۱۹۳

را تقاطع می نمایند حال چهار زاویۀ را که در حول نقطۀ ه
تشکیل شده با چهار زاویۀ که در حول نقطۀ ه تشکیل شده
اند - مقایسه می کنیم. می دانیم که دو خط ا و ا نسبت به نقطۀ
ل وسط ه ه متناظر اند و همچنین دو خط د و د نسبت
به آن نقطه متناظر می باشند.

سر ۱۶۸
پس چهار زاویۀ که در حول نقطۀ ه تشکیل شده با چهار


۱۹۴

زاویۂ که در حول نقطۂہ تشکیل گردیده با هم متناظر وبنا برین
با هم مساویند-
حال اگر نقطۂ دو زاویه را ملاحظه کنیم می دانیم ش۱۲۸ که هر
گاه اضلاع دو زاویه متوازی و در جهت مختلف باشند
باهم مساویند (ش۱۶۹)
و ازان چنین نتیجه می شود که هرگاه اضلاع دو زاویه
در یک جهت و با هم موازی باشند نیز با هم موازیند زیرا
که برای این کار فقط کافی است که اضلاع یکی از آنها را امتداد

ش۱۶۹

دهیم تا زاویۀ متقابل بر أسش تشکیل شود (ش۱۷۰) درین


۱۹۵
س۱۷۰
دو حالت دو زاویه دارای یک جهت اند بالاخره
س۱۷۱ نشان می دهد دو زاویه را که دو ضلع آنها
با هم موازی و در یک جهت اند ولی دو ضلع دیگر
موازی و در دو جهت مختلف اند و در این حالت
س۱۷۱


۱۹۶

آن دو زاویه مکمل یک دیگراند. و برای ثبوت آن کافی
است که اضلاع یکی از آنها را در طرف دیگر راس امتداد
دهیم از آنچه گفته شد قضیهٔ ذیل نتیجه می شود:
قضیه. دو زاویه که اضلاع آنها دو بدو باهم
موازی و هر دو در یک جهت یا هر دو در جهات
مختلف باشند با هم مساوی و دارای یک جهت اند
ولی دو زاویه که اضلاع آنها دو بدو باهم
موازی ولی دو ضلع آنها دارای یک جهت و
دو ضلع دیگر دارای دو جهت مختلف اند مکمل
یکدیگرند.
۲۳۵- میخواهیم زاویهٔ مساوی زاویهٔ مفروضی
رسم کنیم.
برای این کار کافی است نقطه فرض کرده بعد از آن
نقطه دو نیم خط بموازات اضلاع آن زاویه یا هر دو در یک
جهت یا هر دو در دو جهت مختلف رسم کنیم.


۱۹۷

این جواب مانند جواب ۲۲۳ خوب نیست زیرا که بمیل
خود نمیتوانیم یک ضلع آن را انتخاب کنیم بلکه باید آن را از
میان خطوط موازی با اضلاع زاویه انتخاب نمائیم -
۲۳۶- میخواهیم دوزاویه را که اضلاع شان
بر هم دو بدو عمود شد مقایسه کنیم-
فرض مے کنیم دوزاویه ا ه ح و ا´ ه´ ح دروست
است که ضلع ا´ ه´ بر ا ه و ح´ ه´ بر ح ه عمود است -
(سر ۱۷۲)-
زاویه ا´ ه´ ح´ را
بدور نقطه ه´ بقدر ۹۰
دوران مے دهیم اضلاع
آن با اضلاع زاویه
ا ه ح موازی خواهند
شد پس آن دو زاویه با هم یا مساوی اند یا مکمل یک
دیگر اند-
سر ۱۷۲
ا´
ه´
ح´
ا
ه
ح


۱۹۸
اگر مانند سر ۱۷۲ هر دو حاده اند یا هم مساویند و اگر مانند
سر ۱۷۳ هر دو منفرجه اند باز هم مساویند -
بالآخره اگر مانند سر ۱۷۴ یکی حاده و دیگری منفرجه است
مکمل یک دیگر اند پس می گوئیم -
سر ۱۷۳
سر ۱۷۴
قضیه - هرگاه اضلاع دو زاویه دو بد و برهم عمود


۱۹۹

باشند باهم مساوبید مگر آنکه یکی از انها حاده
و دیگر ای منفرجه باشد درین حالت مکمل یکدیگر اند

۲ مجموع زوایای کثیرالاضلاع محدّب

۲۳۷-مسئله میخواهیم مجموع زوایای يك
مثلث را معلوم کنید -
مثلث ا ج د مفروض است (ش ۱۷۵) میخواهیم سه
زاویهٔ آن را با هم جمع کنیم -

نقطهٔ ماننده فرض کرده از آن نقطه دو نیم خط ه م ود ن


۲۰۰
را بموازات (ا ح) و (اد) رسم می کنیم زاویه م ه ن مساوی
با زاویه ا است (ع۲۳۴) -
حال از نقطه ه خط ه ل را بموازات د ح رسم میکنیم
چون ه م موازی و در خلاف جهت ج ا و ه ل موازی و
در خلاف جهت ح د است پس زاویه ل ه م مساوی
زاویه ج است -
حال از نقطه ه نیم خط ه لَ را بموازات ح د رسم
می کنیم بدلیلی که در تساوی زاویه ح بال ه م گفتیم دو زاویه
لَ ه ن و د هم با یک دیگر مساویند -
از روی نتیجه اقلیدس (ع۱۹) دو نیم خط ه ل و ه لَ
چون هر دو موازی با د ح هستند در امتداد یکدیگرند -
پس میتوان گفت -
قضیه - مجموع سه زاویه مثلث مساوی
با دو قائمه است -
۲۳۸ - از قضیه فوق بعضی خواص مثلث را بسهولت


۲۰۱
بدست می آریم ازین قرار -
اولاً - ممکن نیست که مثلثی دارای دو زاویه منفرجه
یا قائمه باشد -
زیرا که آن وقت مجموع سه زاویه از دو قائمه
تجاوز خواهد کرد -
ثانیاً - اگر يك زاویۀ مثلثی قائمه باشد
مجموع دو زاویۀ دیگر نيز يك قائمه خواهد
بود و آن دو متمم یکدیگر اند -
ثالثاً - هرگاه مثلثی متساوی الاضلاع باشد
هر يك از زوایای آن ۶۰ درجه است -
این خاصیت ترسیم ع ۱۰۴ را اثبات می نماید -
رابعاً - هرگاه دو زاویه دردست باشد که مجموع
شان از دو قائمه کمتر باشد همواره میتوان مثلثی
رسم نمود که دارای آن دو زاویه باشد زاویۀ
سیم آن نیز معلوم است -


۲۰۲

فرض می کنیم دو زاویه آ و ج در دست باشد (س ۱۷۶)
کافی است که قطعه م
خطی مانند اج رسم
کرده از نقطه ا زاویه
مانند م ا ج مساوی ج
یا آا از نقطه ج
زاویه مانند ل ج ا
مساوی باج در یک طرف ا ج رسم نمائیم.
دو خط ج ل و ام در نقطه د یک دیگر را قطع میکنند
(مطلب اقلیدس) و مثلث ا ج د جواب مطلوب است
عده جواب های این مسئله لا یتناهی است زیرا که قطعه
خط ا ج را بمیل خود بهر طول که خواسته باشیم ممکن است
انتخاب کنیم ولی زوایای تمام مثلثات مرتباً با هم مساویند.
۲۳۹ - تعریف - مثلثی را که يك زاویه اش
قائمه باشد - مثلث قائمه الزاویه مینامند


۲۰۳
و ضلع مقابل بزاویه قائمه را وتر
میگویند -
س ۱۷۷ مثلث قائمه الزاویهٔ وج د را نشان میدهد
زاویه و قائمه و ضلع د ج وتر
آن است چونکه وتر نسبت بهر
یک از دو ضلع دیگر مائل است
پس از آن ها بزرگتر است
(عک ۱۷)
-ع م ۲- زاویه خارجی مثلث
مثلث و ج د مفروض است
(س۱۷۸) ضلع ج د را در آن طرف نقطه د امتداد
میدهیم -
زاویهٔ ا د ل مکمل زاویهٔ و د ج از مثلث است -
و چون مجموع دو زاویهٔ و و ج نیز مکمل همان زاویه است
پس زاویهٔ خارجی ا د ل مساوی است با مجموع دو زاویهٔ


۲۰۴

داخلی زوج پس
می گوئیم -
تعریف
زاویۀ خارجی
هر مثلث زاویۀ لـ
الیست که از يك شـ ۱۷۸
ضلع و امتداد يك ضلع دیگر در آن طرف راس
مشترك تشکیل شده باشد -
قضیه - هر زاویۀ خارجی مثلث مساویست
بمجموع دو زاویۀ داخلی که با آن مجاور نیستند -
۲۴۱ - تبصره - معلوم است که هر زاویه خارجی بزرگتر
است از هر یک از دو زاویه که با آن مجاور نیستند -
۲۴۲ - کثیر الاضلاع محدب - مثلث ا ب د
مفروض است (ش ۱۷۹) اگر خط غیر محدود ج د را رسم
کنیم تمام مثلث در یک طرف آن خط خواهد افتاد -


۲۰۵
این مسئله در هر سه ضلع مثلث ثابت است پس میگوئیم
که مثلث
کثیر الاضلاع
محدبی است
وبطور عمومی ل
میگوئیم - س ۱۷۹
کثیر الاضلاع محدب آن است که چون يك
ضلع آن را از هر دو طرف امتداد دهیم تمام کثیر
الاضلاع در يك طرف آن واقع شود -
بعبارة اخری اگر هر ضلع کثیر الاضلاع را امتداد دهیم
خطی که حاصل می شود در کثیر الاضلاع داخل نشود آن کثیر
الاضلاع محدب است -
مثلاً كثير الاضلاع ۱ ج د ل م (س ۱۸۰) محدب است
وكثير الاضلاع ۱ ج د ل محدب نیست (س ۱۸۱)
۲۴۳ - زاویه خارجی کثیر الاضلاع محدب - ضلع


۲۰۶

اجر را تا بجر امتداد می دهیم (ش۱۸)
اگر کثیرالاضلاع یا محدب
باشد نیم خط حـ جر در خارج
آن خواهد افتاد زاویه حـ حـ د
را زاویه خارجی بنامیم پس
زاویه خارجی هر
کثیرالاضلاع محدب
از امتداد يك ضلع با
ضلع مجاور تشکیل میشود -
معلوم است که وجود زاویه خارجی بسته بمحدب بودن
کثیر الاضلاع است چنانکه نمی توان گفت زاویه ددل
زاویه خارجی است (ش۱۹)
م ۲۴- مسئله- هرگاه محیط کثیرالاضلاع محدبی
را در يك جهت معینی بپیمائیم و چون بهر رأس
برسیم آن را در همان جهت امتداد دهیم يك عده


۳۰۷

زوایای خارجی
بدست می آید
میخواهیم مجموع
آن زوایا را معلوم
کنیم ـ
كثیر الاضلاع
ا ج د ل م ن مفروض
است (ش ۱۸۲) از طرف ا بسمت ج محیط آن را پیموده اضلاع


۲۰۸
را امتداد داده و زوایای خارجی را نمره ۱ و ۲ و ۳ و ۴ و ۵ و
۶ می گزاریم حال میخواهیم مجموع این زوایا را معلوم کنیم
همان قاعده که دریافتن مجموع زوایای مثلث بکار بردیم
درین جا هم بکار می بریم - یعنی نقطه ه ماننده فرض کرده از
آن نقطه دونیم خط ه ج و ه د را بموازات ج ب و ج د در یک
جهت رسم می کنیم زاویه حاصله مساوی با زاویه ۱ است برای
ساختن زاویه مساوی بازاویه ۲ نیم خط ه در دست است فقط از نقطه ه نیم
خطی بموازات د ل در همان جهت رسم مینمائیم و بهمین طریق هم خط های دیگر را
رسم میکنیم تا ه ج و ه د وه ل و ه م و ه ن و ه ا موازی با
ا ب و ج د و د ل و ل م و م ن و ن ا بدست می آیند
پس معلوم می شود که تمام زوایای خارجی کثیرالاضلاع
بدور نقطه ه جمع شده جای خالی باقی نمانده است از
روی شکل قضیه ذیل را بیان می کنیم -
قضیه - هرگاه اضلاع کثیرالاضلاعی را در یک
جهت امتداد دهیم مجموع زوایای خارجی حاصله


۲۰۹

مساوی است بچهار قائمه -
۲۴۵ - مسئله - میخواهیم مجموع زوایای
کثیرالاضلاعی را معلوم کنیم -
در ۱۸۲ زاویۀ x را ملاحظه می کنیم که با زاویۀ
y مکمل یک دیگرند و همچنین هر زاویۀ داخلی با زاویۀ
خارجیش مکمل همدیگر میباشند -
هرگاه تمام زوایای داخلی و خارجی را بر هم بیفزائیم
حاصل جمع بقدر دو برابر عدۀ اضلاع یا رئوس زاویه قائمه
خواهد شد و چون مجموع تمام زوایای خارجی مساوی چهار
قائمه است - پس مجموع زوایای داخلی هر کثیرالاضلاع
محدّب مساوی است با دو برابر عدۀ رئوس منهای
چهار قائمه -
فرض می کنیم ن عدۀ رئوس باشد مجموع زوایای
داخلی از این تساوی بدست می آید -
(ن × ۲) - ۴ = ۲ ن - ۴


۲۱۰
پس می گوئیم
قضیه - مجموع زوایای هر کثیرالاضلاع محدّب
مساوی است با آن قدر دو قائمه که عدد اضلاع
یا شد منهای دو
مثلاً مجموع زوایای مسبع چنین است
۲ x ۵ = ۱۰
در چهار ضلعی چنین ۴ = ۲ x ۲
و مثلث چنین ۲ = ۱ x ۲
و غیره
۴۲ - نتیجه - سابقاً در ۱۴۹ ثابت کردیم که هر گاه
در مثلثی دو ضلع مساوی باشند زوایای مقابل به آنها هم مساویند
و در ۱۵۲ عکس آن را به ثبوت رسانیدیم حال بسهولت
ممکن است مطالب ذیل را اثبات نمود -
هرگاه در مثلثی دو ضلع غیر مساوی باشد
دو زاویهٔ مقابل بآنها هم غیر مساویند.


۲۱۱
بالعکس هرگاه در مثلثی دو زاویه غیر مساوی
باشند دو ضلع مقابل بآن ها نیز غیر مساویند -
(اثبات این مسئله بعهدهٔ متعلمین است) -
۷ عم ۳ مسئله - در مثلثی دو ضلع غیر مساویند
میخواهیم معلوم کنیم کدام یک از دو زاویهٔ مقابل
بآنها بزرگتر است -
فرض میکنیم در
مثلث ۱ ج د ضلع
۱ د کوچک تر از
ضلع د ج باشد
(س۱۸۳) حال دو
زاویهٔ ح و و را با هم مقایسه می کنیم -
ضلع د ا را بدور نقطهٔ د بقدر زاویهٔ د دوران میدهیم
تا بر روی دح بیفتد چون دو نقطه د و ج مثلاً در نقطه ل
خواهد افتاد پس خط ا ل در درون مثلث است باین طریق


۲۱۲
مثلث متساوی الساقینی تشکیل شده که در آن دو زاویه
ل ا د و دل ا با هم مساویند زاویه ا ل د نسبت بمثلث ا ل ح
خارجی است پس از زاویه ح بزرگتر است (ع ۲۴)
بنا بر این مساوی آن یعنی زاویه ل ا د از ح بزرگتر
خواهد بود پس به طریق اولی زاویه ا از زاویه ح بزرگتر
است پس ۔
قضیه - هر گاه در مثلثی دو ضلع غیر مساوی
باشند زاویه مقابل بضلع اعظم بزرگتر است از
زاویه مقابل بضلع اصغر -
۲۸ قضیه عکس - هر گاه در مثلث ا ج د زاویه
ا بزرگتر از زاویه ح باشد ضلع مقابل بآن یعنی د ح
هم از د ا بزرگتر است زیرا که اگر کوچک تر باشد لازم
می آید زاویه او هم کوچک تر از زاویه ح باشد و این خلاف
فرض است پس می گوئیم ۔
قضیه عکس - هر گاه در مثلثی دو زاویه غیر


۲۱۳

مساوی باشند ضلع مقابل بزاويهٔ اعظم بزرگتر است
از ضلع مقابل بزاويهٔ اصغر -
مسائل
۲۸ - ثابت کنید که یک خط مستقیم نمي تواند در بیش از
دو نقطهٔ کثیر الاضلاع محدب را قطع کند -
۲۹ - ثابت کنید که وتر مقابل بقوس ۶۰ درجه مساوی با
شعاع دائره است -
۳۰ - قطر دائرۀ مانند ا ه ج مفروض است که در آن ه
مرکز دائره است از نقطهٔ ل وسط ه ج خط م ن را
بر قطر دائره عمودی می کشیم ثابت کنید که این وتر مقابل
بقوس ۱۲۰ درجه است و خاصیّت مثلث ا م ن را
معلوم نمایند -
۳۱ - از روی مسئله ۲۹ قاعدهٔ تقسیم محیط دائره را به ۶
قسمت مساوی تعیین کنید -


۲۱۴
۳۲- زوایای مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین
را معلوم کنید.
۳۳- در مثلث قائم الزاویه یک زاویه مساوی با ۳۰ درجه
است کوچک ترین ضلع مثلث را با وتر آن بسنجید و
این مسئله را با مسئله ۳۰ مقایسه کنید.
۳۴- رؤس مسدس محدبی در روی محیط دائره واقع شده
و آن را به ۶ قوس مساوی تقسیم کرده اند ( مسئله ۳۱)
حال اضلاع و زوایای آن را باهم مقایسه کنید و اندازه
زوایای آن را بدرجه حساب نمائید.
۳۵- دو ذو اربعة اضلاع محدب ا ج د ل معلومات ذیل
در دست است-
ا = ۰۰ ۱ : ج = ۶۰ : د = ۷۰
حال معلوم کنید زاویهٔ ل را و زوایائی را که از تقاطع
اضلاع مقابل ا د و ج ل و د ج و ا ل و زوایائی که از تقاطع
منصف زوایای ا و ج و د و ل تشکیل میشود -


۲۱۵
فصل نهم
ترسیم مثلثات - حالت های تساوی
مثلثات و موارد استعمال آن ها
۱- ترسیم مثلثات
۲۴۹- اجزاء مثلث - هر مثلث دارای سه زاویه
و سه ضلع است که آن ها را اجزاء مثلث می گویند.
حال ترسیم بعضی مثلثات را در صورتیکه بعضی از اجزاء
آن معلوم باشند بیان می کنیم-
همواره سه زاویه مثلث را به سه حروف ا و د و ج
تعیین می کنیم و اضلاع آن را بواسطه اعداد ۱ و ۲ و ۳


۲۱۶
نمائش میدهیم زاویه ۱ مقابل به ضلع ۱ و زاویه د مقابل
به ضلع ۲ و زاویه ج مقابل به ضلع (۳) است (ش۱۸۴)
۲۵۰- مسئله - مثلثی رسم کنید که يك ضلعش
معلوم باشد.
این مسئله دارای عده
لایتناهی جواب است زیرا که
که می توان هر نقطه در خارج خط مفروض فرض
کرده از آن نقطه به طرفین آن خط وصل کنیم.
۲۵۱- مسئله- مثلثی رسم کنید که يك زاویه اش
معلوم باشد
این مسئله نیز مانند مسئله سابقا دارای عده لایتناهی جواب
است زیرا که کافی است اضلاع زاویه مفروض را بواسطه
خطی قطع کنیم تا مثلث مطلوب حاصل شود.
۲۵۲- مسئله - مثلثی رسم کنید که دو زاویه اش


۲۱۷
معلوم باشد.
سابقاً این مسئله را در ع ۲۳۸ حل کردیم هرگاه مجموع دو زاویۀ مفروض از دو قائمه کمتر باشد این مسئله همواره ممکن است و دارای عده لایتناهی میباشد.
۲۵۳- مسئله - مثلثی رسم کنید که دو ضلعش معلوم باشد.
برای حل این مسئله زاویۀ غیر معلومی رسم کرده از اضلاع آن بقدر دو ضلع مفروض جدا کرده بهم وصل می کنیم این مسئله نیز دارای لایتناهی جواب است زیرا که زاویه مذکور را به میل خود می توانیم تغییر دهیم.
۲۵۴- مثلثی رسم کنید که يك ضلع و يك زاویه اش در دست باشد.
ضلع مفروضه ممکن است مجاور یا مقابل زاویه مفروضه باشد.
اولاً - ضلع مفروض مجاور به زاویۀ مفروضه است
هندسه مسطح


۲۱۸
مثلاً فرض می کنیم زاویه ۱ و ضلع ۲ در دست باشد.
(ش ۱۸۵) زاویه ل ۱ م را مساوی با زاویه ۱ رسم کرده از یک
ضلع آن مثلاً از ضلع ۱ ل طولی مساوی ضلع ۲ جدا کرده از نقطه
ج بیک نقطه نامعین ضلع ۱ م وصل می کنیم مثلث ۱ د ج
مثلث مطلوب است
این مسئله نیز عده لا
یتناهی جواب قبول
میکند -
ثانیاً - ضلع مفروض
مقابل به زاویه
مفروضه است -
فرض می کنیم زاویه ج و ضلع ۲ در دست باشد -
زاویه مانند د بقسمی اختیار می کنیم که د+م از دو قائمه
کوچک تر باشد پس سه زاویه مثلث بدست می آید بعدها
خواهیم که هر گاه از مثلثی سه زاویه و یک ضلع معلوم باشد فقط


۲۱۹

یک مثلث جواب آنست -
چون زاویه د را بمیل خود انتخاب کردیم پس این
مسئله نیز دارای عده لایتناهی جواب می باشد -
۲۵۵ - مسئله - مثلثی رسم کنید که سه زاویه اش
معلوم است -
این مسئله مانند مسئله ۲۵۲ است فقط باید مجموع سه
زاویه مساوی دو قائمه باشد واگر دو زاویه هم معلوم باشد
زاویه سیم را حساب می کنیم این مسئله هم دارای عده
لایتناهی جواب است -
۲۵۶ - خلاصه - هر گاه يك جزء یا دو جزء یا سه
زاویه مثلثی معلوم باشد عده لایتناهی مثلثات
میتوان یافت که شامل آنها باشند -
۲۵۷ - حال شروع می کنیم بحل مسائلی که در آنها سه
جزء مثلث معلوم باشد بشرط آنکه اقلاً یکی از آن سه جزء ضلع
باشد و معلوم می کنیم که بغیر از یک مسئله همیشه جواب مسئله


۲۲۰

یکی خواهد بود -
۲۵۷ - مسئله - مثلثی رسم کنید که يك ضلع و
و دو زاویه اش معلوم باشد.
چون دو زاویه مثلث معلوم است پس بسهولت زاویه
سیم نیز معلوم میشود پس فرض می کنیم که ضلع او دو زاویۀ
مجاورۀ اش یعنی د و ج معلوم باشند واضح است که باید
مجموع این دو زاویه از دو
قائمه کمتر باشد خطی مانند
د ج مساوی با ضلع مفروض
رسم و دس (۱۸۶) بعد زاویه
م ج د را مساوی با زاویه
ج و زاویه ل د ج را مساوی
با زاویه ج رسم می نمائیم ولی
این دو زاویه را در یک طرف
ضلع د ج رسم می کنیم


۲۲۱
دو خط ح م و د ل یک دیگر را در نقطه ا قطع میکنند (ش۱۸۸)
و مثلث ا د ج مثلث مطلوب است می توانیم دو زاویه
را در طرف دیگر خط ج د رسم کنیم آن وقت مثلث اَ د ج بدست
می آید که شکل تناظرۀ مثلث ا ج د است.
پس می بینیم که این مسئله فقط دارائی یک جواب است.
۲۵۸ - حالت اول تساوی دو مثلث - از روی
مسئله فوق معلوم می شود هرگاه مثلث دیگری مانند ع ص ف
داشته باشیم که در آن ضلع ۶ ص مساوی با ضلع دج و ع^
= د^ و ص^ = ج^ باشد و آن مثلث را برداشته
روی یکی از این دو مثلث مساوی قرار دهیم بر آن منطبق
گردیده با آن مساوی می شود.
پس می گوئیم -
قضیه - هر گاه دو زاویه و ضلع بینهما از مثلثی
مساوی باشد با دو زاویه و ضلع بینهما از مثلث دیگر
آن دو مثلث مساویند.


۲۲۲
۲۵۹- مسئله- اثر مثلثی دو ضلع ويك زاویه
معلوم است آن را رسم كنید -
زاویه مفروضه ممکن است بین دو ضلع یا مقابل بیکی
از آنها باشد این حالت اخیر را در آخر این فصل بیان
می کنیم -
پس فرض می کنیم ۲ و ۳ دو ضلع مفروض و ۱ زاویۀ
مفروضه باشد -
زاویۀ مانند ل ا م مساوی با زاویه ۱ رسم می کنیم (ش ۱۸۷)
ل
و از ضلع ا ل بقدر
ضلع ۲ و از ضلع
ا م نیز بقدر ضلع ۳ ع
جدا نموده دو نقطہ
د و ج را بهم وصل م ج
میکنیم مثلث ا د ج ۳
مثلث مطلوب است ۱ ۸۷ ش ۲


۲۳۳
ممکن است بقدر ضلع ۳ از ضلع ا ل و بقدر ضلع ۲ از ضلع ا م
جدا نمائیم آن وقت مثلث ا دَ جَ بدست می آید ولی نقاط
ج و جَ و د و دَ نسبت به منصف الزاویه ا ع متناظره اند و دو
مثلث متساوی الساقین ا ج جَ و ا د دَ) پس دو مثلث
ا د ج و ا دَ جَ نیز باهم متناظره و متساویند پس معلوم شد که
این مسئله بیش از یک جواب قبول نمیکند -
۲۶۰ - حالت دوّم تساوی دو مثلث - از حلّ مسئله
فوق معلوم شد که هرگاه دو مثلث داشته باشیم که در دو ضلع
و زاویه بینهما باهم مساوی باشند واگر آن دو مثلث را بر
روی هم قرار دهیم بطور ختم بر روی هم خواهند افتاد بنابران
این مساوی اند - پس میگوئیم -
قضیّه - هرگاه دو ضلع و زاویه بینهما اثر مثلثی
مساوی باشد با دو ضلع و زاویه بینهما از مثلث
دیگر ان دو مثلث باهم مساویند -
۲۶۱ - سه ضلع مثلثی معلوم است میخواهیم


۲۲۴

آن را رسم کنیم -

فرض می کنیم ۱ و ۲ و ۳ سه ضلع مثلث مطلوب
باشد اگر آنها غیر مساوی هستند فرض می کنیم ضلع از همه
بزرگتر و ضلع ۲ متوسط و ضلع ۳ از همه کوچک تر است اگر دو
ضلع با هم مساوی هستند ضلع ۱ بزرگترین ضلع یا یکی از دو
ضلع بزرگتر است (ش ۱۸۸) خطی مانند د ج مساوی با ضلع
۱ رسم کرده بعد نقطه ج
را مرکز قرار داده بشعاع
مساوی با ضلع ۲ دائرہ
رسم می کنیم آنگاه نقطه
د را مرکز قرار داده بشعاع ج
ضلع ۳ دائرۀ دیگری
رسم می کنیم اگر این دو
دائره یک دیگر را قطع کنند
محل تقاطع آنها دو نقطه متناظره ا و ا خواهد بود که نسبت بخط


۲۲۵
ج د متناظره اند پس دو مثلث ا ج د و اَ جَ دَ که بدست آمده با هم
مساویند و مسئله بیش از یک جواب ندارد.
۲۶۲ - حالت سیم تساوی دو مثلث - اگر و مسئله فوق
خط دیگری مانند جَ دَ رسم کرده مثلث را بر آن بنا میکنیم بعد این مثلث
را برداشته بر روی مثلث ا ج د قرار میدهیم بقسمی که ضلع
دَ جَ بر روی د ج واقع شود یقین داریم که رأس اَ نیز
بر روی ا واقع شده این دو مثلث مساوی می گردند پس
میگوئیم:-
قضیه - هر گاه سه ضلع مثلثی نظیر به نظیر مساوی
با سه ضلع مثلث دیگر باشد آن دو مثلث مساویند
۲۶۳ - تبصره - مسائلی که ار ۲۵۷ تا حال حل کردیم
بما نشان میدهد که اگر سه جزو مثلث که خوب انتخاب شده باشند در
دست داشته باشیم مثلث خوب بر ما معلوم می شود و سایر اجزاء
آن بدست می آید زیرا که می توانیم مثلث را رسم نمائیم.
پس واضح است که برای ترسیم مثلثی داشتن چهار جزء آن

کتابیبه هندسه مسطحه - مکبر گل کاتب


۲۲۶
در دست بی فائده است و اگر آنها را بطور نامعین انتخاب کنیم
ممکن است مسئله غیر ممکن شود زیرا که با سه جزء آن می توانیم مثلث
را رسم کنیم و ممکن است جزء چهارم مفروض جزئی از مثلث
مرسوم نباشد .
نیز واضح است که مفروض بودن سه زاویه برای ترسیم
مثلث کافی نیست زیرا که از معلوم بودن دوتای آنها سیمی
خودش بدست می آید پس لازم است که اقلاً یکی از سه جزء
مفروض ضلع باشد پس .
۲۶۴ خلاصه - سه جزء که همه زاویه نباشند مثلثی
را تعیین می کنند و ممکن نیست مثلثی رسم کرد که بیش
از سه جزء آن مفروض باشد وحتماً باید اقلاً
یکی از ان سه جزء ضلع باشد .
۲۶۵ - شرائط امکان مسئله ۲۶۱ - برای آنکه دو دائره
در نقطه ایک دیگر را قطع کنند ( س ۱۸۸ ) لازم و کافی است
که فاصله دو مرکز آنها بین مجموع و تفاضل دو شعاع


۲۲۷

باشد.
پس لازم است چنین داشته باشیم.
۱ < ۲ + ۳ > ۳ - ۲
(در اینجا مقصود از اعداد اضلاع مفروضه است)
۲ کوچک تر یا اکثراً مساوی با است (ابتدائی
۲۶۲) پس ۳ - ۲ حتماً کوچک تر از ۱ می باشد و فقط
۳ + ۲ > ۱ باقی می ماند.
پس معلوم شد که هرگاه مجموع دو ضلع اصغر بزرگتر باشد
از ضلع اعظم مسئله همواره ممکن است و مثلث بدون این شرط
وجود نخواهد داشت.
چون ضلع اعظم کوچک تر از مجموع دو ضلع اصغر است.
پس بطریق اولی ضلعی که بزرگترین ضلع مثلث نباشد از مجموع
دو ضلع دیگر کوچک تر خواهد بود.
پس چنین بیان می کنیم.
قضیه - هر ضلع مثلث کوچکتر است از مجموع


۲۲۸

دو ضلع دیگر .
۲۶۶ - بیان دیگر - می توان مطلب فوق را بطور دیگر
بیان نمود .
سابقاً چنین داشتیم ۱ > ۲ + ۳
چون از طرفین این نامساوی ضلع ۲ را تفریق کنیم
چنین می شود
۱ - ۲ > ۳
و چون از طرفین همان نامساوی ضلع ۳ را نقصان کنیم
چنین می شود
۱ - ۳ > ۲
و چون این دو نامساوی را بر نامساوی بدیهی
۲ - ۳ > ۱
ملحق کنیم قضیه ذیل نتیجه می شود .
قضیه - هر ضلع مثلث بزرگتر است از تفاضل
دو ضلع دیگر.


۲۲۹

۲۶۷ - نتائج قضیه ۲۶۵ - قطعه خط ا ج و نقطه
د را در خارج آن
فرض میکنیم (س ۱۸۹)
چنین خواهیم داشت
د ج + د ا > ج ا
حال نقطه دیگری مانند
م فرض می کنیم مثلث
ج د م بدست می آید سر ۱۸۹
که در آن
ج م + د > ج د
پس به طریق اولی
ج م + م د + د ا > ج ا
حال اگر نقطه دیگری مانند ل فرض کنیم از مثلث م ل ج
چنین نتیجه می شود
ج ل + ل م > م ج


۲۳۰
پس به طریق اولی
و ز + و م + ل م + ج > ا ج
و قس علی هذا
پس میگوئیم
قضیه - هر ضلع هر کثیر الاضلاع كوچك تر
است از مجموع تمام اضلاع دیگر آن .
۲۶۸ - این نتیجه با نتیجه عملی اینکه هر خط مستقیم اقصر
راهی است از نقطه بنقطه
دیگر موافق است .
اگر نخی را که غیر قابل
انبساط باشد برداشته
دو سر آنرا در دو نقطه
ا و ج قرار دهیم (س ۱۹۰) نخ ما بشکل یک قوسی می شود که ا ج
وتر آن است طول قوس همان طول قطعه نخ ما است .
در صورتی که آن را کاملاً از دو طرف کشیده باز کنیم واضح است


۲۳۱

که طول این نخ بزرگتر از طول ا ج می باشد.
پس
هر قوس منحنی از وتری که دو انتهایش س ابهم
وصل می کند بزرگتر است.
۲ - ترسیم مثلثات قائم الزاویه
۲۶۹ - ترسیماتی را که سابقاً در باب مثلث ذکر کردیم در
صورتی که یک زاویه آن هم قائمه باشد صدق می کند فقط در
مثلث قائم الزاویه هرگاه یکی از دو زاویه حاده معلوم باشد
دو زاویه دیگر مثلث بدست می آید حال بعضی مطالبی که ترسیم
مثلث قائم الزاویه را ساده و آسان میکند بیان می کنیم.
۲۷۰ - مسئله - از مثلث قائم الزاوية يك ضلع
ويك زاويه حاده معلوم است میخواهیم آن را
رسم كنيم .
سه زاویه مثلث معلوم است پس این مسئله مانند مسئله


۲۳۲

۲۵۸ است که سابقاً حل کردیم فقط یک جواب دارد.
اگر ضلع مفروض وتر باشد همان طور که در ۲۵۸ و ۲۶۰
و ۲۶۲ بیان کردیم به نتیجه ذیل می رسیم.
قضیه- حالت اول دو مثلث قائم الزاویه - هرگاه
دو مثلث قائم الزاویه در وتر و يك زاویه حاده
مساوی باشند آن دو مثلث مساویند.
۲۷۱ - مسئله - از مثلث قائم الزاویه دو ضلع معلوم
است آن را رسم کنید.
اگر دو ضلع
مفروض اضلاع
زاویه قائمه باشند.
آن را در ۲۵۹
حل کرده ایم
پس فرض می
کنیم که دو ضلع مفروض یکی وتر و دیگری یکی از دو ضلع مجاور بزادیه
۳
ال
د
م
ب
ج
ش ۱۹۱


۲۳۳

قائمه باشند (س ۱۹۰) زاویهٔ قائمهٔ مانند ل ا م رسم می کنیم (س ۱۹۰)
بعد از نقطهٔ ۱ در روی ل ۱ قطعه خط ۱ د را مساوی ضلع مفروض
۳ جدا می نمائیم بعد نقطه د را مرکز قرار داده بشعاعی برابر
وتر مفروض دائره رسم می کنیم تا خط ۱ م را در دو نقطه
ج و ج' قطع کند پس مثلث د ۱ ج و ۱ ج' جوابهای مسئله
اند ولی چون خود این دو مثلث نسبت به ۱ د متناظر اند مساویند
و مسئله پیش از یک جواب ندارد بشرط آنکه وتر بزرگتر از دو ضلع دیگر
باشد بدلائلی که سابقاً مذکور داشتم چنین بیان می کنیم .
قضیه - حالت دوم تساوی مثلثهای قائم الزاویه
هر گاه در دو مثلث قائم الزاويه وتر و يك ضلع
مساوی باشند آن دو مثلث مساویند .
۲۷۲ - در حقیقت در مسئله سابق مثلثی رسم کردیم که در آن
دو ضلع و زاویهٔ مقابل بیکی از آن ها معلوم بوده است و این حالت
مخصوصی از مسئله ۲۵۹۰ است که حالا بتفصیل بیان می کنیم .
فقط این نکته را متذکر می شویم که در صورتیکه زاویهٔ مفروضه

ہندسہ مسطحہ فارسی بحیرہ علی مکاتب


۲۳۴
قائمه باشد اگر ضلع ۳ کوچک تر از ضلع ۱ باشد مسئله یک جواب دارد
و اگر ضلع ۳ مساوی یا بزرگتر از ضلع ۱ باشد محال است.
۲۷۳- مثلثی رسم کنید که دو ضلع و زاویه
مقابل به یکی از آنها در دست باشد.
فرض میکنیم دو ضلع ۱ و ۳ و زاویه ۱ در دست است
(سر۱۹۱)
زاویه مانند ل ا م مساوی با زاویه مفروضه رسم کرده از یکی از
اضلاع آن مثلاً
از ضلع ۱ ل قطعه
خط ۱ درا مساوی
با ضلع ۳ جدا
کرده نقطه درا
مرکز قرار داده
بشعاعی مساوی با ضلع ۱ دائرہ رسم می کنیم تا خط ۱ م را در نقطه ج
قطع کند مثلث د ج ۱ جواب مسئله است در سر ۱۹۱ دایره


۲۳۵
مرسومه خط هم ل را در نقطه دیگری هم مانند ج' قطع کرده است
و مثلث د ج' ل نیز یک جواب مسئله است .
ع ۲۸ - بحث - حال تحقیق می کنیم در چه شرائطی
مسئله ممکن است و جواب های ممکنه را نیز پیدا می نمائیم.
برای یافتن رأس ج لازم است که دائره مرسومه خط
ل م را قطع کند و نیز محل تقاطع آنها در طرف ل م باشد نه
در امتداد آن زیرا که آن وقت زاویه مثلث مکمل زاویه مفروضه
خواهد گردید.
اگر مثلث قائمه باشد اهمیتی ندارد زیرا که آن وقت زاویه
مثلث با مکملش مساویند
در این حال اگر شعاع دائره از
فاصله نقطه د تا خط ل م بزرگتر
یا مساوی آن باشد ل م را
قطع خواهند کرد (ش۱۹۲)
پس باید چنین داشته باشیم - س د ضلعل اگر چه س د


۲۳۶

برو معلوم نیست ولی بدست آوردن آن را سابقاً
خوانده ایم و فوراً تعیین می کنیم نقطه ج و ج نسبت
بنقطه س متناظره اند برای تعیین آنکه آن دو نقطه
روی ام می باشند یا نه باید دو حالت را ملاحظه کنیم بنابر
آنکه نقطه س روی خود ام یا روی امتداد آن
باشد.
حالت اول - نقطه س روی خط ام است -
در این حالت زاویه ۱ حاده است (سر ۱۹۲ ) نقطه 7 که در روی
س م است همیشه برای ۱ مناسب است و جواب ممکنی بما
میدهد.
اگر س ج از س ۱ کوچک تر باشد نقطه ج هم بما جوابی
می دهد برای این کار کافی است که خط مائل د ج کوچک تر
باشد از مایل د ۱ ( ۱۶۷ یا بعبارة اخرى
ضلع ۳ > ضلع ۱
حال در جدول ذیل آنچه را گفتیم خلاصه می کنیم.


۲۳۷

جواب ندار س د > اضلع
دو جواب (ج و ج) ۲ ضلع > اضلع > س و زاویه حاده است
یک جواب (فقط ج) اضلع > ۲ ضلع
باید دانست که اگر ضلع ۱ مساوی دس باشد دائره در نقطه
س بر خط ا م مماس شده فقط مسئله یک جواب قبول میکند
و آن هم یک مثلث قائم الزاویه است.
و نیز اگر ضلع ۱ مساوی ضلع ۳ باشد نقطه ج روی ۱
افتاده مثلث ثانی از بین می رود پس می توانیم خط سیم جدول
فوق را چنین نویسیم. اضلع > ۳ ضلع
یک جواب
حالت دوم
نقطه س روی امتداد خط ا م است.
درین حالت سر ۱۹۳


۲۳۸
زاویۀ مفروضه منفرجه است (س ۱۹۳)
درین وقت نقطۀ جـ هرگز مناسب نیست و نقطه جـ نیز مناسب
نخواهد بود مگر آنکه س جـ بزرگتر از س ا باشد.
بعبارت اخری ا د < د جـ یا ۳ ضلع < ضلع ۱
از طرف دیگر اگر این شرط موجود باشد ضلع ۱ بزرگتر از دیس
می شود زیرا که ضلع ۲ بزرگتر ازان می باشد.
حال آنچه را که در حالت دوم گفتیم در جدول ذیل خلاصه
می کنیم.
یک جواب ضلع ۳ < ضلع ۱ } زاویه منفرجه است
جواب ندارد ضلع ۳ < ضلع ۱ }
باید دانست که اگر ضلع ۱ مساوی ضلع ۳ باشد نقطه جـ بر
روی نقطه ا افتاده مثلث از بین می رود پس می توانیم خط دوم
جدول فوق را چنین بنویسیم.
جواب ندارد ضلع ۲ > ضلع ۱
۲۷۵ - خلاصه - حال خلاصه آنچه که در نمرۀ سابق ذکر


۲۳۹

کردیم با آنچه در عدد ۲۷۲ بدست آوردیم در جدول ذیل مجدداً
می نویسیم .
(۱) جواب ندارد دس > ضلع ۱
(۲) یک جواب دس = ضلع ۱
(۳) دو جواب ضلع ۳ > ضلع ۱ > دس } زاویه ۱ حاده است
(۴) یک جواب ضلع ۱ =< ضلع ۳
(۵) یک جواب ضلع ۱ > ضلع ۲
(۶) جواب ندارد ضلع ۱ =< ضلع ۲ } زاویه ۱ قائمه است
(۷) یک جواب ضلع ۲ < ضلع ۱
(۸) جواب ندارد ضلع ۲ =< ضلع ۱ } زاویه ۱ منفرجه است
تمام جدول فوق را می توان چنین بیان کرد.
هرچه باشد مقدار زاویه ۱ اگر ضلع ۲ کوچک تر از ضلع ۱
باشد مسئله همواره ممکن است و یک جواب قبول می کند.
(خط ۴ و ۵ و ۷) .
در حالت خط سیم فقط مسئله دو جواب قبول می کند.


۲۴۰

بالاخر در صورتی که ضلع ۱ مساوی ضلع ۲ باشد اگر زاویهٔ
احاده است مسئله دارای یک جواب است.
یک جواب ضلع ۱ > ضلع ۲
دوجواب ضلع ۲ > ضلع ۱ > دس
یک جواب ضلع ۱=ضلع ۲-ضلع ۱= دس } زاویه ۱ حاده است
در سایر حالات جواب ندارد

مسائل

۳۵-قوسی با وترش مفروض است قوس را مضاعف می کنیم
معین کنید که وترش هم مضاعف می شود یانه؟ واز مضاعف
آن بزرگتر است یا کوچک تر.
۳۶-از مثلث متساوی الساقینی ضلع واقع بین زوایای
مساویه و ارتفاعی که بران ضلع فرود می آید معلوم است


۲۴۱
آن را رسم کنید .
۳۷ - محور تناظر هر قطعه خط ا ج سطح را بد و قسمت می کند یکی آنکه
شامل ا و دیگری آنکه شامل ج است حال مقایسه کنید
۳۸ فواصل هر نقطه ازین دو سطح را تا دو نقطه ا و ج .
در دو مثلث دو ضلع نظیر بنظیر با هم مساویند ولی دو زاویهٔ
حادثه بین آنها با هم مساوی نیستند دو ضلع سیم را با هم مقایسه
کنید .
۳۹- مثلث متساوی الاضلاع ا ج د مفروض است در روی
سه ضلع آن طول دل = ج ن = ا م را جدا می کنیم حال
شکل مثلث م ن ل را تحقیق کنید .
۴۰ خطی مانند م ل و دو نقطه مانند ا و د در دو طرف آن
مفروض است نقطه مانند ج روی آن پیدا کنید که
مجموع د ج + ج ا تا حد امکان کوچک تر باشد .
۴۱- مانند مسئله سابق فقط دو نقطه ا و ج در یک طرف خط
م ل هستند (بحالت سابق رجوع کنید)


۲۴۲

۴۲م - با معلومات مسئله ۴۰م نقطه ج را روی م ل چنان تعیین کنید
که تفاضل م و م د که امکان بزرگتر شود .
۴۳م - مانند مسئله سابق فقط دو نقطه ا و د در یک طرف خط
م ل مفروض اند .
فصل دهم
متوازی الاضلاعها
۱ متوازی الاضلاع بطور عموم

۲۷۶ - دو خط متوازی ا ج دن د را فرض کرده آنها را
و خط متوازی ان و ج د قطع می کنیم (سر۱۹۴) شکلی که حاصل
می شود یک چهار ضلعی است که اضلاعش دو بدو با هم


۲۴۳

موازیند پس.
متوازی الاضلاع
يك چهار ضلعی است
که اضلاع آن دو بدو
با هم موازیند.
از روی شکل ظاهر
است که متوازی الاضلاع کثیر الاضلاع محدب است.
قطر عبارت از خطی است که دو راس غیر مجاور را بهم وصل کند.
هر متوازی الاضلاع دارای دو قطر است یکی ا د و دیگری ن ج
رسم ۱۹۴
۲۷۷ - مسئله - زوایای یك متوازی الاضلاع
را با هم مقایسه کنید.
از روی رسم ۱۹۵ واضح است
که چون هر دو زاویه مقابل کثیر الاضلاع
با هم موازی دور خلاف جهت یکدیگر

رسم ۱۹۴
رسم ۱۹۵
ا
ج
د
ن
ا
ج
د
ن


۲۴۴
اندپس باهم مساویند بنابرین د^ = ا^ و ن^ = ج^
۲۷۸ - بالعکس هرگاه در ذوابعة اضلاع محدبی چنین
داشته باشیم : د^ = ا^ و ج^ = ن^ مجموع چهار زاویه آن
مساوی با چهار زاویه قائمه است (عـ ۲۴۵)
پس ن^ + ا^ که نصف آن ست مساوی با ۲ زاویه قائمه
است .
از روی قضیهٔ عـ ۱۸۶ بخوبی واضح می شود که ا ن و ج د باهم
موازیند .
بهمین دلیل ا ج و د ن نیز باهم موازی می باشند پس می توانیم
بگوئیم .
قضیه - برای آنکه يك چهار ضلعی متوازی الاضلاع
باشد لازم و کافی است که زوایای مقابل ان دو بدو
باهم مساوی باشند .
۲۷۹ مسئله - اضلاع يك متوازی الاضلاع را
باهم مقایسه کنید .


۲۳۵
متوازی الاضلاع ا ج د ن مفروض است
(سر ۱۹۵) قطر ا د را رسم میکنیم متوازی الاضلاع
بدل بدو مثلث می شود که با هم مساویند زیرا که در ضلع ا د مشترک
اند و دو زاویه ج ا د و ا د ن چون باهم متبادله داخله اند
مساویند و بهمین دلیل دو زاویه ن ا د و ج د ا نیز باهم مساوی
می باشند پس اضلاع مقابل بآنها نیز مساویند یعنی ا ن
= ج د و ا ج = د ن .
۲۸۰ - بالعکس فرض می کنیم که ذو اربعة اضلاع محدّبی
اضلاع مقابل دو بدو مساوی باشند قطر ا د را رسم می کنیم
(سر ۱۹۶) سه ضلع مثلث ا د ن و ا د ج باهم مساویند
پس این دو مثلث باهم مساوی میگردند از آنها لازم می آید که
دو زاویه ج د ا و د ا ن باهم مساوی باشند پس دو ضلع ا ج
و د ن با هم موازیند و بهمین دلیل دو ضلع دیگر ج د و ا ن


۲۴۶

نیز با هم موازی میباشند و شکل مفروض متوازی الاضلاع
است پس می توانیم بگوئیم.
قضیه - شرط لازم و کافی برای انکه يك چهار ضلعی
متوازی الاضلاع باشد انست که اضلاع مقابل ان دو
بدو با هم مساوی باشند.
۲۸۱ - مسئله - در ذو اربعة اضلاع محدبی دو ضلع
مقابل با هم مساوی و موازی اند تحقیق کنید چه
شکل است.
ذو اربعة الاع محدب
ا ج د ن مفروض است
که در آن دو ضلع ا ج و د ن
با هم موازی و مساویند (سر ۱۹۷) قطر ا د را رسم می کنیم
دو مثلث ا د ج و ا د ن با هم مساویند زیرا که دو ضلع ا ج
و د ن بنا بر فرض مساویند و در ضلع ا د نیز مشترکند
و دو زاویه ج^ ا د و ا^ د ن چون متبادله داخله اند مساویند
س ۱۹۷


۲۴۷
پس این دو مثلث مساوی میگردند و دو ضلع ج و د ان نیز با هم
مساوی می گردند و شکل مفروض متوازی الاضلاع است.
پس میتوانیم بگوائیم .
قضیه - هر گاه در ذو اربعة اضلاع محدبی
دو ضلع مقابل با هم مساوی و موازی باشند ان
شکل متوازی الاضلاع است .
۲۸۲ - مسئله - خواص نقطهٔ مشترکه دو قطر را
تحقیق کنید.
متوازی الاضلاع
ا ج د ن مفروض است
دو قطر ا د د ج ن یک
دیگر را در نقطه ه قطع میکنند
س ۱۹۸
(س ۱۹۸) از توازی اضلاع دو زاویه ا ن ج و ن ج د چون
متبادله داخله اند با هم مساویند و بهمین دلیل دو زاویه ا د ج
و د ا ن نیز با هم مساویند میباشند از طرف دیگر دو ضلع ا ن


۲۴۸

و دج نیز با هم مساویند پس دو مثلث ه ان و ه ج و با هم
مساوی می‌گردند و ازان چنین نتیجه می‌شود .

ده = ا ه و ن ه = جه

پس نقطۀ ه وسط هر دو قطر است و می توانیم بگوئیم :
قضیه - دو قط هر متوازی الاضلاع در وسط
یکدیگر را قطع می کنند .
۲۸۳ - مرکز متوازی الاضلاع - از روی قضیه فوق
می‌گوئیم چون دو نقطه ج و ن بیک فاصله اند از ه و نقطه ا
و د نیز از آن نقطه بیک فاصله اند پس نقطۀ ه مرکز تناظر
متوازی الاضلاع است و می توانیم بگوئیم .
قضیه - هر متوازی الاضلاع يك مركز تناظر قبول
میکند و آن نقطۀ مشترکۀ دو قطر است .
۲۸۴ - مسئله - عکس قضیۀ فوق را تحقیق کنید .
اگر ذواربعۃ اضلاعی دارای یک مرکز تناظره باشد برائے
ترسیم آن فقط دو راس ا و ج و مرکز تناظره کافی است زیرا که


۲۲۹

دور اس دیگر آن
نسبت به نقطۀ
ه متناظره اند.
(س ۱۹۹) حال اگر
ذو اربعة اضلاع
س ۱۹۹

محدّب ا ج و ن را بدقت امتحان کنیم می بینیم که دو خط
ا ج و و ن نسبت بنقطۀ ه متناظره اند- پس با هم مساوی و
موازییند پس شکل مفروض متوازی الاضلاع است و می توانیم
بگوئیم.

قضیّه - هر ذو اربعة اضلاع محدّبی که دارای
یک مرکز تناظر باشد متوازی الاضلاع است.
۲۸۵- تعیین متوازی الاضلاع- از آنچه سابقاً
گفتیم معلوم میشود که هرگاه از متوازی الاضلاع دو ضلع و زاویۀ
بین آنها در دست باشد می توان آن متوازی الاضلاع را ترسیم
نمود.


۲۵۰
باید ملتفت بود که اگر نقطه متناظره راس ج از مثلث ا د ج را نسبت
به نقطه ء وسط قاعده اش پیدا کنیم (س۹۹) شکل متوازی الاضلاع
ا ج د ن بدست می آید این ترسیم در مسائل مربوط به میانه ہائے
مثلث بسیار بکار می رود۔

متوازی الاضلاعهای مخصوصه
۲۸۶ مستطیل - هرگاه یکی از زوایای متوازی الاضلاعی
قائمه بشود انزاویه مقابل آن هم قائمه می شود اما دو زاویه دیگر که آنها
نیز باهم مساویند و مجموع شان دو قائمه است هر دو قائمه می گردند
پس چهار زاویه متوازی الاضلاع قائمه است.
تعریف - مربع مستطیل متوازی الاضلاعی است
که تمام زوایای ان قائمه است .
۲۸۷ - تناظر مستطیل - مربع مستطیل ا ج د ن مفروض
است (س۱۰۰)
دو نقطه‌ك و ل وسط دو ضلع مقابل ا ج و ن د را


۲۵۱

ملاحظه می کنیم و قطعه ا س ن
خط ا ك و ن ل باهم ك ل
مساویند زیرا که هر کدام
نصف یکی از دو ضلع ج د
مساوی مستطیل اند س و م

پس شکل ا ك ل ن متوازی الاضلاع است (زیرا که دو
ضلع آن با هم موازی و مساویند) که دران زاویه ا قائمه است
پس تمام زوایای آن قائمه است و ن ل بر ن د و ا ج
عمود است.
پس نقاط ا و ج و د و ن نسبت به ك ل متناظراند
و این خط اخیر محور تناظر مستطیل می باشد.
حال فرض میکنیم م وس وسط دو ضلع دیگر ا ن و
ج د باشند به همین طریق ثابت می کنیم که خط م س محور
تناظر دیگر مستطیل می باشد.
این دو محور بر هم عمودند زیر که هر کدام بر دو ضلع مقابل مستطیل


۲۵۲

عمودند و هرکدام نیز با دو ضلع مقابل موازیند.
فرض می کنیم ه محل تقاطع دو محور تناظر باشد از ان نقطه بنقاط
ا و ج و د و ن وصل می کنیم منصف زاویه ج ه ک خط
ه ك است (۱۳۹) و همچنین منصف زاویه ا ه ك خط
ه س می باشد چون این دو منصف الزاویه برهم عمودند-
پس مجموع دو زاویه ج ه ك و ا ه ن دو قائمه است و چون
این دو زاویه مجاوره اند پس اضلاع خارجی آنها بر استقامت
یک خطند و نقطه ه بر روی قطر ج ن است و بهمین طریق
ثابت می کنیم که نقطه ه بر روی قطر ا د نیز می باشد پس
این نقطه مرکز تناظر مستطیل است (۲۸۳) و می توانیم
بگوئیم :
قضیه - هر مستطیل دارای دو محور تناظر است
که بر اضلاع آن عمود میباشند و هر دو از مرکز
آن میگذرند.
۲۸۸ - بسهولت بدو شکل می توان ثابت نمود که


۲۵۳
هرگاه ذواربعة اضلاعی دو محور تناظر عمود برهم
قبول کند بقسمیکه هيچيك از رؤس روی این
محورها نباشد آن شکل مستطیل است .
۲۸۹ - تساوی اقطار - از قضیهٔ ۲۸۷ چنین
نتیجه می شود که دو قطر مربع مستطیل باهم مساویند زیراکه نسبت
به هریک از دو محور متناظره اند .
حال دو خط غیر معین رسم می کنیم که یک دیگر را در نقطهٔ ه قطع کنند (سر ۳۰۱)
بعد چهار فاصله مساوی ه ج و ه ن و ه د و ه ا را جدا می کنیم - شکل ا ج د ن متوازی الاضلاع است (۲۸۴) .
دو مثلث ا د ن و ج د ن را ملاحظه می کنیم در این دو مثلث ضلع ن د مشترک است و دو ضلع ج ن و ا د بنابر فرض نیز مساویند و دو ضلع ا ن و ج ن نیز چون اضلاع


٢٥٤
مقابل متوازی الاضلاع اند مساوی اند پس این دو مثلث
مساوی هستند و دو زاویۀ ا ن د و ج د ن که مقابل باقطار
اند مساوی می گردند و چون این دو زاویه مکمل یکدیگر ند پس
هر دو قائمه اند و متوازی الاضلاع مستطیل است و میتوانیم
بگوئیم .
قضیه - برای انکه متوازی الاضلاعی مستطیل
باشد لازم و کافی است که قطرین ان باهم مساوی
باشند.
٢٩٠ - لوزی - لوزی یا معین متوازی الاضلاعی
است که تمام اضلاع آن با هم مساویند.
فرض میکنیم ا ج د ن
یک لوزی باشد (ش ٢٠٣)
می بینیم که دو نقطه
ج د ن نسبت بر دو
نقطه ا و د بیک فاصله


۲۵۵
اند پس ج ن بر نقطه ه وسط ا د عمود است ( ع۱۶۹ )
و این نقطه ه وسط ج ن نیز می باشد (ع۲۸۲) پس دو نقطه
ا و د نسبت به ج ن متناظر اند و همچنین ج و ن نسبت
به ا متناظر می باشند و می توانیم بگوئیم.
قضیه ـ هر لوزی دو محور تناظر عمود بر هم
قبول می کند که دو قطر ان می باشند.
۲۹۱ - مسئله - از متوازی الاضلاعی دو محور
تناظر عمود بر یکدیگر مفروض است و رؤس ان
در روی محورها می باشد ان را رسم کنید.
دو محور تناظرس ه س و ل ه ل مفروض است.
(س۲۳۴) رأسی مانند ا در روی ه س نشان می کنیم پس
مقابل آن حتماً نقطه د خواهد بود بقسمی که
ده = اه
بعد رأس دیگری مانند ج روی ه ل اختیار مینمائیم
رأس مقابل بآن حتماً نقطه ن خواهد بود بقسمی که


۲۵۶

ن ه = ح ه
حال نقاط ا و ن و د و ح را بهم وصل میکنیم تا متوازی الاضلاع مطلوب حاصل شود که مرکز آن نقطه ه می باشد و بواسطه تناظر اضلاع آن با هم مساویند و شکل مرسوم لوزی است و می توانیم بگوئیم.
قضیه - هرگاه
متوازی الاضلاعی دو محور تناظر عمود برهم قبول کند که دو قطر ان هم باشد ان شکل لوزی است.
۲۹۲ - مربع - مربع متوازی الاضلاعی است که زوایای ان قائمه و اضلاعش با هم مساویند.

مربع مستطیل


۲۵۷
پس در مربع خواص مستطیل و لوزی هر دو جمع شده است (ش ۲۰۴) بنا براین مربع دارای چهار محور تناظر است دو قطر آن و دو خطی که اوساط اضلاع مقابل را بهم وصل می کند این چهار خط در نقطه . مرکز مربع یک دگر را قطع کرده هشت زاویه مساوی که هر کدام ۴۵ است تشکیل میدهند.
ش ۲۰۴
۳۹۳ - ذوزنقه - ذوزنقه ذو اربعه اضلاع محدبی است که فقط دو ضلع ان موازیند.
مثلاً ا ج د ن یک ذوزنقه است (ش ۲۰۵) که دران دو ضلع ا ج د ن دباهم موازیند و این دو ضلع موازی را قاعدتین ذوزنقه میگوئیم.
ش ۲۰۵
قاعدتین ذو زنقه با هم غیر مساویند و الا متوازی الاضلاع می شود.


۲۵۸

می شود ذو ذنقه را متساوی الساقین می گویند در صورتی که
دو ضلع غیر موازی آن
با هم مساوی باشند
(ش۲۰۶) ذوذنقه را
قائم الزاویه میخوانند
در صورتیکه دو زاویه آن
قائمه باشد (ش۲۰۷) -

مسائل

۴۴ - متوازی الاضلاعی رسم کنید که ازان اضلاع و یکی از دو قطر
در دست است -
۴۵ - از متوازی الاضلاعی دو قطر و یکی از اضلاع معلوم است
آن را رسم کنید -


۲۵۹
۴۶ - چهار ضلعی را که از تقاطع چهار منصف الزاویه متوازی الاضلاع
حاصل می شود تحقیق کنید -
۴۷ - وسط دو ضلع مقابل متوازی الاضلاعی را بهم وصل می
کنیم چه شکلی حاصل می شود -
۴۸ - در چه شرائطی رؤس متوازی الاضلاعی روی محیط دائره
واقع می شوند ؟
۴۹ - در چه شرایطی منصف زوایای متوازی الاضلاع با اقطار
آن بر روی هم می افتند -
۵۰ - در چه شرائطی رؤس ذوزنقه روی محیط دائره واقع
می گردند -
۵۱ - هرگاه از یکی رؤس ذوزنقه خطی بموازات ضلعی که قاعده
نباشد رسم کنیم مثلثی با متوازی الاضلاعی حاصل می شود
ازین رو ذوزنقه رسم کنید که چهار ضلعش در دست است.
۵۲ - مربع ا ج دن مفروض است در روی اضلاع آن چهار
قطعه خط ا ه = ل ح = د م = ن ل را جدا کرده بهم


۲۶۰

وصل می کنیم حال شکل حادثه را تحقیق کنید -

فصل یازدهم

اندازه قسی - اندازه زوایا - ذواربعة الاضلاع های

محاطی

۲۹۴ - اجزا و اضعاف قسی - دائره ماننده و قوسی مانند
ا ب روی آن فرض می کنیم (س۲۰۸) واضح است که قوس
ا ج مجموع دو قوس ا ب و ب ج است ازین مطلب چنین
معلوم می شود که برای جمع کردن دو یا چندین قوس یک
دائره کافی است که آنها را نوک بنوک پهلوی یک دیگر
قرار دهیم و همچنین قوس ب ج تفاضل دو قوس ا ج و ا ب


۲۹۱

می باشد .
اگر چهار قوس مساوی اَ دَ
و دَ جَ و جَ طَ و طَ لَ را
نوک بنوک پهلوی هم قرار
دهیم می گوئیم که قوس اَ لَ
چهار برابر قوس اَ دَ یا قوس
اَ دَ رُبع قوس اَلَ می باشد.

از آنچه گفتیم اضعاف واجزاء قوس معلوم شد فقط باید
دانست که مطالب فوق فقط در قوس های یک دائره
صدق می کند .
۲۹۵ - اندازهٔ قوسها - برای اندازه گرفتن قسی آنها را
باقوس دیگری که برای واحد انتخاب کرده اند مقایسه می
کنند .
قوسی از هر دائره که برای واحد انتخاب شده باشد فقط
برای اندازه قوس های بکار می رود که از همان دائره باشند -


۲۶۲
قوس ها را مانند خط صحیح اندازه می گیرند یعنی مثلاً می گویند که
اندازهٔ فلان قوس ۷ است در صورتیکه شامل ۷ واحد قوس
باشد-
و همچنین اگر ثلث واحد قوس ۱۱ مرتبه در قوس اندازه
گرفتنی نگنجد اندازهٔ آن قوس چنین می شود ۱۱/۳ وغیره -
پس اندازه گرفتن هر قوس عبارت است از یافتن عددی
که تعیین می کند چند مرتبه واحد قوس یا اجزاء آن در ان
قوس می گنجد -
۲۶۶ - واحد قوس - سابقاً دیدیم (عـ۸۹) که زوایای
مرکزی مساوی از دائره قوس های مساوی جدا می کنند و
بالعكس قوس های مساوی هر دائره مقابل با زوایای مرکزی
مساوی است و نیز سابقاً چنین تعریف کردیم قوس یک درجه
قوسی است که مقابل بزادیه مرکزی یک درجه باشد و این قوس
معین نیست مگر آنکه شعاع دائره معلوم باشد (عـ۹۳) -
من بعد در تمام مطالبی که ذکر می کنیم فرض می کنیم که قوسها


۲۶۳
متعلق بیک دائره اند بنابرین می توانیم بگوئیم قوس یک درجه یا یک دقیقه یا یک ثانیه مقصود بآن آنست که قسمی مزبوره بواسطهٔ زاویهٔ مرکزی یک درجه و یک دقیقه و یک ثانیه از دائره جدا شده اند .
ازین قراری که گذاشتیم یک زاویه مرکزی که ً۳ َ۱۲ ْ۷۵ باشد قوسی از دائره جدا می کند مساوی با ً۳ َ۱۲ ْ۷۵ پس می توانیم چنین بیان کنیم -
چون واحد قوس را قوسی انتخاب کردیم که بواسطه زاویه مرکزی یک درجه جدا شده باشد پس تمام زوایای مرکزی را باهمان اعدادی اندازه می گیریم که قوس های مقابل بانها و اندازه گرفته ایم .
باین طریق بجای اندازه گرفتن قوس می توان زاویه مرکزی مقابل آنرا اندازه گرفت -
۲۹۷ - آنچه را گفتیم راجع بزوایائی بود که رأس شان روی


۲۶۴
مرکز دایره و اضلاع شان اشعۀ دائره بود حال بعضی زوایای
دیگر را که راس شان روی مرکز دائره نیست و اضلاع شان
دائره را قطع می کنند تحصیل می کنیم -
۲۹۸- تعاریف - ممکن است راس زاویه روی محیط
دائره باشد آن وقت اضلاعش اوتار دائره می گردند این نوع

ش ۲۱۱
ش ۲۲۹
ش ۲۱۲


۲۶۵

زاویه را زاویۀ مُحاطی می‌گویند مثلاً در س۲۰۹ زاویۀ ا حَ د
یک زاویه محاطی است ـ
ممکن است راس زاویه درون دائره باشند آن وقت اضلاع
آن دو قطعه از اوتار دائره هستند چنین زاویه زاویۀ داخلی
می‌گویند ـ
مثلاً در س۲۱۰ زاویه ا حَ د یک زاویه داخلی است بالآخره
ممکن است که راس زاویه در خارج دائره باشد آن وقت اضلاع
آن اوتاری هستند که امتداد داده شده اند چنین زاویه را
زاویه خارجی میخوانند ـ
مثلاً در س۲۱۱ زاویه ا حَ د یک زاویۀ خارجی است ـ
۲۹۹ ـ زوایای محاطی ـ اگر ا ح د زاویه باشد محاطی
(س۲۱۲) از زاویه قوسی جدا می کند که مقابل بایک زاویه مرکزی
ا د ه است ـ
بدواً ملاحظه می کنیم که قوس ا د ممکن است از نیم دائره
بزرگتر باشد آن وقت زاویه مرکزی ا ه د بزرگ تر از ۱۸۰
قضیه مستط...


۲۶۶

درجه است هرگاه زاویه محاطی
در دست باشد زاویه مرکزی مقابل
آنرا بسهولت میتوان بدست
آورده چون اندازه گرفتن زاویه
مرکزی بسیار آسان است بنابرین
اندازه زاویه محاطی را نیز بواسطه آن معلوم می کنیم-
۳۰۰- مسئله- زاویه محاطی ۱ را با زاویه مرکزی
مقابلش مقایسه کنید-
ابتدا فرض می کنیم یکی از اضلاع زاویه قطر دائره باشد (ش ۲۱۳)
از نقطه ۱ به ه وصل می کنیم مثلث ۱ ح ه متساوی الساقین
است زیرا که دو ضلع ه ح و ه ۱ دو شعاع یک دائره اند و زاویه
مرکزی ۱ ه د زاویه خارجی مثلث
است و مساوی است با مجموع
دو زاویه داخلی غیر مجاور مثلث یعنی
زاویه ۱ و ح و چون این دو زاویه


۲۶۶
خود شان با هم مساویند پس زاویه ج مساوی نصف زاویه مرکزی
مقابلش یعنی ه می باشد -
۳۰۱ - حال فرض می کنیم که زاویه محاطی مفروض در دو طرف
قطری که از رأس زاویه گذشته است واقع شده باشد.
(ش۲۱۴) از نقطه ج به مرکز ه
وصل کرده امتداد میدهیم تا
محیط دائره را در نقطه ح قطع
کند زاویه ا ح د مساوی با
مجموع دو زاویه و ح ج و ج ح د
و چون این دو مرتباً با نصف
دو زاویه مرکزی ا ه ج و ح ه د مساوی می باشند پس زاویه
ا ح د که مجموع آنها است مساوی با نصف زاویه مرکزی ا ه د
می باشد -
اگر دو ضلع زاویه در یک طرف قطری باشند که از رأس
زاویه گذشته است (ش۲۱۵) مانند مطلب سابق اثبات می کنیم


۲۶۸

فقط در اینجا زاویه مفروضه
مساوی باتفاضل دو زاویه
است پس از آنچه گفتیم چنین
نتیجه می گیریم -
ش ۲۱۵

قضیه - هر زاویه محاطی نصف زاویه مرکزی
مقابل آن است .
۳۰۲ - حالت مخصوص - هر گاه زاویه محاطی قائمه باشد.
زاویه مرکزی مقابل آن ۱۸۰ درجه است یعنی وتر ( وقطر دایره
می باشد (ش ۲۱۶ ) ومثلث ( ج د قائم الزاویه است و می توانیم
اثبات کنیم که -

اولاً - مرکز دائره محیط
بر مثلث قائم الزاویهٔ وسط
وتر میباشد .

ثانیاً - در مثلث قائم
الزاویه میانه که بوسط وتر
ش ۲۱۶


۲۶۹
وصل میشود مساوی با نصف وتر است.
اثبات عکس این مطلب اخیر را بعهده متعلمین واگذار میکنیم
۳۰۳ - از قضیه ۳۰۱ معلوم می شود که هر گاه چندین زاویه
یک قوس از دائره جدا کنند یا یک دیگر مساویند مثلاً دو زاویهٔ
ا ج د و ا ل د با هم مساویند زیرا که هر دو یک قوس ا د را
از دائره جدا می کنند (س۲۱۷)
بنا بر این هر گاه نقطه ج یعنی
راس زاویه تغییر کند مقدار زاویهٔ
تغییر نمی کند بشرط آنکه دو نقطه
ا و د ثابت باشند.
۳۰۴ - زاویهٔ محاطی مخصوصه
زاویهٔ ا ج د را ملاحظه میکنیم (س۲۱۸) که یک ضلع آن ا ج وتر دائره و
ضلع دیگر ج د مماس بر دائره است زاویه ا ج د محاطی مخصوصی است که
قوس مقابلش ا ج است که در درون زاویه واقع شده است اگر ضلع ا ج
قطر دائره باشد زاویه ا ج د قائمه خواهد بود (س۲۱۹) و در اینجا هم معلوم


۲۷۰
است که زاویه مرکزی ره ج معادل ۱۸۰ درجه است.
حال به س ۲۱۸ برگردیده مانند علا ۳۰ اثبات میکنیم که زاویه و ج ر نصف زاویه مرکزی ر د ج میباشد.
۳۰۵ - زوایای داخلی.
دو قوس دائره مانند و ح و رَ جَ را ملاحظه می‌کنیم که بر روی هم واقع نشده اند (س ۲۲۰). اگر از و به رَ و از ج به جَ وصل کنیم یک زاویه داخلی تشکیل میدهند که با زاویه مقابلش دو قوس و ح و رَ جَ را از دائره جدا می نمایند. اگر این دو قوس در دست باشند رسم کردن و اندازه گرفتن زاویه ل بسیار آسان است.

س ۲۱۸
س ۲۱۹


۲۷۱

٣۰٦- مسئله - يك زاویه داخلی را با زوایای
مرکزی و محاطی که همان قوس را از دائره جدا
مینمایند مقایسه کنید.
فرض می کنیم ل یک زاویه
داخلی باشد (ش ٢٢٠) که دو قوس
و ح و اَ جَ را از دائره جدا
می نماید برای اندازه گرفتن آن
زاویه کافی است که زاویه محاطی
مساویش را اندازه بگیریم از نقطه وَ وتر وَ حَ را بموازات جَ حَ
رسم می کنیم زاویه اَ مساوی با زاویه ل است حال میگو یم اندازه
زاویه وَ نصف قوس و جَ است ولی این قوس مجموع دو قوس
وَ حَ و جَ حَ می باشد (٢٩٤) پس می توانیم بگوئیم -
قضیه - هر زاویه داخلی مساوی است با نصف
مجموع دو زاویه مرکزی که همان قوسها را از دائره
جدا میکند.


۲۷۲
۳۰۷ - هرگاه دو قوس ا ج و اَ جَ بدرجه و دقیقه و ثانیه
اندازه گرفته شده باشند
اندازه زاویهٔ داخلی ل
نصف مجموع آنها است.
۳۰۸- زوایای
خارجی- فرض میکنیم ل
یک زاویه خارجی باشد
(ش۲۲۱) از نقطه خط ا حَ
را بموازات ح حَ رسم میکنیم زاویه محاطی تشکیل می شود
که مساوی با زاویه ل است اندازه زاویهٔ نصف اندازه زاویهٔ
مرکزی است که مقابل به قوس ا جَ باشد ولی این قوس مساوی
است با تفاضل دو قوس ا ج و اَ جَ است زیرا که ا ح =
ح جَ پس می توانیم بگوئیم-
قضیه- هر زاویهٔ خارجی مساوی است با نصف
تفاضل دو زاویهٔ مرکزی که همان قوس های اثر دائره


۲۷۳
جدا میکنند .
۳۰۸ - تبصره - هرگاه دو قوس اندازه ۱ م و ۱ ج به درجه
و دقیقه و ثانیه معلوم باشد اندازه زاویه ل نصف تفاضل آنها
است و این مسئله همواره ثابت است ولوای که یکی از اضلاع
مماس بر دائره باشد -
۳۰۹ - تبصره -
هرگاه قوس ۱ د را
(ش۲۲۳) با سه زاویه
ل و ج وم ملاحظه کنیم
که یکی خارجی و دیگری
داخلی و سیمی محاطی با شد
و هر سه یک قوس ۱ د را
از دائره جدا کرده و در یک طرف قوس ۱ د واقع شده باشند
واضح است که زاویه ج از م بزرگتر و زاویه م از ل بزرگ تر
می باشد زیرا که زاویه م نصف زاویه مرکزی ۱ه د است و


۲۷۴

زاویه ج از این نصف بزرگتر و زاویه ل ازین نصف کوچک تر
است -

قوس مقابل بزاویه مفروضه

۳۱۰ - مکان هندسی - مکان هندسی عبارت است
از تمام نقاطی از سطح که دارای يك خاصیت معیّن
باشند .
مثلاً سابقاً
(رع۱۹) چنین بیان
کردیم محور تناظر
هر قطعه خط
مکان هندسی
نقاطی است که
از دو طرف آن
بيك فاصله باشند (رع۲۲۳)

ش ۲۲۳
ا
ب
ج
د


۲۷۵
مطلب فوق بما چنین می فهماند که :-
اولا - هر نقطه که از طرفین خط مفروض بیک فاصله باشند
روی محور تناظر واقعند -
ثانیاً - هر نقطه از این محور تناظر بیک فاصله است از
طرفین خط مفروض .
ونیز
هر دائره مکان هندسی نقاطی است که بيك فاصله
باشند اثر يك نقطه مفروضند .
۳۱۱ - تعریف - هرگاه زاویه ۱ از مثلثی مساوی باشد
با زاویهٔ مفروضه ماننده درین
وقت می گویند که از نقطه ا خط
د.م بزاویه ۱ دیده می شود
(س۲۲۴) -
۳۱۲ - مسئله - معلوم
کنید مکان هندسی نقاط سر ۲۲۴
۱
م
د


۲۷۶

را که از آنجا خط مفروضی بزاويه مفروضه دیده شود.
اين مسئله بواسطۀ مسئله ۳۰۳ بر ما واضح میگردد .
فرض می کنیم که ه زاويه مفروضه و ح د قطعه خط مفروضه
باشد مثلثی رسم می کنیم که در آن زاویه ا مقابل بضلع د ج
مساوی با زاویه مفروضه ه باشد (سر۲۲۵) نقطه ا یکی از نقاط
مکان مهندسی است حال دائرۀ
س را بر مثلث ا د ج محیط
می کنیم می دانیم که هر نقطه از قوس
ج ا د مانند ل فرض کنیم زاوية
ل نیز مساوی با زاویه مفروضه
ه خواهد شد .
ولی اگر نقطه مانند ن روی قوس ج د ن بگیریم زاویه
ن مساوی با زاویه مفروضه ه نخواهد گردید زیرا که همان قوس
را از دائره جدا نمیکند حال طریق ساختن دائرۀ محیطی مثلث را
بیان می کنیم و ملاحظه می نمائیم که اگر از نقطه د خط دك را


۲۷۷
بر دائره مماس کنیم زاویهٔ ج د ك نیز مساوی با زاویه مفروضه ه
است (رع ۳۰۴)
۳۱۳ - از د زاویهٔ ك د ج را مساوی با زاویه مفروضه
رسم می کنیم (رع ۲۲۴) دائره مطلوبه در نقطه د بر خط د ك
مماس است و از نقطه ۱ نیز خواهد
گذشت مرکز دائره که از نقطه
د و ج بگذرد روی خطی واقع
است که بر وسط د ج عمود
باشد و نیز برای آنکه دائره
بر خط د ك مماس باشد-
باید که بر روی عمودی که از نقطه
د بر د ك خارج می شود-
واقع شود و این دو خط در نقطه س یک دیگر را قطع می کنند
پس نقطه س مرکز و س د شعاع دائره است حال دائره
مطلوبه را رسم می کنیم فقط قوس د ۱ ج که برای اندازه گرفتن


۲۷۸

زاویهٔ ج دک بکار می رود برای ما مناسب است -
از طرف دیگر چون می توانیم زاویه ج دک را در طرف دیگر
ح د رسم کنیم از ان قوس ح م د نتیجه می شود که متناظره ج و د و
جواب دیگر مسئله می باشد -
۳۱۴ - پس مکان هندسی مطلوب دو قوس ج ۱ د و
ح م د می باشد و از روی تبصره ۳۰۹ معلوم می شود که ممکن
نیست نقطه دیگری جزء مکان هندسی مطلوب باشد زیرا که
اگر نقطه مانند ل فرض کنیم که روی دو قوس مزبور نباشد زاویه
حاصله یا بزرگتر یا کوچک تر از زاویه مطلوبه خواهد کرد -
در این حال می گویند که دو قوس مزبور قابل زاویه ه میباشد -
از آنچه گفتیم چنین نتیجه می گیریم -
قضیه - مکان هندسی نقاطی که از انها قطعه
خط مفروضی بزاويهٔ مفروضه دیده شود دو قوس
دائره ایست که نسبت به آن قطعه خط متناظر و
قابل زاویه مفروضه اند .


۲۷۹
۳۱۵ - حالت مخصوص - زاویه ه قائمه است -
اگر به س ۲۲۵ مراجعه کنیم می بینیم در حالتیکه زاویه مفروضه
قائمه باشد قوس جـ د نیم دائره است و مکان هندسی مطلوب
دائره است که بقطر جـ د باشد (س۲۲۷)
دو قوسی که از این قطر حاصل می
شود نسبت به اول متناظر اند و مکان
هندسی مطلوب می باشند پس می گوئیم -
قضیه - مکان هندسی
نقاطی که از انها قطعه خط مفروضی
بزاویه قائمه دیده شود دائره
ایست که قطرش قطعه خط مفروض باشد.
چهار ضلعیهای محاطی
۳۱۶ - ذو اربعة اضلاع یی را در صورتی میگویند
محاطی است که رئوسش روی محیط دائره باشند.


۲۸۰

می دانیم که هر گاه چهار نقطه نامعین فرض کنیم ممکن است
روی محیط یک دائره واقع نشوند پس معلوم می شود که هر چهار
ضلعی نامعینی ممکن است در دائره محاط نگردد -
۱۳۷- تحقیق کنید در چه شرائطی ذو اربعة
اضلاعی محاطی است .
دائره رسم کرده روی آن چهار نقطه ا و ح و د و ل را نشان
میکنیم (ش۲۲۸)
حال این هر یک از نقاط
را به نقاط مجاور خود بواسطهٔ
قطعه خطهای مستقیمه وصل
می نمائیم بدین طریق ذواربعة
اضلاع ا ح د ل بدست
می آید که قابل محاط شدن در دائره است -
اندازه زاویهٔ د مساوی است با اندازهٔ نصف قوس
ح د ل و اندازهٔ زاویهٔ مقابل بآن یعنی ا مساوی به اندازهٔ


۲۸۱
نصف قوس ح دل است چون مجموع این دو قوس تمام دایره
یا ۳۶۰ درجه است پس مجموع دو زاویه د و ا مساوی ۱۸۰
درجه یا دو قائمه است و بهمین دلیل مجموع دو زاویه دیگر ح
ول مساوی با ۱۸۰ درجه می باشد پس در هر ذو اربعة الاضلاع
محاطی زوایای مقابل مکمل یک دیگرند -
۳۱۸ - حال به ببینیم آیا همین شرط برای محاطی بودن
ذو اربعة اضلاع کافی است یا نه پس فرض می کنیم ذو اربعة اضلاع
ا ح دل در دست باشد که در آن دو زاویه ا و د مکمل یک
دیگرند پس مجموع دو زاویه دیگر دو قائمه است زیرا که مجموع
زوایای هر چهار ضلعی مساوی با چهار قائمه است (ع ۲۴۵)
حال دائره رسم می کنیم که بر سر نقطه ا و ح و د بگذرد میگوئیم
آن دائره بر نقطه ل نیز خواهد گذشت زیرا که زاویه ل مکمل
زاویه ح است و اگر نقطه ل در خارج یا درون دائره واقع
شود آن وقت زاویه ل از مکمل زاویه ح کوچک تر یا بزرگ تر
خواهد گردید پس حتماً نقطه ل روی دائره است و شرط مزبور


۲۸۲

کافی است -
پس از آنچه گفتیم چنین نتیجه می‌گیریم -
قضیه - شرط لازم و کافی برای انکه يك چهار ضلعی
محدّب محاطی باشد انست که در ان زوایای مقابل
مکمل یکدیگر باشند
مسائل
۵۲ - یک زاویه محاطی در دست است منصف آن را رسم
کنید -
۵۳ - مثلثی رسم کنید که در ان یک میانه منصف الزاویه هم باشد و
معین کنید آن چه مثلثی است -
۵۴ - از مثلثی زوایا و شعاع دائره محیطی معلوم است آنرا رسم
کنید -
۵۵ - از مثلثی شعاع دائره محیطی و یک ضلع و یک زاویه
معلوم است آن را رسم کنید و ثابت کنید که ممکن نیست


۲۸۳

ضلع مفروض مقابل بزاویه مفروضه باشند -
۵۶ - مثلثی رسم کنید که یک ضلع آن معلوم است و دو زاویه
مجاور آن ضلع یکی سه برابر دیگری است -
۵۷ - از مثلثی یک ضلع و زاویه مقابل بآن و ارتفاعی که بآن
فرود می آید معلوم است آن را رسم کنید -
۵۸ - از مثلثی یک ضلع و زاویه مقابل بآن و مجموع دو ضلع
دیگر معلوم است آنرا رسم کنید -
۵۹ - از مثلثی یک ضلع و زاویه مقابل بآن و تفاضل دو ضلع
دیگر معلوم است آنرا رسم کنید -
۶۰ - دو نقطه روی دائره مفروض است ازان دو نقطه دو وتر
موازی رسم کنید که تفاضل آن ها مساوی با طول مفروضی
باشد -
۶۱ - مانند مسئله سابق فقط بجای تفاضل مجموع مفروض
است -
۶۲ - آیا ممکن است دائره رسم کرد که بر چهار ضلع متوازی الاضلاعی


۲۸۴

مماس باشد -
۶۳ - کدام اند ذواربعة اضلاعهائی که در آن ها دو زاویه مقابل قائمه اند و یک قطر از وسط قطر دیگر میگذرد -
۶۴ - دو دائره یک دیگر را در دو نقطه ا و ح قطع می کنند از نقطه ا قاطع ا د ل را رسم می کنیم حال زوایای مثلث ح د ل را تحقیق کنید -
۶۵ - دو دائره بر هم در نقطه و مماس اند ازان نقطه د و قاطع ح ا حٌ و د ا دٌ را رسم می کنیم (ح و د روی یک دائره اند) حال دو وتر د ح و دٌ حٌ را تحقیق کنید -
۶۶ - هرگاه میانهٔ مثلثی نصف ضلعی باشد که از وسط آن خارج شده آن مثلث قائم الزاویه است حال معین کنید آن مثلث چگونه است اگر میانه از نصف ضلع مزبور کوچکتر یا بزرگ تر باشد -


۲۸۵

فصل دوازدهم

مسائل راجعه بخطوط مماس بر دائره و
دوائر مماس بر خطوط مستقیمه

۳۱۹ - سابقاً در ع دیدیم بر خطی که بر انتهای شعاع
دائره عمود باشد آن را فقط قطع می کند و آنرا مماس نامیدیم
و نیز در ع دیدیم که هرگاه وتری به توازی خودش تغییر محل
پیدا کند بالاخره بر دائره مماس خواهد شد و بالاخره در ع
دیدیم هر زاویه که از یک مماس و یک وتر تشکیل شود اندازه
آن مانند زاویه است که از دو وتر تشکیل شده باشد .
۳۲۰ - مماس آخرین حد وتر است - فرض می کنیم .
یک دائره و (ح خط قاطعی از ان باشد (۲۲۹) و نیز فرض


۲۸۶
می کنیم نقطه و ثابت بوده نقطه ح روی محیط دائره حرکت کرده بنقطه
و نزدیک شود در این حالت خط و ح بدور نقطه و میگردد .
وقتی که نقطه ح روی نقطه و بیاید بدواً نمیدانیم خط قاطع
چه طور شده است ولی اگر ملاحظه کنیم که این خط همواره عمود است
بر خط ه د که از مرکز به وسطش وصل شده است می بینیم که
هرگاه نقطه ح روی نقطه و بیاید نقطه د نیز روی همان نقطه
خواهد آمد و خط و ح در نقطه و بر خط وه که شعاع دائره است.
عمودی باشد بنا
براین مماس بر
دائره است -
در این وقت
میگویند که هر گاه
نقطه ح روی نقطه
و بیاید قاطع و ح
به و آخرین حد خود رسیده است پس می گوئیم -
ش ۳۲۹


۲۸۷
خط مماس در یک نقطه بر دائره آخرین حد قاطعی
است که این نقطه را به نقطه دیگری از دائره وصل
نماید وقتیکه نقطه اخیر بر روی نقطه اول بیفتد .
۱- مسائل راجع به مماس های دائره
۳۲۱ - تبصره - خاصیت اصلی خط مماس بر دائره آن
است که با دائره فقط در یک نقطه اشتراک داشته باشد و آن
نقطه را نقطه مماس دائره با خط می نامند .
۳۲۲ - مسئله - از نقطه مفروضی خطی بر دائره
مماس کنید .
می دانیم که غیر از نقطه مماس تمام نقاط خط مماس در خارج
دائره واقع می گردد پس اگر نقطه مفروضه در درون دائره باشد
مسئله هرگز ممکن نیست .
از طرف دیگر هرگاه نقطه مفروضه روی دائره باشد مسئله
بسیار آسان است زیرا که مماس مطلوب عمود است بر انتهای


۲۸۸

شعاعی که از ان نقطه بمرکز دائره وصل شده باشد -
پس فرض میکنیم
نقطه ا در خارج
دائره ه باشد-
(س ۲۳) بدواً ملاحظه
میکنیم که قطر ا ه
محور تناظری برای
تمام شکل است پس
هر جوابی پیدا کنیم جواب دیگری متناظر اولی نیز بدست خواهد آمد
اگر نقطه ح نقطه تماس مجهول باشد خط ا ح بر ه ح عمود است و
زاویه ا ح ه قائمه است و نقطه ح روی دائره است که بقطر
ا ه باشد یعنی یکی از نقاط مکان مهندسی است که از ان خط ا ه
به زاویه قائمه دیده می شود (ع ۳۱۵) و چون این دائره مفروضه را
در دو نقطه ح و ح' قطع میکند پس دو خط ا ح و ا ح' دو جواب
مسئله است -


۲۸۹

بواسطه تناظر دو مماس اح و ا ح تساوی های ذیل
نتیجه می شود.
ه ا ح = ه ا ح ح ه ا = ح ه ا ح ا = ا ح
پس چنین بیان میکنیم.
قضیه - از هر نقطه واقعه در خارج دائره همواره
میتوان بر ان دائره دو مماس رسم نمود دو قطعه خطی
که بین دو نقطه تماس و نقطه مفروضه واقع اند با هم
مساویند.
خطی که نقطه مفروضه را بمرکز دائره وصل
میکند منصف زاویه ایست که از تقاطع دو مماس
تشکیل میشود و همچنین منصف زاویه ایست
که از دو شعاع دو نقطه تماس حاصل می گردد.
۳۲۳- مسئله - بر دائره مماسی موازی با خط
مفروضی رسم کنید.
۳۳۱ دائره ه و خط مفروض ل را نشان می دهد برود


۲۹۰

ملاحظه میکنیم که قطره م عمود بر محور تناظر مفروضات مسئله
است و علاوه بر این خطوطی که با آن موازی باشند بر شعاع های
که قطراح از آن ها تشکیل شده عمود می باشند.
قطراح دائره را در دو نقطه ا و ح قطع می کند و دو مماسی
که ازین دو نقطه بر دائره رسم شوند جوابهای مسئله اند این مسئله
همواره ممکن است و دو جواب قبول میکند پس می گوئیم.

قضیه - همواره ممکن است دو مماس بر دائره رسم
نمود که موازی با خط ل م
مفروضی باشند و
دو نقطه تماس
محل تقاطع دائره
است با قطری که
بر خط مفروض عمود
باشند.

۳۲۴ مسئله
س ۲۳۶


۲۹۱

بردو دائره مفروضه مماس مشترکی رسم کنید.
بروز شکلی که از تماس یک خط و دو دائره بدست می آید
ملاحظه می کنیم پس دائرۀ ماننده رسم کرده و بریک نقطه از آن
مانند ۱ خطی مماس می کشیم سر۲۳۲ بعد در روی این مماس
نقطه دیگری مانند ۱ انتخاب نموده از ان نقطه دائره ه را
بر آن مماس می کنیم در این حال سر۲۳۲ یا سر۲۳۳ بدست
می آید بنابر آنکه دائرۀ ثانی را در یک طرف خط ۱ و یا در طرف
دیگر آن رسم کرده باشیم در حالت اوّل (سر۲۳۲) دو دائره
در یک طرف خط مماس اند این خط را مماس مشترک خارجی

سر۲۳۲


۲۹۲
بنامند - در این حالت ممکن است دو دائره یکدیگر را هم
قطع نمایند در حالت ثانی س۲۳ دو دائره در دو طرف خط
مماسند این خط را مماس مشترک خارجی میگویند در
این حالت ملاحظه میکنیم که دو دائره مفروضه ممکن نیست .
نقطه مشترکی غیر از نقطه ا که بر روی نقطه ا بیفتد داشته
باشند در این وقت آنها با هم مماس خارجی میگردند.
بالآخره
در هر دو شکل
میبینیم که
خط ه هـ یعنی
قطر مشترک
دو دائره محور
تناظر دو دائره س۲۳
است بنابر این هر مماس که رسم کنیم مماس دیگری نیز ممکن است
رسم نمود که نسبت به ه هـ متناظر مماس اول باشد.


۲۹۳

۳۲۵ - دو اصطلاح مماس خارجی و داخلی بسبب آن است
که در حالت اوّل مماس مرسوم خارج خط المرکزین ه هَ میباشد
و در حالت ثانی آن را قطع می نماید.
۳۲۶ - خلاصه - برای دو دائره دو نوع مماس مشترک
است و هر یک از انها دو تا است که نسبت به خط المرکزین
با هم متناظر اند.
۳۲۷ - مماس های خارجی - دو دائره ه و هَ مفروض
است (سر۲۳۴) دائره بمرکز ه و بشعاعی برابر با تفاضل دو
شعاع دو دائره مفروضه رسم می کنیم آن وقت از ه دو خط
ح هَ
سر ۲۳۴


۲۹۴

ه ح و ه د را همان مماس می نمائیم حال از مرکز ه به نقطهٔ ح و د وصل
نموده امتداد می دهیم تا دایره ه را در دو نقطهٔ ا و ل قطع کند و
همچنین دو شعاع ه اَ و ه لَ عمود بر ه ج و ه د دو نقطه
اَ و لَ را بما دهد اَ را به ا و لَ را به ل وصل میکنیم این دو
خط دو مماس مطلوب اند زیرا که بر انتهای دو شعاع عمودند.

۳۲۸ - بحث - ترسیم سابق هرگز ممکن نیست مگر آنکه
نقطه ه خارج دائرهٔ باشد که بمرکز ه و شعاعی برابر با تفاضل
دو شعاع رسم شده باشد پس باید چنین داشته باشیم (دو شعاع
ا ع و ع فرض میکنیم)
ع - ع < هَ ه
بنابراین ممکن
است که دو دائره داخلی
باشند (ش ۲۱۳)
هرگاه هَ ه مساوی
با ع - ع باشد دو دائره

[diagram with text: ش ۲۳۳]
[letters in diagram: ل، ا]


۲۹۵
از داخل با هم مماس می گردند (س ۲۳۵) و خط ل ا مماس مشترک آنها است دو شعاع دائره مساوی باشند مسئله خیلی آسان میشود ما حل آنرا بعهده شاگردان واگذار می کنیم.
۳۲۹ - مماسها مشترک داخلی - دو دائره ه و ه مفروض است (س ۲۳۶) بمرکز ه و شعاعی مساوی ه ع + ع دائره رسم می کنیم بعد از نقطه ه دو مماس ه ل و ه م را بر این دائره رسم می نمائیم و از نقطه ه به دو نقطه تماس ل و م وصل می نمائیم دو نقطه ح و ا بدست می آید حال ه و را بر ه م و ه ح را بر ه ل
س ۲۳۶


۲۹۴

عمود می نمائیم دو نقطه دیگر د و ج بدست می آید از د به دَ و از
ج جَ وصل می نمائیم دو خط ح جَ و دَ دَ دو مماس مطلوب است
زیرا که بر انتهای دو شعاع عمودند.

۳۳۰ - بحث - ترسیم فوق ممکن نیست مگر آنکه نقطه هَ
خارج دایره باشد که بمرکز و بشعاع عَ + ع رسم شده باشد.
پس باید چنین دانسته باشیم.
ع + ع حـ هَ ه

بنابر این دو دائره مفروضه باید خارج هم باشند
(ر۲۱۳).

اگر ه هَ مساوی باعَ + ع باشد دو دائره مماس خارجند
و مماس مشترک داخلی آن ها واضح است (س۲۳۷)

۳۳۱ - خلاصه - از آنچه دیدیم معلوم می شود که عده مماسها
بسته وضع دو دائره نسبت به یکدیگر است.

و ما نتائجی را که سابقاً بدست آوردیم در جدول ذیل خلاصه
می کنیم.


۲۹۷

ش ۲۳۷
دو دائرہ خارجی .. .. ۴ مماس مشترک (دوخارجی دو داخلی)
دو دائرہ مماس خارجی .. .. ۳ مماس مشترک (دوخارجی یک داخلی)
دو دائرہ قاطعه .. .. ۲ مماس مشترک خارجی
دو دائرہ مماس داخلی .. .. ۱ مماس مشترک خارجی
دو دائرہ داخلی .. .. مماس مشترک ندارد
حال در شکل ذیل تمام مطالب خلاصۂ فوق الذکر رانشان
می دہیم.


۲۹۸
ش ۲۳۳


۲۹۹

۲ - دوائر مماس بر خطوط مستقيمه

۳۳۲ - مسئله - بر خط مفروضی دائره مماس کنید
سابقا این مسئله را در ضمن مسائل دیگر حل کرده ایم حال هم
مجدداً تکرار می کنیم نقطه ماننده ه در
خارج خط ل فرض کرده از ان
نقطه ه ل را بر ل عمود میکنیم
دائرۂ که بشعاع ه ل رسم شود.
مماس مطلوب است و چون نقطه
ه را بمیل خود می توانیم تغییر دهیم
پس این مسئله عدۀ لایتناهی جواب قبول می کند.

۳۳۳ - مسئله - بر دو خط مفروض دائره مماس کنید.
سابقاً چنین مسئله را در ۳۲۲ و ۳۲۳ دیده ایم پس دو حالت
باید تشخیص داد یکی آنکه دو خط مفروض با هم موازی باشند و
دیگری آنکه با هم موازی نباشند.


۳٠٠

حالت اوّل ـ دو خط مفروض با هم موازی‌ند.
میدانیم (ر سـ ٣٢٣) که نقطه تماس دائره مطلوبه با دو خط موازی
دو انتهای یک قطره دائره است پس اگر خط اَ اَ را بر دو خط ل
و لَ عمود کنیم قطر دائره مطلوب بدست می‌آید (سـ ٢٤) نقطه
ہ وسط اَ اَ مرکز دائره مطلوبه است و چون این نقطه همیشه باید
بیک فاصله باشد از دو خط ل و لَ پس بر روی

[diagram]

خطی است که از نقطۀ ہ بموازات ل و لَ رسم شود پس معلوم
میشود که هر نقطه از خط م را مرکز قرار دهیم جوابی بدست می‌آید تمام


٣٠١

این دوائر با هم مساوی اند پس عده جواب های این مسئله هم لایتناهی
است ولی نقطه ه را باید فقط در روی خط م انتخاب شود.
ع ۳۳ - حالت دوّم - دو خط مفروض یکدیگر را
قطع میکنند.
س ۳۴۱ از روی مسئله ۳۲۲ خطی که نقطه مشترک دو مماس
را به مرکز دائره وصل نماید منصف زاویه حادثه از دو مماس است پس

[diagram]

ان
م
ه
ق
س ۳۴۱
ان
پ
ت
ت'
پ'


۳۰۲

معلوم می شود که مرکز دائره مطلوبه روی یکی از منصفهای چهار
زاویه ایست که از دو مماس حاصل می شود پس دو خط ل م ل
و ن م ن را بر هم عمود می کنیم که منصف این زوایا باشند
پس هر نقطه مانند م که روی یکی از این چهار منصف الزاویه
بگیریم چون بیک فاصله است از ان دو خط پس مرکز دائره
مطلوب است و چون نقطه م را بمیل خود انتخاب کردیم پس
این مسئله نیز دارای عده لا یتناهی جواب است .
۳۳۵ - مسئله - بر سه خط مفروض دائره مماس
کنید .
ما فقط در این جا حالتی را که دران سه خط مفروض یک
مثلث تشکیل می دهند بیان می کنیم و حل سائر حالات این
مسئله را بعهده شاگردان واگذار میکنیم .
دائره رسم کرده روی آن دو نقطه ر و د را نشان می کنیم
که در انتهای قطری واقع نشده باشند (س۲۴۲) دو خطی که در
نقطه بر دائره مماس شوند هم دیگر را در نقطه ل قطع می کنند حال


۳۰۳
نقطه دیگری مانند ج اختیار نمو د مماس م ن را هم رسم مینمائیم .
بنا بر آنکه نقطه ج روی قوس اول یا دوم اد باشد دو شکل
ل
د
م
ل
د
م
ش ۲۴۳
ش ۲۴۳
۲۴۳ ش ۲۴۴ بدست می آید و مثلث م ن ل را تشکیل
می دهند .
در ش ۲۴۲ می گویند که دائره محاط در مثلث ل م ن است
و در ش ۲۴۳ می گویند دائره مماس در زاویه ل می باشد.
پس معلوم میشود که هرگاه دائره داشته باشیم همواره میتوانیم


۳۰۴
یک دائره از داخل و سه دائره از خارج بر آن مماس کنیم زیرا که در
هر زاویه ممکن است یک دائره مماس شود.
۳۳۴ - مراکز دوائر مثلث ا ب ج مفروض است -
(رسم ۲۴۶) اضلاع آن از دو جهت امتدادی دهیم مرکز دائرهٔ

رسم ۲۴۶


۳۰۵

که بر اد د ح مماس باشد روی یکی از دو منصف زاویه د
واقع است و یکی از این منصف الزوایا منصف زاویه داخلی
مثلث است و دیگری را منصف خارجی میگویند.
و همچنین دائره که بر ا ح و ح د مماس باشد روی یکی از دو
منصف زاویه ح واقع است پس مرکز دائره مطلوبه روی
منصف زاویه د و همچنین روی منصف زاویه ج است و
ما حالات ممکنه را بتفصیل بیان می کنیم.
۳۳۷ - منصف های داخلی - دو منصف داخلی دو
زاویه د و ج در نقطه ه یک دیگر را قطع می کنند که از سه
ضلع مثلث بیک فاصله است پس بر روی منصف زاویه ا نیز
واقع می باشد و چون در داخل مثلث است پس بر روی منصف
داخلی زاویه ا واقع است پس می گوئیم.
قضیه - سه منصف زوایای داخلی مثلث یکدیگر
را در يك نقطه قطع می کنند که مرکز دائره محاطی
مثلث است.
چنانکه مسطح


٣٠٦
۳۳۸ - یک منصف داخلی و یک منصف خارجی -
مثلاً منصف داخلی زاویهٔ دو منصف خارجی زاویهٔ ج را ملاحظه
میکنیم که یک دیگر را در نقطهٔ هٔ قطع می‌کنند بدو أمی‌گوئیم که نقطهٔ
هٔ همواره در زاویه داخلی د واقع است نه در زاویهٔ متقابل براس
آن زیرا که زاویه ج ده مساوی است با ج/۲
و زاویهٔ د جه مساوی است با ح/۲ + ۹۰
و چون این دو زاویه را با هم جمع کنیم چنین می‌شود :-
د + ج /۲ + ۹۰
ولی چون د + ج از ۱۸۰ کمتر است پس حاصل جمع
فوق از ۱۸۰ درجه کمتر باشد و از روی مطلب اقلیدس دومنصف
الزاویهٔ مفروضه در آن طرف ح د که مثلث واقع شده یک
دیگر را قطع می‌کنند .
پس معلوم شد که نقطهٔ هٔ مرکز دائره ایست که در زاویهٔ
د محاط شده باشد و چون این نقطه از سه ضلع مثلث بیک فاصله
است پس روی منصف زاویهٔ د نیز واقع می‌باشد.


۳۰۷
و بہمین طریق ثابت می کنیم که نقطهٔ ه روی منصف داخلی
زاویهٔ ج و منصف های خارجی دو زاویهٔ ا و د می باشد.
۳۳۹ - دو منصف خارجی - دو منصف ح و د
را ملاحظه می کنیم بدواً مانند نمرهٔ سابق ثابت می کنیم که نقطهٔ
ه ممکن نیست در زاویهٔ متقابل براس زاویهٔ ا از مثلث باشد
زاویهٔ ح د ه مساوی است با ج - ۹۰
و زاویهٔ د ح ه مساوی است با ح - ۹۰
و چون این دو زاویه را با هم جمع کنیم چنین می شود
د + ح - ۱۸۰
پس مجموع این دو زاویه از ۱۸۰ کمتر است و از روی
مطلب اقلیدس نقطه ه در همان طرف ضلع د ح واقع است
که مثلث مفروض رسم گردیده است.
از آنچه گفتیم چنین نتیجه می شود که نقطهٔ ه مرکز دائرهٔ
ایست که در زاویهٔ ا محاط شده باشد.
ولی چون نقطه ه از سه ضلع مثلث بیک فاصله است


٣٠٨
پس روی منصف زاویهٔ ا نیز واقع است ازین نمره و نمرهٔ سابق مجموعاً چنین نتیجه گیریم.
قضیه - دو منصف خارجی با يك منصف داخلی مثلث یکدیگر را در يك نقطه قطع میکنند که مرکز يك دائره محاطی است.
.ع٣- ترسیم عملی - از آنچه مذکور شد آسان ترین وسیله برای ترسیم دوائر محاطی مثلث آن است که سه منصف خارجی آن را رسم کنیم تا مثلث هَ هَ هَ تشکیل شود و بعد از سه رأس این مثلث به رؤس مثلث مفروض وصل می نمائیم که منصف زوایای داخلی مثلث میگردند و یک دیگر را در نقطهٔ ه قطع می نمایند.
چون مرکز دوائر معلوم شد برای یافتن شعاع دائره از مرکز عمودی بر یکی از اضلاع فرود می آوریم عمود مرسوم شعاع دائرهٔ محاطی مطلوب است سره٢٤ ترسیم عملی فوق را نشان می دهد.


۳۰۹

۴۱۴ - تبصره - در مثلث ه ه' ه'' (شکل ۳۱۴) سه خط
ه د و ه' ح و ه'' ا سه از شعاع مثلث می باشند و یک
دیگر را در یک نقطه ه قطع می نمایند بعد ها ازین خاصیت

شکل ۳۱۴


۳۱۰
استفاده می کنیم.
۲ عا ۳ - تبصره - حل مسائل فوق معلوم می کنید که اگر
بیش از سه خط مفروض باشد غالباً ممکن نیست دائره بر تمام
آنها مماس کرد زیرا دائرۀ که بر سه تای آن ها مماس باشد
ممکن است بر چهارمی مماس نگردد .
هر گاه نتائج فوق را با نتائج ۱۹۸ و ۱۹۹ و ۲۰۰ نزدیک
کنیم می بینیم که هرگاه یک نقطه از دائره یا یک مماس مفروض
باشد دائرۀ مطلوبه غیر معین است و هر گاه دو نقطه از دائره یا
دو مماس مفروض باشد مرکز دائرۀ دائرۀ مطلوبه دارای یک
مکان هندسی است و هرگاه سه نقطه یا سه مماس مفروض
باشد در یک حالت یک جواب و در حالت دیگر چهار
جواب دارد و هرگاه بیش از سه نقطه یا بیشتر از سه مماس
مفروض باشد مسئله بکلی غیر ممکن است .


۳۱۱
مسائل
۶۷ - دائره بر سه خط مماس کنید که دوتای آنها با هم موازی
باشند .
۶۸ - از مثلثی شعاع دائره محاطی و دو زاویه معلوم است
آنرا رسم کنید .
۶۹ - از مثلثی شعاع دائره محاطی و یک زاویه و یک ضلع
مجاور بآن زاویه معلوم است آنرا رسم کنید .
۷۰ - در مثلث ا ب ح دائره محاطی سه ضلع مثلث را در نقاط
ل و م و ن قطع می کند فرض می کنیم ۲ق = ا د + د ح
+ ا ح طول قطعات خط ا ل و ح م و د ن را حساب
کنید .
۷۱ - در همان مثلث دائره محاطی خارجی بر زاویه ا و دو ضلع این
زاویه را در دو نقطه مَ و نَ قطع میکند طول انَ و ا مَ


۳۱۴

را حساب کنید.
۷۲ در مثلث قائم الزاویه طول شعاع دائرۀ محاطی داخلی و
محاطی خارجی بر زاویهٔ قائمه را از روی اضلاع مثلث
حساب کنید.
۷۳- مثلثی رسم کنید که محیط زوایای آن در دست باشد.
۷۴- دائره بشعاع مفروضی رسم کنید که از نقطۂ مفروضه عبور
کند و بر خط مفروضی مماس باشد.
۷۵- دائره بشعاع مفروضی رسم کنید که بر دو خط مفروض مماس
باشد.
۷۶- دائره بشعاع مفروضی رسم کنید که بر یک خط مفروض
و یک دائرۀ مفروضه مماس باشد.
۷۷- دائره بشعاع مفروضی رسم کنید که بر یک خط مفروض
و یک دائرۀ مفروضه مماس باشد.
۷۸- دو دائره ه و هٔ مفروض است که در نقطهٔ ا با هم مماس
اند خط ل در نقطهٔ ج بر دائره هٔ مماس است خط ا ج


۳۱۳

دائرة ه را در نقطۀ و قطع می‌کند وضع دو شعاع هَ ح
و هَ د را نسبت به خط ل معلوم کنید.
۷۹ - دایره رسم کنید که مماس باشد بر دائرۀ مفروضه و خط
مفروض در نقطۀ معیّنی (از روی مسئله سابق)
۸۰ - دائرۀ رسم کنید که مماس باشد بر خط مفروضی و دائرۀ
مفروضه در نقطه معینی (مانند مسئله سابق)
۸۱ - از مثلثی زاویۀ ا و ضلع مقابل بآن و شعاع دائرۀ
مماس خارجی بر زاویۀ ا در دست است آن را رسم کنید
(از روی مسئله ۷۰ و بعد از آن).
۸۲ - معین کنید کدامند خطوطی که فاصلۀ دو نقطۀ مفروضه
تا آنها مساوی باشد.
۸۳ - از نقطۀ مفروضه خطی رسم کنید که از دو نقطۀ مفروضه
بیک فاصله باشد.
۸۴ - خطی رسم کنید که از سه نقطه مفروضه بیک فاصله
باشد.


۳۱۴
۸۵ - قسمتی از یک مماس متحرک که بین دو مماس ثابت باشد
همیشه از مرکز بیک زاویه ثابت مساوی دیده
می شود.


[BLANK PAGE]