۱۳۵

(۷) ۱ - لا - ی - ۶ (۸) م + ن + ط + ق + س (۹) ط - ق + س - لا - ی
(۱۰) - ا + ب + ج + لا - ی (۱۱) ۱ - ۲ لا - ۳ ی - ۴۶ (۱۲) ۱۲ - ب + ۲ ج - د
قیمت عددی جملہ ہائے ذیل را معلوم کنید :-
(۱۳) ل٢ + م٢ + ن٢ - ۳ ل م + ۲ ل ن - ۳ م ن اگر ل = ۷ أو م = ۲۳ ون = ۱۳
(۱۴) ط٢ + ق٢ + س٢ + ۳ ط ق - ۲ ط س - ۲ ق س اگر ط = ۱۶ وق = ۱۲ و س = ۲۵
(۱۵) ا٢ + ب٢ + ج٢ - ۲ ا ب - ۳ ا ج + ۲ ب ج اگر ا = ۲۸ وب = ۱۳ وج = ۱۵
(۱۶) لا٢ + ی٢ + ۱ + ۲ لا ی - ۲ لا - ۲ ی اگر لا = ۶ وی = ۷
(۱۷) لا٢ + ی٢ + لا ی - ۲ لا - ۲ ی + ۳۶ اگر لا = ۲۳ وی = ۱۸
(۱۸) لا٢ + ۴ ی٢ + ۱ - ۴ لا ی - ۲ لا + ۴ ی اگر لا = ۲۶ وی = ۱۲
(۱۹) لا٢ + ۹ ی٢ - ۶ لا ی - ۲ لا + ۶ ی + ۶۴ اگر لا = ۴۹ وی = ۱۶
(۲۰) ۹ لا٢ + ی٢ - ۶ لا ی + ۶ لا - ۲ ی - ۲۴ اگر لا = ۱۴ وی = ۳۸
(۲۱) اگر ا + ب + ج = ۱۲ وا٢ + ب٢ + ج٢ = ۵۰ باشد قیمت عددی ا ب ، ا ج
+ ب ج را معلوم کنید :-
(۲۲) اگر ا + ب + ج = ۱۳ و ا ب + ا ج + ب ج = ۵۰ باشد قیمت عددی
ا٢ + ب٢ + ج٢ را معلوم کنید :-
۶۰ قوتهای مختلفہ جملہ ہاے ذو حدین
بواسطہ عمل ضرب معلوم میکنیم که
( ا + ب )٢ = ا٢ + ۲ ا ب + ب٢
( ا - ب )٢ = ا٢ - ۲ ا ب + ب٢


۱۳۶

(ا + ب)۳ = {ا۳ + ۳ ا۲ب + ۳ ا ب۲ + ب۳}
(ا - ب)۳ = {ا۳ - ۳ ا۲ب + ۳ ا ب۲ - ب۳}
(ا + ب)۴ = {ا۴ + ۴ ا۳ب + ۶ ا۲ب۲ + ۴ ا ب۳ + ب۴}
(ا - ب)۴ = {ا۴ - ۴ ا۳ب + ۶ ا۲ب۲ - ۴ ا ب۳ + ب۴}
(ا + ب)۵ = {ا۵ + ۵ ا۴ب + ۱۰ ا۳ب۲ + ۱۰ ا۲ب۳ + ۵ ا ب۴ + ب۵}
(ا - ب)۵ = {ا۵ - ۵ ا۴ب + ۱۰ ا۳ب۲ - ۱۰ ا۲ب۳ + ۵ ا ب۴ - ب۵}
(ا + ب)۶ = {ا۶ + ۶ ا۵ب + ۱۵ ا۴ب۲ + ۲۰ ا۳ب۳ + ۱۵ ا۲ب۴ + ۶ ا ب۵ + ب۶}
(ا - ب)۶ = {ا۶ - ۶ ا۵ب + ۱۵ ا۴ب۲ - ۲۰ ا۳ب۳ + ۱۵ ا۲ب۴ - ۶ ا ب۵ + ب۶}
تنبیه اگر حاصل ضربهای فوق بخوبی ملاحظه شود معلوم میشود
(۱) کل تعداد حاصل ضرب از قوت نمای جمله ذوحدین بقدر یک زیاد
میباشد مثلاً اگر قوت جمله پنج باشد تعداد حدود شش میباشد واگر
قوت جمله شش باشد تعداد حدود هفت میباشد وعلی ہذا القیاس
(۲) هر قوت ا + ب از همان قوت ا - ب محض اینقدر تفاوت دارد این دو
اول ہمہ اشارات زائد و در صورت دوم نوبت بنوبت زائد و ناقص میباشد
(۳) حد اول ا است وقوت ا بعینه قوت جمله ذوحدین است وحد اخیر ب است
وقوت این نیز همانقدر است مثلاً در (ا - ب)۴ حد اول ا۴ وحد اخیر ب۴ میباشد
و در (ا - ب)۵ حد اول ا۵ است وحد اخیر (- ب۵) وعلی ہذا القیاس


۱۳۷
و نیز در حدود باقیمانده قوت ا ب بقدر یک کم و قوت ب بقدر یک از حد
ماقبل آن زیاده میباشد.
(۴) امثال حد دوم مساوی قوتی جمله ذوحدین است اگر امثال یکحد در قویتنای
آن حد ضرب نمود بران عدد تقسیم شود که مقام حد مذکور را از حد اول ظاهر میکند
پس حاصل مساوی امثال آن حد خواهد بود که بعد از حد مذکور واقع است
مثلاً اگر مثال حد دوم را در قوتنمای آن حد ضرب نموده بر دو تقسیم کنیم حاسل
امثال حد سوم میباشد و نیز اگر امثال حد سوم را در قوینمای آن حد ضرب
نموده برسه تقسیم کنیم حاصل امثال حد چهارم میباشد و علی هذا القیاس
(۵) امثال ان حدودیکه دوری آنها از حد اول و اخیر مساوی باشد با هم مساوی
میباشند بواسطه پنج قاعده مذکوره هر قوتی ذوحدین بدین از عمل ضرب معلوم شود
(باید دانست که در صورتهای فوق هر حاصل را حاصل بسط ذو حدین میگویند
مثال قوت هفتم ا+ ب را معلوم کنید:-
کل تعداد حدد = ۸
و حد اول = اَ
حد دوم = ۷ اَب        } بموجب قاعده (۳) و (۴)
حد سوم = ۶ × ۷ اَب = ۲۱ اَبَ
حد چهارم = ۵ × ۲۱ ۳۵ اب        } نسبت
چون امثال چهار حد باقیمانده از طرف اخیر بموجب قاعده (۵) سما


۱۳۸
که امثال چهار حد اول میباشند بنابراین حد و باقیمانده این حاصل بسط
۳۵ ا۳ ب۴ و۲۱ ا۲ ب۵ و ۷ اب۶ و ب۷ میباشند پس (ا+ب)۷
=ا۷+ ۷ ا۶ ب+ ۲۱ ا۵ ب۲+ ۳۵ ا۴ ب۳+ ۳۵ ا۳ ب۴+ ۲۱ ا۲ ب۵+۷ اب۶+ ب۷
مثال ۲ حاصل بسط (لا-ی)۷ را معلوم کنید :-
کل تعداد حدود درین حاصل بسط = ۹
حد اول = لا۸
حد دوم = ۸ لا۷ ی
حد سوم = ۸×۷÷۲ لا۶ ی۲ = ۲۸ لا۶ ی۲
حد چهارم = - ۲۸×۶÷۳ لا۵ ی۳ = - ۵۶ لا۵ ی۳ بموجب قاعده (۲) و(۳) و(۴)
حد پنجم = ۵۶×۵÷۴ لا۴ ی۴ = ۷۰ لا۴ ی۴
و حدود باقیمانده را بقرار قاعده پنجم بنویسید :-
پس (لا-ی)۸ = لا۸ - ۸ لا۷ ی+ ۲۸ لا۶ ی۲ - ۵۶ لا۵ ی۳+ ۷۰ لا۴ ی۴ - ۵۶ لا۳ ی۵+ ۲۸ لا۲ ی۶
- ۸ لا ی۷+ ی۸
مثال ۳ حاصل بسط (۲لا- ۳ی)۷ را معلوم کنید:-
کل تعداد حدود = ۸
حد اول = (۲لا)۷
حد دوم = - ۷ (۲لا)۶ (۳ی)
حد سوم = ۷×۶÷۲ (۲لا)۵ (۳ی)۲ = ۲۱ (۲لا)۵ (۳ی)۲
حد چهارم = - ۲۱×۵÷۳ (۲لا)۴ (۳ی)۳ = - ۳۵ (۲لا)۴ (۳ی)۳


۱۳۹

و بموجب قاعده پنجم حدود باقیمانده بقرار ذیل میباشد
۳۵ (۲ لا) ۴ (۳ ی) ۴ و - ۲۱ (۲ لا) ۵ (۳ ی) ۲ و ۷ (۲ لا) ۶ (۳ ی) و (- ۳ ی) ۷
پس (۲ لا - ۳ ی) ۷ = (۲ لا) ۷ - ۷ (۲ لا) ۶ (۳ ی) + ۲۱ (۲ لا) ۵ (۳ ی) ۲
- ۳۵ (۲ لا) ۴ (۳ ی) ۳ + ۳۵ (۲ لا) ۳ (۳ ی) ۴ - ۲۱ (۲ لا) ۲ (۳ ی) ۵ + ۷ (۲ لا)
(۳ ی) ۶ - (۳ ی) ۷ = ۱۲۸ لا ۷ - ۱۳۴۴ لا ۶ ی + ۶۰۴۸ لا ۵ ی ۲ - ۱۵۱۲۰ لا ۴ ی ۳
+ ۲۲۶۸۰ لا ۳ ی ۴ - ۲۰۴۱۲ لا ۲ ی ۵ + ۱۰۲۰۶ لا ی ۶ - ۲۱۸۷ ی ۷
مثال ۴ قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید :-
اگر لا = ۲ ۳ = ۱ لا ۶ + ۶ لا ۵ + ۱۵ لا ۴ + ۲۰ لا ۳ + ۱۵ لا ۲ + ۶ لا - ۸
این جمله = (لا ۶ + ۶ لا ۵ + ۱۵ لا ۴ + ۲۰ لا ۳ + ۱۵ لا ۲ + ۶ لا + ۱) - ۹
= (لا + ۱) ۶ - ۹
= (۳) ۶ - ۹
= ۹ - ۹ = ۰

مسئله (۳۲)
حاصل بسط جملهای ذیل را معلوم کنید
(۱) (لا + ۱) ۵ (۲) (لا + ۱) ۶ (۳) (لا + ب) ۴ (۴) (ا + ب) ۶
(۵) (لا - ی) ۴ (۶) (م - ن) ۷ (۷) (لا + ۲) ۳ (۸) (لا + ۲) ۴
(۹) (لا + ۱) ۸ (۱۰) (لا + ۳) ۳ (۱۱) (لا - ۱) ۵ (۱۲) (۲ - ۶) ۲
(۱۳) (۲ لا - ۱) ۴ (۱۴) (لا - ی) ۶ (۱۵) (۳ لا - ۲) ۵ (۱۶) (۱ - لا) ۶
(۱۷) (۱ - ج) ۸ (۱۸) (۱ - ۳ لا) ۳ (۱۹) (۱ - ۲ لا) ۵ (۲۰) (۲ لا - ۱) ۵
(۲۱) (لا - ۱) ۷ (۲۲) (۳ لا - ۲) ۵


۱۴۰
جملهای ذیل را مختصر کنید :-
(۲۳) (لا + ۱)۲ - (لا - ۱)۲ (۲۴) (لا - ۱)۲ + (لا + ۱)۲ (۲۵) (لا + ۱)۲ - (لا - ۱)۲
در حاصل بسط جملهای ذیل مجموع امثال را معلوم کنید
(۲۶) (لا + ۱)۴ (۲۷) (لا + ۱)۹ (۲۸) (لا + ۱)۱۰
(۲۹) (لا + ۱)۱۰ (۳۰) (لا + ۱)۱۶
قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۳۱) لا ۵ + ۵ لا ۴ + ۱۰ لا ۳ + ۱۰ لا ۲ + ۵ لا + ۳۲ اگر لا = - ۲
(۳۲) لا ۶ - ۶ لا ۵ + ۱۵ لا ۴ - ۲۰ لا ۳ + ۱۵ لا ۲ - ۶ لا اگر لا = ۱+۲
(۳۳) ۱۶ لا ۴ - ۳۲ لا ۳ + ۲۴ لا ۲ - ۸ لا - ۸۰ اگر لا = ۲
(۳۴) لا ۴ + ۱۲ لا ۳ + ۵۴ لا ۲ + ۱۰۸ لا + ۸۱ اگر لا = - ۵
(۳۵) لا ۴ + ۸ لا ۳ + ۲۴ لا ۲ + ۳۲ لا - ۶۰۹ اگر لا = - ۷
۶۱ دستور (ا + ب + ج) (ا ۲ + ب ۲ + ج ۲ - ا ب - ا ج - ب ج)
= ا ۳ + ب ۳ + ج ۳ - ۳ ا ب ج
[ ا + ب + ج) ( ا ۲ + ب ۲ + ج ۲ - ا ب - ا ج - ب ج )
= (ا + ب + ج ) { ( ا ۲ + ب ۲ - ا ب) - (ا ج + ب ج) + ج ۲ }
= ( ا + ب + ج ) { ( ا + ب) ۲ - ۳ ا ب - ج ( ا + ب) + ج ۲ }
= (ا + ب + ج ) { (ا + ب) ۲ - ج ( ا + ب) + ج ۲ - ۳ ا ب }
= (ا + ب) ۳ + ج ۳ - ۳ ا ب ( ا + ب + ج)
= ( ا + ب) ۳ - ۳ ا ب (ا + ب) + ج ۳ - ۳ ا ب ج
= ا ۳ + ب ۳ + ج ۳ - ۳ ا ب ج]


۱۴۱
نتیجه برعکس فوق ا۳+ ب۳+ ج۳- ۳ ا ب ج = (ا + ب + ج)
(ا۲+ ب۲+ ج۲- ا ب - ا ج - ب ج) میباشد :-
لهذا هرجمله که این شکل ا۳+ ب۳+ ج۳- ۳ ا ب ج داشته باشد
بمضروبات تفریق میشود -
مثال ۱ لا۳+ ی۳+ ع۳+ لای+ لاع- یع را درلا-ی-ع ضرب کنید
فرض کنید که ا = لا  و ب = - ی  و ج = - ع
پس (لا - ی - ع) (لا۲+ ی۲+ ع۲+ لای + لاع - عی)
= (ا + ب + ج) (ا۲+ ب۲+ ج۲- ا ب - ا ج - ب ج)
= ا۳+ ب۳+ ج۳- ۳ ا ب ج
= لا۳- ی۳- ع۳- ۳ لای ع
مثال ۲ م۳- ن۳+ ۱+ ۳ م ن را بمضروبات تفریق کنید
فرض کنید م = ا  و ب = - ن  و ج = ۱
پس م۳- ن۳+ ۱+ ۳ م ن = ا۳+ ب۳+ ج۳- ۳ ا ب ج
= (ا + ب + ج) (ا۲+ ب۲+ ج۲- ا ب - ا ج - ب ج)
= (م - ن + ۱) (م۲+ ن۲+ ۱+ من - م + ن)
مثال ۳ ثابت کنید که (لا-ی)۳+ (ی-ع)۳+ (ع-لا)۳= ۳(لا-ی)
(ی-ع) (ع-لا)
فرض کنید که لا-ی = ا  و ی - ع = ب  و (ع-لا) = ج
پس ا + ب + ج = (لا - ی) + (ی - ع) + (ع - لا) = ۰


۱۴۲

لهذا {۳(لا-ی)+۳(ی-ع)+۳(ع-لا)} ۳(لا-ی)(ی-ع)(ع-لا)
= ۳ا+ ۳ب+ ۳ج- ۳ ا ب ج
= (ا+ب+ج)( ۲ا+ ۲ب+ ۲ج- ا ب-ا ج-ب ج)
= ۰X( ۲ا+ ۲ب+ ۲ج- ا ب- ا ج-ب ج)
= ۰
∴ ۳(لا-ی)+۳(ی-ع)+۳(ع-لا) = ۳(لا-ی)(ی-ع)(ع-لا)
مسئله (۳۳)

حاصل ضرب جملهای ذیل را بنویسید:-
(۱) ۲لا+ ۲ی+ ۲ع- لای+ لاء+ عی در لا+ی-ع
(۲) ۲ط+ ۲ق+ ۲س+ طق+ طس- ق س در ط- ق-س
(۳) ۴۲لا+ ۹ ۲ی+ ۶۲ع+ لای+ ۲ لاء- ۳ی ع در ۲لا-۳ی-ع
(۴) ۲ا+ ۴ ۲ب+ ۲ا ب- ۳ا+ ۶ ب+ ۹ در ا- ۲ب+ ۳
(۵) ۲۹ا+ ۲۵ ۲ب+ ۱۵ا ب+ ۱۲ا- ۲۰ب+ ۱۶ در ۳ا-۵ب-۴

جملهای ذیل را بمضروبات تفریق کنید:-
(۶) ۲لا+۲ی- ۲ا-۳ لای (۷) ۳لا-۳ی+ ۶ لای+ ۸ (۸) ۳لا-۸ ۳ی- ۲۷ ۳ع-۱۸ لای ع
قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید:-
(۹) ۳لا+ ۳ی+ ۸ الا ی- ۲۱۶ اگر لا+ی = ۶
(۱۰) ۳ا- ۸ ۳ب- ۲۴ ا ب- ۶۴ اگر ا- ۲ب = ۴
(۱۱) ۳(س- ا)+۳(س- ب)+۳(س+ ج)- ۳(س- ا)(س- ب)(س+ ج)
اگر ۳ س = ا+ب+ج


۱۴۳
(۱۲) ثابت کنید که (ا-۲ب)۳+(۲ب-۳ج)۳+(۳ج-ا)۳=۳(ا-۲ب)
(۲ب-۳ج)(۳ج-ا)
(۱۳) ثابت کنید که (لا+ی-۲ع)۳+(ی+ع-۲لا)۳+(ع+لا-۲ی)۳
=۳(لا+ی-۲ع)(ی+ع-۲لا)(ع+لا-۲ی)
(۱۴) ثابت کنید که (ا+۲ب-۳ج)۳+(ب+۲ج-۳ا)۳+(ج+۲ا-۳ب)۳
=۳(ا+۲ب-۳ج)(ب+۲ج-۳ا)(ج+۲ا-۳ب)
(۱۵) ثابت کنید که (۲ط-۵ق+۳س)۳+(۲ق-۵س+۳ط)۳+(۲س-۵ط+۳ق)۳
=۳(۲ط-۵ق+۳س)(۲ق-۵س+۳ط)(۲س-۵ط+۳ق)
۶۲ دستور (ا-ب)(ا-ج)(ب-ج)=ا۲(ب-ج)
+ب۲(ج-ا)+ج۲(ا-ب)
[(ا-ب)(ا-ج)(ب-ج)={ا۲-ا(ب+ج)+ب ج}(ب-ج)
=ا۲(ب-ج)-ا(ب۲-ج۲)+ب ج(ب-ج)
=ا۲(ب-ج)+ب۲(ج-ا)+ج۲(ا-ب)]
نتیجه ۱ بر عکس فوق ا۲(ب-ج)+ب۲(ج-ا)+ج۲(ا-ب)
=(ا-ب)(ا-ج)(ب-ج)
لهذا هر جمله که بشکل ا۲(ب-ج)+ب۲(ج-ا)+ج۲(ا-ب) باشد
بمضروبات تفریق شده میتواند-
نتیجه ۲ چون ا-ج=-(ج-ا)
و(ا-ب)(ا-ج)(ب-ج)=-(ا-ب)(ب-ج)(ج-ا)
لهذا دستور فوق بصورت ا۲(ب-ج)+ب۲(ج-ا)+ج۲(ا-ب)
=-(ا-ب)(ب-ج)(ج-ا) نیز نوشته میشود-


۱۴۴

نتیجه ۳ چون ا۲(ب-ج)+ ب۲(ج-ا)+ج۲(ا-ب)بصورت
اب(ا-ب)+ ب ج(ب-ج)+ج ا(ج-ا)نوشته میتوانیم لهذا
اب(ا-ب)+ ب ج(ب-ج)+ج ا(ج-ا)=-(ا-ب)(ب-ج)(ج-ا)
مثال جمله ذیل را مختصر کنید(ا+۲ب+۳ج)۲(ا-۲ب+ج)
+(ب+۲ج+۳ا)۲(ب-۲ ا)+(ج+۲ا+۳ب)۲(ج-۲ا+ب)
+(ا-۲ب+ج)(ب-۲ج+ا)(ج-۲ا+ب)
فرض کنید که ا+۲ب+۳ج =لا
ب+۲ج+ ۳ا = ی
ج+ ۲ ا + ۳ ب = ۶
∴ ی - ۶ = ا - ۲ ب + ج
۶ - لا = ب - ۲ ج + ا
لا - ی = ج - ۲ ا + ب
پس جمله مفروضه=لا۲(ی-۶)+ی۲(۶-لا)+۶۲(لا-ی)+(ی-۶)(۶-لا)(لا-ی)
=-(ی-۶)(۶-لا)(لا-ی)+(ی-۶)(۶-لا)(لا-ی)=.
مسئله (۳۴)
(۱) ثابت کنید که (لا-۲ی+۶) (۲لا-ی-۶) (ی-۲۶+لا)
= (لا-ی) (ی-۶۲+لا)+(ی-۶) (۶-۲لا+ی)
+(۶-لا) ۲ (لا-۲ی+۶)
(۲) ثابت کنید(ا+ب)۲(ب-ا)+(ب+ج)۲(ج-ب) +(ج+ا)۲
(ا-ج)+(ب-ا)(ج-ب)(ا-ج) = ۰
(۳) مضروبات ۲(ا-ب+ج)۲(ا-ج)+۲(ب-ج+ا)۲(ب-ا)
+۲(ج-ا+ب)۲(ج-ب) را معلوم کنید :-


۱۴۵
(۴) مضروبات - (لا+ی) (ی-لا)+ (س+ع) (ع-س)+(ع+لا) (لا-ع) را معلوم کنید
(۵) جمله ذیل را مختصر کنید ۲ (ا - ب+ج) (ا - ب -ج)+۲ (ب+ج - ا)
(ج - ا) +۲ (ج + ا - ب) (ا - ب)+ ۸(ا - ب)(ب+ج)(ج - ا)
(۶) جمله ذیل را مختصر کنید (ا - ی) (س - ع - (لا - ۲ ی + ع) + (ی-ع)(ع-لا)
(ع- ۲ + لا)+(ع-لا)(لا-ی) (ع-۲ لا+س)+(لا-۲ ی + ع)
(ی - ۲ + لا) (ع - ۲ لا+ی)
امثله متفرقه
مثال اثابت کنید که ۴ ا ب - (ا+ ب - ج)۲
= س (س - ۲ ا) (س - ۲ ب) (س - ۲ج) اگر س = ا + ب+ج
۴ ا ب - (ا+ ب -ج)۲
= {۲ ا ب}۲ - (ا+ ب -ج)۲
= { ۲ ا ب + (ا+ ب - ج)۲} { ۲ ا ب - (ا+ ب - ج)۲}
= {(ا+ ب)۲ - ج۲} { ج۲ - (ا+ ب - ۲ ا ب)۲}
= { ا+ ب)۲ - ج۲} {ج۲ - (ا - ب)۲}
= {(ا+ ب+ج) (ا+ ب -ج)} {ج + (ا - ب) (ج - ا - ب)}
= (ا+ ب + ج) (ا+ ب -ج) (ج + ا - ب) (رج - ا+ ب)
= (ا+ ب+ج) (ا+ ب+ج - ۲ج) (ا+ ب+ج - ۲ب) (ا+ب+ج-۲ ا)
= س (س - ۲ ج) (س - ۲ ب) (س - ۲ ا)


۱۴۶
مثال ۲ اگر س = ا + ب + ج ثابت کنید که (س - ا) (س - ب)
(س - ج) = (ا ب + ا ج + ب ج) (ا + ب + ج) - ا ب ج = (س - ا)
(س - ب) (س - ج)
= س۳ - (ا + ب + ج) س۲ + (ا ب + ا ج + ب ج) س - ا ب ج
= س۳ - س × س۲ + (ا ب + ا ج + ب ج) (ا + ب + ج) - ا ب ج
= (ا ب + ا ج + ب ج) (ا + ب + ج) - ا ب ج
مثال ۳ ثابت کنید که (لا - ی)۲ + (ی - ء)۲ + (ء - لا)۲
= ۲ (لا - ی) (لا - ء) + ۲ (ی - ء) (ی - لا) + ۲ (ء - لا) (ء - ی)
فرض کنید که لا - ی = ا
ی - ء = ب } .: ا + ب + ج = ۰
ء - لا = ج
لهٰذا { (لا - ی)۲ + (ی - ء)۲ + (ء - لا)۲ } - {۲ (لا - ی) (لا - ء)
+ ۲ (ی - ء) (ی - لا) + ۲ (ء - لا) (ء - ی)}
= (ا۲ + ب۲ + ج۲) - {۲ ا (س - ج) + ۲ ب (- ا) + ۲ ج (- ب)}
= ا۲ + ب۲ + ج۲ + ۲ ا ج + ۲ ا ب + ۲ ب ج
= (ا + ب + ج)۲ = ۰
.: (لا - ی)۲ + (ی - ء)۲ + (ء - لا)۲
= ۲ (لا - ی) (لا - ء) + ۲ (ی - ء) (ی - لا) + ۲ (ء - لا) (ء - ی)


۱۴۷

مثال ۴ اگر ۲ س = ا + ب + ج باشد ثابت کنید که (س - ا)^۳
+ (س - ب)^۳ + ۳ (س - ا) (س - ب) ج = ج^۳
چون ج = ۲ س - (ا + ب) = (س - ا) + (س - ب)
.۰. (س - ا)^۳ + (س + ب)^۳ + ۳ (س - ا) (س - ب) ج
= (س - ا)^۳ + (س - ب)^۳ + ۳ (س - ا) (س - ب)
{ (س - ا) + (س - ب) }
= { (س - ا) + (س - ب) }^۳ (بحکم فقره ۵۳)
= ج^۳
مثال ۵ ثابت کنید که (لا - ا) (لا - ب) (ا - ب) + (لا - ب) (لا - ج)
(ب - ج) + (لا - ج) (لا - ا) (ج - ا) = - (ا - ب) (ا - ج) (ب - ج)
فرض کنید که لا - ا = ط } .۰. ط = ا - ب
لا - ب = ق } ق = ب - ج
لا - ج = س } ط - س = ج - ا
لہٰذا (لا - ا) (لا - ب) (ا - ب) + (لا - ب) (لا - ج) (ب - ج)
+ (لا - ج) (لا - ا) (ج - ا)
= ط ق (ق - ط) + ق س (س - ق) + س ط (ط - س)
= - (ق - ط) (س - ق) (ط - س) ... (نتیجه ۳ فقره ۶۲
= - (ا - ب) (ب - ج) (ج - ا)
= (ا - ب) (ب - ج) (ا - ج)


۱۴۸

مثال ٦ (لا+ی+ع)۳-لا۳-ی۳-ع۳=۳(لا+ی)(ی+ع)(ع+لا)
(لا+ی+ع)۳={لا+(ی+ع)}۳
=لا۳+۳لا۲(ی+ع)+۳لا(ی+ع)۲+(ی+ع)۳
=لا۳+۳لا۲(ی+ع)+۳لا(ی+ع)۲+{ی۳+۳ی۲ع+۳یع۲+ع۳}
=لا۳+ی۳+ع۳+۳(ی+ع){لا۲+لا(ی+ع)+یع}
=لا۳+ی۳+ع۳+۳(ی+ع){(لا+ی)(لا+ع)}
=لا۳+ی۳+ع۳+۳(لا+ی)(لا+ع)(ع+ی)
لهذا (لا+ی+ع)۳-لا۳-ی۳-ع۳={لا۳+ی۳+ع۳+۳(لا+ی)(لا+ع)
(ع+ی)}-لا۳-ی۳-ع۳
=۳(لا+ی)(ی+ع)(ع+لا)

مثال ۷ اگر ۲س=ا+ب+ج باشد ثابت کنید که
۲(س-ا)(س-ب)+۲(س-ب)(س-ج)+۲(س-ج)(س-ا)=۲س۲-ا۲-ب۲-ج۲
چون ۲لا+۲ی+۲ع=(لا+ی)+(ی+ع)+(ع+لا)
؞ ۲(س-ا)(س-ب)+۲(س-ب)(س-ج)+۲(س-ج)(س-ا)
={(س-ا)(س-ب)+(س-ب)(س-ج)}+{(س-ب)(س-ج)
+(س-ج)(س-ا)}+{(س-ج)(س-ا)+(س-ا)(س-ب)}
و چون (س-ا)(س-ب)+(س-ب)(س-ج)
=(س-ب){(س-ا)+(س-ج)}
=(س-ب){۲س-ا-ج}
=(س-ب)(ب)


۱۴۹
و همچنین (س - ب)(س - ج) + (س - ج)(س - ا) = (س - ج)(س - ا)
و (س - ج)(س - ا) + (س - ا)(س - ب) = (س - ا)(س - ب)
جمله مفروضه = (س - ب)ب + (س - ج)ج + (س - ا)ا
= س(ا + ب + ج) - ب۲ - ج۲ - ا۲
= ۲س - ا۲ - ب۲ - ج۲
مثال ۸ اگر س = ا + ب + ج باشد ثابت کنید که س(س - ۲ب)
(س - ۲ج) + س(س - ۲ج)(س - ۲ا) + س(س - ۲ا)
(س - ۲ب)
= (س - ۲ا)(س - ۲ب)(س - ۲ج) + ۸ ا ب ج
مجموع دو حد اول جمله مفروضه = س(س - ۲ج){(س - ۲ب) + (س - ۲ا)}
= س(س - ۲ج){۲س - ۲(ا + ب)}
= س(س - ۲ج) × ۲ج
و حد سوم = (س - ۲ج + ۲ج)(س - ۲ا)(س - ۲ب)
= (س - ۲ج)(س - ۲ا)(س - ۲ب) + ۲ج(س - ۲ا)
(س - ۲ب)
پس جمله مفروضه = س(س - ۲ج)۲ج + {(س - ۲ج)(س - ۲ا)(س - ۲ب)}
+ ۲ج(س - ۲ا)(س - ۲ب)
= (س - ۲ا)(س - ۲ب)(س - ۲ج) + ۲ج{س(س - ۲ج)
+ (س - ۲ا)(س - ۲ب)}


۱۵۰
و چون س (س - ۳ ج) + (س - ۳ ا) (س - ۳ ب)
= (س - ۳ ج س) + {س - ۳ س (ا + ب) + ۹ ا ب}
= ۲ س - ۳ س (ا + ب + ج) + ۹ ا ب
= ۲ س - ۳ س × س + ۹ ا ب = ۹ ا ب
.:. جمله مفروضه = (س - ۳ ا) (س - ۳ ب) (س - ۳ ج) + ۸ ا ب ج)
مسئله (۳۵)
(۱) ثابت کنید که (ا + ا لا - لا) (ا - ا لا + لا) = ا - ا لا + ۳ ا لا - لا
(۲) ثابت کنید که (ا - ا لا + لا) (ا لا - ا + لا) = لا - ا لا + ۳ ا لا - ا
(۳) ثابت کنید که (ا + ب + ج) (ا - ب - ج) + (ب + ج - ا)
(ا - ب + ج) = ۴ ب (ا - ب - ج)
(۴) ثابت کنید که ۲ (ا + ب + ج - ا ب - ا ج - ب ج) = (ا - ب)
+ (ب - ج) + (ج - ا)
(۵) ثابت کنید که ۱/۲ (ا + ب + ج) {(ا - ب) + (ب - ج) + (ج - ا)}
= ا + ب + ج - ۳ ا ب ج
(۶) ثابت کنید که (ا + ب) (ا + ج) (ب + ج) = ا (ب + ج) + ب
(ج + ا) + ج (ا + ب) + ۲ ا ب ج
(۷) ثابت کنید که ۳ (لا - لا) + ۳ لا (لا + ۱) = لا (لا + ۱) (۲ لا + ۱)
(۸) ثابت کنید که لا + لا + لا (لا + ۱) (۲ لا + ۱) - ۲ لا (۱ + ا) = لا (لا + ا)
(۹) ثابت کنید که (ا + ب) (ج + د) = (ا ج - ب د) + (ا د + ب ج)


۱۵۱

(۱۰) ثابت کنید که (ا+ ب۲)- ( ج+ د۲)+ (ا+ ج۲)- (ب+ د۲) = ۲
( ا+ ب+ ج+ د) ( ا- د)
(۱۱) ضرب کنید ۹ لآ+ ۴می۲+ ۶ع۲- ۲ی ع - ۳ لاع - ۶ لای را
در ۳ لا+ ۲ی+ ع
(۱۲) ثابت کنید که (ا+ ب+ ج- د) (د- ا- ب+ ج) تج۲-(ا+ ب- د۲)
(۱۳) ثابت کنید که حاصل ضرب (ب+ ج۲)- ا۲ وا۲- ب۲ ج۲+ ۲ب ج
= ۲آب۲+ ۲آج۲+ ۲ب۲ ج۲- ا۴- ب۴- ج۴
(۱۴) جملهای ذیل را باهم ضرب کنید ا+ ب+ ج وا+ ب- ج
وا- ب+ ج وب+ ج- ا
(۱۵) جملهای ذیل را مختصر کنید (ا۲+ ب۲+ ج۲)+ (ا+ ب+ ج)
(ا+ ب+ ج) (ا+ ج- ب) (ب+ ج- ا)
(۱۶) جمله ذیل را مختصر کنید (ا۲+ ب۲+ ج۲)- (ا+ ب+ ج) (ا+ ب+ ج)
(ا+ ج- ب) (ب+ ج- ا)
(۱۷) اگر لا= ا۲- ب ج وی= ب۲- ج ا وع= ج۲- ا ب باشد
ثابت کنید که الا+ ب ی+ ج ع = (ا+ ب+ ج) (لا+ ی+ ع)
(۱۸) اگر لا- ی ع= ا۲ وی۲- ع لا= ب۲ وع۲- لا ی= ج۲ باشد
ثابت کنید که ا۲ لا+ ب۲ ی+ ج۲ ع= (لا+ ی+ ع) (ا۲+ ب۲+ ج۲)
جمله ذیل را مختصر کنید (ا+ ب+ ج۲)-(ا+ ب+ ج۲)+ (ا+ ج- ب۲)
- (ب+ ج- ا۲)


۱۵۲

(۱۹) جمله ذیل را مختصر کنید (۱ + ب ۲ج) - (۱ + ب ۲ج) + (۱ + ج - ب) - (ب ۲ج - ۱)
(۲۰) جمله ذیل را مختصر کنید (أ + ب۲ + ج۲) - (ب۲ + ج۲ - أ) - (أ - ب۲ + ج۲) + (أ + ب۲ -ج۲)
(۲۱) ثابت کنید که (ب ۲ج + د - ۱) (د + ۱ - ب ۲ج) + (ج - د + ۱ + ب)
(ب ۲ج + ۱ - د) = ۴ (۱ د + ب ج)
(۲۲) ثابت کنید که (ب ۲ج + ۱ - د) (ب ۲ج - ۱ + د) = ۲ (۱ د + ب ج)
- (أ - ب۲ + ج۲ + د۲)
(۲۳) ۲(۱ د + ب ۲ج) - (أ - ب۲ + ج۲ + د۲) را بچهار مضرب تفریق کنید.
(۲۴) جملهای ذیل را با هم ضرب کنید أ۳ - أ۲ + ۱ و أ۴ + أ۲ + ۱ و أ۴ - أ۲ + ۱
(۲۵) ضرب کنید أ + ۲ ا ب + ب۲ + ج را در أ - ۲ ا ب + ب۲ + ج
(۲۶) ثابت کنید که (لا - ی + ۶م) + (ی - ۶ + لا) + (۶ - لا + ی) + ۲(لا - ی + ۶م) (ی - ۶ + لا)
+ ۲(ی - ۶ + لا) (۶ - لا + ی) + ۲(۶ - لا + ی) (لا - ی + ۶م) = (لا + ی + ۶م)
(۲۷) (أ - ب) (ب - ج) (ج - ۱) - {أ(ج - ب) - {ج (أ - ب) - ب(أ - ج + أ)} } را
مختصر کنید:-
(۲۸) (أ - ب) (ب - ج) (ج - ۱) - {ب(ب - أ) + ب ج (ج - ب) أ + ج (أ + ج + ۱)} را مختصر کنید
(۲۹) ثابت کنید که (لا - ی)(ب - ج) + (لا - ب)(ج - ۱) + (لا + ج)(۱ - ب)
+ (ب + ج)(ج - ۱)(۱ - ب) = ۰
(۳۰) ثابت کنید که (أ + ب۲ + ج۲) (لأ + ی۲ + ۶۲) - (ل لا + ب ی + ج ۶)۲
= (۱ ی - ب لا)۲ + (ج لا - ۱ ۶)۲ + (ب ۶ - ج ی)۲


۱۵۳
(۳۱) اگر س = ا + ب + ج باشد ثابت کنید که (ا س + س ج) (ب س + ج ا)
(ج س + ب ا) = (ب + ج) (ج + ا) (ا + ب)
(۳۲) ثابت کنید که (ا + ب) (ا + ج) (ب + ج) - ۲ ا ب ج = ا (ب + ج)
+ ب (ج + ا) + ج (ا + ب)
(۳۳) ثابت کنید که (ا + ج) ۳ - (ب + ج) ۳ - ۳ (ا + ج) (ب + ج) (ا - ب) = (ا - ب) ۳
(۳۴) (لا - ۲ ی + ۳ ع) ۲ + (لا + ۲ ی - ۳ ع) ۲ + ۶ لا (لا - ۲ ی + ۳ ع)
(لا + ۲ ی - ۳ ع) را مختصر کنید:-
(۳۵) ثابت کنید که ۴ (ا + ب + ج) ۳ = (ا + ب) ۳ + (ب + ج) ۳ + (ج + ا) ۳
+ ۳ (ا + ب) (ب + ج) + ۳ (ب + ج) (ج + ا) + ۳ (ج + ا) (ا + ب)
(۳۶) ثابت کنید که ۸ (ا + ب + ج) ۳ = (ا + ب) ۳ + (ب + ۳ ج + ا) ۳ + ۶ (ا + ب)
(ب + ۳ ج + ا) (ا + ب + ۲ ج)
(۳۷) ثابت کنید که ۲۷ (ا + ب + ج) ۳ = (ا + ۳ ب + ۳ ج) ۳ + (۲ ا + ج) ۳
+ ۹ (ا + ۳ ب + ۳ ج) (۲ ا + ج) (ا + ب + ج)
(۳۸) ثابت کنید که ۸ (ا + ب + ج) ۳ - (ا + ب) ۳ - (ب + ج) ۳ - (ج + ا) ۳
= ۳ (۲ ا + ب + ج) (ا + ۲ ب + ج) (ا + ب + ۲ ج)
(۳۹) ثابت کنید که ۲۷ (ا + ب + ج) ۳ - (ا + ۲ ب) ۳ - (ب + ۲ ج) ۳ - (ج + ۲ ا) ۳
= ۳ (ا + ۳ ب + ۲ ج) (ب + ۳ ج + ۲ ا) (ج + ۳ ا + ۲ ب)
(۴۰) اگر ۲ س = ا + ب + ج باشد ثابت کنید که ۲ (س - ا) (س - ب) (س + ج)
+ ا (س - ب) (س + ج) + ب (س + ج) (س - ا) + ج (س - ا) (س - ب) = ا ب ج


۱۵۴
(۴۱) اگر س = ا + ب وج باشد ثابت کنید که س (س - ا) (س - ب) + س (س - ا)
(س - ج) + س (س - ۱) (س - ج) + ج (س + ۱) (س + ب) = (س - ۱)
(س + ب) (س + ج)
(۴۲) اگر ۲ س = ا + ب وج باشد ثابت کنید که (س - ا)۳ + (س - ب)۳ + (س - ج)۳
- ۳ (س - ا) (س - ب) (س - ج) = ۱/۲ ( ا۳ + ب۳ + ج۳ - ۳ ا ب وج )
(۴۳) اگر س = ا + ب وج باشد ثابت کنید که (س - ۳ ا)۲ + (س - ۳ ب)۲
+ (س - ۳ج)۲ = ۳ { (ا - ب)۲ + (ب - ج)۲ + (ج - ا)۲ }
در سوالات ذیل قیمت عددی ا۳ + ب۳ + ج۳ - ۳ ا ب ج را معلوم کنید
(۴۴) اگر ا + ب + ج = ۱۳ وا۲ + ب۲ + ج۲ = ۶۹
(۴۵) اگر ا + ب + ج = ۱۲ و ا ب + ب ج + ج ا = ۴۷
(۴۶) اگر لا + ی + ع = ۱۴ و لا + ی + ع۲ = ۷۴ و لا۳ + ی۳ + ع۳ = ۴۳۴ باشد
قیمت عددی لا ی ع را معلوم کنید :-
(۴۷) اگر لا + ی + ع = ۱۳ و لا ی + ی ع + ع لا = ۵۴ و لا ی ع = ۶۰ باشد
قیمت عددی لا۲ + ی۲ + ع۲ را معلوم کنید :-
۶۴ فهرست دساتیر جبریه
همه دساتیر جبریه که بالتفصیل مذکور شدند در ذیل درج میشوند تا بر طالب العلم
در وقت ضرورت موجب سهولت باشد - مگر میباید که آنرا کامل ضبط نماید
که در وقت ضرورت احتیاج بمراجعت کتاب نباشد :-
(۱) (ا + ب)۲ = ا۲ + ۲ ا ب + ب۲
(۲) (ا - ب)۲ = ا۲ - ۲ ا ب + ب۲
(۳) (ا + ب) (ا - ب) = ا۲ - ب۲


۱۵۵
= آ۳ + ۳ آ۲ ب + ۳ آ ب۲ + ب۳
= آ۳ + ب۳ + ۳ آ ب (آ + ب) } ۴) (آ + ب)۳

= آ۳ + ب۳ + ج۳ + ۳(آ ب + ج) + ۳ ب (آ + ج)
+ ۳ ج(آ + ب) + ۶ ا ب ج ۵) (آ + ب + ج)۳

= آ۳ - ۳ آ۲ ب + ۳ آ ب۲ - ب۳
= آ۳ - ب۳ - ۳ آ ب (آ - ب) ۶) (آ - ب)۳

= (آ + ب)۳ - ۳ آ ب (آ + ب)
= (آ + ب) (آ۲ - آ ب + ب۲) ۷) آ۳ + ب۳

= (آ - ب)۳ + ۳ آ ب (آ - ب)
= (آ - ب) (آ۲ + آ ب + ب۲) ۸) آ۳ - ب۳

= لا۲ + (آ + ب) لا + آ ب ۹) (لا + آ) (لا + ب)
= لا۲ + (ب - آ) لا - آ ب ۱۰) (لا - آ) (لا + ب)
= لا۲ - (آ + ب) لا + آ ب ۱۱) (لا - آ) (لا - ب)
= لا۳ + (آ + ب + ج) لا۲ + (آ ب + آ ج + ب ج) لا + آ ب ج ۱۲) (لا + آ) (لا + ب) (لا + ج)
= لا۳ - (آ + ب + ج) لا۲ + (آ ب + آ ج + ب ج) لا - آ ب ج ۱۳) (لا - آ) (لا - ب) (لا - ج)
= آ۲ + ب۲ + ج۲ + ۲ آ ب + ۲ آ ج + ۲ ب ج ۱۴) (آ + ب + ج)۲
= آ۲ + ب۲ + ج۲ + د۲ + ۲(آ ب + ج + د) + ۲ ب (ج + د) + ۲ ج د ۱۵) (آ + ب + ج + د)۲
= آ۴ + ۴ آ۳ ب + ۶ آ۲ ب۲ + ۴ آ ب۳ + ب۴ ۱۶) (آ + ب)۴
= آ۵ + ۵ آ۴ ب + ۱۰ آ۳ ب۲ + ۱۰ آ۲ ب۳ + ۵ آ ب۴ + ب۵ ۱۷) (آ + ب)۵
= (آ + ب + ج) (آ۲ + ب۲ + ج۲ - آ ب - ب ج - آ ج) ۱۸) آ۳ + ب۳ + ج۳ - ۳ آ ب ج


۱۵۶

(۱۹) اَ (ب - ج) + بَ (ج - ا) + جَ (ا - ب) = (ا - ب) (ا - ج) (ب - ج)
= - (ا - ب) (ب - ج) (ج - ا)
(۲۰) ا ب (ا - ب) + ب ج (ب - ج) + ج ا (ج - ا) = (ا - ب) (ا - ج) (ب - ج)
= - (ا - ب) (ب - ج) (ج - ا)
باب هشتم
تقسیم
۶۵ تعریف
مفهوم تقسیم ا بر ب اینست که یک مقدار دیگر ج معلوم شود که ج × ب = ا باشد
و بعبارت اخری ا ÷ ب = ج آنوقت میباشد که ا = ب × ج باشد
پس اگر لا = ی × ء باشد لا ÷ ی = ء و لا ÷ ء = ی خواهد بود
آن مقدار را که بر مقدار دیگر تقسیم شود مقسوم میگویند و همان مقدار دیگرا
مقسوم علیه و حاصل تقسیم را خارج قسمت
تنبیه خارج قسمت ا بر ب بصورت ا/ب نوشته میشود.
۶۶ چند مسئله اساسیه
(۱) اثبات این امر که ا ÷ ب × ب = ا اگر ا ÷ ب = لا باشد پس بحکم
تعریف فقره ۶۵ لا × ب = ا
لهذا ا ÷ ب × ب = لا × ب = ا


۱۵۷

(۲) اثبات این امر که ا ÷ ب × ج = ا ÷ ب ج
چون ( ا ÷ ب × ج ) × ب ج = { ( ا ÷ ب ) × ج } × ج × ب
= [ { ( ا ÷ ب ) × ج } × ج ] × ب
= ( ا ÷ ب ) × ب (بحکم (۱))
= ا
.: بحکم تعریف فقره ۶۵ ا ÷ ب × ج = ا ÷ ب ج یعنی مفهوم تقسیم یک مقدار
بر چند مقدار اینست که آن مقدار بر حاصل ضرب مقادیر مذکور تقسیم شود
نتیجه پس ا ÷ ب ÷ ج = ا ÷ ج ÷ ب میباشد زیرا که هر یک
از آنها = ا ÷ (ب × ج)
(۳) اثبات این امر که ا ÷ ب = ا × ۱/ب
چون ۱/ب × ب = ا ÷ ب × ب = ۱
لهذا ا × ۱/ب × ب = ا × (۱/ب × ب) (بحکم (۱))
= ا × ۱ = ا
یعنی (ا × ۱/ب) × ب = ا
.: بقرار تعریف فقره ۶۵ ا ÷ ب = ا × ۱/ب پس مفهوم تقسیم یک مقدار
بر مقدار دیگر اینست که مقدار اول در عکس مقدار دوم ضرب شود.
نتیجه ا ÷ ب × ج = ا × ج ÷ ب میباشد زیرا که ا ÷ ب × ج = ا × ۱/ب × ج
= ا × ج × ۱/ب
= ا × ج ÷ ب


۱۵۸
۶۷ قاعده اشارت تقسیم
چون ا × (- ب) = - ا ب
بموجب تعریف فقره ۶۵ ( - ا ب ) ÷ ا = - ب } ....(۱)
( - ا ب ) ÷ ( - ب ) = ا
و چون (- ا ) × (- ب) = ا ب
∴ ا ب ÷ (- ا ) = - ب } .........(۲)
و ا ب ÷ (- ب) = - ا
و نیز ا ب ÷ ا = ب }
ا ب ÷ ب = ا
پس از ۱ و ۲ و ۳ قاعده ذیل اخذ میشود:-
هرگاه مقسوم و مقسوم علیه متحد الاشارت باشند خارج قسمت مثبت
و هرگاه مختلف الاشارت باشد خارج قسمت منفی خواهد بود یعنی از اشارت
مشابهه + و از اشارت غیر مشابهه - پیدا میشود چنانچه در ضرب نیز همین قاعده جاریست
۶۸ تقسیم یک جمله مفرد بر جمله مفرد دیگر
برای معلوم نمودن قاعده تقسیم یک جمله مفرد بر جمله دیگر اینصورتهای
ذیل ملاحظه شود:-
(۱) چون ۳ ا۲ ب × ۵ ا۳ ب۲ ج = ۱۵ ا۵ ب۳ ج
لهذا (۱۵ ا۵ ب۳ ج) ÷ (۵ ا۳ ب۲ ج) = ۳ ا۲ ب
پس اگر مقسوم = ۱۵ ا۵ ب۳ ج
= ۳ × ۵ × ا۲ × ا۳ × ب × ب۲ × ج } ....(۱)
و مقسوم علیه = ۵ ا۳ ب۲ ج
خارج قسمت = ۳ ا۲ ب


۱۵۹
(۲) چون (-۲ اب٢ ج د) × (-۳ ا٢ ج) = ٦ ا٣ ب٢ ج٢ د
لهذا ٦ ا٣ ب٢ ج٢ د ÷ (-۲ ا ب٢ ج د) = -۳ ا٢ ج
پس اگر مقسوم = ٦ ا٣ ب٢ ج٢ د
= ۲ × ۳ × ا × ا٢ × ب٢ × ج × ج × د
و مقسوم علیه = -۲ ا ب٢ × ج د     ..... (ب)
خارج قسمت = -۳ ا٢ ج
(۳) چون (-۵ ا ب٢ ج د) × (۴ ب ج٢) = -۲۰ ا ب٣ ج٣ د
لهذا (-۲۰ ا ب٣ ج٣ د) ÷ (-۵ ا ب٢ ج د) = ۴ ب ج٢
اگر مقسوم = -۲۰ ا ب٣ ج٣ د = -۵ × ۴ × ا × ب٢ × ب × ج × ج٢ × د
و مقسوم علیه = -۵ ا ب٢ × ج × د     ..... (ج)
= ۴ ب ج٢
پس از ا و ب و ج قاعده ذیل اخذ شده میتواند :-
از مقسوم آن مضروبات را که در مقسوم علیه نیز موجود میباشد طرح کنید
پس اگر مقسوم و مقسوم علیه متحد العلامت باشند قبل از خارج قسمت
اشارت زائد واگر مختلف الاشاره باشند اشارت ناقص بنویسید
تنبیه ا٢ ÷ ا = (ا × ا) ÷ ا = ا  [ ا٢-١ ]
وهمچنین ا٣ ÷ ا = ا٢ و ا ÷ ا٢ = ا و علیٰ هذا القیاس
پس علی العموم ا م ÷ ا ن = ا م-ن  اگر م و ن مثبت واعداد صحیح باشند
و م > ن باشد-


١٦٠

مثال ١ ١٨ م٢ ن ط را بر - ٦ م ن ط تقسيم کنيد.
مقسوم = ١٨ م٢ ن ط
= ٦ × ٣ × م × م × ن × ط
و مقسوم عليه = - ٦ م ن ط
. . خارج قسمت = - ٣ م
مثال ٢ - ٢٤ ا٢ ب ج را بر - ٦ ا٢ ب ج تقسيم کنيد.
مقسوم = - ٢٤ ا٢ ب ج = - ٦ × ٤ × ا٢ × ا٢ × ب × ب × ج
مقسوم عليه = - ٦ ا٢ ب ج
. . خارج قسمت = ٤ ا٢ ب
مسئله ( ٣٦ )
تقسيم کنيد.
(١) ٨ ا را بر - ٢ ا (٢) - ١٥ ا٢ را بر ٣ ا٢
(٣) - ٢٠ لا٢ ا٢ را بر - ٥ لا ا (٤) ٢٧ م٢ ن را بر ٩ م ن
(٥) - ٢٨ ط٢ ق را بر ٤ ط ق (٦) - ٣٠ ا٢ ب را بر - ١٠ ا٢ ب
(٧) - ٧٠ لا٢ ی٤ ع را بر - ١٤ لا ی (٨) ٦٤ ا٢ ب ج را بر - ٨ ا ب٢ ج
(٩) - ٨١ م٢ ن ط را بر ٢٧ م ن ط (١٠) ٢٥ لا٢ ی٤ ع٤ را بر - ٥ لا٢ ی٤ ع٢
(١١) - ٦٩ ا٢ ب٤ ج را بر - ٢٣ ا ب٤ ج (١٢) - ٤٢ لا٣ ی٩ ع را بر - ١٤ لا٢ ی٥ ع
(١٣) ا٦ بر ا٥ (١٤) ٢٨ لا١٥ بر - ٤ لا١٢
(١٥) ٥٦ م٣٠ بر - ٨ م٢٨ (١٦) - ٩١ ا١٣ ب٢٩ را بر ١٣ ا٩ ب١٨


۱۶۱
۶۹ تقسیم جمله ذو حدود کثیره برجمله ذو حد واحد
بحکم نتیجه ۳ فقره ۴۶
ا (ب + ج) + د + ی + ف + ....) = اب + اج + اد + ای + اف +...
لهذا (ا ب + ا ج + ا د + ا ی + ....) ÷ ا = ب + ج + د + ی + ... =
= (ا ب ÷ ا) + (ا ج ÷ ا) + (ا د ÷ ا) + (ا ی ÷ ا) + ...
پس قاعده تقسیم ذو حدود کثیره بر ذو حد واحد این است
که هر حد ذو حدود کثیره بر مقسوم علیه تقسیم شود
و مجموع این خارج قسمتها جزوی خارج قسمت مطلوب میباشد
مثال ۱ ۴ لا۴ - ۶ لا۳ + ۱۰ لا۲ را بر - ۲ لا تقسیم کنید
خارج قسمت مطلوب = ۴ لا۴ - ۶ لا۳ + ۱۰ لا۲ / - ۲ لا
= ۴ لا۴ / - ۲ لا + - ۶ لا۳ / - ۲ لا + ۱۰ لا۲ / - ۲ لا
= - ۲ لا۳ + ۳ لا۲ - ۵ لا
مثال ۲ ۹ لا۵ - ۴ لا۴ - ۲ لا۲ را بر ۳ لا۲ تقسیم کنید
خارج قسمت مطلوب = ۹ لا۵ - ۴ لا۴ - ۲ لا۲ / ۳ لا۲
= ۹ لا۵ / ۳ لا۲ + - ۴ لا۴ / ۳ لا۲ + - ۲ لا۲ / ۳ لا۲
= ۳ لا۳ - ۴ / ۳ لا۲ - ۲ / ۳


١٦٢
مسئله (٣٧)
تقسیم کنید :-
(١) ٦ ب ٢ - ٢ أ ب را بر أب (٢) ٣ لا٣ - ٦ لا٢ و را بر - ٣ لا
(٣) ٤ لا٣ و - ٨ لا٢ و٢ را بر ٤ لا٢ و (٤) - ٩ و٢ + ١٢ أ ب را بر - ٣ و٢
(٥) ١٤ أ٢ ب٣ - ٢١ أ ب را بر - ٧ أ ب٢ (٦) ٢ و لا٢ - ٤ و٢ لا٢ + ٦ ولا : ٢ و لا
(٧) - ٣ ولا٢ + ٦ ولا٣ - ٩ و٢ لا را بر - ٣ ولا
(٨) ١٢ لا - ٨ لا٢ + ٣٠ ولا را بر - ٤ لا
(٩) ١٠ م٢ ن٣ - ١٥ م٣ ن - ٢٠ م٤ ن را بر ٥ م ن
(١٠) ٨ ط٣ ق - ٥ ط٢ ق٢ - ٣ ط ق را بر - ٨ ط ق
(١١) - ١٤ لا ٤ ی٢ + ٢١ لا ٣ ی٣ - ٢٨ لا٢ ی را بر ٧ لا٢ ی
(١٢) ١٥ و٢ لا - ٣٠ و٣ لا - ٤٥ و لا را بر ٢٠ ألا
(١٣) - ٦٠ لا١ - ٧٥ لا٢ + ٨٠ لاأ را بر - ٢٠ لاأ٢
(١٤) ٢٥ م٢ ن٢ ط - ٣٥ م٢ ن ط٢ - ٤٠ م ن ط را بر ٥ م ن ط
(١٥) - و٢ لا ٣ ی٣ + و٣ لا ٢ ی - و لا ٤ ی٢ + و٤ لا ی را بر - ولا ی
تقسیم یک جمله مرکب بر جمله مرکب دیگر
از امثال ذیل قاعده تقسیم جمله مرکب بر جمله مرکب دیگر دانسته میشود
آنرا بخوبی ملاحظه باید کرد -


۱۶۳

چون (۲ آ ۲ + ۳ ا ب + ۴ ب ۲) ( ا + ۳ ب)
= ۲ آ ۲ ( ا + ۳ ب ) + ۳ ا ب ( ا + ۳ ب ) + ۴ ب ۲ ( ا + ۳ ب )
= ۲ آ ۳ + ۹ آ ۲ ب + ۱۳ ا ب ۲ + ۱۲ ب ۳
لهذا ( ۲ آ ۳ + ۹ آ ۲ ب + ۱۳ ا ب ۲ + ۱۲ ب ۳ ) ÷ ( ا + ۳ ب ) = ۲ آ ۲
+ ۳ ا ب + ۴ ب ۲
پس اگر درین عمل بدقت نظر نموده شود نتایج ذیل اخذ میشود
(۱) مقسوم و مقسوم علیه هر دو بلحاظ قوای متناقصه یک حرف مشترک
یعنے آ تنظیم مییابند -
(۲) حد اول خارج قسمت یعنے ۲ آ ۲ = ۲ آ ۳ ÷ ا یعنے = (حد اول مقسوم)
÷ (حد اول مقسوم علیه)
(۳) اگر ۲ آ ۲ ( ا + ۳ ب ) از مقسوم تفریق شود حاصل تفریق ۳ آ ۲ ب + ۱۳ ا ب ۲
+ ۱۲ ب ۳ میباشد و نیز حد دوم خارج قسمت یعنے ۳ ا ب = ۳ آ ۲ ب ÷ ا
یعنے = (حد اول حاصل تفریق اول) ÷ (حد اول مقسوم علیه)
(۴) اگر ۳ ا ب ( ا + ۳ ب ) از حاصل تفریق اول تفریق شود حاصل تفریق
دوم ۴ ا ب ۲ + ۱۲ ب ۳ میباشد و نیز حد سوم خارج قسمت یعنے ۴ ب ۲
= ۴ ا ب ۲ ÷ ا یعنے = (حد اول حاصل تفریق دوم) ÷ (حد اول مقسوم علیه)
(۵) اگر ۴ ب ۲ ( ا + ۳ ب ) از حاصل تفریق دوم تفریق شود هیچ باقی نمیماند
و عمل تقسیم با تمام میرسد و عمل فوق بطرز ذیل نیز نوشته میشود :-


١٦٤

(ا + ٣ ب) ٢ ا٣ + ٩ ا٢ ب + ١٣ ا ب٢ + ١٢ ب٣ (٢ ا٢ + ٣ ا ب + ٤ ب٢
٢ ا٣ + ٦ ا٢ ب

٣ ا٢ ب + ١٣ ا ب٢
٣ ا٢ ب + ٩ ا ب٢

٤ ا ب٢ + ١٢ ب٣
٤ ا ب٢ + ١٢ ب٣
X

پس قاعدۀ ذیل اخذ میشود:-
مقسوم و مقسوم علیه هر دو را بلحاظ قوای متناقصه یک حرف
مشترک منظم بدهید و بقرار قاعدۀ تقسیم علم حساب بنویسید
حد اول مقسوم را بر حد اول مقسوم علیه تقسیم کرده نتیجه را حد اول خارج قسمت
قرار بدهید و این مقدار را در مقسوم علیه ضرب کرده حاصل را از مقسوم تفریق کنید
این حاصل تفریق را مقسوم جدید تصور کنید و نیز ملاحظه کنید که ترتیب
این مقسوم بلحاظ قوای متناقصه حرف مشترک باشد - بعد ازان
حد اول این مقسوم را بر حد اول مقسوم علیه تقسیم کرده خارج را تقسیم
حد دوم خارج قسمت بنویسید و آنرا در مقسوم علیه ضرب نموده حاصل ضرب را
از مقسوم جدید تفریق کنید - و بهمین طرز عمل را جاری بدارید تا اینکه هیچ باقی نماند
مثال ا٤ - ٤ ا٣ + ١٢ ا - ٩ را بر ا٢ - ٢ ا + ٣ تقسیم کنید :-
مقسوم و مقسوم علیه هر دو بلحاظ قوای متناقصه ا منظم یافته اند


۱۶۵

پس طریق عمل حسب ذیل خواهد بود:-
مقسوم علیه = لا۲-۲لا+۳ ) لا۴ - ۴لا۳+۱۲لا۲-۹لا+۲لا-۳
لا۴-۲لا۳+۳لا۲
-۲لا۳+۹لا۲-۹لا
-۲لا۳-۴لا۲+۶لا
-۳لا۲+۱۵لا-۹
-۳لا۲+۶لا-۹
X
پس خارج قسمت = لا۲+۲لا -۳
تنبیه چون حد لا۳ در مقسوم این مثال موجود نیست بنا برین جاده مخفی لا۳ بانام
نوشته شده است که مقام حد سائق آن خالیست و مدعا ازین ترتیب اینست که حدود
مشابهه تحت حدود مشابهه نوشته شود و اگر این ترتیب ملحوظ نگردد عمل زحمت زیاد میرساند
مثال ۳ ۱۶لا۴+۳۶لا۲+۸۱ را بر ۴لا۲+۶لا+۹ تقسیم کنید-
۴لا۲-۶لا+۹ ) ۱۶لا۴ +۳۶لا۲ +۸۱ ( ۴لا۲+۶لا+۹
۱۶لا۴+۲۴لا۳+۳۶لا۲
-۲۴لا۳ +۸۱
-۲۴لا۳-۳۶لا۲-۵۴لا
+۳۶لا۲+۵۴لا+۸۱
+۳۶لا۲+۵۴لا+۸۱
X
پس خارج قسمت مطلوب = ۴لا۲-۶لا+۹ میباشد :-


١٦٦
تنبیه بعض اوقات مقسوم بر مقسوم علیه بدون باقی تقسیم میشود
مثلا اگر در مثال فوق مقسوم ٦لا٤ + ٣٦لا٣ + ٦لا٢ + ٨٦ باشد حاصل تفریق
دوم ٣٦لا٣ + ٦لا٢ + ٨٦ میشود وحاصل تفریق اخير ٦لا٢ + ٥ وچون ٦لا٢ +٥
بر ٣لا٢ + ٦لا + ٩ کامل تقسیم نمیشود لہذا در تقسیم درینصورت باقی میماند
وبقرار قواعد علم حساب قرار ذیل نوشته میشود یعنی
١٦لا٤ + ٣٦لا٣ + ٦لا٢ + ٨٦ = ٤لا٢ - ٦لا + ٩ + ٦لا٢ + ٥ / ٣لا٢ + ٦لا + ٩
و آن حصہ مقسوم را کہ بر مقسوم علیه تقسیم شده نمیتواند باقی میگویند
پس اگر از مقسوم بحرف م و از مقسوم علیه بحرف ع واز خارج قسمت بحرف خ
و از باقی بحرف ب تعبیر شود نتیجه ذیل دائما صحیح خواهد بود۔
م = ع × خ + ب
مثال ٣لا - ٤لا٢ - ٢لا٣ + ٣لا٤ + ٨لا - ١٢ را بر لا٤ - ٤ تقسیم کنید
تنبیه این امر ضروری نیست که مقسوم ومقسوم علیہ محض بلحاظ قوای
متناقصہ یک حصی مشترکہ ترتیب داده شوند بلکہ اینقدر لازم است که یک تربیتی خاص
داشته باشند خواه بلحاظ قوای متناقصه و خواه بلحاظ قوای متزائده یک حصہ مشترکہ
چنانچہ حل این مثال بعد از ترتیب مقسوم و مقسوم علیہ بلحاظ قوای متزائده لا کرده میشود
- ٤ + لا٢) - ١٢ + ٨لا + ٣لا - ٤لا٢ - ٢لا٣ + ٣لا٤ ( ٣ - ٢لا + لا٢
- ١٢         + ٣لا٢
+ ٨لا       - ٣لا٢
+ ٨لا       - ٣لا٢
+ ٤لا٣ + لا٤
+ ٤لا٣ + لا٤
×


۱۶۷
مثال ۴ ا۴ ب + ۲ ا ب ج - ا ب ج  ا  راب + اج - ب ج تقسیم کنید
ترتیب مقسوم بلحاظ قوای متناقصه احسب ذیلست ا۴ (ب ۲ ج) + ۲ ب ج ا - ب ج ۲
و ترتیب مقسوم بلحاظ قوای متناقصه آن (ب + ج) ا - ب ج است
پس مقسوم ذو حدود ثلثه و مقسوم علیه ذو حدین است
(ب + ج) ا - ب ج (ب ۲ + ج) ا ۴ + ۲ ب ج ا - ب ج ۲ (ا ب + ج) ا + ب ج
(ب ۲ + ج) ا ۴ - (ب ۲ ج - ب ج ۲) ا
(ب ج + ب ج ۲) ا - ب ج ۲
(ب ج + ب ج ۲) ا - ب ج ۲
پس خارج قسمت = ا ب - ا ج + ب ج
مثال ۵ ا ۶ + ب ۲ + ج ۶ + ۳ ا ب ج را بر ا + ب + ج تقسیم کنید
ترتیب مقسوم و مقسوم علیه بلحاظ قوای متناقصه احسب ذیل میباشد
ا ۶ + ۳ ا ب ج + (ب ۲ + ج ۶) و ا + (ب + ج)
پس مقسوم ذو حدود ثلثه و مقسوم علیه ذو حدین میباشد
ا + (ب + ج) ا ۶ + ۳ ب ج ا + (ب ۲ + ج ۶) ا ۵ - ا (ب + ج) + (ب ۲ + ج ۲ + ب ج)
ا ۶ + ا ۵ (ب + ج)
- ا ۵ (ب + ج) + ۳ ب ج ا
- ا ۵ (ب + ج) - ا ۴ (ب + ج) ۲
ا ۴ (ب ۲ + ج ۲ + ب ج) + (ب ۲ + ج ۶)
ا ۴ (ب ۲ + ج ۲ + ب ج) + (ب ۲ + ج ۶)
خارج قسمت مطلوب = ا ۵ + ب ۵ + ج ۵ - ا ب + ا ج + ب ج


۱۶۸
مثال ۶ (ب ج) آ+ (ب ج - ا) ب + (ا- ب) ج ترابر آ - اب-اج
+ ب ج تقسیم کنید:-
مقسوم و مقسوم علیه را بلحاظ قوای متناقصه ا ترتیب بدهید
مقسوم = (ب+ج) آ - ب آ+ ج آ + ب ۲ ج - ب ج۲
= (ب-ج) آ - (ب ۲ - ج۲) ا + ب ج (ب-ج)
و مقسوم علیه = آ - (ب+ج) ا + ب ج
پس مقسوم ذو ثلثه و مقسوم علیه ذو حدین است
آ - ا(ب+ج) + ب ج / آ ۳ (ب - ج) - ا(ب ۲- ج ۲) + ب ج (ب-ج) / آ ۲(ب-ج) - ا(ب-ج)
آ ۳(ب-ج) - آ۲(ب ۲-ج۲) + آ ب ج (ب-ج)
آ ۲(ب ۲-ج۲) - ا (ب ۲- ج۲ + ب ج- ب ج) + ب ج (ب ۲- ج۲)
آ ۲(ب ۲-ج۲) - ا (ب ۲-ج۲ + ب ۲ ج- ب ج ۲) + ب ج (ب ۲-ج۲)
X
خارج قسمت مطلوب = ا ب - ا ج + ب آ - ج آ
تنبیه باید دانست که جملهائیکه در خطوط قوسی بطور امثال نوشته شده
تنظیم آنها بلحاظ قوای متناقصه ب میباشد- و اینچنین ترتیب
موجب سهولت و وضوح عمل میگردد -
تقسیم کنید:- مسئله (۳۸)
(۱) ل ۲ - ۵لا + ۶ بر لا - ۳ (۲) ۲ لا ۲ - ۱۱ لا + ۵ بر ۲ لا - ۱
(۳) ۶ لا ۲ - لا - ۱۲ بر ۲ لا - ۳ (۴) ۱۵لا ۲ - لا - ۲۸ بر ۳ لا + ۴


۱۶۹
(۵)۲ آ-۷ اب+۶ ب۲ برا-۲ ب (۶) لآ+ لآی۴+ی۲ بر لآ+لای+ی۲
(۷)۴ لآ-۹ لو بر ۲ لا+۳ و (۸) لآ+ لو بر لا+و
(۹)۴-آب-۷ اب۲+۳ ب۳ بر ا-۳ ب
(۱۰)۲ م۲-۹ من+۱۳ م ن-۶ ن۲ بر ۲ م-۳ ن
(۱۱) ۴-۳ آ ب+۳ ا ب۲- ب۳ بر آ- ب۲
(۱۲) ۲ لآ-۳ لآی-۳ لا ی۲-۲ ی۳ بر لآ+ی۲
(۱۳) ۲ لو۲-۳۶ لو لآ-۱۶ لو لآ بر ۲ لو+۸ و لا
(۱۴) ۳+۲ لا+۴ لآ+۵ لا۲-۴ لآ+۲ لآ بر ۱+۲ لآ
(۱۵) لآ-۴ لآ+۱۳ الا-۹ بر لآ+۲ لا-۳
(۱۶) ۴ آ-۹ آ ب۲+۴۴ ا ب۳-۱۶ ب۴ بر ۲ آ-۳ ا ب+۴ ب۲
(۱۷) آ+۴ آ لآ+۱۶ الا بر آ+۲ ا لا+۴ لآ
(۱۸) آ+۴ ب۳ بر آ+۲ ا ب+۲ ب۲
(۱۹) ۲ لآ-۷ لآ-۲ لآ+۸ الا-۳ لا-۸ بر لآ-۲ لآ+۱
(۲۰) لآ-۸۱ بر لا-۳ (۲۱) لو-۳۲ بر ا-۲
(۲۲) ۳-۹ لا+۲ لآ+۵ لآ-۷ لآ+۲ لآ بر ۱-۳ لا+لا۲
(۲۳) ۲ ۸ لا+۴۰-۴۵ لا+۸ الا-۷۶ لا بر ۶ لآ+۸-۷ لا
(۲۴) ۶۴-لآ بر ۴-لا (۲۵)۱+لا-۲ لآ بر لآ+۱-۲ لا
(۲۶) ۱۳ ا ب۲+۲ آ ب۳+۶ آ-آ ب+۴ ب۴ بر ۴ ا ب+ب۲+۳ آ
(۲۷) آ ب-۱۵ ا ب۲-۸ آ ب۲+آ+۱۹ ا ب۳ بر آ+۳ ب۲-۲ ا ب


۱۷۰

(۲۸) لا ۳ - لا ۳ برلا ۲ - ۲ لا ۲ و + لا ۲ و - و ۳
(۲۹) ۸ آ ب + ۳ ب ۲ + و - ۹ آ ب - ۲ ا ب - آب بر ۲ ا ب - ۳ ب ۲ + و ۲
(۳۰) ی ۲ + لا - ۳ لا ی ۲ بر لا ۲ + ی ۲ - ۲ لای
(۳۱) لا - ۲ و لا + و ۳ بر لا - ۲ و لا + و ۳
(۳۲) ۲ لا ی ۲ + ی ۲ + لا ۳ بر ۲ لای + لا + ی ۲
(۳۳) لا ۲ + (ا + ب + ج) لا + (ا ب + ا ج + ب ج) لا + ا ب ج بر لا + ج
(۳۴) لا ۲ - (ب + ج - ا) لا + (ج ا - ا ب - ب ج) لا + ا ب ج بر لا ۲ + (ب - ا) لا - ا ب
(۳۵) آ ۳ - آ ب + آ ج - ا ب ج - ب ج - ب ج ۲ بر آ - ب ج
(۳۶) آ (ب + ج) - ب ۲ (ا + ج) + ج ۲ (ا + ب) + ا ب ج بر ا - ب + ج
(۳۷) لا (ب + ج) + ب ۲ (ا - ج) + ج ۲ (ا - ب) + ا ب ج بر ا + ب + ج
(۳۸) لا - ۲ و لا + (و - ا ب - ب ۲) لا + و ۲ ب + ا ب ۲ بر لا - ا - ب
(۳۹) آ + ب ۲ + ج ۲ - ۳ ا ب ج بر ا + ب + ج
(۴۰) لا ۲ + ی ۲ - ۱ + ۳ لا ی بر لا + ی - ۱
(۴۱) لا ۳ - ۸ ی ۲ - ۲۷ ۶ ۳ - ۱۸ لا ی ۶ بر لا - ۲ ی - ۳ ۶
(۴۲) لا ۲ - ی ۲ + ۶ ۲ + ۳ لا ی ۶ بر لا - ی + ۶
(۴۳) ۸ لا ۲ - ۲۷ ی ۳ - ۸ الای ۶ بر ۴ لا ۲ + ۹ ی ۲ + ۶ ۲ + ۶ لای + ۲ لا ۶ - ۳ ی ۶
(۴۴) آ (ب + ج) + ب ۲ (ج - ا) + ج ۲ (ا - ب) بر ا - ب
(۴۵) (لا ۲ - ب لا + ج لا) ا - ب ج (لا + و) + (لا - ب + ج) لا بر (لا + ا) (لا - ب)
(۴۶) ج (ا ب - لا ۲) + (ا - ب) (لا + ج) لا + لا (لا ۲ - ا ب) بر (لا - ب) (لا + ج)


۱۷۱
(۴۷) آ ( ب - ج ) + ب ( ج - ا ) + ج ( ا - ب ) بر آ - ب + ب - ج - ا - ج - ب ۲
(۴۸) آ ( ب ۲ - ج ۲ ) + ب ( ج ۲ - ا ۲ ) و ج ( ا ۲ - ب ۲ ) بر آ - ب - ب - ج - ا - ج + آ - ج
(۴۹) لا - ی ۲ + ۲ - ی ۲ ع - لا - ی ۲ ع + لا - ی ع ۲ - لا ۲ ی - ۲ ی ع ۲ + لا ۲ ع - لا ع بر ی + ع - لا
(۵۰) ب ( لا + آ ) + و لا ( لا ۲ - آ ۲ ) + آ ( لا + ا ) بر ( ا + ب ) ( لا + ا )
(۵۱) ( ا - ب ) ج ۲ + ( ا - ب ) ج - ( ج - ا ) ب ۲ + ( ج - ا ) ب بر ( ا - ب ) ج ۲ - ( ج - ا ) ب ۲
جملهای فوق را بلحاظ قوای متناقصه تنظیم بدهید
(۵۲) ( آ لا + ب ی ) ۳ + ( آ لا - ب ی ) ۳ - ( آ ی - ب لا ) + ( آ ی + ب لا ) ۳ را
بر ( ا + ب ) لا ۲ - ۳ ( ب ( لا ۲ - ی ۲ )
اول مقسوم را مختصر کنید و بعد از ان مقسوم و مقسوم علیه را بلحاظ
قوای متناقصه لا تنظیم بدهید
(۵۳) لا ( ا + ی ۳ ) ( ا + ع ۲ ) + ی ( ا + ع ۲ ) ( ا + لا ۲ ) + ع ( ا + لا ۲ ) ( ا + ی ۲ ) + ۳ لا ی ع
بر ا + لا ی + ی ع + ع لا
این جملها را بلحاظ قوای متناقصه لا تنظیم بدهید
(۵۴) ( ۴ لا - ۳ آ لا ) ۲ + ( ۴ ی - ۳ آ ی ) ۲ - [ بر لا + ی ۲ - آ ۲ کنید
اگر آ : ا = آ - ن برای قیمت های م و ن صحیح باشد پس اشکال ذیل را ثابت [؟]
(۵۵) ۱ = آ       [ ۱ = آ : آ = آ م - م ]
(۵۶) آ ن = ۱/آ ن  [ آ - ن = آ ۰ - ن = آ ۰ : آ ن = ۱ : آ ن ]
(۵۷) آ م : لا م = (لا/آ) م  (۵۸) لا م : لا ن = لا م - ن


۱۷۲
تقسیم کنید:-
(۵۹) آ ۳ ۲ برآ ۲ ۱ (۶۰) آ ۳ ۲ ج  ۱ برآ ۱ ۲ ج ۱
(۶۱) ۵ الایء  بر - ۵ لا ۱ ۲ ی  ۲ ۳ (۶۲) ۹ لا ۳ ۴ - ۱۶ ی  ۲ ۳ بر ۳لا  ۱ ۲ + ۴ی  ۱ ۳
(۶۳) آ + ب  برآ ۱ ۳ + ب  ۱ ۳ (۶۴) آ  ۲ ۳ + آ ۱ ۳ ب  ۱ ۳ + ب  ۲ ۳ برآ  ۱ ۳ + ب  ۱ ۳
(۶۵) ۴ لا  ۴ ۳ - ۳ لا  ۲ ۳ ی  ۱ ۳ + ۹ ی بر۲ لا  ۲ ۳ + ۵ لا  ۱ ۳ ی  ۱ ۳ - ۳ ی  ۲ ۳
(۶۶) آ - ب بر آ ۱ ۳ - ب  ۱ ۳
(۶۷) آ ۳ + ۱۲ آ  ۵ ۲ ب  ۱ ۲ + ۹ آ  ۲ ب - ۲۵ ب  ۳ ۲ بر ۲ آ  ۳ ۲ + ۳ آ  ۱ ۲ ب  ۱ ۲ - ۵ ب
(۶۸) ۹لا  ۴ ۵ - ۲۵ لا  ۲ ۵ ی  ۲ ۳ + ۷۰ لای  ۴ ۳ - ۴۹ ی  ۶ ۳ بر ۳ لا  ۲ ۵ + ۵ لا  ۱ ۵ ی  ۱ ۳ - ۷ ی  ۲ ۳
(۶۹) آ - ب برآ ۱ ۴ - ب  ۱ ۴ (۷۰) لا + ی + ء - ۳ لا  ۱ ۳ ی  ۱ ۳ ء  ۱ ۳ برلا  ۱ ۳ + ی  ۱ ۳ + ء  ۱ ۳
اے نتایج مفیده
چون (لا ۲ - آ ۲ ) = (لا - آ) (لا + آ) و (لا ۳ - آ ۳ ) = (لا - آ) (لا ۲ + لا آ + آ ۲ )
∴ لا ۴ - آ ۴ = [لا (لا ۳ - آ ۳ ) + آ (لا ۳ - آ ۳ )]
= (لا - آ) {لا (لا ۲ + لا آ + آ ۲ ) + آ ۳ }
= (لا - آ) {لا ۳ + لا ۲ آ + لا آ ۲ + آ ۳ }
و لا ۵ - آ ۵ = [لا (لا ۴ - آ ۴ ) + آ (لا ۴ - آ ۴ )]
= (لا - آ) {لا (لا ۳ + لا ۲ آ + لا آ ۲ + آ ۳ ) + آ ۴ }
= (لا - آ) (لا ۴ + لا ۳ آ + لا ۲ آ ۲ + لا آ ۳ + آ ۴ )


۱۷۳
و بقرار فوق ثابت شده میتواند که لا-ا یکی از مضروبات لا-ا ولا-ا ولا-ا
و غیره میباشد پس لا-ا دائماً یکی از مضروبات لا-ا خواهد بود بشرط انکه
ن عدد صحیح باشد پس ظاهر است که برای همه قیمتهای ن که مثبت
وصحیح باشند لا-ا بر لا-ا بدون باقی تقسیم شده میتواند -
باز چون لا+ا = (لا-ا)+٢ او یک حصه ازین یعنی لا-ا بر لا-ا
بدون باقی تقسیم شده میتواند لیکن ٢ ا بدون باقی تقسیم نمیشود -
:: لا+ا بر لا-ا بدون باقی تقسیم شده نمیتواند-
پس اگر ن عدد مثبت و صحیح باشد
لا-ا دائماً لا-ا را بدون باقی تقسیم میکند }.... (١)
لیکن لا+ا را هرگز بدون باقی تقسیم کرده نمیتواند
نتیجه لا+ا در انوقت لا-ا را بدون باقی تقسیم کرده میتواند که ن عدد
صحیح و جفت باشد-
زیرا که اگر ن جفت باشد (ا)=او ::لا-ا = لا- (ا)
وچون ن طاق باشد (ا)=-ا و :: لا-ا = لا+(ا)
و نیز لا+ا = لا- (-ا)
اشارت این امر از روی قانون اشارات ظاهر است مثلاً (-ا) = ا
::(ا) =(-ا)*(-ا)=-ا و (ا) = (-ا) * (-ا) * (-ا) = ا
هذا القياس يعنی بقرار زوج يا فرد بودن قوت طاقت قولی (-ا) مثبت یا منفی میباشد


۱۷۴

پس از (۱) ظاهر است که لا - (- ۱) جمله لا - (-۱)ن را بدون باقی تقسیم میکند
ولا + (- ۱) را تقسیم میکند پس لا + ۱ جمله لان - ۱۹ را بدون باقی تقسیم میکند
بشرط اینکه ن جفت باشد و بعبارت اخری لا - ۱۹ را آنوقت بدون باقی تقسیم نما
باقی تقسیم کرده میتواند که ن عدد صحیح و جفت باشد -
نتیجه ۲ لا + ۱ آنوقت لا + ۱۹ را بدون باقی تقسیم کرده میتواند که
ن عدد صحیح و طاق باشد - زیرا که اگر ن طاق باشد (-۱)ن = - ۱
و :. لا + ۱۹ = لان - (- ۱)ن و اگر جفت باشد (- ۱)ن = ۱
و :. لان + ۱۹ = لان + (- ۱)ن
و نیز لا + ۱ = لا - (-۱)
پس از (۱) ظاهر است که لا - (-۱) جمله لان - (- ۱)ن را بدون باقی تقسیم
میتواند ولا + (-۱) را تقسیم نمیتواند - لہذا لا + ۱ جمله لان + ۱۹ را باین شرط
بدون باقی تقسیم میکند که ن طاق باشد و بعبارت دیگر لا + ۱ جمله
لان + ۱۹ را آنوقت بدون باقی تقسیم کرده میتواند که ن عدد صحیح و طاق باشد
پس از بحث فوق نتایج ذیل اخذ میشوند :-
لا - ۱ دائما لان - ۱۹ را بدون باقی تقسیم میکند {
و لا + ۱۹ را هرگز بدون باقی تقسیم نمیکند }
لا + ۱ جمله لان - ۱۹ را آنوقت بدون باقی تقسیم میکند که ن جفت باشد
ولا + ۱۹ را آنوقت که ن طاق باشد -


۱۷۵

مسئله (۳۹)
از روی عمل تقسیم ثابت کنید که جملها ذیل بر لا+ ۱ بدون باقی تقسیم شده میتوانند

(۱) لا۴ + ۱  (۲) لا۶ - ۱ (۳) لا۹ + ۱ (۴) لا۱۰ - ۱

(۵) لا۴ + ۱ (۶) لا۶ - ۱

از روی عمل تقسیم ثابت کنید که جملها ذیل بر لا+ ۱ بدون باقی تقسیم نمیشوند

(۷) لا۵ - ۱ (۸) لا۶ + ۱ (۹) لا۹ - ۱ (۱۰) لا۱۰ + ۱

(۱۱) لا۶ - ۱ (۱۲) لا۹ + ۱

در امثله ذیل خارج قسمت را بنویسید:-

(۱۳) لا۲ - ۱ بر لا- ۱ (۱۴) لا۳-ی۳ بر لا+ ی (۱۵) لا۴- ۱ بر لا-۱

(۱۶) لا۵+ی۵ بر لا+ ی (۱۷) لا۶ - ۱ بر لا - ۱ (۱۸) لا۶ - ی۶ بر لا+ی

(۱۹) لا۷ - ۱ بر لا - ۱ (۲۰) لا۷ + ی۷ بر لا+ ی

باب هشتم

مضروبات

۷۲ تعریفات

هر گاه یک جمله جبریه مساوی حاصل ضرب دو یا زیاده جمله جبریه باشد پس هر یکی
از جملهای دوم را مضروب جمله اول میگویند

تنبیه در اینجا بحث از جملهای منطق و صحیح کرده خواهد شد یعنی بحث از منقسم
جملها میشود که نه کسر داشته باشند و نه اشارت جذر و نیز مراد از مضروبات


۱۷۶

یک جمله مضروباتی صحیحه و منطقہ میباشند در باب ششم نیز کیفیت مضروبات
چیزی مذکور شده است اما درینجا بفصل ذکر آن نموده میشود
۷۳ چند صورت آسان در باب تفریق مضروبات
ہر جملہ جبریہ کہ ہر حد آن یک مضروب مشترک داشته باشد بآسانی بدو مضروب
تفریق میشود و یکی از مضروبات مذکور مفرد و دیگر مرکب میباشد مثلاً
(۱) ۱ لا + ۱ لا = ۱ لا (۱ + لا) (۲) ۲ آ ب ـ ۳ آب = آب (۲ آـ ۳ ب)
(۳) ۲۴ لا آ - ۴۰ لا آ + ۵۶ لا آ = ۸ لا آ ( ۳ لا - ۵ لا د + ۷ آ)
اسئله (۴۰)
جملہای ذیل را بمضروبات تفریق کنید :-
(۱) ۱ ب + ۱ ج (۲) اَ ب + اَ ب (۳) لا ی - ۲ لا ی
(۴) ۲ لا ی + ۴ لا ی - ۶ لا ی (۵) ۴ اَ ب - ۶ اَ ب - ۸ اَ ب
(۶) ۶ لا ی - ۵ آ لا ی + ۳ د لا (۷) ۳ لا ی - ۱۲ آ لا ی + ۲۱ لا ی ج
(۸) ۲۸ اَ ب - ۴۲ اَ ب (۹) ۷۲ لا ی - ۱۰۸ لا ی
(۱۰) ۳۹ اَ ب ج - ۶۵ ب ج آ - ۹۱ ج آ ب
۷۴ جملہای کہ شکل اَ - ب دارند
در فقره (۵۲) مضروبات جملہای قسم فوق مذکور گردیده درینجا چند
مثال دیگر نیز برای مشق طلبہ علم نوشته شده است :-


۱۷۷
امثله (۴۱)
جملهای ذیل را بمضروبات تفریق کنید:-
(۱) او۲ - ۱۶ب۲ (۲) ۴و۲ - ۲۵لا۲ (۳) ۳۶لا۲ - ۱ (۴) ۱۶لا۲ - ۱
(۵) ۱۶لا۲ - ۹لا (۶) ۱۶لا۲ - ۸۱لا (۷) ۱ - ۱۶ا۲ (۸) لا - ۸۱لا۲
(۹) ۳۶ - لا۲و۲ (۱۰) ۶۴و۲ - ۴۹لا۲ (۱۱) ۱۲۱ - م۲ (۱۲) ۴۹لا۲و۲ - ۱م۲
(۱۳) او۲ب۲ - ۲۵ج۲د۲ (۱۴) ۸۱لا۲ - ۶۴و۲ (۱۵) ط۲ق۲ - ۱۰۰ط۲
(۱۶) ۱۴۴لا۲ - ۲۵لا۲و۲ (۱۷) ۱۹۲و۲ - ۲۴۳و۲لا۲
(۱۸) ۴۹۸و۲لا۲ - ۱۲۸لا (۱۹) ۳۲۴ لا۲و۲ - ۴۸۴لا۲و۲
(۲۰) ۲۲۵م۲ن۲ - ۶۰۵م۲ن۲ (۲۱) (۱ + ۲ب)۲ - ۲۵ج۲
(۲۲) و۲ - (۳ب - ۵ج)۲ (۲۳) (لا + ی)۲ - (لا - ی)۲
(۲۴) (۱۳ + ۲لا)۲ - (۳و + لا)۲ (۲۵) ۴(۱ - ب)۲ - ۹(ج - د)۲
(۲۶) ۴۹لا۲ - (۵ی - ۳ء)۲ (۲۷) (۸لا + ۵)۲ - (۲لا - ۷)۲
(۲۸) (۱ + ب - ج)۲ - (۱ - ب + ج)۲
(۲۹) (۲و - ۳ب + ۴ج)۲ - (۱ + ۲ب - ۵ج)۲
(۳۰) ۶۴ (۱ + ۳لا - ۴ی)۲ - ۹ (۲و - لا + ۳ی)۲
(۳۱) (۴لا۲ - ۵ا۲)۲ - (۵لا۲ - ۴و۲)۲
(۳۲) (۵و۲ - ۱۳ + ۷)۲ - (۵و۲ - ۱۳ - ۷)۲
۷۵ جملها ئیکه بیک نظر بشکل ا۲ - ب۲ تبدیل شده نمیتوانند
امثله ذیل تشریح تبدیل فوق را خواهند کرد:-


۱۷۸
مثال ۱ آ۴ + ا۲ب۲ + ب۴ را بمضروبات تفریق کنید
آ۴ + ا۲ب۲ + ب۴ = (آ۴ + ۲ا۲ب۲ + ب۴) - ا۲ب۲
= (ا۲ + ب۲)۲ - (اب)۲
= { (ا۲ + ب۲) + (اب) } { (ا۲ + ب۲) - اب }
= (ا۲ + اب + ب۲) (ا۲ - اب + ب۲)
مثال ۲ لا۴ + ۴ را بمضروبات تفریق کنید
لا۴ + ۴ = (لا۴ + ۴لا۲ + ۴) - ۴لا۲
= (لا۲ + ۲)۲ - (۲لا)۲
= { (لا۲ + ۲) + ۲لا } { (لا۲ + ۲) - ۲لا }
= (لا۲ + ۲لا + ۲) (لا۲ - ۲لا + ۲)
مثال ۳ لا۴ - ۶لا۲ + ۱ را بمضروبات تفریق کنید
لا۴ - ۶لا۲ + ۱ = (لا۴ - ۲لا۲ + ۱) - ۴لا۲
= (لا۲ - ۱)۲ - (۲لا)۲
= { (لا۲ - ۱) + ۲لا } { (لا۲ - ۱) - ۲لا }
= (لا۲ + ۲لا - ۱) (لا۲ - ۲لا - ۱)
مثال ۴ آ۴ - ب۴ + ۲ب۲ج۲ - ج۴ را بمضروبات تفریق کنید
آ۴ - ب۴ + ۲ب۲ج۲ - ج۴ = آ۴ - (ب۴ - ۲ب۲ج۲ + ج۴)
= آ۴ - (ب۲ - ج۲)۲
= { آ۲ + (ب۲ - ج۲) } { آ۲ - (ب۲ - ج۲) }
= (آ۲ + ب۲ - ج۲) (آ۲ - ب۲ + ج۲)


۱۷۹
مثال ۳۵ (۱ ب + ج د) - ا - ب + ج + د را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = (ج۲ + ۲ ج د + د۲) - (ا۲ - ۲ ا ب + ب۲)
=(ج + د)۲ - (۱ - ب)۲
={(ج + د) + (۱ - ب)} {(ج + د) - (ا - ب)}
=(ج + د + ا - ب) (ج + د - ا + ب)
مسئله (۴۲)
جملهای ذیل را بمضروبات تفریق کنید:-
(۱) لا۲ + لا + ۱ (۲) لا۲ + لا + ۱ (۳) ا۲ + ۲ لا + لا۲
(۴) ا۲ + ۲ لا + لا۲ (۵) لا۲ + ۲ ۶ (۶) ۴ لا۲ + ۸۱
(۷) ۹ لا۲ + ۳۶ (۸) ا۲ + ۲ ا + ۹ (۹) لا۲ - ۷ لا + ۹
(۱۰) ۴ لا۲ + ۸ لا + ۹ (۱۱) ۴ لا۲ - ۱۶ لا + ۹ (۱۲) ۴ لا۲ + ۳ لا + ۶
(۱۳) ۴ ا۲ - ۷ ا + ۹ (۱۴) ۴ ا۲ + ۲۵ ۶ (۱۵) ۹ لا۲ + ۲۳ لا + ۱۶
(۱۶) ۹ ا۲ - ۲۵ ا + ۱۶ (۱۷) ۹ لا۲ - ۳۳ لا + ۱۶ (۱۸) ۹ ا۲ - ا + ۱۶
(۱۹) ۱۶ لا۲ + ۴ لا ا + ۲۵ ا۲ (۲۰) ۹ ا۲ - ۱۹ ا لا + ۲۵ لا۲ (۲۱) لا۲ + ۸ لا + ۱۴۴
(۲۲) ا۲ - ۳۵ ا ب + ۲۵ ب۲ (۲۳) ۳۶ ا۲ - ۱۶ ا ب + ب۲
(۲۴) ۴۹ م۲ + ۱۶ ن۲ - ۶۰ م ن (۲۵) ۶۴ ا۲ + ۸۱ لا۲
(۲۶) ۴ لا۴ + (۱۷)۲ (۲۷) لا۲ - ی۲ + ۲ ی ع - ع۲ (۲۸) ۴ ا۲ - ب۲ - وج + ۹ ب ج
(۲۹) ۹ لا۲ - ۴ ی۲ + ۱۲ ی ع - ۹ ع۲ (۳۰) ا۲ - ۴ ب۲ - ۲۵ ج۲ + ۲۰ ب ج
(۳۱) ۳۰ لا ع + ۱۶ ی۲ - ۹ لا۲ - ۲۵ ع۲ (۳۲) ا۲ + ۴ ب۲ - وج۲ - ۴ د۲ - ۴ ا ب + ۴ ج د
(۳۳) (لا۲ - ۲ لا ی) - (ع۲ - ۲ ی ع) (۳۴) ۴ لا - ۱ + ۹ ا۲ - ۲۵ ب۲ + ۱۲ لا و - ۱۰ ب


۱۸۰
(۳۵) ۹ لا ۶ - ۴ ی ۶ - ۴۹ ءُ - ۳۰ لا + ۲۸ ی ۶ + ۲۵
(۳۶) ۱۶ اُ - ۱۶ جُ - ۹ بٰ - ۲۴ اُ + ۲۴ ب ج + ۹
(۳۷) ۴۹ یُ + ۳۰ ء + لاً - ۱۲ الای - ۲۵ ءُ - ۴
(۳۸) ۱۶ الاً + ۲۴ ب ی - ۹ یُ + ۲۰ لا و - ۴۹ وُ + ۲۵ وُ
(۳۹) ۴۹ لاً - ۱ + ۱۶ یً - ۴ ءً ۱۶ + ۶۱ - ۵۶ لای
(۴۰) اً - بً جً + دً - ۲ (ا د - ب ج)
۷۶ جملہائیکہ شکل اٰ + بٰ یا اٰ - بٰ دارند
طریق معلوم کردن مضروبات اینچنین جملہآ در فقره ۵۵ و ۵۶ بیان شدہ است
درینجا چند سوال دشوار دیگر نوشته میشوند :-
مثال ۱ اٰ + بٰ را بمضروبات تفریق کنید
چون اٰ + بٰ = (ا + ب) (اُ - ا ب + بُ)
لہذا اُ + بُ = (اُ) + (بُ)
= (اُ + بُ) { (اُ) - (اُ) (بُ) + (بُ) }
= (اُ + بُ) { اً - اُ بُ + بً }
= (ا + ب) (اُ - ا ب + بُ) (اً - اُ بُ + بً)
مثال ۲ اٰ - لاٰ را بمضروبات تفریق کنید :-
چون اٰ - بٰ = (ا - ب) (اُ + ا ب + بُ)
لمحہ دا اُ - لاٰ = (اُ) - (لاً)
= (اُ - لاُ) { (اُ) + (اُ) (لاُ) + (لاُ) }
= (اُ - لاُ) (اً + اُ لاُ + لاً)
= (ا - لا) (اُ + ا لا + لاُ) (اً + اُ لاُ + لاً)


۱۸۱
مثال ۶۴لا۴-لاؤ را مضروبات تفریق کنید
۶۴لا۴-لاؤ=لا(۶۴لا۳-ؤ)
=لا{(۴لا)۳-(ؤ)۳}
=لا(۴لا-ؤ){(۴لا)۲+(۴لا)(ؤ)+(ؤ)۲}
=لا(۴لا-ؤ)(۱۶لا۲+۴لاؤ+ؤ۲)
=لا(۲لا+و)(۲لا-و){(۱۶لا۲+۸لاؤ+ؤ۲)-(۴لاؤ)}
=لا(۲لا+و)(۲لا-و){(۴لا+ؤ)۲-(۲لاو)۲}
=لا(۲لا+و)(۲لا-و)(۴لا+ؤ+۲لاو)(۴لا+ؤ-۲لاو)
بصورت دیگر
۶۴لا۴-لاؤ=لا(۶۴لا۳-ؤ)
=لا(۸لا-ؤ)(۸لا+ؤ)
=لا(۲لا-و)(۴لا۲+۲لاو+ؤ)(۲لا+و)(۴لا۲-۲لاو+ؤ)
=لا(۲لا-و)(۲لا+و)(۴لا۲+۲لاو+ؤ)(۴لا۲-۲لاو+ؤ)
مسئله (۴۳)
جملهای ذیل را مضروبات تفریق کنید :-
(۱) ۱-۸ ب۳ (۲) ژ-۱۲۴لا۳ (۳) ۵۱۲لا۹+۱ (۴) ژ-۵۱۲ ب۹
(۵) ۲۷+۱۲۵لا (۶) م۶-ن۶ (۷) ۳۴۳لا۳+۵۱۲ی۳ (۸) ۶۴لا۶-۱
(۹) ۱-۶۴لا۱۲ (۱۰) ۱۲۵لا۶-۲۱۶ (۱۱) ۶۴آ۳ ب+۳۴۳دت۳
(۱۲) ۷۲۹لائی۳-۶۴لا۳ی۶ (۱۳) (آ+ب)۳+۸آب۳
(۱۴) (۲لا-۳ی)۳+ی۳ (۱۵) (۲آ-ب)۳-ب۳


۱۸۲
۷۷ جملہائیکہ شکل لا۲ + ط لا + و دارند بیک نظر
بمضروبات تفریق شده میتوانند
چون لا۲ + (ا + ب) لا + اب = (لا + ا) (لا + ب)
لهذا ظاهر است که اگر مضروبات اینچنین جمله مطلوب باشد که شکل لا۲ + ط لا + و
دارد لازم است که اینچنین و مقدار ا و ب را معلوم کنید که ا + ب = ط
و اب = و باشد واین هر دو دائماً بیک نظر معلوم شده میتواند بشرط
اینکه او صحیح و منطق باشند برائے توضیح فقره مذکور فقره ۷ ملاحظہ
مثال ۱ لا۲ + ۱۷لا + ۳۰ را بمضروبات تفریق کنید :-
اول دو عدد را معلوم کنید که مجموع آنها = ۱۷ و حاصل ضرب آنها = ۳۰ باش
و دو عدد که حاصل ضرب آنها ۳۰ میباشد حسب ذیل هستند :-
(۱) ۱ و ۳۰ (۲) ۲ و ۱۵ (۳) ۳ و ۱۰ (۴) ۵ و ۶
از جمله این چهار قسم آن دو مضروب مطلوبست که حاصل جمع آنها ۱۷ باشد
لهذا دو مضروب مطلوب ۲ و ۱۵ میباشد :-
پس لا۲ + ۱۷لا + ۳۰ = (لا + ۲) (لا + ۱۵)
مثال ۲ لا۲ - ۱۱ لا + ۲۴ را بمضروبات تفریق کنید -
درین مثال آن عدد معلوم کرده شود که حاصل ضرب آنها ۲۴
و مجموع آنها - ۱۱ باشد پس ظاهر است که هر دو عدد منفی خواهند بود -


و چون دو عدد منفی که حاصل ضرب آنها ۲۴ میباشد حسب ذیل هستند
(۱) -۱ و -۲۴ (۲) -۲ و -۱۲ (۳) -۳ و -۸ (۴) -۴ و -۶
بنابرین از چهار قسم فوق آن دو مضروب گرفته شود که حاصل جمع آنها -۱۱ باشد
لهذا دو عدد مطلوب -۳ و -۸ است پس لا۲ -۱۱لا + ۲۴= (لا-۳) (لا-۸)
مثال ۳ لا۲+ ۶ لا - ۴۰ را بمضروبات تفریق کنید
درین مثال آن عدد را معلوم کنید که حاصل ضرب آنها -۴۰ و مجموع آنها + ۶ باشد
و چون آن دو عدد که حاصل ضرب آنها -۴۰ میباشد بقرار ذیل میباشند
(۱) ۱ و -۴۰ (۲) -۱ و ۴۰ (۳) ۲ و -۲۰ (۴) -۲ و ۲۰
(۵) ۴ و -۱۰ (۶) -۴ و ۱۰ (۷) ۵ و -۸ (۸) -۵ و ۸
بنابرین از هشت قسم فوق آن دو عدد مطلوبست که مجموع آنها + ۶ باشد
لا ۲+۶لا -۴۰=(لا -۴) (لا+۱۰)
تنبیه چون مجموع دو عدد مطلوب مثبت است ظاهر است که عدد مثبت
از عدد منفی زیاده تر خواهد بود لهذا قسم اول و سوم و پنجم و هفتم سایا نظر ترک میشوند
مثال ۴ لا۲ - ۵ لا - ۳۶ را بمضروبات تفریق کنید
درین مثال آن دو عدد را دریافت کنید که حاصل ضرب آنها -۳۶ و مجموع آنها
-۵ باشد پس ظاهر است که اعداد مطلوب مختلف الاشاره و عدد منفی
از عدد مثبت زیاده تر خواهد بود-


۱۸۴

پس دو عدد مطلوب یکی از اقسام ذیل میباشند :-
(۱) ۱ و - ۳۶ (۲) ۲ و - ۱۸ (۳) ۳ و - ۱۲ (۴) ۴ و - ۹
از اقسام فوق آن دو عدد مطلوبست که مجموع آنها - ۵ باشد لہذا دو عدد مطلوب
۴ و - ۹ است پس لا۲ - ۵ لا - ۳۶ = (لا + ۴) (لا - ۹)
مثال ۵ ا۲ + ۷ اب + ۱۲ ب۲ را بمضروبات تفریق کنید
ظاهر است که مضروبات مطلوب ا + ط ب وا + ق ب میباشند بشرط
اینکه ط + ق = ۷ و ط ق = ۱۲ پس بقرار امثله فوق ۳ و ۴ انچنین
اعداد میباشند که مجموع آنها ۷ است و حاصل ضرب آنها ۱۲
لہذا ا۲ + ۷ ا ب + ۱۲ ب۲ = (ا + ۳ ب) (ا + ۴ ب)
مثال ۶ م۲ - ۱۳ م ن + ۲۰ ن۲ را بمضروبات تفریق کنید
آن دو عدد را معلوم کنید که مجموع آنها = - ۱۳ و حاصل ضرب آنها ۲۰ باشد
پس حسب دلائل امثله فوق - ۱۰ و - ۳ اعداد مطلوب هستند
لہذا م۲ - ۱۳ م ن + ۲۰ ن۲ = (م - ۱۰ ن) (م - ۳ ن)
مثال ۷ ا۴ - ا۲ - ۱۲ را بمضروبات تفریق کنید -
فرض کنید که لا = ا۲ :. جمله فوق = لا۲ - لا - ۱۲
پس ظاهر است که (لا۲ - لا - ۱۲) = (لا - ۴) (لا + ۳)
ا۴ - ا۲ - ۱۲ = (ا۲ - ۴) (ا۲ + ۳)
= (ا + ۲) (ا - ۲) (ا۲ + ۳)


۱۸۵

مثال ۸ (لا ۲ + ۳ لا) ۲ - ۳ (لا ۲ + ۳ لا) - ۱۸ را بمضروبات تفریق کنید
فرض کنید که ا = لا ۲ + ۳ لا :. جمله فوق = ا ۲ - ۳ ا - ۱۸
و نیز ظاهر است که ا ۲ - ۳ ا - ۱۸ = (ا - ۶) (ا + ۳)
لهذا جمله مفروضه = { (لا ۲ + ۳ لا) - ۶ } { (لا ۲ + ۳ لا) + ۳ }
= (لا ۲ + ۳ لا - ۶) (لا ۲ + ۳ لا + ۳)

مثال ۹ (۱۵ + ب) ۲ + ۵ (۱۵ + ب) (ا + ۲ ب) - ۲۰ (ا + ۲ ب) ۲ را بمضروبات تفریق کنید
فرض کنید که لا = ۱۵ + ب و ی = ا + ۲ ب :. جمله فوق = لا ۲ + ۵ لا ی - ۲۰ ی ۲
لیکن ظاهر است که لا ۲ + ۵ لا ی - ۲۰ ی ۲ = (لا + ۵ ی) (لا - ۴ ی)
لهذا جمله مفروضه = { (۱۵ + ب) + ۵ (ا + ۲ ب) } { (۱۵ + ب)
- ۴ (ا + ۲ ب) }
= (۱۱ ا + ۱۱ ب) (ا - ۷ ب)

مثال ۱۰ ۸ لا ۲ + ۲ لا - ۳ را بمضروبات تفریق کنید :-
۸ لا ۲ + ۲ لا - ۳ = ۱/۸ (۸ × ۸ لا ۲ + ۲ × ۸ لا - ۳ × ۸)
= ۱/۸ (ا ۲ + ۲ ا - ۲۴) (بشرط اینکه ا = ۸ لا)
و چون (ا ۲ + ۲ ا - ۲۴) = (ا + ۶) (ا - ۴)
لهذا جمله مفروضه = ۱/۸ (ا + ۶) (ا - ۴)
= ۱/۸ (۸ لا + ۶) (۸ لا - ۴)
= ۱/۸ { ۲ (۴ لا + ۳) × ۴ (۲ لا - ۱) }
= (۴ لا + ۳) (۲ لا - ۱)


١٨٦

مثال ١٢لا٢ + ٧لا - ١٠ را بمضروبات تفریق کنید -
١٢ لا٢ + ٧لا - ١٠ = ١/١٢ (١٢ × ١٢لا٢ + ٧× ١٢لا - ١٠ × ١٢)
= ١/١٢ (لا١ ٢ + ٧لا١ - ١٢٠) (بشرط اینکه لا١ = ١٢لا)
و چون لا١ ٢ + ٧لا١ - ١٢٠ = (لا١ + ١٥) (لا١ - ٨)
لہٰذا جملہ مفروضہ = ١/١٢ (١٢لا + ١٥) (١٢لا - ٨)
= ١/١٢ { ٣ (٤لا + ٥) × ٤ (٣لا - ٢)}
= (٤لا + ٥) (٣لا - ٢)
مسئله (٤٢)
جملہای ذیل را بمضروبات تفریق کنید :-
(١) لا٢ + ٤لا + ٣ (٢) لا٢ + ٥لا + ٦ (٣) لا٢ + ٧لا + ١٢
(٤) لا٢ + ٩لا + ٢٠ (٥) لا٢ + ٩لا + ١٨ (٦) لا٢ + ١١لا + ٢٨
(٧) لا٢ - ١٠لا + ٢٤ (٨) لا٢ - ٨لا + ١٥ (٩) لا٢ - ١١لا + ٣٠
(١٠) لا٢ - ١٢لا + ٣٢ (١١) لا٢ - ١٢لا + ٢٤ (١٢) لا٢ - ٢٢لا + ٤٠
(١٣) لا٢ + ٧لا - ٣٠ (١٤) لا٢ + ٢لا - ٤٨ (١٥) لا٢ + ١٦لا - ٣٦
(١٦) لا٢ + ٩لا - ٣٦ (١٧) لا٢ + ١١لا - ٤٢ (١٨) لا٢ + ٤لا - ٧٢
(١٩) لا٢ - ٣لا - ٤٠ (٢٠) لا٢ - ١١لا - ٨٠ (٢١) لا٢ - ٢٩لا - ٩٦
(٢٢) لا٢ - ١٠لا - ٥٦ (٢٣) لا٢ - لا - ٤٢ (٢٤) لا٢ - لا - ٧٢
(٢٥) لا٢ + ٢٢لا + ١٢٠ (٢٦) لا٢ + ١٦لا - ٨٠ (٢٧) لا٢ - ٢١لا - ٧٢
(٢٨) لا٢ + ٥لا - ٨٤ (٢٩) لا٢ - ٢٠لا + ٩٦ (٣٠) لا٢ + ٢٣لا - ٧٨


۱۸۷

(۳۱) لا - ۶ لا - ۷۲ (۳۲) لا - ۲۵ لا + ۱۴ (۳۳) لا - ۲۶ لا + ۸۸
(۳۴) لا + ۷ لا - ۱۲۰ (۳۵) لا - ۲ لا - ۸۰ (۳۶) لا + ۸ لا - ۸۴
(۳۷) و - ۱ - ۵۶ (۳۸) م - ۹ م - ۹۰ (۳۹) و + ۱۱ و - ۶۰
(۴۰) و - ۱۱ و + ۵۴ (۴۱) ط - ۲۲ ط - ۴۸ (۴۲) م + م - ۷۲
(۴۳) م + ۲۷ م - ۹۰ (۴۴) و - ۲۹ و + ۱۲۰ (۴۵) لا + ۷ لا - ۷۸
(۴۶) و - ۴۹ و - ۱۰۲ (۴۷) و - ۱۹ و + ۶۰ (۴۸) لا + ۱۲ لا - ۶۴
(۴۹) لا - ۴۶ و - ۱۲۰ (۵۰) لا + ۸ لا - ۱۰۵ (۵۱) لا - ۷ ی - ۴۲ ی
(۵۲) و - ۱۲ ا ب + ۳۲ ب (۵۳) م + م ن - ۳۰ ن (۵۴) و + ا ب - ۱۲ ا ب
(۵۵) و - ۲ ا ب - ۱۵ ا ب (۵۶) لا - ۷ لا ی - ۸ ی (۵۷) لا + ۳ لا ی - ۴۰ ی
(۵۸) ط - ۴ ا ط ق + ۴۸ ق (۵۹) ط + ۲ ط ق - ۸۰ ق (۶۰) لا + ۲۰ لا ی - ۹۶ ی
(۶۱) و + ۴ و - ۵ (۶۲) لا + ۲ لا - ۱۵ (۶۳) لا + ۳ لا - ۲۸
(۶۴) لا + ۲ لا - ۳ (۶۵) و - ۱۰ و + ۱۶ (۶۶) لا + ۳۶ لا - ۲۷
(۶۷) و + ۷ و - ۸ (۶۸) لا - ۲۰ لا + ۶۴ (۶۹) و - ۱۱ و - ۸۰
(۷۰) لا - ۷ لا - ۸ (۷۱) ( و + ۲ ) - ( و + ۲ ) - ۲
(۷۲) ( لا + ۳ لا ) + ۳ ( لا + ۳ لا ) + ۲ (۷۳) ( لا - ۲ لا ) - ۲ ( لا - ۲ لا ) - ۳
(۷۴) ( و - ۳ و ) - ۳ ( و - ۳ و ) - ۴ (۷۵) ( لا - ۴ لا ) - ۴ ( لا - ۴ لا ) - ۵
(۷۶) ( لا - لا ) - ۸ ( لا - لا ) + ۱۲ (۷۷) ( لا - ۵ لا ) + ۱۰ ( لا - ۵ لا ) + ۲۴
(۷۸) ( و + ۷ و ) - ۸ ( و + ۷ و ) - ۱۸۰ (۷۹) ( و + ۶ و ) - ۳۲ ( و + ۶ و ) - ۳۲۰


۱۸۸
(۸۰) (لا- ۸ لا) - ۲۹ (لا - ۸ لا) + ۱۸۰
(۸۱) (۳لا + ۲ی) + (۳ لا + ۲ ی) (لا + ۲ ی) - ۲ (لا + ۲ی)۲
(۸۲) (۲ ا - ۵ ب)۲ + ۲ (۲ ا - ۵ ب) (ا + ۲ ب) - ۳ (ا + ۲ ب)۲
(۸۳) (۴ م - ۳ ن)۲ + ۳ (۴ م - ۳ ن) (م + ۵ ن) - ۴ (م + ۵ ن)۲
(۸۴) (۵ ا + ۳ ب)۲ + ۴ (۵ ا + ۳ ب) (ا + ب) - ۵ (ا + ب)۲
(۸۵) (۵ لا + ۷ ی)۲ - ۲ (۵ لا + ۷ ی) (لا - ی) - ۸ (لا - ی)۲
(۸۶) (۷ ا + ۳ ب)۲ - ۳ (۷ ا + ۳ ب) (ا - ۴ ب) - ۱۰ (ا - ۴ ب)۲
(۸۷) (۱۹ - ۴ ب)۲ - ۵ (۱۹ - ۴ ب) (ا - ۳ ب) - ۶ (ا - ۳ ب)۲
(۸۸) (۲م۲ + ۳ ن)۲ + ۵ (۲م۲ + ۳ن) (م۲ - ۲ ن) - ۱۴ (م۲ - ۲ن)۲
(۸۹) (لا۲ + ۶ لا ی)۲ - ۳ (لا۲ + ۶ لای) (لای - ۶ ی۲) + ۲ (لا ی - ۶ی۲)۲
(۹۰) (ا۲ - ۵ ا ب)۲ - ۹ (ا۲ - ۵ ا ب) (ا ب - ۴ ب۲) + ۸ (ا ب - ۴ ب۲)۲
(۹۱) ۲ لا۲ - لا - ۱۵    (۹۲) ۶ ا۲ - ا - ۱۵   (۹۳) ۸ م۲ - ۶ م - ۹
(۹۴) ۶ لا۲ + ۷ لای - ۲۴ ی۲ (۹۵) ۱۰ ا۲ - ۴۱ ا وب + ۲۱ ب۲ (۹۶) ۱۲ م۲ - م ن - ۲۰ ن۲
(۹۷) ۱۲ لا۲ + ۲۸ لای - ۵ ی۲   (۹۸) ۲۰ ا۲ + ا ب - ۳۰ ب۲
(۹۹) ۸ لا۲ - ۵۱ لای + ۳۵ ی۲ (۱۰۰) ۳ لا۲ + ۲۳ لای - ۴۴ ی۲
۷۸ طریق دریافت نمودن مضروبات جمله لا۲+ط لا+ق
بقاعده تفاضل دو مربع تام
توضیح مثال فوق بقرار ذیل است:-


۱۸۹
مثال ۱ لا۲-۷ لا + ۱۲ را بمضروبات تفریق کنید:-
لا۲-۷ لا +۱۲=لا۲-۷ لا+ (۷/۲)۲-(۷/۲)۲+۱۲[ازجمع و تفریق(۷/۲)۲]
= {لا-۷/۲}۲-(۴۹/۴ - ۱۲)
= (لا-۷/۲)۲-۱/۴
= {(لا-۷/۲)+۱/۲} {(لا-۷/۲)-۱/۲}
= (لا-۳)(لا-۴)
تنبیه باید دانست که برای حصول مربع تام بالا ۷/۲ لا۲مربع نصف۷
(یعنے نصف امثال لا) جمع شده است- و این قاعده عمومی میباشد
که اگر بالا ۲÷۱ لا مربع ۱ جمع شود جمله مذکور مربع تام میگردد-
مثال ۲ لا۲+۲ لای-۸ ی۲-۴ ء۲+۱۲ ی ء را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = (لا+۲ لای+ی۲)-(۹ ی۲+۴ ء۲-۱۲ ی ء)
= (لا+ی)۲-(۳ی-۲ء)۲
= {(لا+ی)+(۳ی-۲ء)}{(لا+ی)-(۳ی-۲ء)}
=(لا+۴ی-۲ء)(لا-۲ی+۲ء)
مثال ۳ ۳ لا۲+۱۱لا-۴ را بمضروبات تفریق کنید:-
۳ لا۲+۱۱لا-۴ = ۳(لا۲+۱۱/۳ لا-۴/۳)
= ۳{(لا+۱۱/۶)۲-(۱۱/۶)۲-۴/۳}
= ۳{(لا+۱۱/۶)۲-(۱۲۱/۳۶+۴/۳)}


۱۹۰

۳{ (لا+ ۱۱/۶)۲ - ۱۶۹/۳۶ } =
۳{ (لا+ ۱۱/۶) + ۱۳/۶ } { ۱۳/۶ - (لا+ ۱۱/۶) } =
=۳ (لا+ ۲۴/۶) ( -لا+ ۲/۶) = (لا+۴) (۳لا-۱)
مثال ۴ ۸لا۲ -۱۰لا+۳ را بمضروبات تفریق کنید
۸{لا۲ -۱۰/۸لا+ ۳/۸} = ۸لا۲ -۱۰لا+۳
=۸{لا۲ -۱۰/۸لا+ (۵/۸)۲ - (۵/۸)۲ + ۳/۸ }
=۸{ (لا- ۵/۸)۲ - (۲۵/۶۴ - ۳/۸) }
=۸{ (لا- ۵/۸)۲ - (۱/۸)۲ }
=۸{ (لا- ۵/۸) + ۱/۸ } { (لا- ۵/۸) - ۱/۸ }
=۸{ (لا- ۴/۸) (لا- ۶/۸) }
=(۲لا-۱) (۴لا-۳)
مثال ۵ ۲ ا۲ + ۵ ا ب - ۱۲ ب۲ را بمضروبات تفریق کنید
۲ ا۲ + ۵ ا ب - ۱۲ ب۲ = ۲(ا۲ + ۵/۲ ا ب - ۶ ب۲)
=۲{ا۲ + ۵/۲ ا ب + (۵/۴ ب)۲ - (۲۵/۱۶ ب۲ + ۶ ب۲)}
=۲{ (ا+ ۵/۴ ب)۲ - ۱۲۱/۱۶ ب۲ }
=۲{ (ا+ ۵/۴ ب) + ۱۱/۴ ب } { (ا+ ۵/۴ ب) - ۱۱/۴ ب }
=۲(ا+ ۱۶/۴ ب) (ا- ۶/۴ ب)
=(ا+ ۴ب) (۲ا- ۳ب)


۱۹۱

مثال ۶ ولاّ+ (اّ+۱) لا+ ۱ را مضروبات تفریق کنید

{ولاّ+ (اّ+۱)لا+۱= ولاّ+ اّ+۱/و لا+۱

= {ولاّ+ اّ+۱/و لا+ (اّ+۱/۲و)٢} - (۱- ۱+اّ٢+اّ٢/۴و٢)}

={ولاّ+ اّ+۱/۲و}٢- ۱+اّ٢-اّ٢/۴و٢}

= {ولاّ+ اّ+۱/۲و+ ۱-اّ/۲و}{ولاّ+ اّ+۱/۲و - ۱-اّ/۲و}

= {ولا+۱}{ولا+اّ/و}

= (لا+۱)(ولا+اّ)

و بطرق فوق نیز ثابت شده میتواند که

ولاّ- (اّ+۱)لا+اّ= (ولا-۱)(لا-اّ)

و ولاّ+(اّ-۱)لا-اّ= (ولا+۱)(لا-اّ)

و ولاّ-(اّ-۱)لا-اّ= (ولا-۱)(لا+اّ)

مثال ۷ ۴(لا٢+٣لا+۵)٢+۱۷(لا٢+٣لا+۵)(لا٢+۶لا)+۴(لا٢+۶لا)٢ را

بمضروبات تفریق کنید

فرض کنید که ا=لا٢+٣لا+۵ وب=لا٢+۶لا

پس جمله مفروضه= ۴ا٢+۱۷اب+۴ب٢

وچون ۴ا٢+۱۷اب+۴ب٢= (ا+۴ب)(۴ا+ب) از قرار قاعده فوق

لهذا جمله مفروضه= {(لا٢+٣لا+۵)+۴(لا٢+۶لا)}{۴(لا٢+٣لا+۵)+(لا٢+۶لا)}

= (۵لا٢+٣۶لا+۵)(۵لا٢+۱۲لا+۲۰)

= (۵لا+۱)(لا+۵)۵(لا٢+۱۲لا+۲۰)


۱۹۲

مسئله (۲۵)
بموجب قاعده مقرره فوق جمله‌های ذیل را بمضروبات تفریق کنید

(۱) لا٢+٤لا+٣
(٢) لا٢+٦لا+٥
(۳) لا٢+٨لا+١٥
(٤) لا٢-١٠لا+٢١
(٥) لا٢-١٢لا-٢٨
(٦) لا٢-٢لا-٢٥
(۷) لا٢-١٢لا+٣٢
(٨) لا٢-١٦لا-٥٥
(۹) ا٢+٢اب+ب٢+٢ب ج
(١٠) لا٢+٢لا-ی٢+٢ی
(١١) لا٢+٦لا-ی٢+٤ی+٥
(۱۲) ا٢+٤اب-٥ب٢ ج٢+٦ب ج (۱۳) لا٢-٦لای+٥ی٢-ع٢+٤ی ع
(١٤) لا٢-١٠لای+١٦ی٢-ع٢+١٢ی ع (١٥) ا٢-١٢اب-٣اب٢-و٢ ج+٢٤ب ج
(١٦) لا٢+١٢لای-٩ع٢+٣٦ی ع (۱۷) لا٢-١٤لای-١٥ی٢-٢٥ع٢+٨٠ع
(١٨) ٢لا٢-٥لا-٣
(١٩) ٣لا٢-٥لا-٢
(٢٠) ٣لا٢+١٢لا+٨
(٢١) ٤لا٢+٧لا-٢
(٢٢) ٦لا٢+لا-٢
(٢٣) ٦لا٢-٥لا-٤
(٢٤) ٦لا٢+٧لا-٣
(٢٥) ٨لا٢+١٢لا-١٥
(٢٦) ٤لا٢+٢لا-٣٥
(٢٧) ٦لا٢-لا-١٢
(٢٨) ٣لا٢-١٦لا-١٢
(٢٩) ٢لا٢-٩لا-٣٥
(٣٠) ٢لا٢+٥لا-٤٢
(٣١) ٣لا٢+١٣لا-٣٠
(٣٢) ١٢لا٢+لا-٦
(٣٣) ٢ا٢+٧اب-١٥ب٢ (٣٤) ٦لا٢-١٣لای+٦ی٢ (٣٥) ٦م٢-١١من-١٠ن٢
(٣٦) ٣ط٢+٥ط ق-١٢ق٢ (٣٧) ٨ا٢-١٢اب-١٥ب٢ (٣٨) ١٠م٢+١١من-٦ن٢
(٣٩) ١٢لا٢+١٣لای-٤ی٢ (٤٠) ١٥ا٢-١١اب-١٢ب٢ (٤١) ٢ا٢-٥اب+٢ب٢
(٤٢) ٣ا٢-٨اب-٣ب٢ (٤٣) ٣لا٢+٨لای-٣ی٢ (٤٤) ٤لا٢+١١لا-٤
(٤٥) ٤ا٢-٧اب+٢ب٢
(٤٦) ٥لا٢-٢٢لا-٥


۱۹۳
(۴۷) ۵لآ - ۲۶ لای + ۵ی۲ (۴۸) ۶لا۲ + ۷لا + ۶ (۴۹) ۲ و۲ + ۳۵ وب - ۶ب۲
(۵۰) ۶ و۲ - ۳۵ وب - ۶ب۲ (۵۱) ۷ و۲ - ۵۰ وب + ۷ب۲ (۵۲) ۷ و۲ + ۴۸ وب - ۷ب۲
(۵۳) ۷ و۲ - ۴۸ وب - ۷ب۲ (۵۴) ۸لا۲ + ۶۳ لای - ۸ی۲ (۵۵) ۹لآ - ۸۲ لای + ۹ی۲
(۵۶) ۱۰لآ + ۹۹ لای - ۱۰ی۲ (۵۷) ۲ (و + ب)۲ + ۳ (و + ب) - ۲
(۵۸) ۴ (لآ + ی۲)۲ - ۳ لای (لآ + ی۲) - ۲لآ ی۲
(۵۹) ۲ (و + ب۲)۲ + ۵ وب (و + ب۲) + ۲ و۲ب۲
(۶۰) ۴ (لآ - ۴ لای + ی۲)۲ + ۵ الای (لآ - ۴ لای + ی۲) - ۴لآ ی۲
(۶۱) ۲ لآ - ۵لآ - ۱۲ (۶۲) ۸ و۲ - ۱۴ و ب - ۹ ب۲ (۶۳) ۹ و۲ + ۴ و ب - ۳۲ ب۲
(۶۴) ۸ لآ - ۶۵ لآ + ۸ (۶۵) ۴ و۲ - ۷ و ب + ۴ب۲
۷۹ طریق معلوم نمودن مضروبات جملهای جبرّیه
بقرار ترتیب حدود
مضروبات بعض جملها بذریعهٔ ترتیب حدود معلوم میشود که برای معلوم نمودن
مضروبات جملهای دیگر قاعده معینه نمیباشد -
لهٰذا چند مثال برائی افاده طلبه نوشته شدند تا در معلوم کردن مضروبات جملها
برائی ایشان سهولت حاصل شود مگر تعیین قاعده مقرره درینجای نشواند
مثال ۱ (۳لآ - ۴ب۲) و + (۳و۲ - ۴لآ) ب را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = ۳لآ و - ۴ب۲ و + ۳ و۲ ب - ۴لآ ب
= (۳لآ و + ۳و۲ب) - (۴ب۲ و + ۴لآب)
= ۳و(لآ + وب) - ۴ب(وب + لآ)
= (لآ + وب) (۳و - ۴ب)


۱۹۴
مثال ۳ لآ + لآی ـ ی ع ـ ع را مضروبات تفریق کنید
حد چهارم با حد اول و حد دوم با حد سوم گرفته شود ـ
لهذا لآ+ لآی ـ ی ع ـ ع = (لآ ـ ع) + (لآی ـ ی ع)
= (لآ+ ع)(لآ ـ ع) + ی(لآ ـ ع)
= (لآ ـ ع) {لآ + ع + ی}
= (لا + ع)(لا ـ ع) {لآ + ع + ی}
مثال ۳ لآ + ۷ لآ ـ ۲۱لا ـ ۲۷ را مضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = (لآ ـ ۲۷) + (۷ لآ ـ ۲۱لا)
= (لا ـ ۳)(لآ+۳لا+۹) + ۷لا(لا ـ ۳)
= (لا ـ ۳) {لآ+۳لا+۹+۷لا}
= (لا ـ ۳) {لآ+۱۰لا+۹}
= (لا ـ ۳)(لا + ۱)(لا + ۹)
مثال ۴ ۴آ + ۱۲ ا ب + ۹ب ـ ۸ و ـ ۱۲ ا ب را مضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = (۴ لآ+ ۱۲ ا ب + ۹ب) ـ (۸ و + ۱۲ ا ب)
= (۲ا + ۳ب) ـ ۴(۲ا + ۳ب)
= (۲ا + ۳ب) { (۲ا + ۳ب) ـ ۴}
= (۲ا + ۳ب) (۲ا + ۳ب ـ ۴)
مثال ۵ ۲ و ـ ۲ ب ج + ۶ب + ا ج ـ ۷ ا ب را مضروبات تفریق کنید
ظاهر است که حد اول سوم و پنجم بلحاظ ا و ب حد و درجه دوم میباشند دوم و چهارم
بلحاظ حروف مذکور حد و درجه اول لهذا اگر سه حد اول را یکجا و دو حد دوم را یکجا بنویسیم


۱۹۵
جمله مفروضه = (۳آ - ۷ ا ب + ۶ ب۲) + ج ( ا - ۲ ب)
= ( ا - ۲ ب) (۳آ - ۳ ب) + ج (ا - ۲ ب)
= (ا - ۲ ب) (۳آ - ۳ ب + ج)
مثال ۶ لا۲ - ی۲ - ۶۲ + ۲ ی ۶ + لا + ی - ۶ را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = ( لا۲ - ی۲ - ۶۲ + ۲ ی ۶) + (لا + ی - ۶)
= { لا۲ - (ی - ۶)۲} + (لا + ی - ۶)
= (لا + ی - ۶) (لا - ی + ۶) + (لا + ی - ۶)
= (لا + ی - ۶) {لا - ی + ۶ + ۱}
مثال ۷ اُلا۲ + اُ - ۲ ا ب لا۲ + ب۲ لا۲ + آب۲ - ۲ آ ب را بمضروبات تفریق کنید
ظاهر است که در حداًول مع سوم و چهارم لا و در حدو باقیمانده اُ مشترک میباشد
لهذا جمله مفروضه = ( اُلا۲ - ۲ ا ب لا۲ + ب۲ لا۲) + ( اُ + اُ ب۲ - ۲ اُ ب)
= لا۲ ( اُ - ۲ ا ب + ب۲) + اُ (۱ + ب۲ - ۲ ا ب)
= (اُ - ۲ ا ب + ب۲) (لا۲ + اُ)
= (۱ - ب)۲ (لا + اُ) (لا۲ - لا اُ + اُ۲)
مثال ۸ (ا + ب + ج) (ا ب + ب ج + ج ا) - ا ب ج را بمضروبات تفریق کنید
جملهای داخل خطوط قوسی را بقرار قولی ا ترتیب بدهید -
لهذا جمله مفروضه = {ا + (ب + ج)} {ا (ب + ج) + ب ج} - ا ب ج
= اُ (ب + ج) + اُ (ب + ج)۲ + ب ج (ب + ج)
= (ب + ج) {ا۲ + ا (ب + ج) + ب ج} = (ب + ج) (ا + ب) (ا + ج)


۱۹۶

مثال ۹ آ (ب-ج) + ب۲ (ج-ا) + ج۲ (ا-ب) را بمضروبات تفریق کنید
آ (ب-ج) + ب (ج-ا) + ج۲ (ا-ب)
= آ (ب-ج) + (ا-ب+ج) + ب ج (ب-ج)  (ترتیب جمیع بلحاظ قوا آ)
= (ب-ج) {آ۲ - ا (ب+ب ج+ج۲) + ب ج (ب+ج)}
= (ب-ج) {-ب۲ (ا-ج) - ب ج (ا-ج) + ا (ا-ج۲)} .... (ترتیب جمیع بلحاظ قوا ب
= (ب-ج) (ا-ج) {-ب۲ - ب ج + ا (ا+ج)}
= (ب-ج) (ا-ج) {ج (ا-ب) + (ا۲-ب۲)} .... (ترتیب جمیع بلحاظ قوا ج
= (ب-ج) (ا-ج) (ا-ب) (ج+ا+ب)
تنبیه باید دانست که
(۱) بمجرد ترتیب دو جمله بلحاظ قوی آ یک مضروب ب-ج فورا ظاهر میشود
(۲) بمجرد ترتیب جزء آن جمله که در خطوط قوسی کلانست مضروب دیگر ا-ج ظاهر میشود
(۳) بمجرد ترتیب دو جمله که در خطوط قوسی کلان باقی میماند یک مضروب دیگر یعنی ا-ب ظاهر میشود
و در جمله مفروضه ترتیب حروف ا و ب و ج هم ملاحظه شود چنانچه ظاهر است
که اگر حد اول یعنی ا و ب و ج را بحروف ب و ج و ا تبدیل دهیم حد دوم پیدا میشود
و همچنین اگر حروف جمله دوم یعنی ب ج ا را بحروف ج ا ب تبدیل دهیم حد سوم پیدا میشود
لهذا این ترتیب حروف را ترتیب مدور میگویند.


۱۹۷
مسئله (٤٦)
جملهائی ذیل را مضروبات تفریق کنید:-
(١) لا۲ + لا۳ + لا + ١ (٢) لا۲ + لا۲ - لا - ١ (٣) لا۲ - لا۲ - لا + ١
(٤) ب ج (آ + ١) + (ا ب۲ + ج) (٥) لا۲ - ا ب۲ + لا ب۲ - لا ۱
(٦) ا ب (لا۲ + ی۲) + لا ی (آ۲ + ب۲) (٧) لا۲ + لا ی - ی ۶ - ع۲
(٨) لا ب - ا رج - لا رج + ا ب (٩) (۲ آ۲ + ٣ ب۲) ا - (۲ آ + ٣ لا۲) ب
(١٠) ا (ا + رج) - ب (ب + ج) (١١) ۴ آ۲ + ٨ ا رج - ١٢ ب ج - ٩ ب۲
(١٢) و لا۲ + لا ج لا ۶ - ب ی - ب ج ی ۶ (١٣) لا۲ - ی۲ ۶ + ی لا۲ - ی۲ ۶
(١٤) ١٦ لا۲ - ١٥ ا ب + ١٢ ب لا - ٢٥ ا۲ (١٥) آ (ا + ٢ ب) + ب۲ (۲ ا + ب)
(١٦) م۲ - ٢ م۲ ن + ٢ م ن۲ - ن۲ (١٧) آ۲ + ٣ آ ب - ٢ ا ب۲ - ب۲
(١٨) لا (لا - ٣ ی) + ی (٣ لا - ی) (١٩) آ۲ + ٥ آ + ١٠ ا + ٨
(٢٠) لا۲ - ٧ ا لا۲ + ٨٥ لا - ١٢٥ (٢١) ٨ آ۲ + ١٨ آ ب - ٢٧ ا ب۲ - ٢٧ ب۲
(٢٢) لا۲ - ٣ لا ی + ی۲ - لا + ی (٢٣) ۴ آ - ٤ ا ب + ب۲ - ١٦ + ٣ ب
(٢٤) لا۲ - ٢ ولا + ٣ آ لا۲ - ٢ ولا + آ (٢٥) آ - ٣ آ ب + ٤ آ ب۲ - ٦ ا ب۲ + ٤ ب۲
(٢٦) آ۲ + ٣ ا ب + ٢ ب۲ + لا ج + ٢ ب ج (٢٧) لا۲ - ٤ لا ی + ٣ ی۲ + لا ۶ - ٣ ی ۶
(٢٨) م۲ + ٢ ط م - ٥ م ن - ٤ ط ن + ٦ ن (٢٩) آ - ١٠ ا ب - ٥ ا ب ج + ٢١ ب۲ + ٥ ا ج
(٣٠) ٢ لا۲ + ٤ لا (٤ ب - ٣ لا) + لا (٤ ب + ٥ لا) (٣١) ا۲ - ٣ ا (٣ ب - ١) + ٤ ب۲ (٢ ب - ٣)
(٣٢) ٣ لا (لا + ٢) - ٣ ی (٤ لا - ١) - ٣ ی (٣٣) آ - ب۲ - ج۲ - ٢ ب ج + ا - ب + ج
(٣٤) لا۲ - ٤ ی۲ - ٩ ۶۲ + ١٢ ی ۶ + ٤ لا - ٨ ی + ١٢ ۶


۱۹۸
(۳۵) ۹ لا ۳- ۴ ع ۲ - ۲۲ لا ی + ۱۶ ی ۲ + ۲۰ ی - ۵ الا + ۱۰ء
(۳۶) ۲ آلا - ۵ آلا + ۳ آ - ۲ ب لا + ۵ آ ب لا - ۳ آ ب
(۳۷) ۲ لا ۲ + (۲ آ - ۳ ب) لا - (۲ ب + ۳ آ ب) لا + ۳ ب ۲
(۳۸) (آ + ب) لا - آ ب (۲ آ + ب) + ۱ (۲ ب لا - آ)
(۳۹) آ (ب + ج) + ب ۲ (ج - ۱) + ج ۲ (۱ - ب)
(۴۰) آ (ب + ج) + ب ۲ (ج + ۱) + ج ۲ (۱ + ب) + ۲ ا ب ج
(۴۱) آ ۲ (ب + ج) + ب ۲ (ج - آ) + ج ۲ (آ - ب ۲)
(۴۲) آ ۲ (ب + ج) + ب ۲ (ج - ۱) + ج ۲ (۱ - ب)
(۴۳) آ ۲ (ب + ج) + ب ۲ (ج - آ) + ج ۲ (آ - ب)
(۴۴) آ ۲ (ب + ج) + ب ۲ (ج - ۱) + ج ۲ (۱ - ب)
مثله متفرقه
مثال ا آ + ب ۲ + ج ۲ - ۳ ا ب ج را بر ا + ب + ج تقسیم کنید
چون ب ۲ + ج ۲ = (ب + ج) ۲ - ۳ ب ج (ب + ج)
.: آ + ب ۲ + ج ۲ - ۳ ا ب ج = آ + (ب + ج) ۲ - ۳ ب ج (ب + ج) - ۳ ا ب ج
= { آ + (ب + ج) } - ۳ ب ج { ا + (ب + ج) }
= { ا + (ب + ج) } { آ ۲ - ا (ب + ج) + (ب + ج) ۲ } - ۳ ب ج ( ا + ب + ج)
= ( ا + ب + ج) { آ ۲ - ا ب - ا ج + ب ۲ + ج ۲ - ۲ ب ج } - ۳ ب ج ( ا + ب + ج)
= ( ا + ب + ج) ( آ ۲ - ا ب - ا ج + ب ۲ + ج ۲ + ۲ ب ج - ۳ ب ج)
= ( ا + ب + ج) ( آ ۲ + ب ۲ + ج ۲ - ا ب - ا ج - ب ج)
.: خارج قسمت مطلوب = آ ۲ + ب ۲ + ج ۲ - ا ب - ا ج - ب ج


۱۹۹
مثال ۳ لا۳+۷ لا۲+۱۴لا+۸ را لمضروبات تفریق کنید
اگر در مثال فوق بنظر دقت ملاحظه کنیم واضح میگردد که جمله مفروضه با نچنین
دو حصه تقسیم کرده میتوانیم که هر یک از انها بر لا+۲ بدون باقی تقسیم میشود
(۱) (لا۲+۸)+۷ لا(لا+۳) (۲) لا(لا+۳)+۵ لا(لا+۳)+۴(لا+۴)
پس بقرار طریق دوم لا۳+۷ لا۲+۱۴لا+۸=(لا+۳)(لا۲+۵لا+۴)
=(لا+۳)(لا+۱)(لا+۴)
تنبیه ـ باید دانست که اگر لا= -۱ یا -۲ یا -۴ باشد
قیمت جمله مفروضه در هر حالت صفر خواهد بود
مثال ۳ لا۳+۶ لا۲+۱۱لا+۶ را بمضروبات تفریق کنید
بعد از تحقیق معلوم میشود که جمله مفروضه باینچنین دو حصه منقسم شده میتواند
که هر حصه برلا+۳ بدو طریق ذیل بدون باقی تقسیم میشود : ـ
(۱) لا(لا+۳)+۳لا(لا+۳)+۲(لا+۳) و (۲) لا(لا۲+۶لا+۹)+۲(لا+۳)
پس بموجب طریق دوم لا۳+۶ لا۲+۱۱لا+۶=لا(لا+۳)۲+۲(لا+۳)
=(لا+۳){لا(لا+۳)+۲}
=(لا+۳)(لا۲+۳لا+۲)
=(لا+۳)(لا+۱)(لا+۲)
تنبیه درین مثال نیز ظاهر است که اگر لا= -۳ یا -۱ یا -۲ باشم
در هر حالت قیمت جمله مفروضه صفر خواهد بود
مثال ۴ لا۳-۳ لا۲-۵لا+۶ را بمضروبات تفریق کنید


٢٠٠
بعد از ملاحظه معلوم میشود که جمله مفروضه باینچنین دو حصه منقسم شده میتواند
که هر حصه بر لا-١ بدو طریق ذیل بدون باقى تقسیم میشود:-
(١)لا (لآ-٢لا+١)-٦(لا-١) (٢)لآ(لا-١) ٤لا(لا-١)-٦(لا-١)
پس بطریق اول لآ-٣لآ- ٥لا+٦=لا(لا-١)-٦(لا-١)
=(لا-١) {لا (لا-١) - ٦}
=(لا-١)(لآ-لا-٦)
=(لا-١)(لا-٣)(لا+٢)
تنبیه درین مثال نیز اگر لا=١ یا ٣ و یا -٢ باشد قیمت جمله معروضه صفر خواهد بود
پس ظاهر است که هرگاه در یک جمله جبریه اِ بجای لا نوشته شود
و قیمت جمله صفر باشد در انصورت لا-١ یک مضروب جمله مذکور میباشد
و مثال ذیل بقرار اصول فوق حل میشود:-
مثال ٥لآ+لآ-٢١لا-٣٨ را بمضروبات تفریق کنید:-
بعد از امتحان معلوم میشود که اگر -٢ بجای لا نوشته شود جمله مفروضه صفر میباشد
لهذا لا+٢ یک مضروب جمله مفروضه خواهد بود
.٠. لآ+لآ-٢١لا-٣٨=لآ(لا+٢)-لا(لا+٢)-١٩(لا+٢)
=(لا+٢)(لآ-لا-١٩)
مثال ٦٨لآ+١٦لا-٩ را بمضروبات تفریق کنید
ظاهر است که جمله مفروضه باینچنین دو حصه منقسم شده میتواند که هر حصه آن
بر ٢لا-١ بدو طریق ذیل بدون باقى تقسیم میشود:-


۲۰۱

(۱) (۸ لا۲ - ۱) + ۸ (۳ لا - ۱) و (۲) ۳ لا (۴ لا - ۱) + ۹ (۳ لا - ۱)
پس حسب طریق اول ۸ لا۲ + ۱۶ لا - ۹ = (۸ لا۲ - ۱) + ۸ (۳ لا - ۱)
= (۳ لا - ۱) { (۴ لا۲ + ۱) + ۸ }
= (۳ لا - ۱) (۴ لا۲ + ۲ لا + ۹)
مثال ۷ آ ۳ + ۷ اب ۲ - ۲۲ ب ۳ را بمضروبات تفریق کنید
ظاهر است که جمله مفروضه بآنچنین دو حصه منقسم شده میتواند که هر حصه آن
بر ۱ - ۲ ب بد و طریق ذیل بدون باقی تقسیم میشود :-
(۱) ۱ ۳ - ۸ ب ۳ + ۷ ب ۲ (۱ - ۲ ب) (۲) ۱ (۱ ۲ - ۴ ب ۲) + ۱ ب (۱ - ۲ ب)
پس بطریق (۱) ۱ ۳ + ۷ ا ب ۲ - ۲۲ ب ۳ = (۱ ۳ - ۸ ب ۳) + ۷ ب ۲ (۱ - ۲ ب)
= (۱ - ۲ ب) { (۱ ۲ + ۲ ا ب + ۴ ب ۲) + ۷ ب ۲}
= (۱ - ۲ ب) (۱ ۲ + ۲ ا ب + ۱۱ ب ۲)
مثال ۸ لا۲ + ۲ (۱ ۲ + ب ۲) + ۳ و لا - ب (۳ لا + ۱۵) را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه را نظر بقواعد متناقضه لا تنظیم بدهید
پس جمله مفروضه = لا۲ + ۳ (ا - ب) لا + (۲ ۱ ۲ - ۵ ا ب + ۲ ب ۲)
= لا۲ + ۳ (ا - ب) لا + (۲ ۱ - ب) (۱ - ۲ ب)
= لا۲ + { (۲ ا - ب) + (ا - ۲ ب) } لا + (۲ ۱ - ب) (۱ - ۲ ب)
= { لا + (۲ ا - ب) } { لا + (۱ - ۲ ب) }
= (لا + ۲ ۱ - ب) (لا + ۱ - ۲ ب)


۲۰۳
مثال ۹ لا۴ - ۶لای + ۸ ی۲ -ع۲ + ۲ی ع را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = (لا۴ - ۶لای + ۹ ی۲) - (ی۲ + ع۲ - ۲ ی ع)
=(لا۲-۳ی)۲ - (ی - ع)۲
= {(لا۲-۳ی) + (ی - ع)}{(لا۲-۳ی) - (ی - ع)}
= (لا۲-۲ی -ع)(لا۲-۴ی + ع)
مثال ۱۰ (ا۲-ب۲)(لا۲-ی۲) + ۴ اب لای را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = ا۲لا۲ - ا۲ی۲ - ب۲لا۲ + ب۲ی۲ + ۴ ا ب لای
= (ا۲لا۲ + ب۲ی۲ + ۲ ا ب لای) - (ا۲ی۲ + ب۲لا۲ - ۲ ا ب لای)
= (الا + ب ی)۲ - (ای - ب لا)۲
= {(الا + ب ی) + (ای - ب لا)}{(الا + ب ی) - (ای - ب لا)}
= {(ا - ب) لا + (ا + ب) ی} {(ا + ب) لا - (ا - ب) ی}
مثال ۱۱ لا۴ + ۶لا۳ + ۲لا۲ - ۱۵لا + ۶ را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = (لا۴ + ۶لا۳ + ۹لا۲) - (۵لا۲ + ۱۵لا) + ۶
= (لا۲ + ۳لا)۲ - ۵(لا۲ + ۳لا) + ۶
= {(لا۲ + ۳لا) - ۲}{(لا۲ + ۳لا) - ۳}
= (لا۲ + ۳لا - ۲) (لا۲ + ۳لا - ۳)
مثال ۱۲ لا۴ + ۲لا۳ی + ۳لا۲ی۲ + ۲لای۳ + ی۴ را بمضروبات تفریق کنید
جمله مفروضه = (لا۴ + ۲لا۳ی + لا۲ی۲) + لا۲ی۲ + (۲لا۲ی + ۲ لای۳)
= (لا۲ + لا ی)۲ + (لا ی)۲ + ۲(لا ی)(لا۲ + لا ی)
= {(لا۲ + لا ی) + لا ی}۲
= (لا۲ + لای + ی۲)۲


۲۰۳
مثال ۱۳ (لا-۱)(لا-۲)(لا+۳)(لا+۴)+۴ را بمضروبات تفریق کنید
(لا-۱)(لا-۲)(لا+۳)(لا+۴)={(لا-۱)(لا+۳)}{(لا-۲)(لا+۴)}
=(لآ+۲لا-۳)(لآ+۲لا-۸)
پس اگر لآ+ ۲لا = ء باشد
جمله مفروضه = (ء-۳)(ء-۸)+۴
=ء-۱۱ء+۲۸
=(ء-۴)(ء-۷)
=(لآ+۲لا-۴)(لآ+۲لا-۷)
تنبیه طالب علم را باید که این امر را بغور ملاحظه کند که لا- ۱ در لا+۳
ولا+۴ در لا-۲ چرا ضرب شده است یے کند
مثال ۱۴ اگر لا+ی=ا ولای=ب باشد قیمت جملها ذیل رامعلوم
(۱) لآ+ ی (۲) لآ- لآی- لای+ ی
(۱) لآ+ ی =(لآ+ی)-۲لآی
={(لا+ی)-۲لای}-۲لآی
پس قیمت مطلوب =(ا-۲ب)-۲ب
=ا-۴ا ب+۲ب
(۲) لآ-لآی -لای+ ی=لآ(لا-ی)-ی(لا-ی)
=(لا-ی)(لآ-ی)
=(لا-ی)(لا+ی)
={(لا+ی)-۴لای}(لا+ی)=(ا-۴ب)ا


۲۰۴
مثال ۵ اقیمت لا - لا + لا + ۲ را معلوم کنید اگر لا + ۲ = ۲ لا باشد
لا - لا + لا + ۲ = ( لا + لا + لا ) - ۲ ( لا - ۱ )
= لا ( لا + لا + ۱ ) - ۲ ( لا - ۱ ) ( لا + لا + ۱ )
= ( لا + لا + ۱ ) { لا - ۲ ( لا - ۱ ) }
= ( لا + لا + ۱ ) ( لا - ۲ لا + ۲ )
پس قیمت مطلوبه = ( لا + لا + ۱ ) × ۰
=
مثال ۶ اقیمت ا + ب + ج - ۳ ب ج - ۲ ج ا - ۲ ا ب را معلوم کنید
اگر ا + ب = ج
جمله مفروضه = ا - ۲ ( ب + ج ) ا + ب + ج - ۲ ب ج
= { ا - ۲ ( ب + ج ) ا + ( ب + ج ) } - ( ب + ج ) + ب + ج - ۳ ب ج
= { ا - ( ب + ج ) } - ۴ ب ج
= { ا - ب - ج } - ۴ ب ج
= ( ا - ب - ج + ۲ ب ج ) ( ا - ب - ج - ۲ ب ج )
= { ا - ( ب - ج ) } { ا - ( ب + ج ) }
= ( ا + ب - ج ) ( ا - ب + ج ) ( ا + ب + ج ) ( ا - ب - ج )
پس جمله مفروضه = ۰ زیرا که ا + ب = ج
مسئله (۴۷)
تقسیم کنید
(۱) ا + ب - ج + ۳ ا ب ج را بر ا + ب - ج (۲) لا - ی - ۱ - ۳ لای را بر لا - ی - ۱


۲۰۵
(۳) لا۲ - ۸ سی۲ + ۲۷ ع۲ + ۱۸لاسی ع را بر لا - ۲ سی + ۳ ع
(۴) ۸ آ - ۲۷ ب۲ ج۳ - ۱۸ اوب ج را بر ۴ آ + ۹ ب۲ ج۲ + ۶ اوب - ۱۲ ب ج
(۵) لا - ۲۶ لا۲ - ۲۷ را بر (لا + ۳ لا + ۹) (لا - لا + ۱)
(۶) (آ - ب ج) + ۲۷ ب ج آرا بر آ - ۵ آ۲ ب ج + ۱۳ آ ب ج۲
(۷) ۱۲۵ - ۸ آ + ب۲ + ۳۰ اوب را بر (ا + ب۲) + (۱ + ۵)۲ + ۲ آ - ۵ ب
(۸) ۲ لا۲ - لا + لا + ۴ را بر لا + ۱ (۹) لا۲ - ۴ لا + ۷ لا۲ - ۱۱ لا + ۱۰ را بر لا - ۲
(۱۰) لا۳ - لا - ۳ ا لا + ۱۳ لا - ۶ را بر لا + ۳ (۱۱) لا۲ + ۴ لا - ۳۹ را بر لا - ۳
(۱۲) ۲ آ - ۴ آ ب + ۴ ۲ ب۲ را بر ۱ + ۲ ب
(۱۳) ۲ آ - ۵ آ۲ ب + ۸ آ ب۲ - ۷ ا ب۲ + ۳ ب۲ را بر ۱ - ۳ ب
(۱۴) لا۳ + لا۲ - ۱۰ لا۲ + ۷ لا - ۴ را بر لا + ۴ (۱۵) لا + ۳ لا سی۲ - ۲۷ سی را بر لا - ۴ سی
جملهای ذیل را بمضروبات تفریق کنید:-
(۱۶) لا۲ + ۸ لا + ۱۹ لا + ۱۲ (۱۷) لا۲ + ۹ لا + ۲۶ لا + ۲۴ (۱۸) لا۲ - ۶ لا۲ + ۱۱ لا - ۶
(۱۹) لا۲ + ۵ لا۲ - ۲ لا - ۲۴ (۲۰) لا۳ - ۴ لا۲ + لا + ۳ (۲۱) لا + ۵ لا - ۲ لا - ۶
(۲۲) لا۳ - ۶ لا۲ + ۱۳ لا - ۱۰ (۲۳) لا۳ - ۳ لا۲ - ۹ لا + ۱۳ لا + ۲۰
(۲۴) لا۳ - ۳ لا۲ - لا + ۱۳ لا - ۱۰ (۲۵) لا۳ - ۵ لا۲ + لا + ۱۳ لا + ۶
(۲۶) لا۳ + ۵ لا - ۸ لا۲ - ۳۰ لا + ۳۶ (۲۷) لا۳ - ۷ لا۲ + ۹ لا۲ + ۲۶ لا - ۵۶
(۲۸) لا۳ - ۷ لا۲ + ۱۳ لا - ۱۵ (۲۹) لا۳ - ۵ لا + ۱۲ (۳۰) لا۳ - ۶ لا۲ + ۳۲
(۳۱) ۲ لا۲ - ۳ لا۲ - ۴ (۳۲) لا۲ - ۹ لا ی - ۱۰ ی۲ (۳۳) ۲ آ + ۴ آ ب - ۹ ب۲
(۳۴) ۵ آ - ۳ آ ب - ۲۸ ب۲ (۳۵) ۸ لا۲ + ۲ لا - ۳ (۳۶) ۲ لا + ۵ لا - ۴ لا - ۳
(۳۷) لا۳ - ۲ لا - ۲ (۳۸) ۲ آ - آ۲ ب - ب۲ (۳۹) ۳ لا + ۸ لا۲ - ۸ لا - ۳


۲۰۶

(۴۰) لا۳-۶ لای + ۹ ی۳ (۴۱) لا۳+ب لا-(ا-۳ ا ب +۲ ب۲)
(۴۲) لا۴+۴لاب لای۲-(ا-ب۲)ی۲ (۴۳) آ۲+۲(لا+ی) آب+(لا-ی) ۲ب۲
(۴۴) آ۲+(لا+ی) ا-۲لا۲+۵لای-۳ی۲ (۴۵) لا (لا+۱)-۳آ+۳ب (ا+لا)+۳ب۲
(۴۶) لا۴+۴ لای+۳ی۲+۲یء-ء۲ (۴۷) ۲ا-۴ ا ب-۳ب۲+۱۲ب ج-وج۲
(۴۸) لا۲+ ۶ لا۲+۸لا۲+۶لا-۹ (۴۹) آ۲-۴ ا ب-۵اب۲+۶ا ب-ب۳
(۵۰) ۴ لا۲-۳۰لا۳+۲۴لا+۶لا-۹ (۵۱) لا-۲لا+۳لا-۴لا+۱
(۵۲) ا-۹ا۲+۳۰ا-۲۵ (۵۳) ا-۲ ا ب لا-(ا ج-ب)لا+ب ج لا۲
(۵۴) لای۲+لای۲-ء۲+۲لایء+۱ (۵۵) لا(ی-ء)+۴لایء-ی۲+ء۲
(۵۶) (ا-ب)(لا+ی)+۲(ا+ب)لای (۵۷) لا۳-۴لا-لا+۱۰لا+۴
(۵۸) ا-۶ا۲+۱۵ا-۸+۵ ۱ (۵۹) ۴لا+۱۲لا-۵لا-۳۱لا+۱۲
(۶۰) لا۲-۵لای+۶لای-۵لای+ی (۶۱) لا۲-۵لا+۴: لا-۲۰لا+۱۶
(۶۲) ا-۷ آب+۴ا۲ب-۴ا ب۲+۴ ب۳ (۶۳) لا+۴لا-۱۱لا+۳۰لا+۲۵
(۶۴) لا۴+۴ا۳ب-۱۰ا ب+۴ا ب۳+ب۴ (۶۵) لا۲+۸لا۲+۲۴لا+۳۲لا-۲۰
(۶۶) (لا+۱)(لا+۳)(لا-۴)(لا-۶)+۱۳ (۶۷) (لا+۲)(لا+۳)(لا+۴)(لا+۵)-۳۶۰
(۶۸) لا (۲لا+۱) (لا-۲) (۲لا-۳)-۶۳ کنند
(۶۹) قیمت لای (لا+ی)+یء(ی+ء)+ءلا(ء+لا)+۳لایء را معلوم
اگر لا=۱(ب-ج) وی=ب(ج-ا) وء=ج(ا-ب)
(۷۰) قیمت (ی-ء)(ی۲-ء۲)-لا{(ی-ء)+لا(ی+ء)}+لا را معلوم کنید
اگر لا=ا-ب۲ وی=ب-ج۲ وء=ا۲-ج۲


۲۰۷

(۷۱) قیمت لا۲-۲(ی-۲) لا-۳ی۲+۲۰ی-۳۲ را معلوم کنید اگر لا+ی=۴
(۷۲) قیمت لا۲-ی۲+۲لا+۴ی-۴۵ را معلوم کنید اگر لا+ی=۲۵ ولا-ی=۶
(۷۳) قیمت لا۲+ی۲-ع۲+۳لائی ع را معلوم کنید اگر لا=ا-ب وی=۲اوب
وع=ا۲+ب۲ باشد
(۷۴) قیمت ۸ لای (لا۲+ی۲) را معلوم کنید اگر لا+ی=۴۳ ولا-ی=۲۱
(۷۵) قیمت لا۳+ی۳ را معلوم کنید اگر لا+ی=ا ولا ی=ب
(۷۶) قیمت لا۳+ی۳+ع۳-۳ لای ع را معلوم کنید اگر لا= ۶۵۸ وی=۶۶۸
وع=۶۷۴ باشد
باب هشتم
عاد اعظم یا قاسم مشترک اعظم
۱- تعریف مضروب مشترک دو یا زیاده جمله جبر یه آن جمله میباشد
که هر یکی از انها را بدون باقی تقسیم کند
تنبیه مراد از جمله در فقره فوق جمله منطق و صحیح میباشد
مضروب اصلی یک جمله آنست که بمضروبات تفریق نمیشود حاصل ضرب
مضروبات اصلیه مشترکه دو یا زیاده جمله را قاسم مشترک اعظم یا عاد اعظم میگویند
مثلاً چون ۶ا۲ ب(لا۲-ا)=۲×۳×ا×ا×ب×(لا+ا)×(لا-ا)
و ۱۵اوب۲(لا۲-۴لا+۳)=۳×۵×ا×ب×ب×(لا-ا)×(لا-۳)
لهذا مضروبات اصلیه مشترکه دو جمله فوق ۳ وا وب ولا-ا میباشند
بنابرین قاسم مشترک اعظم جملهای مذکور ۳ اوب (لا-ا) است-


۲۰۸
تنبیه ۱ باید دانست که در مثال فوق علاوه از ۲ اب (لا-۱) مضروبات
مشترکه ۳ ا و ب (لا-۱) و ا ب و ۳ (لا-۱) و ۳ ا و ب نیز میباشند مگر مضروبات اصلیه نیستند
تنبیه ۲ اگر ا = ط × ق و ب = ط × ق باشد و ق و ق هیچ مقسوم
مشترک نداشته باشند عاد اعظم ا و ب عبارت از عاد اعظم ط و ط میباشد
تنبیه ۳ اگر ا = م × ن و ب = م × ن باشد عاد اعظم ا و ب
= (عاد اعظم م و م) × (عاد اعظم ن و ن)
۸۲ طریق دریافت نمودن قاسم مشترک جمله‌های مفرد
جمله‌های مفرد بمضروبات اصلیه مشترکه تحلیل شده میتوانند بنابرین
قاسم مشترک اعظم آنها بآسانی دریافت شده میتواند
مثال ۱ قاسم مشترک اعظم ا۳ ب ج و ا۲ ب۲ ج و ا۴ ب۲ ج۲ را دریافت کنید
مضروبات اصلیه مشترک جمله‌های فوق ا و ب و ج هستند کلانترین قوای مشترکه
مضروبات محقق ا و ب و ج میباشند لهذا قاسم مشترک اعظم مطلوب = ا۲ ب ج
مثال ۲ قاسم مشترک اعظم ۲۴ ا ب۲ لا۳ ع۲ و ۳۶ ا۲ لا ع۵
و ۴۲۰ ب۲ لا۲ ع۶ را معلوم کنید:-
چون ۲۴ ا ب۲ لا۳ ع۲ = ۳ × ۳۸ ا ب۲ لا۳ ع۲
و ۳۶ ا۲ لا ع۵ = ۲ × ۳ × ا۲ لا ع۵
و ۴۲۰ ب۲ لا۲ ع۶ = ۳ × ۵ × ۲۸ ب۲ لا۲ ع۶
پس ظاهر است که مضروبات اصلیه مشترکه ۳ و ۲ و لا میباشند و کلانترین قوا مشترکه
مضروبات محقق ۳ و ۲ و لا میباشند لهذا قاسم مشترک اعظم مطلوب = ۳ × ۲ × لا = ۱۲ لا


۲۰۹
مسئله (۴۸)
قاسم مشترک اعظم جملهای ذیل را معلوم کنید
(۱) آب و آب (۲) ۱۲ آب و ۲۰ آج
(۳) ۹ لای ۶ و ۲۴ لای (۴) ۲۰ آلای ده ۷ آی
(۵) ۱۸ مرن و ۴۵ مرن (۶) ۱۶ آلای و ۴۰ آی لا و ۲۸ لآ لا
(۷) ۲۴ مرن ط و ۶۰ مرن ط و ۸۴ م ط
(۸) ۴۵ لای ع و ۷۵ لای ع و ۹۰ لای ع
(۹) ۳۶ آب ج لا و ۵۲ آج لا و ۹۰ آب ج
(۱۰) ۷۲ آ س ب ج و ۹۶ س ج د و ۱۲۰ ج د ه
(۱۱) ۴۸ آ لای ع و ۶۰ لای ع ب و ۷۲ ی ع ب آ و ۸۴ ع ب آ لا
(۱۲) ۷۵ مر ن ط ق و ۹۰ مر ن ط ق و ۱۰۵ مر ن ط ق و ۱۳۵ مرن ط ق
(۱۳) ۵۴ آ س ج د و ۷۲ آ س ج د و ۱۰۸ آ س ج د و ۱۳۶ آ س ج د
(۱۴) ۱۸ آلای و ۲۴ آ ی ع و ۶۰ لای ع ه و ۷۸ آ لای
(۱۵) ۳۲ آ ب لای ع و ۴۰ آ لای ع و ۵۶ ب لای ع و ۷۲ لا ای ع ا
و ۹۶ ب ا لای آ
۸۳ طریق دریافت نمودن قاسم مشترک اعظم جملهای مرکب
که مضروبات اصلیه آنها بآسانی معلوم شده میتواند.
درینصورت نیز بحکم فقره ۸۲ عمل خواهد شد:-


۲۱۰

مثال ۱ قاسم مشترک اعظم آ ب۲ + ۲ آ ب واٌ ب -۴ اٌ ب را معلوم کنید
اٌ ب۲ + ۲ اٌ ب = اٌ ب (ا + ۲ ب)
واٌ ب - ۴ اٌ ب۲ = اٌ ب (ا - ۴ ب)
= اٌ ب (ا + ۲ ب)(ا - ۲ ب)
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = اٌ ب (ا + ۲ ب)
مثال ۲ قاسم مشترک اعظم لآی۴+لآی۳ ولآی+۲لآی۲+لآی را معلوم کنید
لآی۴+لآی۳ = لآی(لآ+ی۳) = لآی(لا+ی)(لآ-لای+ی۲)
ولآی+۲لآی۲+لآی۳ = لآی(لآ+۲لای+ی۲)
=لآی(لا+ی)۲
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = لآی(لا+ی)
مثال ۳ قاسم مشترک اعظم ۲۴(لآ-۲ولا-۸ اٌ لآ)
و۵۴(لآ-الآ-۶اٌلآ) را معلوم کنید
جمله اول = ۳×۸×لآ(لآ-۳ولا-۸اٌ)
= ۳×۴×لآ(لا+۲اٌ)(لا-۴اٌ)
وجمله دوم = ۶×۹×لآ(لآ-ولا-۶اٌ)
= ۲×۳×لآ(لا+۲اٌ)(لا-۳اٌ)
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = ۳×۲×لآ(لا+۲اٌ)
= ۶لآ(لا+۲اٌ)


۲۱۱
مثال ۴ قاسم مشترک اعظم آ - ۱۶لا وآ + ۶لا - ۱۰لا + ۸لا را معلوم کنید
جمله اول = (آ + ۴لا) (آ - ۴لا)
= (آ + ۴لا) (۱ + ۲لا) (۱ - ۲لا)
وجمله دوم = (۱ - ۲لا) (آ + ۳ولا - ۴لا)
= (۱ - ۲لا) (۱ - لا) (آ + ۴لا)
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = (۱ - ۲لا)
تنبیه اگر چه مضروبات جمله دوم ظاهر نیست مگر قیاساً معلوم میشود
که یکی از مضروبات جمله اول مضروب جمله دوم نیز خواهد بود و بعد از امتحان
ظاهر میشود که ۱ - ۲لامضروب جمله دوم است
مسئله (۴۹)
قاسم مشترک اعظم جملہای ذیل را معلوم کنید -
(۱) آ - اب وآ + ۲آب + آب (۲) لا س - لا س ولا س + لاس
(۳) ۶(لا - ۹) و ۱۵(لا + ۲۷) (۴) ۱۲(آ - آب ج) و۲۰(آ ب ج + آب ج)
(۵) م ن - ۲ م ن + م ن و (م ن - م ن) (۶) ۴آلا - ۹ولا و ۴ولا + ۶ولا
(۷) ۸آب - ۳۲آب و ۸آب + ۲۴آب
(۸) ۹لاس - ۳۶لاس و ۲۴لاس - ۴۸لاس
(۹) ۶آب - ۲۴آب و ۴آب + ۳۲آب
(۱۰) ۴۸آآ(لا + لا) (لا آ - لا آ) و ۶۴(لاآ - لاآ) (لاآ + لاآ)
(۱۱) ۲۴(لا - آ) و۴۰(لا + لا آ + آ) (۱۲) ۵۶(لا آ - لاآ) و ۷۲(لاآ + ۳ ولا + ۲ ولا)


۲۱۴
(۱۳) ۳۰ (آ + ۲ اب + ۳ ب۲) و ۴۲ (آ + اب - ۶ ب۲)
(۱۴) ۳۸ (لآ - ۳ ل۲ - ۱۰لا) و ۵۲ (لآ - ۸ آ + ۱۵ لآ)
(۱۵) لاآسی + ۳ لاآسی - ۸ (لآآسی) و لاآسی + ۱۰ لآآسی + ۲۴ لآآسی
(۱۶) آلا - ۴ آلا - ۱۲ آلا و آلا + ۸ آلا + ۱۲ آلا
(۱۷) ۴ لآ + ۱۲ لآ + ۹ لا و ۴ لآ - ۴ لا - ۱۲
(۱۸) آ - اب - ۲ ب۲ و آ - ا۲ب - ۴ ا ب۲ + ۴ ب۳
(۱۹) لآ - ۳ ل۲ - ۱۰ و لآ - لآ - ۴ الا + ۲۴
(۲۰) ۵۴ (لآ + ۸ آ) و ۹۰ (لآ + ۷ آلا + ۱۶ آلا + ۱۲ آو)
(۲۱) (آ - ب) (ا + ب) و آ - ب۴ و ۳ آ + ۲ ا۲ب - ۵ ا ب۲
(۲۲) (۲ لا - ۳ ع) (لآ + لا - ۲) و ۴ لآ - لا - ۱۸ و ۲ لآ - ۲۳ لا - ۵۴
(۲۳) ۸ (۴ ا۲ب + ا ب۲) و ۱۲(۶ ا۲ب - ۷ ا ب - ۳ ا ب۴) و ۴۰ (۲ ا ب۴ + ۱۳ ا ب۲ + ۱۵ب۳)
(۲۴) لآ - ۱۳ لآ + ۳۶ و ۳ لآ + ۱۳ لآ + ۸ لا - ۱۲ و ۴ لآ + ۷ لآ + ۹ لا - ۱۸
۸۴ قاعده عمومیه در یافتنی د قاسم مشترک اعظم جملها
کثیر الحدود که هیچیک از مضروبات مشترکه آن ذو حد واحد نباشد
فرض کنید که قاسم مشترک اعظم دو جمله ا و ب مطلوبست اولاً جملهای مفروض
بلحاظ قوای متناقصه یک حرف مشترک تنظیم کنید و نیز فرض کنید که کلانتر
قوت حرف مذکور در جمله ا از کلانترین قوت همانحرف در جمله ب کم نمیباند


۲۱۳
پس ارا بر ب تقسیم کنید و فرض کنید که ق خارج قسمت وج باقی میماند
لہذا ج = ا - ب ق ...... (۱) یا ا = ب ق +ج .... (۲)
از (۱) ظاهر است که ہر مضروب مشترک ا و ب مضروب ج نیز میباش
(زیرا که اگر ا = طا و ب = ط ب باشد ج = ط (ا - ب ق) میشود)
پس اگر ع قاسم مشترک اعظم ا و ب باشد مضروب ج نیز خواهد بود
لہذا مضروب مشترک ب و ج نیز میباشد -
پس ظاهر است که قاسم مشترک اعظم ب و ج یا ع میباشد
یا جمله دیگر ی که درجه آن از ع زیاده باشد (ل)
لیکن از (۲) ظاهر است که مضروب مشترک ب و ج مضروب ا میاش
لہذا مضروب مشترک ا و ب نیز میباشد بنابراین ظاهر است که
قاسم مشترک اعظم ب و ج نیز مضروب مشترک ا و ب است -
لہذا درجه آن از درجه ع زیاده شده نمیتواند -
پس از روی (ل) قاسم مشترک اعظم ب و ج ع میباشد و هو المطلوب
بطریق فوق اگر ب بر ج تقسیم شود و د باقی جدید بوده قاسم مشترک عظم
ج و د بعینه قاسم مشترک اعظم ب و ج میباشد -
پس ج را بر د تقسیم کنید و فرض کنید که باقی ہیچ نمانده باشد
پس ظاهر است که د عاد اعظم ج و د است و بنابرین عاد اعظم مطلوب میباشد


۲۱۴
نتیجه ۱ چون قاسم مشترک اعظم هر مقسوم علیه و مقسوم آن قاسم مشترک اعظم مطلوب
میباشد ظاهر است که برای سهولت عمل مقسوم علیه را در یک عددی حداً واحد ضرب یا بیدیک
ذوحد واحد تقسیم کرد میتوانیم بشرط اینکه ذو حد واحد مذکور مضروب مقسوم نباشد و همچین
طریق مقسوم را در یک عددی حد واحد ضرب یا بر یک حد تقسیم کرده میتوانیم بشرط اینکه
ذوحد واحد مذکور مضروب مقسوم علیه نباشد بحکم تنبیه فقره ۸۱
نتیجه ۲ اگر در حین عمل تقسیم ا بر ب قبل از تکمیل عمل تقسیم ق خارج قسمت جفری
و ج باقی آن باشد پس قاسم مشترک اعظم ب و ج نیز قاسم مشترک اعظم ا ب ج خواهی
پس بحکم نتیجه اول در وقت تقسیم ج برب یا ب برج بشرطیکه درجه ج از درجه ب
زیاد نباشد هر ج را بوقت ضرورت بیک عدد حدا واحد تقسیم یا دران ضرب کرده میتوانیم
بشرط اینکه ذحد واحد مذکور مضرب ب نباشد و بترمین منوال ب را بیک د حد در
واحد تقسیم یا دران ضرب کرده میتوانیم بشرط اینکه ذحد واحد مذکور مضرب ج نباشد
پر از نتایج فوق قاعده ذیل اخذ میشود - برای دریافت نمودن قاسم مشترک اعظم
دو جمله جبر یه آنها را بلحاظ قوای متناقصه یک حرف مشترک تنظیم کنید بعد از ان آن جمله را
که درجه ان زیاد باشد بر جمله دیگر تقسیم کنید(واگر برابر باشند یکی را بر دیگر تقسیم کنید)
پس اگر باقی بماند انرا مقسوم علیه و مقسوم علیه اول را مقسوم بسازید و همین عمل ار
جاری بدارید تا اینکه عمل تقسیه تکمیل یابد پس مقسوم علیه اخیر قاسم مشترک عظم مطلوبه
خواهد بود - و نیز هر مقسوم علیه در یک عدی حداً واحد ضرب یا بران تقسیم شده میتواند بشرط انیکہ


۲۱۵
دو حد واحد مذکور مضرب آن مقسوم نباشد و همچنین مقسوم نیز در یک دو حد واحد ضرب
یا بران تقسیم شده میتواند بشرط اینکه دو حد واحد مذکور مضرب آن مقسوم علیه نباشد
مثال اقاسم مشترک اعظم ۳ لا۲- ۷لا-۸ الا-۸ و ۲لا۳-۳لا۲- ۷ لا-۱۲ را معلوم
جمله دوم را در ۳ ضرب کنید و حاصل ضرب را بر جمله اول تقسیم کنید
۲لا۳- ۳ لا۲ -۷ لا-۱۲
۲               ۳
۳لا۲- ۷لا-۸ الا-۸ ) ۶لا۳- ۹لا۲ - ۵۱لا-۳۶
                     ۶لا۳ - ۱۴لا۲ - ۱۶لا- ۱۶
                      ۵لا۲ - ۱۵لا - ۲۰
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب بعینه قاسم مشترک اعظم ۳لا۲- ۷لا-۸ الا-۸
و ۵لا۲- ۱۵لا-۲۰[=۵(لا۲-۳لا-۴)]میباشد. یعنی قاسم مشترک اعظم مطلوبه
قاسم مشترک اعظم ۳لا۲- ۷لا-۸ الا-۸ و لا۲-۳لا-۴ میباشد (بحکم نتیجه اول)
لهذا عمل بطریق ذیل جاری خواهد شد:-
۵) ۵لا۲- ۱۵لا-۲۰(
     لا۲- ۳ لا-۴ )  ۳ لا۲- ۷ لا-۸ الا-۸ ( ۳ لا + ۲
                        ۳ لا۲- ۹ لا- ۱۲الا
                       ۲ لا۲ - ۶ لا-۸
                       ۲لا۲- ۶ لا- ۸
                                   x
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = لا۲- ۳ لا-۴


۲۱۶
مثال ۳ قاسم مشترک اعظم ۲۲ لا - ۷۸ لا + ۱۱ لاً و ۲ لا - ۷۸ لا- ۴۴ لا معلوم کنیم
جمله اول = ۱۱لا (۱۱ - ۳۹لا - ۸) وجمله دوم = ۲لا(لا - ۳۹لا - ۲۲)
پس بموجب تنبیه ۷ فقره ۱۸ قاسم مشترک اعظم مطلوب = (قاسم مشترک اعظم ۱۱لا
و ۲لا) * (قاسم مشترک اعظم ۱۱لا - ۳۹لا - ۸ ولا - ۳۹لا - ۲۲)
پس قاسم مشترک اعظم مضروبات ذو حدود کثیره را معلوم کنیم
لا - ۳۹لا - ۲۲) ۱۱ لا - ۳۹لا - ۸( ۱۱
۱۱ لا - ۴۲۹لا - ۲۴۲
۲۳۳ لا + ۴۲۹ لا + ۳۹- (۳-
۱۳ ) ۱۳ لا - ۱۴۳ لا - ۷۸
لا - ۱۱ -لا ۶
لا - ۳۹لا - ۲۲ (لا
لا - ۱۱ لا - ۶ لا
۱۱) ۱۱لا - ۳۳ لا - ۲۲
لا - ۳ لا - ۲) لا - ۱۱لا - ۶ (لا + ۳
لا - ۳ لا - ۲ لا
۳لا - ۹لا - ۶
۳لا - ۹لا - ۶
*
وچون قاسم مشترک اعظم مضروبات ذوحدود کثیره = لا - ۳لا - ۲
لهذا قاسم مشترک اعظم مطلوب = ۲لا (لا - ۳لا - ۲)


۲۱۷
مثال ۳ قاسم مشترک اعظم ۲ لا ۵ + ۵ لا ۴ + ۶ لا ۳ - ۲۷ لا ۲
و ۸ لا ۵ + ۶۰ لا ۴ - ۲۸ لا ۳ - ۱۸ لا ۲ + ۳ لا را معلوم کنید :-
جمله اول = ۶ لا ۲ ( ۳ لا ۳ + ۴ لا ۲ - ۹ لا - ۱۳ )
جمله دوم = ۴ لا ۲ ( ۲ لا ۳ + ۱۵ لا ۲ + ۳۰ لا ۲ + ۲۵ لا ۲ + ۱۸ )
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم مضروبات ذیصل وکثیره
قاسم مشترک اعظم (۶ لا ۲ و ۴ لا ۲ )
۲ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۳ لا - ۱۳ ) ۳ لا ۳ + ۱۵ لا ۲ + ۳۰ لا ۲ + ۲۵ لا ۲ + ۱۸ ( ۲ لا
۶ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۳ لا - ۱۳ لا ۲
۶ لا ۳ + ۳۹ لا ۲ + ۵۷ لا ۲ + ۱۸ لا ۲ ( ۳ )
۲ لا ۳ + ۱۳ لا ۲ + ۱۹ لا ۲ + ۶ لا ۱ )
۲ لا ۳ + ۹ لا ۲ - ۳ لا - ۱۳ ) ۲ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۳ لا - ۱۳
۲ لا ۳ + ۱۸ لا ۲ + ۶ لا + ۱۰ ( ۵ )
۲ لا ۲ + ۹ لا + ۶ ( ۲ )
۲ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۳ لا ) ۴ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۳ لا - ۱۳ ( ۲ لا
۲ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۶ لا ۲
- ۳ لا ۲ - ۸ لا - ۱۳
۲ لا + ۳
۲ لا + ۳ ) ۲ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۹ لا + ۳ ( لا ۲ + ۳ لا + ۱
۲ لا ۳ + ۳ لا ۲
۶ لا ۲ + ۹ لا
۶ لا ۲ + ۹ لا
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = (۲ لا + ۳ و ) ۲ لا ۲


۲۱۸
مثال ۴ قاسم مشترک اعظم ۴ لا ۴ + ۱۱ لا ۳ + ۷ لا ۲ + ۷ لا + ۵
و ۶ لا ۴ ۱۴ لا ۳ + ۳۶ لا ۲ + ۴۱ لا + ۱۰ را معلوم کنید :
جمله دوم = ۲ (۳ لا ۴ + ۷ لا ۳ + ۸ لا ۲ + ۷ لا + ۵) و چون عدد ۲ مضروب جمله
اول نمیباشد لهذا قاسم مشترک اعظم مطلوب بعینه قاسم مشترک اعظم
جمله اول و ۳ لا ۴ + ۷ لا ۳ + ۸ لا ۲ + ۷ لا + ۵ میباشد :-
۴ لا ۴ + ۱۱ لا ۳ + ۷ لا ۲ + ۷ لا + ۵
۳ لا ۴ + ۷ لا ۳ + ۸ لا ۲ + ۷ لا + ۵ ) ۱۲ لا ۴ + ۳۳ لا ۳ + ۸۱ لا ۲ + ۵۱ لا + ۱۵ (۴
۱۲ لا ۴ + ۲۸ لا ۳ + ۳۲ لا ۲ + ۲۸ لا + ۲۰
۵ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۲۳ لا - ۵
۳ لا ۴ + ۷ لا ۳ + ۸ لا ۲ + ۷ لا + ۵
۵
۵ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۲۳ لا - ۵) ۱۵ لا ۴ + ۳۵ لا ۳ + ۹۰ لا ۲ + ۳۵ لا + ۲۵( ۳لا
۱۵ لا ۴ + ۲۷ لا ۳ + ۶۹ لا ۲ - ۱۵ لا
۸ لا ۳ + ۲۱ لا ۲ + ۵۰ لا + ۲۵
۵
۴۰ لا ۳ + ۱۰۵ لا ۲ + ۲۵۰ لا + ۱۲۵ (۸
۴۰ لا ۳ + ۷۲ لا ۲ + ۱۸۴ لا - ۴۰
۳۳) ۳۳ لا ۲ + ۶۶ لا + ۱۶۵
لا ۲ + ۲ لا + ۵
لا ۲ + ۲ لا + ۵ ) ۵ لا ۳ + ۹ لا ۲ + ۳۳ لا - ۵ (۵لا - ۱
۵ لا ۳ + ۱۰ لا ۲ + ۲۵ لا
- لا ۲ - ۸ لا - ۵
- لا ۲ - ۸ لا - ۵
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = لا ۲ + ۲لا + ۵


۲۱۹

مثال ۵ قاسم مشترک اعظم ۴لا۲ - ۱۶لا + ۱۸ و ۶لا۳ - ۴لا۲ - ۲۰لا + ۲۴ سر معلوم
جمله اول = ۲(لا۲ - ۸لا + ۹) وجمله دوم = ۲(۳لا۲ - ۲لا - ۱۰لا + ۱۸)
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم مضروبات دو حدود کثیره
ضرب (قاسم مشترک اعظم ۲ و ۲)
لا - ۸لا + ۹ (۳لا۲ - ۲لا - ۱۰لا + ۱۸ ( ۳لا + ۲۲
۳لا۲ - ۲۴لا + ۲۷لا
۲۲لا۲ - ۱۰لا - ۲۷لا + ۱۸
۲۲لا۲ - ۱۷۶لا + ۱۹۸لا
۱۶۶لا - ۲۲۵لا + ۱۸
لا۲ - ۸لا + ۹
۴۱
۴۱لا۲ - ۱۶۶لا + ۱۱۰۷
۴۱لا۲ - ۸لا - ۹ (۴۱لا۲ - ۱۶۶لا + ۱۱۰۷( لا
۴۱لا۲ - ۳۲۸لا - ۳۶۹لا
۱۶۲لا - ۳۶۹لا + ۱۱۰۷
۱۶۲لا - ۱۲۹۶لا - ۱۴۵۸لا
۹۲۷لا - ۲۵۶۵لا ( ۹
۴۱
۱۰۳لا - ۲۸۵لا ( ۹۲۷لا - ۲۵۶۵لا ( ۹
۱۰۳لا - ۸۲۴لا + ۹۲۷لا
۵۳۹لا - ۳۴۹۲لا ( ۵۳۹
لا + ۱۲
لا۲ - ۸لا + ۹ ( لا + ۱۲ ( لا۲ - ۸لا + ۹(لا - ۲۰
لا۲ + ۱۲لا
- ۲۰لا + ۹
- ۲۰لا - ۲۴۰
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = ۲(لا + ۱۲ + ۳)


۳۳۰
مسئله (۵۰)
قاسم مشترک اعظم جملهای ذیل را معلوم کنید
(۱) ۲ لا۲ + ۵ لا - ۳ و ۲ لا۲ + ۳ لا۲ - ۲ لا + ۱۵
(۲) ۳ لا۲ + ۱۶ لا - ۱۲ و ۳ لا۲ + ۴ لا۲ - ۲۸ لا + ۱۶
(۳) ۲ لا۳ - ۳ ولا - ۲۰ لا۲ و ۲ لا۳ + ۳ ولا۲ - ۳۵ ولا - ۱۰۰ لا۲
(۴) ۳ لا۴ - ۷ لا۳ - ۱۴ لا۲ - ۲۴ لا و ۶ لا۴ - ۱۰لا۳ - ۲۲ لا۲
(۵) ۶ و۲ - ۱۱ و - ۳ و + ۲ و ۳ و۲ + ۲۰ و۲ + ۳۳ و - ۱۰
(۶) ۶ و - ۲۵ و ب + ۲۴ و ب۲ - ۱۲ ب۲ و ۴ و۲ + ۱۲ و ب - ۷ ۱ ب۲ - ۳ ب۳
(۷) ۳ لا۴ + ۵ لا۳ + ۵ لا + ۲ و ۲ لا۴ + ۵ لا۳ + ۵ لا + ۳
(۸) ۴ لا۴ - ۷ لای + ۷ لای۲ - ۳ ی۳ و ۳ لا۴ - ۷ لای + ۷ لای۲ - ۴ ی۳
(۹) ۶ لا۴ + ۷ لا۳ + ۵ لا۲ + ۲ لا و ۸ لا۴ - ۸ لا۳ - لا۲ - ۱۰ لا
(۱۰) ۳ لا۴ + ۱۰ لا۳ + ۷ لا۲ + ۲ لا + ۱ و ۲ لا۴ + ۳ لا۳ - ۷ لا - ۳
(۱۱) ۴ لا۴ + ۱۳ لا۳ - ۸ لا - ۳ و ۳ لا۴ + ۱۳ لا۳ + ۹ لا۲ + ۹ لا + ۲
(۱۲) ۲ ( ۱ + ۱۱ ولا + ۶ ولا۲ + لا۳ و ۱ + ۲ + ۱۷ ولا + ۹ ولا۲ + لا۳
(۱۳) ۳۵ و + ۳۱ ولا + ۱۳ ولا۲ + ۲ ولا۳ و ۱۵ و + ۳۴ ولا + ۲۲ ولا۲ + ۳ ولا۳
(۱۴) ۷۰ لا - ۹ ولا + ۱۱ ولا + ۶ و۳ و ۹۱ لا - ۳۵ ولا + ۲۰ ولا + ۴ و۳
(۱۵) ۷۵ لا۳ - ۳۵ لا۲ + ۲۲ لا + ۴ و ۸۵ لا۳ - ۳۶ لا۲ + ۲۵ لا + ۶
(۱۶) ۵ الا۴ - ۳۴ لا۲ + ۷۳ + ۲ و ۹ لا۴ - ۹ لا۳ + ۵ لا + ۳
(۱۷) ۴ لا۴ + ۱۲ لا۳ + ۱۳ لا۲ + ۱۰ لا + ۲۴ لا۳ و ۶ لا۴ + ۳۱ ولا۲ + ۳۰ لا۲ + ۴۲ لا۳


۲۲۱
(۱۸) م۴+۳م۳+۷م۲+۹م+۸ و ۶م۴+۵م۳+۱۳م۲+۷م+۱۲
(۱۹) ۲لآ-۱۹لآ+۲۱لا-۶ ولآ+۲۱لآ+۳لا-۶
(۲۰) ۱۲لآ۳-۳۰لآ۲+۱۲۶لا+۹۰ و ۱۵لآ-۲۵لآ+۱۲۵لا-۷۵
(۲۱) ۸للا۴+۱۱لآ۳+۱۶۲لآ۲+۷لا+۹ و ۱۲للا۴+۲۸لآ۳+۲۷لآ۲+۱۰۸لا+۲۰
(۲۲) لآ-۵لآ+۶لا+۱۲ ولآ-۸لآ-۲۴لا-۳۲
(۲۳) لآ+۵لآ+۳لآ-۴الا-۴۰ ولآ-۴لآ+۲۵لا+۷۵
(۲۴) ۴لآ۴-۸لآ۳+۲۸لآ۲-۴۴لآ+۳۲ و ۶لآ۴+۴لآ۳-۱۲لآ۲-۳۴لآ+۹۶ و آ
(۲۵) ۹لآ-۸الآی-۱۳الآی۲-۴۸لآسی-۱۲ی۲ و ۶لآ+۳لآی+۵لآسی+۴لآسی۲+۸سی۴
(۲۶) ۲لآ-۱۱لآ-۹ و ۳لآ+۱۱لآ+۸
(۲۷) ۳م۴+۱۰م۳-۲۰م۲-۱۱۲م+۳۰ و ۶م۴+۱۰م۳-۲۵م۲+۲۵م-۱۵۰
(۲۸) لآ+۲لآ-۵لآ-۷لا+۳ و ۳لآ-۳لآ-۸الآ+لآ+۳لا+۳
۵۸ چند قاعده دیگر در باب معلوم کردن قاسم مشترک اعظم جملها جبرئیه
فرض کنید که ا و ب دو جمله جبریه است و نیز فرض کنید که ا و ب هیچجمله
ذوحد واحد مضروب مشترک ندارد پس اگر م ون وط و ق اینقسم چهار عدد باشند
که م وق-ن ط صفر نباشد پس در انصورت قاسم مشترک اعظم ا و ب بعینه قاسم
مشترک اعظم م ا+ن ب و ط ا+ق ب میباشد بشرط اینکه مضروبات مشترک
عددی قبل از عمل جدا شوند- و دلیل قواعد سابقه بقرار ذیل است:-
فرض کنید که ع قاسم مشترک اعظم ا و ب و ع قاسم مشترک اعظم م ا+ن ب


۳۳۳

وط ا + و ب میباشد (بعد از جدا کردن مضروبات عددی مشترک) و چون
ہر مضروب مشترک اوب مضروب ما + ن ب وط ا + و ب میباشد
لہٰذا ع مضروب مشترک م ا + ن ب وط ا + و ب است
پس ظاہر است که ع یا مساوی ع یا در ع از در جن ع زیادتر خواهد بود... (ل)
و باز چون و (م ا + ن ب) - ن (ط ا + و ب) = (م و - ن ط) ا
وم (ط ا + و ب) - ط (م ا + ن ب) = (م و - ن ط) ب
لہٰذا ظاہر است که ہر مضروب مشترک م ا + ن ب وط ا + و ب
مضروب (م و - ن ط) ا و نیز مضروب (م و - ن ط) ب میباشد
و چون (م و - ن ط) مقدار عددیست
لہٰذا ہر مضروب مشترک دو جملہ فوق (بغیر مضروبات عددی) مضروب ا
و نیز مضروب ب میباشد بنابراین ع مضروب مشترک ا و ب است
بہین دلیل در چه آن از ع زیاده شده نمیتواند پس از روی (ل) ع=ع
نتیجه ۱ قاسم مشترک اعظم ا و ب بعینه قاسم مشترک اعظم ا و ب است
زیرا که درینصورت م = ۱ و ن = ۱ و ط = ۱ و و = -۱ است
نتیجه ۲ قاسم مشترک اعظم ا و ب بعینه قاسم مشترک اعظم ا و ب است
زیرا که م = ۱ و ن = +- ۱ و ط = . و و = ۱
و همچنین قاسم مشترک اعظم ا و ب مساوی قاسم مشترک اعظم ا + ب و ا میباشد


۲۲۳
مثال ۱ قاسم مشترک اعظم لا۳ - ۵ لا۲ - ۳ لا + ۲ و لا۳ - ۳ لا۲ + ۳ لا - ۲ را معلوم کنید
فرض کنید که ا = لا۳ - ۵ لا۲ - ۳ لا + ۲ و ب = لا۳ - ۳ لا۲ + ۳ لا - ۲
پس ا + ب = ۲ لا۳ - ۲ لا۲ - ۴ لا = ۲ لا ( لا۲ - لا - ۲ )
و ا - ب = ۴ لا۲ - ۶ لا + ۴ = ۲ ( ۲ لا۲ - ۳ لا - ۳ لا + ۲ )
پس از روی نتیجهٔ اول قاسم مشترک اعظم مطلوب یعنی قاسم مشترک اعظم ا ( لا۲ - لا - ۲ )
و ۲ لا۲ - ۳ لا - ۳ لا + ۲ میباشد یعنی قاسم مشترک اعظم ( لا - ۱ ) ( لا - ۲ ) و ۲ لا۲ - ۳ لا - ۳ لا + ۲
فرض کنید که ا = لا۲ - لا - ۲ و ب = ۲ لا۲ - ۳ لا - ۳ لا + ۲
پس ا + ب = ۳ لا۲ - ۴ لا - ۴ لا = لا ( ۳ لا - ۴ - ۲ )
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم ا و ا + ب اقرار نتیجهٔ دوم
= لا۲ - لا - ۲
مثال ۳ قاسم مشترک اعظم ۴ لا۵ + ۱۱ لا۴ + ۷ لا۳ + ۷ لا۲ + ۵ و ۳ لا۵ + ۷ لا۴
+ ۷ لا۳ + ۷ لا + ۵ را معلوم کنید :-
فرض کنید که ا = ۴ لا۵ + ۱۱ لا۴ + ۷ لا۳ + ۷ لا۲ + ۵ و ب = ۳ لا۵ + ۷ لا۴ + ۸ لا۳ + ۷ لا + ۵
لهذا ا - ب = لا۵ + ۴ لا۴ + ۹ لا۳ + ۱۰لا = لا ( لا۴ + ۴ لا۳ + ۹ لا۲ + ۱۰ )
و ۳ ا - ۴ ب = ۵ لا۴ + ۹ لا۳ + ۲۳ لا - ۵
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم لا۴ + ۴ لا۳ + ۹ لا۲ + ۱۰
و ۵ لا۴ + ۹ لا۳ + ۲۳ لا - ۵
و نیز فرض کنید که ا = لا۴ + ۴ لا۳ + ۹ لا۲ + ۱۰ و ب = ۵ لا۴ + ۹ لا۳ + ۲۳ لا - ۵
پس ا + ۲ ب = ۱۱ لا۴ + ۲۲ لا۳ + ۵۵ لا = ۱۱ لا ( لا۳ + ۲ لا۲ + ۵ )
و ۵ ا - ب = ۱۱ لا۳ + ۲۲ لا + ۵۵ = ۱۱ ( لا۳ + ۲ لا + ۵ )
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم لا ( لا۲ + ۲ لا + ۵ )
و لا۳ + ۲ لا + ۵ میباشد یعنی = لا۲ + ۲ لا + ۵


۲۲۴
مثال ۳ قاسم مشترک اعظم ۲ لا - ۱۱ لا - ۹
فرض کنید که ا = ۲ لا + ۱۱ لا + ۹ وب = ۲ لا - ۱۱ لا - ۹
لهذا ا - ۲ ب = ۱۱ لا + ۳۳ لا + ۹۹ = ۱۱ ( لا + ۳ لا + ۹ )
و ا + ۹ ب = ۲۲ لا + ۱۱ لا - ۹۹ لا = ۱۱ لا ( ۲ لا + لا - ۹ )
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم لا + ۳ لا + ۹ و لا ( ۲ لا + لا - ۹ )
= قاسم مشترک اعظم لا + ۳ لا + ۹ و ۲ لا + لا - ۹
و نیز فرض کنید که ا = لا + ۳ لا + ۹ وب = ۲ لا + لا - ۹
:. ا + ب = لا + ۲ لا + ۳ لا = لا ( لا + ۲ لا + ۳ )
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم ۲ لا + لا - ۹ = ب و لا + ۲ لا + ۳ = ج فرضاً
و چون ب + ۲ ج = ۲ لا + ۴ لا + ۶ لا = ۲ ( لا + ۲ لا + ۳ )
:. قاسم مشترک اعظم مطلوب = قاسم مشترک اعظم ج و ب + ۲ ج = لا + ۲ لا + ۳
مسئله ( ۵۱ )
قاسم مشترک اعظم جمله های ذیل را معلوم کنید:
( ۱ ) لا - ۳ لا - ۴ لا - ۱۲ و لا - ۷ لا + ۱۶ لا - ۱۲
( ۲ ) ۲ لا - ۷ لا + ۱۴ لا + ۱۲ و ۴ لا - ۲ لا - ۳۳ لا + ۳۱ لا - ۱۲
( ۳ ) ۳ لا + ۲ لا + ۱۹ لا + ۴ و ۲ لا + ۵ لا + ۵ لا - ۴
( ۴ ) ۳ لا - ۵ لا + ۷ و ۶ لا - ۷ لا - ۵ لا + ۱۲ لا + ۷
( ۵ ) ۶ لا - ۱۱ لا + ۱۶ لا - ۲۲ لا + ۸ و ۶ لا - ۱۱ لا - ۸ لا + ۲۲ لا - ۸
( ۶ ) ۳ لا + ۱۹ لا + ۳۰ لا - ۳۱ لا + ۸ و ۲ لا + ۷ لا - ۲۴ لا + ۶۲ لا - ۱۶


۲۲۵
(۷) ۳ لا۳ - ۷ لا۲ - ۲ لا - ۶ لا + ۲  و ۳ لا۳ - ۱۳ لا۲ - ۴ لا - ۹ لا + ۳
(۸) ۵ لا۴ - ۱۸ لا۲ - ۷ لا + ۱۲ لا + ۳  و ۵ لا۴ - ۲۳ لا۲ - ۹ لا + ۱۶ لا + ۴
(۹) ۲ لا۴ - ۵ لا۳ - ۷ لا۲ - ۳ لا + ۲  و ۶ لا۴ + ۲۳ لا۳ + ۳۴ لا۲ + ۲۱ لا - ۱۲ لا - ۳
(۱۰) ۶ لا۴ + ۹ لا۳ - ۱۳ لا۲ - ۴ لا + ۹ لا - ۳  و ۹ لا۴ + ۱۳ لا۳ - ۱۸ لا۲ - ۵ لا + ۱۲ لا - ۴
(۱۱) لا۴ - لا۲ + ۸  و لا۴ - لا۳ + ۴  (۱۲) ۳ لا۴ + ۱۳۹ لا۳ - ۴۴  و ۳۹ لا۴ + ۱۳۹ لا - ۱۶
طریق معلوم کردن قاسم مشترک اعظم سه جمله جبریه یا زیاده.
فرض کنید که ا و ب و ج سه جمله جبریه است که قاسم مشترک اعظم انها مطلوبست
مثلا فرض کنید که ص قاسم مشترک اعظم ا و ب است و ع قاسم مشترک اعظم ص و ج
پس چون ص حاصل ضرب همه مضروبات اصلیه و مشترکه ا و ب میباشد
لهذا هر مضروب یا قاسم ص قاسم ا و ب نیز خواهد بود -
بنابراین هر قاسم مشترک ص و ج قاسم مشترک ا و ب و ج نیز خواهد بود -
پس ع قاسم مشترک ا و ب و ج نیز میباشد  لهذا قاسم مشترک اعظم مطلوب
یا مساوی ع یا مساوی ا ن جمله خواهد بود که درجه ان از درجه ع زیاده تر با..... (م)
و چون هر قاسم مشترک ا و ب قاسم ص نیز میباشد
بنابرین هر قاسم مشترک ا و ب و ج قاسم مشترک ص و ج نیز خواهد بودی آن
قاسم مشترک اعظم مطلوب قاسم مشترک ص و ج میباشد بنابرین درجه
از ع زیاده تر شد نمیتواند پس از روی (م) قاسم مشترک اعظم مطلوب
= ع  و نیز از دلائل فوق ظاهر است که اگر د جمله چهارم باشد قاسم مشترک اعظم


۲۲۶

ا و ب و ج و د بعینه قاسم مشترک اعظم ج و د میباشد پس قاعده ذیل حاصل میشود
قاعده معلوم کردن قاسم مشترک اعظم چند جمله ا و ب و ج و د و غیره اینست
که اولاً قاسم مشترک اعظم ا و ب را معلوم کنید و بعد ازان قاسم مشترک اعظم
این حاصل و ج را معلوم کنید و علی ہذا القیاس
پس حاصل اخیر قاسم مشترک اعظم مطلوب خواهد بود -
مثال قاسم مشترک اعظم ۲ لا۴ - ۷ لا۳ - ۵۸ لا ۲ - ۲۴ و ۳ لا ۴ + ۲ لا۳
- ۱۱ لا۲ - ۷۰ لا + ۲۴ و ۵ لا ۴ + ۹ لا۳ - ۴۷ لا۲ - ۸۱ لا + ۱۸ را معلوم کنید
اول قاسم مشترک اعظم دو جمله اول را معلوم کنید
مثلاً فرض کنید که ا = ۲ لا۴ - ۷ لا۳ - ۵۸ لا۲ - ۲۴ و ب = ۳ لا ۴ + ۲ لا۳ - ۱۱ لا۲ - ۷۰ لا+۲۴
ا + ب = ۵ لا ۴ - ۷ لا۳ - ۲۸ لا ۲ - ۱۲ لا = لا ( ۵ لا ۳ - ۷ لا ۲ - ۲۸ لا - ۱۲ )
و - ۳ ا + ۲ ب = ۴۹ لا ۳ + ۲۹ لا۲ - ۳۱۴ لا + ۱۲۰
پس قاسم مشترک اعظم ا و ب بعینه قاسم مشترک اعظم ۵ لا ۳ - ۷ لا۲ - ۲۸ لا - ۱۲
و ۴۹ لا ۳ + ۲۹ لا ۲ - ۳۱۴ لا + ۱۲۰ میباشد
و نیز فرض کنید آ = ۵ لا ۳ - ۷ لا۲ - ۲۸ لا - ۱۲ و بَ = ۴۹ لا ۳ + ۲۹ لا۲ - ۳۱۴ لا + ۱۲۰
۱۰ ا + بَ = ۹۹ لا ۳ + ۹۹ لا ۲ - ۵۹۴ لا = ۹۹ لا ( لا ۲ + لا - ۶ )
پس قاسم مشترک اعظم ا و ب بعینه قاسم مشترک اعظم ۵ لا ۳ - ۷ لا ۲ - ۲۸ لا - ۱۲ = ( ا )
و لا ۲ + لا - ۶ = ج فرضاً میباشد -


۲۲۷
وچون اَ - ب ج = ۵ لاَ۴ + ۵ لاَ۳ - ۳۰ لاَ = ۵ لاَ (لاَ۳ + لاَ۲ - ۶) قاسم مشترک اعظم
اَ و ب = قاسم مشترک اعظم ج و اَ - ب ج = لاَ۲ + لاَ - ۶
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب مساوی قاسم مشترک اعظم لاَ۲ + لاَ - ۶
و ۵ لاَ۴ + ۹ لاَ۳ - ۴۷ لاَ۲ - ۸۱ لاَ + ۱۸ میباشد و این قاسم مشترک اعظم بطریق ذیل معلوم
لاَ۲ + لاَ - ۶ ) ۵ لاَ۴ + ۹ لاَ۳ - ۴۷ لاَ۲ - ۸۱ لاَ + ۱۸ ( ۵ لاَ۲ + ۴ لاَ
۵ لاَ۴ + ۵ لاَ۳ - ۳۰ لاَ۲
۴ لاَ۳ - ۱۷ لاَ۲ - ۸۱ لاَ
۴ لاَ۳ + ۴ لاَ۲ - ۲۴ لاَ
- ۳ ) - ۲۱ لاَ۲ - ۵۷ لاَ + ۱۸
۷ لاَ۲ + ۱۹ لاَ - ۶ ( ۷
۷ لاَ۲ + ۷ لاَ - ۴۲
۱۲ ) ۱۲ لاَ + ۳۶
لاَ + ۳
لاَ + ۳ ) لاَ۲ + لاَ - ۶ ( لاَ - ۲
لاَ۲ + ۳ لاَ
- ۲ لاَ - ۶
- ۲ لاَ - ۶
×
پس قاسم مشترک اعظم مطلوب = لاَ + ۳
مسئله (۵۲)
قاسم مشترک اعظم جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۳ لاَ۴ + ۷ لاَ۳ - ۵ لاَ۲ - ۴ و لاَ۴ + ۸ لاَ۳ + ۱۱ لاَ۲ - ۲۰ و ۳ لاَ۴ + ۱۹ لاَ۳ + ۴۹ لاَ + ۲۰
(۲) ۲ لاَ۴ + ۳ لاَ۳ + ۸ لاَ + ۵ و ۲ لاَ۵ - ۵ لاَ۴ + ۱۲ لاَ۳ - ۲۵ لاَ۲ + ۱۰ و ۲ لاَ۵ - ۵ لاَ۴ + ۱۰ لاَ۲ - ۲۰ لاَ + ۳۰


۲۲۸

(۳) ۳ لا ۲ + ۷ لا - ۱۹ لا - ۱۴ لا + ۳۰ لا ۲ + ۵ لا - ۱۶ لا - ۷۰ لا + ۲۲ و ۲ لا + ۵ لا - ۱۰ لا + ۵ لا - ۱۲
(۴) ۲ لا - ۴ لا - ۶۹ لا - ۲ لا - ۳۵ و ۲ لا - ۶ لا - ۵۵ لا - ۳ لا - ۲۸ و ۴ لا + ۸ لا + ۴۱ لا + ۹ لا + ۲۰
(۵) ۳ آ + ۲۸ آ ب + ۵۲ ا ب - ۴۸ ب ۲ و ۳ آ + ۴ آ ب - ۲۸ و ب + ۱۶ ب
و ۳ آ + ۱۰ آ ب - ۴۴ ا ب ۲ + ۲۴ ب ۲
(۶) ۶ آ + ۵ آ ب - ۳۴ ا ب ۲ + ۱۵ ب ۲ و ۶ آ - ۷ ۳ آ ب + ۷۵ ا ب ۲ - ۲۰ ب ۲
و ۳ آ - ۸ آ ب - ۳۱ ا ب ۲ + ۶۰ ب ۲
(۷) ۳ لا + ۱۱ لا - ۳۲ لا - ۴۴ لا + ۸۰ و ۳ لا - لا - ۵۲ لا + ۱۲۴ لا - ۸۰
و ۳ لا + ۲ لا - ۲۰ لا - ۸ لا + ۳۲ و ۳ لا + ۲ لا - ۸۳ لا - ۵۰ لا + ۲۰۰
(۸) ۶ لا + ۱۴ لا - ۵۳ لا - ۳۲ لا + ۶۶ لا + ۲۴ و ۶ لا - ۲۸ لا + ۷ لا ۲ + ۵۴ لا - ۳۹ لا - ۱۸
و ۶ لا + ۸ لا - ۷۹ لا - ۳۶ لا + ۱۰۵ لا + ۳۶ و ۲ لا - ۱۲ لا - ۳۱ لا + ۵۱ لا + ۳۲ لا - ۷۲

باب دهم
ذو اضعاف اقل یا مثل مشترک اصغر

۸۷ تعریف
هر گاه یک جمله جبریه بر جمله دیگر بدون باقی تقسیم شود جمله اول را مثل جمله دوم میگویند
و نیز هر گاه یک جمله جبریه بر دو یا زیاده جمله جبریه بدون باقی تقسیم شود جمله اول مثل
مشترک جمله‌های دیگر میگویند - از امثال مشترکه دو یا زیاده جمله جبریه آن مثل را
که اقل امثال مشترکه باشد ذو اضعاف اقل یا مثل مشترک اصغر میگویند


۲۳۹
مثلا امثال مشترک ا و ب هر یکی از ا ب و ۲ ا ب و اَ ب و ا بَ و اَ بَ و غیره میبا
لیکن از امثال مذکور ا ب اقل امثال مشترکه میباشد لهذا ا ب مثل مشترک اصغر ا و ب میباشد
۸۸ طریق دریافت نمودن مثل مشترک اصغر جملهای بسیط
یا جملهای مرکب که بآسانی مضروبات تفریق شده میتوانند
در صورتها فوق مثل مشترک اصغر بیک نظر نوشته شده میتواند امثله ذیل تشریح طریق عمل میکنند
مثال ۱ مثل مشترک اصغر ۴ اَ ب ج و ۶ ا بَ د را معلوم کنید
جمله اول = ۲ × اَ × ب × ج جمله دوم = ۲ × ۳ × ا × بَ × د
لهذا ۴ × ۳ × اَ × بَ × ج × د مضروبات اصلیه مثل مشترک اصغر جملهای مفروضا
و ∴ مثل مشترک اصغر مطلوب = ۴ × ۳ × اَ × بَ × ج × د = ۱۲ اَ بَ ج د
مثال ۲ مثل مشترک اصغر ۲۴ لاَی ع و ۱۸ لایَ عَ و ۲۷ لایَ عَ را دریافت کنید
جمله اول = ۲۳ × ۳ × لاَ × ی × ع جمله دوم = ۲ × ۳۲ × لا × یَ × عَ
و جمله سوم = ۳۳ × لاَ × یَ × عَ
لهذا ۳۲ × ۳۳ × لاَ × یَ × عَ مضروبات اصلیه مثل مشترک جملهای مفروضه میبا
∴ مثل مشترک اصغر مطلوب = ۲۳ × ۳۳ × لاَ × یَ × عَ = ۲۱۶ لاَ یَ عَ
مثال ۳ مثل مشترک اصغر ۴ لاَ (لا+اَ) و ۶ اَ لا (لا-اَ) و ۹ اَ (لاَ-اَ) را معلوم کنید
جمله اول = ۲۲ × لا (لا+اَ) و جمله دوم = ۲ × ۳ × اَ × لا × (لا+اَ) (لا-اَ)
و جمله سوم = ۳۲ × اَ × (لا-اَ) (لاَ+اَ لا+ اَ)
لهذا ۲۲ × ۳۲ × اَ × لاَ (لا+اَ) (لا-اَ) (لاَ+اَ لا+ اَ) مضروبات اصلیه مثل
مشترک اصغر جملهای مفروضه میباشد-


۲۳۰

مثل مشترک صغیر مطلوب = ۲ × ۳ × لآ × لا (لا + ۱) × (لا - ۱) × (لا۲ + ولا + ۱)
= ۶ لا (لا + ۱) (لا۲ - ۱)
مثال ۴ مثل مشترک صغیر لا - ۳لا + ۲ و لا۲ + لا - ۳ لا و لا۲ + لا - ۶ لا را دریافت بکنید
جمله اول = (لا - ۱) (لا - ۲) جمله دوم = لا (لا + ۲ لا - ۳) = لا (لا - ۱) (لا + ۳)
و جمله سوم = لا (لا + لا - ۶) = لا (لا - ۲) (لا + ۳)
لہذا لا (لا - ۱) (لا - ۲) (لا + ۳) مضروبات اصلیہ مثل مشترک صغیر جملہائے مفروضہ میباشد
مثل مشترک صغیر مطلوب = لا (لا - ۱) (لا - ۲) (لا + ۳)
مثال ۵ مثل مشترک اصغر لا - ۳ لا + ۳ لا - ۱ و لا - لا۲ - لا + ۱
ولا۲ - ۲ لا۲ + ۲ لا - ۱ و لا۲ - ۲ لا۲ + ۲ لا - ۲ لا + ۱ را معلوم کنید :-
لا - ۳ لا + ۳ لا - ۱ = (لا - ۱)۳ و لا - لا۲ - لا + ۱ = لا (لا - ۱) - (لا - ۱)
= (لا - ۱) (لا۲ - ۱) = (لا - ۱)۲ (لا + ۱)
ولا۲ - ۲ لا۲ + ۲ لا - ۱ = (لا - ۱) - ۲ لا (لا - ۱) = (لا - ۱) { (لا - ۱) - ۲ لا }
= (لا - ۱) (لا - ۱)۲ = (لا - ۱)۳ (لا + ۱)
ولا۲ - ۲ لا۲ + ۲ لا - ۲ لا + ۱ = لا (لا۲ - ۲ لا + ۱) + (لا۲ - ۲ لا + ۱) = (لا۲ - ۲ لا + ۱) (لا + ۱)
= (لا - ۱)۲ (لا + ۱)
لہذا (لا - ۱)۳ (لا + ۱) (لا۲ + ۱) مضروبات اصلیہ مثل مشترک صغیر جملہائے مفروضہ میباشد
مثل مشترک صغیر مطلوب = (لا - ۱)۳ (لا + ۱) (لا۲ + ۱)
مثلہ (۵۳)
مثل مشترک اصغر جملہائے ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۱۲ ب و ۱ ب (۲) ۱۲ ب۲ و ۱۲ ب ج (۳) ۶ لا۲ ی و ۱۰ لای (۴) ۴ م۲ ن و ۱۴ م۲ ن۲ و ۱۲ م ن۲


۲۳۱

(۵) ۸ لا ی ع و ۱۲ الا ی ع (۶) ۴ آ ب ج و ۱۰ ا ب ج و ۲۴ ا ب ج
(۷) ۸ ا ب ج و ۱۲ ا ب ج و ۲۰ ا ب ج (۸) ۶ لا ی و ۹ لا ی ع و ۱۲ اولا ی و ۱۵ اولا
(۹) اب - ا ب و ا ب + ا ب (۱۰) ۴ (لا - ی) و ۶ (لا - ی) و ۸ (لا + ی)
(۱۱) لا - ۴ لا + ۳ ولا - ۵ لا + ۶ (۱۲) ا + ۲ ولا - ۳ ولا وا + ولا - ۶ ولا
(۱۳) آ (آ - ۴) و آ + ۲ ا - ۸ ا (۱۴) ۳ الا کو ۲ لا (لا - لا) و ۶ ولا (لا + لا)
(۱۵) ۱۲ (لا + ۳ لا - ۱۰) و ۱۶ (لا + ۴ لا - ۱۲) (۱۶) لا + ۲ لا - ۵ اولا + ۹ لا + ۲۰ ولا + ۴ لا - ۳۱
(۱۷) ۱۳ ا - ۲۷ ا ب و ۲ ا + ا ب - ۳ ب و ۲ ا - ا ب - ۳ ب
(۱۸) ۸ ا + ۷۲ ب و ۸ ا - ۷۲ ب و ۱۶ ا + ۳۶ ا ب + ۸۱ ب
(۱۹) ۸ لا - ۵۰ لا ی و ۱۲ الا + ۲۴ لا ی - ۱۵ الا ی و ۱۶ الا - ۴۸ لا ی + ۲۰ ی
(۲۰) ۴ لا - ۱۲ الا + ۹ ا و ۶ لا - ۷ ولا - ۳ ا و ۶ لا - ۱۱ الا - ۳ ا
(۲۱) ۲ لا + ۶ لا + ۹ و ۴ لا - ۱۲ الا + ۸ الا و ۴ لا + ۸۱
(۲۲) ۹ و - ۶ ولا + لا و ۱۶ و + ۱۰ لا - ۴ لا و ۹ و - ۳۱ ولا + ۶ لا
(۲۳) ۸ لا - ۱۲ الا + ۶ لا - ۱ و ۸ لا - ۴ لا - ۲ لا + ۱ و ۲ لا + ۵ لا - ۳
(۲۴) لا - ۶ لا ی + ۸ ی ولا - ۷ لا ی + ۱۲ ی ولا + ۲ لا ی - ۱۵ ی ولا + لا ی - ۲۰ ی
(۲۵) ۶ لا - لا - ۱ و ۳ لا + ۷ لا + ۲ و ۲ لا + ۴ لا - ۲
(۲۶) ۱ + ۴ لا + ۴ لا - ۱۶ الا وا + ۴ لا - ۸ لا - ۱۶ الا
(۲۷) ۹ لا - ۲۸ لا + ۳ و ۷ ۲ لا - ۱۳ الا + ۱ و ۷ ۲ لا + ۶ لا - ۱ ولا - ۶ لا + ۹

برای حل این مثال اخیر اولا مضروبات جمله اخیر را معلوم کنید
و بوساطت آن مضروبات جمله اول را دریافت کنید:-


۲۳۲
۸۹ طریق دریافت نمودن مثل مشترک اصغر دو جمله که
مضروبات اصلیه آنها ظاهر نباشد
فرض کنید که ا وب دو جمله جبر یه است و قاسم مشترک اعظم آنها ع است
پس ا و ب را بر ع تقسیم کنید و فرض کنید که خارج قسمت ا و ب میباشند
لهذا ا = اَ ع و ب = بَ ع
و چون اَ بَ هیچ یک مضروب اصلی مشترک ندارند. لہذا ہر مثل مشترک
ا و ب بالضرور بر اَ ضرب ع ضرب بَ بطور مضروب شامل میباشد
لهذا مثل مشترک اصغر مطلوب = اَ رع بَ
و چون اَ رع بَ = اَ (رع بَ) = اَ بر ع ضرب ب
یا = (اَ رع) بَ = ا ضرب بَ بر ع
لهذا مثل مشترک اصغر مطلوب = ا بر ع ضرب ب
یا = ا ضرب بَ بر ع
پس برای دریافت نمودن مثل مشترک اصغر دو جمله جبریه یکی را
بر قاسم مشترک اعظم آنها تقسیم کنید و خارج قسمت را در جمله دیم ضرب بکنید
نتیجه اگر ص مثل مشترک اصغر ا و ب باشد ظاهر است که
ص ضرب ع = ا ضرب ب پس حاصل ضرب مثل مشترک اصغر
و قاسم مشترک اعظم دو جمله جبریه مساوی حاصل ضرب دو جمله مفروضه کورتیا


۲۳۳
مثال مثل مشترک اصغر ۶ لا۳ + ۲۵ لا۲ + ۱۶ لا + ۷ و ۶ لا۴ - ۱۱ لا۳ - ۸ لا۲ - ۵ لا در یابید
۶ لا۴ - ۱۱ لا۳ - ۸ لا۲ - ۵ ) ۶ لا۳ + ۲۵ لا۲ + ۱۶ لا + ۷ ( لا
۶ لا۴ - ۱۱ لا۳ - ۸ لا۲ - ۵
۱۲ ) ۳۶ لا۳ + ۳۲ لا + ۱۳
۳ لا۳ + ۲ لا - ۱
۳ لا۳ + ۲ لا + ۱ ) ۶ لا۳ - ۱۱ لا۲ - ۸ لا - ۵ ( ۲ لا - ۵
۶ لا۳ + ۴ لا۲ + ۲ لا
- ۱۵ لا۲ - ۱۰ لا - ۵
- ۱۵ لا۲ - ۱۰ لا - ۵
×
∴ قاسم مشترک اعظم جملہائے مفروضہ = ۳ لا۲ + ۲ لا + ۱
و مثل مشترک اصغر مطلوب = ۶ لا۴ - ۱۱ لا۳ - ۸ لا۲ - ۵ ( ۶ لا۳ + ۲۵ لا۲ + ۱۶ لا + ۷ )
۳ لا۲ + ۲ لا + ۱
= ( ۲ لا - ۵ ) ( ۶ لا۳ + ۲۵ لا۲ + ۱۶ لا + ۷ )
= ۱۲ لا۴ + ۲۰ لا۳ - ۹۳ لا۲ - ۶۶ لا - ۳۵
مسئله (۵۴)
مثل مشترک اصغر جملہائے ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۳ لا۳ + ۲ لا۲ - ۱۱ لا + ۴ و ۳ لا۳ + ۴ لا۲ + ۱۳ لا - ۸
(۲) ۶ لا۴ + ۷ لا۳ + ۹ لا - ۴ و ۶ لا۴ - ۷ لا۳ - ۷ لا۲ + ۸
(۳) ۱۲ لا۳ - ۴ لا۲ - ۲۵ لا + ۱۲ و ۱۲ لا۳ - ۲۸ لا۲ + ۷ لا + ۱۲
(۴) ۹ لا۳ - ۱۲ لا۲ - ۱۵ لا + ۲۰ و ۱۵ لا۳ + ۱۲ لا۲ - ۲۵ لا - ۲۰
(۵) ۴ لا۴ - ۱۰ لا۳ - ۱۸ لا + ۴۵ و ۶ لا۴ + ۸ لا۳ - ۷ لا۲ - ۳۶
(۶) ۴ لا۴ + ۴ لا۳ + ۷ لا۲ + ۱۱ لا + ۴ و ۶ لا۴ + ۷ لا۳ + ۴ لا۲ + ۵ لا + ۲


۲۳۴

(۷) ۸لآ ـ ۲لآ ـ ۸لآ + ۹لآ ـ ۶ و ۱۶لآ ـ ۱۲لآ + ۲۰لآ ـ ۹لآ + ۶
(۸) ۴لآ + ۸لآ + ۲۱لآ + ۸الا + ۳۷ و ۳لآ + ۶لآ + ۷الا + ۱۶الا + ۲۴
(۹) اگر ع قاسم مشترک اعظم و ص مثل مشترک اصغر دو جمله ا و ی باشد و نیز اگر ع ص
= لا + ی باشد پس ثابت کنید که ع + ص = لآ + ی
۹۰ طریق دریافت نمودن مثل مشترک اصغر سه جمله یا زیاده
که مضروبات شخصا ظاهر نباشد ـ
فرض کنید که ا و ب و ج سه جمله جبریه و ص مثل مشترک اصغر ا و ب و ق
مثل مشترک اصغر ص و ج است
پر ظاهر است که هر مثل مشترک ص و ج مثل مشترک ا و ب و ج نیز میباشد .... (۱)
و نیز هر مثل مشترک ا و ب و ج مثل مشترک ص و ج نیز میباشد .... (۲)
از (۱) ظاهر است که ق مثل مشترک ا و ب و ج است ـ بود
لهذا ق یا یک جمله دیگر که در جه آن از ق کمتر باشد مثل مشترک اصغر ا و ب و ج خواهید
و چون آن جمله که درجه آن از ق کمتر باشد مثل مشترک اصغر ا و ب و ج شده نمیتواند
زیرا که از (۲) ظاهر است که مثل مشترک اصغر ا و ب و ج مثل مشترک ص و ج
پس مثل مشترک اصغر مطلوب = ق خواهد بود ـ
بنابرین برای دریافت نمودن مثل مشترک اصغر چند جمله اول ا و ب و ج و د وغیر
اولا مثل مشترک اصغر ا و ب را معلوم کنید بعد ازان مثل مشترک اصغر این حاصل و
و ج را و علی هذا القیاس پس حاصل اخیر مثل مشترک اصغر مطلوب خواهد بود


۲۳۵
مثال مثل مشترک صغر ۶ لا ۴ - ۱۱ لا ۳ + ۳ - ۴ لا ۲ - لا - ۳ و ۶ لا ۲ + ۲۵ لا - ۹ را دریافت کنید
۶ لا ۴ - ۱۱ لا ۳ + ۳ ) ۶ لا ۲ + ۲۵ لا - ۹ ( ۱
۶ لا ۲ - ۱۱ لا + ۳
۳۶ لا - ۱۳ ( ۱۲
۳ لا - ۱
۳ لا - ۱ ( ۶ لا ۲ - ۱۱ لا + ۳ ) ۳ لا - ۳
۶ لا ۲ - ۲ لا
- ۹ لا + ۳
- ۹ لا + ۳
قاسم مشترک اعظم ۶ لا ۴ - ۱۱ لا ۳ + ۳ و ۶ لا ۲ + ۲۵ لا - ۹ = ۳ لا - ۱
لهذا مثل مشترک صغر دو جمله فوق = ۶ لا ۴ - ۱۱ لا ۳ + ۳ ( ۶ لا ۲ + ۲۵ لا - ۹ )
۳ لا - ۱
= ( ۲ لا - ۳ ) ( ۶ لا ۲ + ۲۵ لا - ۹ )
= ۱۲ لا ۳ + ۳۲ لا ۲ - ۹۳ لا + ۲۷
و چون مثل مشترک صغر این جمله و ۴ لا ۲ - ۴ لا - ۳ را معلوم شود
۴ لا ۲ - ۴ لا - ۳ ) ۱۲ لا ۳ + ۳۲ لا ۲ - ۹۳ لا + ۲۷ ( ۳ لا + ۱۱
۱۲ لا ۳ - ۱۲ لا ۲ - ۹ لا
۴۴ لا ۲ - ۸۴ لا + ۲۷
۴۴ لا ۲ - ۴۴ لا - ۳۳
- ۴۰ لا + ۶۰ ( - ۲۰
۲ لا - ۳
۳ لا - ۳ ) ۴ لا ۲ - ۴ لا - ۳ ( ۲ لا + ۱
۴ لا ۲ - ۶ لا
۲ لا - ۳
۲ لا - ۳
پس قاسم مشترک اعظم این دو جمله = ۲ لا - ۳
لهذا مثل مشترک آنها = ۴ لا ۲ - ۴ لا - ۳ ( ۱۲ لا ۳ + ۳۲ لا ۲ - ۹۲ لا + ۲۷ )
۲ لا - ۳
= ( ۲ لا + ۱ ) ( ۱۲ لا ۳ + ۳۲ لا ۲ - ۹۳ لا + ۲۷ )
= ۲۴ لا ۴ + ۷۶ لا ۳ - ۱۵۴ لا ۲ - ۱۳۹ لا + ۲۷


۲۳۶
مسئله (۵۵)
مثل مشترک اصغر جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۳لا۲ - ۱۱لا - ۸ و ۴لا۲ - ۲۰ لا + ۹ و ۶ لا۲ + لا - ۲
(۲) ۳لا۲ - ۲۳لا - ۸ و ۶لا۲ - ۷ لا - ۳ و ۲لا۲ - ۱۱لا + ۱۲
(۳) ۶لا۲ - ۱۹لا + ۱۰ و ۱۲لا۲ - ۱۱لا + ۲ و ۸لا۲ - ۱۰لا - ۳
(۴) ۲لا۴ + ۳لا۳ + لا۲ - ۶لا - ۳ و ۴لا۴ + ۸لا۳ - ۷لا۲ - ۶لا + ۳ و ۸لا۴ + ۴لا۳ - ۲لا۲ - ۳لا - ۳
باب یازدهم
کسور
۹۱ تعریف
برای هر قسم قیمت عددی (ا و ب) کسر جبری اب ان مقدار است که
اگر در ب ضرب شود حاصل ا میباشد یعنے اراب مراد ا ب میباشد
و در کسر جبری اب ا را صورت و ب را مخرج میگویند
تنبیه از تعریف فوق ظاهر است که کسر جبری محض آن خارج قسمت
میباشد که دران مقسوم بالای یک خط عرضی نوشته میشود و مقسوم علیه زیر خط
و نیز مقسوم را که بصورت فوق نوشته شود صورت میگویند و مقسوم علیه را مخرج
۹۲ اگر صورت و مخرج کسور جبریه را در یک مقدار غیر معین
ضرب یا بران تقسیم شود در قیمت کسور مذکور هیچ تفاوت پیدا نمیشود
اثبات این امر که برای هر قیمت عددی ا و ب و م اب = ام بم میباشد


۲۳۷
فرض کنید که ا/ب = ا/ب :. ا/ب x ب = ا/ب x ب = ا.... (بحکم تعریف فقره ۹۱)
:. ا/ب x م x ب = ا x م یا ا/ب x ب م = ام لہذا ا/ب = ام ÷ ب م یعنی ا/ب = ام/ب م
و نیز بر عکس آن چون ام/ب م = ا/ب :. ام/ب م = ام ÷ م/ب م ÷ م و هو المراد
نتیجه = ا/ب = ا x (-۱) / ب x (-۱) = -ا/-ب
یعنے اگر علامات صورت و مخرج یک کسر جبری تبدیل شود قیمیت کسر
هیچ فرق واقع نمیشود :-
۹۳ طریق اختصار کسور جبریه
کسر مختصر آنست که صورت و مخرج آن هیچ مضروب مشترک نداشته باشد
پس مفهوم اختصار یک کسر جبری اینست که یک کسر دیگر مساوی کسر
مفروض انقسم معلوم شود که صورت و مخرج آن هیچ مضروب مشترک نداشته با
ظاهر است که اگر صورت و مخرج کسر بر قاسم مشترک اعظم آنها تقسیم شود
کسر مذکور مختصر میشود :-
تنبیه اگر مضروبات صورت و مخرج ظاهر باشند پس برای اختصا کسر
همینقدر کافیست که مضروبات مشترک صورت و مخرج برداشته شود -
مثال ۱ ۴ ا۲ ب۲ ج۳ / ۱۰ ا ب۲ ج۳ را مختصر کنید :-
۴ ا۲ ب۲ ج۳ / ۱۰ ا ب۲ ج۲ = ۲ x ۲ x ا۲ x ب۲ x ج۳ / ۲ x ۵ x ا x ب۲ x ج۲
= ۲ ا ج / ۵ ب


۲۳۸
مثال ۲ ۳ اب (ا - ب) را مختصر کنید
۳ اب (ا+ب)
اب (ا-ب)_اب(ا+ب)(ا-ب)_(ا-ب)
۳اب (ا+ب) ۳ اب(ا+ب)(ا-ب+ب) ۳اب(ا-اب+ب
مثال ۳ لا+۳لا-۴۰ را مختصر کنید
لا+۴لا-۳۲
صورت=(لا+۸)(لا-۵) و مخرج=(لا+۸)(لا-۴)
. : کسر مفروض=(لا+۸)(لا-۵)_لا-۵
(لا+۸)(لا-۴) لا-۴
مثال ۴ ۲ا+۳ولا-۲وب-۳ب لا را مختصر کنید :
۳ا-۲ولا-۳وب+۲ب لا
صورت=۲ا(ا-ب)+۳لا(ا-ب)=(۲ا+۳لا)(ا-ب)
و مخرج=۳ا(ا-ب)-۲لا(ا-ب)=(۳ا-۲لا)(ا-ب)
. : کسر مفروض=(۲ا+۳لا)(ا-ب)_۲ا+۳لا
(۳ا-۲لا)(ا-ب) ۳ا-۲لا
مثال ۵ ۳لا-۲۷ولا-۷۸ول-۲۷و را مختصر کنید
۳لا+۱۵ولا-۱۲ولا-۸۴و
صورت=۳(لا-۹ولا+۲۶ولا-۲۴و) و مخرج=۳(لا+۵ولا-۴ولا-۲۴و
قاسم مشترک اعظم آنها را معلوم کنید :-
لا+۵ولا-۴ولا-۲۴و
لا-۹ولا+۲۶ولا-۲۴و
۴اولا) ۱۴ولا-۲۸ولا
لا-۲و
لا-۲و) لا-۹ولا+۲۶ولا-۲۴و(لا-۷ولا+۱۲و
لا-۲ولا
-۷لا+۲۶ولا
-۷لا+۱۴ولا
۱۲ولا-۲۴و
۱۲ولا-۲۴و
. : قاسم مشترک اعظم =لا-۲و


۲۳۹
لهذا حاصل مطلوب = {۳ (لا۴ - ۹ لا۳ + ۳۶ لا۲ - ۳۴ لا) ÷ (لا - ۲)} / {۲ (لا۵ + ۵ لا۴ - ۲۰ لا۳ - ۳۴ لا) ÷ (لا - ۲)}
= ۳ (لا۳ - ۷ لا۲ + ۱۲ لا) / ۲ (لا۴ + ۷ لا۳ + ۱۳ لا)
مثال ۶ ۲ لا۴ - لا۳ - ۹ لا۲ + ۱۳ لا - ۵ را مختصر کنید
۷ لا۴ - ۱۹ لا۳ + ۷ لا۲ - ۵
قاسم مشترک اعظم صورت و مخرج را بطریق ذیل معلوم کنید
۲ لا۴ - لا۳ - ۱۹ لا۲ + ۱۳ لا - ۵
۷ لا۴ - ۱۹ لا۳ + ۷ لا۲ - ۵
۲ لا { ۲ لا۴ - ۸ لا۳ + ۱۰ لا۲ - ۴ لا
لا۳ - ۴ لا۲ + ۵ لا - ۲
لا۳ - ۴ لا۲ + ۵ لا - ۲ } ۷ لا۴ - ۱۹ لا۳ + ۷ لا۲ - ۵ (۷
۷ لا۴ - ۲۸ لا۳ + ۳۵ لا۲ - ۱۴
۹ ( ۹ لا۳ - ۱۸ لا۲ + ۹
لا۳ - ۲ لا۲ + ۱
لا۳ - ۲ لا۲ + ۱ ) لا۳ - ۴ لا۲ + ۵ لا - ۲ ( لا - ۲
لا۳ - ۲ لا۲ + لا
- ۲ لا۲ + ۴ لا - ۲
- ۲ لا۲ + ۴ لا - ۲
×
∴ قاسم مشترک اعظم مطلوب = لا۲ - ۲ لا + ۱
لهذا حاصل مطلوب = (۲ لا۴ - لا۳ - ۱۹ لا۲ + ۱۳ لا - ۵) ÷ (لا۲ - ۲ لا + ۱) / (۷ لا۴ - ۱۹ لا۳ + ۷ لا۲ - ۵) ÷ (لا۲ - ۲ لا + ۱)
= ۲ لا۲ + ۳ لا - ۵ / ۷ لا۲ - ۵


٢٤٠
مسئله (٥٦)
كسور ذیل را مختصر كنيد:-
(١) ٤ لاب ٢
٢ ا٤ ب ٣
(٢) ٦ ل ا ٥ ى ٤
٨ لا ى ٤
(٣) ٣ ا ٣ لا ى ٤
١٠ ا ٥ لا ى ٦
(٤) ١٥ لا ا ى ٤ ع ٤
٢٥ لا ٤ ى ٣ ع ٣
(٥) ١٨ ا ٢ ب ج ٢ د ٣
٧٢ ا ٣ ب ٢ ج د ٤
(٦) ١٦ لا ٣ و ى ٢ ع ٥
٢٠ و ٤ ع ٣ لا ى ٤
(٧) ٧٠ ا ٢ ب ت ج ٤ د ٣
١٠٥ ا ج ٢ د ٢ ا ٣ ب
(٨) ٣٩ م ٢ ن ٥ ط ٢ ع
٦٥ ط ٤ م ن ٢ ع ٥
(٩) لا ٢ - و ٢
لا + و لا
(١٠) لا ٢ - ٣ لا
لا ٢ - ٩ لا
(١١) ٤ لا ٢ - ٩ و ٢
٢ لا ٢ + ٦ لا و
(١٢) ٣ ا ٢ - ١٢ ا و ب
٨ ب ٢ - ٢ ا ٢
(١٣) ٣ لا ٢ - ١٢ ا ٢
لا ٢ - ١٦ لا
(١٤) ٤ لا ٣ - ٤ لا ٢ لا ٣
لا ٤ - ٤ لا ٣ + ٤ لا ٢
(١٥) ٤ لا ٢ + ٨ لا
لا ٢ + ٥ لا + ٦
(١٦) لا ٢ + ٣ لا - ٨
لا ٢ - لا - ١٢
(١٧) لا ٢ + ١٣ لا - ١٥
لا ٢ + ٩ لا + ٢٠
(١٨) ا ٢ - ٣ ا ب - ٤ ب ٢
ا ٢ - ٤ ا ب - ٥ ب ٢
(١٩) ا ٣ - ا ٢ ب + ا ب ٢
ا ٣ + ب ٣
(٢٠) - ١ - ٧ لا + ١٢ لا ٢
- ١ - ٨ لا + ١٥ لا ٢
(٢١) لا ٢ - ٦ لا ى + ٥ ى ٢
لا ٢ + ٢ لا ى - ٣٥ ى ٢
(٢٢) ١ - ٩ ا ٢ + ١٤ ا ٣
١ - ٤ ا ٢ - ١٢ ا ٣
(٢٣) لا ٢ - ٨ لا ٢ - ٦٥
لا ٢ + لا - ٢٠
(٢٤) ٣ و ٣ لا + ٩ و ٢ لا ٢ + ٧ و لا ٣
و ٣ لا - ٧ و لا ٣
(٢٥) ٢ لا ٢ - لا - ٦
٣ لا ٢ - ٧ لا - ٨
(٢٦) ٣ لا ٢ - ٥ لا ا + ٢ ا ٢
٣ لا ٢ - لا ا - ٢ ا ٢
(٢٧) ٣ لا ٢ - ١٦ لا ا + ٥ ا ٢
٣ لا ٢ + ٢٣ لا ا + ٤ ا ٢
(٢٨) ٦ لا ٢ - ٧ لا - ٢٠
٩ لا ٢ + ٦ لا - ٨
(٢٩) ٣ لا ٢ + ٣ ولا - ٢٠ و ٢
٣ لا ٢ - ٨ لا و + ٥ و ٢
(٣٠) - ١ - ٧ لا ا + ٣ ا ٢ لا ٢
- ٥ - ٢٦ لا ا + ٥ ا ٢ لا ٢
(٣١) لا ٢ - (ا + ب) لا - ا ب
لا ٢ + ب لا + ا لا + ا ب
(٣٢) ٦ ا ج + ١٠ ا ب ج + ٩ ا لا + ١٥ ا ب لا
٦ ج ٢ + ٩ ج لا - ٢ ج - ٣ لا