۷) - ۲۰۳۴ (۸) - ۶۵۸ (۹) - ۱۲۸۷
(۱۰) - ۲۲۰۴۱۶۴۱۷
امثله (۷)
(۱) ۳ (۲) - ۵ (۳) - ۴ (۴) ۰ (۵) - ۱۴
(۶) ۱۶ (۷) - ۵۱ (۸) - ۸ (۹) ۱۶ (۱۰) - ۳۲
امثله (۸)
(۱) ۴-۱- ب + ۳ ج (۲) - ۱- ۲ ب + مج (۳) ۴۲- م رب + ۵ ج
(۴) ۳- م ن ط - ۲ وب س - ۳ ج۲ (۵) ۲ آب - ۹ ب۲ ج - ۲ د ف
(۶) ۶۰ الا س - ۱۱ای ء - ۱۰ الای۲ (۷) - ۱۱ آب ج + ۱۱ اب ج - ۸ ا
(۸) - ۲۵ لا م ن + ۱۶ م۲ ن لا (۹) - ۱۴ (۱۰) - ۲۳۴ (۱۱) ۹۳
(۱۲) ۵ (۱۳) ۱۷۷ (۱۴) - ۴۶۵۳ (۱۵) - ۱۳۰۱۵

--- page 272 ---

۲۶۷
امثله (۹)
(۱) -۱۶+ ب - ۳ ج (۲) ۲ لا - ۶
(۳) ۲ لا + ۹ لا + ۷ (۴) - ۱ + ۲ ب - ۸ د
(۵) ۲ لا - ۳ ی (۶) - ۵ لا - ۲ لای - ی - ۲ لا - ی - ۲
(۷) ۴ م ۱ - ۲ ب (۸) - م ن - م ن ط - م ن
(۹) ۱ - ب ۱ - لا (۱۰) ۱ - ب ۲ ج ۲
(۱۱) ۱ - ب - ۲ ب ج ۱ - ۱ ب ج ۲ (۱۲) ۱ - ب + ب ج - ۳ ۱ ب ج
۱۳۰ (۱۶) ۲۰۰ (۱۵) ۱۲۵ - (۱۴) ۱۵۴ (۱۳)
. (۲۰) ۱۳۸۰ (۱۹) ۱۴۸۰ (۱۸) ۴۰۰ (۱۷)
امثله (۱۰)
. (۵) ۲۳ - (۴) ۶ - (۳) ۱۰ (۲) ۱۰ - (۱)
۱۷۷ (۱۰) ۱۷ (۹) ۵۴ (۸) ۷۷ - (۷) ۲۹۱ - (۶)
امثله (۱۱)
(۱) ۱ + ۴ ب - ۳ ج (۲) - ۱۳ + ۳ ب + ۲ ج (۳) ۴۳ + ۲ ی - ۶۳
(۴) - ۳ م - ۴ م ن - ۱ (۵) ۲ لا + ی - ۶ (۶) - ۱ لا + ۵ لای - ۱۱ ی
(۷) ۴ ۱ - ب ۱ - ب ۱ (۸) ۷ ب ج - ۷ ج + ۱۰ لای (۹) - لا + لا ۲ - لا + ۴
(۱۰) لا - ۴ لای - ۲ لا ی (۱۱) - ۴ - ۶ م ن + ۴ م ن - ۲۴ ن
(۱۲) = ۳ ط - ۵ ط ق - ۳ ط ق - ۱۰ ط ق - ۴ ق
(۱۳) - ۱ لا - ۱۱ لای + ۱۰ لا ی + ۶ لا ی - ۴ ی
(۱۴) ۲ م ن لا - ۷ ن لام + ۱۲ لام ن + ۷ م ن لا + ۸ ن لام
(۱۵) ۱۱ لا - ۴ لای - ۵۰ لا ی + ۱۵ لا ی + ۳۶ لا ی - ۹ لا ی + ۴۰ ی

--- page 273 ---

۲۶۸
مسئله ۱۲
(۱) - ۱ + ۷ ب - ۱۰ ج (۲) ۱۰ م - ۷ ن + ۲ اس (۳) ۳ لا - ۴ لای + ۵ ی ۲
(۴) لا ۲ + ۵ لا - ۸ لا - ۱ (۵) آ + ۲ ا ب - ۴ ب ج - ۲ ب۲ (۶) ۸ لا ۲ - ملا ی + ۲ الای - ۲ی
(۷) ۶ - ۹ لا + ۱۲ لا - ۱۶ لا۲ (۸) ۲ لا ۳ - ۳ لا ۲ - لا - ۲ (۹) ۶ لا ۵ - ۸ لا + ۴ لا۲ - ۱لا - ۹ لا ۴
(۱۰) - لا ۴ - لا ۳ ی - ۵ الا ی ۲ + ی ۲ - لا ۲ - ب (۱۱) ۴ الا ۳ ی - ۷ لا ۲ ی + ۵ لا ی ۲ - ۲ لا ۳ ی
(۱۲) - ۳ ا ۴ + ب ۲ + ۲ ح ۳ + ا ب + ۵ ب ج - ۹ وح (۱۳) ۵ لا ۲ - ۵ لا ی + ی ۲ - لا - ی - ۳
(۱۴) - آ - ۴ ا ۲ ب + ۱۲ ا ب ۲ - ۲ ب ۲ + ۸ ا ۳ - ۷ ا ب - ۳ ب ۲
(۱۵) ۵ ا لا ۲ - ۸ ا ۲ لا + ۸ ی ع ب ج ۲ + ۴ ی ۲ ع ب ج + ۴ ی ع ۲ ب ج
(۱۶) - ۲ - لا ۳ ی ۶ + ۳ لا ۴ ی ۵ + ۲ لا ۵ ی ۴ + ۶ لا ۶ ی ۲ - ۳ لا ی ۷
(۱۷) ۴ لا ۴ ی ۵ - ۸۰ لا ۳ ی ۴ + ۲۸ لا ۲ ی ۳ - ۳۲ لا ۴ ی ۲ - ۱۰۲ لا ۲ ی ۵ + ۱۵۵ لا ۴ ی ۲
(۱۸) - ۱۲ لا ۳ ی ۵ - ۱۰۰ لا ۴ ی ۴ + ۵۸ لا ۵ ی ۳ + ۹۲ لا ۶ ی ۲ + ۳۹ لا ۷ ی ۴ - ۳۸ لا ۸ ی ۲
(۱۹) - ۴ لا ۲ + ۵ لا ی - ۷ ی ۲ - ۸ ی ۴
(۲۰) ۶ لا ۴ - ۱۲ لا ۳ ی + ۳ ا ب لا - ۷ ب لا ی ۲ - ۹ لا ی ا ب
(۲۱) - ۲ لا ۲ + ۶ لا ی - ۲ لا ۲ ی ۲ + ۸ لا ی ۴ + ۷ ی ۶
(۲۲) - ۲ لا ۴ + ۳ لا ۳ ی - ۱۰ لا ۲ ی ۲ - ۴ لا ی ۳ - ۱۳ لا ی ۴ + ۵۰ ی ۵
(۲۳) آ + ۵ ا ب - ۸ ب ۲ (۲۴) ۴ لا ۲ - ۸ لا ی + ی ۲ - ۱۲ لا - ۱۵ی + ۹
(۲۵) ۲ آ - ۴ آ ۲ ب + ۷ ا ب ۲ - ۱۵ ب ۳ (۲۶) - ۱۲ لا ۳ ی ۷ + ۷ لا ۴ ی ۶ + ۷ ی - ۲۹
(۲۷) ۵ آ - ۴ ا ب - ۵ ب ج + ۱۱ ب ۲ (۲۸) - ۴ لا - ۳ ی ۲ - ۵ لا ی - ۱۳ - ۲
(۲۹) - ۳ آ - ۱۱ ب آ ج - ۶ ا ج ۲ - ۵ ب ۲
(۳۰) - ۴ لا ۲ - ۲۲ لا ی ۲ - ۴۵ ی ۲ - ۱۱ لا ۳ - ۲۴ لا ی - ۱۵

--- page 274 ---

۲۶۹
مثله ۱۳
(۱) ۴۲+۸ (۲) ۷ل-۲ی (۳) ۳ل (۴) ۴ر+۲ب
(۵) ۱۵+۲ب (۶) ۲ب (۷) ۶ (۸) ۸
(۹) ۱۲ر+۷ب (۱۰) ۰ (۱۱) ۱۲ل+۵ی+۶ر (۱۲) ۲ر-ج
(۱۳) ۱۵ل-۱۵ی (۱۴) ۸ل-۸ب (۱۵) ۱۱م-۷ن
(۱۶) ۱۶-۶ب-۸ج (۱۷) ۶ل-۶ی-۲۰ع (۱۸) ل-ی-۱۳ع
(۱۹) ۳ل-ی-۶ (۲۰) ۱-۱۱ب+۷اج (۲۱) ۱۲ل-۱۲ی+۳۰ع
(۲۲) ۱۵-ب+۱۱ج (۲۳) ل-۳ی+۲ع (۲۴) ۱۱ل-۲ب-۶اج
(۲۵) ۱-(ب+ج-د)+(م+ن-ل)+ی-۶
(۲۶) ۱-{ب+ج-د+م+(-ن+ل-ی+۶)}
(۲۷) {۱-ب-(ج-د+م)}-{-ن-(ل+ی-۶)}
(۲۸) -{-۱-(-ب-ج)}-{-د-(م+ن)}-{ل-(ی-۶)}
مثله ۱۵
(۱) ۵۴ (۲) ۹۹ (۳) ۱۲۶ (۴) ۳۹۳ (۵) ۳۳
(۶) ۳۰ (۷) ۰ (۸) ۱۱۳۶ (۹) ۲۸۰۰
مثله ۱۷
(۱۴) ۲۴لأی (۱۵) ۳۴لأی (۱۶) ۴۰لأی
(۱۷) ۵۶لأیع (۱۸) ۱۴۰لأیع (۱۹) ۲۴ل^ب
(۲۰) ۷۰ل^ب (۲۱) ۴۸لأیع (۲۲) ۲۴لأیع
مثله ۱۸
(۱) ۱۱ل (۲) ۳۰ل^ب (۳) ۲۱م^ن (۴) ۱۸لأی
(۵) ۲ل^ب (۶) ۴۰م^ن (۷) ۵۰لأیع (۸) ۲۲لأی
(۹) ۴۸لأیع (۱۰) ۲۵ل^ب^ج (۱۱) ۳۴لأیع (۱۲) ۳۲ل^ب لأی
(۱۳) ۳۵ل^ب^ع (۱۴) ۶۰لأیع (۱۵) ۷۰لأیع (۱۶) ۱۸ل^ب^ج

--- page 275 ---

۲۷۰
(۱۷) ۶۳ أ لای (۱۸) ۶۰ أ لا ی ء (۱۹) ۶۵ أ ب ج (۲۰) ۱۲ أ لا ی ء
مسئله (۱۹)
(۱) - ۲ أ ب + ۳ أ ب (۲) - ۵ أ + ۱۰ أ ب - ۱۵ أ ج
(۳) ۲ أ ب ج - ۳ أ ب ج - أ ب ج (۴) - ۳ أ لا ی + ۶ لا ی + ۳ لا ی۲
(۵) ۷ أ ب ۲ - ۷ أ ب + ۲۱ أ ب۲ - ۳۵ أ ب
(۶) ۱۶ أ ب ج + ۲۴ أ ب ج - ۳۲ أ ب ج + ۴۰ أ ب ج۲
(۷) - ۶ أ لا + ۸ أ لا - ۱۰ أ لا (۸) + ۸ م ن + ۱۲ م ن - ۲۰ م ن
(۹) - ۲۰ لا۲ + ۳۲ لا - ۲۸ لا + ۳۲ لا
(۱۰) ۱۲ ج د - ۱۸ ج د + ۳۰ ج د + ۲۴ ج د
(۱۱) - ۱۶ أ ب + ۱۲ أ ب ۲ - ۱۰ أ ب + ۸ أ ب
(۱۲) و ب ج - أ ب ج۲ + أ ب ج - و ب ج + أ ب ج
(۱۳) ۷ لا - ۲ لا (۱۴) - ۵ لا + ۵ لا (۱۵) ۹ لا - ۲۵ لا (۱۶) لا + ۴ لا
(۱۷) ۲ أب + ۲۰ أ ب (۱۸) ۴ أ ب + ۸۱ أ ب (۱۹) ۳ أ ی (۲۰) - ۲ أ ب
(۲۱) و لا۲
مسئله (۲۰)
(۱) ۲ أ + ۵ أ ب + ۳ ب (۲) ۲ ن - ۵ م ن + ۳ ن
(۳) أ + ب + ج + ۲ أ ب + ۲ أ ج + ۲ ب ج (۴) أ + ب + ج - ۲ أ ب + ۲ أ ج - ۲ ب ج
(۵) أ + ب۲ + ج - ۲ أ ب - ۲ أ ج + ۲ ب ج
(۶) ۲ أ + ۲ ب۲ + ۳ ج - ۵ أ ب - ۷ أ ج + ۵ ب ج
(۷) ۳ لا + ۳ ی + ۴ ء۲ - ۵ لا ی - ۶ لا ء + ۷ ی ء
(۸) ۵ لا - ۲ لا - ۳ ب۲ + ۳ لا لا - ۳ لا ب + ۵ أ ب
(۹) لا - ی۲ - ء۲ - لا ی - لا ء + لا ی - ی ء + لا ء - ء ی
(۱۰) لا ی - ی ء - ء لا - ۲ ی ء لا
مسئله (۲۱)
(۱) لا + لا + ۱ (۲) أ + ب (۳) أ ۲ - ب۲ (۴) أ۲ - ۲ أ ب + ب۲

--- page 276 ---

۲۷۱
(۵) لا ۲+ لا+ ۱ (۶) لا - لاسی + ۳ لاسی + می (۷) م + ن
(۸) ط ۲- ق (۹) ۲۷ آ - ۷۵ ا ب + ۴۵ ا ب - ۱۲۵ ب
(۱۰) ا ۴ - ۲۶ اب + ۲۵ ا ب ۲ (۱۱) ۴ ا ۴ - ۹ ب + ۲۴ ب ج - ۱۶ ج
(۱۲) لا ۵ - ۵ لا ۴ + ۵ لا - ۱ (۱۳) لا - ۲ لا لا + لا
(۱۴) ا ۶ - ۳ آ ب + ۳ آ ب ۲ - ب ۲ (۱۵) لا ۴ + ۱۱لا - ۲۳
(۱۶) لا - ۳ لا + ۱ (۱۷) ۱ + ۱ ب + ۱ ب ۲ + ۱ ب ۳ + ب
(۱۸) لا + سی + ۶ آ - ۳ لای ۶ (۱۹) ا ۲ + ب ۲ + ج ۲ - ۳ ا ب ج
(۲۰) ۴ آ - آ ب - ۱۴ ا ب + ۱۳ ا ب - ۴۳ ا ب + ۲۳ ا ب - ۲۰ ب
(۲۱) آ - ب ۲ (۲۲) ا ۲ - ب ۲ (۲۳) لا ۵ - ی ۱۲
(۲۴) لا + ۲۵ لاسی - ۲۴ لا سی + ۲۵ سی (۲۵) ا ۴ - ب ۲
(۲۶) لوط لا + (ب ط - ا ق) لا ۲- (ج ط + ب ق) لا + ج ق
(۲۷) م ن لا + (ن + م س) لا + س
(۲۸) ا لا ۳ - (ا + ۱) ب لا + (ج + ب ۲ - ا ج ) لا - ج
(۲۹) ا ب لا - (ب + ۱ ح) لا + (۲ ب ج + ا د) لا - (۲ ب د + ج ۲) لا + ۴ ج د لا - د ۲
(۳۰) م ط لا - (م ق + م س + ن ط) لا + (م س + ن ق - ن س - ط س) لا + (ق س - ن س ) لا + س
(۳۱) لا ۲ + ( ا + ب + ج) لا ۲+ (ا ب + ا ج + ب ج ) لا + ا ب ج
(۳۲) لا - (ا + ب + ج) لا + ( ا ب + ا ج + ب ج ) لا - ا ب ج 
(۵۱) - ۶ لا ۳ (۵۲) - ۳ ی۲ (۵۳) ۶ لاسی (۵۴) ۱۵ لا ۳ سی
(۵۵) -۳ ا ب ۲ (۵۶) - ا س ۱ (۵۷) ۱۲ ا ب ج (۵۸) ۵ ا لای ۶
(۵۹) - ۳۰ ا ب ج ۱ (۶۰) ۶ ی ۱لا ۳ ی۲ (۶۱) ۱ + ۲ ا ب ۲ + ب
(۶۲) ۱ - ۲ ا ب + ب (۶۳) ۹ لا ۴ - ۱۶ سی ۲ (۶۴) ۱ + ب ۲ + 
(۶۵) لا - ی (۶۶) ا ۲ + ا ب ۲ + ب ۲ (۶۷) ۴ لا ۲ - ۱۲ لاسی + ۹ ی
(۶۸) ا ۲ - ب ۲ (۶۹) لا ۲ - ی ۲ (۷۰) ۱ - ب ۲
(۷۱) لا + سی + ۶ - ۳ لا سی ۲ (۷۲) ا ۱۳ + لا ۱۳

--- page 277 ---

۲۷۲

(۷۳) آ۵ - ۶ آ۴ ب + ۱۳آ۳ ب۲ - ۱۳آ۲ ب۳ + ۶ آ ب۴ - ب۵
(۷۴) لا۶ - ۵ لا۴ ی۲ + ۴ ی۶
(۷۵) ۴ م۳ ب + ۱۲ م۲ آب۲ + ۹ م آ ب۳ - ۲۵ ب۶
(۷۶) ۹ لا۴ - ۲۵ لا۳ ی۲ + ۷۰ لا۲ ی۴ - ۴۹ ی۶
(۷۷) ۲ لآ - ۳ لا۶ + ۴ لا۵ - ۵ لا۴ + ۶ لآ۳ - ۷ لا۲ + ۸ لآ۱
(۷۸) ۳ م۳ - ۲ م۲ ب + ۵ م آب۲ - م۲ ب + ۶ م آب۲ - ۵ م آب۳ + ۸ آب۴

امثله (۳۲)
(۱) ۹لا۲ + ۳۳ + ۱۶ (۲) ۴۹لا۲ + ۱۱۲ + ۶۴ (۳) ۴ م۲ + ۱۰ ب + ۲۵ ب۲
(۴) ۴ م۲ + ۲۸ ب + ۴۹ ب۲ (۵) ۹لا۲ + ۴۸لایا + ۶۴ ی۲ (۶) ۲۲۵ م۲ + ۸۰ م ن + ۶۴ ن۲
(۷) ۶۴ ل۲ + وب لای + ۹ ی۲ (۸) ۱۶ م۲ ب۲ + ۸ م ب ج + ج۲ (۹) ۴ م۲ + ۲۰ م ب + ۲۵ ب۲
(۱۰) ۱۶ م۲ + ۸ م ن + ن۲ (۱۱) ۴ م۲ ب۲ + ۹ ج۲ + ۴ م ا ب + ۶ م ج + ۱۲ ب ج
(۱۲) م۲ ب۲ + ب۲ ج۲ + ۴ م ب۲ ج + ۴ م ب ج + ۲ م ب ج + ۲ م ب ج۲
(۱۳) ۴ ط۲ + ۹ ق۲ + ۱۶ س۲ + ۱۲ ط ق + ۱۶ ط س + ۲۴ ق س
(۱۴) لآ + ی۲ + ع۲ + ۲لآی + ۲لآع + ۲یع
(۱۵) ۴لآ + ۹ی۲ + ۱۶ ع۲ + ۱۲لای + ۱۶لاع + ۲۴یع
(۱۶) لآ + ی۲ + ع۲ + ۲لآی + ۲لآع + ۲یع۲
(۱۷) لا۲ + ی۲ + م۲ + ۹ ب۲ + ۲لایا + ۴لام + ۶ لاب + ۴ ی م + ۶ی ب + ۱۲ م ب
(۱۸) ۹ م۲ + ۱۶ ب۲ + ج۲ + د۲ + ۲۴ م ب + ۶ م ج + ۱۲ م د + ۸ ب ج + ۱۶ ب د + ۴ ج د
(۱۹) ۴ م۲ + لآ + ۱۶ ی۲ + ۶۹ + ۴ م لا + ۱۶ م ی + ۱۲ م ع + ۸لایا + ۶لا ع + ۳۲ ی ع
(۲۰) ۱۶ م۲ + ۹ ن۲ + ط۲ + ۴ ق۲ + ۲۴ م ن + م ط + ۱۶ م ق + ۱۸ ن ط + ۲۴ ن ق + ۱۲ ط ق
(۲۱) لآ۲ (۲۲) م۶ (۲۳) ۴۱۶ (۲۴) ۴ م۲ + ۴ م ب + ب۲
(۲۵) لا۲ + ۲لای + ی۲ (۲۶) ۸۱ (۲۷) ۴ (۲۸) ۰
(۲۹) ۹ (۳۰) ۱ (۳۱) ۱۶ (۳۲) ۲۵

--- page 278 ---

۲۷۳
مسئله ۲۳
(۱) ۲ لا - ۳۸ لا + ۴۹ (۲) ۴۲ لا ۲ - ۸۰ لا + ۲۵ (۳) لا ۲ - ۲ و ب لای + ب ۲ ی ۲
(۴) ۲۵ لا ۲ + ۳۰ لای + ۹ ی ۲ (۵) ۴۹ م ۲ - ۴۸ م ن + ۳۶ ن ۲ (۶) و آ ب ۲ + ۱۲ ب ج د + ج ۲ د۲
(۷) وأب ۲ - ۱۲ ب ج د + ج ۲ د۲ (۸) لا ۲ - ۲ لا سی ع + ۴ س ۲ ع۲
(۹) ۴۹ ن ۲ ط ۲ + ۴ م ن ط ق س + ق ۲ س۲ (۱۰) ۴ لا ۲ - ۲۰ لا ب ۲ + ۲۵ ب۴
(۱۱) لا ۲ + ۴ ب ۲ + ۹ ج ۲ - ۴ لا ب - ۶ لا ج + ۱۲ ب ج
(۱۲) ۴ لا ۲ + ۹ ی ۲ + ۱۶ ع۲ - ۱۲ لای - ۱۶ لا ع + ۲۴ ی ع
(۱۳) ۴۹ م ۲ + ۱۶ ن ۲ + ۲۵ ق۲ - ۲۸ م ن - ۳۰ م ق + ۲۰ ن ق
(۱۴) لا ۴ + ۹ ب۴ + ۲۵ ج ۴ - ۶ لا ۲ ب ۲ - ۱۰ لا ۲ ج ۲ + ۳۰ ب ۲ ج۲
(۱۵) لا ۲ + ی ۲ + و ۲ ب ۲ - ۲ لای - ۴ لا لا - ۲ لا ب + ۴ ی لا + ۲ ی ب + ۲ لا ب
(۱۶) لا ۲ + ۴ لا ۲ + ۹ ب ۲ + ۱۶ ی ۲ - ۴ لا لا - ۶ لا ب - ۸ لا ی + ۱۲ لا ب + ۱۶ لای + ۲۴ ب ی
(۱۷) ۷۹۲۱ (۱۸) ۱۳۶۸۹ (۱۹) ۲۴۸۰۰۴ (۲۰) ۹۸۶۰۴۹
(۲۱) ۳۶ ب۲ (۲۲) ۶۴ ب۲ (۲۳) ۴۹ وا۲ (۲۴) ۱۲۱ ع۲
(۲۵) ۲۵ ب ۲ ج ۲ + ۱۰ ب ج ۲ لا + ج ۲ لا ۲ (۲۶) ۴ (۲۷) ۸۱
(۲۸) ۱۶ (۲۹) ۲۵ (۳۰) ۱۴۴
مسئله (۲۴)
(۱) والا - ب ۲ ی ۲ (۲) ۲۵ لا ۲ - ۶۴ (۳) ج ۲ لا ۲ - د۲ (۴) و أب ۲ - ب ۲ ج۲
(۵) ۴۹ و ۲ - ۹ ب۲ (۶) ۱۶ لا ۴ - ۲۵ ب۴ (۷) م ۴ - ۹ ن ۲
(۸) ۴ و أب ۴ - ۴۹ ب ۲ ج ۲ (۹) لا ۴ - ۱ (۱۰) و ۴ - ب۴
(۱۱) و ۲ + ۲ و ب + ب ۲ - ج۲ (۱۲) و ۲ - ب۲ - ۲ ب ج - ج۲ (۱۳) م ۲ + ۴ م ن + ن۲
(۱۴) ۲ لا ۲ - ب ۲ ی ۲ + ۲ ب ی رج ع - ر ج۲ ع۲ (۱۵) لا ۲ - ۴ ب ۲ + ۱۲ ب ج - ۹ ج۲
(۱۶) لا ۳ + لا ۲ + ۱ (۱۷) لا ۳ + لا + ۱ (۱۸) لا ۳ + ۴ ی۳ (۱۹) لا ۳ + ب۳
(۲۰) لا ۳ - لا ۲ + ۱ (۲۱) ۴ و (ب - ج) (۲۲) ۳ لا (۳ ج - ۲ ب) (۲۳) ۳ لای (لا + ی)
(۲۴) ۴ لا (ی - ۱ + ب) (۲۵) ۸ لا (۳ ب - ۵ ج + ۷ د) (۲۶) ۹۳۷۶
(۲۷) ۱۰۶۹۸۴۰ (۲۸) ۴۹۸۵۶۲۵ (۲۹) (لا + ۵) لا - ۶)

--- page 279 ---

۲۷۴
(۳۰) (۳ا+۴ج) (۱۳-۴ج) (۳۱) (۴م+۷ن) (۴م-۷ن)
(۳۲) (۲ط+۹ق) (۲ط-۹ق) (۳۳) (۱لا+۸ب) (۱لا-۸ب)
(۳۴) (۶لا+۱۱ی) (۶لا-۱۱ی) (۳۵) (۷د+۸ح) (۷-۸د)
(۳۶) (۲اج+۵د) (۲اج-۵د) (۳۷) (ا+ب ج) (ا+ب ج)
(۳۸) (۱+۲ب+۵ج) (۱+۲ب-۵ج)
(۳۹) (۲لا+۳ا-۴ب) (۲لا-۳ا+۴ب)
(۴۰) (۱+۲ب-۳ج) (۱-۲ب+۳ج)
(۴۱) (۶ا+۹ب) (ا+۳ب) (۱-۳ب) (۴۲) (لا-ی+۱-ب) (لا-ی-۱+ب)
(۴۳) (۹لا+۲۵ی) (۳لا+۵ی) (۳لا-۵ی)
(۴۴) (۲لا+۱۱) (۲لا-۱۱ا) (۴۵) (۹لا+۱) (لا-۱)
(۴۶) (۷ا-ب) (۱+۵اب) (۴۷) (۵لا-۲ی) (لا+۱۲ی)
(۴۸) (۱۲+۳ب-۴ج) (ب-۲ج) (۴۹) (۲م+۵ن-۲ط) (۴م+ن-۸ط)
(۵۰) (۵لا-۷ی+۱۲۶) (لا-ی+۶۲)
مسئله (۳۵)
(۱) ۸لا+۲الا+۶لا+۱ (۲) ۲۷لا+۲۷لایی+۹لائ+ی
(۳) ۸لا+۳۶لا۲+۵۴لا۲+۲۷لا (۴)ا+۶اب+۱۲اب+۸ب۳
(۵) اب+۳اب ج+۳اب ج+ب ج
(۶)ا+۸ا ب+۲۷لا+۱۲الا۲+۳اب+۳اب+۱۲ااب+۶اب+۱۲اب لا
(۷)م+۲۷ج+ط+۳۶من+۵۴من+۱۲مط+۶مط+۲۷ن ط+۹ن ط+۳۶من ط
(۸)لای+یع+۶لا+۳لایی+۳لایی+۳لایی+۳لاییی۴لا+۳ع لایی+۶لایی ع
(۹) ۴۱۲۵ (۱۰) لا+۳لایی+۳لا ی+ی (۱۱) ۲۷ب۲
(۱۲) لا+۳لا+۳لا+۱ (۱۳) لا+۶لا+۱۲لا+۸ (۱۴) ۸لا۲
(۱۵) ۹۰ (۱۶) ۱۷۵ (۱۸) ۵۲ (۱۹) -۶۴
(۲۰) ۳۷ (۲۱) ۰ (۲۲) ۱۰

--- page 280 ---

۲۷۵
مسئله (۳۶)
(۱) ۱-۶لا+۱۲آ-۸آ (۲) ۸-۳۶لا+۵۲لا-۲۷لا۲
(۳) ۲۷-۱۰۸لا+۱۴۴لا-۶۴لا۲ (۴) ۱۲۵م-۳۰۰من+۲۴۰من-۶۴نا
(۵) ۸ط۲-۶۰طاق+۱۵۰طاق-۱۲۵ق۳
(۶) ۸لا-۲ی۶-۱۲لا۲ی+۶لا۲-۱۲لا۲ع+۶لا-۳ی۶-۳ی۲ع+۱۲لا۲یع
(۷) ۸م۳-۲۱ن-ط-۳۶م۲ن۴م۴۵من۲-۱۲م۲ط+۶م ط۲-۲۷ن۲ط-۹ن ط۲+۳۶ن ط
(۸) ل۳م-ن-۳ل۲م+۳م۲ن-۳ل۲ن+۳ل ن۲-۳م ۲ن-۳م ۲ن+۶ل م ن
(۹) ۶۴ ب۳ (۱۰) لا-۳لا۲ی+۳لای۲-ی۳ (۱۱) ۸لا۳ (۱۲) ۰
(۱۳) ۳۴۳ (۱۴) -۵۰۵ (۱۵) ۲۷ (۱۶) ۳۶ (۱۷) ۱۲۰
مسئله (۳۷)
(۱) آ+۱ (۲) ۸لا+۱ (۳) ۱۲۵م+۱
(۴) ۶۴لا۳+۲۷ی۳ (۵) ۲۷م+۵۱۲ن (۶) آب+۶۴ج۳
(۷) آلا+۱۲۵ب۳ (۸) ۱۲۵آ+۲۹۷ب۳ (۹) (لا+۲) (لا۲-۲لا+۴)
(۱۰) (۳+۱) (۹ر۲-۳ر+۱) (۱۱) (م+۳) (م۲-۳م+۹)
(۱۲) (۳لا+۱) (۹لا۲-۳لا+۱) (۱۳) (۶+۴) (۶۲-۲۶+۱۶)
(۱۴) (۵م+۱) (۲۵م-۵م+۱) (۱۵) (۲ر+۷لا) (۴ر۲-۱۴رلا+۴۹لا۲)
(۱۶) (۴لا+۳ی) (۱۶لا۲-۱۲لای+۹ی۲)
مسئله (۳۸)
(۱) ۱-۲۷آ۳ (۲) ۶۴لا۳-۱ (۳) ۱۲۵م-۲۷ن۳
(۴) لا۳-۸ی۳ (۵) ۲۷آ-ب۳ج۳ (۶) (۱۵-۱)(۲۵ آ+۱۵+۱)
(۷) (۷لا-۲ی) (۴۹لا۲+۱۴لای+۴ی۲) (۸) (۶ک-۵ل) (۳۶ک۲+۳۰ ک ل+۲۵ل۲)
(۹) (۱-۸ک) (۱+۸ک+۶۴ک۲)
(۱۰) (۹م-۴ون) (۸۱م+۳۶م وان+۱۶اون)

--- page 281 ---

۲۷۶
مسئله (۲۹)
(۱) لا + ۱۰لا + ۱۶ (۲) لا۲ + ۸ لا + ۱۵ (۳) لا ۲+ ۱۷لا+ ۶۶
(۴) م۲ + ۱۶م + ۶۳ (۵) لا۲ - ۴لا - ۱۲ (۶) م۲ + ۶ م - ۱۶
(۷) لا۲ - ۷لا + ۱۲ (۸) لا۲ + ۲لا - ۱۵ (۹) لا۲ + ۵لا - ۳۶
(۱۰) لا۲ - ۱۵لا + ۵۰ (۱۱) لا۲ - ۷لا - ۶۰ (۱۲) ک۲ - ۱۱ک - ۲۶
(۱۳) لا۲ + ۱۹لا + ۷۰ (۱۴) م۲ - ۸م - ۸۴ (۱۵) لا۲ - ۱۸لا + ۶۵
(۱۶) لا۲ + ۱۹لا + ۸۴ (۱۷) لا۲ - ۱۴لا + ۳۳ (۱۸) لا۲ - ۹لا - ۵۲
(۱۹) م۲ - ۱۱م - ۸۰ (۲۰) لا۲ - ۱۸لا + ۸۰ (۲۱) لا۲ - ۱۶لا - ۷۲
(۲۲) م۲ + ۶م - ۹۱ (۲۳) لا۲ - ۲۶لا + ۱۶۰ (۲۴) لا۲ - ۱۳لا - ۹۰
(۲۵) لا۲ - ۶لا - ۱۶۰
مسئله (۳۰)
(۱) لا۴ + ۶لا۲ + ۱۱لا + ۶ (۲) لا۴ + ۱۴لا۲ + ۵۹لا + ۷۰
(۳) لا۴ - لا۳ - ۲۴لا - ۳۶ (۴) لا۴ - لا۳ - ۷۰لا - ۲۰۰
(۵) لا۴ - ۴لا۳ - ۲۹لا - ۲۴ (۶) لا۴ + لا۳ - ۲۶لا + ۸۰
(۷) لا۴ - ۷لا۳ + ۸۴ (۸) لا۴ - ۶لا۳ - ۳۷لا + ۲۱۰
(۹) لا۴ - ۲۳لا۲ + ۱۷لا - ۳۸۵ (۱۰) لا۴ - ۱۸لا۲ + ۹۹لا - ۱۶۲
(۱۱) لا۴ - ۱۳لا۲ - ۸لا + ۲۴۰ (۱۲) لا۴ + ۲۵لا۲ + ۱۹۹لا + ۴۹۵
(۱۳) لا۴ - ۵۲لا + ۹۶ (۱۴) لا۴ - ۲۳لا۲ + ۱۵۱لا - ۲۷۳
(۱۵) لا۴ + ۱۳لا۲ - ۱۴۴ (۱۶) لا۴ - ۷لا۲ - ۳۸لا + ۱۰۸۰
(۱۷) لا۴ - ۳لا۳ - ۷۳لا + ۳۱۵ (۱۸) لا۴ + ۳۵لا۲ + ۳۹۶لا + ۱۴۳۰
(۱۹) لا۴ - ۴۸لا۲ - ۶۷۲ (۲۰) لا۴ - ۳۱لا۲ + ۳۹۰لا - ۸۰۰

--- page 282 ---

۲۷۷
مسئله (۳۱)
(۱) لا + ی + ع + ۲ لا ی - ۲ لا ع - ۲ ی ع (۲) لا + ی + ع - ۲ لای + ۲ لاع - ۲ ی ع
(۳) لا + ی + ع - ۲ لای - ۲ لاع + ۲ ی ع (۴) لا + ی + ع + ۲ لای - ۲ لا ع - ۲ ی ع
(۵) لا + ی + ع - ۲ لای - ۲ لا ع + ۲ ی ع
(۶) و + لا + ی + ع - ۲ و لا + ۲ و ی - ۲ و ع - ۲ لای + ۲ لا ع - ۲ ی ع
(۷) و + لا + ی + ع - ۲ و لا - ۲ وی - ۲ و ع + ۲ لای + ۲ لاع + ۲ ی ع
(۸) م + ن + ط + ف + س + ۲ م ن + ۲ م ط + ۲ م ف + ۲ م س + ۲ ن ط + ۲ ن ف
+ ۲ ن س + ۲ ط ف + ۲ ط س + ۲ ف س
(۹) ط + ف + س + لا + ی - ۲ ط ف + ۲ ط س - ۲ ط لا - ۲ ط ی - ۲ ف س + ۲ ف لا
+ ۲ ف ی - ۲ س لا - ۲ س ی + ۲ لای
(۱۰) و + ب + ج + لا + ی + ع - ۲ و ب + ۲ و ج - ۲ و لا + ۲ وی + ۲ و ع - ۲ ب ج
+ ۲ ب لا - ۲ ب ی - ۲ ب ع - ۲ ج لا + ۲ ج ی + ۲ ج ع - ۲ لای - ۲ لا ع + ۲ ی ع
(۱۱) و + ۴ لا + ۹ ی + ۱۶ ع - ۴ ولا - ۶ و ی - ۸ و ع + ۱۲ لای + ۱۶ لاع + ۲۴ ی ع
(۱۲) ۳ و + ب + ۴ ج + د - ۴ و ب + ۸ و ج - ۴ و د - ۴ ب ج + ۴ ب د - ۸ ج د
۴۹ (۱۳) ۹ (۱۴) ۰ (۱۵) ۱۴۴ (۱۶) ۱۶۳۵ (۱۷)
۱ (۱۸) ۶۳ (۱۹) ۰ (۲۰) ۴۷ (۲۱) ۶۹ (۲۲)
مسئله (۳۲)
(۱) لا + ۵ لا + ۱۰ لا + ۱۰ لا + ۵ لا + ۱ (۲) لا + ۶ لا + ۱۵ لا + ۲۰ لا + ۱۵ لا + ۶ لا + ۱
(۳) و + ۸ و ب + ۲۸ و ب + ۵۶ و ب + ۷۰ و ب + ۵۶ و ب + ۲۸ و ب
+ ۸ و ب + ب
(۴) و + ۹ و ب + ۳۶ و ب + ۸۴ و ب + ۱۲۶ و ب + ۱۲۶ و ب + ۸۴ و ب
+ ۳۶ و ب + ۹ و ب + ب

--- page 283 ---

۲۷۸
(۵) لا - ۵ لای + ۱۰ لائی -- ۱۰ لای + ۵ لای - ی
(۶) م - ۷ من + ۲۱ م ن - ۳۵ م ن + ۳۵ م ن - ۲۱ م ن + ۷ م ن - ن
(۷) لا + ۸ لا + ۲۲ لا + ۳۳ لا + ۱۶ (۸) لا + ۱۰لا + ۴۰لا + ۸۰لا + ۸۰ لا + ۳۲
(۹) لا + ۸لا + ۲۸لا + ۵۶ لا + ۷۰لا + ۵۶ لا + ۲۸ لا + ۸لا + ۱
(۱۰) لا + ۱۲لا + ۵۴ لا + ۱۰۸لا + ۸۱ (۱۱) لا - ۵ لا + ۱۰لا - ۱۰لا + ۵ لا - ۱
(۱۲) ۶۴ - ۱۹۲ء + ۲۴۰ ء - ۱۶۰ ء + ۶۰ ء - ۱۲ء + ء
(۱۳) ۱۶ لا - ۳۲ لا + ۲۴ لا - ۸ لا + ۱
(۱۴) لا - ۹ لای + ۳۶ لای - ۸۴ لای + ۱۲۶ لائی - ۱۲۶ لای + ۸۴ لای
- ۳۶ لای + ۹ لای - ی
(۱۵) ۲۴۳ لا - ۸۱۰لا + ۱۰۸۰ لا - ۷۲۰ لا + ۲۴۰ لا - ۳۲
(۱۶) ۱ - ۸+ ۲۸ - ۵۶ + ۷۰ - ۵۶ + ۲۸ - ۸ +
(۱۷) ۱ - ۷ج + ۲۱ج - ۳۵ ج + ۳۵ ج - ۲۱ ج + ۷ج - ج
(۱۸) ۱ - ۱۸لا + ۱۳۵لا - ۵۴۰ لا + ۱۲۱۵ لا - ۱۴۵۸لا + ۷۲۹ لا
(۱۹) ۱ - ۱۲لا + ۸۴ لا - ۲۸۰ لا + ۵۶۰لا - ۶۷۲لا + ۴۴۸لا - ۱۲۸ لا
(۲۰) ۲۵۶لو - ۱۰۲۴لو + ۱۷۹۲لو - ۱۷۹۲لو + ۱۱۲۰لو - ۴۴۸لو +
+ ۱۱۲لو - ۱۶لو + و
(۲۱) لا - ۱۰لا و - ۴۵ لا و - ۱۲۰ لا و + ۲۱۰ لا و - ۲۵۲ لا و + ۲۱۰ لا و - ۱۲۰لا و
+ ۴۵ لا و - ۱۰لا و + و
(۲۲) ۲۴۳ لا - ۸۱۰لاو + ۱۰۸۰لا و - ۷۲۰لاو + ۲۴۰ لا و - ۳۲و
(۲۳) ۱۰لا + ۲۰ لا + ۲ (۲۴) ۳لا + ۳۰لا + ۳۰لا + ۲
(۲۵) ۴لا و + ۷۰ لاو + ۴۲ لاو + ۴ و
(۲۶) ۱۶ (۲۷) ۳۲ (۲۸) ۶۴ (۲۹) ۱۲۸ (۳۰) ۲۵۶
(۳۱) ۳۰ (۳۲) ۳ (۳۳) ۰ (۳۴) ۱۶ (۳۵) ۰

--- page 284 ---

۲۷۹

مشله (۳۳)
(۱) لآ + ی - ۶ + ۳ لای ۶ (۲) طا - ۸ و ح - ر ا - ۶ طقس
(۳) ۸ لا - ۲۷ ی ح - ۶ ا - ۱۸ لا ی ۶ (۴) ۲ ا - ۸ ب ۲ + ۲۷ + ۸ ا ا ب
(۵) ۲۷ ا ۲ - ۱۲۵ ب ۲ - ۶۴ - ۱۸۰ ا ب (۶) (لا - ی - ا) (لآ + ی ۲ + ا + لا ی + لا - ی)
(۷) (لا - ی + ۲) (لآ + ی ۲ + ۴ + لا ی - ۲ لا + ۲ ی)
(۸) (لا - ۲ ی - ۳ ۶) (لآ + ۴ ی ۲ + ۹ ۶ + ۲ لای + ۳ لاء - ۶ ی ۶)
(۹) . (۱۰) . (۱۱).

مشله (۳۴)
(۳) ۸ (ج - ب) (ا - ب) (ا - ج) (۴) (لا - ۶) (ی - ۶) (ی - لا)
(۵) . (۶) .

مشله ۳۵
(۱۱) ۲۷ لا + ۸ ی + ۶ ا - ۱۸ لا ی ۶ (۱۴) ۲ ا ۲ ب + ۲ ا ۲ ج + ۲ ب ۲ ج - ا ۳ - ب ۳ - ج ۳
(۱۵) ۴ (ا ۲ ب + ا ۲ ج + ب ۲ ج) (۱۶) ۲ ( ا ۳ + ب ۳ + ج ۳) (۱۹) ۸ ا رج (۲۰) ۸ ا ۲ ب ۲
(۲۳) (ا + ب + د + ج) (ا + د - ب + ج) (ب + ج + ا - د) (ب + ج - ا + د)
(۲۴) لا - ۲ لآ + ۱ (۲۵) ا ۶ - ۲ ا ۴ ب ۲ + ۴ ا ۲ ب ج ۳ + ب ۴ - ج ۴ (۲۷) - ۲ ب ج
(۲۸) ۴ ا ۲ ج (۳۴) ۸ لا ۳ (۴۴) ۲۴۷ (۴۵) ۳۶
(۴۶) ۸۴ (۴۷) ۳۴۹

مشله ۳۶
(۱) - ۴ ا ۲ (۲) - ۵ ا ۶ (۳) ۴ لآ ی ا ۲ (۴) ۳ م ن ۲
(۵) - ۴ طا ق (۶) ۳ ا ۲ ب ۲ (۷) ۵ لآ ی ۶ (۸) - ۸ ا ۲ ج ۲
(۹) - ۳ م ۲ ن ط (۱۰) ۳ ا ر ج ۲ (۱۱) - ۵ لا ی (۱۲) ۳ لاآ ی ۲ ۶ ۲
(۱۳) ا ۲ ۳ ۳ (۱۴) - ۷ ا ۴ (۱۵) - ۴ م ۱ (۱۶) - ۷ ا ۲ ب ۱۲

--- page 285 ---

۲۸۰
امثله (۳۷)
(۱) ۱-۲ب (۲) -لا+۲لا۱ (۳) لا۱-۲لا (۴) ۳آ-۴ب
(۵) -۲وب+۳اب (۶) لا-۲ولا+۳آ (۷) ولا-۲لا+۳آ
(۸) -۳لا+۲آ-۵ولا (۹) ۴م ن-۳م-۴ن (۱۰) -ط+ط ق+ق
(۱۱) -۲لا ی+۳لام ی (۱۲)لا-آ-ولا (۱۳) ۳لا و+آ-۴لا
(۱۴) ۵م ن-۴م ن-۸ط (۱۵) ولای-آلا+لای-آ
امثله (۳۸)
(۱) لا-۲ (۲) لا-۵ (۳) لا+۲ (۴) ۵لا-۷
(۵) ۲ا-۳ب (۶) لا-لای+ی (۷) ۲لا-۳ا (۸) لا-ولا+آ
(۹) آ+۲وب-ب (۱۰) م-۳م ن+۲ن (۱۱) آ-۳وب+ب
(۱۲) ۲لا-۳لای-۲ی (۱۳) آ-۴ولا-۲لا (۱۴) ۳+۲لا-۳لا+لا
(۱۵) لا-۲لا+۳ (۱۶) ۲آ+۳وب-۴ب (۱۷) آ-۲ولا+۴لا
(۱۸) آ-۲وب+۲ب (۱۹) ۲لا-۳لا-۸ (۲۰) لا+۳لا+۹لا+۲۷
(۲۱) آ+۲آ+۴آ+۸ (۲۲) ۳-لا+۲لا (۲۳) ۳لا-۴لا+۵
(۲۴) ۳۲+۱۶لا+۸لا+۴لا+۲لا+لا (۲۵) لا+۲لا+۳لا+۲لا+۱
(۲۶) ۲آ-۳اب+۴ب (۲۷) آ+۳اب-۵ب (۲۸) لا+۲لا+۲لا و+آ
(۲۹) آ-۳وب-ب (۳۰) لا+۲ ی لا+۳ ی لا+۴ ی لا+ی
(۳۱) لا+۲ولا+۳آلا+۴آلا+آ (۳۲) لا-۲ لای+۳لأی-۴ لای+ی
(۳۳) لا+(ا+ب)لا+اب (۳۴) لا-ج (۳۵) ا+ب+ج
(۳۶) اب+اج+ب ج (۳۷) ا ب+ا ج-ب ج (۳۸) لا-(ا-ب)لا-اب
(۳۹) آ+ب ج-اب-اج-ب ج (۴۰) لا+ی+۱-لای+لا+ی

--- page 286 ---

۲۸۱
(۴۱) لا ۲+ ۲ی۶+ ۹ء ۲+ ۳ لای + ۳ لاء - ۶ی۶ (۴۲) لا ۳+ ی ۶+ ۶ء ۲+ لای - لاء + ی ۶
(۴۳) ۳لا - ۳ی - ۶ (۴۴) ۲ب - ۱ج - بج + ج۲ (۴۵) لا + ج
(۴۶) لا + ۱ (۴۷) ۱ + ۱ب - بج + ج۲ (۴۸) ۱ب - ۱ج + بج - ب۲
(۴۹) ی۲ لا + ۲ی۶ + ی لا - ۲ی ۶۲ - لاء - لاء۲ (۵۰) لا - ۱لا + ۱۲
(۵۱) ج + ۱ - ب (۵۲) ۲(۱ + ب) لا (۵۳) لا + ی + ۶ + لای۶
(۵۴) ۶ لا۲ - ۸لا(۲ی۶ + ۱) + (۴ی۶ - ۱)۲ (۵۹) ۱۲ ب (۶۰) ۱ب + ج۲
(۶۱) - ۳ لا۲ ی ۶ ۶۲ (۶۲) ۳ لا - ۴ی ۶۲ (۶۳) ۱۲ - ۱۲ ب + ب ۲۲
(۶۴) ۱۲ - ۱۲ ب + ب ۲۲ (۶۵) ۲ لا - ۵لا ی - ۲ی ۶۲ (۶۶) ۱۲ + ۱۲ ب + ۱۲ ب + ب ۲۲
(۶۷) ۲ ۱۲ + ۳ ۱۲ ب + ۵ ب۲ (۶۸) ۳ لا - ۵ لا ی + ۷ ی ۶۲
(۶۹) ۱۲ + ۱۲ ب + ۱۲ ب۲ + ۱ب + ۱ب۲ + ب۲ (۷۰) لا + ی۶ ۲ - لای - ی ۶۲ - ۶لا ۲
مسئله (۳۹)
(۱۳) لا + لا + لا + ۱ (۱۴) لا - لای + لای - ی ۶۲ (۱۵) لا + لا + لا + لا + ۱
(۱۶) لا - لای + لای - لای + ی۶ (۱۷) لا + لا + لا + لا + لا + ۱
(۱۸) لا - لای + لای - لای + لای - ی ۶۲ (۱۹) لا + لا + لا + لا + لا + لا + ۱
(۲۰) لا - لای + لای - لای + لای - لای + ی۶
مسئله (۴۰)
(۱) ۱(ب + ج) (۲) ۱۲ ب(ب + ۱) (۳) لا ی (ی - ۲لا)
(۴) ۲لای ۶ (لا + ۲ی - ۳ء) (۵) ۲ ۱۲ ب (۱۲ - ۳ ۱ب - ۴ب ۲)
(۶) ولا (ی - ۵ ولا ی + ۳ لا) (۷) ۳ لای ۶۲ (۱ی - ۴ی۶ + ۷ لاء ۲)
(۸) ۱۲ ۱ب۲ (۱۲ - ۳ ب۲) (۹) ۳۶ لا ی (۲ لا + ۳ی)
(۱۰) ۱۳ ۱۲ ب۲ ج۲ (۳ ب ۱ج - ۵ ج ۱۲ - ۷ ۱۲ ب)

--- page 287 ---

۲۸۴
امثله (۴۱)
(۱) (ا +۴ب) (ا-۴ب) (۲) (۲ا+۵لا) (۲ا-۵لا)
(۳) (ا۶+لا) (ا۶-لا) (۴) (۴ا+لا۳) (۴ا-لا۳)
(۵) لا (۴لا+۳) (۴لا-۳) (۶) لا (۲لا+۹) (۲لا-۳)
(۷) (۲ا+ا۲) (ا۲-ا۲) (۸) (لاا+۹لا) (لاا-۹لا)
(۹) (۶+لاا) (۶-لاا) (۱۰) (۸+۷لا) (۸-۷لا)
(۱۱) (۱۱+م) (۱۱-م) (۱۲) (۷لا+۹) (۷لا-۹)
(۱۳) (اب+۵جد) (اب-۵جد) (۱۴) (۹لا+۸) (۹لا-۸)
(۱۵) ط (ق+۱۰) (ق-۱۰) (۱۶) لا (۱۲لا+۵) (۱۲لا-۵)
(۱۷) ۳ (۸+۹لا) (۸-۹لا) (۱۸) ۲ لا (۷لا+۸) (۷لا-۸)
(۱۹) ۴ لا (۹لا+۱۱) (۹لا-۱۱) (۲۰) ۵ من (۴م ن+۱۱) (۴م ن-۱۱)
(۲۱) (۱+ب+ج) (۱+ب-ج) (۲۲) (ا+ب-ج) (ا-ب-ج)
(۲۳) ۴ لای (۲۴) (۱۵+ا) (۱+ا)
(۲۵) (۲ا-۲ب+۳ج-۳د) (۲ا-۲ب-۳ج+۳د)
(۲۶) (۷ا+۵ی-۶۳) (۷لا-۵ی+۶۳) (۲۷) ۱۲(۱-لا) (۱+۲)
(۲۸) ۴ا(ب-ج) (۲۹) (۳ا+ب-ج) (ا-۷ب+۹ج)
(۳۰) (۱۲او+۲۱لا-۳۳ی) (۳ا+۲۷لا-۴۱ی)
(۳۱) -۹ (لا+ا) (لا-ا) (لا+ا) (۳۲) ۴۸(۱۵-۳)
امثله (۴۲)
(۱) (لا+لا+۱) (لا-لا+۱) (۲) (لا+لا-۱) (لا-لا-۱)
(۳) (ا+ولا+لا) (ا-ولا+لا) (۴) (ا+ولا+لا) (ا-ولا+لا)
(۵) (لا+۲لا+۸) (لا-۲لا+۸) (۶) ۱۲ (۹+ا۶+لا۲) (۹+ا۶-لا۲)
(۷) ۹(لا+۳لا+۲۰) (لا-۳لا+۲۰) (۸) (ا+۲ا+۳) (ا-۲ا+۳)

--- page 288 ---

۲۸۳
(۹) (لا۲+لا-۳)(لا۲-لا-۳) (۱۰) (لا۲+۲لا+۳)(لا۲-۲لا+۳)
(۱۱) (لا۲+۳لا-۳)(لا۲-۳لا-۳) (۱۲) (لا۲+۳لا+۳)(لا۲-۳لا+۳)
(۱۳) (۲لا۲+۵لا-۳)(۲لا۲-۵لا-۳) (۱۴) (۲لا۲+۱۰لا+۲۵)(۲لا۲-۱۰لا+۲۵)
(۱۵) (۳لا۲+لا+۲)(۳لا۲-لا+۲) (۱۶) (۳لا۲+لا-۴)(۳لا۲-لا-۴)
(۱۷) (۳لا۲+۳لا-۴)(۳لا۲-۳لا-۴) (۱۸) (۴لا۲+۵لا+۴)(۴لا۲-۵لا+۴)
(۱۹) (۴لا۲-۶لا+۵)(۴لا۲+۶لا+۵)
(۲۰) (۳لا۲+۷لا+۵لا)(۳لا۲-۷لا+۵لا)
(۲۱) (لا۲+۳لا+۱۲)(لا۲-لا+۱۲) (۲۲) (ا۲+۵اب-۵ب۲)(ا۲-۵اب-۵ب۲)
(۲۳) (۶ا۲+۲اب-ب۲)(۶ا۲-۲اب-ب۲)
(۲۴) (۷م۲+۴من-۴ن۲)(۷م۲-۴من-۴ن۲)
(۲۵) (۸لا۲+۱۲لا+۹لا۲)(۸لا۲-۱۲لا+۹لا۲)
(۲۶) (۳لا۲+۱۲لا+۲۹لا۲)(۳لا۲-۱۲لا+۲۹لا۲)
(۲۷) (لا+ی-۶)(لا-ی+۶) (۲۸) (۲ا+ب-۳ج)(۲ا-ب+۳ج)
(۲۹) (۳لا+۳ی-۶۳)(۳لا-۲ی+۶۳) (۳۰) (ا۲+ب-۵ج)(ا-۲ب+۵ج)
(۳۱) (۴ی+۳لا-۶۵)(۴ی-۳لا+۶۵)
(۳۲) (ا-۲ب+۳ج-۲د)(ا-۲ب-۳ج+۲د)
(۳۳) (لا-۲ی+۶)(لا-۶) (۳۴) (۲لا۲+۳ا+۵ب+۱)(۲لا۲+۳ا-۵ب-۱)
(۳۵) (۳لا+۲ی-۷-۵)(۳لا-۲ی+۷-۵)
(۳۶) (۴ا+۳ب-۴ج-۳)(۴ا-۳ب+۴ج-۳)
(۳۷) (لا-۷ی+۶۵-۲)(لا-۷ی-۶۵+۲)
(۳۸) (۴لا+۵ا+۳ی-۷ب)(۴لا+۵ا-۳ی+۷ب)
(۳۹) (۷لا-۴ی+۶۸-۱)(۷لا-۴ی-۶۸+۱)
(۴۰) (ا+ب-ج-د)(ا-ب+ج-د)

--- page 289 ---

۲۸۴

امثله (۴۳)
(۱) (ا - ۲ ب) (ا + ۲ اب + ۴ ب) (۲) (ا - ۳ لا) (ا + ۳ لا + ۹ لا)
(۳) (۲ لا + ا) (۴ لا - ۲ لا + ا) (۴) (۲ لا - ۱) (۴ لا + ۲ لا + ۱)
(۴) (ا - ۳ ب) (ا - ۳ ا ب + ۴ ب) (ا + ۸ ا ب + ۶۴ ب)
(۵) (۳ ا + ۵ لا) (۹ ا - ۱۵ ا لا + ۲۵ لا)
(۶) (م + ن) (م - ن) (م - م ن + ن) (م + م ن + ن)
(۷) (۷ لا + ۸ ی) (۴۹ لا - ۵۶ لا ی + ۶۴ ی)
(۸) (۴ ا - ا) (۲ ا + ا) (۴ ا + ۲ ا + ا) (۴ ا - ۲ ا + ۱)
(۹) (ا - ۲ لا) (ا + ۲ لا) (ا + ۴ لا + ۴ لا) (ا - ۴ لا + ۴ لا)
(۱۰) (۵ لا - ۶ ا) (۲۵ لا + ۳۰ لا ا + ۳۶ ا)
(۱۱) ا ب (۴ ا + ۷ ب) (۱۶ ا - ۲۸ ا ب + ۴۹ ب)
(۱۲) لای (۳ لا + ۲ ی) (۳ لا - ۲ ی) (۹ لا - ۶ لا ی + ۴ ی) (۹ لا + ۶ لا ی + ۴ ی)
(۱۳) (ا + ب) (ا - ۲ ا ب + ۶ ا ب - ۲ ا ب + ب)
(۱۴) ۲ (لا + ی) (لا - ی) (۴ لا - ۱۴ لا ی + ۱۳ ی)
(۱۵) ۲ (ا - ب) (ا + ا ب + ب) (۴ ا - ۲ ا ب + ب)

امثله (۴۴)
(۱) (لا + ۳) (لا + ۱) (۲) (لا + ۲) (لا + ۳) (۳) (لا + ۳) (لا + ۴)
(۴) (لا + ۴) (لا + ۵) (۵) (لا + ۳) (لا + ۶) (۶) (لا + ۴) (لا + ۷)
(۷) (لا - ۴) (لا - ۶) (۸) (لا - ۳) (لا - ۵) (۹) (لا - ۵) (لا - ۶)
(۱۰) (لا - ۴) (لا - ۸) (۱۱) (لا - ۱۲) (لا - ۲) (۱۲) (لا - ۲) (لا - ۲۰)
(۱۳) (لا + ۱۰) (لا - ۳) (۱۴) (لا + ۸) (لا - ۶) (۱۵) (لا + ۱۸) (لا - ۲)
(۱۶) (لا + ۱۲) (لا - ۳) (۱۷) (لا - ۱۴) (لا - ۳) (۱۸) (لا + ۱۸) (لا - ۴)
(۱۹) (لا + ۵) (لا ) (۲۰) (لا - ۱۶) (لا + ۵) (۲۱) (لا - ۳۲) (لا + ۳)

--- page 290 ---

۳۸۵
(۳۲) (لا-۱۲) (لا+۴) (۳۳) (لا-۷) (لا+۶) (۳۴) (لا-۹) (لا+۸)
(۳۵) (لا+۱۰) (لا+۱۲) (۳۶) (لا+۳۰) (لا-۳) (۳۷) (لا-۲۴) (لا+۳)
(۳۸) (لا+۱۳) (لا-۷) (۳۹) (لا-۱۲) (لا-۸) (۴۰) (لا+۲۶) (لا-۳)
(۴۱) (لا-۱۳) (لا+۶) (۴۲) (لا-۲۱) (لا-۴) (۴۳) (لا-۲۲) (لا-۳)
(۴۲) (لا+۱۵) (لا-۸) (۴۵) (لا-۱۰) (لا+۸) (۴۶) (لا+۱۳) (لا-۶)
(۳۴) (۱-۸) (۱+۷) (۳۸) (م-۱۵) (م+۶) (۳۹) (۱+۳۰) (۱-۳)
(۴۰) (۱-۹) (۱-۶) (۴۱) (ط-۲۳) (ط+۳) (۴۲) (م+۹) (م-۸)
(۴۳) (م+۳۰) (م-۳) (۴۴) (۱-۲۳) (۱-۵) (۴۵) (لا+۱۳) (۱-۶)
(۴۶) (۱-۵۱) (۱+۳) (۴۷) (۱-۱۵) (۱-۴) (۴۸) (لا+۱۶) (لا-۴)
(۴۹) (۱-۳۰) (۱+۸) (۵۰) (لا+۱۵) (لا-۷) (۵۱) (ی-لا) (ی+۶)
(۵۲) (ب-۲) (ب-۱) (۵۳) (ن+۶م) (ن-۵م)
(۵۴) (ب-۳) (ب+۴) (۵۵) (ب-۵ا) (ب+۳ا)
(۵۶) (ی+لا) (ی-۸لا) (۵۷) (ی+۸لا) (ی-۵لا)
(۵۸) (ص-۸ط) (ص-۶ط) (۵۹) (ط+۱۰ص) (ط-۸ص)
(۶۰) (ی-۴لا) (ی+۳۲لا) (۶۱) (ا+۱) (۱-ا) (ا+۵)
(۶۲) (لا۳-۳) (لا+۵) (۶۳) (لا+۲) (لا-۲) (لا۲+۷)
(۶۴) (لا-۱) (لا+لا+۱) (لا۲+۳) (۶۵) (۱-۲) (ا۲+۲ا+۴) (۱-۲)
(۶۶) (لا-۱) (لا۲+لا+۱) (لا+۳) (لا۲-۳لا+۹)
(۶۷) (ا-۱) (ا+۳) (ا۲+ا+۱) (ا۲-۳ا+۴)
(۶۸) (لا+۲) (لا-۳) (لا+۲) (لا-۲) (لا۲+۴)
(۶۹) (۱+۲) (۱-۲) (ا۲+۴) (ا۲+۵)
(۷۰) (ا+۱) (ا-۲) (ا۲-لا+۱) (ا۲+۲ا+۴)
(۷۱) (ا+۱) (ا۲+۳ا-۲) (۷۲) (لا+۱) (لا+۲) (لا+۳لا+۱)
(۷۳) (لا-۱) (لا+۱) (لا-۳) (۷۴) (۱+۱) (۱-۴) (ا۲-۳ا+۱)

--- page 291 ---

۲۸۶
(۷۵) (لا+۱) (لا-۵) (لا۲-لا+۱) (۷۶) (لا+۱) (لا-۲) (لا+۳) (لا-۳)
(۷۷) (لا-۲) (لا-۳) (لا-۱) (لا-۳) (۷۸) (ا-۲) (ا+۹) (ا+۲) (ا+۵)
(۷۹) (ا-۴) (ا+۱۰) (ا+۲) (ا+۴) (۸۰) (لا+۱) (لا+۹) (لا+۲) (لا-۱۰)
(۸۱) ۲ (لا+ی) (۵لا+۸ی) (۸۲) (۱۵+ب) (ا-۷ب)
(۸۳) (۴م+۷ن) (۳م-۸ن) (۸۴) ۴(۱۵+۲ب) (۱۲+ب)
(۸۵) (لا+۱۱ی) (۷لا+۵ی) (۸۶) (۱۲+۲۳ب) (۱۹-۵ب)
(۸۷) (۱۳+۴اب) (۱۰ا-۷ب) (۸۸) ۷ن (۹م۲-۱۱ن)
(۸۹) (لا+۲ی) (لا+۳ی) (لا۲+۲لای+۱۲ی۲)
(۹۰) (ا-۲ب) (ا-۶ب) (ا-۳ب) (ا-۸ب)
(۹۱) (۲لا-۵) (لا+۳) (۹۲) (۱۳-۵) (۱۲+۳)
(۹۳) (۴م+۳) (۲م-۳) (۹۴) (۲لا-۳ی) (۳لا+۸ی)
(۹۵) (۱۵-۳ب) (۱۳-۷ب) (۹۶) (۳م-۴ن) (۴م+۵ن)
(۹۷) (۲لا+۵ی) (۶لا-ی) (۹۸) (۴ا+۵ب) (۱۵-۶ب)
(۹۹) (۳لا-۵ی) (۶لا-۷ی) (۱۰۰) (۴لا-۳ی) (۳لا+۸ی)
مسئله (۴۵)
(۱) (لا+۳) (لا+۱) (۲) (لا+۵) (لا+۱) (۳) (لا+۵) (لا+۳)
(۴) (لا-۷) (لا-۳) (۵) (لا-۸) (لا+۶) (۶) (لا-۹) (لا+۵)
(۷) (لا-۸) (لا-۴) (۸) (لا-۱۱) (لا+۵) (۹) ا+۲ب ج) (ا+ج)
(۱۰) (لا+ی) (لا-ی+۲) (۱۱) (لا+ی+۱) (لا-ی+۵)
(۱۲) (ا+۵ب ج) (ا-ب ج) (۱۳) (لا-ی-۶) (لا-۵ی+۶)
(۱۴) (لا-۲ی-۲+۶) (لا-۸ی+۲۶) (۱۵) (ا+ب-۳ج) (ا-۳اب+۴ج)
(۱۶) (لا+۱۳ی-۳۶) (لا+۳۶) (۱۷) (لا+ی-۶۵) (لا-۱۵ی+۶۵)

--- page 292 ---

۲۸۷
(۱۸) (۲لا + ۱) (لا - ۳) (۱۹) (۳لا + ۱) (۲-لا) (۲۰) (۳لا + ۲) (لا + ۳)
(۲۱) (۴لا - ۱) (لا + ۲) (۲۲) (۲لا - ۱) (۳لا + ۴) (۲۳) (۲لا + ۱) (۳لا - ۴)
(۲۴) (۳لا - ۱) (۲لا + ۳) (۲۵) (۲لا + ۳) (لا - ۵) (۲۶) (۲لا - ۵) (۲لا + ۷)
(۲۷) (۲لا - ۳) (لا + ۴) (۲۸) (۲لا + ۱) (۲- لا) (۲۹) (۲لا + ۵) (لا - ۷)
(۳۰) (۴لا - ۷) (لا + ۶) (۳۱) (۳لا - ۵) (لا + ۶) (۳۲) (۳لا - ۲) (۳لا + ۳)
(۳۳) (ا + ۵ ب) (۲ا - ۳ ب) (۳۴) (۲لا - ۳ ی) (لا - ۲ ی)
(۳۵) (۳م + ۲ن) (۲م - ۵ن) (۳۶) (۳ط - ۴ ق) (ط + ۳ ق)
(۳۷) (۲ا - ۵ ب) (۴ا + ۳ ب) (۳۸) (۵م - ۲ن) (۲م + ۳ ن)
(۳۹) (۴لا - ی) (۳لا + ۴ ی) (۴۰) (۳ا - ۴ ب) (۵ا + ۳ ب)
(۴۱) (۲ا - ب) (ا - ۲ ب) (۴۲) (ا - ۳ ب) (۲ا + ب)
(۴۳) (لا + ۳ ی) (لا - ی) (۴۴) (ا + ۴) (۴ا - ۱)
(۴۵) (ا - ۴ ب) (۲ا - ب) (۴۶) (لا - ۵) (۵لا + ۱)
(۴۷) (لا - ۵ ی) (۵لا - ی) (۴۸) (لا + ۶) (۶لا + ۱)
(۴۹) (ا + ۶ ب) (۶ا - ب) (۵۰) (ا - ۶ ب) (۶ا + ب)
(۵۱) (ا - ۷ ب) (۷ا - ب) (۵۲) (ا + ۷ ب) (۷ا - ب)
(۵۳) (ا - ۷ ب) (۷ا + ب) (۵۴) (۸لا - ی) (لا + ۸ ی)
(۵۵) (۹لا - ی) (لا - ۹ ی) (۵۶) (۱۰لا - ی) (لا + ۱۰ ی)
(۵۷) (۲ا + ۲ ب - ۱) (ا + ب + ۲) (۴۸) (لا - ی) (۲لا + ۲ ی + لای)
(۵۹) (ا + ب) (۲ا + ۲ ب + اب) (۶۰) (لا - ۴ی) (۴لا - ی) (لا + ی)
(۶۱) (لا + ۲) (لا - ۲) (۲لا + ۳) (۶۲) (۲ا + ۳ ب) (۲ا - ۳ ب) (۲ا + ب)
(۶۳) (۳ا + ۴ ب) (۳ا - ۴ ب) (ا + ۲ ب)
(۶۴) (لا - ۲) (۲لا - ۱) (لا + ۲لا + ۴) (۴لا + ۲لا + ۱)
(۶۵) (۲ا + ب) (۲ا - ب) (ا + ۲ ب) (ا - ۲ ب)

--- page 293 ---

۲۸۸
مسئله (۴۶)
(۱) (لا+۱)(لا۲+۱) (۲) (لا+۱)۲ (لا-۱) (۳) (لا+۱)(لا-۱)۲
(۴) (۱-ب+ج) (۱+ج+ب) (۵) (لا-۱)(لا+ب) (لا۲-ب لا+ب۲)
(۶) (۱+لا+ب ی) (ب لا+۱ ی) (۷) (لا-۶) (لا+ی+۶)
(۸) (لا+۱)(ب-ج) (۹) (لا۲-۱ ب) (ا۲-۳ ب)
(۱۰) (۱-ب) (۱+ب+ج) (۱۱) (ا۲-۳ ب) (ا۲+۳ ب+۲ج)
(۱۲) (۱ لا-ب ی) (۱ لا+ب ی+ج۶) (۱۳) (لا۲-ی ۶) (لا۲+ی ۶+ی۲)
(۱۴) (۴ لا-۱۵) (۴ لا+۱۵+۳ ب) (۱۵) (۱+ب) (ا۲+۱ ب+ب۲)
(۱۶) (م-ن) (م۲-م ن+ن) (۱۷) (۱-ب) (۱+ب)۲
(۱۸) (لا+ی) (لا-ی)۲ (۱۹) (۲+ا) (ا۲+۳ ا+۴)
(۲۰) (لا-۵) (لا۲-۱۱ لا+۲۵) (۲۱) (ا۲-۳ب) (ا۲+۳ ب) (ا+۳ ب)
(۲۲) (لا-ی) (لا-ی-۱) (۲۳) (ا۲-ب) (ا۲-ب-۳)
(۲۴) (لا+ا۲) (لا-۱)۲ (۲۵) (ا۲+۲ ب) (۱-ب) (۱-۲ ب)
(۲۶) (ا۲+۶ ب) (۱+ب+ج) (۲۷) (لا-۳ ی) (لا-ی+۶)
(۲۸) (م-۲ ن) (م-۳ ن+۲ ط) (۲۹) (۱-۳ ب) (۱-۷ ب+۵ ج)
(۳۰) (لا+۴ او) (لا۲-۴ ا+۴ ب) (۳۱) (۱-۴ ب) (۱-۲ ب+۳)
(۳۲) (لا۳+ی) (لا-۳ ی+۲) (۳۳) (۱-ب+ج) (۱+ب+ج+۱)
(۳۴) (لا-۲ ی+۶۳) (لا+۲ ی-۶۳+۱)(۳۵) (لا-۳ ی-۶۳) (لا۲-۳ ی+۶۳-۵
(۳۶) (۱+ب) (۱-ب) (لا+ا) (لا-ا) (۳ لا۲-۳ ا۲)
(۳۷) (لا۲-۳ ب) (لا۲+لا-ب) (۳۸) (لا+۱)(لا-۱)(۱+ب)۲
(۳۹) (ب-ج) (ا-ج) (۱-ب) (۴۰) (ب+ج) (ا+ج) (۱+ب)
(۴۱) (ب-ج) (ا-ج) (۱-ب) (ا ب+ب ج+ج ا)
(۴۲) (ب+ج) (ا-ج) (۱-ب) (ا۲+ب۲+ج۲+ا ب+ب ج+ج ا)
(۴۳) (ب+ج) (ا+ج) (۱+ب) (ب+ج) (ا-ج) (۱-ب)
(۴۴) (ب-ج) (ا+ج) (ا-ب) (ا۲+ب۲+ج۲+ا ب+ا ج+ب۲ ج+ا ب ج)

--- page 294 ---

۲۸۹

مسئله (۴۷)

(۱) لا + ب + ج - ا ب + ا ج + ب ج (۲) لا + ی + ۱۰ لای + لا - ی
(۳) لا + ۴ ی + ۶۹ + ۳ لای - ۳ لا ۶ + ۶ ی۶ (۴) ۱۲ - ۳ ب + ج
(۵) لا - ۱۲ لا - ۳ (۶) لا + ۲ ب - ج (۷) ۵ - ۴ لا + ب
(۸) ۲ لا - ۳ لا + ۴ (۹) لا - ۳ لا + ۳ لا - ۵ (۱۰) لا - ۶ لا + ۵ لا - ۲
(۱۱) لا + ۳ لا + ۱۳ (۱۲) لا - ۱۶ ب + ۱۲۰ ب (۱۳) لا - ۲ اب + ۲ اب - ب
(۱۴) لا - ۳ لا + ۳ لا - ۱ (۱۵) لا + ۴ لای + ۱۹ ی (۱۶) (لا + ۱) (لا + ۲۰) (لا ۲۰)
(۱۷) (لا + ۲) (لا + ۳) (لا + ۴) (۱۸) (لا - ۱) (لا - ۲) (لا - ۳)
(۱۹) (لا - ۲) (لا + ۳) (لا + ۴) (۲۰) (لا - ۱) (لا - ۳) (لا - ۴)
(۲۱) (لا + ۱) (لا + ۴ لا - ۶) (۲۲) (لا - ۳) (لا - ۲ لا + ۵)
(۲۳) (لا - ۲) (لا + ۲) (لا - ۳ لا - ۵) (۲۴) (لا - ۱) (لا + ۳) (لا - ۲ لا + ۵)
(۲۵) (لا + ۱) (لا - ۳) (لا - ۲ لا - ۴) (۲۶) (لا - ۲) (لا + ۳) (لا + ۳ لا - ۶)
(۲۷) (لا + ۳) (لا - ۲ لا - ۵ لا + ۷) (۲۸) (لا - ۵) (لا - ۲ لا + ۳)
(۲۹) (لا + ۳) (لا - ۳ لا + ۴) (۳۰) (لا + ۴) (لا - ۴)
(۳۱) (لا - ۳) (لا + ۴ لا + ۳) (۳۲) (لا + ۲ ی) (لا - ۲ لای - ۵ ی)
(۳۳) (۱ + ۳ ب) (۱ + ا ب - ۲ ب) (۳۴) (۱ - ۲ ب) (۱۵ + ۷ ا ب + ۴ ا ب)
(۳۵) (لا - ۱) (لا + ۲ لا + ۳) (۳۶) (لا - ۱) (لا + ۳) (لا + ۱)
(۳۷) (لا + ۱) (لا - ۲) (۳۸) (ا - ب) (۲ لا + ا ب + ب)
(۳۹) (لا - ۱) (۳ لا + ۱ لا + ۳) (۴۰) (لا + ۳ ی) (لا - ۳ لای + ۳ ی)
(۴۱) (لا + ۱ - ب) (لا - ۱ + ۲ ب)
(۴۲) { لا + (۱ + ب ) ی } { لا + (۱ - ب) ی } { لا - (۱ - ب) ی }
(۴۳) { لا + (لا + ی) ب } { لا - (لا - ی) ب }

--- page 295 ---

(۴۴) (۱+ لا - ی) (۱ - لا - ۲ی) (۴۵) (لا + ۲۱ + ب) (لا - ۱+ ۲ب)
(۴۶) (لا + ۳ی - ۶) (لا + ی + ۶) (۴۷) (۲ا + ب - ۳ج) (۲ا - ۳ب + ۳ج)
(۴۸) (لا۲+۲لا-۳) (لا۲+۲لا+۳) (۴۹) (۱ + اوب - ب۲) (۱- ۵ رب - ب۲)
(۵۰) (۲لا - ۴لا - ۳) (۲لا - ۶لا + ۳) (۵۱) (لا - ۱)۲ (لا۲+۱)
(۵۲) (ا۲+ ۱۳ - ۵) (ا۲- ۳ا + ۵) (۵۳) (۱- ب لا) (۱- ب لا - ج لا)
(۵۴) (لا۲ی+ لای - ۶+ ۱) (لا۲ی - لای + ۶+ ۱)
(۵۵) ( (ی + ۶) لا - ی + ۶) { (ی - ۶) لا + ی + ۶ }
(۵۶) { (۱+ ب) لا + (۱- ب) ی } { (۱- ب) لا+ (۱+ ب) ی }
۵۷ (لا۲- ۲لا - ۱) (لا - ۲لا - ۲) (۵۸) (ا۲- ۳ا + ۵) (ا۲- ۳ا+ ۱)
(۵۹) (۲لا۲+ ۱۱لا - ۳) (۲لا۲+ ۱۳لا - ۴) (۶۰) (لا۲- لای + ی۲) (لا۲- لای - ی۲)
(۶۱) (لا۲+ ۳لا+ ۲) (لا۲- ۳لا+ ۲) (۶۲) (ا۲- ۱۲ب + ۲۰ب۲) (ا۲- ۱۵ب + ۲۰ب۲)
(۶۳) (ا۲- ۱۲+ ۵) (لا۲- ۷لا + ۵) (۶۴) (ا - ب) (ا۲+ ۶اب + ب۲)
(۶۵) (لا۲+ ۱۰لا) (لا۲- ۴لا - ۲) (۶۶) (لا - ۳لا - ۵) (لا۲- لا - ۷)
(۶۷) (لا - ) و لا + ۸) (لا + ۷لا + ۳۰) (۶۸) (لا - ۳) (۲لا + ۳) (۲لا - ۲لا+ ۷)
(۶۹) (۷۰) (۷۱) (۷۲) ۳۰۰ (۷۳)
(۷۴) ۵ (۷۵) ۱ (۱- ۵ ا۲ب + ۵ب۲) (۷۶) ۳۹۲۰۰۰
مشله (۴۸)
(۱) (ا۲) (۲) ۴م (۳) ۳ لای (۴) ۵ ا۲ی
(۵) ۹ع۲ن (۶) ۴م ولا (۷) ۱۲م ط (۸) ۱۵ ا۲ی ع
(۹) ۱۰ا۲ج۲ (۱۰) ۲۴ج (۱۱) ۱۲ع۲ (۱۲) ۵ع۲ن ط۲ق
(۱۳) ۲ا۴ی (۱۴) ۳ (۱۵) ۸ لا۲ی۲

--- page 296 ---

۲۹۱

مثله (۴۹)
(۱) و (ا+ ب) (۲) لای (لا+ ی) (۳) ۳ (لا+ ۳)
(۴) ۴ و (و۲+ ب ج) (۵) م ن (م - ن) (۶) ولا (۲ و+ ۳ لا)
(۷) ۲ واب (۳ و+ ۴ ب) (۸) ۳ لای (لا - ۲ ی) (۹) ۲ وب (ا+ ۲ ب)
(۱۰) ۶ الا و (لا - و) (۱۱) ۸ (لا+ ولا + و) (۱۲) ۸ لا و (لا+ و)
(۱۳) ۶ (ا+ ۳ ب) (۱۴) ۴ لا (لا - ۵) (۱۵) لای (لا+ ۶ ی)
(۱۶) و لا (ا+ ۳ لا) (۱۷) ۳ لا+ ۳ (۸) ا- ۲ ب
(۱۱) لا - ۲ (۲۰) ۸ ۱ (لا+ ۲ و) (۲۱) ا - ب
(۲۲) لا+ ۲ (۲۳) ۴ وب (۳ ا- ب) (۲۴) لا+ ۵ لا+ ۶

مثله (۵۰)
(۱) (۲ لا- ۱) (۲) ۳ لا - ۲ (۳) ۲ لا - ۱۵
(۴) لا (۳ لا+ ۴) (۵) ۳ ا- ۱ (۶) ۲ ا - ۳ ب
(۷) لا + لا+ ۱ (۸) لا - لا ی+ ی (۹) لا (۲ لا+ لا+ ۱)
(۱۰) لا + ۳ لا+ ۱ (۱۱) لا + ۲ لا+ ۱ (۱۲) لا + ۲ ولا+ ۳ و۲
(۱۳) لا + ۳ ا لا+ ۵ و (۱۴) ۲ و- ۳ لا+ ۷ لا (۱۵) ۲- ۳ لا+ ۵ لا۲
(۱۶) ۱+ ۲ لا- ۷ لا۲ (۱۷) لا (۲ لا+ ۳ ولا+ ۲ و) (۱۸) ۲ (و + ۵ و+ ۲)
(۱۹) لا + ۳ لا - ۲ (۲۰) لا - ۳ لا+ ۵ (۲۱) (لا+ ۵ لا+ ۱)
(۲۲) لا + ۲۰ لا+ ۴۰ (۲۳) لا + ۳ لا+ ۵ (۲۴) ۲ (لا - ۲ ولا+ ۲ و)
(۲۵) ۳ لا+ ۲ لا ی+ ۴ ی (۲۶) لا + ۲ لا+ ۳ (۲۷) ۲ ا- ۲ ا- ۵
(۲۸) لا + ۲ لا+ ۳

--- page 297 ---

۲۹۲
مسئله (۵۱)
(۱) لا - ۱۵ + ۶ (۲) لا۲ - ۱۷+ ۱۲۰ (۳) لا + ۱۳ + ۲
(۴) ۳لا - ۵لا + ۷ (۵) ۶لا - ۱۱لا + ۳ (۶) ۲لا + ۱۵لا - ۸
(۷) ۳لا + ۱۵ - ۱ (۸) ۵لا - ۱۳ - ۱ (۹) ۲لا + ۱۳ - ۱
(۱۰) ۳لا - ۲لا + ۱ (۱۱) لا + لا - ۲ (۱۲) لا + ۱۳لا - ۲
مسئله (۵۲)
(۱) لا + ۲ (۲) ۲لا - ۱ (۳) ۲لا - ۳
(۴) ۲لا + ۱ (۵) ۱۳ - ۲ب (۶) (۱۲ - ۵ب)
(۷) ۱۳ - ۴ (۸) ۲لا - ۳
مسئله (۵۳)
(۱) ااب (۲) آب بج (۳) ۳۰ لای
(۴) ۴۸ م ن ط (۵) ۲۴ لای غ (۶) ۴۰ ااساج
(۷) ۱۲۰ اب ج (۸) ۱۸۰ الاس ع ی ا (۹) اب (ا- ب)
(۱۰) ۲۴ (لای) (۱۱) (لا - ۱) (لا - ۳) (لا - ۲)
(۱۲) ق(ق - لا) (لا + ۳) (لا - ۲) (۱۳) ق (ا - ۲) (ا + ۲) (ا + ۴)
(۱۴) ۱۲ اولا (لا - ا) (لا - ولا + ا) (۱۵) ۴۸ (لا - ۳) (لا + ۵) (لا + ۶)
(۱۶) (لا - ۳) (لا + ۵) (لا + ۴) (لا + ۷) (۱۷) ۳ ق (ا - ۹ب) (ا - ب)
(۱۸) ۸(ا+ ۲ب) (ا - ۲ب) (۱۹) ۱۲ ا لا (۴ لا - ۲۵ ی) (۲ لا - ی)
(۲۰) (۲لا - ۳ ق) (لا - ق) (۲۱) ۲ لا (۳ لا + ۸۱)

--- page 298 ---

۲۹۳
(۲۲) ٦ (لا + ۳ - لا) (لا۲ - ۳ لا) (۲۳) (۲لا - ۱) (۳ لا۲ - ۱) (لا + ۳)
(۲۴) (لا - ۲ ی) (لا - ۴ ی) (لا - ۳ ی) (لا + ۵ ی
(۲۵) (لا + ۲) (۲لا - ۱) (۳لا + ۱)
(٢٦) (لا - ۳) (لا۲ + ۲ لا + ۱) (۲لا + ۱ - ۴ لا)
(۲۷) (لا۲ - ۳) (۹ لا۲ - ۱) (۹ لا - ۱)
مسئله (۵۴)
(۱) ۹ لا + ۳ لا - ۷ لا۲ - ۶ لا + ۳۲
(۲) ۱۸ لا + ۳ لا۲ - ۹ لا۲ - ۴ لا + ۳۱
(۳) ۴۸ لا - ۶۵ لا۲ - ۱۲۰ لا۲ + ۱۶۰ لا + ۲۴ لا - ۳۶
(۴) ۴۵ لا - ۲۴ لا۲ - ۲۳ لا + ۴۰ لا + ۸۰
(۵) ۱۱۳ لا - ۴ لا۲ - ۹ لا۲ + ۶۳ لا + ۱۸۰
(٦) ۱۱۲ لا + ۸۰ لا۲ + ۲۵ لا۳ + ۳۴ لا + ۱۵ لا۲ + ۸ لا + ۸
(۷) ۳۲ لا۲ - ۲۴ لا - ۸ لا۲ + ۱۸ لا - ۲۸ لا۳ + ۲۷ لا - ۱۸
(۸) ۱۳ لا + ۲۴ لا۲ + ۹۵ لا۳ + ۱۱۸ لا۲ + ۲۹ لا۳ + ۲۴ لا + ۱۶ لا۲
مسئله (۵۵)
(۱) ۱۳ لا۳ - ۱۰۰ لا۲ + ۱۹۵ لا + ۷۰ لا - ۷۲
(۲) ۷۶ لا۳ - ۷۹ لا۲ + ۳ لا۲ - ۱۸۸ لا - ۹۶
(۳) ۴۸ لا۲ - ۹۲ لا - ۴۸ لا۲ + ۱۵ لا - ۳۰
(۴) ۱۶ لا۲ + ۴۰ لا + ۲۰ لا۲ + ۳۸ لا - ۲۰ لا۲ - ۳۹ لا - ۱۵ لا۲ - ۷۹ لا + ۹۰

--- page 299 ---

۲۹۴
امثله (۵۶)
(۱) ۱ / ۳ ب (۲) ۳ لا / ۵ ی (۳) ۲ لا / ۵ لا (۴) ۳ لا ع / ۵ ی آ
(۵) ۲ لا / ۳ لا ب (۶) ۲ لا ع / ۵ لا ی (۷) ۲ لا / ۳ و (۸) ۳ ن طق / ۵ م
(۹) لا - ۱ / لا (۱۰) ۱ / لا + ۳ (۱۱) ۲ لا - لا / ۲ لا (۱۲) ۱ / ب ۲ + ۱
(۱۳) ۳ لا / لا + ۲ لا (۱۴) ۲ لا / لا - ۲ لا (۱۵) ۲ لا / لا + ۳ (۱۶) لا - ۲ / لا - ۳
(۱۷) لا - ۳ / لا + ۲ (۱۸) ۱ - ۲ ب / ب - ۵ (۱۹) لا / ب + ۱ (۲۰) لا - ۲ لا / لا - ۵ لا
(۲۱) ی - لا / ی ۷ + لا (۲۲) ۱ - ۲ لا / ۱ + ۳ لا (۲۳) لا - ۱۳ / ۲ - لا (۲۴) ۳ و لا / لا - ۳ لا
(۲۵) ۲ لا + ۳ / ۳ لا + ۲ (۲۶) ۱ - لا / لا + ۱ (۲۷) لا + ۱۵ / لا + ۱۷ (۲۸) ۲ لا - ۵ / ۳ لا - ۲
(۲۹) ۲ لا - ۱۵ / ۳ لا - ۱۷ (۳۰) ۲ لا ۳۰ / لا ۵ - ۱ (۳۱) لا - ۱ / لا + ۱ (۳۲) ۲ لا + ۵ ب / ۱ - ج ۳
(۳۳) ۲ لا + ۳ لا / ۳ لا + ۲ لا (۳۴) ۲ لا - ب / ۱ - لا (۳۵) لا + ۳ (۳۶) ۱ - ب - ج / ۱ + ب - ج
(۳۷) لا + ۳ / لا + ۵ (۳۸) ۱ - ۳ ب / ب ۴ - ۱ (۳۹) لا - و لا + ب۲ / لا + و لا - ب۲ (۴۰) لا ۳ - ۲ ی / ۳ لا + ۵ ی

--- page 300 ---

(۴۱)  [۳-لا۲+۱] / [۳+لا۲-۱]
(۴۲)  [لا-۱] / [۱+لا۳-لا۲]
(۴۳)  [لا+۳-لا۵] / [لا+۳-لا۵]
(۴۴)  [۷+لا۲+لا۳] / [۳-لا+۱۵]
(۴۵)  [۲+لا۳] / [۳+لا۴]
(۴۶)  [۳لا-لا۲-و۲] / [۳لا+لا۲-و۲]
(۴۷)  ۳ (۴-۵اب+۷ب) / ۳ (۴+۵اب+۷ب)
(۴۸)  ۳ (۲لا+۵) / ۴ (۳لا+۴)
(۴۹)  ۲ (۳ا-ب) / ۳ا-ب
(۵۰)  ۲لا (۲لا-۳ی) / ۵ی (۳لا-۲ی)
مسئله (۵۷)
(۱)  ۲ د ف / ۳ ب د ف ، ۳ ب ج ف / ۴ ب د ف ، ۲ ب د ی / ۴ ب د ف
(۲)  ۲ ا ب ج / ۱۲ ا ب ج ، ۴ ب ی / ۱۲ ا ب ج ، ۳ ج ۴ / ۱۲ ا ب ج
(۳)  ۱۵ ا۲ وب / ۶۰ اای ، الاای ب ج / ۶۰ ا ای ، ۶ی ج و / ۶۰ اای
(۴)  و(ا-ب) / و(ا-ب) ، اب (ا-ب) / ا (ا-ب) ، و ج (ا-ب) / ا (ا-ب)
(۵)  ا (ا-۲ب) / ا (ا-۳ب) ، و ی (ا+۲ب) / ا (ا-۲ب)
(۶)  ۲ و / و اب ج ، ج -۱ / ا (ا-ب)

--- page 301 ---

۳۹۶

(۷) ۲ا (ا+ب) و -۳ب (ا+ب) و ۴ج (ا-ب)
ا۲-ب۲ ا۲-ب۲ ا۲-ب۲

(۸) ۲ب ج۲ ا (ا-ا۲) و ۳ج۲ ا۲ی (ا+ا۲) و ۴ا۲ب۲ ء
ا۲ب ج (ا۲-ا۴) ا۲ب۲ج (ا۲-ا۴) ا۲ب ج (ا-ا۲)

(۹) ا۲لا (۲لا+۳ی) و ب۲ی (۲لا-۳ی) و ج
لا ی (۴لا۲-۹ی۲) لای (۴لا۲-۹ی۲) لای (۴لا۲-۹ی۲)

(۱۰) ا۲ (لا۲-لا+۱) و ب۲ (لا+لا+۱)
لا۴+لا۲+۱ لا۴+لا۲+۱

(۱۱) ۳(لا+۳) و ۴ (لا+۱)
لا۴+۲لا۳-۵لا۲-۶ لا۴+۲لا۳-۵لا۲-۶

(۱۲) ا۲-۴ب۲ و ا ب ج
ا۴-۸ا ب۳ ا۴-۸ا ب۳

(۱۳) ا۲و۲+۳ا و ب+۹ب۲ و ب (ا-۳ب) و ج
ا۴-۲۷ب۴ ا۴-۲۷ب۴ ا۴-۲۷ب۴

(۱۴) ا (ا-ب+ج) و ب۲(ا-ب-ج)
ا ب (ا۲+ب۲ج۲-۲ ا ب) ا ب (ا۲+ب۲ج۲-۲ ا ب)

و ا ب ج
ا ب (ا۲+ب۲ج۲-۲ ا ب)

(۱۵) (ج-ا۲) و (ا-ب۲)
(ا-ب) (ب۲ج۲) (ج-ا) (ا-ب) (ب۲ج۲) (ج-ا)

و (ب-ج۲)
(ا-ب) (ب۲ج۲) (ج-ا)

--- page 302 ---

۲۹۷
مسئله (۵۸)
(۱) ۳ا + ب۲ / ا ب (۲) ۰ (۳) ۱
(۴) ۲ ا ب / ۳ ا - ب (۵) ا + ب / ۳ ( ا - ب) (۶) ۱۲ الا ی / ۴ لا - ۹ ی۴
(۷) ۲ا - ۳ ا ب - ب۳ / ( ا + ب) ( ا - ب) (۸) ۴ ا۲ / ا۲ - ب۲ (۹) ۱ / (ا - ب) (ب + ج)
(۱۰) ۳ / لا۲ - ۳ لا + ۳ (۱۱) ۲ / لا۴ - ۱ لا + ۱۶ (۱۲) ۶ لا ی / ۸ لا۲ + ۳ ی۲
(۱۳) ۲ ا ب / ا۲ - ب۲ (۱۴) ۰ (۱۵) ۸ لا ی۲ / لا - ی۳
(۱۶) لا۳ - ۱۶ لا۲ / لا - ۱۶ لا (۱۷) لا / ۶ (لا۲ - ۹) (۱۸) ۳ ب / ۲ ا۲ - ۱۶ ا ب۲
(۱۹) لا۳ / لا۲ - ۱۶ (۲۰) ۸ ا۳ / ا۲ - ب۲ (۲۱) ۸ ا لا۲ / ی۳ - لا۲ ا۸
(۲۲) ۹ لا لا (لا + ۱) / لا۳ + لا۲ + ۱ (۲۳) ۲ ا ب / (ا - ب)۲ (۲۴) ۶ لا۲ - ۱۲ / لا۲ - ۵ لا + ۴
(۲۵) لا۵ / لا۳ - ۵ لا۲ + ۶ (۲۶) ۸ لا۳ / لا۳ - ۱۰ لا۲ + ۱۹ لا (۲۷) ۲ لا / لا - ۱
(۲۸) لا ج / (لا - ۱) (لا - ب) (۲۹) لا - ۵ / لا۲ - ۶ لا + ۵ (۳۰) ۳ / لا۳ + ۱۳ لا۲ + ۱۳ لا
(۳۱) ۳ / لا + ۳ (۳۲) ۰ (۳۳) لا۳ / ۱ + لا۲ + لا۴
(۳۴) ۱۲ لا۳ / لا - ۶۴ (۳۵) ۹ لا ۶ / ۱۶ لا ۶ - ۲۵۶

--- page 303 ---

۲۹۸
مسئله (۵۹)
(۱) ۱/۳ (۲) ۶/۹ (۳) لا ی ۶ (۴) لای ۱۲/۹ ب ج
(۵) ۵ ن لا / ۸ م ی (۶) ۲+ لا / لا (۷) ۳ (۸) ا-ب / ا
(۹) لا - ۳ لا / ۳ (۱۰) لا - ۱ / لا - لا - ۶ (۱۱) ۱ (۱۲) ۱
(۱۳) و+ب / و (۱۴) لا / ۲ (۱۵) ۲+ لا / ۳+ لا (۱۶) و ( ا - ب ) / لا
(۱۷) لا / ۲ + لا / ۶ + ۱ (۱۸) ۸ و ب / ۱۲ و ۲ + ۳+ لا ۹ / ۸ و ب
(۱۹) ۲ (ب ج / ا د + ا د / ب ج) (۲۰) ۱ (۲۱) ا + ب ج / ا + ب م ج
(۲۲) ۱
مسئله (۶۰)
(۱) ۵ لا لا / ۶ ب ی (۲) ( ا + ب ) ۲ / ب (۳) لا - ۷ / لا - ۵ (۴) ا - ب
(۵) م - ن / م + ۳ ن (۶) (م - ن) ۲ (۷) ۱ (۸) ۱
(۹) لا + ی ۲ / ۳ لا ی (۱۰) لا - ۸ لا + ۱۳ / لا - ۱۰ لا + ۲۱ (۱۱) ۱ / ط + ق (۱۲) و - ب۲
(۱۳) لا ی (۱۴) ا ب (۱۵) ۲ لا (۱۶) ۱

--- page 304 ---

۲۹۹

(۱۷) لای / لا+ی (۱۸) آ+اب+ب۳ / اب(آ-ب۲) (۱۹) ۱ / آ-ب
(۲۰) آ-با (۲۱) ۱-ب
مسئله (۶۱)
(۱) ۱ دن+۱ی / ب دن+بای برج ف (۲) لا۲ (۳) آ+با
(۴) م (۵) ۴لای (۶) ۱ (۲۱) ۰
(۲۳) ۳ (۲۵) آ۲-آاب-آ۱ ب۲-ب۳ / آ۲+آ۱ ب+آوب۲+ب۳ (۲۶) ۱
(۲۷) آ۲-ب / آ+ب (۲۸) ۰ (۲۹) لا+۲ (۳۰) ۱
(۳۱) ۳(آ+ب) / آ-ب (۳۳) ۱ (۴۴) ۰ (۳۵) ۳
(۳۶) لا+ی+۶ (۳۷) آ+ب۲ج (۳۸) آ+ب ج (۳۹) ۰
(۴۲) ۰ (۴۳) ۱ (۴۴) ۲ (۴۵) ۱
(۴۶) ۰ (۴۷) ۱ / لای۶ (۴۸) ۱ / (لا-۱)(لا-ب)(لاج)
(۴۹) لا / (لا-۱)(لا-ب)(لاج) (۵۰) لا / (لا-۱)(لا-ب)(لاج)
(۵۱) لا ع لا+ک / (لا-۱)(لا-ب)(لاج) (۵۶) لا۲

--- page 305 ---

۳۰۰
هو
بعون الله تعالی
کتاب جبر و مقابله که برای تعلیم طلاب مدرسه
مبارکه حبیبیه سراجیه که از یمن توجهات کیهان درجات
اعلیحضرت سراج الملة و الدین پادشاه معظم مقدس خودمختار
دولت علیه خداداد افغان مؤسس و بنیاد گردید و در تالیف خانه مدرسه
مبارکه حبیبیه سراجیه صورت تالیف پذیرفته بود حسب الفرمان
شاهزاده جوان بخت معظم حضرت معین السلطنه صاحب افخم بتاریخ یوم
یکشنبه چهارم شهر شعبان المعظم سنه ۱۳۳۲ هجری نبوی صلی الله علیه
و آله و اصحابه و سلم بید اقل العباد حافظ [محمد یحیی؟] احراری
صورت تحریر پذیرفته در چاپخانه سنگی ماشین خانه
مبارکه بزیور طبع آراسته و پیراسته
گردید

--- page 306 ---

[BLANK PAGE]

--- page 307 ---

[BLANK PAGE]

--- page 308 ---

[BLANK PAGE]

--- page 309 ---

[BLANK PAGE]