قواعد تاکتيک فنون حربيه
معلم صنف دوم مکتب عسكريه [افغانيه؟]
جنرال
سید محمود خان
[ILL]
برای شاگردان مکتب عسكريه
مطبعه مکتب فنون حربيه دارالسلطنه
طبع گرديد
١٣٢٨


قوماندان مكتب فنون حربيه
ومدير ومفتش عموم مكاتب عسکريه افغانستان :
جنرال
السيد محمود سامی
پروگرام علم حساب
برای شاکردان مكاتب عسکريه
در مطبعه مكتب فنون حربيه با اراده سنيه
طبع كرديد
طبع اول
کابل - دلو - ۱۲۹۸


پروگرام علم حساب
قسم اول
( معلومات ابتدائیه )
سؤال
۱ - کمیت و یا مقدا چیست ؟
۲ - کدام علوم از کمیت بحث میکنند ؟
۳ - کمیات علوم ریاضیه ؛ چه شرط داشته باشند ؟ [ یعنی کمیاتیکه ممکن المساحه نباشند مانند جسارت و غیره معنویات آیا از جمله کمیات علوم ریاضیه شمرده میشوند ؟ ] .
٤ - کمیت چند نوع است ؟ کمیت عددیه و کمیت هندسیه چیست ؟
- علمیکه از کمیات عددیه و علمیکه از کمیات هندسیه بحث میکند چه نامیده میشود ؟
پس ؛ علوم ریاضیه اساساً یعنی نظر موضوع آنها چند قسم است ؟


۲

۷ - واحد چیست ؟ عدد چیست ؟
ج - : [ يك کمیت را از جنس خود
بهمراه ديگر يك كميت معلومه ؛ که مقايسه
کنيم يك نتيجه حاصل میشود آن نتیجه
( عدد ) ؛ و آن کمیت معلومه که بهمراه
آن ؛ قیاس کردیم ( واحد قياسی ) ويا
( واحد ) نامیده میشود ! ] .
۸ - عدد مطلق يعنى عدد غير معين چیست ؟
[ عددیکه جنس و نوعش معلوم نباشد . مثلا :
هشت ، پانزده ، بیست . . . و هكذا ] .
۹ - عدد معين چیست ؟ [ عد ديکه جنس
و نوعش معلوم باشد . مثلا : سه آدم ،
پنج سیر بادام . . . و هكذا ] .
۱۰ - كميت منفصله چیست ؟ [ كميتيكه واحد
های آن جدا جدا باشد . مثلا : يك غند
عسكر ، بیست و پنج خانه ، پانزده طياره ،
بیست توپ . . . و هكذا ] .
۱۱ - كميت متصله چیست ؟


۳
[ کمیتی که واحدهای آن بهم متصل باشد . یعنی
واحد های آن ؛ ذهناً تصور میشود
مثلا : يك سنگ ده سيره ، يك طوب
قماش نود كزه ، راه هشتاد ميل ،
. . . . و هكذا ] .
۱۲ - کمیات جبریه و کمیات عددیه چیست ؟
[ بهمراه مقدار هرگاه جهت نیز ملحوظ
باشد يعنی جهت نیز بخیال آورده شود
آن مقدار را ( كميت جبريه ) ؛ و هرگاه
جهت ملحوظ نباشد (کمیت عددیه) مینامند !
یعنی كافه عدد هائیکه در علم حساب اند
هر گاه به یكی از اشارتهای + و –
مقید باشند ( كميت جبريه ) ناميده
میشوند . مثلا : ۳ ؛ يك كميت عدديه
است مگر + ۳ ؛ يك كميت جبريه است
ونیز ۲ ، يك كميت عدديه است مگر – ۲
يك كميت جبريه است ! ] .
۱۳ - عدد تام و یا عدد صحیح چیست ؟


عددیست که پوره از واحدها مرکب
باشد . مثلا : پنج روپیه ، هشت سیر ...
وهكذا ] .
١٤ - کسر چیست ؟
١٥ - عدد تام مع الكسر چیست ؟
١٦ - موضوع علم حساب چیست وعلم حساب
از چه بحث میکنند ؟ [ موضوع علم حساب :
اعداد است . علم حساب ؛ فنیست
از چنین قاعده ها باحث است : که بواسطه
اعداد معلومه اعداد مجهوله را معلوم
میکند ! ] .

فصل اول
اعداد تامه

فصل اول ؛ دو بحث است : ۱ - تعداد وترقيم .
۲ - عملیات و قواعد حسابيه .


٥
مبحث اول
تعداد و ترقیم

سؤال
۱۷ — تعداد چیست ، ترقیم چیست ؟
۱۸ — عدد ها چه کونه تشکیل می یابند ؟
۱۹ — بقرار بیان فوق ؛ معلوم شد که عدد ها
نا متناهی است یعنی حد و انتها ندارد .
پس ؛ برای هر عدد اگر يك نام گذاشته
شود نامها نیز نا متناهی میشوند . اینقدر
نامها را در ذهن ؛ ضبط نمودن محال است .
آیا اهل کمال بعوض همه نامهای نا متناهی ؛
چند نام اختراع نموده اصول تعداد را
خیلی آسان ساخته اند ؟
۲۰ — جمله چیست ؟ عددهائیکه از يك الی هزار
اند چقد جمله تشکیل میدارند ؟ هر جمله
چند مرتبه است ؟ مرتبۀ اولی را چه مینامند
و چند احاد بسیطه دارد ؟ مرتبۀ دووم را
چه مینامند و چند واحد عشرات دارد ؟


٦
مرتبۀ سوم را چه مینامند و چند واحد
مأت دارد ؟
۲۱ - هر واحد هر مرتبه ؛ از هر واحد مرتبۀ
مادونش ؛ چند دفعه کلان و از مرتبۀ
مافوقش چند دفعه خرد است ؟
۲۲ - جمله که از عدد يك الی هزار تشکیل یافته است
یعنی جملۀ اول ؛ چه نام دارد ؟ دیگر
جمله ها چه طور تشکیل میشود و نام آنها
چیست ؟
۲۳ - در خواندن جملۀ اول و دیگر جمله ها
چه تفاوت هست ؟
[ ج - بدون نام جمله ؛ دیگر تفاوت
ندارد . و نام جمله بعد از مرتبۀ احاد یاد
میشود . مثلا : ] .
٢٤ - برای اینکه در خواندن اعداد ؛ غلط نکنید
اول باول چه را باید تفریق کرده معلوم
کنید و بعده از کدام طرف به خواندن ؛
شروع می کنید . و نام هر جمله را بعد


۷
از کدام مرتبه یاد میکنید ؟
[ یکچند مثال بیارید ! ] .
سؤال
٢٥ - در اصول تعداد فوق ؛ چون ده را اساس
گرفته اند لهذا اصول مذکور را چه
مینامند ؟ واصول مذکور را کدام ملت
قبول کرده رواج داده است ؟
[ ج - اصول مذکور را ( تعداد
اعشاری ) مینامند . و بنابر
فوائد کثیره اش امروزه روز
در تمام دنیا رواج یافته
است ! ]
٢٦ - در تعداد اعشاری آیا چرا ده را اساس
یعنی استاد گرفته اند ؟
[ ج - انسانها عددها را
حسب الطبیعه ؛ چون بواسطه
انگشتهای خود می شمارند
و مجموع انگشتها ده میباشد
لهذا ده را اساس گرفته اند ! ]


۸
جدول يك چند جمله را بنویسد !
۲۷ - آیا اصول تعداد اعشاری ؛ تنها برای اعداد تامه ؛ رواج است و یا برای کسورات نیز ؟
ترقیم
۲۸ - ترقیم چیست ؟
۲۹ - در بحث تعداد ؛ بیان شده بود که عدد ها نامتنا هیست . پس ؛ هر عدد را ؛ بيك شکل مخصوص نشاندادن محال است . لهذا آیا اهل کمال ؛ چند شکل مقرر نموده اصول ترقیم را فوق العاده ؛ آسان ساختند ؟ ملت اسلامیه برای ده عدد مذکور ؛ کدام اشکال را و ملل اجنبیه ؛ کدام اشکال را قبول کرده اند ؟
۳۰ - برای اینکه همه جمله ها را ترقیم کرده بتوانید یعنی نوشته بتوانید آیا اساس چیست ؟


۹
یعنی آیا ترقیم چند جمله را که یاد بگیرید همه
جمله ها را بآسانی نوشته کرده می توانید ؟
سؤال
۳۱ – بسیار جمله ها که باشد از کدام جمله و
از کدام مرتبه به ترقیم ، شروع میشود ؟
آیا نام جمله نیز نوشته میشود ؟
[ ج – از جمله کلان و از مرتبۀ صد
آن جمله ! ]
۳۲ – لزوم و اهمیت صفر چیست ؟ صفر هائیکه
بچپ عدد نوشته میشود اهمیت دارد یعنی
آیا قیمت عدد را بدل میکنند یا نه ؟
يك چند مثال بیا رید !
۳۳ – برای اینکه در ترقیم ، غلط نکنید چه را
باید همیشه فکر کیند ؟
[ ج – آیا صد های جمله ، عشرات
جمله ، احاد جمله آمده یا نی .
یعنی اگر آمده باشد می نویسم
اگر نیامده باشد بجایش صفر


۱۰

مینمایم ! ]
٣٤ - هر عدد چند قیمت دارد ؟
[ ج - ۲ قیمت : قیمت مطلقه ، قیمت اضافیه ]

بحث ثانی
عملیات و قواعد حسابيه

٣٥ - عملیات حسابيه چیست ؟
[ ج - بواسطة قواعد مخصوصه ، اجرای عملیات نموده از اعداد معلومه ، نتيجة مطلوبه را کشیدن است ] .
٣٦ - عملیات حسابيه ، عبارت از چند عملیات است ؟
[ ج - عملیات حسابيه ، خیلی قاعده ها دارد . مگر ، آنها چون


۱۱
اساس همه قاعده هاست لهذا آنها را
( قواعد اربعه اصلیه ) و یا ( اعمال اربعه )
مینامند .
اعمال اربعه اینهاست :
جمع ، طرح ، ضرب ، تقسیم ] .

سؤال
۳۷ - هریکی از قواعد و عملیات حسابیه آیا چیزی
ماده ها دارد یا نه ؟
[ ج - بلی هریکی ؛ مواد ذیل را دارد :
تعریف ، قاعده ، مثال ، میزان ]
۳۸ - تعریف چیست ، قاعده چیست ؟
[ ج - تعریف : - مرام و مقصد را
موضحاً میدا نا ند .
۳۹ - مثال چیست ، میزان چیست ؟
[ مثال : -- عبارت از تطبیق قاعده است .
میزان : - عملیاتیست که
بواسطه آن ؛ سهو عملیات
پیشتر را معلوم میکنیم . ] .


۱۲

٤٠ - مسئله چیست ؟
[ ج - برای اینکه بواسطۀ اعداد معلومه ؛
يك و یا چند مجهول را استخراج
کنیم هر سؤالیکه پرسیده شود
( مسئله ) نامیده میشود . ،
عملیاتیکه برای استحصال
مجهول ؛ اجرا یابد آن را
( اصول حل ) و یا ( طريق حل )
مینامند . ] .

٤١ - دعوی چیست ؟
[ ج - چنین حقیقت را گویند . که
محتاج دلیل باشد . ] .

متعارفه چیست ؟
[ ج - چنین حقیقت را گویند . که
محتاج دلیل نباشد . آن را
( بدیهیات ) نیز مینامند ] .

دلیل چیست ؟
[ ج - دعاوی معلومه و یا متعارفه هائیکه


۱۳

برای اثبات مدعا آورده شود ( دلیل )
نامیده میشود ] .

- ( اشارات مستعمله در عملیات حسابیه ) -

سوال

٤٢ - در عملیات حسابیه چند نوع اشارت مستعمل
است ؟

[ ج - ۸ نوع اشارت مستعمل است :
زائد ، ناقص ، ضرب ، تقسیم ،
مساوی ، اشارت اعظمیت و
اصغریت ، متعرضه ها ، اشارت
جذر ] .
اشارت زائد ( + ) هر وقتیکه مابین
دو عدد باشد معلوم میشود که آن دو عدد ،
جمع خواهد شد .

اشارت ناقص ( - ) هر وقتیکه مابین
دو عدد باشد معلوم میشود که عددیکه


١٤

بطرف چپ اشارت است از عدد دیگر که
طرح خواهد شد .

اشارت زائد و ناقص ؛ همیشه به عددیکه
بطرف چپ آنهاست تعلق دارند .

اشارت ضرب ( × ) هر وقتیکه
مابین دو عدد باشد معلوم میشود که آن
دو عدد بهم ضرب میشوند .

اشارت تقسیم ( ÷ ) ویا اشارت
نسبت ؛ هر وقتیکه ما بین دو عدد باشد
معلوم میشود که عددیکه بطرف راست
اشارت است بر عدد چپ ؛ تقسیم خواهد
شد .

اشارت مساوات (=) که همیشه مساوی
خوانده میشود . هر وقتیکه مابین اعداد
باشد معلوم میشود که طرفین بهم مساوی
میباشد .

اشارت اعظمیت ( > ) و اشارت
اصغریت ( < ) هر وقتیکه یکی از اشارات


١٥
مذکور ما بین دو عدد باشد معلوم میشود
که عددیکه در داخل اشارت است اعظم
میباشد از عدد خارج .
اشارت کره ( ) ، اشارت معترضه { }
و اشارت کلان معترضه [ ] حدود
ذو کثیرۀ که بداخل اشارات مذکورند
حکم يك حد را دارند . یعنی عدد هائیکه
بداخل معترضه های مذکور میباشند حکم
يك عدد را دارند .
ذو حدود کثيره : عدد هائیکه بواسطۀ
اشارتهای زائد و ناقص ؛ تفریق شده باشند
( ذو حدود کثيره ) نامیده میشوند .
عددیکه مابین دو اشارت باشد آن را
( حد ) میگویند .
معترضه ها وکره هائیکه پهلو به پهلو بوده
بواسطۀ اشارت زائد و ناقص ؛ تفریق نشده
باشند بهم مضروب شمرده میشوند .
علامت جذر ( ٧ــــ ) : عددهائیکه


١٦

زیر علامت مذکور اند معلوم میشود که
جذر آنها گرفته خواهد شد .

- جمع اعداد تامه -

٤٣ - جمع چیست ، حاصل جمع و یا مجموع
چیست ؟
٤٤ - اعداد مختلف الجنس را جمع نمودن یعنی
عدد هائيكه ازيك جنس نباشند جمع نمودن
چرا ممکن نیست ؟
[ یکچند مثال بیارید ]
٤٥ - در جمع ؛ قاعده چیست ؟ [ مثال آنی را
به نظر غور ببینید :

احاد عشرات مأت احاد الوف
٥ ٤ ٧ ٣
٩ ٨ ٢ ٠
٧ ٠ ٥ ١
٢١ ١٢ ١٤ ٤
١ ٤ ٥ ٥


۱۷

سوال
٤٦ - آیا مراد و مقصد چیست که مرتبه ها را
زیر به زیر می نویسند ؟ آیا چرا از طرف
راست ؟ به جمع نمودن ؛ شروع میکنند ؟
اگر طرف چپ و یا از هر مرتبه که
شروع شود چه میشود ؟ وممکن است یانه ؟
مسائل درباب جمع اعداد تامه حل نمودن !

طرح اعداد تامه

٤٧ - طرح را تعریف کنید . مطروح منه ،
مطروح ، حاصل طرح و یا تفاضل و یا
باقی چیست ؟
٤٨ - اشارت طرح چیست و بکدام عدد ؟
عائد است ؟ قاعدهٔ عمومیهٔ طرح ؛ چه
طور است ؟
٤٩ - عملیات طرح آیا چرا از طرف راست


۱۸

میباشد ؟ آیا از طرف چپ نمی شود ؟
۵۰ — بعض مرتبه های مطروح هر گاه از
مرتبه های مطروح منه ؛ اعظم باشد
یعنی هر گاه طرح آنها ممکن نبا شد چه
باید کرد ؟
۵۱ — اگر مطروح منه ؛ اعظم باشد حاصل
طرح را چه گونه پیدا میکنید ؟

همین چهار مثال را طرح کنید :

۳۰۰۰۰۰ ۲۰۰۱۰۰ ۴۰۷۱۸ ۲۱۳۷۴
۱۰۰۹۰۱ ۱۷۲۹۵۴ ۲۳۵۴۶ ۱۰۳۴۱
۱۹۹۰۹۹ ۰۲۷۱۴۶ ۱۷۱۷۲ ۱۱۰۳۳

۵۲ — متعارفه ۱ : — به مطروح و مطروح منه
اگر يك عدد ضم کنیم یعنی علاوه کنیم
و یا طرح کنیم حاصل طرح ؛ بدل


١٩

نمیشود مثلا :
٦ = ١٢ - ١٨
ویا ٥ / ٦ = ١٧ - ٢٣
٥ / ٦ = ٧ - ١٣

سؤال
٥٣ - متعارفه ٢ : - هرگاه يك عدد را
به حاصل طرح ؛ ضم نمودن لازم آيد
عدد مذکور را یا به مطروح منه ؛ علاوه
کردن و یا از مطروح ؛ طرح نمودن کفایت
میکند . مثلا :
٧ = ٨ - ١٥
ویا ٣ / ١٠ = ٨ - ١٨
٣ / ١٠ = ٥ - ١٥

و بالعکس هرگاه يك عدد را از حاصل طرح ؛


طرح نمودن لازم آید عدد مذکور را یا از
مطروح منه ؛ طرح نمودن و یا به مطروح ؛
ضم نمودن کفایت میکند . مثلا :
۷ = ۸ - ۱۵
۳  ۳
٤ = ۸ - ۱۲
ویا
۷ = ۸ - ۱۵
۳  ۳
٤ = ۱۱ - ۱۵
٥٤ - متعارفه ۳ : - هرگاه باقی را یعنی
حاصل طرح را ازيك عدد ؛ طرح نمودن
لازم آید میباید که عدد مذکور بهمراه مطروح
جمع شود و از مجموع آنها مطروح منه طرح شود .
مثلا : ۱۵ - ۸ = ۷
بالفرض ۷ را از ۱۹ طرح کنیم . برای طرح مذکور
(۱۹ + ۸) - ۱۵ . نوشتن بس است .


۲۱

سوال
زیرا :
۱۹ – ۷ = ۱۲ ∴
۱۹ – (۱۵ – ۸) ∴
۱۹ – ۱۵ = ٤ + ۸ ∴
۱۹ – ۱۵ + ۸ = ۱۲ ∴
(۱۹ + ۸) – ۱۵
گردیده مطلوب ثابت میشود .
در يك مثال هرگاه مطروح و مطروح منه
تعدد کند یعنی بسیار باشد اولا مطروح منه ها را
و مطروح ها را علیحده علیحده جمع کردن و بعده
هر دو مجموع را از همدیگر طرح نمودن لازم است .
اصول مذکور در حسابهای دفتر ؛ بسیار مستعمل
است . مثلا :
۱۲ – ۷ = ۵
۱۵ – ۱۲ = ۳
۱٤ – ۵ = ۹
٤۱ – ۲٤ = ۱۷


۲۲
میزان طرح
میزان طرح به ۲ عملیات میشود :
۱ - جمع ، ۲ - طرح .
بواسطۀ جمع باید که مطروح منه حاصل شود .
بواسطۀ طرح باید که مطروح پیدا شود .
والا عملیات طرح ؛ غلط است .
٥٥ - هر عددیکه بطرف راستش اشارت ناقص
نباشد اشارت آن ؛ زائد است !
مسائل در باب طرح اعداد تامه :
حل نمودن .

ضرب اعداد تامه

٥٦ - ضرب چیست ؟ مضروب ، مضروب فیه ،
مضرو بین و حاصل ضرب کدام اند :


۲۳

سؤال
و حاصل ضرب از جنس كدام مضروبين
میباشد ؟

[ ج - يك عدد را بقدر واحد های
ديگر عدد ، تكرار كردن ( ضرب )
ناميده ميشود ] .

مثلا : ٥ × ٦ يعنی ٦
٦
٦
٦
٦
٣٠

مثال ديگر : ٤ × ٢١٦ يعنی ٢١٦
٢١٦
٢١٦
٢١٦
٨٦٤


٢٤
از دو مثال فوق ؛ چنین ظاهر شد که
ضرب ؛ عبارت از عملیات جمع است .
مگر عدد ها را زیر بزیر نوشته کرده جمع
نمودن چون خیلی صبر و زمان میخواهد
لهذا قاعدة ذیل که بسیار آسان است
اختراع نموده نامش را ( ضرب )
گفته اند .
٥٧ - در نظریة ضرب یعنی در قاعدة ضرب ؛
٤ حال تصور کرده میشود .
حال اول : - مضروب و مضروب
فیه ؛ اعداد طبیعیه باشند یعنی هر یکی از
مضروب ها ؛ خرد تر از ١٠ باشند .
در حال مذکور ؛ حاصل ضرب
بواسطة عملیات جمع پیدا میشود . مگر
برای اینکه آسان گردد میباید که حاصل
ضرب همه اعداد طبیعیه یعنی حاصل ضرب
عدد هائیکه يك رقم داشته باشند حفظ
کرده شود . برای مدعای مذکور بقرار


٢٥

سؤال

ذیل جدول كرات مستعمل است :

- جدول كرات -

| ٩ | ٨ | ٧ | ٦ | ٥ | ٤ | ٣ | ٢ | ١ |
| ١٨ | ١٦ | ١٤ | ١٢ | ١٠ | ٨ | ٦ | ٤ | ٢ |
| ٢٧ | ٢٤ | ٢١ | ١٨ | ١٥ | ١٢ | ٩ | ٦ | ٣ |
| ٣٦ | ٣٢ | ٢٨ | ٢٤ | ٢٠ | ١٦ | ١٢ | ٨ | ٤ |
| ٤٥ | ٤٠ | ٣٥ | ٣٠ | ٢٥ | ٢٠ | ١٥ | ١٠ | ٥ |
| ٥٤ | ٤٨ | ٤٢ | ٣٦ | ٣٠ | ٢٤ | ١٨ | ١٢ | ٦ |
| ٦٣ | ٥٦ | ٤٩ | ٤٢ | ٣٥ | ٢٨ | ٢١ | ١٤ | ٧ |
| ٧٢ | ٦٤ | ٥٦ | ٤٨ | ٤٠ | ٣٢ | ٢٤ | ١٦ | ٨ |
| ٨١ | ٧٢ | ٦٣ | ٥٤ | ٤٥ | ٣٦ | ٢٧ | ١٨ | ٩ |

در سطر افقی نخستین جدول مذكور
اعداد طبیعیه نوشته شده است . در سطر
دوم ؛ دومثل اعداد طبیعیه مندرج است -


٢٦

در سطر سوم و متباقی سطرها هر عدد عبارت از مجموع عدد مافوقش و عدد سطر نخستین است . یعنی مثلا :
( ١٥ = ١٢ + ٣ ) و نیز ( ٣٥ = ٣٠ + ٥ ) ... وهكذا .
از ترتیب مذکور ؛ معلوم میشود که تشکیل يك جدول كرات ؛ بسیار آسان است .
رقمهای لك كه جدول را قطراً ٢ مثلث تقسیم نموده عبارت از مربعهای [ ١ ] اعداد طبیعیه است .
رقمها ئيكه بداخل مثالهای مذکور است چون بهم مساوی میباشند ظاهر است که جدول کرات را بشكل يك مثلث نیز ؛ ترتیب و تشکیل نمودن ممکن است !
الحاصل جدول مذکور ؛ برای ضرب

[١] مربع = هرگاه مضروبین بهم مساوی باشند حاصل ضرب را (مربع) مینامند .


۲۷

سوال
نمودن اعداد طبيعيه بكار می آید . مگر بايد
که از برکرده شود . والابرای هر ضرب دو
عدد طبیعی ؛ به جدول مذكور مراجعت
نمودن ؛ عملیات حسابيه را خیلی دشوار
میسازد .
٥٨ — حال ثانى : — مضروب از ۱۰ کلان ،
مضروب فيه از ۱۰ خرد باشد :
مثلا : ٦ × ٤٣٨٧
فهمیده میشود که عدد ٤٣٨٧ را
شش کره نوشته جمع کردن لازم است .
یعنی : ٤٣٨٧
٤٣٨٧
٤٣٨٧
٤٣٨٧
٤٣٨٧
٤٣٨٧


۲۸

از شکل مذکور چنین مفهوم میشود که
۶ کره هفت ، ۶ کره هشت ، ۶
کره سه و ۶ کره چهار میباشد .
پس ؛ عملیات مذکور به حال اول ضرب
یعنی به ضرب مفردین ؛ رجوع کرد !
و لهذا ۴۳۸۷
۶
۲۶۳۲۲ میشود .
۵۹ ـــ حال ۳ : هرگاه مضروب فيه ؛ يك
رقم صفردار باشد ؛ میباید که از صفرها
صرف نظر نموده مضروب فیه به رقمهای
مضروب ضرب کرده شود و پیشروی حاصل
ضرب یعنی به طرف راست حاصل ضرب ؛
صفرهای مذکور قطار کرده شود . مثلا :
۴۳۸۷ × ۶۰۰ اکنون
از صفر ها که صرف نظر کنیم عملیات
ضرب به حال ثانی رجوع میکند .
بقرار حال ثانی که ضرب کنیم حاصل ضرب :


۲۹
٤٣٨٧
٦
٢٦٣٢٢ میشود .
مگر چون از صفر ها صرف نظر کردیم
گویا این حاصل ضرب از اصل حاصل
ضرب ٤ صد گره خرد است . پس ٤
برای پیدا کردن حاصل ضرب حقیقی
باید که عدد ٢٦٣٢٢ را صد کره
کلان کنیم . حال آنکه در بحث تعداد
و ترقیم خوانده بودیم که پیشروی
يك عدد اكر يك صفر بمانیم قیمت عدد
مذکور ده گره ؛ و اگر دو صفر بمانیم
قیمت عدد ٤ صد گره و اگر سه صفر بمانیم
قیمت عدد مذکور ٤ هزار کره کلان
میشود : لهذا اگر پیشروی عدد ٢٦٣٢٢
دو صفر یعنی صفر های مضروب فیه را
بمانیم قیمتش صد کره کلان کردیده حاصل


۳۰

ضرب اصلی پیدا میشود .
٦٠ - حال ٤ : - مضروب و مضروب فيه ؛
هر دو مرکب باشند یعنی هر دو ؛ بسیار
رقم دار باشد .
مثلا : ٦٤٩ X ٤٣٨٧
درین مثال ؛ مضروب فيه عبارت
از مجموع : ٦٠٠ + ٤٠ + ٩
میباشد .

پس ؛ حاصل ضرب مطلوب عبارت از
٦٠٠ کره ٤٣٨٧ و
٤٠ کره ٤٣٨٧ و
٩ کره ٤٣٨٧ میباشد . یعنی
اگر اینها را ضرب کرده حاصل ضرب
جزئی های شان را جمع کنیم حاصل ضرب
کلی یعنی حاصل ضرب اصلی پیدا میشود .
حال آنکه قاعدۀ ضرب نمودن ٦٠٠
و ٤٠ و ٩ بهمراه ٤٣٨٧ در
۳ حال سابق دیده شد .


۳۱

پس ؛ بواسطۀ ٤ حال گذشته ؛ حاصل
ضرب هر نوع دو عدد را پیدا کرده میتوانیم
مثال فوق را بقرار ذیل ؛ ترتیب
نموده ضرب کنیم :

٤٣٨٧ X
٦٤٩

٤٣٨٧ X ٩ ٣٩٤٨٣
٤٣٨٧ X ٤٠ ١٧٥٤٨٠
٤٣٨٧ X ٦٠٠ ٢٦٣٢٢٠٠
٤٣٨٧ X ٦٤٩ ٢٨٤٧١٦٣

دیده میشود که صفرهای حاصل ضرب
جزئی ها را نوشتن در عملیات ؛ اهمیت
ندارد . چرا که صفر را بيك عدد
علاوه نمودن ؛ عدد مذکور را تغییر
نمی دهد . لهذا مرتبۀ احاد هر حاصل
ضرب جزئی باید که يك خانه ؛ چپ تر
از احاد حاصل ضرب ماقبل نوشته شود .


۳۲

یعنی مرتبۀ احاد مذکور را بزیر مرتبۀ مضروب
فیه که احاد مذکور : حاصل آنست نوشته شود .

مثال ۲ :

٥٧٣
۲۰۰
...
...
١١٤٦
١١٤٦٠٠

٥٧٣
۲۰۰
ویا مختصراً ١١٤٦٠٠

مثال ٣ :

٥٧٣
۱۰۰
٥٧٣٠٠

ازین مثال چنین
معلوم میشود که مضروب فيه هرگاه واحد صفردار
باشد حاجت عملیات ضرب نمیبا شد . یعنی تنها
ر صفرهای واحد را پیشروی مضروب ؛ قطار
نموده حاصل ضرب پیدا میشود .
و اگر مضروب ؛ صفردار باشد مضروب را


۳۳

سوال

مضروب فيه و مضروب فيه را مضروب
ساخته بقرار فوق ؛ ضرب کرده شود .
و اگر مضروبین ؛ صفردار باشد از
صفرها صرف نظر نموده تنها عددها را
ضرب کردن و بعده صفرهای مضروبین را
پیشروی حاصل ضرب ؛ نوشتن لازم
است . و در باب اثبات آن باید که در بحث
تعداد و ترقیم ؛ لزوم و اهمیت صفر پیش
نظر آورده شود . مثلا :

٣٧٦٠٠٠
٢٤٠٠
١٥٠٤
٧٥٢
٩٠٢٤٠٠٠٠٠


٣٤

قاعدهٔ عمومیهٔ ضرب

٦١ - قاعدهٔ عمومیهٔ ضرب چه طور است ؟
يك مثال بياريد !
هر گاه ما بين مرتبه های مضروب فيه
صفر باشد چه طور میکنید ؟
مثال آتی را ضرب كنيد !

مضروب ٢٣٥
مضروف فيه ١٠٠١
حاصل ضرب جزئی ها ٢٣٥
« « « ٢٣٥
حاصل ضرب ٢٣٥٢٣٥

دعاوی در باب ضرب

تعریف : - یکچند عددکه بهم مضروب


٣٥

باشند (مضروبات کثیره) نامیده میشوند . مثلا :
٩ × ١٢ × ٧ × ٥ × ٣
از مثال مذکور چنین معلوم میشود که
اول ٣ به ٥ ضرب میشود و حاصل ضرب به ٧
و حاصل ضرب آنها به ١٢ و حاصل ضرب
آنها به ٩ ضرب میشود .
دعوی ١ : — هر گاه محل مضروبین ؛
تبدیل شود حاصل ضرب بدل نمیشود . مثلا :
٧ × ٣ تماماً به ٣ × ٧ مساوی میباشد .
زیرا : | | | | | | |
| | | | | | | ٧ دانه ٣
| | | | | | |
٣ دانه ٧
اگر عدد مضروبات از دو زیاده باشد هم
حکم دعوی صحیح است . مثلا :
٣ × ٥ × ٧ = ٧ × ٥ × ٣ میباشد .
دعوی ٢ : — هر گاه حاصل ضرب مضروبات
کثیره را بيك عدد ضرب كردن ؛ لازم باشد


٣٦
عدد مذکور را به یکی از مضروبات مذکوره ؛
ضرب نمودن کفایت میکند .
مثلا : ٣ × ٧ × ٨ = ١٦٨
همین حاصل ضرب را بالفرض به ٥ ضرب
کنیم :
١٦٨ × ٥ اکنون بعوض ١٦٨
هرگاه مضروباتش را بمانیم :
١٦٨ × ٥ = ٧ × ٨ × ٥ میشود .
عکس دعوی : — هرگاه یکی از مضروبات
كثيره ؛ بيك عدد ضرب شود گویا حاصل ضرب
مضروبات کثیره نیز بهمان عدد ؛ ضرب شده
میباشد .
دعوی ٣ : — عدد مرتبه های يك حاصل
ضرب ؛ بقدر مرتبه های مضروب و مضروب
فيه ويا يك مرتبه کمتر میباشد .
مثلا : ٣٥١٧٨ × ٢٩٦ در
حاصل ضرب مضروبین مذکور یا ٨ و یا ٧
مرتبه خواهد بود .


۳۷

زیرا :

، ۱۰۰ ۰۰۰ > ٣٥١٧٨
۱۰۰۰ > ٢٩٦ میباشد . پس :
۱۰۰ ۰۰۰ ۰۰۰ > ٢٩٦ X ٣٥١٧٨ میشود.
حال آنکه صد میلیون ؛ خردترین اعداد
۹ مرتبه‌دار است . وقتیکه حاصل ضرب فوق ؛
از صد میلیون یعنی از عدد خردترین هم ؛ خردتر
است پس ؛ مرتبه‌های آن از ۹ کمتر خواهد
بود لهذا حاصل ضرب مذکور احتمال دارد
که ۸ مرتبه دار باشد .
و اگر بقرار ذیل ملاحظه کنیم :

، ۱۰۰۰۰ < ٣٥١٧٨
۱۰۰ < ٢٩٦ میباشد ، پس :
۱۰۰۰ ۰۰۰ < ٢٩٦ X ٣٥١٧٨ میشود .
حال انكه يك مليون ؛ خرد ترین اعداد
۷ مرتبه دار است . چون حاصل ضرب ؛
از يك مليون ؛ اعظم است لهذا مرتبه های آن
از ۷ کمتر نخواهد بود .


۳۸

پس ؛ حقیقته مرتبه های حاصل ضرب مذکور بقدر مرتبه های مضروبین آن و يا يك مرتبه كمتر ميباشد .

دعوی ٤ : — هر گاه يك مجموع را بيك عدد ؛ ضرب كردن لازم باشد باید که هر یکی از اقسام مجموع مذكور به عدد مذكور ضرب نموده حاصل ضرب جزئی ها جمع کرده شود .

مثلا : مجموع ( ٥ + ٤ + ٢ ) را به ۳ ضرب کنیم : ۳ ( ٥ + ٤ + ٢ ) اینهم = ۳ × ٥ + ۳ × ٤ + ۳ × ۲ میشود .

زیراکه
مراد از ۳ کره ( ٥ + ٤ + ٢ ) اینست : که عدد های داخل کره ۳ دفعه ؛ زیر به زیر نوشته شود وجمع شود . یعنی :

٥ + ٤ + ٢
٥ + ٤ + ٢
٥ + ٤ + ٢
این هم = ۳ × ٥ + ۳ × ٤ + ۳ × ۲ میباشد .


۳۹

[ اينك : عملیات ضرب : مبنی بر همین
دعوی میباشد ].
دعوی ٥ : – هرگاه يك تفاضل را بيك
عدد : ضرب کردن لازم باشد اولا مطروح و
مطروح منه به عدد مذکور ضرب میشود . بعده
حاصل ضرب ها از همدیگر طرح میشود .
مثلا : ( ۹ - ٥ ) را به ۷ ضرب کنیم :
۷ X ( ۹ - ٥ ) = ۷ X ۹ - ۷ X ٥ میشود.
زیرا :
۷ X ( ۹ - ٥ ) به این معنا میرود :
۹ – ٥
۹ – ٥
۹ – ٥
۹ – ٥
۹ – ٥
۹ – ٥
۹ – ٥
این هم = ۷ X ۹ - ۷ X ٥ میشود .


٤٠

نتیجه : - يك عددرا که به صفر ؛ ضرب
کنیم حاصل ضرب ؛ صفر میشود .
چرا که : صفر ؛ عبارت از حاصل طرح
يك عدد از نفس خود میباشد .
مثلا : ٥ × ٠ = ٠ میشود .
زیرا :
صفر = مثلا : ( ٣ – ٣ ) میباشد .
این را که به پنج ضرب کنیم : ٥ (٣ – ٣)
این هم :
٣ - ٣
٣ - ٣
٣ - ٣
٣ - ٣
٣ - ٣
٠ = ١٥ – ١٥ = ٣ × ٥ – ٣ × ٥
میشود .


٤١

ضرب اشارات

دعوی ٦ : - هرگاه دو عدد ؛ یکی زائد
و یکی ناقص بوده ضرب شوند حاصل ضرب
آنها ناقص میشود .

مثلا :
٣ X - ٧ = - ٢١

میشود .
زیرا :
- ٧
- ٧
- ٧
_____
- ٢١
شده مطلوب

حاصل میشود .
و اگر هر دو مضروب ؛ زائد باشد حاصل
ضرب آنها زائد میشود .
مثلا : + ٣ X + ٥ = + ١٥
میشود .


٤٢

زیرا : ٣ × + ٥ یعنی :
+ ٥
+ ٥
+ ٥
٣ × + ٥ = + ١٥

میشود .
واگر هر دو مضروب ، ناقص باشد حاصل
ضرب زائد میشود .
مثلا : ( ٥ - ٥ ) معلوم دار است که
صفر است . این را بالفرض به - ٣ ضرب
کنیم :
٥ - ٥
- ٣

ناقص ٣ را به + ٥ که ضرب کنیم - ١٥ میشود .
ناقص ٣ را به ناقص ٥ که ضرب کنیم یا + ١٥
و یا - ١٥ میشود . مگر هرگاه - ١٥ قبول
کنیم . حاصل ضرب باید که - ٣٠ شود .
حال آنکه حاصل ضرب يك عدد بهمراه صفر


٤٣

باید که صفر باشد . برای اینکه حاصل ضرب ؛
صفر شود البته یکی از ١٥ ها ناقص باشد .
پانزده اول ؛ چون شك ندارد که – ١٥
میباشد . پانزده دوم كه شك داشت البته باید که
+ ١٥ باشد که حاصل ضرب ؛ صفر بماند .
پس ؛ معلوم شد که حاصل ضرب ناقص ها
زائد میباشد .
دعوی ٧ : — هرگاه دو مجموع را بهم ضرب
كردن لازم باشد اقسام یکی را بهمراه هر قسم دیگر ؛
علیحده علیحده ضرب نموده حاصل ضرب جزئی
هارا جمع کردن کفایت میکند .
مثلا : ( ٥ + ٣ ) ( ٦ + ٢ ) = ٥ ×
٦ + ٥ × ٢ + ٣ × ٦ + ٣ × ٢
میشود .
دعوی ٨ : — عدد هائیکه مابین ١٠ و ٢٠
اند برای اینکه حاصل ضرب آنها را ذهناً پیدا کنیم
باید که احاد یکی را بردیگر عدد ؛ علاوه کرده
پیشروی مجموع آنها يك صفر بمانیم . وبر عددیکه


٤٤
حاصل میشود حاصل ضرب احاد را افزود کنیم .
مثلا : ١٦ X ١٨ = ٦ را بر ١٨ که
علاوه کنیم ٢٤ میشود . پهلوی ٢٤ که يك
صفر بمانیم ٢٤٠ میشود . و بر ٢٤٠ که ٤٨
علاوه کنیم ٢٨٨ میشود .
زیرا : ١٦ X ١٨ = ( ١٠ + ٦ )
( ١٠ + ٨ ) است .... والخ .
تعریف : - هر گاه يك عدد به نفس خود :
یکبار ضرب شود حاصل ضرب را ( مربع آن عدد )
و یا ( حاصل رفع آن عدد از دوم قوتش )
مینامند .
مثلا : ٥ X ٥ = ٢٥ همین ٢٥
را ( مربع پنج ) و یا ( حاصل رفع پنج از
دوم قوتش ) مینامند . و چنین نوشته میشود :
٥ = ٢٥ ٢
عدد ۲ که بالای پنج است مربع پنج و یا
دوم قوت پنج را نشان میدهد .


٤٥

مساوات ٥ ^ ٢ = ٢٥ بقرار ذیل خوانده
میشود :
مربع پنج = ٢٥ ویا پنج اس ٢ = ٢٥
و اگر عدد پنج ؛ سه دفعه به نفس خود
ضرب شود .
مثلا : ٥ * ٥ * ٥ = ١٢٥
حاصل ضرب را یعنی عدد ١٢٥ را (مکعب
پنج) ویا (حاصل رفع پنج از سوم قوتش)
مینامند . و بدینگونه نوشته میشود :
٥ ^ ٣ = ١٢٥ این هم بقرار ذیل خوانده
میشود :
مکعب پنج = ١٢٥ ویا
پنج اس ٣ = ١٢٥ .
عدد ٢ و ٣ که در هر دو مثال ؛ بالای پنج
مندرج است (قوت) ویا (اس) نامیده میشود .
قوت ویا اس هرگاه ٢ باشد معلوم میشود هـ


٤٦
عدد پنج ؛ ۲ دفعه به نفس خود ضرب خواهد
شد . و اگر ۳ باشد ۳ دفعه ؛ و اگر ٤ باشد
٤ دفعه به نفس خود ؛ ضرب میشود . و چهارم
قوت ، پنجم قوت و . . . . هكذا ياد
میشود .
دعوی ۹ : -- حاصل ضرب قوای مختلفة يك
عدد ؛ عبارت ازینست که : قوای مختلفه مذکور را
جمع نموده برای عدد مذکور ؛ قوت بسازیم .
۱۲ ۷ ۳ ۲
مثلا : ٥ × ٥ × ٥ = ٥ میباشد .
زیرا : مضروب اول ؛ ۲ پنج و مضروب
دوم ؛ ۳ پنج و مضروب سوم ؛ ۷ پنج است .
بعوض آنها اگر مساویهای شان را بنویسیم :
٥×٥ × ٥×٥×٥ × ٥×٥×٥×٥×٥
٥×٥×٥ میشود .


٤٧
این هم ؛ عبارت از ۱۲ مضروب پنج یعنی :
۱۲
۵ میباشد .
دعوای مذکور درخصوص اختصار
مضروبات ذیل خیلی مفید است :
٤ ۳ ۳ ۷ ۲
مثلا : (۳ × ۵ × ۹) ۱۲ × ۵ ×
٤ ۲
= (۳ × ۹
۳ ۵ ۱۱ ٦
۳ × ۵ × ۹ × ۱۲ میشود .


٤٨

٦٢ – میزان ضرب ، حل مسائل در باب ضرب .

تقسیم اعداد تامه

تعریف : - يك مقدار را به اقسام
متساویه ؛ تفریق نمودن ( تقسیم ) نامیده
میشود .
مگر مقدار ها چون بواسطه عدد ها نشان
داده میشوند لهذا تعریف فوق باید که بقرار ذیل
گفته شود :
يك عدد را بقدر واحد های دیگر عدد ؛
به اقسام متساویه ؛ تفریق نمودن ( تقسیم )
نامیده میشود .
عدديكه به اقسام متساویه ؛ تفریق خواهد
شد ( مقسوم ) ؛ و عدديكه عدد اقسام متساویه را
نشان میدهد ( مقسوم علیه ) ؛ و یکی از اقسام
متساویه ( خارج قسمت ) نامیده میشود .
هر گاه مقدار یکی از اقسام متساويه يك شیء


٤٩

و نیز عدد اقسام متساویه آن معلوم باشد کل آن
شی را معلوم کردن ؛ عبارت ازيك مسئله ضرب
است . درینجا مقدار یکی از اقسام متساویه =
عبارت از خارج قسمت است و عدد اقسام متساویه =
عبارت از مقسوم علیه است . پس ؛ حاصل
ضرب اینها باید که عبارت از مجموع اقسام متساویه
یعنی عبارت از مقسوم باشد .
مثلا : مقسوم ٢٤ ، مقسوم علیه ٦ باشد .
عدد ٢٤ را که ٦ پارچۀ مساوی کنیم یکی از
پارچه های مساوی یعنی خارج قسمت البته ٤
میباشد . همین ٤ را به عدد پارچه ها یعنی به ٦
که ضرب کنیم ٦ × ٤ = ٢٤ میشود .
حاصل ضرب عبارت از مجموع اقسام متساویه
یعنی عبارت از مقسوم میباشد .

پس ؛ تعریف تقسیم بقرار ذیل خواهد بود :
هرگاه حاصل ضرب و نیز یکی از مضروبین
آن ؛ معلوم باشد مضروب دیگر را معلوم کردن
(تقسیم) نامیده میشود .


٥٠
و یا
يك عدد در دیگر عدد ، چند کره داخل
است . عدد کره را معلوم كردن ( تقسيم )
نامیده میشود !
اکنون نظر به تعریف اخیر ؛ چنين ظاهر
میشود که اگر مقسوم علیه را بقدر عدد خارج
قسمت ؛ نوشته کرده جمع کنیم حاصل جمع ؛
عبارت از مقسوم خواهد بود .
پس ؛ از همین مجموع یعنی از مقسوم هرگاه
مقسوم علیه را متوالیاً طرح کنیم عدديكه تکرر
طرح را نشان میدهد عبارت از خارج قسمت ؛
و حاصل طرحیکه از طرح آخرین پیدا میشود.
( باقی ) میباشد .
مثلا : اگر مقسوم ٢٦ ؛ و مقسوم عليه ٦
باشد ٦٠ را متوالياً طرح کنیم :
٢٦
٦ طرح اول
٢٠


٥١

۲۰
٦ طرح دوم
١٤
٦ طرح سوم
٠٨
٦ طرح چهارم
٢ تفاضل آخرین یعنی حاصل
طرح آخرین .
اينك تفاضل آخرین که ۲ است (باقی)
نامیده میشود . و عمل طرح ؛ چون ٤ دفعه
تکرار شده است لہذا خارج قسمت باید که ٤
باشد .
مگر بعوض اینکه ٦ را ٤ دفعه ؛ طرح کنیم
٤ كره ٦ که ٢٤ است اگر دريك دفعه ؛ طرح
کنیم عین نتیجه حاصل میشود . لہذا :
٢٦ - ٤ × ٦ = ٢٦ - ٢٤ = ٢ میشود .
باز ۲ باقی ماند .
پس ؛ تعریف تقسیم بقرار ذیل نیز میباشد :


٥٢
چنين يك عدد تام اعظم پيدا كنيم كه وقتيكه بهمراه مقسوم عليه ضرب شود حاصل ضرب از مقسوم ؛ قابل طرح باشد . پيدا كردن عدد تام اعظم را ( تقسيم ) مینامند .
نتيجه : — از تعريفات فوق ؛ چنین فهمیده میشود كه خارج قسمت را با مقسوم عليه ؛ ضرب كرده بهمراه باقی اگر جمع كنيم حاصل جمع به مقسوم بايد كه مساوی باشد . وباقی ؛ از مقسوم عليه دائما اصغر است !
متعارفه ۱ : — چون خارج قسمت ؛ عبارت از یکی از پارچه های مقسوم است لهذا از جنس مقسوم میباشد . باقی نیز از جنس مقسوم است . پس :
مقسوم ؛ يك عدد معين ؛ و مقسوم عليه يك عدد مطلق است .
متعارفۀ ٢ : — هرگاه يك عدد را بردیگر عدد ؛ تقسيم نمودن ممكن نباشد مقسوم را به جزو اصغر خود تحویل نمودن لازم است .


٥٣
درینصورت : مقسوم چون عدداً می افزاید تقسیمش ممکن میکردد . مگر خارج قسمت وباقی از جنس جزو اصغر میباشند .
مثلا : اگر بخواهیم که ٢ عشرات را مساواتاً ٥ قسم کنیم . چون ٢ به پنج تقسیم نمیشود . ٢ عشرات را به جزو اصغرش که احاد بسیطه است تحویل کنیم چون هر عشرات ١٠ احاد بسیطه دارد لهذا ٢ عشرات ٢٠ احاد میشود . ٢٠ را که به پنج تقسیم کنیم خارج قسمت ٤ می آید .
كذا مثلا : ٣ کجاوه پورتغال در هر کجاوه ١٠٠ دانه پورتغال باشد . این ٣ کجاوه را بالای ١٠ آدم تقسیم کنیم . چون عدد ٣ به عدد ١٠ تقسیم نمیشود . لهذا باید که ٣ را به جزو اصغرش تحویل کنیم . هر کجاوه ١٠٠ واحد دارد ٣ کجاوه ٣٠٠ واحد میشود . ٣٠٠ را که بالای ١٠ تقسیم کنیم فی نفر ٣٠ پورتغاله میرسد .


٥٤

تنبيه : — در مثال فوق ؛ چون مقسوم عليه
۱۰ آدم است يعنى عدد معين است . بخيال ؛
چنين ميرسد كه متعارفه اول ؛ مجروح شد .
خير ؛ مجروح نشد . چرا كه مراد ؛ پورتقال را
۱۰ حصه كردن است . لهذا مقسوم عليه ؛
آدم نميباشد بلكه ۱۰ عدد مطلق ميباشد .
لازمه : — عدد مرتبه هاى خارج قسمت را
قبل از تقسيم ؛ دانستن موجب استفاده است .
بقرار ذيل ؛ تعيين كرده ميشود :

مثلا : ٣٧٨٩٦ ÷ ٢٤٣

خارج قسمت ؛ عبارت از چنين عدد است كه
وقتيكه به مقسوم عليه ضرب شود حاصل ضرب ؛
مساوى باشد به مقسوم .

درين مثال : مقسوم چون ٥ مرتبه است
بايد مقسوم عليه به ۱۰۰ ضرب شود . اگر
ضرب كنيم :

٢٤٣ × ١٠٠ = ٢٤٣٠٠ ميشود . مگر
حاصل ضرب ؛ مساوى به مقسوم نشد يعنى :


٥٥

٣٧٨٩٦ > ٢٤٣٠٠ آمد . پس معلوم شد که خارج قسمت از ١٠٠ اعظم است .
اکنون مقسوم علیه را یعنی عدد ٢٤٣ را به ١٠٠٠ ضرب کنیم . حاصل ضرب ٢٤٣٠٠٠ میشود . مگر اینسفر از مقسوم ؛ زیاده تر شد یعنی :
٢٤٣٠٠٠ > ٣٧٨٩٦ آمد . پس معلوم شد که خارج قسمت از ١٠٠٠ اصغر است .
از ٢ مناقشه فوق ؛ چنین ظاهر و ثابت شد که خارج قسمت مطلوب ؛ از ١٠٠ اعظم و از ١٠٠٠ اصغر است . حال آنکه عددیکه مابین ١٠٠ و ١٠٠٠ محصور باشد ٣ مرتبه داشته میباشد .
پس ؛ برای تعیین عدد مراتب خارج قسمت میباید که پیشروی مقسوم علیه آنقدر صفر بمانیم که مرتبه های مقسوم علیه بقدر مرتبه های مقسوم گردد . درین اثنا هرگاه مقسوم علیه در مقسوم ؛ داخل باشد عدد مرتبه های خارج قسمت ؛ يك زیاده تر از صفر هائیکه مانده شد میباشد . و اگر


[BLANK PAGE]