[BLANK PAGE]


وَكُلُّ شَيْءٍ خَلَقْنَهُ بِقَدَرٍ
هندسة مسطحه
برائے صنفِ هفتم مکاتب رُشدیہ
بقرار پروگرام وزارتِ جلیلۂ معارف افغانستان
مطبعۂ مفید عام پریس لاہور
۱۳۰۶ هـ
جوزا
طبع دوم
تعداد ۱۰۰۰


اصول علم هندسه
هندسه مسطحه
برای صنف هفتم مکاتب رشدیه
فصل اوّل
مقدّمات اصلیّه
خط مستقیم
۱- نقطه - هرگاه بامدادی که نوک آن خوب نازک تراشیده شده باشد یا با سوزنی بر روی کاغذی تکیه کنیم بقسمی که نلغزد یک نقطه حاصل می شود خ ذ ا.


نقطه‌را بواسطهٔ یک حروف که در نزدیکی آن نوشته باشد نمایش
میدهیم. س.
ولی باید طوری حرف هر نقطه را بنویسیم که بالنقاط دیگر اشتباه
نشود مثلاً میگوئیم - نقطهٔ (ا) یا نقطهٔ (د) یا نقطهٔ (ج) س -
۲ - خط - هرگاه نوک مداد را روی صفحهٔ کاغذ یا دیوار یا شئی
دیگری بکشیم یک خط رسم می شود پس معلوم شد که خط از تغییر محل
نقطه حاصل میشود :
۳ - خط مستقیم - ساده ترین خطوط خط مستقیم است
نخی که خوب کشیده شده باشد تصویری از آن است (من بعد
هر جا محض اختصار فقط خط بگوئیم مقصود همان خط مستقیم
است)
۴ - خاصیّت اصلی خط مستقیم - هرگاه در روی یک میز
یا روی مقوائی دو سنجاق در دو
نقطه مانند دو نقطه ر و د بکوئیم
(س۲) حال اگر نخ سیاهی را
س ۲ د ر


0000144

۳

بدست گرفته بروی میز به سنجاق ها تکیه داده از طرفین بکشیم خط مستقیمی حاصل می شود که از دو نقطه (۱) و (د) گذشته است.
حال اگر نخ دیگری که قرمز باشد بر روی میز همان دو نقطه تکیه داده از طرفین بکشیم آن دو نخ بر روی هم واقع گردیده بعبارة اخری بر یکدیگر تطبیق می شوند و یک خط تشکیل می دهند ازین رو خاصیت اصلی خط مستقیم را میتوان فهمید.
از دو نقطه معینه بیش از يك خط مستقيم نمیتوان عبور داد.
۵ - خط غير محدود - هرگاه سوزنی را که خوب راست وصاف و نازک باشد برداشته در کنار دو سنجاق فوق الذکر در روی نخها قرار دهیم خط مستقیم دیگری بدست می آوریم دو خط سابق الذکر بدو نقطه ا و د محدود می باشند. ولی این خط مانند آنها از دو نقطه ا و د گذشته علاوه بران از طرفین هم قدری


۴
امتداد داده شده است (سؔ)
حال ممکن است سوزن دیگری بلندتر از سوزن مذکور برداشته
در کنار سنجاقها قرار دهیم (سؔ) خط مستقیمی حاصل می شود که
از خطوط سابق بیشتر امتداد داده شده است . و همچنین هر قدر
بخواهیم ممکن است سوزن را بلند تر کنیم تا آنکه بخطی برسیم که
غیرمحدود باشد یعنی هر قدر که خواسته باشیم از یک طرف یا از طرفین
امتداد داده شده باشد .
من بعد هر وقت از خط مستقیم صحبت کنیم مقصود همان خط
غیرمحدود است اگرچه در حقیقت آن خط محدود بکنار کاغذ یا کنار
تخته باشد .
۶-بیان دیگر از خاصیت خط مستقیم - چون از دو نقطۀ
مفروضه بیش از یک خط مستقیم نمیتوان عبور داد پس هرگاه دو
خط مستقیم در دو نقطه شریک باشند بر روی هم منطبق میشوند.
در این جا باید ملتفت شد که مقصود از انطباق دو خط فقط در
قسمت بین ۱ و د در سؔ نیست بلکه این مسئله در تمام قسمت دو


۵
خط غیر محدود است باین معنی که هرگاه دو خط بر یک دیگر در دو نقطه
منطبق شوند در تمام قسمتها بر یک دیگر منطبق میشوند ، هر نقطه از
خط اوّل متعلق بخط ثانی و هر نقطه از خط ثانی متعلق بخط اول است
پس :
هر گاه دو خط در دو نقطه مشترک باشند بر یک
دیگر منطبق میشوند .
۷ - تعیین خط مستقیم - چون دو نقطه ا و ج یک خط
مستقیم را تبیین میکنند ما من بعد آنرا بواسطه همان دو حرف
تعیین می کنیم و میگوئیم خط  ج  ا
ا ج (س ۳)  س ۳
هر گاه ترس اشتباهی نباشد ممکن است خط مستقیم را
هم بواسطه یک حرف تعیین نمود درین صورت میگوئیم خط
ج (س ۵)  س ۵  ج
۸ - ستاره - ستاره آلتی است که بآن خطوط مستقیم را
رسم می نمایند . (س ۶)


۶

ستاره یا مسطح است هرگاه ستاره صحیح باشد کنارهای آن
خطوط مستقیم میباشند
حال اگر آن را روی یک
صفحه کاغذ قرار دهیم و در کنار آن نوک مداد تراشیده را بکشیم خط
مستقیمی رسم میشود.

در تمام ترسیمات هندسی لازم است که صفحه کاغذ در روی یک
میز صاف یا تخته رسم یا مقوای محکمی باشد، شکل نمایش میدهد که
در وقت ترسیم خط مستقیم مداد را چگونه باید نگاهداشت
مداد
ستاره
تخته رسم
ش

۹ - امتحان ستاره - قبلاً در یک کنار ستاره علامتی میگذاریم
که آنرا بشناسیم (ش) حال دو نقطه ا و د را در روی صفحه کاغذ
می گذاریم و همان کنار
ستاره را که نشان کرده
ش
بودیم در کنار آنها قرار داده (علا ش) ، یک خط رسم می نمائیم


۷
اگر ستاره صحیح باشد آن خط مستقیم است که از دو نقطه ا و د گذشته است - بعد ستاره را بدور خط ا د میگردانیم بقسمی که آن لبه ستاره که بطرف ما بوده است بطرف بالا برود باز هم خط دیگری رسم مینمائیم اگر ستاره صحیح باشد آن دو خط با یک دیگر تطبیق می شوند س زیرا که بین دو نقطه بیش از یک خط مستقیم نمیتوان ترسیم نمود
اگر برعکس ستاره صحیح نباشد آن دو خط بر یک دیگر منطبق نمی شوند ( س ) پس نمیتوان آن ستاره را برای ترسیم خط مستقیم بکار برد مگر آنکه لبه آن را اصلاح نمائیم - قبل از استعمال هر ستاره باید بدقت امتحان نمود که هر دو لبه آن صحیح باشد آن وقت بدون تفاوت با هر دو طرف آن میتوان خطوط مستقیمه رسم نمود .


۱۰ - مسائل - بایک ستاره صحیح بسهولت میتوان مسائل
ذیل راحل نمود :
۱ - ترسیم هر خط مستقیم -
۲ - ترسیم يك خط كه از يك نقطه مفروضه عبور
کند
۳ - ترسیم يك خط مستقیم که دو نقطه مفروضه را
بهم وصل نماید .
برای حل مسئله آخری باید ستاره بقدر کفایت بلند باشد
که لبه آن بتواند دو نقطه را در کنار خود بگیرد.
۴ - ترسیم قسمتی از خطی و امتداد دادن ان هرقدر
که خواسته باشیم .
ابتدا قسمتی از خطی مانند د ج را رسم می کنیم ( س۱۲) بعد نقطه
مانند د بین آنها
نشان می کنیم.
حال ستاره را در کنار د ج قرار داده مانند آنکه بخواهیم خط د ج را


۹
رسم کنیم آن خط را تا نقطه مر امتداد میدهیم چون دو خط بی انتهای
ا ج و د م در دو نقطه د و ج با یک دیگر اشتراک دارند پس بر
یک دیگر منطبق شده و مسئله حل گردیده است ، هرگاه آنچه را
که کرده ایم بدقت امتحان کنیم خواص مهمی از خط مستقیم کشف
میکنیم .
۱۱ - لغزش یک خط مستقیم بروی خود - خطی مانند
ا ج رسم کرده (س۳) در دو نقطه ا و ج دو سنجاق محکم میکنیم بعد
ستاره را روی کاغذ بقسمی قرار میدهیم که دو سنجاق در کنار آن
واقع شود حال اگر
ستاره را دائماً در روی
کاغذ متکی بر سنجاقها حرکت دهیم کنار ستاره خط مستقیم متحرکی است
که دائماً شامل دو نقطه ا و ج است پس دائماً منطبق است
بر خط ا ج که سابقاً رسم کرده بودیم .
این نتیجه را بطریق ذیل بیان میکنیم .
بیان اوّل - يك خط مستقیم می تواند بر روی


۱۰
خط دیگری که بران منطبق شده بلغزد و بطور اختصا
میگوئیم .
بیان دوم - یک خط مستقیم ممکن است بر روی
خود بلغزد :
بیان اول تقریباً تفسیری از بیان دوم است .
۱۲ - دوران یک خط بدور خود- یک جعبه مقوائی را گرفته
سر پوش و دیوارهای دو طرف آن را بر میداریم (ش ۱۴) بعد در دو
نقطه ا و ج
با سوزن دو
سوراخ کرده
یک سوزن بلند نازکی میگذرانیم درینجا هم خط مستقیمی بدست
داریم که از دو نقطه ا و ج گذشته است حال سر آزاد سوزن را گرفته
مانند وقتیکه ساعت را کوک می کنیم می چرخانیم اگر سوزن نازک
درست راست باشد همواره با خط مستقیمی که از دو نقطه ا و ج می
گذرد تطبیق می شود و حرکت آن معلوم نمی شود مگر آنکه چشم خود را


خیلی نزدیک کنیم - ولی اگر از حرکت سریع سوزن بدور خود یکدسته
خطوط مشهود شود (ش ۱۵) معلوم می شود که سوزن ما مستقیم نبوده
است زیرا که چندین خط مستقیم ممکن نیست دو نقطه مشترک
داشته باشند پس می توان گفت:-

ش ۱۵

خط مستقیم بدور خود می تواند دوران نماید.
۱۳ - نتیجه - دو نقطه يك خط مستقيم را تعيين
مینمایند و آن میتواند بر روی خود بلغزد و بدور
خود بچرخد.
۱۴ - تبصره - باید دانست که خاصیت لغزش و گردش یک
خط بدور خود از خاصیت اصلی خط مستقیم (ع ۱۳) حاصل میشود.
ما من بعد به همین طریق پیش میرویم یعنی در صورتیکه بدقت
اشیاء ساده را ملاحظه کنیم بلا فاصله بعضی خواص آنها را بدست


۱۲
می آوریم و استدلال برای ما بعضی خواص دیگری کشف می کند
که در ظاهر مخفی است و در اولین نظر معلوم نمی شود.
۱۵- تقاطع دو خط- در ش دو خط و سه نقطه ا و ج
و د معلوم است
که بهر دو آن خطوط
تعلق دارند- پس
ش ۱۶
میگویند که آن دو خط در این سه نقطه شریک میباشند یا اینکه محل
تقاطع آن هاسه نقطه ا و د و ج است.
۱۶- تقاطع دو خط مستقیم- سابقاً گفتیم که هر گاه دو خط
مستقیم در دو نقطه شریک باشند بر روی هم منطبق می شوند-
پس معلوم می شود که دو خط مستقیم مجزی از یک دیگر نمیتوانند-
بیش از یک نقطهٔ مشترک داشته باشند ش نمایش میدهد که دو
خط مستقیم در یک نقطه
با یک دیگر اشتراک دارند.
ش دو خط مستقیم
ش ۱۷


۱۳
اوج را نمائیش میدهد اگرچه این دو قطعه خط که ما رسم کرده ایم یک
دیگر را قطع نمیکنند ولی معلوم ا
است که اگر آن ها را امتداد دهیم س۱۸
بالاخره یک دیگر را قطع مینمایند بالعکس در س ۱۹ از تقاطع آن دو ج
خط چیزی معلوم نمی شود و از
تجربه نیز چیزی نمیتوان بدست س ۱۹
آورد .
بعدها خواهیم دید که دلائل هندسی جواب قطعی راجع باین دو خط
و بسیاری چیز های دیگر را خواهد داد که بنظر و چشم نمیتوان تعیین
نمود .
۱۷- قطعه خط - دو نقطه ا و ج را بواسطه یک خط مستقیم
بهم وصل میکنیم (س ۲۰) ولی قسمتی که بین آن دو نقطه واقع
است بیشتر ترسیم نمی نمائیم بنا بر این جزئی از یک خط مستقیم بدست
آمده است که آن را قطعه خط می نامند و دو نقطه اوج دو انتهای
آن می باشند پس می گوئیم :


۱۴
قطعه خط قسمتی است از خط مستقیم که بین دو نقطه
واقع شده باشد که آنها را دو انتهای آن قطعه خط
می نامند. ا ۲۰ ج
١۵- قطعه خط های مساوی - فرض می کنیم دو قطعه خط
ا ج و د م در دست باشند س۲ ابتداء ستاره را در کنار قطعه
خط دم قرار میدهیم و در کنار آن دو نقطه ک و ل را مطابق با
آن دو نقطه نشان می کنیم بعد ستاره را طوری در کنار خط ا ج
قرار می دهیم که نقطه ل مطابق با نقطه ا واقع شود بعد در روی
کاغذ نقطه ن را که مطابق با نقطه ک است نشان می نمائیم پس
در این صورت قطعه خط ج ا
م د را بر روی قطعه خط ق ن
ا ج نقل کرده ایم معمولاً ن ج ل
این نقطه ن بر روی نقطه ک ل
س ۲۱
ج واقع نمی شود در این صورت می گویند که این دو قطعه خط نا
مساوی هستند ولی اگر نقطه ن و ج بر روی یک دیگر واقع


۱۵
شوند می گوئیم آن دو قطعه خط با هم مساوی هستند زیرا که پس
از نقل بر روی هم منطبق شده اند پس بطور کلی می فهمیم که :
دو قطعه خط در صورتی مساوی هستند که بتوان
آنها را بر روی یکدیگر منطبق نمود .
۱۹ - تبصره - برای آنکه دو قطعه با یک دیگر مساوی باشند
نه فقط لازم است که خطوط غیر محدودی که شامل آنهاستند بر روی
هم واقع شوند بلکه لازم است که دو انتهای آنها نیز بر روی
هم بیفتند .
۲۰ - قطعه خط های نامساوی - دو قطعه خط ا ج و م د
(ش ۲۱) با یک دیگر مساوی نیستند زیرا که نقطه ن بر روی نقطه
ج واقع نشده است و چون نقطه ج ما بین ا و ن واقع شده است
پس می گوئیم قطعه خط ا ج کوچک تر از قطعه خط م داست و
یا اینکه قطعه خط م د بزرگتر از قطعه خط ا ج می باشد .
۲۱- اندازه یک قطعه خط-
در روی خط غیر محدودی سه نقطه ا س ن م ش ۲۲


١٦
مانند ا و ج و د اختیار می کنیم می بینیم که قطعه خط ا د حاصل
جمع دو قطعه خط ا ج و ج د است و این طور می نویسم :-
د ج + ج ا = ا د
حال اگر دو قطعه خط ا ج و ج د با دو قطعه خط ن م
و ل ک مساوی باشند واضح است که ا د حاصل جمع ل ک
و م ن نیز هست و این طور می نویسیم
ل ک + ن م = ا د (سر ٢٢)
از آنچه گفته شد وسیله بدست آوردن حاصل جمع چندین
قطعه خط بدست می آید یعنی برای این کار کافی است که آنها
را سربسر در روی یک خط مستقیم قرار دهیم (عشا) چون ا د
حاصل جمع دو قطعه خط ا ج و ج د است پس می گوئیم ج د
باقی ماندۀ تفریق ا ج از ا د می باشد .
اگر پنج قطعه خط مساوی ا ج و ج د و د ل و ل م و م ن
را سربسر پهلوی هم ن م ل د ج ا
قرار دهیم سر ٢٣ سر ٢٤


۱۷
میگوئیم قطعه خط ان پنج برابر قطعه خط اج است و اج خمس
ان می باشد.
برای اندازه گرفتن یک قطعه خط آن را با یک قطعه خط دیگر
که برای وحدت انتخاب کرده اند مقایسه می نمایند غالباً این واحد
همان متر است که در حساب مذکور است و متری که ما در مدرسه
استعمال می کنیم ستاره است که کنار آن به ده قسمت مساوی
موسوم به دیسیمتر تقسیم شده و هر یک از آنها به ده سانتی متر وغیره
ولی ما در اینجا واحد را سانتی متر قرار میدهیم زیرا که بعدها برای
اندازه در ترسیمات هندسی هم بسیار مفید است.
اگر قطعه خطی مقابل با چهار قسمت سانتی متری ستاره ما باشد
میگوئیم طول آن چهار سانتی متر است و یا آنکه اندازه آن ۴
است در صورتی که واحد سانتی متر باشد.
نتیجه هر اندازه بالطبع دارای دو قسمت است.
اول- ذکر واحد منتخبه.
دوم- بیان عددی که معلوم می کند آن قطعه خط چند برابر واحد


۱۸
است پس بطور کلی میگوئیم.
اندازۀ هر قطعۀ خط عددی است که معین
میکند آن قطعه خط چند برابر واحد است .
۲۲ - تا حال آنچه گفتیم در صورتی بود که اندازۀ قطعۀ خطی
صحیح باشد ممکن است هرگاه چندین سانتی متر را پهلوی یکدیگر
قرار دهیم هرگز مساوی با قطعه خط مفروضی نشود مثلاً در سر ۲۴
قطعه خط ا د بزرگتر از چهار سانتی متر و کوچک تر از پنج سانتی متر
است . د ج ا
سر ۲۴
فرض میکنیم نقطۀ ج سر چهار سانتی متر باشد اگر ستارۀ ما
به میلیمتر هم قسمت شده باشد معلوم می شود که اندازۀ قطعه دج
۳ میلیمتر یا ۳/۱۰ سانتی متر است پس بر روی هم اندازۀ قطعۀ
خط ا د مساوی با ۳/۱۰ + ۴ یا ۴ و ۳/۱۰ سانتی متر است .
اگر برای اندازه گرفتن قطعه خط دج بهمان اشکالی که برای
اندازۀ ا د برخورده بودیم بر خوریم چون ستارۀ ما اندازۀ کمتر از
میلیمتر ندارد بنابر این مثلاً ممکن است که اندازۀ قطعۀ خط ما


۱۹

از ۴٫۵ میلیمتر بیشتر و از ۴٫۶ میلیمتر کمتر باشد پس میگوئیم که
اندازهٔ قطعه خط مابین ۴٫۵ و ۴٫۶ سانتی متر است و این
دو عدد را اندازه های تقریبی آن میگویند.
۲۳- سطح - از ملاحظه نقاط اجسام مادّی که با هوا مجاورند
برای ما خیالی از سطح حاصل می شود مثلاً یک صفحه کاغذ و
پوست نازک یک میوه نمایش سطح را می دهند.
۲۴- سطح مستوی - ساده ترین سطوح سطح مستوی است
مثلاً سطح یک میز و یک دیوار و آب ساکن در یک ظرف کوچک
نمایش آن را می دهند.
۲۵- خواص میزۀ سطح مستوی - وقتیکه نجاری بخواهد
سطح میزی را صاف نماید برای
امتحان آن ستّاره را برداشته
از هر طرف روی آن قرار میدهد
و بدقت می بیند که کناره ستّاره کاملاً
روی سطح میز واقع شده است یا نه (ش ۲۵) اگر سطح میز صاف


۲۰
باشد همینکه دو نقطه از کنار ستاره روی آن واقع شد
تمام کنار آن روی سطح نیز واقع میشود ولو ستاره
را بوصف های مختلفه روی آن قرار دهیم پس ازین رو می
توانیم بگوئیم.
سطح مستوی آن است که هر گاه دو نقطهٔ واقعهٔ
روی آن را با خط مستقیمی بهم وصل کنیم تمام آن
خط بروی آن سطح واقع شود.
۲۶ - لغزش سطح مستوی بر روی خود- هر گاه یک
قطعه مقوا را که یک طرف آن نوشته باشد برداشته
روی میزی قرار دهیم بقسمی که طرف سفید آن روی
سطح میز واقع شود دو سطح داریم که بر روی هم واقع شده
و در تمام نقاط بر هم منطبق شده اند و هر قدر هم مقوا را
حرکت دهیم و بر روی میز بلغزانیم این انطباق بر هم نخواهد
خورد پس مانند علما میگوئیم :
يك سطح در روی سطح دیگری می تواند بلغزد.


۲۱
یا بطور اختصار :
يك سطح ممکن است بر روی خود بلغزد.
۲۷ - انعکاس - همین تجربه را ممکن ست تکرار کنیم در
صورتیکه مقوا را از طرف نوشته بر روی میز قرار دهیم در این
صورت می گویند که سطح منعکس شده است:
پس میتوان دو سطح را بدو طریق بر روی هم منطبق نمود:-
اوّل - بدون انعکاس .
دوم - با انعکاس .
۲۸ - اشکال هندسی - اشکال هندسی از اجتماع نقاط
و خطوط و سطوح تشکیل می شود. اگر تمام نقاط و
خطوط در یک سطح مستوی رسم شده باشند
آن ها را اشکال مسطحه می نامند و تحصیل آن ها را هندسه
مسطحه می گویند و تحصیل اشکال غیر مسطحه را هندسه
فضائیه می نامند.


۲۲
فصل دوم
زوایا
۲۹ - نیم خط - نقطه مانند ا فرض می کنیم س ۲۶ بعد از آن
نقطه شروع کرده یک خط مستقیم رسم می کنیم ولی همیشه مداد
را بیک جهت می کشیم بدین طریق یک نیم خط بدست می آید.
نقطهٔ ا را مبداء نیم خط می نامند.
ا
س ۲۶
می توان نیم خط را الی غیر النهایه امتداد داد مشروط بر آنکه از
نقطهٔ ا تجاوز ننماید پس نیم خط فقط از یک طرف غیر محدود است
و به همین جهت است که آن را نیم خط می نامند. حال اگر در پی ۲۶


۲۳
یک خط غیر محدود ا ج نقطه مانند ه فرض کنیم (ش ۲۷) دو نیم
خط ه ج و ه ا خواهیم داشت اگر بخواهیم از مبدء شروع کرده
این دو نیم خط را رسم کنیم باید یک دفعه مداد را بطرف راست
برای رسم کردن ه ج و دفعه دیگر بطرف چپ برای رسم کردن
ه ا حرکت
دهیم می گوئیم که این دو نیم خط در دو جهت مختلف هستند.
۳۰ - زوایا - دو نیم خط را که از یک نقطه ه شروع می
شوند (ش۲۸) ملاحظه می کنیم آنها زاویه تشکیل می دهند نقطه ه رائس
زاویه بینامند و دو نیم خط ه ا و ه ج را دو ضلع آن می گویند
البته معلوم است که از یک طرف هر دو غیر محدود میباشند زیرا
ا
ه
ج
ش۲۸


۲۴
که نیم خط هستند بنابرین به تعریف ذیل میرسیم :-
زاویه شکلی است که حاصل میشود از دو نیم خط
که مبداء شان مشترک باشد .
۳۱ - اگر کلمۀ از تعریف مذکور تغییر کند غلط می شود و تقریباً
تمام تعریفهای هندسی همین طور است مثلاً اگر بگوئیم :
زاویه شکلی است حاصل از دو خط مستقیم که یک نقطۀ
مشترک داشته باشند درین صورت س۲۹
در نظر ما مجسم می شود که مقصود ما نیست - و
نیز اگر بگوئیم : زاویه شکلی است حاصل از دو
نیم خط که یک نقطۀ مشترک داشته باشند
س۳ ممکن است در نظر ما بیاید که شباهتی س۲۹
به س۲۸ ندارد .
۳۲ - تعیین زاویه - برای تعیین
یک زاویه ابتدا یک نقطه از یک ضلع بعد
از ان نقطۀ راس و سپس نقطۀ از ضلع س۳۰


۲۵

ثانی رامی خوانند مثلاً در س ۲۵ میتوان بگوئیم زاویه ا ه ج و ج ه د
اگر زاویه به تنهائی رسم شده ممکن است (س ۳۰) آن را فقط
بحرف راس تبیین نمود ولی در س ۲۹ چهار زاویه داریم که یک راس
مشترک دارند بنا بر این ممکن نیست هیچیک از آنها را به حرف ه
بخوانیم.

۳۳ - زوایای مساویه - دو زاویه در صورتی مساوی هستند
که بتوان آنها
را بر یک دیگر
منطبق نمود س ۳۱
اگر کاغذ نازکی

س ۳۲

روی زاویه اَ هَ دَ گذاشته آن زاویه را روی کاغذ نازک
رسم کنیم بعد آن را در روی زاویه ا ه د قرار دهیم بقسمی که نقطه
هَ روی نقطه ه و ضلع اَ هَ بر روی ضلع ا ه و ضلع هَ دَ بر روی
ضلع ه د واقع گردد آن وقت دو زاویه اَ هَ دَ و ا ه د با یکدیگر
مساویند درینجا بهیچ وجه لازم نیست که نیم خط هَ اَ با نیم خط ه ا و ان

له دیک ه یک د یک


۲۶

یک طول باشند زیرا که در تساوی زوایا فقط انحراف اضلاع از
یک دیگر شرط است نه طول آنها .
۳۴- حاصل جمع دو زاویه - زوایای مجاوره - ابتدا سه
نیم خط ه ا وه د وه ج را که دارای یک راس مشترک هستند
رسم می کنیم (سر ۳۲) .
از روی شکل معلوم
است که زاویه ا ه ج
مجموع دو زاویه ا ه د و سر ۳۲
د ه ج است و آن را این طور می نویسم
د^ه ج + ا^ه د = ا^ه ج
و بر روی آنها این علامت را ^ که مخصوص زاویه است میگذاریم .
دو زاویه ا ه د و د ه ج را که دارای راس مشترک ه
و یک ضلع مشترک ه د می باشند و در طرفین آن ضلع مشترک
واقع شده اند زوایای مجاوره می نامند .
فقط مقصود از مجاوره آن است که پهلوی یک دیگر واقع


۲۷

ش ۳۴
ش ۳۳
شده اند - دو زاویه ا ج د و د ه ل در س ۳۳ و دو زاویهٔ
ا ه د و ا ه ج در س ۳۴ با یک دیگر مجاور نیستند.
بنابر آنچه مذکور شد تعریف ذیل بدست می آید:-
دو زاویهٔ مجاوره آن هائی هستند که دارای
رأس و يك ضلع مشترك می باشند و در طرفین
آن ضلع مشترك واقع شده اند.
از روی تعریف فوق میتوان حاصل جمع دو زاویه را بدست
آورد زیرا که با کاغذ نازک یکی از آنها در مجاورت دیگری نقل
می کنیم و مسئله راجع می شود به حالت س ۳۲.


۲۸
۳۵ - اضعاف و اجزای یک زاویه - با کاغذ نازکی سر ۳۵
را تشکیل می دهیم یعنی چهار زاویه ا ه ج و ج ه د و د ه ل
و ل ه م را با یک دیگر مساوی و دو بدو مجاور هم قرار میدهیم
از روی این شکل معلوم می شود
که زاویه ا ه م چهار
برابر زاویه ا ه ج
است یا آنکه زاویه
ا ه ج ربع زاویه
ا ه م میباشد و نیز اضعاف و اجزاء زاویه مشخص می شود.
۳۶ - زاویه قائمه - یک صفحه کاغذ که کنار آن صاف
باشد انتخاب می کنیم (سر ۳۶) بعد آن را تامی کنیم بقسمی که دو
قسمت
آن بعد
از تاشدن
درست بر


۲۹
روی یک دیگر واقع نشوند آن وقت تلی آن را خوب نشان کرده
کاغذ را باز می کنیم کنار کاغذ با تای آن مانند س ۳۷ میشود درینجا
دو زاویه مجاوره ج ه د و ه ا با همدیگر مساوی هستند زیرا که
برای تا کردن کاغذ آنها را بر
یک دیگر منطبق نموده ایم دو ضلع
خارجی یا غیر مشترک آن ها بر
یک خط مستقیم واقع شده
اند حال هر یک از این دو زاویه
را یک زاویه قائمه مینامند پس می گوئیم :
هر گاه در دو زاویه مجاوره مساوی دو ضلع
غیر مشترک بر يك خط مستقیم واقع شوند هر
يك از آنها يك زاویه قائمه است .
۳۷ - از روی تعریف مذکور هرگاه دو زاویه قائمه در مجاورت
یک دیگر واقع شوند اضلاع خارجی انها بر استقامت یک خط
واقع می شوند .


۳۰
۳۸ - عمود - وقتیکه خطی از مبد أ نیم خطی عمود کند و با آن دو زاویه مجاورهٔ قائمه احداث کند میگویند که آن نیم خط عمود است بر خط .
مثلاً در س ۳۷ ج ه عمود است بر ا د .
۳۹ - گونیا - گونیا قطعهٔ چوبی است
که مانند س ۳۸ میباشد سه لبهٔ ا ج و ا د
و د ج خطوط مستقیمه هستند و زاویهٔ
ا د ج قائمه است برای سهولت
استعمال در وسط آن سوراخی نموده اند.
۴۰ - امتحان گونیا - ابتداء مانند
یکی کنارهای آن را امتحان میکنیم که خط مستقیم باشند بعد معلوم میکنیم که زاویهٔ ا د ج قائمه است یا نیست برای این کار (س ۳۹) ستارهٔ در کنار خط مستقیمی مانند ل د قرار داده گونیائی را که میخواهیم امتحان کنیم بران تکیه می دهیم (مانند تصویری که با خطوط پر در س ۳۹ کشیده شده است) .


۳۱
بعد نیم خطی مانند
ا ج در کنار آن با مداد
رسم می کنیم اگر گونیا
صحیح باشد باید دو
زاویه ا ج د و ا ج ل
قائمه باشند برای
سر ۳۹
تحقیق این مسئله ستاره را حرکت نداده گونیا را بر می گردانیم بقسمیکه
کنار آن در همان نقطه ج واقع باشد (مانند تصویری که با نقطه
چین در سر ۳۹ رسم شده است) مجدداً در کنار آن خطی می کشیم
اگر مانند سر ۴۰ این دو نیم خط
بر یک دیگر منطبق شدند گونیا
صحیح است زیرا که دو زاویه
مجاورہ مساوی هستند - و
اگر مانند سر ۴۱ دو نیم خط از ل
یک دیگر متمایز باشند گونیا
ج
سر ۴۰
د


غلط است.

م
ك
ل
ج
د
ش ۴۱

۴۱ - تبصره - اگر گونیا صحیح باشد مسئله ذیل را حل
کرده ایم :
از نقطهٔ واقعهٔ برخطی نیم خطی بران عمود
کرده ایم :
۴۲ - اندازه زوایا - در این جا نیز همان طور که قطعه خط را
اندازه گرفته ایم عمل می کنیم - یعنی آن را بازاویه که برای واحد
زاویه انتخاب کرده ایم می سنجیم.
چون سابقاً اجزاء زاویه را فهمیدیم پس می توانیم فرض کنیم
که یک زاویهٔ قائمه به ۹۰ قسمت مساوی تقسیم شده آن قسمت
ها دو بدو باهم مجاور هستند اگرچه نمی توانیم عملاً چنین شکلی را رسم


۳۳
کنیم ولی وجود آن برای ما معلوم است این قسمت را که ۹۰/۱ زاویه
است یک درجه مینامیم پس می‌گویم:
درجه عبارت است از يك نودم زاویه قائمه
پس ازین استعمال آلتی را خواهیم آموخت که بتوسط آن
درجات زوایا را می توانیم اندازه بگیریم همان طور که با متر طول
قطعه خط ها را اندازه می گرفتیم .
۴۳- زاویه حاده - زاویه منفرجه - زاویه حاده زاویه
است که از زاویه قائمه کوچکتر باشد .
مثلاً در س ۴۲ زاویه آ
ا ج د حاده است.
زاویه منفرجه آنست
که از زاویه قائمه بزرگتر باشد
مثلاً در س ۴۳ زاویه ا ج د
منفرجه است .
۴۴- زاویه ۱۸۰ درجه - د
سر ۴۲ ج
ر
سر ۴۳ ج


۳۴

همان طور که در ع ۳۵ معمول داشتیم اگر ۱۸۰ زاویه را که هر یک
مساوی یک درجه باشند بمجاورت یک دیگر قرار دهیم ۹۰ زاویه
اوّل یک قائمه تشکیل میدهند و ۹۰ زاویهٔ ثانی هم یک قائمه
می باشند شکلی که حاصل میشود عیناً مثل آن میماند که دو زاویهٔ
قائمه مجاوره رسم کرده هر یک را به ۹۰ درجه قسمت کرده باشیم س ع ۳۴
آن دو زاویهٔ قائمه را بدون
تقسیمات جز نشان میدهند
بنا بر ع ۳۷ میدانیم که ه ج و
ه ا بر استقامت یک خط
میباشد.
سر ع ۴۱
شکلی که از ه ا و ه ج تشکیل می شود یک زاویهٔ تشکیل
میدهند زیرا که آن دو نیم خط از یک مبدء مشترک شروع شده
اند فقط خاصیّت این زاویه آن ست که اضلاع آن در امتداد
یک دیگر میباشند و دیدیم که آن زاویهٔ مجموع ۱۸۰ زاویه یک درجه
است پس میگوئیم:


۳۵

دو نیم خط که دارای مبدء مشترک و در امتداد
یکدیگر باشند يك زاویه ۱۸۰ درجه تشکیل میدهند
۴۵- زوایای مکمله - دو زاویه را مکمله میگویند
در صورتیکه مجموع آنها ۱۸۰ درجه باشد.
مثلاً دو زاویهٔ قائمه مکمل یکدیگرند.
ساختن دو زاویه مکمله خیلی آسان است مثلاً (سر۴۵)
دو زاویهٔ مجاوره د ه ج و د ه ا که اضلاع خارجی آن ها بر استقامت
یک خطند رسم می کنیم واضح است که مجموع آنها ۱۸۰ درجه
است و مکمل یکدیگرند
پس می توانیم بگوئیم :
هرگاه اضلاع خارجی
دو زاویهٔ مجاوره بر استقامت
يك خط باشند آن دو زاویهٔ مکمل يك دیگراند.
۴۶- مسئله- معلوم کنید که دو زاویهٔ مفروضه
مکمل یکدیگرند یا نه.


۳۶

معلوم کردن این مسئله خیلی آسان است زیرا که آن دو زاویه
را که در مجاورت یک دیگر قرار میدهیم اگر مکمل هم باشند مجموع آنها
۱۸۰ درجه است و آن وقت (ع ۴) اضلاع خارجی آنها بر
استقامت یک خطند و اگر مکمل هم نباشند اضلاع خارجی
آنها بر استقامت یک خط نخواهند بود ازین روی می توان
گفت :

هرگاه دو زاویه مجاور مکمل یکدیگر باشند
اضلاع خارجی انها بر استقامت يك خطند.

۴۷- تعریف و قضیه- درینجا در بیان دو مطلب فوق
قدری تامل می کنیم زیرا که آن ها مطالب جدیدی را که کشف
کرده ایم بیان می کنند این طور بیانات را قضیه می گویند ولی
باید قضیه را از تعریف مجری نمود زیرا که تعریف باشی جدیدی
را می شناساند (ع۳۰ تعریف زاویه) در صورتی که قضیه را
نتیجه است که از امتحان دقیق شکل معینی بدست می آوریم و
این امتحان خاصیت جدیدی از آن شکل را بر ما معلوم مینماید.


۳۷

۶۸ - فرض و مستنبط - حال برمیگردیم به قضیه ع۴ در آنجا
زوایای مجاوره را تحصیل می نمائیم ولی آنها زوایای غیرمعین
نیستند زیرا که اضلاع خارجی آنها بر استقامت یک خطند
این مسئله را فرض می نامیم ۔ همین که این فرض را کردیم از آن
استنباط می نمائیم که آنها مکمل یک دیگرند پس می توان نتیجه
ع۴ را چنین بنویسیم .
قضیه ۔ گفتگو ما بر سر زوایای مجاوره است.
فرض: اضلاع خارجی آنها بر استقامت یک خطند .
مستنبط ۔ آنها مکمل یک دیگرند.
بهمین طریق نتیجه ع۶ این طور نوشته می شود.
قضیه ۔ گفتگو ما بر سر زوایای مجاوره است.
فرض - آنها مکمل یک دیگرند .
مستنبط- اضلاع خارجی آنها بر استقامت یک خطند.
۶۹ - قضایای معکوسه - از دو مثال فوق بر ما معلوم
می شود که آن دو قضیه روابط زیادی با هم دارند زیرا که فرض یکی


۳۸

مستنبط دیگری و مستنبط یکی فرض دیگری است در این وقت
می گوئیم که این دو قضیه عکس یک دیگرند.
۵۰- زوایای متممه - دو زاویه را متمم یک دیگر
میگویند در صورتیکه مجموع آنها ۹۰ درجه
باشد.
سر ۴۶ نمایش میدهد
یک زاویه قائمه ا ه د را که
مجموع دو زاویه حاده ا ه ج
و ج ه د است این دو زاویه
اخیر متمم یک دیگراند.
۵۱- مجموع چندین زاویه که پی در پی با هم
مجاورند و آخرین دو ضلع آنها در استقامت يك
خط مستقیمند - نقطهٔ مانند ه بر روی خط ا ج اختیار
کرده (سر ۴۷) نیم خطهای ه د و ه ل و ه م را تماماً در یک
طرف خط ا ج رسم میکنیم از ترسیم آنها چهار زاویهٔ م ه ج و


۳۹
ل ه م و د ه ل و ل ه د بدست می‌آید که متواتراً بک یک دیگر مجاورند و مجموع شان زاویۀ مخصوص ا ه ج ه ل یا ۱۸۰ درجه است
سر ۴۷
واضح است که مجموع آنها تغییر نمیکند هر قدر عده نیم خط ها را زیاد یا کم کنیم پس ازین دو قضیّۀ ذیل حاصل می‌شود :
قضیّه - مجموع زوایائیکه دو بدو با هم مجاورند و آخرین دو ضلع آنها بر استقامت يك خط است مساوی است با دو زاویۀ قائمه :
۵۲ - حال یک نیم خط ه ل را ملاحظه می کنیم (س ۴۸) و فرض می کنیم که ۸۰ ازاویۀ مجاوره با یک دیگر از رأس ه رسم شده باشد که ضلع اول آنها ه ل باشد می دانیم که آخرین ضلع آنها ه د در امتداد ه ل واقع خواهد شد حال اگر باز هم از نیم خط
سر ۴۸


۴۰
ه د تجاوز کرده ۸۰ ۱ زاویه یک درجه از ه د به بعد پهلوی هم رسم
کنیم آخرین ضلع آخرین زاویه در امتداد ه د یعنی ه ل خواهد بود-
پس به نتیجه ذیل می رسیم:
٣٦٠ زوایه یک درجه که متواتراً با یکدیگر مجاور
باشند تمام سطح را می پوشانند.
۵۳ - مجموع زوایائیکه متواتراً با یکدیگر مجاورند
و تمام سطح را می پوشانند.
چندین نیم خط (مثلاً پنج نیم خط) فرض می کنیم که دارای مبدء
مشترکی باشند (سر۴۹)
پس بترتیب پنج زاویه
ل ه د و د ه ج وج ه م
وم ه ل و ل ه ل را
خواهیم داشت که تمام سطح
را می پوشانند- پس
مجموع آنها چهار زاویه قائمه یعنی ۳۶۰ درجه است این حاصل


۴۱

جمع تغییر نمی کند هرگاه عده زوایا را تغییر دهیم یعنی زیاد یا کم کنیم
پس این مطلب را چنین بیان می کنیم :
قضیه - مجموع زوایائیکه پی در پی با یکدیگر
مجاورند و تمام سطح را می پوشانند مساوی است
با چهار قائمه .
۵۴ - زوایای محدب - زوایای مقعّر - دو زاویه مساوی
با هم مثلاً ۴۵ درجه رسم می کنیم (س ره و س ۵) و مانند شکل ها
شور می زنیم در س ره در
قسمت هاشور زده می توان
۴۵ زاویهٔ یک درجه پی در پی
مجاور قرار داد که آخرین اضلاع
آنها ج ، و ج ا باشند سر ۵
و در قسمت هاشور زده س ره می توان از ا ، شروع کرده
۳۶۰ - ۴۵ = ۳۱۵
زاویهٔ یک درجه پی در پی مجاور قرار داد که آخرین ضلع آن


۴۲

ه ج باشد.
حال اگر ہاشور ہا را برداریم می بینیم که ہردوی این زوایا دارای یک شکلند و معلوم نیست که زاویۀ ما ۴۵ یا ۳۱۵ درجه است تاحال باین اشکال برنخورده بودیم برای رفع آن چنین میگوئیم :

زاویۀ محدب آنست که از ۱۸۰ درجه کوچک تر باشد
زاویۀ مقعر آنست که از ۱۸۰ درجه بزرگتر باشد من

س ۵۱

بعد ہر جا که مطلقاً زاویه بگوئیم مقصود ہمان زاویه محدّب است مگر آنکه کلمۀ مقعر را ذکر کنیم .
۵۵ - مسئله - مکمّل زاویۀ مفروضی را رسم کنید
در این جا قضیّۀ ۵۴ حل این مسئله را برای ما می نماید اگر (س۵۲)


۴۳

ه ج زاویهٔ مفروضه باشد ضلع اه را از آن طرف رأس
امتداد می دهیم تا ه اَ (الف یک) بدست بیاید از امتداد
آن زاویهٔ اَ ه ج بدست می آید که مکمل زاویهٔ ج ه ا است
(مثله) بدین ترتیب
جواب ج ه اَ بدست
آمده که در آن یک نقطه
علامت می گزاریم
بجای آنکه ا ه را امتداد
سر ۵۲

دهیم می توانیم ه ج را امتداد دهیم که ه جَ بدست بیاید ـ و
ازان زاویهٔ ا ه جَ نتیجه می شود که متمم زاویهٔ ا ه ج است
و آن را هم بواسطه یک نقطه علامت می گذاریم این دو زاویه
که یافته ایم باهم مساوی اند زیرا واضح است که فقط یک زاویه
می توان یافت که چون بر زاویهٔ ا ه ج افزوده شود ۸۰ ا درجه
گردد - این دو زاویهٔ وضع مخصوصی بیکدیگر دارند یعنی اضلاع
شان در امتداد یک دیگرند این چنین زوایا را متقابل براس


۴۴
میگوئیم .
از آنچه مذکور شد چنین معلوم می شود :
۵۶ - تعریف - دو زاویه را در صورتی متقابل
برأس می گویند که اضلاع یکی از امتداد دادن
اضلاع دیگری در آن طرف راس حاصل شود.
۵۷ - قضیه - دو زاویهٔ متقابل براس با هم
مساوی اند.
زیرا که هر دو مکمل یک زاویه اند (۵۴)
۵۸ - تبصره - در ۵۵ مسئله داشتیم که جوابش فوراً بنظر
میآمد فقط دلیلی نبود که ضلعی را بر دیگری ترجیح داده آن را امتداد
دهیم در وقتیکه هر دو را امتداد داده نتایج آنها را مقایسه کردیم
قضیه را کشف کردیم که سابقاً بنظرمان نمی آمد .
این قاعده غالباً در هندسه نتایج خوب دارد زیرا وقتیکه
شکلی را بتوان بچندین طریقه ترسیم نمود غالباً ترسیم تمام آنها و
مقایسهٔ نتایج حاصله برای ما فائده خواهد داشت .


۴۵
۵۹- خط عمود- خطی مانند ا ج (۵۳) رسم می کنیم و باگونیا
(مطابق عن۴ و عا۴) نیم خط ه د را بر ان عمود می کنیم واضح
است که اگر از همین طرف
ا ج نیم خط دیگری غیر از ه د
مانند ه دَ رسم کنیم دو زاویه
دَ ه ا و دَ ه ج با هم مساوی
نیستند و نیم خط ه دَ عمود بر
ا ج نیست ازین مسئله معلوم
می شود که :
از نقطهٔ واقعه برخطی در یکطرف آن بیش از
يك نیم خط نمیتون رسم کرد که بر ان عمود باشد.
از اینکه گفتیم در یک طرف خط مقصود ما معلوم است.
زیرا که ممکن است باگونیا در طرف دیگر ا ج نیم خط ه م را هم
بر ان عمود رسم نمود.
دو زاویهٔ د ه ج و ج ه م قائمه و با هم مجاورند پس ه د و


۴۶
هم بر استقامت یک خط اند دو خط ا ج و د م را بر یک دیگر
عمود میگویند و چهار زاویه که تشکیل می دهند قائمه می
باشند ازین رو چنین استنباط می کنیم :
قضیه - از نقطه واقعه بر خط فقط يك خط میتوان
رسم کرد که بران عمود باشد .
۶۰ - منصف الزّوایه - منصف الزّاویه خطی است
که از رأس زاویه عبور کرده و آن را بدو زاویه مساوی
تقسیم مینماید .
بعد ها ساختن منصف الزاویه خواهیم آموخت ولی عجالتاً
آن را به نظر رسم می کنیم مثلاً
در سر ۵۴ به نظر می آید که ج ه
منصف زاویه ا ه د است
زیرا که دو زاویه د ه ج و ج ه ا
به نظر مساوی می آیند . سر ۵۴
۶۱ - مسئله - می خواهیم خواص دو منصف دو


۴۷
زاویۀ مجاورۀ مکمله را معلوم کنیم.
سر ۵۵ دو زاویه ل ه ک و ک ه م و دو منصف آن ها یعنی
ه ج و ه ل را نشان
میدهد.
چون مجموع این
دو زاویه ۱۸۰ درجه
است (۴۵) پس
مجموع دو نصف آنها
۹۰ درجه خواهد بود.
ج ه ک نصف زاویۀ ل ه ک است و د ه ل نصف
ک ه م مجموع آنها زاویۀ ج ه ل می باشد که قائمه است.
پس می گوئیم:
دو منصف الزاویۀ دو زاویۀ مجاورۀ مکمله برهم
عمود میباشند.
۴۲-مسئله- میخواهیم خواص دو زاویۀ متقابل


۴۸

برأس را معلوم کنیم.
سره دو زاویهٔ
متقابل برأس لاه د
ولاه د را با دو
منصف آنها ه ج
وه ج نشان میدهد
مکمل این دو زاویه
یک زاویهٔ ده ل
است منصف این زاویه یعنی هل را رسم می کنیم مطابق نتیجه ۵۷
میدانیم که ه ج وه ل بر یک دیگر عمودند و همچنین هل و ه ج برهم
عمود می باشند ازینجا نتیجه می گیریم که چون ه ج وه ج هردو
بر ه ل عمودند پس بر استقامت یک خطند.
دو منصف دو زاویه متقابل براس در امتداد
یکدیگرند.
۶۳ - منصف زوایائیکه از تقاطع دو خط حاصل میشود


۴۹

اگر در سر ۵۶ ه ل منصف زاویهٔ ا ه ذ را رسم کنیم به همان طریق میتوانیم بفهمیم که آن در امتداد ه ل است.
تمام بیانات فوق را در قضیهٔ ذیل جمع می کنیم.
قضیه - چهار منصف زوایای که از تقاطع دو خط مستقیم حاصل می شوند دو خط عمود بر یکدیگرند.
ع۴۲ - مسئله - از نقطهٔ مفروضهٔ می خواهیم خطی بر خط مفروضی عمود کنیم.
در وقتیکه نقطهٔ مفروضه روی خط بود مسئله را حل کرده ایم (ع۴۱) حال بطور عموم مجدداً آن را حل می کنیم.
سر۵۷ مفروضات مسئله یعنی نقطهٔ ه و خط ا د را نشان می دهد ستاره خود را در کنار ا د قرار می دهیم (سر۵۸) بعد گونیا را بآن تکیه داده ب قدری آن را می لغزانیم که نقطهٔ ه در کنار یکی از اضلاع زاویهٔ قائمه آن واقع شود.


۵۰

ابتداء کنار گونیا خطی رسم کرده بعد آن را در طرف دیگر
اد نیز امتداد می دهیم
آن وقت سره بدست
ما می آید که در ان مسئله حل
شده است.
فرض می کنیم که کاغذ
را در امتداد اد تا کرده باشیم
س ۵
چون چهار زاویه حادثه که دارای رأس مشترک ج هستند قائمه
اند قسمت ج * بر روی
ج * واقع شده نقطه *
بر روی * واقع میگردد اگر
کاغذ ما نازک و شفاف باشد
از پشت کاغذ معلوم میشود
ولی ما خود بصحت آن یقین
داریم.
س و


۵۱

۶۵ - آنچه گفتیم بماراه دیگری برای حل مسئله بدست میدهد
بدینطریق که اول کاغذ را در امتداد اد تا می کنیم بعد با سوزنی دولای
کاغذ را در نقطۀ ه سوراخ می کنیم و چون کاغذ را باز کنیم نقطۀ ه
و ه در روی کاغذ نشان شده است خطی که این دو نقطه را بهم
وصل نماید عمود مطلوب است .
این قاعده برای ماچندان فائده ندارد زیراکه کاغذ ما راضائع
می کند ولی درعوض ازان مطلبی کشف می کنیم :
۶۶ - فرض می کنیم
ل نقطه باشد از ادغیراز
ج (س۶۰) وقتیکه کاغذرا
تاکردیم خط هل
بر روی خط ه ل واقع می
شود زیراکه نقطۀ ه بر روی
ه واقع شده نقطۀ ل
از جای خود حرکت نمیکند


۵۲
دو زاویۀ ه ل ج و ه ل ج که بر هم منطبق می شوند مساوی
اند - علاوه بران باهم مجاورند ولی قائمہ نیستند زیرا که اضلاع
خارجی آنها بر استقامت یک خط نیستند .
فقط نقطۀ ج طوری است که دو زاویۀ ه ج ل و ه ج ل
قائمہ هستند پس معلوم شود که از نقطۀ ه پیش از یک خط
عمود بر ا د نمیتوان رسم کرد - پس می گوئیم :
قضیہ - از نقطۀ واقعۀ در خارج خطی بیش از
يك خط عمود بران نمیتوان رسم نمود.
۶۷ - ترسیم شکل با گونیا مانند ع۶ بیش از یک طریقہ
نداشت بنابر این بر ما معلوم کرده بود که نمی توان پیش از یک
عمود رسم کرد بعد ها خواهیم دید که بعضی اسباب های دیگر موجود
که بوسیلۀ آنها هم از نقطۀ واقعۀ در خارج خطی می توان خطی
بران عمود نمود از روی امتحانات بعد دانستیم که تمام نتائج آنها
یکی خواهد بود ازینجا اختلاف بین تجربہ و تحقیقات علمی معلوم میشود.
۶۸ - تعریف - وقتیکه دو خط بدون آنکہ عمود باشند


۵۳
یک دیگر را قطع کنند می گویند نسبت بهم مایل هستند .
فصل سوم
دائره - اندازه زوایا
۶۹ - فاصلۀ دو نقطه - فاصلۀ دو نقطه عبارت است از قطعه خطی که آن دو نقطه را بیکدیگر وصل می نماید.
۷۰ - پرکار - پرکار یکی از آلات ترسیمات هندسی است (ش ۴۱) که دارای دو شاخه است یکی از آنها منتهی بیک سوزن نوک تیزی است و دیگری دارای یک نوک تیز دیگر با مداد یا خط کشی است بواسطۀ باز کردن یا بستن پرکار می توان فاصلۀ بین دو نوک آن را زیاد یا کم نمود .
ش ۴۱


۵۴
۷۱- دائره - پرکاری برداشته بیک شاخه آن مدادی
نصب میکنیم بعد نوک سوزن
آن را در نقطه ماننده (س ۲۲)
و سر مداد را روی کاغذ
قراری دهیم آنگاه آنرا
بدور خود می چرخا نیم آنوقت
خطی بدست ما می آید که نه
مستقیم است و نه از قطعات مستقمه تشکیل یافته و آن را
خط منحنی مینامیم و این خط منحنی مخصوص را یک دائره میگوئیم در
وقت ترسیم آن همواره فاصلۀ بین نوک سوزن و نوک مداد ثابت
بوده تغییر نکرده است پس تمام نقاط آن از نقطه ه بیک فاصله
است و نقطه ه را مرکز دائره می گوئیم پس می توانیم تعریف ذیل
را قرار دهیم :
دائره خط منحنی مسدودی است که تمام نقاط آن
بیک فاصله است از نقطه ثابتی موسوم بمرکز.


۵۵
۷۲- شعاع - شعاع دایره قطعه خطی است که مرکز را
بیکی از نقاط محیط وصل نماید مثلاً در سر ۶۲ ہ ا یک شعاع دایره
است از روی تعریف دایره می گوئیم :
تمام اشعه يك دایره با هم مساوی هستند .
۷۳ - قطر - قطر دایره قطعه خطی است که از مرکز عبور
کرده و از طرفین به محیط دایره
محدود شده است مثلاً در
سر ۶۳ ا ج یک قطر است
واضح است که :
اولاً هر قطر دو برابر
شعاع است .
ثانیاً تمام قطر های يك دایره با هم مساویند.
۷۴ - تعیین یک دایره - برای تعیین یک دائره
لازم است که مرکز و شعاع آن در دست باشد و ممکن است
مرکز و یک نقطه از آن نیز در دست باشد زیرا که فاصله بین


۵۶
مرکز و آن نقطه شعاع دائره است.
دائره را بحرف مرکز آن میخوانیم مثلا در سر ۶۳ میگوئیم
دائره ۰۸
۷۵ - داخل و خارج یک دائره - سر ۶۳ بخوبی مطالب
ذیل را نمایش میدهد
اولا اگر نقطه مانند ج در داخل دائره باشد
فاصله اش تا مرکز کوچکتر است از شعاع دائره.
بنا بر این ج ه کوچک تر است از د ه.
ثانیاً اگر نقطه مانند (م) در خارج دائره واقع
باشد فاصله اش تا مرکز بزرگتر است از شعاع
دائره -
بنا بر این م ه بزرگتر است از د ه.
۷۶ - قوس دائره - قسمتی از دائره را که بین دو نقطه
واقع شده باشد یک قوس می نامند بنا بر این قوس در دائره
همان معنی را دارد که قطعه خط در خط مستقیم در سر ۶۴ قوس


۵۷

اد را بخط درشت تر نموده
ایم قطعۀ دیگر که بهمان
خط نازک باقی مانده است
قوس دیگری از همان
دائره است.
۷۷ حرکت دورانی -
فرض می کنیم اراّبه را برگردانده س ۷۴
باشیم بقسمی که چرخ های آن در هوا باشند اگر چرخ های
آنرا بگردانیم حرکت آن را حرکت دورانی می نامند حال آن را
بطور تفصیل امتحان می کنیم:
یک ورقه مقوا برداشته آن را روی یک صفحه کاغذ گذاشته
هر دو را در روی تخته س ۷۵
رسم با سنجاق در نقطه ه
س ۷۵ ثابت می کنیم.
حال می توانیم قطعهٔ


۵۸
مقوا را بدور سنجاق بگردانیم بدون آنکه کاغذ حرکت کند و
نیز می دانیم که این عمل را ممکن است هر قدر بخواهیم امتداد
دهیم به قسمی که همیشه مقوا روی کاغذ باشد (ع ۲۶) مانند چرخ
ارابه قطعه مقوا هم دارای حرکت دورانی است فقط می گوئیم که
بدور نقطۀ ه دوران میکند.
۷۸- خاصیّت اصلی حرکت دورانی - حال فرض
می کنیم قبل از گذاشتن مقوا بر روی آن در نقطۀ ا سوراخی
کرده ایم به قسمی که
نوک یک مداد
بتوان دران داخل
کرد (س ۲۵) وقتیکه
مقوا را بدور نقطۀ
ه می گردانیم.
فاصلۀ بین دو نقطه
ه و ا پیوسته
س ۶۶


۵۹
ثابت است و تغییر نمیکند و نوک مداد یک دائره ترسیم مینماید
که مرکزش در نقطه ه و شعاعش ه ا است بدین طریق یک پرکار
خیلی ساده ساخته ایم.
هر نقطه دیگر از مقوا را بگیریم آنهم یک دائره ترسیم مینماید.
چون قطعه مقوا سطح متحرکی است که بدور نقطه ه میگردد
پس ازین رو بخاصیت اصلی حرکت دورانی می رسیم و آن
ازین قرار است :
در حرکت دورانی بدور يك نقطه ثابت تمام
نقاط سطح متحرّك دوائری ترسیم می نمایند که
مرکزشان آن نقطه ثابت است.
۷۹ - مرکز دوران - نقطه ثابت ه را که سطح ما بدور آن
گشته و نیز مرکز تمام دوائر مرسومه است مرکز دوران می
نامند -
۸۰ - تعریف - دوائری که دارای یک مرکز باشند
آنها را متحد المرکز می نامند در ش ۶۶ سه دائره متحد المرکز


۶۰
دیده می شود.
۸۱ - تغییر محل دورانی - فرض می کنیم در سر ۶۵ مجدداً
قدری قطعه مقوا را حرکت داده بعد متوقف شویم معلوم است
که قدری آن را از محل خود تغییر داده ایم چون این تغییر محل
از دوران حاصل شده آن را تغییر محل دورانی مینمائیم .
هر تغییر محل دورانی دارای دو حالت اصلی و انتهائی است.
۸۲ - تعریف تغییر محل دورانی بوسیله یک زاویه
و یک جهت - مجدداً قطعه مقوای سابق الذکر را که در نقطه
o ثابت و در نقطه
ا سوراخ شده
بود بر می داریم اگر
در نقطه l هم مانند
نقطه o سنجاقی بزمین
بکوبیم واضح است
که قطعه مقوا حرکت
سر ۶۷


نمی کند پس هرگاه نقطه (و) هم ثابت شود مقوا بی حرکت میشود
در صورتی که در حرکت دورانی نقطه (و) دائره رسم می کند که مرکزش
(ه) و شعاعش (ه) و است آن تغییر محل دورانی بدور نقطه (ه)
نقطه (و) را از محل خود بمحل (و) آورده است و نیم خط (ه) و مانند
عقربهٔ ساعت گردش میکند و آن ممکن است در همان جهت
عقربهٔ ساعت یا بر عکس آن حرکت نماید .
بنابرین تغییر محل دورانی بدو شئ ذیل کاملاً
مشخص می شود .
اولاً بواسطهٔ تعیین جهت دوران .
ثانیاً بواسطهٔ اندازهٔ زاویه (و) ه (و)
مثلاً می گوئیم قطعه مقوا بقدر ۳۰ درجه بدور نقطه (ه) در جهت
مخالف عقربه های ساعت حرکت کرده است .
۸۳ - جهت زاویه - فرض می کنیم زاویهٔ مانند ج ه (و)
کوچکتر از ۱۸۰ درجه در دست است بر روی یکی از اضلاع
آن علامت و در روی دیگری علامت میگذاریم (س۷) واضح است


۶۲
که در یک دوران بقدر زاویۀ ج ه ۱ ضلع ه ۱ بروی ضلع
ه ج خواهد افتاد و دوران هم در جهت مخالفت حرکت عقربه
های ساعت بوده است.
حال میگوئیم
زاویه ۱ ه ج
دارای جهت
مخالف عقربه های
ساعت است
سر ۶۸
و درین جا ابتدا حروف ۱ که متعلق به ضلع ه ۱ است می نویسیم.
حال اگر در همان زاویه نمره ۲ را تغییر دهیم (سر ۶۹) می بینیم که
زاویه دارای جهت عقربه های ساعت است.
از آنچه دیدیم
معلوم شد زاویه
که در روی صفحه
کاغذ رسم شده
سر ۶۹


۶۳
جهت معینی ندارد زیرا به آن می توانیم بمیل خود هر دو جهت ممکنه را بدهیم .
ولی هر وقت بروی انها نمره بگذاریم جهت شان معلوم می شود .
۶۴ - معاهده عمومی - من بعد هر وقت زاویهٔ ا ه ج بگوئیم مقصود مان آنست که اولین ضلع آن ا ه است که ابتدا بیان شده ازین رو جهت هر زاویه بخوبی معلوم است .
۶۵ - لغزش یک دائره بدور خود - واضح است که دو دائره متحد المرکز که دارای شعاعهای مساوی باشند بر روی یک دیگر واقع می شوند.
حال در روی قطعه مقوا و قطعهٔ کاغذی دو دائره بشعاع واحد رسم می کنیم اگر مانند س ۶۵ دو مرکز آن ها را در یک نقطه سنجاق کنیم و آن وقت مقوا را بدور مرکز دائره دوران دهیم واضح است که در تمام مدت دوران تمام نقاط آن دو دائره همواره


۶۴

بر روی هم واقع می شوند پس می توانیم بگوئیم (از روی ۷۱ و
۷۲ و ۷۶) .
قضیّه - هر دائره در حرکت دورانی بدور مرکز
بر روی خود می لغزد .
۸۶-تبصره راجع بلزوم تدقیق در مسائل هندسی-
بعضی اصطلاحات در هندسه باعث اشتباه می شوند و
باید در آنها تدقیق نمود .
مثلاً در ۷۱ گفتیم یک خط می تواند بروی خود بلغزد و در
اینجا می گوئیم ممکن است یک دائره بروی خود بلغزد واضح است
که این دو حرکت که بواسطه کلمۀ لغزش بیان شده با یک
دیگر متفاوت اند پس باید اصطلاح مبهم لغزش را از بین برد
به همین جهت لغزش ۸۵ را دوران می نامیم.
۸۷ - مسئله - در ۸۲ تغییر محل دورانی را درجهة
گردش يك نیم خط که از مرکز عبور کرده باشد دیدیم
حال میخواهیم خواص تغییر محلّ نیم خط دیگر را که


۶۵
آنهم از مرکز عبور کرده باشد معلوم کنیم.
فرض می کنیم
(ش ٧٠) ه ا نیم خطی
باشد که بواسطهٔ
دوران در جهت تیر
بمحل ه اٰ رسیده است
و نیز فرض می کنیم
ه ج نیم خط دیگری
باشد که از همان نقطه ه شروع شده است در وقت دوران
بمحل ه جٰ آمده و دو زاویهٔ (ا ه ج) و (اٰ ه ج) با هم مساوی
و دارای یک جهت اند زیرا که دو وضع مختلف یک زاویه
می باشند.
حال اگر بهر یک از این دو زاویه مساوی زاویه ج ه اٰ
را بیفزائیم دو زاویه ا ه اٰ و ج ه ج بدست می آیند که با هم
مساوی و در یک جهت اند.


۶۶
اگر نیم خط (س۱) ه آ در زاویه ا ه ج واقع شده است
پیوسته تساوی ذیل بر قرار است
آه ج ز ه ج
اما این دفعه لازم است که ازین دو زاویه مساوی زاویه آ ه ج را کم کنیم تا مجدداً
س۱
دو زاویه مساوی و در یک جهت ا ه ز و ج ه ج' بدست بیاید
پس قضیهٔ ذیل جواب مقصود ما را میدهد:
قضیه - در یک تغییر محل دورانی بدور یک نقطه تمام نیم خط هائیکه ازان نقطه خارج میشوند بقدر یک زاویه و در یک جهت دوران میکنند.
مثلاً هرگاه چرخ ارابه ۹۰ درجه دوران کند تمام اشعهٔ آن


۶۷

بقدر ۹۰ درجه و در یک جهت دوران می کنند.
۸۸ - زاویه مرکزی - در امتحانات سابقه زوایائی را ملاحظه
کردیم که اضلاع آنها اشعه دائره بودند پس مجبوراً راس آنها
مرکز دائره است و این گونه زوایا را زوایای مرکزی مینامند
هر زاویه مرکزی از
دائره یک قوس جدا
میکند مثلاً در س ۷۲
زاویه مرکزی اه ج از
دائره قوس ا ج را جدا
میکند و ما آن را بخط
درشت نموده ایم.
بالعکس همواره
می توانیم بهر قوسی مانند ا ج یک زاویه مرکزی مانند اه ج
مقابل کنیم.
۸۹- اوّلاً می خواهیم خواص چندین زاویهٔ


۶۸
مرکزی را که در یک دائره واقع و مقابل به قسی مساوی
اند معلوم کنیم.
ثانیاً میخواهیم خواص چندین قوس را که در
یک دائره واقع و مقابل بزوايای مرکزی مساویند
معلوم کنیم.
همان طور که در نیم خطها و زوایا گفتیم درین جا نیز میگوئیم :
دو قوس دائره در صورتی مساوی هستند که
بتوانند بر روی هم منطبق شوند .
اولاً - فرض میکنیم دو قوس مساوی ا ج و اَ جَ در دست
است (ش ۲۳) می توان آنها را بواسطه دوران در حول
نقطه ه و بقدر زاویه ا ه اَ بر روی هم منطبق نمود
در این حرکت قوس ا ج در روی همان دائره که شامل
آن است باقی می ماند.
(ش ۸۵) و وقتیکه ا روی اَ واقع شود بواسطه تساوی
قوسها نقطه ج نیز بر روی جَ واقع میگردد وقتیکه قوسها


۶۹

بر روی هم واقع شدند البته زوایای مقابل به آن با هم بر
روی هم واقع میگردند پس
با هم مساوی اند.
ثانیاً - اگر ابتدا فرض
کنیم که زوایا با هم مساوی
اند به همان طریق ممکن است
آن ها را بواسطه دوران
بدور نقطه ه بر هم منطبق
نمود پس چون قوس ها
هم بر روی هم واقع می شوند مساوی اند.
از مطالب فوق قضایای ذیل نتیجه می شوند.
قضیه - قوس های مساوی از يك دائره زوایای
مرکزی مساوی جدا میکنند.
قضیه - زوایای مرکزی مساوی در يك دائره
مقابل به قتی مساوی اند.


۷۰

۹۰ - رُبع دائره - دائره رسم کرده دو قطر ا ج و د ل
را بر یک دیگر عمود می کنیم (ش ۷۴) حال چهار زاویهٔ مرکزی قائمه
و مساوی با یک
دیگر داریم پس دائره
ما بچهار قوس مساوی
(ا د) و (د ج)
و (ج ل) و (ل ا)
تقسیم می شود هر
یک از آن ها را
ربع دائره میگوئیم
پس می گوئیم :
ش ۷۴
ربع دائره عبارت است از قوسی که بواسطهٔ
يك زاویهٔ قائمه مرکزی از دائره جدا شده باشد.
۹۱ - نیم دائره - دو ربع دائره یک نیم دائره میشود و
این مسئله واضح است که هر قطره دائره را به دو قوس مساوی


۷۱
تقسیم می کند زیرا که هر کدام ازان دو قوس مساوی دو ربع دائره است .
۹۲ - قوس یک درجه - حال فرض می کنیم (رس ۷۵) که هر زاویهٔ قائمه را به ۹۰ قسمت مساوی تقسیم کرده اند در رس ۷۵ برای وضوح مسئله هر یک را به ۹ قسمت مساوی تقسیم کرده ایم آن زوایای یک درجه در روی دائره قوسهای مساوی با یکدیگر جدا میکنند پس دائره ما به ۳۶۰ قسمت مساوی تقسیم می شود .
س ۷۵
واضح است که مثلاً یک زاویهٔ مرکزی ۲۵ درجه قوسی از دائره جدا می کند که مساوی قوس مقابل به ۲۵ زاویه یک درجهٔ


۷۲
است بالعکس اگرسی قوس کوچک را که هر یک بواسطۀ یک
زاویۀ مرکزی یک درجه از دائرہ جدا شده است پهلوی هم
قرار دهیم مقابل بیک زاویۀ مرکزی ۳۰ درجه خواهد بود .
اگر ما دائرۀ داشته باشیم که محیط آن به ۳۶۰ قوس مساوی
تقسیم شده باشد با آن می توانیم زوایا را اندازه بگیریم و چنین
آلت را نقاله می گوئیم .
قوس یک درجه قوسی است که بواسطۀ یک زاویۀ
یک درجه مرکزی از دائرہ جدا شده باشد .
۹۳ - تبصره - سر ۷۶ نشان می دهد که یک زاویۀ
مرکزی در روی دوائر مختلفه
قسّی غیر مساویہ جدا
میکند.
پس ایں عبارت (قوس
یک درجه) قوسی را معلوم
نمیکند مگر آنکه دائرہ اش معلوم باشد.


۷۳
بالعکس قطعه خط یک گزی بهیچ وجه تغییر نمی کند در
روی هر خطی که آن را بگیریم.
پس عبارت "قوس یک درجه" مختصر جمله ذیل است
قوسی که بواسطه یک زاویه مرکزی یک درجه از دائره
جدا شده باشد.
ع۹ - نقاله - نقاله نیم دائره است (ش۷۷) که محیط آن
به ۱۸۰ قوس مساوی تقسیم شده بعد ها طریق ساختن آن را
خواهیم دانست.
مرکز آن نیم دائره بطور وضوح معلوم است غالباً درجه

ش۷۷


۷۴

های آن از دو طرف است یعنی از ۱۸۰ درجه به صفر و از صفر به
۱۸۰ درجه.
اگر نقاله از ماده شفافی مانند شاخ و سلولوئید ساخته شده
باشد مانند سر ۷۸ است ولی اگر از چوب یا فلز باشد در وسط
آن سوراخ است و خط ا ج رسم ۷۸ قطر نیم دائره است.
مرکز آن بواسطه بریدگی کوچکی نمایان است.
هر گونه نقاله که در دست باشد همیشه ممکن است مرکز آنها
بر روی راس هر زاویه مفروضی منطبق نمود.
۹۵- اندازه گرفتن یک زاویه بتوسط نقاله -
از آنچه گفته شد اندازه گرفتن هر زاویه توسط نقاله کار نقاله بسیار آسانی است ابتدا
اضلاع آنرا در صورت لزوم امتداد می دهیم بقسمی که از شعاع


۷۵

نقاله بزرگتر شوند آن گاه نقاله را روی زاویه قرار می دهیم.
(سر ۷۹) به قسمی که مرکز نقاله در راس زاویه و قطر آن به ضلع ه ج

سر ۷۹

منطبق گردد پس زاویهٔ ما یک زاویهٔ مرکزی می شود و برای
اندازه گرفتن آن کافی است که به بینیم ضلع ه د از پهلوی
کدام درجه گذشته است مثلاً در سر ۷۹ زاویه د ه ج مساوی
۴۵ درجه است.
۹۶ - بالعکس توسط نقاله می توانیم مسئله ذیل را حل
کنیم:


۷۶

زاویۀ رسم کنید که اندازۀ ان بدرجه معلوم
باشد.
طریقۀ عمل کردن این مسئله را ما بعهدۀ شاگردان واگذار
میکنیم.
۹۷ - دقیقه وثانیه - زاویۀ یک درجه بالنسبه کوچک
است واز معائنۀ نقاله این مسئله بخوبی معلوم می شود اگرچه
عجالتهً وسیله برای اندازه گرفتن اجزاء درجه نداریم ولی آنها
را بدین قسم تعریف می کنیم:
يك درجه مساوی است به شصت دقیقه
يك دقیقه مساوی است به شصت ثانیه
یک زاویۀ ۳۷ درجه و ۴۵ دقیقه و ۲۸ ثانیه را اینطور
می نویسند:
۲۸″ ۴۵′ ۳۷°
۹۸ - گراد - علاوه بر درجه واحد دیگری برای اندازه
گرفتن زوایا بکار می برند ازین قرار:


۷۷
گراد عبارت است از يك صدم زاویه قائمه
پس معلوم می شود که ۹۰ درجه مساوی ۱۰۰ گراد است
هر گراد به صد سانتی گراد تقسیم می شود. هر سانتی گراد را
دقیقه صد قسمتی هم می گویند.
فائده این تقسیم آن است که اجزای آن به نسبت
اعشاری هستند فقط عیب آن این است که بعضی زوایای
مهم مانند ۶۰ درجه و ۳۰ درجه بصورت ذیل نمایش داده
می شوند:
۲۰۰/۳ و ۱۰۰/۳


۷۸
فصل چهارم
کثیرالاضلاع - اشکال مساویه - تناظر
۱- کثیرالاضلاعها
۹۹ - خط منکسر - نقاطی مانند ا و ج و د و ه و ل
فرض کرده (ش۸۰) قطعات خط ا ج و ج د و د ه و ه ل
را رسم می نمائیم حال شکلی که
حاصل شده است یک
خط منکسر است پس
خط منکسر ان است که از اجتماع چندین قطعه
خط که نوک به نوک پهلوی هم قرار داده شده اند
تشکیل شود.


۷۹

١٠٠ - کثیر الاضلاع - اگر دو انتہای خط منکسری
بهم وصل شده باشند می گویند
کہ آن خط بسته است و آن را
کثیر الاضلاع می نامند. پس
کثیر الاضلاع خط منکسر
بسته است.

نقاط (ا) و (ج) و (د) و (ل) و (م) و (ن) و (و)
را رؤس کثیر الاضلاع می گویند و قطعه خطهای (اج) و
(جد) و (دل) وغیرہ را اضلاع آن می نامند.
ہر کثیر الاضلاع را بواسطۀ حروف رؤس آن بترتیبی کہ
نوشتہ شدہ می خوانند. مثلاً در شکل می گوئیم کثیر الاضلاع
ا ج د ل م ن و .
عدّہ رؤس ہر کثیر الاضلاع بعدۀ اضلاع آن است
مثلاً کثیر الاضلاع ا ج د ل م ن و دارای ۷ راس و ۷ ضلع
است.


۸۰
۱۰۱- محیط - محیط هر کثیرالاضلاع مجموع اضلاع
آنست .
۱۰۲- مثلث - مثلث کثیرالاضلاعی است که دارای
سه زاویه یعنی سه ضلع و
سه راس است (س ۸۲)
۱۰۳- مثلث
متساوی الساقین
مثلث متساوی الساقین
مثلثی است که دو ضلع
آن با هم مساوی (س ۸۳)
اند ما طریقه ساختن چنین مثلثی را میدانیم زیرا که از رأس
هر زاویه ممکن است دو قسمت مساوی اج و اد را در
روی دو ضلع آن جدا کرده بعد آنها را بیکدیگر وصل نمائیم (س ۸۴)
۱۰۴ - مثلث متساوی الاضلاع - هرگاه سه ضلع
مثلثی با هم مساوی باشند می گویند آن مثلث متساوی الاضلاع


۸۱
است .
ما تا حال طریقه ساختن چنین مثلثی را نمیدانیم ولی اگر زاویۀ
باندازۀ ۶۰ درجه رسم کرده و از دو ضلع آن دو قسمت مساوی جدا
کرده انتهای آنها را بهم وصل کنیم مثلث متساوی الاضلاعی
بدست می آید (سر ۸۴) دلیل را بعد خواهیم دانست .
۱۰۵ - ذو اربعة اضلاع - ذو اربعة اضلاع کثیر الاضلاعی


۸۲
است که دارای چهار راس
و بنابراین دارای چهار ضلع
است (ش ۸۶) .
بعدها اسامی ذواربعة
اضلاع ہائی را که بعضی خواص
معینه دارند خواهیم دید.
ش ۸۵
۱۰۶ - کثیر الاضلاع بیش از چهار ضلعی - آنها را
باسامی عربی می نامند بدین طریق :-
مخمس کثیرالاضلاعی
است که ۵ ضلع داشته باشد.
مسدس کثیرالاضلاعی
است که ۶ ضلع داشته باشد.
مسبّع کثیرالاضلاعی
است که ۷ ضلع داشته باشد.
ش ۸۶
مثمن کثیرالاضلاعی است که ۸ ضلع داشته باشد.


۸۳

متسع کثیرالاضلاعی است که ۹ ضلع داشته باشد.
معشر کثیرالاضلاعی است که ۱۰ ضلع داشته باشد.
ازان ببعد را بواسطه عده اضلاع معین میکنند. مثلاً
میگوئید کثیرالاضلاع پانزده ضلعی و کثیرالاضلاع سی و
هشت ضلعی و غیره.

۲- اشکال مساویه

۱۰۷- سابقاً تعریف قطعات خط مساویه و زوایای
مساویه و قسی مساویه را کرده ایم تعریف ما در همه جایکی
بوده است حال هم بطور کلی میگوئیم:
دو شکل در صورتی مساوی هستند که بتوان
آنها را بر روی یکدیگر منطبق نمود.
۱۰۸- سابقاً بواسطۀ کاغذ نازک شکلی مساوی شکل دیگر رسم
کرده بودیم وقتیکه مهری را مثلاً ده دفعه بروی کاغذ میزنیم
اشکال مساویه رسم می کنیم زیرا که بواسطه مهر آنها را برسم

بروی سطح


۸۴
تطبیق نموده ایم واضح است که چون آن اشکال همه با شکل
روی مهر مساوی اند پس همه با هم مساوی می باشند
ازین رو خاصیت ذیل را بدست می آوریم :
وقتیکه چندین شکل با يك شكل واحد مساوی
باشند با یکدیگر مسا ویند .
۱۰۹ - اشکال مستقیماً مساوی و معکوساً مساوی -
قطعه مقوائی را برداشته آن را بشکل مثلث ابج د
می چینیم بعد آن را روی کاغذ گذاشته با مدادی بدور

ا
ب
ج
اَ
بَ
جَ
اَ
بَ
جَ
س ۸۷


۸۵
آن خطی می کشیم تا مثلث (ا ج د (س ۸)) در روی کاغذ رسم شود.
بعد اگر همان قطعه مقوا را بدون آنکه برگردانیم تغییر محل داده مداد را بدور آن بگردانیم شکل دیگری مانند اَ جَ دَ بدست می آید که با شکل اوّل مساوی است.
حال اگر مقوا را برگردانیم و مداد را بدور آن بگردانیم شکل اً جً دً بدست می آید که با دو شکل اوّل مساوی است. فقط اختلافی که دارد آن است که برای بدست آوردن شکل اَ جَ دَ مقوا را از جای خود حرکت داده ایم ولی برای ترسیم اً جً دً علاوه بر تغییر محل مقوا را هم برگردانده ایم. از آنچه گفتیم معلوم می شود که اشکال مساویه بر دو قسم اند.
اوّل - اشکال مستقیماً مساوی که می توانند بدون برگرداندن بواسطۀ تغییر محلّ بر هم منطبق شوند.


۸۶

دوم - اشکال معکوساً مساوی که بعد از تغییر
محل بواسطهٔ برگرداندن یکی از آنها برهم منطبق
می‌گردند.
۱۱۰ - مثال دیگر - اگر یک حرفی سربی مطبعه را مثلاً
حرف ج را برداشته آن را چندین بار در یک طرف یک
ورق کاغذ شفاف بزنیم (س۸۸) اشکالی بدست می‌آید
که باهم بطور مستقیم مساوی اند.
حال اگر همان حرف را در
پشت کاغذ چندین بار بزنیم
(س۸۹) اشکالی بدست می‌آید
که باهم بطور مستقیم مساویند
ولی با اشکال اولیه بطور معکوس مساوی می‌باشند.
۱۱۱ - تبصره - اگر در ۱۰۹ بجای آنکه مثلثی با مقوا درست
کنیم دائره درست کرده و بدور آن مداد را کشیده بودیم خواه
آنرا برمی‌گردانیم خواه برنمی‌گرداندیم تمام اشکال مرتسمه

[illustration inline]
ج
ج
ج
ج
س ۸۸


٨٤
با یک دیگر مساوی می شدند
و ابداً اشکال مستقیماً مساوی و معکوساً مساوی پیدا نمیشد
پس معلوم می شود که بعضی اشکال هم هست که بدون برگرداندن و با برگرداندن بر یک دیگر تطبیق می شوند مثلاً دائره و قوس و قطعه خط و زاویه و مثلث متساوی الساقین ازین نوع می باشند.
س
ی ی ی
ر
س ر ق
٣- تناظر نسبت بیک نقطه
١١٢- نقاط متناظره نسبت بیک نقطه- دو نقطه در صورتی نسبت به نقطۀ ثالثی متناظره گفته می شوند که این نقطۀ ثالث در وسط قطعه خط مرتسمۀ بین آنها باشد.
مثلا (س، ق) دو نقطه (و) نسبت به نقطۀ (ر) متناظره


۸۸

اند بشرائط ذیل :
اولاً - اه اَ خط
مستقیم باشد. ش۹۰
ثانیاً - اه = ه اَ
در این وقت می گویند ا نقطه متناظره اَ و اَ نقطه متناظره
ا است و نقطه ه را مرکز تناظر می نامند.
۱۱۳ - میخواهیم نقطه متناظره نقطه مفروض
ا را نسبت بمرکز مفروض معلوم کنیم.
حل این مسئله خیلی آسان ا
است (ش۹۱)
ابتداء نقطه مفروضه ا
را بمرکز ه وصل نموده بعد آنرا ش۹۱
بقدر اه = ه اَ امتداد میدهیم
اَ نقطه متناظره مطلوب است.
۱۱۴ - دوران ۱۸ درجه - فرض می کنیم (ش۹۱) ه ا


۸۹
قطعه خطی باشد آن را بدور نقطه ه بقدر ۱۸۰ درجه می گردانیم
این قطعه خط بر روی امتداد خود یعنی ه أ واقع خواهد شد و
نقطه أ بر روی أ واقع می گردد. بقسمی که ه أ = ه أ پس در
وقت دوران ۱۸۰ درجه نقطه أ بر روی نقطه متناظره خود
یعنی أ می افتد ازین رو بخاصیت ذیل پی می بریم:
پیدا کردن نقطه متناظره نقطه نسبت بمرکز
مفروض عبارت
است از دوران
آن نقطه بدور
مرکز مرکز تناظر
بقدر ۱۸۰ درجه
۱۱۵- تناظر
بیک شکل نسبت سر (۹۲)
بیک نقطه - فرض می کنیم ل (سر ۹۲) شکلی هندسی داریم که از
یک خط نامعین ل و یک مرکز تناظره تشکیل شده است


۹۰
حال اگر شکل ل را بقدر ۱۸۰ درجه بدور نقطه ه (ع۸۲) بگردانیم .
بجای ل می آید می دانیم که اگر ا و ج دو نقطه ازان شکل باشند
و ونیم خط ه ا و ه ج هر کدام بقدر ۱۸۰ درجه بدور نقطه ه
(ع۸۲) گردیده و بر روی نقاط متناظره خود اَ و جَ منطبق
می شوند و این دو نقطه اخیر متعلق به لَ می باشند .
شکل لَ که بواسطه نقاط متناظره نقاط شکل ل
تشکیل شده شکل متناظره شکل ل نسبت بمرکز
ه میباشد .
۱۱۶ - از امتحان سابقه قضیه ذیل را نتیجه می گیریم:
قضیه - برای بدست آوردن شکل متناظره
شکل مفروضی نسبت به نقطه مفروضه کافی است
که ان را بقدر ۱۸۰ درجه بدور مرکز تناظر دوران
دهیم .
۱۱۷ - تساوی دو شکل متناظره - قضیه فوق الذکر
اهمیت زیاد دارد زیرا که مطلب ذیل را بما میفهماند.


۹۱
دو شکل متناظر نسبت بيك نقطه بطور مستقیم
مساویند .
زیرا که آنها را بواسطه تغییر محل بدون برگرداندن میتوان
برهم تطبیق نمود. حال اشکال متناظره اشکالی را که می
شناسیم یک بیک امتحان می کنیم.
۱۱۸ - خط مستقیم - اگر مرکز تقارن روی خود خط باشد
پس از دوران بدور آن نقطه بقدر ۱۸۰ درجه مجدداً آن
خط بروی خود آمده خودش با متناظرش بر روی
هم واقع می شوند.
حال فرض
می کنیم مرکز تقارن
ه (س ۹۳) در خارج
ل باشد از روی
۱۱۶ و ۱۱۷ می
دانیم که متناظره آن
س ۹۳


۹۲
ل می باشد برای ساختن آن کافی است که دو نقطه مانند ۱
و د در روی آن فرض کرده نقاط متناظره آنها یعنی ۱َ و دَ
را بواسطۀ دوران آن ها بقدر ۱۸۰ درجه بدور نقطه ه
(۱۱۳) بدست آورده بعد آن دو نقطه را بهم وصل
می نمائیم خط ل خط متناظره مطلوب است حال اگر نقطۀ
دیگری غیر از او د مانند ج بروی خط ل فرض کنیم میدانیم
که نقطۀ متناظرۀ آن نقطۀ ج است زیرا که در وقت دوران
۱۸۰ درجه همان طور که ۱ و د بر روی ۱َ و دَ واقع شدند
ج هم بر ج واقع می گردد.
۱۱۹- مسئله- میخواهیم امتحان کنیم که دو خط
متناظره نسبت بيك نقطه همدیگر را تقاطع میکنند
یا ند.
اگر آن دو خط نقطه مشترکی مانند ک داشته باشند.
چون نقطۀ ک روی خط ل است پس نقطۀ متناظره آن
یعنی کَ متمایز از ک روی ل واقع می گردد از طرف دیگر


۹۳

چون نقطۂ ک روی خط ل هم است پس نقطۀ متناظره
اش روی ل واقع خواهد شد بعبارت اخری لازم می آید
که دو خط متمائز ل و لَ دو نقطه مشترک داشته باشند
و این محال است. درین جا فرض اینکه خط ل از نقطۂ ه
مرور نکند لازم است زیرا که آن وقت نقطۂ ل از ه متمائز
بوده متناظرش ل با خودش بر روی هم واقع نمی
شوند پس
دو خط متناظرۀ ل و لَ یکدیگر را قطع نمی کنند
۱۲۰- تعریف - دو خط واقعۀ در یک سطح که
یک دیگر را تلاقی نمی کنند با هم موازی‌ند.
باید دانست که از عدم تلاقی مقصود ما نه فقط آنست
که قسمتهای مرسومه در سطح یک دیگر را تلاقی نمی کنند بلکه
هر قدر آن ها را از طرفین امتداد دهیم یک دیگر را قطع
ننمایند.
۱۲۱- از کلیه آنچه مذکور شد نتائج ذیل را


۹۴

می گیریم :
شکل متناظره یک خط مستقیم :
اولاً - خود انست در صورتیکه اثر مرکز تناظر
عبور کرده باشد .
ثانیاً - در مواقع دیگر خطی است موازی با ان
خط .
۱۲۲ - نیم خط های متناظره - هرگاه نیم خطی مانند
o ۱ رسم کنیم مرکز تقارن ممکن است یک نقطه غیر معینی
باشد و نیز ممکن است در امتداد آن نیم خط باشد و بالاخره
ممکن است در مبدء نیم خط باشد .
اولاً - شکل متناظر نیم خط o ۱ نسبت به مبدائش o
امتداد o ۱' میباشد (سر ۹۴)

واضح است که این دو نیم خط دارای جهت های مختلف


۹۵
هستند (ع۲۹) .
ثانیاً - س۹۵ و س۹۶ بسهولت اشکال متناظره نیم خط
ا د را بما نشان می دهد بنابر اینکه مرکز تناظره در امتداد
نیم خط (س۹۵)
یا در روی
خود نیم خط واقع
شده باشد (س۹۶)
ثالثاً - حال
فرض می کنیم که مرکز
تناظر در روی
نیم خط نباشد (س۹۷) شکل متناظره خط ا د نسبت بمرکز
تناظره نیم خط اَ دَ
است خطی که شامل
آن است موازی
است با خطی که شامل


٩۶

اد است (ع ك) و از روی تیر معلوم است که این دو نیم خط دارای یک جهت نیستند .
آنچه را که گفتیم در عبارت ذیل خلاصه می کنیم .
شکل متناظر هر نیم خط نسبت بيك نقطه نیم خط دیگری است که برخلاف جهت آن است . آن دو نیم خط یا در روی يك خط یا در روی دو خط موازی واقع اند .
۱۲۳ - تبصره - تا حال در باب جهت نیم خط آنچه گفتیم در روی یک خط بوده است ولی حال دیدیم که ممکن است که دو نیم خط دارای دو جهت مختلف و در روی دو خط موازی واقع شده باشند .
١٢٤- زوایای متناظره - در اینجا ما امتحان کلیه حالاتی را که ممکن است مرکز تناظر داشته باشد بعهده شاگردان وا میگذاریم فقط حالتی که مرکز تقارن هیچ اختصاصی ندارد بیان می کنیم .


۹۷
میدانیم که شکل متناظر زاویۀ ا ج د نسبت به نقطه ه
زاویۀ مساویۀ ا ج د است
(س ۹۰) اگر جَ دَ متناظر ج د است جَ اَ نیز متناظر ج ا خواهد بود. و دو زاویه (ا ج د) و (اَ جَ دَ) دارای یک جهت اند.
برای اینکه این مسئله محقق باشد لازم است که برای ضلع های هرا هر زاویه دو ضلع متناظر را انتخاب کنیم.
شکل متناظر هر زاویه نسبت بيك خط زاویه ایست مساوی با آن زاویه و ممتد در همان جهت.
معلوم است که اضلاع آن دو زاویه با یک دیگر موازی و در جهت مخالفند.


۹۸
۱۲۵ - حالت مخصوص - هرگاه مرکز تناظر در راس
زاویه باشد شکل
متناظرۀ آن زاویه
زاویۀ متقابل
براس آن است
(س ۹۹)
ازینجا دلیل
دیگری برای تساوی این دو زاویه بدست می آید .
۱۲۶ - دوائر متناظره - شکل متناظر هر دائره دائره
دیگر مساوی با همان دائره است و مرکزش نقطۀ متناظر مرکز
دائرۀ مفروض می باشد (س ۱۰۰)
۱۲۷ - حالت مخصوص - اگر مرکز تناظر در مرکز دائره
باشد - دور آن دائره بقدر ۱۸۰ درجه آن را مجدداً بروی خود
منطبق می سازد .
(س ۱۰۱) واضح است که دو انتهای هر قطری مانند


۹۹

ش ۱۰۰

ا ا́ نسبت بمرکز ه متناظر اند .
در این حالت می گویند که دائره شکل متناظر خودش است یا آنکه نقطۀ ه مرکز تناظر دائره است .
۱۲۸ - مرکز تناظر یک شکل - شکلی را می گویند دارای مرکز تناظر است در صورتیکه بتواند نسبت بآن نقطه بر شکل متناظرش منطبق شود.
ش ۱۰۱


۱۰۰
مثلاً قطعه خط اج مرکز متناظرش در وسطش می باشد
(ش ۱۰۲)
ج هـ ا
ش ۱۰۲

۴- تناظر نسبت بیک خط

۱۲۹ - نقاط متناظره نسبت بیک خط ـ خطی مانند
ا ا داریم (ش۱۰۳) کاغذ را در امتداد آن خط تا می کنیم
همان طور که در ش ۶۵ کرده بودیم نقطهٔ م مثلاً بر روی نقطهٔ
ثانی مَ منطبق می شود
حال کاغذ را باز م
می کنیم می دانیم
که خط م مَ بر ا ا ا هـ ا
عمود است علاوه
برآن ه م = ه مَ مَ ش ۱۰۳


۱۰۱
این دو نقطه م مَ را نسبت بخط ا اَ متناظره می گویند
پس می گوئیم :
دو نقطه نسبت بيك خط متناظره اند در
صورتيكه آن خط عمود باشد بر وسط قطعه خطی كه
آن دو نقطه را بهم وصل میكند .
مثلاً میگوئیم نقطه م متناظر مَ یا مَ متناظر م است
نسبت بخط ا اَ خط ا اَ را محور تناظر میگوئیم .
۱۳۰ - مسئله - نقطه متناظره نقطه مفروضی
را نسبت بمحور مفروضی رسم كنید .
برای ساختن نقطه متناظره م نسبت به محور ا اَ
(ش۳۰) ازان نقطه عمودی بر ا اَ فرود آورده نقطه مَ
را بقسمی در روی آن نشان می كنیم كه ه م = ه مَ باشد
نقطه مَ نقطه مطلوب است .
۱۳۱ - تناظر یك شكل نسبت بیك خط - با مركب
شكلی مانند ل رسم كرده (ش۱۳۱) قبل از آنكه مركب خشك شده


۱۰۲
باشد کاغذ را در امتداد ا آ تا می کنیم شکل ل در روی کاغذ
در ل́ رسم می شود
در این حرکت هر یک
از نقاط شکل ل
بر روی نقطه
متناظره خود نسبت
به ا ا́ واقع میگردد
و تمام این نقاط متناظره نقاط شکل ل́ می باشند .
شکل ل́ که از متناظره های نقاط مختلفه شکل
ل نسبت به ا ا́ تشکیل شده شکل متناظره ل نسبت
به ا ا́ می باشد .
۱۳۲ - از آنچه مذکور شد قضیه ذیل نتیجه می شود :
قضیه - وقتیکه سطح را در امتداد خطی تا کنیم
دو شکل متناظره نسبت بان خط بر روی هم
واقع می شوند .


١٠٣

۱۳۴ - تساوی دو شکل متناظره - قضیه فوق الذکر
بما می فهماند که برای تطبیق آن دو شکل متناظره باید یکی از
آن ها را بر گرداند پس:
دو شکل متناظره نسبت بيك خط معكوساً با هم
مساویند.
۱۳۴ - دو تناظری را که تحصیل کردیم مثال اشکال
مستقیماً و معکوساً مساوی بوده اند.
حال تناظر بعضی اشکالی را که می شناسیم تحصیل می کنیم:

۱۳۵ - خط مستقیم - میدانیم
(۱۳۳) که شکل متناظره خط مستقیم
یک خط مستقیم است برای تعیین
آن کافی است
س ۱۰۵


۱۰۴

(سر ۱۰۵) که در روی خط مفروض دو نقطه د و ل را اختیار کرده
و نقاط متناظرهٔ آنها یعنی دَ و لَ را نسبت به خط ا اُ
بدست بیاوریم (۱۳) خطی که این دو نقطهٔ اخیر را بیک
دیگر وصل می کند خط متناظره مطلوب است.
میدانیم که هرگاه سطح را در امتداد ا اُ تا کنیم نقطهٔ
ل بر روی لَ و د بر روی دَ منطبق شده و تمام خط
د ل بر روی خط دَ لَ واقع خواهد شد در ضمن هر نقطهٔ
دیگری مانند ج بر روی نقطهٔ تناظرش جَ روی همان خط
تناظره می افتد.

۱۳۶- تبصره
اگر خط مفروض محور
تناظر را در حدود
شکل قطع نماید
(سر ۱۰۶) بهتر آن
است که نقطهٔ ه

(سر ۱۰۶)


۱۰۵
را اوّلین نقطهٔ خط مفروض حساب کنیم زیرا که این نقطه
با متناظره اش بر روی هم واقع می شوند حال کافی است
که این نقطه ه را به نقطهٔ متناظره نقطهٔ دیگری ازان خط
مانند دَ وصل کنیم تا شکل متناظرهٔ مطلو به بدست بیاید
پس مطلب ذیل را بخاطر می سپاریم:
دو خط متناظره یکدیگر را در روی محور تناظر
قطع می کنند.
۱۳۷ - نیم خط -
س ۱۰۷ نیم خط متناظره
نیم خط مفروضی را
نشان میدهد.
۱۳۸ - زاویه -
شکل متناظره هر زاویه
زاویهٔ دیگری مساوی با آن است (س ۱۰۸) اگر د ه ج شکل
اوّل و دَ هَ جَ شکل دوم باشد چون ه هَ متناظرهٔ دَ است


۱۰۶

فوراً می فهمیم که این دو زاویه در جهات مختلفه اند.

برای اینکه این
مسئله صحیح باشد باید
ملتفت بود که اولین
ضلع های هر زاویه با هم
متناظر باشند.

۱۳۹ - حالت مخصوص - اگر محور تناظر
سر ۱۸

ه / ضلع زاویه مفروضه / ه د باشد - (سر ۱۰۹) زاویه متناظره مطلوبه / ه د است و از آن چنین نتیجه می شود که ه / منصف زاویه د ه د می باشد.
هـ منصف
زاویه آن را
نسبت بخود بد و
زاویه متناظره

سر ۱۰۹


۱۰۷
تقسیم می نماید.
۱۴۰ - دائره - شکل متناظر هر دائره دائره ایست.
مساوی با خودش دو مرکز آن ها نقاط متناظره نسبت به
محور می باشند (ش ۱۱۰).
۱۴۱ - حالت مخصوص - اگر محور تناظر قطری از دائره
باشد چون متناظرهٔ آن دائره ایست مساوی و دارای
همان مرکز پس بر روی خودش منطبق می شود (ش۱۱۱)

ش۱۱۰
پس می گوئیم که هر قطر محور تناظری است برای دائره


۱۰۸
درینجا مقصود مان از قطر خطی است که از مرکز عبور کرده باشد من بعد هم هر وقت قطر بگوئیم مقصود مان یک خط لایتناهی است که جزئی از ان قطر حقیقی دائره است.
۱۴۲- محور تناظر یک شکل - هرگاه شکلی بتواند نسبت به محوری بر روی شکل متناظر اش منطبق شود می گویند آن شکل دارای محور تناظر است .
مثلاً محور تناظر هر
س ۱۱۲
س ۱۱۳


۱۰۹
قطعه خط مستقیم خطی است که بر وسط آن عمود باشد ر ۱۳۱.
و نیز منصف هر زاویه محور تناظری برای آن زاویه
است.
۱۳۳ - تبصره - شکلی که دارای محور تناظر باشد بعد
از بر گردانیدن نیز بر خودش منطبق می شود ( ۱۳۲ )
پس چنین اشکال هم مستقیماً و هم معکوساً با هم مساویند.
امثله
۱ - مثلثی مانند ا ب ج د رسم کرده زوایای آن را با نقاله اندازه
بگیرید بعد این کار را در ۱۰ مثلث مختلف بجا آورده
نتائج حاصله را با هم مقایسه نمایند.
۲ - دائرہ و خطی مفروض است تناظر مجموعۀ آن ها را
تحصیل کنید.
۳ - دائرہ و نقطۀ مفروض است تناظر مجموعۀ آنها را
تحصیل کنید.


۱۱۰

۴ - در چه شرایطی یک دائره و دو نقطه دارای
تناظرند.
۵ - در چه شرایطی یک دائره و دو خط دارای
تناظرند.
۶ - در چه شرایطی یک دائره و یک خط و یک نقطه
دارای تناظرند.
۷ - نسبت به مرکز o نقطهٔ تناظرهٔ ا یعنی اَ را بسازید
بعد نقطهٔ تناظرهٔ دیگر ا یعنی اً را نسبت بمرکز ثانی
oَ بسازید بالآخره نقطهٔ تناظرهٔ ا یعنی اِّ را نسبت
بمرکز oّ رسم کنید بعد ثابت نمائید که دو نقطهٔ اَ و اِّ
نسبت به نقطهٔ oّ که بین o و oَ واقع شده متناظر
اند و این نقطه oّ را تعیین نمائید.
۸ - از مسئله فوق نتیجه بگیرید که شکلی که دارای ابعاد
محدوده باشد نمی تواند بیش از یک مرکز تقارن
داشته باشد.


۱۱۱

۹- هرگاه شکل محدودی دارای مرکز و محور تناظر باشد
محور از مرکز عبور می کند بعد یک مثال ساده بزنید-
(از مثال سابق)
١۰- ابتدا نقطهٔ متناظرهٔ و́ از و را نسبت به محور
دَ بسازید بعد نقطهٔ متناظره و́ از همان نقطهٔ
و را نسبت به محور ثانی د́ رسم کنید بالآخره نقطهٔ
متناظرهٔ و́ از و́ را نسبت به محور ثانی د́ ترسیم نمائید
حال ثابت کنید که و́ و و́ نسبت به محور ثالثی مانند
د́ که بین دَ و د́ واقع است باهم متناظرند و
نیز بگوئید در چه وقت د́ بادَ بر روی هم می
افتد.
۱۱- اگر شکلی دو محور تناظر عمود بر یکدیگر قبول
کند محل تقاطع آن ها مرکز تناظر است مثالی
ذکر کنید.


۱۱۴

فصل پنجم
مثلث های متساوی الساقین
خطوط عمود و مائل
ترسیمات هندسی با ستاره و پرکار
۱۴۴- ذیلاً مطالبی را که سابقاً گفتیم در مثلث
متساوی الساقین بکار می بریم و پیش از شروع در مطلب
بعضی تعاریف که برای ما لازم است ذکری نمائیم.
۱۴۵- میانه - میانه هر مثلث عبارت از خطی
است که یکی از رؤس ان را بوسط ضلع مقابل
وصل نماید.


۱۱۳
مثلاً در مثلث ۱ ج د (س۱۱۳) خط ۱ ه که رأس ۱
را بوسط ج د
وصل کرده است
یک میانه آن
مثلث است.
هر مثلث
سه میانه دارد.
زیرا که دارای
سه رأس و سه ضلع است.
۱۱۶ - ارتفاع - ارتفاع هر مثلث عمودی
است که از یکی از رؤس آن بر ضلع مقابل فرود
بیاید.
مثلاً اگر (س۱۱۴) زاویه ۱ ه د قائمه باشد ۱ ه ارتفاع
مثلث ۱ ج د است گاه اتفاق می افتد که برای ترسیم
ارتفاع باید ضلع مثلث را امتداد داد مانند س۱۱۵.


۱۱۴

در هر مثلث نیز سه ارتفاع است.
۱۱۷ - منصف الزاویه - سه زاویه هر مثلث هر کدام
دارای یک منصف الزاویه است که نیم خط است من بعد
هر وقت از منصف الزاویه مثلثات ذکری کنیم مقصود مان
خطوط لایتناهی است که شامل آن منصف الزوایا می باشد.
۱۱۸ - خاصیت اصلی مثلث متساوی الساقین -
می دانیم که مثلث متساوی الساقین داری دو ضلع مساوی
است - فرض می کنیم (س۱۱۶) ا ب ج مثلثی باشد متساوی الساقین
که در ان ا ج = ا د و فرض می کنیم که منصف الزاویه


۱۱۵
آن ا ه نیز رسم
شده باشد .
ا ه محور تناظر
زاویه ج ا د است
(۱۴۲)
پس اگر شکل سر ۱۱۶
را بدور آن تا کنیم ضلع ا د بر روی ضلع ا ج منطبق می شود
و نقطه د روی نقطه ج واقع می گردد زیرا که دو ضلع مثلث
مساویند و ازان چنین نتیجه می شود که دو نقطه ج و د
نسبت به ا ه متناظرند و خط ا ه محور تناظر مثلث است
پس چنین بیان می کنیم :
قضیه - هر مثلث متساوی الساقين يك محور
تناظر دارد و آن منصف زاویه ایست که از دو ضلع
مساوی تشکیل شده است .
۱۴۹- نتیجه - از قضیه فوق فوراً نتیجه می گیریم .


۱۱۶

اولاً - دو نقطه ج و د چون نسبت به ا د متناظره اند پس ا ه عمود است بر وسط ج د و این طور بیان می کنیم.
قضیه - در مثلث متساوی الساقین منصف الزاویه ارتفاع و میانه آن نیز هست.
ثانیاً - دو زاویه متناظره ج و د با هم مساویند پس
قضیه - در مثلث متساوی الساقین دو زاویه مقابل بدو ضلع متساویه مساویند.
۱۵۰ - تبصره - اهمیت خواص ۱۴ در آن است که فقط مخصوص به مثلث متساوی الساقین می باشد حال خواهیم دید که هرگاه خواص مذکوره در مثلثی پیدا شود آن مثلث متساوی الساقین است.
۱۵۱ - مسئله - مثلثی يك محور تناظر كه بر يك راسش گذشته است قبول میکند می خواهیم


۱۱۷

خواص آن را معلوم کنیم .
فرض می کنیم (ش ۱۱۶) ا ج د مثلثی باشد که محور تناظر
ا ه را قبول میکند - پس لازم می آید
که دو راس ج و د نسبت به ا ه
متناظر باشند.
حال اگر این شکل را بدور ا ه
تا کنیم ا د بر ا ج منطبق می شود
و چنین معلوم می شود که مثلث
مفروض متساوی الساقین و دو
ضلع ا د و ا ج با هم مساوی اند
پس میگوئیم : ش ۱۱۷
قضیه عکس ۱۴ - هر گاه مثلثی محور تناظری
که از یکی یک راسش گذشته باشد قبول کند متساوی
الساقین است و دو ضلع مساوی ازان رأس
خارج شده اند .


۱۱۸
۱۵۲- حال عکس قضیهٔ ۱۴۹ را امتحان می کنیم.
میخواهیم خواص مثلثی را که دارای دو زاویهٔ
مساویست معلوم کنیم.
فرض می کنیم ا ج د مثلثی باشد که در ان ج = دَ
(س ۱۱۱ ) .
ضلع ج د محور تناظر ه ل را که بر وسطش در نقطهٔ ه
عمود است قبول می کند حال اگر شکل را در امتداد محور
ه ل تا کنیم نقطهٔ ج بر روی نقطهٔ د و ج ه بر روی ه د
واقع می گردد چون دو زاویهٔ جَ و دَ مساویند ضلع
ج ا هم بر روی ضلع د ا می افتد پس این دو خط نسبت
به ه ل متناظره اند و ازان چنین نتیجه می شود که آن ها
در روی ه ل همدیگر را قطع می کنند ( ۱۳۶ ) و با یک دیگر
مساوی اند زیرا که بر روی هم واقع شده اند پس میگوئیم.
دوّیم قضیه عکس ۱۴۹ - اگر مثلثی دارای دو
زاویهٔ مساوی باشد اضلاع مقابل بآن دو زاویه


۱۱۹

مساوی اند.
۱۵۳-تبصره-باید دانست که تمام دلائلی که آوردیم
مربوط بخاصیت مثلث متساوی الساقین است یک محور
تقارن قبول می کند.
۱۵۴-مسئله-میخواهیم خواص مثلثی را که
منصف یکی از زوایایش ارتفاعش هم هست معلوم
کنیم.
دو زاویهٔ مجاورهٔ مساوی
د ا ه و ه ا ج را رسم می کنیم
(ش۱۱۸) بعد بر خط ا ه از
نقطه ه خط د ه ج را بران
عمود می کنیم حال شکلی داریم
که مطابق فرض مسئله ما است. ش ۱۱۸
دو خط ا د و ا ج نسبت به ا ه متناظره اند و دو
نقطه د و ج در روی آن دو خط چون در روی ج د یعنی


۱۲۰

عمود بر محور تناظر واقع شده اند با یکدیگر متناظر اند و مثلث
محور تناظر اه را قبول می نماید پس متساوی الساقین است
(۱۵۱) و می گوئیم :
قضیه ـ اگر در مثلثی منصف يك زاويه ارتفاع
مثلث هم باشد آن مثلث متساوی الساقین
است .
۱۵۵ - برای سائر امثله شاگردان باید به مسئله ۱۲
رجوع کنند .
۱۵۶ - مثلث متساوی الاضلاع ـ کلیه آنچه را
که در باب مثلث متساوی الساقین مذکور داشتیم در مثلث
متساوی الاضلاع نیز صدق می کند ولی در آنجا با هر
دو ضلع می توان استدلال نمود زیرا که تمام اضلاع آن
با هم مساویند - پس
مثلث متساوی الاضلاع دارای سه محور
تناظر است و منصف الزوايا ميانه ها و ارتفاعات


۱۲۱

مثلث نیز می باشند و سه زاویۀ آن مساوی
است.

۲ - خطوط عمود و مائل
۱۵۷ - میدانیم که از نقطه ه غیر واقعه در روی
خط ج د (س۱۱۹)
میتوان فقط
یک عمود ه و را
بر آن خط فرود
آورد. خطوط دیگری که نقطه ه را به نقاط دیگر ج و د وصل می‌نمایند
بخطوط مائل موسومند.
۱۵۸ - موقع و طول خطوط عمود و مائل - نقطۀ
و را (س۱۱۹) موقع عمود ه و گویند و دو نقطۀ ج و د را نیز
موقع دو مائل ه ج و ه د می‌خوانند.


۱۲۲
من بعد هر وقت طول عمود بگوئیم مقصودمان طول قطعه
خط ه ا است و نیز هر وقت طول مائل را نام ببریم مقصود
مان طول قطعه خط های ه ج و ه د می باشد .
۱۵۹- عدم تساوی عمود و مائل ۔ ابتدائی بیینیم
که طول عمود ه ا و طول مائل ه ج با هم مساوی نیستند
ش۱۲۰ زیرا که اگر
مساوی بودند لازم
می آمد که مثلث ج ه ا
متساوی الساقین
باشد و خطی که نقطه ه
را بوسط ج و وصل نماید ارتفاع آن می گردد و آن وقت
دو خط عمود از یک نقطه بر خطی فرود آورده ایم و این محال
است .
۱۶۰- مسئله - میخواهیم خط عمود را با یک خط
مائل مقایسه کنیم .


۱۲۳

دائرهٔ بمرکز ه و شعاع ه و رسم می کنیم از انچه در نمرهٔ
قبل گفتیم معلوم می شود که خط ا ج با این دائرهٔ نقطهٔ
مشترکی غیر از نقطه ا نمی تواند داشته باشد زیرا که اگر در
نقطهٔ دیگری مانند د با دائرهٔ اشتراک داشت لازم می
آید که مائل ه د
با ه ا مساوی باشند
زیرا که شعاع یک
دائره اند و این
ممکن نیست علاوه
بر این خط ا ج
نمی تواند در دائره

س ۱۲۱

داخل شود زیرا که اگر از نقطه ا داخل دائره می شد
می بایست از نقطهٔ دیگری خارج شود و این هم بنا بر آنچه
گفتیم محال است .
پس نقطهٔ ج ازین خط در خارج دائره است فاصله اش


۱۲۴
نا مرکز ه بزرگتر از شعاع ه و می باشد از آنچه گفتیم میتوانیم
چنین نتیجه بگیریم .
قضیه - عمود همواره اقصر است از مایلی که از
همان نقطه شروع شده باشد .
۱۶۱ - فاصله یک نقطه از یک خط - فاصلۀ هر
نقطه از خطی طول عمودی است که از ان نقطه برآن
خط فرود آمده باشد .
معلوم می شود که فاصلۀ هر نقطه از خطی کوتاه ترین قطعه
خطی است که آن نقطه را به آن خط وصل می نماید.
۱۶۲ - مماس بر دائره در یک نقطه - مماس خطی
را گویند که با دائره بیش از يك نقطه اشتراك
نداشته باشد .
سابقاً دیدیم که هر خطی که بانتهاى شعاع دائرۀ عمود
باشد مماس بر ان دائره است .
نقطۀ اشتراک دائره و خط را نقطۀ تماس گویند.


۱۲۵

۱۶۳ مسئله - میخواهیم خط مایلی مساوی با
مایل مفروضی رسم کنیم.

عمود ه ۱ را
رسم می کنیم (ش۱۲۲)
و نقطۀ ج را به
تناظر ج نسبت
به ۱ نشان میکنیم
مثلث ه ج ج'
متساوی الساقین

است زیرا که دارای محور تناظر ه ۱ است پس ه ج'= ه ج
چنین بیان می کنیم :
قضیّه - دو مایلی که موقع آنها بيك فاصله باشند
از موقع عمود باهم مساویند.
عکس این قضیه فوراً ثابت می شود یعنی اگر دو مائل
مساوی باشند ه ج ج' متساوی الساقین است و ارتفاع


۱۲۶
ه میانه آن مثلث است پس
بالعکس مواقع دو مایل متساویه بيك فاصله
اند از موقع عمود.
عد ۱۴ - تقاطع یک خط و یک دائره - دو مایل مساوی
ه ج وه جَ را رسم
می کنیم ( س ۱۲۳ )
دائره که بمرکز ه باشد
و از نقطه ج عبور کند
از نقطه جَ نیز مرور
خواهد نمود خط ج جَ
نمی تواند در نقاط دیگر
با دائره اشتراک داشته باشد .
زیرا که اگر در نقطه سومی مثلاً در نقطه حّ مشترک باشند
لازم می آید که با ه ج مساوی باشد پس موقعش بیک فاصله
می شود از موقع عمود و بالضروره بروی مایل ه حَ می


۱۲۷

اقتد پس.
يك خط نمى تواند در بيش از دو نقطه دائره را
قطع نمايد.
۱۶۵- در س ۱۲۳ مشاهده میكنيم كه فاصلۀ ه و از مركز
تا خط كوچك تر از شعاع دائره است.
سابقاً ديديم (۱۶۳ دس ۱۳۱) كه اگر اين فاصله مساوى
با شعاع باشد خط
مماس بر دائره است
اگر فاصله ه (رس ۱۲۴)
بزرگتر از شعاع باشد
تمام نقاط خط از مركز
دورترند تا نقطۀ ه
پس دائره و خط يك
ديگر را قطع نميكنند
س ۱۲۴
از ملاحظات فوق سه قضيه نتيجه مى شود كه عكس آن ها


۱۲۸

نیز بسهولت میگردد.
۱۶۶ - مثلاً وقتیکه خطی دائره را قطع کند فاصلهٔ مرکز
دائره تا آن خط همواره کوچک تر است از شعاع دائره
و این مسئله لازم است بالعکس هرگاه خطی طوری واقع
شده باشد که فاصله مرکز دائره تا آن خط کوچک تر از شعاع
دائره باشد (س۱۲۳) نقطهٔ ا در درون دائره است و آن خط
مجبور است از دائره خارج شود پس آن را قطع می نماید
و فرض مسئله برای اثبات این امر کافی است.
پس دو خاصیّت فوق را با هم جمع کرده چنین بیان
می کنیم:
شرط لازم و کافی برای آنکه دائره و خطی
یکدیگر را قطع کنند آن است که فاصلهٔ مرکز
دائره از ان خط کوچک تر باشد از شعاع دائره
۱۶۷ - مسئله - می خواهیم دو مائل را که مواقع
آنها بيك فاصله از مواقع عمود نیستند مقایسه


۱۲۹
کنایم .
فرض می کنیم که بخواهیم دو مائل ه ح و ه د را با هم مقایسه کنیم
(سر ۱۲۵) یقیناً می دانیم که این دو مائل مساوی نیستند زیرا که اگر مساوی بودند مواقع آنها از موقع عمود بیک فاصله بودند و این خلاف فرض است .
حال دائرة بمرکزه و شعاع ه د رسم می کنیم این دائره خط ۱ ج را در نقطۀ د تناظر و نسبت به ا قطع میکند . نقطهٔ ح در داخل قطعه خط د و ا است پس در درون دائره می باشد و فاصله ه ح کوچک تر است از شعاع ه د .
قضیه - از دو مائل غیر مساوی آنکه موقعش از موقع عمود دورتر است طویل تر است .
۱۶۸- عکس این قضیه نیز فوراً بر ما ثابت می شود.


۱۳۰

فرض میکنیم مائل ه د بزرگتر از مائل ه ح باشد
لازم می آید که و د بزرگتر از و ح باشد زیراکه
اولاً- اگر و د مساوی و ح بود لازم می آمد که

ه ح = ه د

ثانیاً- اگر و د کوچک تر از و ح بود لازم می آمد که
ه د کوچک تر باشد از ه ح و این خلاف فرض است-

قضیه عکس- از دو مایل غیرمساوی آنکه
بزرگتر است موقعش
از موقع عمود دورتر
است.
۱۴۹- نقاط متساوی
البعد از دو نقطه مفروضه
دو نقطه مانند و وح
فرض میکنیم (س ۱۲۶)

و
ه
د
ح
س ۱۲۶ م


۱۳۱
بعد محور تناظر آن ها را بدست می آوریم می دانیم که آن خط م د
عمود بر وسط و ج است .
اگر م یک نقطهٔ از آن محور باشد د و طول م و م ج
با هم مساویند ردا۵ )
بالعکس اگر نقطهٔ مانند د ببیک فاصله از و وح
فرض کنیم مثلث د ح و متساوی الساقین است و محور
تناظر آن همان محور تناظر و ج می باشد که از نقطهٔ د هم
می گزرد .
پس دو نتیجهٔ ذیل را فهمیدیم :
اوّلا- هر نقطهٔ از محور تناظر ببیک فاصله است از
و وج .
ثانیاً- تمام نقاطی که از و و ج ببیک فاصله اند در روی
محور تناظر واقع اند دو نتیجهٔ فوق را با هم در قضیهٔ ذیل بیان
می کنیم .
قضیه- محور تناظر هر قطعه خط مکان هندسی


۱۳۲

نقاطی است که بيك فاصله باشند از طرفین آن
قطعه خط .
پس مکان هندسی عبارت از مجموعه نقاطی است که
دارای یک خاصیت معینه اند و شامل تمام نقاط سطح که
دارای آن خاصیت اند می باشد.
۱۷۰ - تبصره - از آنچه گفتیم چنین نتیجه می شود ـ اگر
بوسیله موفق شویم دو نقطه مانند م و د تعیین کنیم که بیک
فاصله از ا و ج باشند خط م د بر وسط ا ج عمود است
این تبصره ما را به ترسیم اشکال ذیل هدایت مینماید.

٣- ترسیمات هندسی

۱۷۱ - تبصره مقدماتی - در تمام ترسیماتی که ذیلاً بیان
می کنیم آلات ما فقط پر کار و ستاره است و هیچ گونیا را
استعمال نمی کنیم ولی باید دانست که گونیا هم آلت خوبی
است و در مواقع عدیده بکار می رود .


۱۳۳
۱۷۲ - میخواهیم وضع نقاط مشترکۀ دو دائره را
معلوم کنیم .
فرض می کنیم دو دائره ه و هَ در دست است که هر
دو از نقطۀ ا گذشته اند (ص ۱۲۷) قطر مشترک ه هَ برای

شکلی که از تقاطع این دو دائره حاصل شده محور تناظر
است علاوه بر آن این دو دائره در نقطۀ ا متناظرۀ نقطۀ ا
نسبت به ه هَ نیز مشترک می باشند.


۱۳۴

بالعکس اگر دو دائره ہ وہ یک دیگر را در دو نقطه
ا وا قطع کنند مرکز دائره اوّلی یعنی ہ بیک فاصله است
از دو نقطه ا واَ و همچنین مرکز دائره دوّم یعنی ہ سابقاً
دیدیم (۱۷۰) که خط ہ ہ عمود است بر وسط ا ا پس
می گوئیم.
قضیه- نقاط مشترکه دو دائره نسبت بخطی که
دومرکز آنها را بهم وصل میکند متناظره اند.
بعد ها خواهیم دید (۲۰۷) که دو دائره متمایز ممکن
نیست بیش از دو نقطه با هم اشتراک داشته باشند.
۱۷۳ - مسئله - میخواهیم از نقطه مفروضی
بمدد پرکار و ستاره عمودی بر خط مفروضی فرود
آوریم.
نقطه مفروضه ممکن است در روی خط یا در خارج آن
باشد پس این مسئله دارای دو حالت است :
اولا - نقطه مفروضه ه روی خط واقع است.


۱۳۵

(ش ۱۲۸)
عمود مطلوب
محور تناظر قطعه
خطی است که
خط مفروض شامل
آن است و نقطه
ه وسط آن است
پس با پرکار دو
طول مساوی ه ج و ه و را از طرفین آن نقطه جدا میکنیم.
حال اگر بتوانیم نقطه بدست بیاوریم که بیک فاصله از
ح و و باشد آن را به نقطه ه وصل کرده عمود مطلوب
حاصل می شود برای این کار کافی است بمرکز ج و و
دو دائره مساوی رسم کنیم که در نقطه م متقاطع میشوند
خط م ه عمود مطلوب است.
این خط شامل نقطه دیگر تقاطع دو دائره یعنی م نیز
ش ۱۲۸


۱۳۶

می باشد.

۱۷۴- تبصره - لازم است که دو دائره در روی
صفحه کاغذ یک دیگر را قطع کنند و نیز کافی است که قوسها
را فقط در حوالی م د م رسم کشیم بالنسبه را آسان آن است
که در عملیات شعاع
دائره را تقریباً ۳/۴
و ج قرار دهیم.
۱۷۵ - ثانیاً -
نقطه ه در خارج خط مفروض است (سو ۱۲۹)
از نقطه ه مایلها رسم می شوند که نسبت بعمود مطلوب متناظرند.
نقطه ه را مرکز قرار داده قوسی بشعاعی رسم میکنیم


۱۳۷
که خط ما را در دو نقطه ا و ج قطع کند حال دو پازان
مائیل ها بدست آمده فقط کافی است که نقطه دیگری غیر از
ه مانند م پیدا کنیم که از دو نقطه ا و ج متساوی البعد
باشند و این کار هم آسان است زیرا که دو قوس بیک
شعاع بمرکز ا و ج رسم می کنیم تا در نقطه م متقاطع شوند
خط ه م عمود مطلوب است (۱۷۰) .

۱۷۶- مسئله- میخواهیم محور تناظر قطعه
خط مفروضی را رسم کنیم.
سابقاً این مسئله را در ۱۲۳ (س۱۲۸) حل کرده
ایم دو دائره مساوی بمرکز ج و ا که در م و مّ یک دیگر
را قطع می کنند خط م مّ را تعیین می نمایند که محور
مطلوب است .
حل مسئله فوق برای مسئله ذیل نیز مناسب است.
میخواهیم وسط قطعه خطی را معلوم
کنیم.


۱۳۸
۱۷۷ مسئله - میخواهیم منصف زاویه را رسم نمائیم.
منصف مطلوب جزء محور تناظر مثلث متساوی الساقینی است که با زاویه مفروضه ساخته شده باشد.
نقطه ه را
مرکز قرار داده قوسی
بشعاع اختیاری
رسم می کنیم تا اضلاع
زاویه را در دو نقطه
و و ج قطع کند
(س ۱۳۰) مثلث
متساوی الساقین ه ج و بدست می آید.
منصف الزاویه جزء محور قطعه خط و ج است که از ان نقطه ه معلوم می باشد برای یافتن نقطهٔ دیگری دو نقطه و و ج را مرکز قرار داده بیک شعاع دو قوس رسم مینمائیم


۱۳۹
تا در نقطه م متقاطع شوند ه م منصف الزاویه مطلوب
است .
مسائل
١١ - ثابت کنید که اگر مثلثی محور تناظری قبول کند قطعاً
محور مذکور از یکی از رؤس آن مثلث عبور خواهد
نمود .
١٢- مثلثی رسم کنید که ارتفاع و میانه آن یکی باشد
بعد ثابت کنید که آن مثلث متساوی الساقین
است .
١٣ - دو میانه مثلث متساوی الساقینی را از دو زاویه
مساوی رسم می کنیم ثابت کنید که آنها با هم مساویند
و در روی محور تناظر یک دیگر را قطع می کنند .
۱۴ - دو ارتفاع مثلث متساوی الساقینی را از زاویه
مساوی رسم می کنیم ثابت کنید که آن دو با هم


۱۴۰
مساوی اند و در روی محور تناظر هم دیگر را تقاطع
می نمایند.
۱۵- در روی خط مفروضی نقطۀ معین کنید که از دو نقطۀ
مفروضه بیک فاصله باشد.
۱۶- در روی دائرۀ مفروضی نقطۀ پیدا کنید که از دو نقطۀ
مفروضه بیک فاصله باشد.
۱۷- آیا ممکن است مثلثی دارای مرکز تناظر باشد؟
۱۸- مثلث متساوی الساقینی رسم کنید که یک زاویه اش
۵۰ باشد بعد دو زاویۀ دیگر آن را با نقاله اندازه
بگیرید.
۱۹- نقطۀ معین کنید که بفاصلۀ مفروضی از دو نقطۀ مفروضه
قرار گرفته باشند.
۲۰- از روی مسئلۀ سابق مثلث متساوی الاضلاعی رسم
کنید که یک ضلعش در دست باشد.


۱۴۱
فصل ششم
خطوط متوازیه
۱۷۸ - سابقاً (عـ۱۱۹) دیدیم بعضی خطوط یافت میشوند
که ممکن نیست با هم نقطه مشترکه داشته باشند و آنها را
خطوط متوازیه نامیدیم حال تعریفی را که آنجا کرده بودیم
محض یادآوری در اینجا تکرار مینمائیم.
هرگاه دو خط واقعه در يك سطح یکدیگر را
قطع نکنند متوازیند.
۱۷۹ - مسئله را که درشـ۱۱حل کرده ما را بحل مسئله ذیل
هدایت میکند:
مسئله- میخواهیم از نقطه مفروضی خطی موازی
با خط مفروضی رسم کنیم.


۱۴۲

برای حل این مسئله
کافی است که خط متناظر
خط مفروض را نسبت
بمرکزی چنان رسم کنیم
که خط مرسومه از نقطهٔ
مفروضه عبور کند پس
فرض می‌کنیم ل خط
مفروض و ا نقطهٔ مفروضه باشد (س۱۳) نقطهٔء را بیک
نقطهٔ نامعین از خط ل مانند نقطه ء وصل کرده نقطهٔ ه وسط
ا آ را نشان می‌کنیم بدین طریق نقطهٔ ا نقطهٔ متناظر نقطهٔ آ
نسبت به ه است.
حال باید متناظر نقطهٔ نامعین دیگری از خط ل را مانند
ج تعیین نمود و بعد دو نقطهٔ ج و ج را بهم وصل نمود تا خط
مطلوب بدست آید.
۱۸۰ - قاعدهٔ فوق مقصود ما را حاصل کرد ولی معلوم نکرد


۱۴۳
که آیا از نقطۀ مفروضه خطوط دیگری هم می توان بموازات خط
مفروض ل رسم نمود یا خیر بنا بر این خطوط متوازیه را از نقطۀ
نظر دیگری تحصیل می کنیم.
۱۸۱- دو خط عمود بر یک خط - س۱۳۲ دو خط ا آ
و ج جّ را نشان می
دهد که بر یک خط ل لّ
عمود اند این دو خط با هم
موازییند زیرا که اگر موازی
نباشند باید نقطۀ مشترکه
داشته باشند آن
وقت لازم می آید که
از یک نقطه دو خط
بر خطی عمود کرده باشیم و آن محال است پس میگوئیم:
قضیه - دو خط عمود بر يك خط موازيند.
۱۸۲- ترسیم خطوط موازیه با گونیا - از آنچه گفتیم


۱۴۶

قاعدۀ سهلی برای ترسیم خطوط متوازیه توسط گونیا و ستاره
بدست می آید بدین طریق که ستاره را در کنار خط مفروض قرار
داده گونیا را در کنار آن بلغزانیم
ش۱۳۳ نشان
می دهد که چگونه
می توان با گونیا
دو خط عمود بر
یک خط رسم
نمود که با هم موازیند
- ۱۸۳ -
حال فرض میکنیم
که در وقت
لغزاندن گونیا
در کنار ستاره


۱۴۵
دو خط در کنار ضلع غیر مجاور بزاویه قائمه رسم کنیم (سو ۱۳۳ )
چون گونیا و ستاره را برداریم س ۱۳ بدست می آید دو
زاویه و ن ل ر ج د ل با هم مساویند زیرا که هر دو یک
زاویه گونیا هستند (س ۱۳۵) .
حال ثابت
می کنیم که دو خط
او و ج ح با هم
موازیند زیرا که
(م۱۷۹) آن نسبت
به نقطه ه وسط
دن متناظرند دو
زاویه ل د ج
با زاویه ج د ل چون متقابل براست با آن مساوی است
بنابر این با زاویه و ن ل مساوی است .
حال اگر ه ل و ح ح را بقدر ۱۸۰ درجه بدور نقطه ه
مو ۱۳۵
ل
د
ه
ن
و
ج
م
ل
ح
و
ز
ی
ر
ا
ک
ه
س
ه
ر
د
و
ی
ک
ز
ا
و
ی
ه
گ
و
ن
ی
ا
ه
س
ت
ن
د
(
س
۱
۳
۵
)
.
ح
ا
ل
ث
ا
ب
ت
م
ی
ک
ن
ی
م
ک
ه
د
و
خ
ط
ا
و
و
ج
ح
ب
ا
ه
م
م
و
ا
ز
ی
ن
د
ز
ی
ر
ا
ک
ه
(
م
۱
۷
۹
)
آ
ن
ن
س
ب
ت
ب
ه
ن
ق
ط
ه
ه
و
س
ط
د
ن
م
ت
ن
ا
ظ
ر
ن
د
د
و
ز
ا
و
ی
ه
ل
د
ج
ب
ا
ز
ا
و
ی
ه
ج
د
ل
چ
و
ن
م
ت
ق
ا
ب
ل
ب
ر
ا
س
ت
ب
ا
آ
ن
م
س
ا
و
ی
ا
س
ت
ب
ن
ا
ب
ر
ا
ی
ن
ب
ا
ز
ا
و
ی
ه
و
ن
ل
م
س
ا
و
ی
ا
س
ت
.
ح
ا
ل
ا
گ
ر
ه
ل
و
ح
ح
ر
ا
ب
ق
د
ر
۱
۸
۰
د
ر
ج
ه
ب
د
و
ر
ن
ق
ط
ه
ه


۱۴۶
دوران دهیم ه ل بر روی ه ل و د بر روی ن واقع خواهد شد
و زاویهٔ ل ه ج بر روی مساویش ه ن ل خواهد افتاد
پس ح ج بر روی ا و منطبق خواهد شد پس معلوم شد
که ح ج با ا و نسبت بمرکز تناظره متناظرند بنا بر این باهم
موازی می باشند .
۱۸۴- تعاریف - دو خط ا و و ج ح را ملاحظه
می کنیم که خط ثالث د دَ آن ها را قطع کرده است (ش ۱۳۶)
در اینجا هشت زاویه
بدست می آید که
برای سهولت
نمره ۱ و ۲ و ۳ و ۴
و ۵ و ۶ و ۷ و ۸
در آنها می گذاریم
چهار زاویه ۱ و
۴ و ۵ و ۸ که


۱۴۷
بین دو خط ۱ و́ و ح ج واقع اند موسومند بزواياى دخله
و چهار زاویهٔ دیگر ۲ و ۳ و ۷ و ۸ را زوایاى خارجه مینامند
دو زاویهٔ داخلى ۱ و ۶ كه در دو طرف و و́ واقعند
و غير مجاوند موسومند بزواياى متناوبه داخله و دو
زاویهٔ ۴ و ۵ نیز متناوبه داخله میباشند .
دو زاویهٔ خارجى ۳ و ۸ را كه در دو طرف و و́ واقع
و غیر مجاورند زوایای متناوبه خارجه می نامند دو
زاویه ۲ و ۷ نیز متناوبه خارجه می باشند .
دو زاویهٔ غير مجاوره را که یکی خارجی و دیگری داخلی و
در یک طرف و و́ باشد زوایای متقارنه می گویند .
مثلاً دو زاویهٔ ۲ و ۵ و دو زاویهٔ ۱ و ۸ و دو زاویهٔ ۴ و ۷
و دو زاویهٔ ۳ و ۶ با هم متقارنه اند .
۱۸۵ - حال به ۱۸۳ برمی گردیم تساوى دو زاویهٔ
متقارنه و́ ن ل و ج د́ ل برای اثبات موازی بودن
آن خطوط کافی است پس چنین بیان می کنیم .


۱۴۸

قضیه - هرگاه دو خط با خط ثالثی زوایای
متقارنه مساوی تشکیل دهند با هم موازیند
۱۸۶ - بسهولت معلوم می شود که هر یک از فروض
ذیل باعث تساوی دو زاویه متقارنه میگردد:
زوایای متناوبه داخلی مساوی
زوایای متناوبه خارجی مساوی
زوایای داخلی مکمله واقعه در یک طرف دو

مثلا (ش ۱۳۷)
اگر زوایای متناوب
داخلی ۴ و ۵
مساوی باشند
چون زاویه ۲ با
زاویه ۴ متقابل
بر اس است.
پس با آن مساوی

ا
۳/۲
۴/۱
۱

جَ
۶/۵
۷/۸
ح

د

ک

ش ۱۳۷


۱۴۹

است و چنین لازم می آید که دو زاویه متقارنه ۲ و ۵ مساوی باشند.

همچنین اگر دو زاویه متناوب خارجی مساوی باشند پس ۱ و ۸ مساوی میگردند.

و بالاخره اگر دو زاویه ۱ و ۵ مکمل یکدیگر باشند زاویه ۸ که متمم زاویه ۵ است با زاویه متقارنه ۱ مساوی است پس می توانیم چهار قضیه ذیل را بیان نمائیم:

قضیه هرگاه دو خط با خط ثالثی: زوایای متناوبه داخله مساوی تشکیل دهند.
یا زوایای متناوبه خارجه مساوی تشکیل دهند.
یا زوایای متقارنه مساوی تشکیل دهند.
یا زوایای داخلی مکمله در یک طرف خط تشکیل دهند آن دو خط با هم موازیند.


۱۵۰
۱۸۷ - دو خط که با خط ثالثی دو زاویهٔ داخلی در یک طرف خط وغیر مکمله تشکیل می دهند. س۱۳۸
دو خط او
دور انشان
می دهد که خط و
ثالث دو آنها
را قطع کرده است
و فرض می کنیم
دو زاویهٔ داخله
۱ و ۲ مکمل هم نباشند. س۱۳۸
چون دو زاویهٔ ۱ و ۳، همچنین دو زاویهٔ ۲ و ۴ مکمل یک دیگر ند پس مجموع این چهار زاویه مساوی با چار قائمه است.
اگر مجموع دو زاویهٔ ۱ و ۲ از دو قائمه بیشتر باشد مجموع دو زاویهٔ ۳ و ۴ از دو قائمه کوچک تر خواهد شد و اگر


۱۵۱
مجموع دو زاویه ۱ و ۲ از دو قائمه کوچک تر باشد مجموع دو
زاویه دیگر یعنی ۳ و ۴ از دو قائمه بزرگتر خواهد گردید.
پس همیشه یکی ازین دو مجموع بزرگتر از دو قائمه است.
حال فرض می کنیم که مجموع دو زاویه ۱ و ۲ بزرگتر
از دو قائمه باشند.
پس زاویه ۲ بزرگتر از مکمل زاویه ۱ است و اگر نیم
خطی مانند م ه رسم کنیم بقسمی که دو زاویه ۱ ن م و ن م ه
مکمل یک دیگر شوند این خط در درون زاویه ۲ واقعه شده
علاوه بر آن با آن نیز موازی خواهد بود (۱۸۶)
دو نیم خط ن و و م د که در دو طرف م ه واقع شده
اند نمی توانند یک دیگر را تقاطع کنند ولی دو امتداد اشان تو
وم د یک دیگر را قطع خواهند کرد پس خاصیت ذیل را که
مشهور بمطلب اقلیدس است بیان میکنیم:
۱۸۸- مطلب اقلیدس- هرگاه دو خط را خط
ثالثی قطع کند بقسمی که با آنها زوایای داخلی


۱۵۲

واقعه در يك طرف خط وغير مكمل تشکیل دهد
آن دو خط همدیگر را قطع میکنند .
قضیه ـ در حالت سابقه محل تقاطع آنها
در طرفے است که مجموع دو زاویه از دو قائمه
کمتر باشد .
۱۵۹ ـ مطلب اقلیدس یکی از مسائلی است که
نمیتوان اثبات نمود از زمان یونانیان قدیم اقلیدس
مهندس مشهور آن را سوال کرده علاوه بر آنکه تا حال
حال کسی نتوانسته است آن را اثبات کند بالاخره در
این دوره ثابت کرده اند که هرگز ممکن نیست اثبات نمود.
ما فقط بملاحظه این مطلب اکتفا نموده همین قدر میگوئیم
که هرگاه نقطه تقاطع آن دو خط خارج از صفحه کاغذ باشد
هرگونه اثبات تجربیه هم محال است .
۱۶۰ـ نتیجه مطلب اقلیدس ـ از مطلب اقلیدس
چنین نتیجه مے شود که از نقطه واقعه در خارج خطی ممکن


۱۵۳
نیست بیش از یک خط موازی با آن خط رسم نمود.
برای ترسیم خطی موازی با خط د و̄ از نقطۀ ا (سر ۱۳۹)
ابتدا خط ا̄ د را رسم کرده د̄ ا̄ و̄ مکمل زاویۀ ا̄ د̄ د̄
را رسم میکنیم
هر خط دیگری
غیر از ا̄ و̄ که
از نقطۀ ا̄ و در
همان طرف
خط ا̄ د̄ رسم
شود زاویۀ احداث میکند که کوچک تر از زاویۀ د̄ ا̄ و̄ است
بنابر این متمم ا د د̄ نخواهد بود و د د̄ را قطع خواهد کرد پس
قضیه - از نقطۀ واقعه در خارج خطى يك
خط میتوان بموازات آن رسم نمود بيش از يك
خط ممکن نیست.
۱۵۱ - ترسیم خطوط متوازیه توسط گونیا - سابقاً در


۱۵۴
۱۴۳ دیدیم که هرگاه گونیا را در کنار ستاره بلغزانیم و در کنار یک ضلع گونیا در دو جای مختلف رسم کنیم آن دو خط با یک دیگر موازی خواهند بود.
این خاصیت را برای ترسیم خطوط متوازیه بکار می برند فرض می کنیم بخواهیم از نقطه ا خطی بموازات د ه رسم کنیم (ش۱۴)
ابتدا یک ضلع گونیا را در کنار د ه قرار داده ستاره را در کنار دیگر آن میگذاریم
ش ۱۴
بعد ستاره را ثابت نگاهداشته گونیا را در کنار آن می لغزانیم تا وقتیکه همان ضلع گونیا که در کنار د ه بوده برنقطه ا بگذرد آن وقت خطی در کنار آن رسم می کنیم که با خط مفروض


۱۵۵

متوازی است.
در عملیات گونیا را باید طوری قرار داد که در وقت لغزش نقطه ا در کنار گونیا واقع گردونه در کنار امتداد آن - البته قدری عمل هر گونه اشکال را مرتفع خواهد ساخت.
۱۹۲- نتیجه قضیه ۱۹۰ - دو خط موازی ا و و ج م و خط ثالثی را مانند ل ن فرض می کنیم.
اولا - خط
ل ن خط ا د را
در نقطه ه قطع می
کند (س ۱۴۱)
پس بطور چشم ج م
را قطع خواهد نمود
زیرا که اگر آن را
قطع نماید با آن موازی خواهد بود. و چنین لازم می آید که از نقطه ه دو خط ا د و ل ن با خط م ج موازی باشند و


۱۵۶

این محال است.
ثانیاً - اگر ل ن موازی با ا د باشد (س۱۴۲) آن وقت دو
خط ج م و ل ن که هر دو با ا د موازی هستند خود شان
نیز با هم موازی خواهند بود زیرا که اگر موازی نباشند.
یک دیگر را قطع خواهند نمود آن وقت لازم می آید که از نقطهٔ
تقاطع آن ها دو خط بموازات خط ا د رسم شده
باشد و این محال است پس حتماً با هم موازیند و چنین
می گوئیم :
قضیه - اگر دو خط با هم موازی باشند هر
خط که یکی ن ل
از آنها م م
را قطع کند د ا
دیگری را
هم قطع خواهد نمود هر گاه دو خط با خط ثالثی
موازی باشند با هم موازیند.


۱۵۷
۱۹۳ - عکس قضیه ۱۸۶ - دیدیم که هرگاه زوایائیکه
دو خط با خط ثالثی تشکیل میدهند دو بدو مساوی یا مکمل
هم باشند آن دو خط باهم موازی اند.
عکس این
قضایا نیز صحیح است
زیرا که از یک نقطه
بیش از یک موازی
با خط مفروضی نمی
توان رسم کرد مثلاً (س ۱۶۳) هرگاه دو خط ا د وج م باهم
موازی باشند خط ل ن دو زاویه داخله در یک طرف خط
ومکمل تشکیل می دهد اگر این زوایا با هم مکمل نباشند لازم
می آید که آن دو خط یک دیگر را قطع کنند (ع۱۸) .
از روی ملاحظات ۱۶۴ بسهولت می فهمیم که زوایای
متناوبه داخلی و متناوبه خارجی ومتقارنه نیز با هم مساویند
پس.


۱۵۸
قضیه عکس ۱۹۶ - هرگاه دو خط موازی را
خط ثالثی قطع کند.
اولاً ـ زوایای متناوبهٔ داخله مساویند.
ثانیاً ـ زوایای متناوبه خارجه مساویند.
ثالثاً ـ زوایای متقارنه مساویند.
رابعاً ـ زوایای داخله واقعه در یکطرف
خط قاطع مساویند.
ع ۱۹۴ - اگر
یکی از زوایای
فوق الذکر قائمه
باشد جمیع زوایای
دیگر قائمه خواهند
بود مثلاً (س ۱۹۴)
هرگاه و د و ج م با هم موازی باشند و ل ن بر و د عمود
باشد زوایای واقعه در حول نقطه ن نیز قائمه خواهند بود


۱۵۹

و ل ن ب ر ج م نیز عمود است پس
قضیه عکس ۱۸ - هرگاه دو خط با هم موازی
باشند هر خط که بر یکی عمود باشد بر دیگری
نیز عمود خواهد بود .
۱۹۵ مسئله - فرض میکنیم دو خط ا د و ج م
با هم موازیند
و ك ل عمود بر د
م ج و م ن عمود
بر ا د است
میخواهیم خواص
این دو خط را
معلوم کنیم.
فرض ما این

است زوایای دو نقطهٔ م و ل قائمه اند پس زوایای
نقطه ن نیز قائمه اند (۱۹۴) ولی آن وقت م ن وك ل


۱۶۰
با یک دیگر موازی می شوند پس
هرگاه دو خط بترتیب بر دو خط موازی عمود
باشند خودشان موازیند.
۱۹۶ - مسئله - میخواهیم خاصیت دو خطی
را که بترتیب بر دو خط متقاطعه عمودند معلوم
کنیم.
(سر۱۴۶) دو خط و وُ را نشان می دهد که بترتیب بر
دو خط ه ا و ه ج عمودند.
این دو خط و وُ
یک دیگر را قطع میکنند
زیرا که موازی باشند
از روی مسئله سابق
لازم می آید که ه ا و
ه ج هم موازی باشند
و این خلاف فرض است
[illustration: figure سر۱۴۶ showing two lines intersecting another two lines with labels ا, ج, د, ه, و, وُ]


١۶١
پس
قضیه ـ هر گاه دو خط بترتیب بر دو خط متقاطعه عمود باشند خودشان متقاطع اند.
فصل هفتم
تعیین دائره
وضع دو دائره نسبت بیکدیگر و اوتار قوسی
۱- تعیین دائره
۱۹۷ ـ ما در صفحات ذیل طریقه ترسیم دوائری را که از نقاط مفروضه عبور میکنند بیان میکنیم .
۱۹۸ ـ مسئله ـ دائره رسم کنید که از يك يا دو


۱۶۲
یاسه یا ..... نقطه مفروضه عبور کند.
اولاً - از يك نقطه مفروضه ا - درین حالت باید
نقطه ماننده برای مرکز دائره
انتخاب نموده ببعد بشعاع ه ا
دائره رسم کنیم (ش ۱۴۷) این
مسئله دارای عده لایتناهی جواب
است زیرا که می توان هر نقطه
از سطح را برای مرکز انتخاب نمود. ش ۱۴۷
۱۹۹ - ثانیاً از دو نقطه مفروضه ا و ج. درینحالت
(ش ۱۴۸) مرکز دائره
باید از دو نقطه ا و ج
بیک فاصله باشد
پس باید در روی عمود
وارد بر وسط ا ج
باشد (ش ۱۶۹) اگر نقطه ش ۱۴۸


۱۶۳

غیر معینی مانند ه در روی این عمود دم فرض کنیم و دائرۀ
بشعاع ه و رسم نمائیم از دو نقطۀ مفروضه خواهد گذشت.
این مسئله نیز عدۀ لایتناهی جواب دارد ولی نقطۀ ه را
نمیتوانیم هر جا که میل مان باشد انتخاب کنیم بلکه مجبوریم آن را
در روی عمود دم د بگیریم.
۲۰۰- ثالثاً از سه نقطه مفروضۀ ا و ج و د-
بدواً می گوئیم سه نقطۀ مفروضه نباید بر استقامت یک خط
باشند زیرا که یک دائره ممکن نیست در بیش از دو نقطه خط
مستقیم را قطع کند (۱۴۴).
پس فرض میکنیم
سه نقطۀ ا و ج و د
بر استقامت یک خط
نباشند (ص ۱۴۹)
دائرۀ که بر دو نقطه
ج و د بگذرد مرکز ش

س ۱۴۹
د
ا
هـ
م
ج


۱۴۴

بر روی محور تناظر قطعه خط ج د واقع است و همچنین دائره که
بر دو نقطه ج و د عبور کند مرکزش بر روی محور تناظر قطعه خط
ج د خواهد بود.
چون دو قطعه خط ا ج و ج د همدیگر را قطع کرده اند پس دو
محور تناظر آنها هم که بطور نقطه چین نموده شده اند یک دیگر
را در نقطه ه قطع خواهند بود (۱۹۶) پس نقطه ه مرکز دائره
مطلوب است که از سه نقطه ا و ج و د خواهد گذشت در اینجا
می بینیم که مسئله بیش از یک جواب ندارد زیرا که هر نقطه
دیگری غیر از ه از سه نقطه ا و ج و د بیک فاصله نخواهد بود
پس مرکز دائره مطلوبه نیست و از اینجا معلوم می شود که اگر
بقاعده دیگری بتوانیم مرکز دائره مطلوبه را پیدا کنیم آن نقطه
بر روی نقطه ه خواهد افتاد پس می گوئیم:
قضیه - بوسه نقطه غیر واقعه بر استقامت
يك خط هموار میتوان يك دائره عبور داد و
بیش از يك دائره ممکن نیست .


۱۶۵
۲۰۱- رابعاً بیش از سه نقطه - فرض می کنیم بیشتر از سه نقطه مثلاً چهار نقطه ا و ج و د و ل مفروض باشد دائره منحصر بفردی که از سه نقطه ا و ج و د عبور می کند. معمولاً از نقطه چهارم ل مرور نخواهد نمود پس بطریق اولیٰ اگر نقاط دیگری هم باشند بر آنها نخواهد گذشت.
۲۰۲ - تبصره - حال مجدداً به ترسیم شـ ۲۰ بر می گردیم
نقطه ه از دو نقطه ا و د نیز بیک فاصله است پس بر روی محور متناظر قطعه خط ا د واقع است (ش۱۵) پس میگوئیم.
قضیه - خطوطی که بر وسط اضلاع مثلث عمود باشند قاطع یکدیگرند.
۲۰۳ - تعریف - دائره که از سه رأس مثلث عبور


۱۶۶

کند موسوم به دائره محیطیه اوست مرکز آن نقطه مشترک
سه محور تناظر اضلاع مثلث می باشد.
ع۲۰۴ - نقاط مشترکه دو دائره - از آنچه پیش دیدیم
معلوم می شود دو دائره در بیش از دو نقطه ممکن نیست
با هم مشترک باشند زیرا که اگر در سه نقطه با هم اشتراک داشته
باشند بر هم منطبق می گردند.
این مسئله را سابقاً در ع۱۷۲ هم دیده بودیم و از انرو
می دانیم که آن دو نقطه مشترکه نسبت به خط بین المرکزین
متناظره اند.
۲- وضع دو دائره نسبت بیکدیگر

حال اوضاع مختلفی که دو دائره ممکن است بهم داشته
باشند بیان می کنیم.
۲۰۵- دو دائره خارجی - دو دائره مانند ش۱۵۱ رسم
می کنیم که یک دیگر را قطع نمی کنند و هر یک در خارج دیگری


۱۶۷

ش ۱۵۱
هستند و آنها را دوائر خارجی می‌نامند در اینجا می‌بینیم
که قطعه خط بین المرکزین ه هَ از مجموع دو شعاع ه ا وهَ اَ
بزرگتر است پس می‌گوئیم.
قضیه- هرگاه دو دائره نسبت بهم خارجی باشند
فاصلهٔ بین المرکزین بزرگتر از مجموع دو شعاع
آنها است.
۲۰۶- دوائر مماس خارجی- بدون آنکه شعاعهای
دوائر را تغییر دهیم نقطهٔ هَ را در روی خط المرکزین می‌لغزانیم
و به نقطهٔ ه آن را نزدیک می‌کنیم در این لغزش بموقعی میرسیم
که نقطهٔ اَ بر روی نقطهٔ ا خواهد افتاد (ش ۱۵۲) در این وقت


۱۶۸
این دو دایره فقط در نقطه ا اشتراک دارند و ممکن نیست در
ش ۱۵۲
نقطه دیگری مشترک باشند زیرا که اگر در نقطه دیگری مانند
ج در خارج ه هَ مشترک باشند لازم می‌آید که در نقطه جَ تناظره
ج نسبت به ه هَ نیز مشترک باشند آن وقت آن دو دایره
در سه نقطه ا و ج و جَ مشترک شده بر روی هم منطبق میگردند
و این ممکن نیست.
علاوه بر این خط ا و از نقطه ا بر ه هَ عمود شده است


۱۷۹
بر هر دو دائره مماس است (ع۱۶۲) .
این دو دائره را مماس خارجی می نامند و بر ما معلوم
شد که خط المرکزین مساوی یا مجموع دو شعاع است. پس
می گوئیم :
قضیّه- هرگاه دو دائره مماس خارجی باشند
فاصلۀ بین المرکزین مساوی با مجموع دو شعاع
است .
۲۰۷- دوائر متقاطعه- باز هم نقطۀ ه را به نقطۀ هَ
نزدیک می کنیم
نقطه ا داخل دائره
هَ می شود (س۱۵۳)
ولی وقتیکه نقطۀ
ج در خارج دائره
هَ است می بینیم
چون دائره هَ یک نقطه در درون و یک نقطه در بیرون


۱۷۰

دائرهٔ ه دارد پس آن را در دو نقطهٔ م و مٓ قطع می کند.
از روی فرض مواقع دو نقطهٔ حٓ وح نامساوی های
ذیل حاصل می شود
ا ہٓ < ا ه و ه ا < حٓ ه
حال بر طرفین این دو نامساوی دو مقدار مساوی میفزائیم
و کم می کنیم.
ا هٓ + ه ا < ا هٓ + ا ه و حٓ ه - ا ه < حٓ ه - حٓ ه
و آن ها را این طور می نویسیم
ا هٓ + ه ا < ه هٓ و حٓ ه - ا ه < ه هٓ
پس می توانیم بگوئیم :
قضیه - هرگاه دو دائره یکدیگر را در دو نقطه
قطع کنند فاصلهٔ بین المرکزین بین مجموع و تفاضل
دو شعاع آنها است.
۲۰۸- تبصره - هرگاه بگوئیم عددی بین دو عدد دیگر
است مقصود آن است که از عدد بزرگتر کوچک تر و از


۱۷۱
عدد کوچک نیز بزرگتر است.
۲۰۹ - دوائر مماس داخلی - در شکل سابق باز نقطه
ه را به ه نزدیک می کنیم تا حدی که نقطه ح بر روی نقطه ا
بیفتد (سر ۱۵۴) در این حال دو دائره در نقطه ا فقط مشترک
اند و مطابق همان دلیل که در
۲۰۶ دیدیم ممکن نیست در نقاط
دیگر مشترک باشند مگر آنکه مساوی
بوده بر روی هم منطبق شوند.
غیر از این همواره دو دائره
در یک نقطه ا مشترک اند و خط
سر۱۵۴
د ا مماس مشترک آنها است و آنها را دوائر مماس داخلی
می گویند از روی شکل معلوم است که ه هَ اختلاف دو شعاع
ه ا و هَ ا است پس می گوئیم:
قضیه - هر گاه دو دائره مماس داخل باشند
فاصله بین المرکزین مساوی با تفاضل اشعه آن


۱۷۲
دوائر است.
۲۱۰ - دوائر داخلی - بازهم در شکل سابق نقطۀ ه را
به ه نزدیک می کنیم نقطۀ ج وارد دائرۀ ه و دائرۀ کوچک
کاملاً در درون دائره
بزرگ واقع می گردد
(س ۱۵۵) از روی فرض
مسئله چنین می گوئیم
ا ه > ج ه
حال از طرفین یک مقدار
کم می کنیم چنین می شود
ح ه - ا ه > ح ه - ح ه
یا
ح ه - ا ه > ه ه
پس می توانیم بگوئیم:
قضیه - هر گاه دو دائره در داخل یکدیگر باشند


۱۷۳
فاصلهٔ بین المرکزین کوچک تر است از تفاضل دو
شعاع.

۲۱۱- دوائر متحدالمرکز - حال اگر در شکل سابق باز
هم حرکت نقطهٔ ه را امتداد دهیم بر روی نقطه ه واقع
می شود آن وقت دو دائره متحدالمرکز می شوند و آن حالت
مخصوصی از قضیهٔ سابق است اگر از نقطهٔ ه باز هم ه را
حرکت دهیم عیناً همان مطالب که گفتیم معکوساً بدست می آید.

۲۱۲- خلاصه - فاصله بین المرکزین را بواسطهٔ حرف
ف و اشعه دو دائره را بدو حرف س و سَ نمایش میدهیم
کلیهٔ نتایجی را که سابقاً دیدیم در جدول ذیل خلاصه میشود.
دوائر خارجی سَ + س > ف
دوائر مماس خارجی سَ + س = ف
دوائر متقاطعه س + سَ > ف > سَ - س
دوائر مماس داخلی سَ - س = ف
دوائر داخلی سَ - س > ف


۱۷۴
۲۱۳- قضایای عکس - جدول فوق پنج قضیه را
که ثابت کرده بودیم برای ما خلاصه می کند در ستون اول
فروض و در ستون دوم مستنبطات نوشته شده است -
عکس تمام آنها هم صحیح است.
مثلاً هرگاه فاصلهٔ بین المرکزین بین مجموع و اختلاف
دو شعاع باشد آن دو دائره متقاطع اند زیرا که اگر خارجی
یا داخلی یا مماس داخلی یا مماس خارجی باشند لازم می آید که
فاصلهٔ بین المرکزین بین مجموع و تفاضل دو شعاع نباشد
پس بطور یقین متقاطع خواهند بود
عکس چهار قضیه دیگر را بهمین طریق ممکن است اثبات
کرد و ما آن را بعهدهٔ شاگردان واگذار می کنیم.
۳ - اوتار و قسی
۲۱۴- تعریف - وتر عبارت از قطعه خطی است
که دوانتهای آن دو نقطه از دائره باشند.


۱۷۵
مثلاً در سره ۱۵ د یک
و تر از دائره ه است و مقابل
آن دو قوس می باشند که بدو
نقطه ا و د ختم شده اند در
این حال می‌گویند که قوس
او د موتر بدو و تر است.
در میان دو قوس که موتر
سره ۱۵
بیک و ترند همواره ما از قوسی که کوچک تر از نیم دائره باشد صحبت
می داریم که اشتباهی واقع نشود.
هر گاه اتفاقاً محتاج شدیم که قوس بزرگتر را بخوانیم آن
را جداگانه بطور واضح بیان می‌کنیم.
۲۱۵- تبصرۀ اصلی- حال مطالب راجعۀ بقسی و اوتار
واقعۀ در یک دائره را بیان می‌کنیم و چون دو دائره مساوی
همواره قابل انطباق بر یک دیگرند پس آنچه در باب اوتار
و قسی یک دائره بگوئیم در دوائر مساویه هم صدق میکند.


۱۷۶
۲۱۶- مسئله - میخواهیم نسبت اوتار دو قوس
مساوی یک دائره را معلوم کنیم.
فرض می کنیم دو قوس ا د و ا د با هم مساوی باشند
(شکل ۱۵۷) چون
مساویند میتوانیم
آنها را بر یک دیگر
منطبق کنیم ولی در
آن وقت اوتار
آنها هم بر روی
یک دیگر واقع
شده با هم مساوی
میگردند پس
قضیه - هر گاه دو قوس از يك دائره با هم
مساوی باشند اوتار آنها نیز با يك ديگر مساويند
۲۱۷ - میخواهیم نسبت اوتاری که در يك دائره


۱۷۷

مقابل به قسمی غیرمساویند معلوم کنیم.
همان طور که در ۱۷۳ گفتیم فرض می کنیم قسمی کوچک تر
از نیم دائره اند پس فرض می کنیم که دو قوس ا د و ا ج غیرمسادی
باشند (رسم ۱۵۸) که از مبدأ ا شروع شده و در قسمت ا د
مشترک می باشند اگر قطر ا ه
را رسم کنیم دو نقطه د و ج
در یک طرف آن خواهند
افتاد زیرا که از نیم دائره کوچکتر
اند برای مقایسه بین دو وتر
نقطه ا را مرکز قرار داده دائره
بشعاع ا د رسم می کنیم که دائره ه را در متناظره نقطه د
نسبت به ا ه قطع کند (۱۷۲) پس این نقطه د از نقطه ج
مجزی و متمایز است.
چون این دو دائره متحدالمرکز نیستند پس ممکن نیست برهم
منطبق شوند و فقط در دو نقطه د و دَ با هم اشتراک دارند و


۱۷۸
نقطهٔ ج در روی دائره ا نیست پس دو وتر غیرمساویند.
چون نقطهٔ ۱ مرکز دائره است پس قوس د ا در درون
آن است و قوس د ج د در خارج آن واقع می‌گردد بنابراین
نقطهٔ ج در خارج دائره واقع است و فاصلهٔ آن از نقطهٔ
ا بزرگتر از فاصلهٔ د تا ا میباشد پس
قضیه - هر گاه در یك دائره یا دو دائره مساویه
دو قوس غیرمساوی و هر دو کوچکتر از نیم دائره باشند
قوس بزرگتر مقابل است بوتر بزرگتر.
۲۱۸ - تبصره - در قضیه فوق لازم است که آن دو قوس
هر دو از نیم دائره کوچک تر
باشند چنانکه در سر ۱۵۹ دیده
می شود قوس ا ج د از قوس
ا ج بزرگتر است ولی چون
از نیم دائره بزرگتر است وتر
مقابل بآن یعنی ا د کوچکتر
سر ۱۵۹


۱۷۹

از ونتائج میباشد.
۲۱۹ - قضایای عکس - عکس قضایای فوق بسهولت
بر ما ثابت میشود.
مثلاً هرگاه دو وتر غیر مساوی باشند لازم می آید که قسی
مقابل به آنها نیز غیر مساوی باشند زیرا که اگر مساوی باشند
لازم می آید که قسی نیز با هم مساوی باشند و این خلاف فرض
است.
و نیز در این حالت وتر بزرگتر مقابل بقوس بزرگتر است
زیرا که اگر بر عکس باشد لازم می آید که وتر بزرگتر کوچک تر باشد
و این نیز خلاف فرض است پس می گوئیم.
قضایای عکس - در يك دائره یا دو دائره مساویه
اولاً - هر گاه دو وتر با هم مساوی باشند دو قوس
مقابل بآنها نیز مساویند.
ثانیاً - هرگاه دو وتر با هم غیر مساوی باشند دو قوس
مقابل بآنها هم غیر مساویند و قوس بزرگتر


۱۸۰

مقابل بوتر بزرگتر است .
۲۲۰ - تبصره - از آنچه گفتیم معلوم می شود که هر گاه قوسی
از صفر ترقی کند تا به نیم دائرہ برسد و تر آن نیز از صفر ترقی کرده
بقطر خواهد رسید پس قطر بزرگترین و تر هر دائرہ است .
۲۲۱ - موارد استعمال آن - میخواهیم قوسی مساوی
قوس مفروضی رسم کنیم .
برای حل این مسئلہ کافی است که وتری مساوی و تر
مفروض رسم کنیم قوس مقابل آن جواب مسئلہ است فرض
می کنیم در دائرۀ ۀ قوس ا د مفروض است ( ش ۱۶۰ )
نقطہ مانند ج در روی دائرہ
نشان کرده آن را یک انتھای
قوس مطلوب قرار می دهیم
و فرض می کنیم نقطہ ل انتھای
دیگر آن است برای آنکه قوس
مطلوب مساوی قوس ا د


۱۸۱
باشد کافی است که وتر آن مساوی وتر ا د گردد پس نقطۀ ج
را مرکز قرار داده بشعاع مساوی ا د یک دائره رسم میکنیم
تا دائرۀ ما را در دو نقطۀ ل و م قطع کند آن وقت دو قوس
ج ل و ج م دو جواب مسئله است .
۲۲۲- بحث ـ ما اثبات اینکه دو دائره یک دیگر را
قطع می کنند بعهدۀ شاگردان واگزار می کنیم برای این کار
کافی است که ثابت کنند فاصله بین المرکزین بین تفاضل
و مجموع دو شعاع است و وتر ا د کوچک تر یا مساوی قطر
دائرہ مفروض می باشد .
۲۲۳- میخواهیم زاویۀ مساوی زاویه مفروضی
رسم کنیم.
از تساوی قسیّ یک دائره تساوی زوایای مرکز مقابل
به آنها نتیجه می شود (۸۹)، پس این مسئله را هم مانند مسئله
سابق حل می کنیم فرض می کنیم ا ه د زاویۀ مفروضه باشد
(س۱۶۱) نقطۀ ه را مرکز قرار داده بشعاع اختیاری قوسی مانند


۱۸۲
است و دیگری با آن زاویه دارای دو جهت مخالف است پس هرگاه در بیان مسئله جهت آن را نیز معلوم کنیم فقط یکی از آن دو زاویه جواب ما خواهد بود .
۲۲۵ - مسئله - میخواهیم فاصله دو وتر مساوی از يك دائره را تا مرکز با هم مقایسه کنیم . بدواً ملاحظه می کنیم که اگر وتر از دائره ه مانند ا د مفروض باشد (رس ۱۲۳) چون نقطه ه از دو نقطه ا و د بيك فاصله است پس در روی عمود وار و بر وسط آن واقع است . پس این عمود محور تناظر وتر و دائره است و فاصله مرکز از وتر عمود ه ج است .
حال وتر دیگری مانند اَ دَ را مساوی با ا د ملاحظه می کنیم که وسطش جَ و فاصله اش تا مرکز ه جَ است بواسطه دوران بدور نقطه ه قوس اَ دَ بر روی ا د می افتد و قوسها با وترشان بر روی یک دیگر خواهند افتاد و دو فاصله ه ج و ه جَ چون بر هم منطبق می شوند مسا ویند پس


۱۸۳

ا دربین اضلاع زاویه رسم میکنیم تا زاویه ما زاویه مرکزی
بشود.
حال با اختیار نیم خطی مانند ه ا انتخاب کرده نقطه ه
را مرکز قرار داده بهمان شعاع قوس دیگری رسم میکنیم تا نیم
خط ه ا را در نقطه اً قطع کند پس اگر دو قوس اً دً و اً دُ
را مساوی قوس ا د جدا کرده دو خط ه دً و ه دُ را رسم کنیم
دو زاویه اً ه دً و اً ه دُ دو جواب مسئله ما خواهد بود.
(۲۲۱).

۲۲۴ - تبصره - هرگاه ه ا و ه دً را دو ضلع مقابل
دو زاویه بگیریم یکی از جوابها با زاویه مفروض دارای یکجهت


۱۸۴

قضیه قسی مساوی از يك دائره یا دو دائره مساوی متساوی البعد اند از مرکز.
۲۲۶ - قضیه عکس هرگاه دو فاصله م د، م ح مساوی باشند بواسطه دوران بر روی یک دیگر می افتند و دو وتر ا د و آ د که بر آنها عمودند نیز بر هم منطبق شده نقطه آ بر روی ا و د بر روی د واقع خواهد شد پس می توان بگوئیم:
قضیه عکس - هرگاه دو وتر از يك دائره يا دو دائره مساويه بيك فاصله باشند از مركز باهم مساويند.
۲۲۷ - از روی قضایای فوق می توان به سهولت مطالب ذیل را که عکس قضایای سابقه اند اثبات نمود:


۱۸۵

در يك دائره يا دو دائره مساويه :-
اولاً - دو وتر غير مساوی غير متساوی البعد ند
از مركز -
ثانياً - دو وتر غير متساوى البعد از مركز غير
مساويند -
۲۲۸ - ميخواهيم دو وتر را که غیر متساوی
البعد از مرکز ند با هم مقایسه کنیم -
طبیعی است که برای آنکه فرض ما خوب واضح باشد
دو وتر را عمود بر یک شعاع گیریم | وا
در س ۱۶۳ قطردۀ د
عمود بر شعاع ہ ا است
حال وتری مانند ح خ را
بموازات د ذ تغیر محل
میدهیم مرکز آن ن خط
ها را خواهد پیمود - در این س۱۶۳


۱۸۶

حرکت دو نقطه ج ح به د نزدیک می شوند و هر قدر که ه
ن افزوده شود و تر و قوس کوچک می شوند (۲۱۷) پس میتوانیم
نتیجه بگیریم .
قضیه ـ از دو و تر غیر متساوی الطول در یک
دائره یا در دو دائره مساویه آنکه بزرگتر است
بمرکز نزدیک تر است ـ
۲۲۹ ـ قضیه عکس ـ عکس این قضیه آسان و مانند
عکس قضایای سابقه اثبات می شود و ما آن را بعهده
شاگردان وا می گزاریم ـ
۲۳۰ ـ تبصره ـ اگر در شکل سابق بقدری و تر را
تغییر محل بدهیم که نقطه ن بر روی ا بیفتد وتر
ج ح در نقطه ا بردائره مماس خواهد شد پس معلوم میشود که خط
مماس آخرین مقام و تر در وقت لغزش است ـ
۲۳۱ ـ مسئله ـ قوس های را که از یک دائره
بواسطه خطوط موازیه جدا می شوند مقالیـ


۱۸۷

کنید.

فرض میکنیم ا د و اَ دَ دو وتر موازی یک دائره باشند
(سر ۱۶۳) می خواهیم دو قوس ا اَ و د دَ را با هم مقایسه
کنیم.

قطر عمود بر آن یا محور تناظر تمام شکل است (ع ۲۲)
پس دو قوس ا اَ و د دَ
که نسبت به آن متناظر
اند با هم مساویند (ع ۱۳)
هر گاه یکی از وترها
بر دائره مماس شوند
خاصیت مزبور نیز ثابت
است (سر ۱۶۵)

ش ۱۶۴

زیرا که دو قوس ا اَ و د اَ نسبت به قطر عمود بر دو وتر متناظر و مساویند
بالآخره هرگاه دو وتر بر دائره مماس موازی شوند (سر ۱۶۶)


۱۸۸
دو نیم دائره مساوی تعیین میکنند پس
قضیه - دو وتر موازی دو قوس مساوی از
دائره جدا می کنند.
۲۳۲- قضیه عکس - در ش فرض می کنیم
وتر ا د در دست است در يك طرف آن دو
قوس مساوی ا اَ و د دَ را جدا کرده دو نقطه
اَ و دَ را بهم وصل می کنیم میخواهیم به بینیم
این دو وتر نسبت بهم چه طور اند.


۱۸۹

دو قوس ا ؤ و د وَ نسبت بمحور تناظر قطر عمود بر او
متناظر اند و از تا کردن شکل در امتداد قطر واضح میشود.
دو نقطه اَ و دَ نسبت باین قطر متناظر اند و
اَ د بر قطر عمود است پس اَ دَ باد موازی است
(ع۱۵۱) و چنین بیان می کنیم :
قضیه عکس - دو قوس مساوی از دائره
را میتوان تصور کرد که بواسطه دو وتر موازی
جدا شده اند .
۲۳۳ - موارد استعمال آن - از نقطه مفروضه
بمدد پرکار و ستاره خطی موازی با خط
مفروضی رسم کنید.
فرض می کنیم بخواهیم از نقطه ن خطی بموازات
ا م رسم کنیم (ش ۱۶۷) دائره رسم می کنیم که از نقطه
ن عبور کرده خط ا م را در دو نقطه ح و د قطع کند.
حال قوس ح ن را مساوی قوس د ن جدا کرده بعد


۱۹۰
دو نقطه ن و
نَ را بهم وصل
می‌کنیم ن نَ
خط متوازی
مطلوب است
معلوم است نَ ن
که قوس ج نَ
را در همان م ج د ا
جهت د ن
باید انتخاب کرد
مسائل س ۱۶۷
۲۱ – با شعاع مفروضی دائرهٔ رسم کنید که از دو نقطه مفروضه عبور کند -
۲۲- دائرهٔ مانند ه و نقطهٔ مانند ا فرض می‌کنیم بعد نقطهٔ


۱۹۱
ا را به نقطه از دائره مانندم وصل می نمائیم ثابت کنید
که هرگاه خط ا م از مرکز بگذرد بزرگترین یا کوچکتر بن
خطی است که بین آن و نقطه ممکن است رسم نمود -
۲۳- از مثلثی دو ضلع و شعاع دائره محیطیه در دست است
آن را رسم کنید.
۲۴- نقطه در درون دائره مفروضی است و تری رسم
کنید که آن نقطه وسطش باشد -
۲۵- آیا دو و تر دائره ممکن است یک دیگر را در وسط هم
قطع کنند.
۲۶- دو وتر مساوی که از یک مبداء مشترک شروع می
شوند نسبت به قطری که ازان مبداء مشترک گذشته
باشد متناظراند -
۲۷- از دو انتهای قطر ا اً دو وتر مساوی ا د و اً دَ
رسم می کنیم ثابت کنید که خط د دَ هم یک قطر
دائره است.


۱۹۲
فصل هشتم
زوایائیکه اضلاع شان باهم موازی یا برهم عمودند
مجموع زوایای کثیرالاضلاع محدّب
۱- زوایائیکه اضلاع شان باهم موازی یا برهم عمودند
۲۳۴ - میخواهیم دو زاویه را که اضلاع شان با هم موازیند مقایسه کنیم .
بدواً دو خط ا و د رسم میکنیم که یک دیگر را از نقطه ه قطع کنند (ش ۱۶۸) بعد خط اَ را بموازات ا و خط دَ را بموازات د رسم کنیم این دو خط اخیر در نقطهٔ هَ یک دیگر