سلسله مؤلفات نصابی مکاتب ابتدائیه

کتاب حسانیه

مشتمل

بر بیان عقاید حقه واعمال سنیه
که بجهت متعلمین مکاتب ابتدائیه نگارش یافته

بمطبع
عنایت در دارالسلطنه کابل طبع گردید


[BLANK PAGE]


sha'bân 1332 /
juin 1914


سلسله مؤلفات مدرسه مبارکه حبیبیه دارالسلطنه کابل

کتاب قرائت
حصهٔ اول

بامر و ارادهٔ سنیهٔ اعلیحضرت سراج المله والدین و نظارت جلیلهٔ حضرت معین السلطنهٔ حبا
افخم باجازهٔ انجمن معارف برای تعلیم درجه رشدیه مدرسه حبیبیه و باقی مدارس دولت
مقرر شده است

در مطبع دارالسلطنه کابل سنه ۱۳۳۲ با ر اول طبع گشته


۲
بسم الله الرحمن الرحیم
چون از میامن وجود مسعود اعلیحضرت شهریار منر پرور هدایت ائین
سراج الملة والدین امیر حبیب الله خان پادشاه خود مختار دو لت
علیه مستقله افغانستان اجرای مکاتب عدیده و نشر معارف یوما فیوما
در ترقی و امر تعلیم و تربیت عمومی در تعالیست از انرو امر تالیف
و ترجمه کتب فنیه که اساس اذاعت علوم و بنیاد شیوع معارف میباشد
نیز لازم بوده اینست که از علم جبرو مقابله که رکن اکمل و فرد افضل
حکمت ریاضی میباشد و تکمیل علوم حسابیه و اخذ فوائد کلیه بدون
تحصیل و تکمیل آن متصور نیست مسائل ضروریه از کتابهای
متفرقه جدیده ترجمه و انتخاب و باتفاق اعضای هیئت تالیفیه

ابتر


۳
ترتیب یافته برای تعلیم اولاد وطن مقدس بزبان فارسی ساده تحریر گشت و بحمایت حضرت شاهزاده کامگار بلند اقبال جناب سردار عنایت الله خان معین السلطنه صاحب افخم که نظارت معارف عمومیه دولت علیه افغانیه یکی از وظائف مهمه ذات عالی شانست بچاپ رسیده باجازه انجمن معارف برای تعلیم درجه رشدیه مدرسه حبیبیه و باقی مکاتب دولت مقرر شده است
مقدمه
١- طریق مقایسه اشیا و اظهار آن بواسطه اعداد تشریح این امر در چند امثله عامه فهم کرده خواهد شد-
ا اگر بخواهیم که طول یک پارچه کالا را معلوم کنیم مدعاء ما بشرطی حاصل میشود که دریافته بتوانیم که در طول این کالا یک طول خوردتر مثلا یک گز چند مرتبه شمولیت دارد-
ب اگر بخواهیم که دوری کابل و غزنین را معلوم کنیم مدعاء ما باین شرط حاصل میشود که دریافته بتوانیم که درین مسافت یک مسافت خوردتر مثلا یک میل چند مرتبه شمولیت دارد-


۴
ج اگر بخواهیم که مقدار یک رقم روپیه را معلوم کنیم مدعاء ما باین شرط حاصل
میشود که دریافته بتوانیم که درین مقدار روپیه یک مقدار خوردتر مثلاً یکروپیه
چند مرتبه شمولیت دارد
د اگر بخواهیم که وزن یک مقدار برنج را معلوم کنیم مدعاء ما باین شرط حاصل
میشود که دریافته بتوانیم که درین وزن برنج یک وزن خورد تر مثلاً یکچهار یک
چند مرتبه شمولیت دارد
از امثله فوق ظاهر است که هرگاه بخواهیم که مقیاس چیزیرا معلوم کنیم مدعا
باین شرط حاصل میشود که ما این امر را در یافته بتوانیم که شیٔ مذکور چند
مرتبه بیک شیٔ خوردتر (که همجنس خود آنست) شامل میباشد این
شیٔ خوردتر مذکور را واحد قیاسی میگویند و آن عدد را که تعداد مراتب
شمولیت این واحد قیاسی را در همان شیٔ ظاهر میکند اندازه عددی
آن شیٔ میگویند- مثلاً در مثال اول واحد قیاسی طول یک گز است
و در مثال دوم واحد قیاسی مسافت یک میل است ـ و در مثال
سوم واحد قیاسی نقد یک روپیه است ـ و در مثال چهارم واحد قیاسی
وزن یک چهاریک است ـ پس اگر برای ما معلوم باشد که طول آن


پاره کالا ۱۰گز است - یا دوری کابل و غزنین ۷۶ میل است - یاآن
مبلغ ۵۰۰ روپیه است - یا وزن برنج ۲۵سیر است - درینصورت
عدد ۱۰ اندازه عددی طول آن کالا میباشد و ۷۶ اندازه عددی دوری
کابل و غزنین و ۵۰۰ اندازه عددی مبلغ مذکور و ۲۵ اندازه عددی
وزن برنج
تنبیه - وقتیکه اندازه عددی شئے مخصوصی بواسطه اعداد
مختلفه دریافت نموده میشود از اصل شئے مذکور نیز بواسطه اعداد مختلفه
تعبیر میشود - مثلا اگر واحد قیاسی طول یک فت باشد از طول حچیکر که
۱۰فت باشد بعدد ۱۰ تعبیر خواهد شد - لیکن اگر واحد قیاسی طول بقدر ۲
باشد از همان طول ۱۰ فت بعدد ۵ تعبیر خواهد شد
مثال ۱ اگر واحد قیاسی طول یک فت باشد معلوم کنید که
اندازه عددی ۵ گز و ۲ فت چقدر خواهد بود
۵ گز و ۲ فت مساوی ۱۷ فت میباشد و چون این ۵ گز و ۲ فت بر واحد
قیاسی طول (یعنی یک فت) ۱۷مرتبه شمولیت دارد - بنابرین اندازه
عددی مطلوب آن ۱۷ میباشد -


۶
مثال ـ ۲ اگر از یک و نیم دقیقه بعدد ۳۰ تعبیر شود معلوم کنید که
واحد قیاسی وقت چقدر میباشد
یک و نیم دقیقه مساوی ۹۰ ثانیه میباشد
چون ۳۰ اندازه عددی ۹۰ ثانیه میباشد لہذا واضح است که واحد
قیاسی وقت در ۹۰ ثانیه ۳۰ مرتبه شمولیت داردـ
بنابرین واحد قیاسی وقت یکم حصه ۹۰ ثانیه یعنی ۳ ثانیه است
امثله (۱)
(۱) اگر واحد قیاسی وزن یک سیر باشد اندازه عددی خروار ویمن و
۴ سیر چقدر خواهد بود
(۲) اگر واحد قیاسی وزن ۵ سیر باشد اندازه عددی همان وزن چقدر
خواهد بود
(۳) اگر از مسافت ۴۰۰ میل بعدد ۲۰ تعبیر شود پس معلوم کنید که واحد قیاسی
مسافت چقدر خواهد بود
(۴) اگر از همین مسافت بعدد ۴ تعبیر شود معلوم کنید که واحد قیاسی
چقدر خواهد بود


۷

(۵) اگر از مبلغ ۲۰۰ روپیه بعدد ۱۶ تعبیر شود معلوم کنید که از مبلغ ۲۲۵ روپیه
بکدام عدد تعبیر خواهد شد؟

(۶) اگر از یک طول ۸ فت و ۴ اینچ بعدد ۲۵ تعبیر شود معلوم کنید که از فت
بکدام عدد تعبیر خواهد شد؟

(۷) معلوم کنید که واحد قیاسی وقت چقدر باشد که عدد ۳ از دو ساعت و
۱۵ دقیقه تعبیر کند؟

(۸) اگر واحد قیاسی وقت ۱۵ ثانیه باشد معلوم کنید که از کدام وقت بعدد
۶۰ تعبیر خواهد شد؟

(۹) اگر واحد قیاسی وزن ۷ ۱/۴ پوند باشد معلوم کنید که کدام عدد از ۵ ۱/۲ پوند
تعبیر خواهد کرد؟

(۱۰) اگر ۴ مربع فت واحد قیاسی مساحت باشد معلوم کنید که کدام عدد
از مساحت ۹ مربع اینچ و کدام عدد از مساحت ۹ مربع گز تعبیر خواهد کرد

(۱۱) اگر از یک مساحت ۱۲۵ مربع فت بعدد ۸ ۱/۳ تعبیر شود معلوم کنید
که در سه چند واحد قیاسی مساحت چند مربع گز شمولیت دارد

۱۲ اگر از ۵ روپیه و ۱۰ شاهی و ۲ پیسه بعدد ۴۲ تعبیر شود معلوم کنید که از


واحد قیاسی نقد چقدر است؟
(١٣) اگر ٧ روپیه و ٨ شاهی واحد قیاسی نقد باشد معلوم کنید که اندازهٔ
عددی ١٥٣ روپیه و ۴ شاهی چقدر خواهد بود؟
(۱۴) اگر ٢ روپیه و ٣ آنه و ٧ پائی واحد قیاسی نقد باشد معلوم کنید که
اندازهٔ عددی ۲۵ روپیه و ۱۰ آنه و ٣ پائی چقدر خواهد بود؟
(١٥) از ٢٠ روپیه ١٠ آنه بعدد ۵ ۱/۴ تعبیر شده است پس معلوم کنید که اگر واحد
قیاسی سه چند باشد اندازه عددی ۴۵ روپیه چقدر خواهد بود؟
(١٦) عدد ۸ ٢/٥ اندازه عددی ٣٩ گز و ۲ فٹ میباشد پس معلوم کنید که اگر
واحد قیاسی طول ۳ ۱/۴ این واحد قیاسی باشد کدام عدد از ۵ گز
تعبیر خواهد کرد؟
(۱۷) از ۲۶ روز و ۱۰ ساعت و ٢۶ دقیقه بعدد ۱۳۰ تعبیر شده است پس معلوم
کنید که اگر واحد قیاسی وقت ۴/۵ دقیقه و ۱۳ ثانیه نسبت باین واحد
قیاسی کمتر باشد کدام عدد از ۳۶۶ تعبیر خواهد کرد؟
(١٨) اگر در سوال هفدهم واحد قیاسی دوم نسبت به واحد قیاسی اول
۶ ساعت و ۴۵ دقیقه و ۴٧ ثانیه زیاده تر باشد جواب چقدر خواهد بود


۹
۲ معانی مختلفه لفظ مقدار
(۱) هر شی که بواسطه اعداد ازان تعبیر شده بتواند مقدار است مثلا و
یا وزن یا روپیه یا مسافت و غیره از هر یک از انها به اعداد
تعبیر شده میتواند (چنانکه در قاعده ۱ مذکور گشت) هر یک مقدار میباشد.
(ب) لفظ مقدار در عدد صحیح و کسر یکسان استعمال مییابد.
(ج) از یک جمله جبریه نیز بعض اوقات بلفظ مقدار تعبیر میشود (مگر درین
کتاب محض جمله جبریه را استعمال خواهیم نمود)
(این مطلب در موضع مناسب بتفصیل مذکور خواهد شد)
۳ جبر و مقابله
علم جبر و مقابله هم مانند علم حساب علم اعداد است ـ فرق محض انقدر است
که در جبر و مقابله بالعموم بواسطه حروف و علامات معینه از اعداد
بحث میشود. بنابرین هرگاه مقادیر در علم جبر و مقابله مذکور گردد
مقصود از انها محض قیمت عددی آن مقادیر میباشد.
۴ - اشارات جبریه
حروفیکه برای تعبیر اعداد و نیز علاماتیکه برای اظهار عمل جمع و تفریق و ضرب


۱۰
وتقسیم وغیره استعمال میشوند ازهمگی بنام اشارات جبر تعبیر میکنند
فرق محض اینقدر است که حروف اشارات مقادیر میباشند
باب اول
تشریح اشارت
ه - اشارہ جمع
این علامت + را اشارت جمع میگویند وتلفظ آن بلفظ جمع یا زائد میباشد
و هر گاه این علامت جمع مابین چند عدد نوشته شود مفهوم آن این میباشد
که عددیکه ماقبل آن این علامت نوشته شده است بآن مقدار که
پیش از علامت مذکور است جمع شود - مثلا ا + ب که تلفظ آن ا
جمع ب میباشد) این را ظاهر میکند که از عدد یکه بحرف ب تعبیر شده است
باعددیکه ازان بحرف ا تعبیر گشته جمع گردد - بنابرین اگاه راوب
۳ را ظاهر کند ا + ب از ۸ تعبیر خواهد کرد و باز ا + ب + ج ظاهر میکند
که از عددیکه بحرف ب تعبیر شده است با آن عددیکه بحرف ا ازان
تعبیر شده است جمع شود و باز با این مجموع آن عددیکه بحرف ج ازان
تعبیر شده است جمع شود مثلا اگر ار شارات ا و ب و ج علی الترتیب


۱۱

۵ و ۳ و ۲ را ظاهر کنند ا + ب + ج مجموع آنها را یعنی ۱۰ را ظاهر خواهد کرد
۶ - اشارت تفریق
تلفظ این علامت - بلفظ تفریق یا ناقص میباشد و هرگاه مابین
دو عدد این علامت نوشته شود مفهوم اینست که آن عدد را که پیش ازان این
علامت نوشته شده است ازان مقداریکه ماقبل علامت مذکور باشد
تفریق کرده شود - مثلا ا - ب که تلفظ آن ا تفریق ب است بظاهر
میکند که آن عدد را که تعبیر ازان بحرف ب شده است ازان عددیکه
تعبیر ازان بحرف ا شده تفریق شود - بنابرین اگر ا را به ۵ تعبیر کنند وبرا
از ۳ پس ا - ب از ۵ تعبیر خواهد کرد - باز ا - ب - ج ظاهر میکند که
عددیکه تعبیر ازان بحرف ب شده است از عددیکه بحرف ا ازان تعبیر
شده است تفریق شود بعد ازان از حاصل تفریق مذکور آن عدد را
که تعبیر ازان بحرف ج شده است تفریق شود - مثلا اگر ا و ب و ج
علی الترتیب ۸ و ۳ و ۱ را ظاهر کنند ا - ب - ج از ۴ تعبیر خواهد کرد؟
تنبیه - هرگاه چند مقادیر باشارات زائد و ناقص ربط داده شوند
ابتدای عمل از طرف دست راست میشود -


۱۲
۷ - اشارت زائد ناقص یا جمع تفریق
هرگاه این علامت ذیل ± (که تلفظ آن زائد ناقص میباشد) قبل از
عددی نوشته شود مفهوم آن اینست که آن عدد را که بعد ازین علامت
نوشته شده است با هر چیزی که قبل ازانست جمع شود یا ازان تفریق
شود مثلاً اگر ۷ از ۷ و ب از ۲ تعبیر کند ۷ ± ب از ۹ یا ۵ تعبیر خواهد کرد
۸ - اشارت تفاوت
هرگاه این علامت ذیل ~ مابین دو عدد نوشته شود مفهوم ان اینست
که عدد خرد از کلان تفریق شود - مثلاً اگر ۷ از ۵ و ب از ۳ تعبیر کند
۷ ~ ب از ۳ تعبیر خواهد کرد -
۹ - اشارت ضرب
هرگاه این علامت ذیل × (که تلفظ آن بلفظ ضرب میباشد) مابین
دو عدد نوشته شود مفهوم این میباشد که آن هر دو یک با دیگر ضرب
شود - مثلاً ۷ × ب (که تلفظ آن ۷ ضرب ب باشد) ظاهر میکند که
آن عدد را که بحرف ب ازان تعبیر شده است در ان عددیکه تعبیر ازان
به ۷ شده است ضربه شود - بنابرین اگر ۷ ھ را و ب ۳ را ظاهر کند


۱۳
پس مفهوم ا × ب اینست که عدد س پنج مرتبه گرفته شده است یعنی مراد
از ا ب ه ا میباشد
اشارت ضرب ما بین آن دو عدد که تعبیر ازانها بد و حرف شده باشد
اکثریه محذوف میباشد - و نیز مابین آن عدد که انرا ول بواسطه رقم وان
دوم بواسطه حرف تعبیر شود محذوف میباشد - مثلا ا ب برجای
ا × ب و ۴ ا برجای ۴ × ا نوشته میشود
تنبیه دلیل این امر که ۸۳ برجای ۳ × ۸ استعمال نمیشود
این است که پیش ازین در حساب ۸۳ مساوی ۸۰ + ۳ قرار داده شده است
بعض اوقات برجای اشارت ضرب محض یک نقطه نوشته میشود
مثلا ا . ب ا × ب را ظاهر میکند لیکن استعمال نقطه درین ارقام نمی شود
۱۰- اشارت تقسیم
هرگاه این علامت ذیل : ( که تلفظ آن بلفظ تقسیم میباشد ) مابین دو عدد
نوشته شود مفهوم آن اینست که عدد یکه بطرف راست این علامت است
بر عدد طرف چپ تقسیم شود - مثلا ا : ب ( که تلفظ آن ا تقسیم ب
میباشد ) ظاهر میکند که آن عدد را که بحرف از ان تعبیر شده است


بران عددیکه بحرف ب ازان تعبیر شده است تقسیم شود - بنابرین اگرا
از ۶ تعبیر کند و ب از ۳ پس مفهوم ا ÷ ب ۲ میباشد و همچنین ا
÷ ب ÷ ج ظاهر میکند که عددیکه بحرف ا ازان تعبیر شده است بر عددیکه
ب ب تعبیر شده است تقسیم شود و این خارج قسمت باز بران عددیکه
بحرف ج ازان تعبیر شده است تقسیم شود
تنبیه هرگاه در چند مقادر بواسطه اشارت ضرب و تقسیم مربوط
گردند ابتدای عمل از طرف راست میشود
۱۱-جمله جبریه وحد
چند اشارات وارقام و حروف که یکجا با هم مربوط گردند بنام جمله جبریه
مسمی میشوند
(اشارات طرز عمل را ظاهر میکنند)
آن حصص یک جمله جبریه را که بواسطه اشارت + یا - مربوط گردند
حدود آن جمله میگویند- مثلاً ه ا + و ب ÷ ج × د - ه ج × ف
÷ ک یک جمله جبریه است و حدود آن ه ا و ا ب ÷ ج × د و ه ج
× ف ÷ ک میباشند


۱۵
جملهای جبریه دو قسم دارند بسیط و مرکب
هر گاه حصص یک جمله جبریه بواسطه اشارات + یا - ربط نیابند آنرا
جمله بسیط میگویند مثلا ۳ ا ب جمله بسیط است و این را ذو حد واحد
نیز میگویند جمله مرکب آنست که دارای ده حد و دو داشته باشد و نیز اگر
دو حد مانند ۲ ا + ۵ ب ج د داشته باشد آنرا ذو حدین میگویند و اگر
۳ حد داشته باشد مانند ا + س ج + ع ف ک آنرا ذو حدود ثلاثه میگویند
و اگر زیاده از ۳ حد داشته باشد آنرا ذو حدود کثیره میگویند
۱۲ - اشارت مساوات
هر گاه این علامت ذیل = که تلفظ آن بلفظ مساوی میباشد)
ما بین دو جمله نوشته شود مفهوم آن اینست که هر دو متساوی میباشند
مثلا ب ج = ا که تلفظ آن بالفاظ ب زائد ج مساوی ۱ میباشد
ظاهر میکند که عددیکه بحرف ب + ج از ان تعبیر شده است مساویست
با عدد ۱
امثله
تنبیه (۱) ما بین ا : ب ب ج و ا : ب ج تمیز بکنید


مفهوم مثال اول اینست که ا بر ب تقسیم شده و خارج قسمت درج ضرب
شده است. و مفهوم مثال دوم اینست که ا بر جـ ن تقسیم شده است
یعنے هرگاه علامت ضرب در بین مقادیری محذوف شود
آن مقادیر حکم مقدار واحد دارند-
(۲) هرگاه معلوم کردن قیمت عددی یک جمله جبریه مطلوب باشد اولا عمل
ضرب و تقسیم را بواسطه قواعد قاعده ۱۰ بکنید - و بعد از ان عمل جمع و تفریق
بواسطه قاعده ۶ بانجام برسانید. مثلا اگر قیمت عددی جمله ا نـ ب
ج ÷ د هـ ی + ف هـ ک مطلوب باشد لازم است که اولا قیمت
سه حد یعنی ا هـ ب و ج ÷ د هـ ی وف هـ ک جدا جدا معلوم شود و بعد
از ان حد دوم را از حد اول تفریق نموده حاصل تفریق با حد سوم جمع شود
تشریح اصول فوق در امثله فوق خواهد شد:-
مثال ۱- اگر ا = ۲ و ب = ۳ و ج = ۵ باشد قیمت عددی ۵ ا
+ ۸ ب + ۷ ج را معلوم کنید
۱۰ = ۲ × ۵ = ا × ۵ = ۵ ا
۲۴ = ۳ × ۸ = ب × ۸ = ۸ ب
۳۵ = ۵ × ۷ = ج × ۷ = ۷ ج


۱۷

بنا برین ۵ ا + ۸ ب + ۴ ج = ۱۰ + ۲۴ + ۳۵

= ۳۴ + ۳۵

= ۶۹

مثال - ۲ اگر ا = ۸ و ب = ۵ و ج = ۲ باشد قیمت ۶ ا

- ۵ ب + ۴ ج را معلوم کنید

۶ ا = ۶ × ا = ۶ × ۸ = ۴۸

۵ ب = ۵ × ب = ۵ × ۵ = ۲۵

۴ ج = ۴ × ج = ۴ × ۲ = ۸

بنا برین ۶ ا - ۵ ب + ۴ ج = ۴۸ - ۲۵ + ۸

= ۲۳ + ۸ = ۳۱

مثال ۳ - اگر م = ۴ و ن = ۷ و ط = ۹ و د = ۴ باشد قیمت

عددی ۷ م ÷ ۲ ن × ۸ ط ÷ ۳ د را معلوم کنید و چون ابتدا

عمل از طرف راست میشود لهذا طریق عمل حسب ذیل خواهد بود

۷ م را بر ۲ ن تقسیم کنید و این خارج قسمت را در ۸ ط ضرب کنید و این حاصل

ضرب را بر ۳ د تقسیم کنید چون (۱) ۷ م ÷ ۲ ن = ۷ م ÷ ۲ ن - ۷ × ۳ ÷ ۳ × ۷ = ۳ ÷ ۲


۱۸
۹×۴×۳ = ۹×۸×۳/۴ = ۶×۸×۳/۴ (۲)
۹ = ۹×۴×۳/۴×۳ = د = ۳ ÷ ۹×۴×۳ (۳)
بنابرین قیمت مطلوب = ۹ میباشد -
مثال ۴ اگر ۱=ا و ب=۲ وج=۳ ود=۶ وی=۵
وف=۰ باشد قیمت عددی جمله ذیل را معلوم کنید
ا ب ج - د ÷ ب × ا + د ی ف + ب ÷ ا ه ج - د ÷ ب ج
این جمله ۵ حد دارد و حل آنها در ذیل مندرج است -
(۱) ا ب ج = ا × ب × ج = ۱×۲×۳ = ۶
(۲) د ÷ ب × ا = ۶ ÷ ۲ × ۱ = ۳×۱ = ۳
(۳) د ی ف = د × ی × ف = ۶×۵ × ۰ = ۰
(۴) ب ÷ ا ه ج = ۲ ÷ ۱ × ۳ = ۲×۳ = ۶
(۵) د ÷ ب ح = د/ب ج = ۶/۲×۳ = ۱
بنابرین قیمت مطلوب = ۶-۳+۰+۶-۱ = ۳+۶-۱ = ۸ میباشد
مسئله (۴)
اگر ا=۲ و ب=۴ وج=۸ باشد قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید


۱۹

(۱) ا + ب × ج (۲) ج - ا × ب (۳) ج ÷ ب × ا (۴) ج ÷ ب ا
(۵) ج ÷ ۳ × ا (۶) ج ÷ ۳ ا (۷) ج - ب ÷ ا (۸) ا + ج ÷ ب
(۹) ۳ ج - ۴ ب + ۲ ا (۱۰) ج - ب ÷ ا + ج ÷ ب (۱۱) ج ÷ ب ÷ ۳ × ا
(۱۲) ج ÷ ب ÷ ۲ ا (۱۳) ۵ ج ÷ ۲ ب (۱۴) ۵ × ج ÷ ۲ × ب
(۱۵) ۴ ا ب + ج ÷ ۴ × ا + ب ÷ ۱۲ (۱۶) ۸۰ ÷ ب × ج ا ÷ ۸۰ ÷ ب ج × ا
(۱۷) ۶۴ ÷ ج × ب × ا - ۶۴ ÷ ج ب ا
(۱۸) ۳ ب ج ÷ ۱۶ ا + ۵ ج ÷ ۱۶ × ا - ج ÷ ۲ ب × ب ÷ ا × ۴
(۱۹) ۱۰ ج ÷ ا - ب × ۲ + ۳۲ ب ÷ ۲ ا - ج + ۵ ا ج ÷ ۳ ب × ج ÷ ۵
(۲۰) ۴۸ ج ÷ ب ÷ ا × ۶ ÷ ۴ ب - ۳ ج ÷ ۲ ب ÷ ۴ × ۳ ÷ ۱ × ۸
+ ۱۶ ب ج ÷ ۲ × ب ÷ ۳ × ۵
اگر م = ۲ و ن = ۳ و ط = ۴ و ق = ۰ و س = ۷ و ش = ۱۰ باشد
قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید -
(۲۱) ۸ م - ۳ ط ÷ م ن + ق × ۳ س + ۵ س ÷ ۲ × ط
(۲۲) س × ۶ ÷ ۵ م × ۸ ط ÷ ۱۶ ن (۲۳) ۲۴ ÷ ۳ ط × ۴ س ÷ ۵ س × ۴ م
(۲۴) م ن س + ۵ ق س - ۳ س ÷ م ÷ ۵ ن + ۴ س ÷ ۳ ط × ۶ م


۲۰
(۲۵) ۳ ب÷۵ س÷۷ط-۸س ن م÷۳بن÷۷ط+۵م÷۲ر۷۷
۳- مضروبات یا اجزای ضربی
اگر دو عدد یا زیاده در یکدیگر ضرب شود یا بصورت ضرب نوشته شود
عددیرا که از ضرب آنها حاصل میشود حاصل ضرب میگویند. و هر یک
ازین اعداد ضرب شده را مضروب آن حاصل ضرب مذکور میگویند
مثلا حاصل ضرب ۳ و ۵ و ۷ = ۱۰۵ است و مضروبات ۱۰۵
۳ و ۵ و ۷ میباشند
همچنین ۳ و ا و ب ولا مضروبات ۳ اب لا میباشند زیرا که ۳ ا ب لا
= ۳×ا×ب×لا
۴- امثال
عددی که بصورت رقم یا بصورت حرف در ابتدای جمله جبریه بطور
مضروب فیه نوشته شود آنرا امثال آن مقدار میگویند مثلا در ۵ ا ب ج
۵ امثال ا ب ج میباشد و ۵ ا امثال ب ج و ۵ ا ب امثال ج
تنبیه هرگاه قبل از مقدار جبریه امثال نباشد عدد ۱ مقدر شمرده میشود
مثلا مفهوم ا یک ا است


۲۱
۱۵ قوت و قوت نما
اگر مقداری فی نفسه چند مرتبه ضرب شود حاصل ضرب یک
قوت خاص آن مقدار میباشد مثلا ا x ا و ا x ا x ا و ا x ا x ا x ا
و غیره همگی قوتهای ا میباشند
ا x ا را قوت دوم یا مربع ا میگویند و کتابت ان ۲ا میباشد ا x اx ا را
قوت سوم یا مکعب ا میگویند و کتابت آن ۳ا میباشد ا x ا x اx ا را
قوت چهارم میگویند و کتابت آن ۴ا میباشد ا x ا x ا x ا ... وغیره
اجزا را تان قوت نون ا میگویند و کتابت آن نا میباشد
آن رقم یا حرف که بر سر یک مقدار بطرف دست چپ برای تعبیر قوت
آن نوشته شود قوت نمای قوت مذکور میباشد ۔ مثلا ۲ و ۳ و ۵ و ن
علی الترتیب قوت نماهای ۲ا و ۳ا و ۵ا و نا هستند
تنبیه بتلفظ ۲ا ا مربع است و تلفظ ۳ا ا مکعب و تلفظ ۴ا ا بقوت
چهارم یا چهار است و همچنین تلفظ نا ا نون میباشد - و خود مقدار
ا را قوت اول ا میگویند - بنابرین مفهوم ا فی الحقیقت ۱ا
میباشد


۲۲
مسئله
مثال ۱ اگر ا = ۳ باشد پس قیمت عددی ا۵-۵ ا را معلوم کنید
ا۵ = ا × ا × ا × ا × ا
= ۳ × ۳ × ۳ × ۳ × ۳
۲۴۳ =
و ۵ ا = ۵ × ا
= ۵ × ۳
۱۵ =
بنابرین جمله مفروضه = ۲۴۳ - ۱۵ = ۲۲۸
مثال ۲ اگر ا = ۴ باشد پس قیمت عددی ۲ ا۵ - ۵ ا۲ را معلوم کنید
۲ ا۵ = ۲ × ا × ا × ا × ا × ا
= ۲ × ۴ × ۴ × ۴ × ۴ × ۴
۲۰۴۸ =
و ۵ ا۲ = ۵ × ا × ا
= ۵ × ۴ × ۴
۸۰ =


۲۳
بنابرین جمله مفروضه = ۲۰۴۸ - ۸۰ = ۱۹۶۸
مثال ۳ اگر ا = ۲ و ب = ۳ و ج = ۴ و د = ۵ باشد
پس قیمت عددی ا۵ ب۳ د را معلوم کنید :-
ج۲
جمله مذکوره = ا × ا × ا × ا × ا × ب × ب × ب × د
ج × ج
= ۵ × ۳ × ۳ × ۳ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲ × ۲
۴ × ۴
= ۲ × ۳ × ۳ × ۳ × ۵ = ۲۷۰
مسئله (۳)
اگر ا = ۲ و ب = ۳ و ج = ۴ و م = ۶ و ن = ۷ و لا = ۸
و ی = ۱۲ باشد قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید
(۱) ۳ ا۴ (۲) ۷ لا أ ب ی
(۳) ۲ أ۲ - ۷ م۲ (۴) ۸ ب۲ ج - ۱ ب۲ لا
(۵) ۵ ج۳ ÷ ۳ لا۲ (۶) ۷ ا۲ ب۲ ی ÷ م۲ ن
(۷) لا۲ ب ن ج۲ (۸) وج۲ لا۲ ی ÷ ۸ ا۲ ب۲ م - ب ی ج ÷ ۱ ا
(۹) ۲ ا۲ ی ÷ لا۲ ی۲ (۱۰) ۳ ج۲ و۶ ÷ لا ب۲
(۱۱) اگر لا = ۸ باشد پس قیمت عددی ۴۰ + ۶۶ لا۲ - ۳۱ لا + لا۳ - ۶۵ لا را معلوم کنید


۲۴
(۱۲) اگر لا = ۵۵۷ باشد پس قیمت عددی ۸ لا ۲ + ۶ لا۲ + ۱۱ لا + ۱۳ لا + ۲۹ را معلوم کنید
(۱۳) اگرم = ۲۲ باشد پس قیمت عددی ۳۵ م - ۴ م + ۷ م + ۱۵ م
- ۴ ۳ م - ۴ را معلوم کنید-
(۱۴) اگر ن = ۲ ، ۲ باشد پس قیمت عددی ۲۵ ن - ۲۷ + ۲۰ ن +
۸ ۵ ن - ۱۹۹ ن را معلوم کنید
(۱۵) اگر ی = ۴ ، ۳ باشد پس قیمت عددی ۵۰ ی - ۵۱ ی ۲ + ۳۵ی
- ۶۳ ۵ ی - ۱۹ را معلوم کنید-
(۱۶) اگر ک = ۵ ۷ ۳ ، ۱ باشد پس قیمت عددی ۸۴ ک - ۵۵ ک +
۳۲ ک - ۱۲۱ک + ۶۴ ک - ۴ ک + ۷۹ را معلوم کنید
قیمت ا۲ + ب۲ + ج - ۳ ا ب ج را در صورتهاے ذیل
معلوم کنید :-
(۱۷) چون ا = ۲۴ و ب = ۲۷ و ج = ۲۹
(۱۸) چون ا = ۶۲۵ ، ۳ و ب = ۶۲۵ ، ۴ و ج = ۶۲۵ ، ۵
(۱۹) چون ا = ۱/۲ ۴۴ و ب = ۱/۴ ۵۱ و ج = ۳/۴ ۵۸
(۲۰) چون ا = ۱۶۵۹ و ب = ۱۶۶۷ و ج = ۱۶۷۴


۲۵
۱۶ - جذرها
جذر یک مقدار ا آن مقدار میباشد که مربع آن مساوی ا باشد و ازین
جذر ا بعلامت کا یا محض بعلامت ما تعبیر کرده میشود پس بدین
طریق ۳ = ٩٧ زیرا که ۲۳ = ۹ میباشد -
جذر مکعب یک مقدار ا آن مقدار میباشد که مکعب آن مساوی
طریق
ا باشد و ازین جذر مکعب بعلامت ٣/٢ تعبیر کرده میشود پس بدین
۲ = ٣/۸ زیرا که ۳۲ = ۸ میباشد
و بهمین طریق جذر مرتبه نون یک مقدار ا آن مقدار میباشد که
قوت نون آن مساوی ا باشد و ازین جذر مرتبه نون بعلامت ن/ا
تعبیر کرده میشود - بدین طریق ۲ = ٣٢/۵ زیرا که ۳۲۵ و ۳ = ۱۸۲
زیرا که ۴۳ = ۸۱ وعلیٰ ہذا القیاس
علامت ذیل را را اشارت جذر میگویند
۱۷ خطوط قوسی یا (وحدانی)
جمله علامات ذیل را ( ) و { } و [ ] خطوط قوسی میگویند
و هر یک از انها نام جداگانه دارد چنانچه علامت اول را قوس خردیا


۲۶
و دوم را قوس میانه یا معترضه و سوم را قوس کلان گفته میشود-
هرگاه جمله جبریه در بین خطوط قوسی محدود باشد آن جمله حکم مقدار واحد دارد
مثلاً مفهوم (ا+ب) لا انیست که عدد لا در عدد ا+ب ضرب شود
برخلاف آن مفهوم ا+ب لا انیست که لا در ب ضرب شود
و این حاصل ضرب با ا جمع شود-
بنابرین جمله د+(ا+ب) لا ذو حدین است که دو حد آن د و(ا+ب) لا
میباشند و بر همین منوال ج- {د+(ا+ب) لا} ذو حدین است
که دو حد آن ج و {د+(ا+ب) لا} میباشند برخلاف این اگر خطوط
قوسی محذوف شوند ج- د+ا+ب لا ذو حدود کثیره میگردد
و حدود آن ج و د و ا و ب لا خواهند بود بعض اوقات بر جای
اینکه جمله جبریه در خطوط قوسی محدود شود یک خط عرضی باین شکل ـــــــ
که حکم خطوط قوسی دارد بر کل آن جمله مذکوره رسم میشود- مثلاً در مفهوم
ا-ب-ج و ا-(ب-ج) هیچ تفاوت نیست
تنبیه- مابین لا ا+ب و لا(ا+ب) و لاا+ب چه فرق
موجود است مفهوم هریک از دو جمله اول انیست که جذر آن عدد لا


۲۷
گرفته شود که تعبیر ازان به ۱ + ب شده است - برخلاف آن مراد از جمله
سوم اینست که ب با جذر ۱ جمع شود - و بر همین منوال √ا√ب و √(ا ب)
یک مفهوم دارند یعنی مفهوم آنها جذر حاصل ضرب ا و ب است
برخلاف آن √ا ب این مفهوم داند که ب در جذر ا ضرب شود -
مسئله
مثال - اگر ا = ۱ و ب = ۴ و ج = ۹ باشد پس قیمت عددی
جمله های ذیل را معلوم کنید
√(ج ب) + √(ا ب) + ۵ و √(ج ب) + √(ا(ب + ۵)) و ۲√(ا ب) + ۳√(ب ج)
(۱) √(ج ب) + √(ا ب) + ۵ = √(۹×۴) + √(۱×۴) + ۵ = ۳×۲ + ۲ + ۵
۱۹ = ۵ + ۲ + ۱۲ =
(۲) √(ج ب) + √(ا(ب+۵)) = √(۹×۴) + √(۱(۴+۵))
= √۳۶ + √۹
۹ = ۳ + ۶ =
(۳) ۲√(ا ب) + ۳√(ب ج) = ۲√(۱×۴) + ۳√(۴×۹)
= ۲√۴ + ۳√۳۶
= ۲ × ۲ + ۳ × ۶
۲۲ = ۱۸ + ۴ =


۲۸

مثال ۲ + اگر ا = ۳ وب = ۵ وج = ۸ و د = ۱۲ وی = ۲۰ با
پس فرق ما بین قیمت عددی { ا ( ب ج + ب ا - ا (ی - د)} و { ا ( ب ج
+ ب ا - ا ( ی - د )} معلوم کنید -
جمله اول = ۳ × { ۸ + ۵ × ۳ - (۲۰-۱۲)}
= ۳ × {۸ + ۲-۳ × ۸}
= ۳ × {۸ + ۲۰ - ۲۴}
= ۳ × ۹ = ۲۷
جمله دوم = ۳ × { ۸ + ( ۵ - ۳) × (۲۰ - ۱۲)}
= ۳ × { ۸ + ۲۲ × ۸ }
= ۳ × { ۸ + ۱۷۶}
= ۳ × ۱۸۴ = ۵۵۲
بنابرین فرق مطلوب = ۵۲ - ۲۷ = ۵۲۵
مثال ۳ - اگر م = ۱۰ و ن = ۸ وط = ۲ وق = ۱۲ وس = ۵ اباشد پس فرقا
مابین قیمت عددی [{ ۲ رم - ۳ ق - ن (ط ق - م)} : ط ] × {ر - م - ط}
و قیمت دی [{ رم - ۲ ق - ن ( ط ق - م )} : ط ] × ر - م - ط را


۲۹
دریافت کنید.
جمله اول= {۵×۱۰-۲×۱۲-۸×(۲×۱۲-۱۰)}÷۲]×(۱۵-۱۰-۲)
=[{۱۵۰-۲۴-۸×۲۴}÷۲]×۳
=[{۱۲۶-۱۱۲}÷۲]×۳
=[۱۴÷۲]×۳
= ۲۱ = ۷×۳ =
و جمله دوم = [۵×۱۰-۲×(۱۲-۸)(۲×۱۲-۱۰)}÷۲]×۱۵-(۱۰-۲)
=[{۱۵۰-۲×۴×۲۴}÷۲]×۱۵-۸
=[{۱۵۰-۱۱۲}÷۲]×۱۵-۸
=[۳۸÷۲]×۱۵-۸
۲۷۷ = ۸ - ۲۸۵ = ۸ - ۱۵ × ۱۹ =
بنابرین فرق مطلوب = ۲۷۷ - ۲۱ = ۲۵۶
مسئله (۴)
اگر ا=۵ و ب=۲ و ج=۱ و د=۴ و ی=۹ و ف=۰ و م=۷ و ن=۳
وط=۸ باشد قیمت عددی جملہاے ذیل را معلوم کنید:-


۳۰
(۱) ۱ اب وط
(۲) ۵ ا ء د
(۳) ۴ ا ط ن
(۴) ۶ تا (ی ن)
(۵) ۴ تا ء د
(۶) ۴
(۷) ۲ تا ب
(۸) ۲ تا b
(۹) ۱ + ب ء ای
(۱۰) ۱ + ب ء ای
(۱۱) ۳ ء ج + b
(۱۲) ۳ تا ج + b
(۱۳) ۳ تا (ج + ط)
(۱۴) ۳ تا ۸ (ن + ط)
(۱۵) ۳ تا ۸ (ن + ۳ ط)
(۱۶) ف ۴ م + ی
(۱۷) ف ۴ م + ی
(۱۸) ۳ ی - (۲ د - ب)
(۱۹) ۲ - (د - ب)
(۲۰) ۳ (ی - ۲ د) - ب
(۲۱) (۳ ی - ۲) د - ب
(۲۲) (۳ ی - ۲) د - ب
(۲۳) ۳ {ی - (۲ د - ب)}
(۲۴) ۳ (ی - ۲) (د - ب)
(۲۵) ۷ ط - (ن - ب)
(۲۶) (۷ ط - ن) ۲ - ب
(۲۷) ۷ ط - (ن - ب) ۲
(۲۸) ۷ (ط - ن) ۲ - ب ۲
(۲۹) {۷ ط - (ن - ب)} ۲
(۳۰) ۲ ا ط + ۳ ج + ۴ د (ج + ن) ۲
(۳۱) ۲ ا ط + ۳ ج + ۴ د (ج + ن) ۲
(۳۲) ۲ ا ط + ۳ ج + ۴ د (ج + ن) ۲
(۳۳) ۲ ا ط + (۳ ج + ۴ د) ج + ن
+ ۳ {د ج + ۴) د ج + ن}
اگر ۱ = ۲ وی = ۱ اوع = ۴ و ۱ = ۶ و د = ۸ و ج = ۵ ون = ۹ وط = ۴


۳۱
قیمت عددی جملہای ذیل را معلوم کنید :-
(۳۵) و (لا + ی) (۱ - ج - ۶)
(۳۶) ۴ {ن - ۶ (د - ۱ + ط)} سه ۴ {ن - ۱ (د - و) + ط}
(۳۷) ۵ {ج + لا + ی (ن - د - ۶)} ۵ { (ج + لا + ی) ن - د - ۶}
(۳۸) [(لا + ی) {وط - ۶ (ج - ۱ - لا)}] - [(لا + ی) {(وط - ۶) ج - و} لا]
۱۸ - حدود متشابہہ و غیر متشابہہ
ہرگاہ چند حدود ہیچ تفاوت نداشته باشند یا محض در امثال تفاوت
داشته باشند آنہا را حدود متشابہہ میگویند مثلا ۳ ل ا ی ۵ و ۵ ل ا ی حدود
متشابہہ میباشند - و ۳ ل ا ی ۵ و ۵ ل ا ی حدود غیر متشابہہ و بر همین منوال
ا ب ج و ۵ ل ا ب دو ۲ ا ب و ج د لا ہمگی جملہای بسیط یا حدود
غیر متشابہہ میباشند -
۱۹ - مفہوم خاص اشارت و اشارات متحدہ مختلفه
اشارت اکثر محض برای تعبیر + یا - استعمال میشود مثلا اگر سوال
شود که اشارت این حد چیست در جواب آن زائد یا ناقص گفته خواهد شد
یعنی هر یک از اشارات زائد و ناقص که قبل از ان حد باشد در جواب


۳۲
گفته میشود و نیز دو اشارت وقتی متحد گفته میشوند که هر دو زائد یا هر دو
ناقص باشند ورنه اشارات مختلفه گفته میشوند مثلا در جمله ا ا + ب اا
ج ی + د - ف اشارات حد سوم و پنجم و نیز حدو د اول و دوم و چها
متحد میباشند و برخلاف این اشارات حدود دوم و سوم و نیز حدود
چهارم و پنجم مختلف میباشند -
۲۰ - درجه حاصل ضرب
هرگاه یک حرف خاص ن بار در حدی مضروب گردد آن حد را
بلحاظ آن حرف حد درجه ن میگویند - مثلا حد ه ا ب ج بلحاظ حرف ا
حد درجه پنجم میباشد و بلحاظ حرف ب حد درجه دوم بلحاظ حرف ج حد
درجه اول - باز درجه یک حد بلحاظ چند حرف یا همه حروفیکه در آن حد
مندرج باشد آنقدر میباشند که مساوی مجموع قوت نماهای حروف
مذکوره شود مثلا ه ا ب ج بلحاظ اوب حد درجه هفتم میباشد و بلحاظ
ا وب و ج حد درجه هشتم - و نیز اگر در جمله مرکبه درجات حدود مختلف باشند
پس درجه جمله مذکوره مساوی درجه آن حد شمار کرده میشود که نسبت بهمه
حدود باقی مانده درجه آن زیاده تر باشد


۳۳

۲۱ - جمله متجانس
هرگاه در جمله جبریه درجه هر حد یکسان باشد آن جمله را جمله متجانس میگویند
مثلا ۵ اَ ب - ۷ اَ ب ج + ۸ اَ ج۲ جمله متجانس میباشد چرا که
هر حد این جمله حد درجه چهارم است
(تنبیه امثال در درجه حد شمار کرده نمیشود)
۲۲- اشارات عظم وصغر < و >
هرگاه یکی ازین دو علامت < و > مابین دو مقدار نوشته شود آن مفهوم
اینست که مقدار طرف راس زاویه کلانتر از مقدار داخل زاویه خورد تر است
مثلا مفهوم اَ + ب < ج + د اینست که ج + د از اَ + ب زیاده
و اَ + ب از ج + د خورد تر است
این علامت ذیل .:. بطور مخفف لفظ چونکه استعمال میشود -
و این علامت ذیل :. بطور مخفف لفظ بنابران استعمال میشود
باب دوم
مقادیر مثبت و مقادیر منفی
۲۳ - مفهوم علامت مثبت و منفی


۳۴

در علم حساب علامات مثبت و منفی در ذات اعداد شمولیت ندارند بلکه
حکم یک عامل جداگانه را دارند یعنے هرگاه این علامات با عد دو نشته
میشوند پس در انصورت ان تعلق و ربط را ظاهر میکنند که عدد مذکور با عداد
دیگر داشته باشد - مثلاً ۹ + ۷ = ۱۶ و ۹ - ۷ = لیکن تنها + ۷ و - ۷
هیچ مفهوم ندارد - لاکن در علم جبر و مقابله این علامات برای اظهار
این دو مفهوم استعمال میشوند یعنے اول اینکه حکم عامل را دارند دوم
اینکه در ذات عدد بطور صفت هم شمولیت دارند -
مثلاً فرض کنید که + ۷ یک چیز را در یک صورت خاص ظاهر میکند
پس - ۷ همان چیز را در صورتیکه نقیض صورت اول باشد ظاهر خواهد
کرد مثلاً اگر + ۷ نفع هفت روپیه را ظاهر کند پس - ۷ از نقصان
هفت روپیه تعبیر خواهد کرد یا اگر + ۷ ی نقصان هفت روپیه تعبیر کند
- ۷ نفع همانقدر روپیه را ظاهر خواهد کرد - علاوه بران ظاهر است
که اگر از دو مقدار متساوی باشارات مختلفه یکی جا تعبیر شود آنها یکدیگر را
محو خواهند کرد و حاصل آنها صفر خواهد بود و ظاهر است که این
صفر بصورت معدوم شدن معمول های مذکور پیدا میشود.


۳۵
مثلاً فرض کنید که یک شخص اولاً نفع هفت روپیه حاصل میکند و بعد
ازان نقصان هفت روپیه را پس ظاهر است که شخص مذکور بحالت
اصلی خود مانده است نه سود کرده است و نه زیان لهذا این امر را
بواسطه مساوات ذیل ۷ - ۷ = ۰ ظاهر میکنند. ولیکن در علم جبر مقاما
علاوه برین همین مفهوم معانی دیگر نیز دارد مثلاً فرض کنید که یک
شخص اولاً نفع هفت روپیه را حاصل کرده است و بعد ازان نقصان
۹ روپیه پس در علم جبر و مقابله حالت شخص بلحاظ نفع و نقصان رقم
۷ - ۹ یا ۷ - ۷ - ۲ یا ۰ - ۲ یا - ۲ خواهد بود و ظاهر است که مفهوم - ۲ را
بواسطه مفهوم وسیع مقادیر منفی چنانکه در فوق ذکر آمده فهمیده میتوانیم
و فی الفور گفته میتوانیم که شخص نقصان دو روپیه کرده است
۲۴ - چند امثله دیگر در باب مسئله فوق
و بر همین منوال بسیار نظائر دیگر خود بخود در ذهن طالب العلم پیدا خواهد شد
مثلاً فرض کنید که از سطح زمین بر کوه بالا میشویم و باعتبار بلندی این فاصلۀ
بلندی را بمثبت تعبیر میکنیم پس برعکس آن اگر ما در یک چاه یا کان درآئیم
ظاهر است که این مسافت که درون چاه مذکور یا کان مذکور است منفی


۳۶

خواهد بود- و همچنین فرض کنید که کابل را مبدأ قرار داده سوی مشرق تا ۱۰ میل
میرویم و این ۱۰ میل را مثبت میگوئیم پس اگر از کابل سوی مغرب مسافت
۱۰ میل را طی کنیم این ۱۰ میل مؤخرالذکر منفی خواهد بود- و علی ہذا القیاس
۲۵- تخصیص مقادیر مثبت و منفی
از بیان فوق ظاہر است که اعداد یا حروف که پیش آنها اشارت +
باشد یا هیچ علامت نباشد مقادیر مثبت را ظاهر میکنند و برخلاف
آن اعداد یا حروف که پیش آن اشارت - باشد مقادیر منفی را تعبیر کنند
مثلا هر یکی از ۴ و ۶ و ا و + ب مقدار مثبت میباشد- و هر یکی
از -۴ و -۶ و -ا و -ب و -ج مقدار منفی میباشد-
تنبیه ۱- قیمت مطلق یک عدد آن مقدار است که بغیر لحاظ
خاصیت مثبت و منفی عدد مذکور گرفته شود مثلاً قیمت +۴ و -۴
یکسان است یعنی ۴ است
تنبیه ۲- طالب العلم را باید که مفهوم فقرہائے ذیل را
بغور ذہن نشین خود نماید-
(۱) نفع - ۲۰ روپیہ (۲) ارتفاع - ۸ انچ (۳) مسافت - ۵ میل بطرف شمال


۳۷
وعلى هذا القياس مفهوم فقره اول نقصان ۲۰ روپیه است
و مفهوم فقره دوم عمق ۸ اینچ است و مفهوم فقره سوم مسافت
۵ میل بطرف جنوب است
مسئله (۵)
(۱) اگر واحد قیاسی نقد ۲ روپیه باشد معلوم کنید که منفعت ۱ = - ۵
چه معنی دارد؟
(۲) اگر از نقصان ۶۰ روپیه بواسطه عدد ۶۰ تعبیر کرده شود معلوم کنید که
از نفع ۷۰ روپیه بکدام عدد تعبیر خواهد شد؟
(۳) اگر از آمدنی ۸۰ روپیه بعدد ۲۰ تعبیر کرده شود معلوم کنید که از قرض ۱۰
روپیه بکدام عدد تعبیر خواهد شد؟
(۴) اگر از قرض ۲۰۰ روپیه بعدد ۲۵ تعبیر کرده شود معلوم کنید که از آمدنی
۸۰۰ روپیه بکدام عدد تعبیر خواهد شد؟
(۵) اگر از مسافت ۹۰ میل بجانب شمال بعدد ۱۸ تعبیر کرده شود معلوم
کنید که از مسافت ۱۵۰ میل بجانب جنوب بکدام عدد تعبیر خواهد شد
(۶) اگر سطح یک دریا در یکروز ۸ اینچ بالا شود و روز دوم ۶ اینچ فرو وبا


۳۸
روز سوم ۱۰ انچ بالا پس معلوم کنید که اگر ازین کمی و بیشی بلفظ "بالا"
تعبیر کرده شود و واحد قیاسی طول ۳ انچ باشد پس تعبیر ازین کمی و
بیشی سه روز مذکور بکدام عدد خواهد شد؟
(۷) یک شخص سال اوّل نفع ۳۰ روپیه حاصل کرد و سال دوّم نقصان
۲۰ روپیه و سال سوم نقصان ۴۰ روپیه لاکن سال چهارم باز نفع ۵۰ رویه
حاصل کرد پس معلوم کنید که اگر ۲ روپیه واحد قیاسی نقد باشد از نفع
هر سال مذکور چگونه تعبیر کرده خواهد شد؟
(۸) در سوال هفتم معلوم کنید که از نقصان آنشخص چگونه تعبیر کرده خواهد شد؟
باب سوّم
جمع
۲۶ - تعریف
هرگاه دو یا زیاده مقادیر یکجا کرده شود حاصل آنها را مجموع و یا حاصل جمع
میگویند و طریق دریافت نمودن این مجموع را جمع
تنبیه چون مقادیر منفی در علم حساب هیچ معنی ندارند بنابرین
ظاهر است که جمع جبر و مقابله از جمع حساب تفاوت دارد لهذا هرگاه


۳۹

لفظ جمع در جبر و مقابله استعمال شود لازم نیست که کل مقادیر جمع شده
مقادیر مثبت باشند
۲۷- حاصل جمع یک مقدار مثبت با مقدار مثبت دیگر
ب' و اَ ب
فرض کنید که ب' ب یک سرک است و مسافتهائیکه از مبدأ و
بطرف راست میباشند مثبت و مسافتهائیکه بطرف چپ میباشند
منفی شمار کرده میشوند و نیز فرض کنید که و و اَ و ب سه نقطه بر ان سرک
واقع هستند و واَ ۲ میل و اب ۳ میل است پس اگر یک میل
واحد قیاسی مسافت باشد و مقام اَ و ب مطابق شکل فوق مسافت
و اَ + ۲ میل و اب + ۳ میل خواهد بود - پس اگر یک شخص از و
روانه شده تا اَ در یک ساعت و از اَ تا ب در یک ساعت دیگر
برسد ظاهر است که آنشخص در دو ساعت مذکور مسافت و ب یعنے
+ ۵ میل راطی کرده است - پس چونکه (مسافت طی شده ساعت
اول) + (مسافت طی شده ساعت دوم) = (مسافت طی شده
در دو ساعت مذکور میباشد) لہذا (+۲) + (+۳) = ۵ میباشد


۴۰
بنابرین علی العموم (+ ا) + (+ ب) = + (ا + ب) یا اختصارا (ا)
+ (ب) = ا + ب پس هرگاه دو مقدار مثبت جمع کرده شوند مجموع
آنها یک مقدار مثبت میباشد که قیمت مطلق آن برابر مجموع قیمت های
مطلق مقادیر مذکور میباشد
۲۸ - حاصل جمع یک مقدار منفی با مقدار منفی دیگر
فرض کنید که در شکل فوق و اَ = ۲ میل و اَبَ = ۳ میل است و اینکه
اَ طرف چپ و است و بَ طرف چپ اَ چنانکه در شکل ظاهر است
پس و اَ را - ۲ و اَ بَ را - ۳ تعبیر خواهد کرد
پس اگر یک شخص از و روانه شده به اَ در یک ساعت و از اَ تابَ
در یک ساعت دیگر برسد ظاهر است که آنشخص در دو ساعت
مذکور مسافت و بَ یعنے - ۵ میل را طی کرده است؟
پس چونکه مسافت طی شده ساعت اول) + (مسافت طی شده
ساعت دوم) = (مسافت طی شده در دو ساعت مذکور میباشد)
لهذا (-۲) + (-۳) = - ۵ پس علی العموم (- ا ) + (- ب) =
-(ا + ب) لهذا هرگاه دو مقدار منفی جمع کرده شود مجموع آنها مقدار منفی میبا


۴۱
و قیمت مطلق آن برابر مجموع قیمت های مطلق مقادیر مجموعهٔ مذکوره
بالا خواهد بود.
مثال ۱ مجموع - ۱ و - ب ج و - آب را معلوم کنید ا = ۲ و ب = ۳ و ج = ۵
پس ا = ۲ و ب ج = ۳ × ۵ = ۱۵
و آ ب = ۴ × ۳ = ۱۲
بنابرین (-۱) + (-ب ج) + (- آب) = (-۲) + (-۱۵) + (-۱۲)
= -(۲ + ۱۵ + ۱۲) = -۲۹
مثال ۲ - اگر ا = ۳ و ب = -۲ و ج = ۴ و د = ۵ و ف = -۶ و ک = -۸
باشد قیمت جمله ذیل را معلوم کنید:-
(-۳ ج) + (- آ د) + (ب + ف + ک)
ب + ف + ک = (-۲) + (-۶) + (-۸) = -(۲ + ۶ + ۸) = -۱۶
نیز ۳ ج = ۱۲
و آ د = ۳×۵ = ۲۷×۵ = ۱۳۵
لهٰذا جمله مفروضه = (-۱۲) + (-۱۳۵) + (-۱۶) = -(۱۲ + ۱۳۵ + ۱۶)
= -۱۶۳


۴۴
اسئله (۶)
(۱) مجموع - ۳ و - ۷ و - ۱۲ را معلوم کنید
(۲) مجموع او - ب و - ج را معلوم کنید ا = - ۵ و ب = ۳ و ج = ۲
(۳) مجموع - ۵ و او ب را معلوم کنید ا = - ۶ و ب = - ۲۰
و نیز این مجموع را با - ۱۰ جمع کنید
(۴) مجموع - ا + (ب وج را معلوم کنید ا = ۵ و ب = - ۸ و ج = - ۶
(۵) قیمت جمله ذیل را معلوم کنید (- آ-ب) + (- ب ج ) + {- (آ- ب )}
چون ا = ۴ و ب = ۲ و ج = ۶ باشد
(۶) مجموع - ۳ آ ب و دوی و - ۲۰ ج و (د+ی) را معلوم کنید
ا = ۱ و ب = ۲ و ج = ۳ و د = - ۴ و ی = - ۵
(۷) مجموع ارقام ذیل را معلوم کنید :-
- آ (ب - ج ) و - ب (ج - ا ) و - ج (ب - ا )
چون ا = ۲ و ب = ۵ و ج = ۴
(۸) قیمت جمله ذیل را معلوم کنید :-
{- (آ - ی )} + {- (آ - ی )} + {- (آ - ی )} چون ا = ۵ و ی = ۳


۴۳

(۹) مجموع جملہای ذیل را معلوم کنید :-
-لا (ی-ع) و-ی (ع-لا) وع (ی-لا)
چون لا=۳ و ی=۶ و ع=۵
(۱۰) مجموع جملہای ذیل را معلوم کنید
- {آ÷ب-ج} و- {آ÷(ب-ج)} و-{آ-ب×ج} و
-{ (آ-ب) ×ج} چون ا=۶۰ و ب=۴ و ج=۲
۲۹-حاصل جمع مقدار منفی و مقدار مثبت
در شکل فقره ۲۷ فرض کنید که یک شخص از ہ روانه شده در ساعت اول
تاب میرود و در ساعت دوم از ب تا ا پس مسافتیکه در ساعت اول
طی شده + ۵ میل میباشد و مسافتیکه در ساعت دوم طی شده -۳ میل
میباشد بنابرین در اختتام ساعت دوم آن مسافت را که از مقام و
طی شده از (+۵) + (-۳) تعبیر خواهد کرد-لیکن آنشخص در اختتام دوساعت
از و مسافت و ا یعنی ۲ میل میرسد لہذا (+۵) + (-۳) =+(۵-۳)
باز اگر آنشخص از و روانه شده در ساعت اول تاب برود و در ساعت
دوم از ب تا ا- پس مسافتیکه در ساعت اول طی شد + ۵ میل میبا[شد]


۴۴
و مسافتیکه در ساعت دوم طی شده - ۷ میل لهذا مسافت شخص ازو
در اختتام ۲ ساعت (+ ۵) + (-۷) خواهد بود لیکن ظاهر است که در
اختتام دو ساعت آنشخص از و بمسافت و ۱ یعنے - ۲ میل میرسد
لهذا (+ ۵) + (-۷) = - ۲ = - (۷ - ۵)
پس علی العموم (+ ا) + (- ب) = + (ا - ب) یا - (ب - ا)
بقرار نقصان و زیادت ب نسبت به ا
پس اگر یک مقدار مثبت با یک مقدار منفی جمع شود علامت حاصل
جمع مثبت یا منفی میباشد بقرار این امر که قیمت مطلق مقدار منفی از
قیمت مطلق مقدار مثبت کم یا زیاده باشد و قیمت مطلق حاصل جمع
دائما مساوی فرق قیمت ہائے مطلق مقادیر مجموعه میباشد
نتیجه ۱- چونکه ا + (- ب) = - (ب - ا) بشرطیکه ب از ا
کلان باشد بنابراین اگرا = ۰ باشد + (- ب) = - ب خواهد بود
یعنی مفهوم جمع کردن مقدار منفی اینست که قیمت مطلق آن تفریق شود
و برعکس آن مفهوم تفریق مقدار مثبت انیست که همان مقدار منفی که
که مقدار مطلق آن مساوی مقدار مثبت مذکور است جمع شود-


۴۵

تنبیه - بنابرین دریافت نمودن قیمت (ا-ب) وقتیکه ب
از ا زیاده باشد آسان خواهد بود چراکه ا - ب همیشه مساوی ا+(-ب)
میباشد واگر ب از ا زیاده باشد این جمله ثانی مساوی - (ب -ا) میشود
لهذا ۳ - ۸ = ۳ + (-۸) = -(۸-۳) = - ۵
نتیجه ۲ از نتیجه اول ظاهر است که مجموع چند مقدار باین طریق ظاهر
کرده میشود که آنهائیکه بعد از دیگر با اشارات مختلفه علی الترتیب
نوشته شود مثلا ا- ب + ج - د مساوی ا + (-ب) + ج + (-د)
میباشد
مثال - ۱ قیمت ا-۳ب + ۲ج - ۷د را معلوم کنید
اگر ا = ۲ و ب = ۴ و ج = ۳ و د = ۱
ا - ۳ ب + ۲ ج - ۷ د = ا + (-۳ ب) + ۲ ج + (- ۷ د )
= ۲ + (-۱۲) + ۶ + (-۷)
= -۱۰ + ۶ + (-۷)
= - ۴ + (-۷)
= - ۱۱


۴۶
مثال ۲ - قیمت اب - ب ج + ج د - د ا - ب ج را معلوم کنید
اگر ا = ۱ و ب = ۲ و ج = ۳ و د = ۴
جمله مفروضه = (۱×۲) - (۲×۳) + (۳×۴) - (۴×۱) - (۲×۳)
۲ - ۶ + ۱۲ - ۴ - ۶ =
۱۸ - ۱۶ - ۳۶ + ۱۰ - =
۱۸ - ۱۶ - ۲۶ =
۱۸ - ۱۰ =
۸ - =
مسئله (۷)
(۱) مجموع ۷ و - ۴ را معلوم کنید (۲) مجموع ۸ و - ۱۳ را معلوم کنید
(۳) قیمت ب - ج + د را معلوم کنید اگر ب = ۳ و ج = ۵ و د = ۸
(۴) مجموع ۳ ا و - ۵ ب و ج و د و ۴ ی را معلوم کنید
اگر ا = ۲ و ب = ۳ و ج = ۴ و د = - ۷ و ی = ۳
(۵) قیمت جمله ذیل را معلوم کنند :-
۳ م - ۵ ن + ۶ ق + س اگر م = ۴ و ن = ۶ و ق = ۲ و س = - ۸
(۶) قیمت جمله ذیل را معلوم کنید :-
۲ لا ی - ۳ ی لا - ۵ لا ی + لا ی اگر لا = ی = ۲


۴۷
(۷) مجموع جملهای ذیل را معلوم کنید :-
-اَج وب دَ و س ج بَ و - اُ دَ اگر ا = ۲ و ب = ۵ وج = ۳ ود = ۶
(۸) قیمت جملۀ ذیل را معلوم کنید :-
اَ - ۳ اُ ب + ۳ اَ ب - بَ اگر ا = ۳ و ب = ۵
(۹) قیمت جملۀ ذیل را معلوم کنید :-
مَ - ۴ مَ ن + ۶ مَ نَ - ۴ م نَ + نَ اگر م = ۲ ون = ۴
(۱۰) قیمت جملۀ ذیل را معلوم کنید :-
لَ - ۵ لَ یَ + ۱۰ لَ یَ - ۱۰ لَا یَ + ۵ لا یَ - یَ اگر لا = ۵ و ی = ۷
۳۰ هر گاه چند مقدار جمع شوند بترتیبی که نوشته شوند حاصل آنها
یکجا نست
فرض کنید که یک شخص از یک مبدا معین سوی شمال ۶ میل را
میرود و بعد ازان پس برهمان سرک مذکور مسافت ۸ میل را سوی
جنوب طی میکند پس در اختتام سفر مسافت شخص مذکور از مبدا ۲ میل
بطرف جنوب خواهد بود -
باز اگر آنشخص اولاً ۶ میل بسوی جنوب مبدا برود و بعد ازان ۸ میل سوی


۴۸
شمال بر همان سمرک مذکور برود در ینصورت نیز مسافت الشخض ازمبدا
۲ میل بطرف جنوب خواهد بود.
بنابرین +۶(-۸)=(-۸)++۶ زیرا که ہر یکی از انها مساوی - ۲ میباشد
لهذا اختصاراً +۶ - ۸ = - ۸ ++۶ وعلی ہذا القیاس
بنا برین علی العموم ا- ب = - ب + ا باز چونکه ۲ - ۱۰ + ۶ = - ۸ + ۶ = - ۲
و نیز - ۱۰ + ۶ + ۲ = - ۴ + ۲ = - ۲ بنابرین ۲ - ۱۰ + ۶ = - ۱۰ + ۶ + ۲
بنابرین علی العموم ا - ب + ج = - ب + ج + ا
و بر همین منوال ا - ب + ج - د + ی - ف = ا + ج + ی - ب - د - ف
= - ب + ی - د - ف + ج + ا
۳۱ ہر گاه جمع چند مقدار مطلوب باشد و آنها را بچند حصه تقسیم نموده
جمع کنیم مجموع حصص مذکوره مساوی مجموع آن مقادیر خواهد بود
مثلاً ۳ - ۷ - ۸ + ۶ - ۴ + ۲ = - ۷ - ۸ + ۶ - ۴ + ۲
= - ۱۲ + ۶ - ۴ + ۲
= - ۶ - ۴ + ۲
= - ۱۰ + ۲
= - ۸
و (۳-۷) + (-۸+۶) + (-۴+۲) = ۴ - + (-۲) + (۳-) = - ۸
و ۳ + (-۷ - ۸ + ۶) + (-۴+۲) = ۳ + (۹-) + (۳-) = - ۸


۴۹

و ۳+( - ۷ - ۸) + ( ۶ - ۴ ) + ۲ = ۳ + ( ۱۵ - ) + ۲ + ۲ = - ۸
بنابرین ۳ - ۷ - ۸ + ۶ - ۴ + ۲
= ( ۳ - ۷ ) + ( - ۸ + ۶ ) + ( - ۴ + ۲ )
= ۳ + ( - ۷ - ۸ + ۶ ) + ( - ۴ + ۲ ) س
= ۳ + ( - ۷ - ۸ ) + ( ۶ - ۴ ) + ۲ وعلیٰ ہذا القیا
بنابرین علیٰ العموم جمع ا + ب - ج - د + ی - ف + ک در صورتہای ذیل
نوشته شده میتواند :-
( ۱ ) ( ا + ب ) + ( - ج - د ) + ی + ( - ف + ک )
( ۲ ) ا + ( ب - ج ) - د + ( ی - ف + ک )
( ۳ ) ( ا + ب - ج ) + ( - د + ی - ف ) + ک
( ۴ ) ا + ( ب - ج - د ) + ی + ( - ف + ک )
( ۵ ) ( ا + ب - ج ) + ( ی - ف + ک )
نتیجه : - برعکس فوق ( ا + ب ) + ( - ج - د ) + ی
+ ( - ف + ک ) = ا + ب - ج - د + ی - ف + ک
بنابرین قاعدۀ ذیل مستقر راست :-
برای جمع کردن دو یا زیاده جملها جبر یه آنها را علیٰ الترتیب با اشارات متعلقه انهباید


۵۰
نتیجه ۲ - چونکه ا - ب + ج - د + ی - ف = ا + ج + ی
- ب - د - ف = (ا + ج + ی) + (- ب - د - ف)
بنابرین قاعده ذیل مقرر است :-
هرگاه جمع چند مقدار مطلوب باشد که بعضی از انها مثبت باشد و منفی
پس بهتر اینست که مقادیر مثبت را یک حصه و مقادیر منفی را حصه دیگر
ساخته جمع شود و مجموع این هر دو حصه معلوم کرده شود.
مثلاً ۳ - ۷ + ۸ - ۹ + ۵ - ۶ = (۳ + ۸ + ۵) + (- ۷ - ۹ - ۶)
= ۱۶ + (-۲۲) = -۶
مثال ۱- مختصر کنید: ۱۵ - ۳ ب + ۲ ج - ۱۴ + ۲ ب - ۴ ج
جمله مفروضه = ۱۵ - ۱۴ - ۳ ب + ۲ ب + ۲ ج - ۴ ج
= (۱۵ - ۱۴) + (-۳ ب + ۲ ب) + (۲ ج - ۴ ج)
= ۱ + (- ب) + (-۲ ج)
= ۱ - ب - ۲ ج
مثال ۲- مختصر کنید: ۳ ا ب + ۵ ب ج - ۴ ج ا -
۱۰ ا ف - ۵ ب ج + ۶ ج ا + ۲ ا ب - ۸ ا ف + ج ا


۵۱
جمله مفروضه = ٣ اب - ١٠ اب + ۴ اب + ٥ ب ج - ۷ ب ج
- ب ج - ۶ ج ا + ۸ ج ا + ج ا
= (٣ اب - ١٠ اب + ۴ اب) + (٥ ب ج - ۷ ب ج - ب ج)
+ (- ۶ ج ا + ۸ ج ا + ج ا )
= (- ٧ اب + ۴ اب) + (- ٢ ب ج - ب ج)
+ ( + ٢ ج ا + ج ا )
= (- ٣ اب) + (- ٣ ب ج) + (٣ ج ا)
= - ٣ اب - ٣ ب ج + ٣ ج ا
تنبیه در عمل فوق این امر بغور ملاحظه شود که چون جمع حدود متشابه
مطلوب باشد پس مجموع انها باین طریق معلوم میشود که امثال را جمع کرده
مجموع با حروف یک جمله نوشته شود. مثلاً ٥ ب ج - ٧ ب ج - ب ج =
- ٣ ب ج زیرا که - ٣ مجموع امثال ٥ و - ٧ و - ١ میباشد
مثال ٣ - حدود ذیل را جمع کنید ١٣ - ٢ ب + ج و - ٥ د + ٦ ی - ف
و قیمت عددی این مجموع را معلوم کنید چون ا = ٢ و ب = ١ و ج = ٣ و
د = ۴ و ی = ٧ و ف = ٥
پس (١٣ - ٢ ب + ج) + (- ٥ د + ٦ ی - ف)
= ١٣ - ٢ ب + ج - ٥ د + ٦ ی - ف (مجموع مطلوب)
= ١٣ - ٢ + ٣ - ٢٠ + ۴٢ - ٥
= (١٣ + ٣ + ۴٢) + (- ٢ - ٢٠ - ٥)
= ٥٨ + (- ٢٧)
= ٥٨ - ٢٧
= ٣١


۵۲
مسئله (۸)
جملهای ذیل را مختصر کنید :-
(۱) ۱ + ب س ج - ۲ ا - ۳ ب + ۴ ج
(۲) ۵ آ - ۷ ب + ۸ ج + ۵ ب - ۷ ج - ۶ آ
(۳) ۱۸ - ا ب - ۱۷ + ۵ ج - ۱۳ + ۵ ا ب
(۴) ۵ م ن ط - ۶ ا ب س - ۷ ج س ۸ م ن ط + ۹ ج + ۴ ا ب س - ۵ ج
(۵) - ۷ آ ب - ۵ س ج + ۱۰ آ ب - ۳ س ج + ۳ د ف - آ ب - س ج - ۵ د ف
(۶) ۸ لأ س - ۵ لا س ع - ۷ الأ س + ۲۰ لأ س - ۲ لا س ع - ۳۵ لأ س
+ ۳ لأ س - ۴ لا س ع + ۵ لأ س
(۷) - ۱۳ أ س ج + ۱۵ ا س ج - ۲۷ ا س ج - ۵ أ س ج + ۱۳ ا س ج
- ۲۳ ا س ج + ۷ أ س ج + ۶ ا س ج + ۱۹ ا س ج
(۸) ۲۰ لأ م ن - ۳۳ م ن لا + ۱۴ ا ن لا م - ۳۷ لا م ن - ۴۷ ن لا م
+ ۴۵ م ن لا - ۸ لا م ن + ۱۳ ا ن لا م - ۱۵ م ن لا + ۲۰ ن لا م
اگر ا = ۲ و ب = ۳ و ج = ۴ و د = ۵ و ی = ۶ و ف = ۷
و ک = ۸ و ق = ۹ و م = ۱۰ و ن = ۱۲ قیمت جملهای ذیل را معلوم کنید


۵۳

(۹) ا + ٣ ب + ۵ ج و ۵ د - ۴ ی - ۶ ف
(۱۰) ۵ ب - ۲ ف و - ۷ م - ۸ ن و ٣ د + ی - ۱۰ ق
(۱۱) ۳ اُ و - ۵ ب' + ۷ ج' و - ۲ ی + ۵ م - ن و ۱۰ د - ۷ ق
(۱۲) - ۲ ا + ۳ ب - ۴ ج و - د - ۵ ی + ۶ ف و ۳ ک - ۵ ق - ۳ م + ۵ ن
(۱۳) - ۱ ب + ک ق و ۴ ن - ۴ ب د + ف و - ج - ذ + م ق
وَ ۶ اُ ج - ۵ ف + ۷ ی + ۱ ب ج
(۱۴) ا ب - ج د ی و ف م - ا ب ن - ی د و - م ک + ۳ ق - ۴ ب د
وَ ۵ ج - ۷ د م ک + ۲ اُ ق - ۳ م' د
(۱۵) ۳ ب م - ۵ ق' ی - ۴ م ک - ۱۳ ا' م + ۴ ک' د - ۷ ن' ج و - ۵ ن' ج
+ ۸ ف' م' + ۹ ذ' وَ ۵ ک' ق - ۷ م' ن - ۴ ی م + ۸ ج د ق
۳۲ - قاعده عمومی جمع جملهای مرکب
قاعده - جملهای مفروضه را زیر یکدیگر باینقسم بنویسید که حدود متشابه بهم
در تحت حدود متشابهه باشند پس زیر سطر اخیر یک خط عرضی بکشید و بعد
ازان هر سطر عمودی را جمع کرده مجموع را زیر این خط عرضی بالترتیب بنویسید رقوم
امثله ذیل توضیح این قاعده را خواهند نمود :-


۵۴
مثال ۱ - جمع کنید: ۱۳- ۵ب + ۴ج - ۹د و -۱ ج +۱۵
-۳د+۷ب و ۴د + ۲ج - ا و۲ب -۳ج+۶د
جمله اول =۱۳-۵ب+۴ج-۹د
جمله دوم = ۱۵+۷ب-۸ج-۳د
جمله سوم = -ا+۲ج+۴د
جمله چهارم = ۲ب-۳ج+۶د
مجموع = ۱۷+۴ب -۳ج-۲د
مثال ۲- قیمت عددی مجموع ذیل را معلوم کنید:.
۲۰ اٰ۲ب-۲۵ب۲ج۲+د۳-۲۲ اٰ۲ب+۱۹ اٰب۲ج۲-۳ د۳ و۲ اٰ۲ب+۷ب۲ج۲+۲د۳
اگر ا=۸ و ب=۳ و ج=۲ و د=۱ باشد
جمله اول = ۲۰ اٰ۲ب-۲۵ب۲ج۲+د۳
جمله دوم = -۲۲ اٰ۲ب+۱۹ اٰب۲ج۲-۳د۳
جمله سوم = ۲ اٰ۲ب+۷ب۲ج۲+۲د۳
مجموع = ب۲ج۲
و قیمت عددی مطلوب = ۳۲×۲۲ = ۹×۴ = ۳۶


۵۵
مسئله (۹)
جمع کنید:-
(۱) ۱-۲ ب + ۵ ج و -۷ ۱+ ۳ب -۸ ج
(۲) -۳ لا + ۵ ی - ۶ و ۵ لا - ۳ ی + ۷ و - ۳ ی + ۶
(۳) لا + ۳ لا - ۵ لا + و ۲ لا - لا + ۷ لا - ۸ و - لا + ۷ لا - ۲ لا + ۹ و ۵ لا + ۲
(۴) ۱۳ - ۲ ب + ۷ ج - ۸ د و ۳ ج + ۶ د - ۱۵ و ۳ ب + د - ۱۰ ج
و ۲ ج - ۴ ب + ۱ و - ۷ د + ۵ ب
(۵) لا + ۲ لای + ۳ لا - لا + ی + ۲ و - ۵ لا + ی + ۲ لا - ۵ و - ۳ لای
- ۷ی + ۳ ی + ۱ و ۶ لا + لا ی - لا - ۴ ی + ۲
(۶) ۲ لا - ۵ لا ی + ی و ۴ ی - ۷ لا - ۵ لا + ۲ ی و ۳ لا ی - ۵ + ی - ۶ ی
و ۳ - ۴ ی + ۳ لا
(۷) ۲ ب ج + ا ب - ب ج و ۵ ا ب - ۱۲ ب ج - ۳ ا ب ج و ۸ ب ج
- ۴ ا ب + ۴ ا ب ج و ۴ ا ب + ۵ ب ج
(۸) م ن - ۲ م ن + ۲ و م ن + ۸ م ن و ۵ م ن - ۱۰ م ن + ۵ م ن - ۶ م ن و
۲ م ن - ۵ م ن + ۳ م ن و - ۷ م ن + م ن - ۴ م ن


۵۶
(۹) ۱۲ اَ ۲ب لا - ۲۹ ب۲ لا اَ + ۳۷ لاَ اَ ب + ۳۵ اَ ب لاَ و ۲۵ ب لاَ - ۱۶ اَ ب۲
- ۱۸ اَ ب لا - ۱۵ لاَ اَ ب و ۲۲ اَ ب۲ لاَ - ۲۳ لاَ اَ ب + ۳۰ اَ ب لا - ۲۸ ب۲ لااَ
وَ - ۹ لاَ اَ ب - ۱۴ اَ ب۲ لا - ۶۰ اَ ب لاَ + ۳۲ ب۲ لاَ اَ
(۱۰) - ۱۵ اَ ب۲ ج۲ + ۴ ج۲ اَ ب۲ - ۲۳ ب۲ ج۲ اَ + ۲۷ اَ ب۲ ج۲ و ۵ ج۲ اَ ب۲ - ۵ اَ ب۲ ج۲
+ ۲۳ اَ ب۲ ج۲ - ۸ ب۲ ج۲ اَ و ۲۹ ب۲ ج۲ اَ + ۱۱ اَ ب۲ ج۲ - ۹ اَ ب۲ ج۲ - ۴ ج۲ اَ ب۲
وَ - ۳ اَ ب۲ ج۲ - ۱۰ ج۲ اَ ب۲ + ۳ ب۲ ج۲ اَ - ۱۸ اَ ب۲ ج۲
(۱۱) ۲۵ اَ ب۲ - ۸ ب۲ ج - ۳ ج۲ اَ + ۱۹ اَ ب۲ ج۲ و ۶ ج۲ اَ - ۱۲ اَ ب۲ ج۲ - ۱۹ اَ ب۲ - ۲ اَ ب۲
وَ ۲۷ اَ ب۲ ج۲ + ۱۳ اَ ب۲ + ۷ ج۲ اَ - ۳۰ ب۲ ج و ۲۹ ب۲ ج - ۶ اَ ب۲ ج۲ - ۲۱ اَ ب۲ - ۳ ج۲اَ
وَ ۱۰ ب۲ ج۲ + ۳ اَ ب۲ + ۸ ج۲ اَ - ۲۷ اَ ب۲ ج۲
(۱۲) ۵ اَ - ۱۸ ب۲ - ۳ ه ج۲ - ۲۵ ا ب ج و ۸ ج۲ ه - ۳ اَ - ۷ ا ب ج + ۲۹ ب۲
وَ ۲۶ ا ب ج - ۷ ج۲ ه + ۱۱ ب۲ + ۳ ه ج۲ و ۱۳ ب۲ - ۱۸ ا ب ج + ۴ اَ + ۱ ه ج۲
وَ - ۱۴ اَ + ۲ ج۲ ه + ۲۱ ا ب ج - ۳۴ ب۲
اگر اَ = ۵ و ب = ۴ و لا = ۸ و ی = ۷ باشد قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید
(۱۳) (۳ لاَ + ۵ ی۲ - ۳۰ اَ + ۲۹ ب۲ ) + ( ۱۷ اَ - ۷۲ ب۲ - ۳۳ لاَ )
+ ( - ی۲ + ۳ ب۲ - ۳ اَ ) + ( - ۲۳ ب۲ - ۴ ی۲ + ۷ اَ + ۲۰ لاَ )


۵۷
(۱۴) (۱۰ آ - ۲۶ لاٴ س + ۳۰ لاٴ ب + ۷ ا س) + (۳۵ لاٴ س + ۱۶ ا س - ۴ - ۳۰ آ
- ۲۸ لاٴ ب) + ( - ۸ ا س - ۹ لاٴ س - ۷ لاٴ ب) + (۵ لاٴ ب - ۲۵ ا س + ۲۸۹ آ)
(۱۵) (۲ آ - ۷ ب + ۹ لاٴ - ۱۳ س + ۵ ا ب - ۲۱ لا س) + (۵ س + ۸ ب + ۷ ا لا س
- ۶ آ - ۸ ا ب - ۲۰ لاٴ) + (۱۳ لاٴ - ۲۰ ا ب + ۵ آ - ۱۶ لا س - ۱۰ س - ۳ ب)
+ (۱۳ ا ب - ۳ لاٴ + ۳ ب + ۲۳ لا س - آ + ۱۸ س)
(۱۶) (۲۹ ا ب لا - ۳۹ ب لا س + ۴۹ لا س - ۵۹ س ا ب) + (۲۹ ب لا س
+ ۴۹ س ا ب - ۹ ۱ا ب لا - ۳۹ لا س) + (۲ ا ب لا - ۱۲ لا س + آب لا س
+ ۲۲ س ا ب) + (۳ لا س + ۴ ب لا س - ۱۳ ا ب لا - ۱۴ س ا ب)
(۱۷) (۱۸ آ ب - ۴۳ ب لاٴ + ۶۲ لاٴ س - ۴۳ ا ب لا س) + (۳۹ ا ب لا س - ۴۸ ب لاٴ
- ۲۵ آ ب - ۴۲ لاٴ س) + (۱۹ ب لاٴ + ۳۷ آ ب - ۲۵ ا ب لا س + ۳۵ لاٴ س)
+ (۹ ا ب لا س - ۲۹ آ ب - ۵۵ لاٴ س - ۴ ب لاٴ)
(۱۸) (۴۶ آ + ۳۸ ب - ۷۸ ا ب لاٴ - ۱۰۵ س) + (۴۷ ا ب لاٴ + ۸۵ س - ۵۶ آ
- ۵۸ ب) + (۵۵ س + ۷۵ ب + ۲۳ آ + ۶۳ ا ب لاٴ) + ( - ۳۳ ب
+ ۸ س - ۲۷ ا ب لاٴ - ۳۹ آ) + (۲۶ آ - ۴۵ س - ۲۲ ب + ۱۵ ا ب لاٴ)
(۱۹) (۳۵ لا س + ۲۷ ا ب - ۹۸ ب لاٴ - ۶۲ س آ - ۸۳ ا ب لاٴ س) + (۴۸ ب لاٴ


۵۸
+ ۱۰۲ ی اً - ۶۵ لای اً - ۷۸ ا ب + ۵۳ ا ب لای ) + ( ۲۶ ا ب لای
- ۷۵ ا ب - ۲۵ ی ا + ۲۳ ب لاً + ۵۳ لای ) + (۴۸ ی ا - ۲۹ لای
۶۵ ا ب لای + ۲۵ ا ب + ۲۶ ب لاً ) + ( - ۸۹ ا ب - ۴۳ ی اً
+ ۶۹ ا ب لای + ۶ لای - ۴۹ ب لاً )
(۲۰) (۵۷ اً ب لا + ۲۵ ب لای - ۲۳ ا لای ا + ۳۷ ی اً ب - ۲۵۳ اً ب لای
+ ( ۶۳ لای ا - ۹۲ ی اً ب - ۶۳ اً ب لا + ۷۳ اً ب لاً - ۸۵ ب لای )
+ (۳۵ ی اً ب + ۱۳۲ ب لای + ۸۳ اً ب لاً + ۳۶ لا ی ا + ۹۶ اً ب لا)
+ ( - ۵ اً ب لاً - ۷۸ اً ب لا + ۴۷ ی اً ب - ۷ ا لا ی ا - ۵۴ ب لای
+ ( ۶۱ لا ی ا - ۲۰ ب لای + ۴۸ ا اً ب لاً - ۷ ی اً ب - ۱۲ اً ب لا )
باب چهارم
تفریق و خطوط قوسی
۳۳ - تعریف
مفهوم تفریق یک مقدار ب از مقدار ا اینست که یک مقدار دیگر ج
[ILL] معلوم شود که مجموع ب و ج مساوی ا باشد و بعبارت دیگر
رج = ا - ب آنوقت میشود که ب + ج = ا باشد -


۵۹
آن مقدار را که از یک مقدار دیگر تفریق یا منها شود مفروق میگویند
و آن مقدار را که ازان کدام مقدار دیگر تفریق شود مفروق منه و باقی را
فرق یا حاصل تفریق مثلاً اگر ا - ب = ج باشد ا مفروق منه است
و ب مفروق و ج فرق یا حاصل تفریق
۳۴- مفهوم تفریق یک مقدار مثبت همانست که مفهوم جمع آنمقدار
منفی میباشد که قیمت مطلق آن مقدار منفی مساوی قیمت مقدار
مثبت مذکور است و نیز مفهوم تفریق یک مقدار منفی همانا
که مفهوم جمع آن مقدار مثبت میباشد که قیمت مطلق آنمقدار
مساوی قیمت مطلق مقدار منفی مذکور است -
چونکه ۳ + ۴ = ۷ لہذا ۷ - ۳ = ۴ = ۷ + (-۳) باز چونکه ۶ + (-۲) = ۴
لہذا ۴ - ۶ = -۲ = ۴ + (-۶) لہذا دائماً ا - ب = ا + (-ب)
مفهوم تفریق یک مقدار مثبت همانست که مفهوم جمع آن مقدار منفی
میباشد که قیمت مطلق آن مقدار منفی مساوی قیمت مطلق مقدار مثبت
مذکور است -


۶۰
چونکہ (۳) + ۵ = ۲ لهذا ۲ - (-۳) = ۵ { بحکم تعریف ۳۳ }
۳ + ۲ =
و بهمین طریق چون (-۶) + (-۴) = - ۱۰
لهذا (-۱۰) - (-۶) = -۴ = (-۱۰) + ۶
لهذا علی العموم چونکہ (- ب) + (+ ب) = ا بنابرین ا - (- ب)
= ا + ب یعنے مفهوم تفریق یک مقدار منفی همانست که مفهوم جمع
آن مقدار مثبت میباشد که قیمت مطلق آن مقدار مثبت مساوی قیمت مطلق
مقدار منفی مذکور است -
تنبیہ یک مقدار ۱ از ب آنوقت اعظم گفته میشود که حاصل ا - ب
مثبت باشد مثلاً (-۴) از (-۵) اعظم است چرا که (-۴) - (-۵)
= - ۴ + ۵ = ۱ و بر همین منوال - ۵ < - ۷ و - ۱۰ < - ۳ وعلی ہذا القیاس
بنابرین در سلسله اعداد ذیل یعنے ۵ و ۴ و ۳ و ۲ و ۱ و ۰ و -۱ و - ۲
و -۳ و - ۴ و - ۵ و - ۶ و - ۷ و - ۸ وغیره هر عد از عدد ماقبل خود اصغر
۳۵ - تشریح اصول فوق
د ج ب ط ا


٦١
فرض کنید که ادسز کسيست که از طرف غرب بسو مشرق میرود و اوط و ب
وج و د پنج رباط است که بران سرک وقوع دارند و نیز اط = طب = ۲ میل
و ب ج = ۳۰ میل و ج د = ۱۰ میل اگر یک شخص از ط روانه شده تاج
در ۲ روز برسد پس ظاهر است که (مسافت طی شده روز اول)
+ (مسافت طی شده روز دوم) = ۵۰ میل لہذا از روی تعریف
فقره ممتاز ۵۰ میل - (مسافت طی شده روز اول = مسافت
طی شده روز دوم)
(١) اگر روز اول آنشخص از ط تاب یعنی ۳۰ میل سو مشرق طی کند
پس روز دوم شخص از ب تاج یعنی ۳۰ میل هم سو مشرق طی خواهد کرد
(۲) اگر روز اول انشخص ازط تا ا یعنی ۲۰ میل سوی مغرب طی کند
پس روز دوم لازم است که آنشخص از ا تاج یعنی ۷۰ میل سو مشرق
طی بکند۔
(۳) باز اگر روز اول انشخص از ط تا د یعنی ۶۰ میل سو مشرق طی بکند
پس روز دوم لازم است که آن شخص از د تاج یعنی ۱۰ میل سو
مغرب طی بکند۔


۶۲
پس اگر یک میل واحد قیاسی مسافت باشد از امثله فوق نتایج ذیل اخذ
شده میتوانند:-
۳۰ = ۲۰ - ۵۰
۷۰ = (۲۰ -) - ۵۰
۱۰ - = ۶۰ - ۵۰
مثال ۱- قیمت ا- ب + ج را اگر ا = ۵ و ب = -۲ و ج = -۳
باشد معلوم کنید-
ا- ب + ج = ۵ - (-۲) + (-۳)
= ۵ + ۲ - ۳ = ۴
مثال ۲ - قیمت - ا - (-ب) + ج را اگر ا = -۲ و ب = -۳
و ج = - ۴ باشد معلوم کنید :-
جمله مفروضه = - ا + ب + ج
= -(-۲) + (-۳) + (-۴)
= ۲ - ۳ - ۴
= -۵
امثله (۱۰)
اگر ا = ۳ و ب = - ۵ و ج = - ۶ و د = - ۸ باشد قیمت عددی جملهای ذیل معلوم کنید


۶۳
(۱) - ا + ب س ج + د (۲) ۱ - ب + ج - د
(۳) ج - د - (- ب) - ا (۴) ج - (- د) + ب - ا
(۵) - (- ۱) + ب - (س ج) - داگر م = - ۷ م و ن = ۵۰ و لا = - ۱۵۲
و ی = - ۲۳۴ باشد قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید
(۶) ن - م - (- لا) + ی (۷) - (- م) + ی - (- ن) - لا
(۸) - (- لا) + م - ی - (- ن) (۹) - (- ی) - م - لا - (- ن)
(۱۰) - (- ن) - ی - (- لا) - م
۳۶ دلیل این که ا - (ب س ج) = ا - ب س ج و ا - (ب - ج) = ا - ب + ج
چونکه (ب س ج) + (ا - ب س ج) = ا
.: از روی تعریف فقره ۳۳ ا - (ب + ج) = ا - ب س ج
باز چونکه (ب - ج) + (ا - ب + ج) = ا
.: ا - (ب - ج) = ا - ب + ج *
* هرگاه ا و ب و ج همه مقادیر مثبت باشند و ا < ب و ب < ج باشد پس دلیل ذیل را
در اکثر کتب جبر و مقابله نوشته اند
اگر ب از ا تفریق شود باقی ا - ب میباشد لیکن در ینصورت از ا زیاده از مطلوب
تفریق کردیم چراکه مدعای ما این نیست که ب را تفریق کنیم بلکه آن مقدار را
که از ب بقدر ج کمتر است از ا تفریق میکنیم بنابرین لازمست که با باقی مذکور
ج جمع شود - لہٰذا ا - (ب - ج) = ا - ب + ج


۶۴
نتیجه پس بحکم فقره فوق برای تفریق یک جمله جبریه از جمله دیگر
قاعده ذیل اخذ شده است :-
قاعده - علامت هر حد مفروق را از مثبت بمنفی و از منفی بتبت
تبدیل نموده بعد ازان این همه حدود را علی الترتیب با علامات
تبدیل یافته بعد از مفروق منه بنویسید مثلاً اگر ۱۲ + ۳ ب - ۵ ج
از ۱ - ۲ ب + ج تفریق شود باقی = ۱ - ۲ ب + ج - ۱۲ - ۳ ب + ۵ ج
= - ۱ - ۵ ب + ۶ ج خواهد بود
مثال ۱ ۳۱ + ۲ ب - ۵ ج را از ۱۲ + ب - ۸ ج تفریق کنید
باقی مطلوب = ۱۲ + ب - ۸ ج - ۱۳ - ۲ ب + ۵ ج
= (۱۲ + ۱۳) + (ب - ۲ ب) + (-۸ ج + ۵ ج)
= ۱۵ + (- ب) + (- ۳ ج)
= ۱۵ - ب - ۳ ج
مثال ۲ ۲ ا۲ + ۳ ا ب - ۵ ب۲ را از - ۳ ا۲ + ۲ ا ب - ۴ ب۲ تفریق کنید
باقی مطلوب = - ۳ ا۲ + ۲ ا ب - ۴ ب۲ - ۲ ا۲ - ۳ ا ب + ۵ ب۲
= (- ۳ ا۲ - ۲ ا۲) + (۲ ا ب - ۳ ا ب) + (- ۴ ب۲ + ۵ ب۲)
= - ۵ ا۲ - ا ب + ب۲


۶۵
مسئله (۱۱)
تفریق کنید
(۱) ۱-ب+ج را از ۲ ۱+۳ ب-ج
(۲) ۲ ۱-۵ ب+۴ ج را از -۱-۲ ب+۸ ج
(۳) -لا+ی-۶ را از ۲ لا+۳ ی-۴ ء
(۴) -۳ م۲+۲ م ن+۵ را از-۵ م۲-م ن+۴
(۵) لا۳-۲ ی۲+۳ ء۲ را از ۳ لا۳-ی۲+۲ ء۲
(۶) ۳ دلا-۴ لای+۵ ی را از ۲ دلا+لای-۶ ی
(۷) -۳ اً-۲ اب-۷ ب۲ را از اً-۵ ا ب-۸ ب۲
(۸) -۲ ب ج+۶ ج۲-۸ لای را از ۵ ب ج س ج۲+۲ لای
(۹) ۲ لا۲-۴ لا۲+۷ لا+۵ را از لا۳-۳ لا۲+۶ لا+۷
(۱۰) لا۴+۲ لای-۳ لا۲ ی۲+۶ لای۳-ی۴ را از ۲ لا۴-۲ لا۳ ی-۳ لا۲ ی۲+۴ لای۳-ی۴
(۱۱) ۳ م۴-۷ م۳ ن+۸ م ن۲-۱۳ ن۴ را از ۲ م۴-۱۳ م۳ ن+۵ ۱ م ن۲-۴ ی۴
(۱۲) ۸ ط۴-۷ ط۳ ق+۱۰ ط۲ ق۲-۱۳ ط ق۳+۵ ق۴ را از ۵ ط۴-۱۲ ط۳ ق
+۷ ط۲ ق۲-۲۳ ط ق۳+۳ ق۴


۶۶

(۱۳) ۷ لا + ۶ لا ی – ۸ لا ۲ ی – ۱۳ لا ۲ ی + ۹ ی را از ۳ لا – ۵ لا ۲ ی
+ ۲ لا ی – ۷ لا ی ۲ + ۶ ی

(۱۴) ۳ م ن لا – ۱۰ ن لا م + ۱۴ لا ۲ م ن – ۲۰ م ۲ ن لا – ۷ ۲ ن لا م را از
۵ م ۲ ن لا – ۷ ا ن لا م + ۲۶ لا م ن – ۱۳ م ۲ ن لا – ۱۹ ن لا م

(۱۵) ۳۷ لا – ۲۸ لا ی + ۲۳ لا ۲ ی – ۵۴ لا ی – ۲۷ لا ی + ۸۴ لا ی – ۹۳ ی
از ۴۸ لا – ۳۱ لا ی – ۷ لا ۲ ی – ۳۹ لا ۲ ی – ۴۱ لا ی + ۶۵ لا ی – ۸۳ ی

۳۷- قاعده عمومیه برای تفریق یک جمله مرکب از جمله دیگر
اولا مفروق را زیر مفروق منه بنویسید باین طریق که حدود مشابه زیر
حدود مشابه باشند ثانیا زیر مفروق مذکور یک خط عرضی بکشید
و بعد ازان اشارت هر حد مفروق را تبدیل داده آن حدود را جمع کنید
مثال ۱ - ۲ لا + لا ی – ی را از لا – ۲ لا ی – ۳ ی تفریق کنید

مفروق منه = لا – ۲ لا ی + ۳ ی
مفروق = + ۲ لا + لا ی + ی
حاصل تفریق = ۳ لا – ۵ لا ی + ۴ ی

مثال ۲ و – ۳ و ب + ۵ لا – ی را از ۳ لا + ۲ ی – ۷ و تفریق کنید


۶۷۰
مفروق منه = ۳ لا۲ + ۲ س۲ - ۷ أ
مفروق = ۵ لا ۲ - س ۲ + أ - ۳ ب
حاصل تفریق = - ۲ لا۲ + ۳ س ۲ - ۸ أ + ۳ ب
مسئله (۱۳)
تفریق کنید
(۱) ۳ أ - ۴ ب + ۵ ج را از ۲ أ + ۳ ب - ۵ ج
(۲) -۳ م + ۵ ن - ۷ س را از ۷ م - ۲ ن + ۵ س
(۳) - لا ۲ + لاسی - س ۲ را از ۲ لا ۲ - ۳ لاسی + ۴ س ۲
(۴) لا ۲ - ۲ لا + ۵ لا + ۶ را از ۲ لا ۳ + ۳ لا ۲ - ۳ لا + ۵
(۵) أ - ۵ ا ب + ۲ ب ۲ + ۷ ب ج را از ۲ أ - ۳ ا ب + ۳ ب ج
(۶) - ۵ لا ۲ + ۶ لاسی - ۴ لاسی ۲ + ۷ س ۲ را از ۳ لا ۲ - ۲ لاسی + ۸ لاسی ۲ - ۵ س ۲
(۷) - ۲ + ۳ لا - ۵ لا ۲ + ۷ لا ۳ را از ۴ - ۶ لا - ۷ لا ۲ - ۹ لا ۳
(۸) لا ۳ - ۷ لا ۲ + ۹ را از ۳ لا ۳ - ۲ لا ۲ - ۸ لا + ۷
(۹) - ۵ لا ۴ + ۲ لا ۳ - لا ۲ - ۶ لا + ۹ + ۸ را از لا ۴ - ۶ لا ۳ - ۴ لا ۲ + ۵
(۱۰) ۲ لا ۳ - ۳ لاسی + ۷ لاسی ۲ - ۸ س ۳ + أ - ۳ ب را از لا ۳ - ۴ لاسی - ۸ لاسی ۲ - ۵ لا ۳


۶۸

(۱۱) ۳ لای ۶-۲ لاسی-۷ لاس ۶+۲ لاسی را از ۱۲ لاسی-۵ لاسی+۸ لای ۶
- ۹ لاسی ۶
(۱۲) ۲ س ج - ۳ ج+ ۱ رج + ۵ ژ-۴ ب-۷ ا ب را از ۴ ژ-۳ ب
+ ۵ ج-۶ ا ب + ۷ س ج - ۸ ا رج
(۱۳) - ۵ لا- ۳ لا + ۱۲ + ۲ لاسی-۷ ی + ۴ ی را از ۲ لا - ۳ لاسی + ۵ ی
-۶ لا - ۸ ی+ ۹
(۱۴) - ۵ ا + ۲ ا + ۴ ب - ۷ ا ب - ۲ ا ب - ۷ ب + ۵ ا ب را از
۳ ا- ۳ ا ب + ۵ ا ب- ۹ ب + ۳ ا- ۲ ا ب+ ب
(۱۵) - ۲ ی ۶ س ج + ۴ ی ۶ س ج - ۳ ا لا - ۹ ی ۶ س ج + ۳ ا لا را از
۳ ا لا- ۵ ا لا+ ۶ ی ۶ س ج - ۷ ی ۶ س ج + ۸ ی ۶ س ج
(۱۶) ۱۹ لا ۶ ی - ۵ الا ی ۶ + ۲۷ + ۱۱ لا ی ۶-۱۳ الا ی ۶-۱۹ لا ی ۶ را از
۲۵ - ۱۶ لا ی ۶ + ۲۱ لا ۶ ی - ۶ لا ی ۶ + ۸ لا ی ۶
(۱۷) ۴۳ لا ی ۶- ۲۳ لا ی ۶ + ۲۵ لا ی ۶- ۶۶ لا ی ۶ + ۲۶ لا ی ۶
+ ۳۵ لا ی ۶ را از ۳۹ لا ی ۶ - ۳۷ لا ی ۶ + ۵۴ لا ی ۶- ۶۷ لا ی ۶
+ ۸۹ لا ی ۶ - ۴۵ لا ی ۶


۶۹

(۱۸) ۲۹لاسیء + ۵ء لاسیء + ۱۳لاسیء + ۵۳ لاسیء - ۹۴ لاسیء
- ۸۴ لاسیء را از ۲۱لاسیء - ۷۴ لاسیء - ۴۸ لاسیء + ۶۳ لاسیء
- ۵۵ لاسیء - ۵۷ لاسیء
(۱۹) معلوم کنید که با ۳ لا - ۵ لای + ۶سی + ۷سیء چقدر جمع شود که حاصل
جمع مساوی - لا - سی - سیء باشد؟
(۲۰) معلوم کنید که با - ۵لا + ۱۳لاسی - ۶ ب لا + ۵ ب لای + ۷ لای اب
چقدر جمع شود که حاصل جمع مساوی لا + لاسی + ۶ ب لا - ۲ ب لای
- ۲ لای ا ب باشد؟
(۲۱) معلوم کنید که با ۵لا - ۶ لاسی + ۷ لاسی - ۸ لاسی - ۱۹ی چقدر جمع شود
که حاصل جمع مساوی ۳لا + ۵ لاسی - ۱۲سی باشد؟
(۲۲) معلوم کنید که با - ۵لا - ۳ لاسی - ۶ لاسی + ۷ لاسی + ۱۳ لاسی
- ۲۱ سی چقدر جمع شود که حاصل جمع مساوی - ۷لا - ۴ لاسی + ۱۳ لاسی
+ ۲۹ سی باشد؟
(۲۳) معلوم کنید که از ۲ء + ۱۵ ب - ۶ب چقدر تفریق شود که باقی ۱ء + ۲ب با
(۲۴) معلوم کنید که از ۵ لا - ۶ لای + ۴ سی - ۱۰سی + ۱۵ - ۸ لا چقدر تفریق شو


۷۰
که باقی لا٢ + ٢ لاسی + ٣ سی٢ + ۴ لا + ۵ سی + ٦ باشد ؟
(٢۵) معلوم کنید که از ٣ آ٢ - ۴ آ ب + ۵ ا ب٢ - ٨ ب٣ چقدر تفریق شود
که باقی آ٣ - ۴ ا ب٢ + ٧ ب٣ باشد ؟
(٢٦) معلوم کنید که از - ٨ لاسی + ۴ لاسی٢ - ١١ لاسی٣ + ١٢ لا٢ - ١٣ سی + ٢٧
چقدر تفریق شود که باقی ۴ لاسی - ٣ لاسی٢ - ١١ لاسی٣ + ٢٠ لا٢ - ٣٠ سی
+ ۵٦ باشد ؟
(٢٧) معلوم کنید که ٣ ا٢ - ٧ ا ب - ٨ ب ج + ٩ ب٢ از کدام جمله تفریق شود
که باقی ٢ ا٢ + ٣ ا ب + ٣ ب ج + ٢ ب٢ بماند ؟
(٢٨) معلوم کنید که - ٣ لا٢ + ۵ سی٢ - ٧ لاسی + ٨ لا - ٩ از کدام جمله تفریق شود
که باقی لا٢ - ٨ سی٢ + ٢ لاسی - ١١ لا + ٧ بماند ؟
(٢٩) معلوم کنید که - ٧ آ - ٨ ب٢ ج - ١٣ ا٢ ج + ٣ ب٢ از کدام جمله تفریق شود
که باقی ۴ آ - ٣ ب٢ ج + ٧ ا٢ ج - ٨ ب٢ بماند ؟
(٣٠) معلوم کنید که ٢١ لا٢ - ٧٣ لاسی٢ + ۴٢ سی٢ - ٨١ لا + ١٩ لاسی - ٣٩
از کدام جمله تفریق شود که باقی - ٢۵ لا٢ + ۵١ لاسی - ٧٨ سی٢ + ٧ لا
- ٣۴ لاسی + ٣۴ بماند ؟


۷۱
۳۸ رفع خطوط قوسی
قواعد رفع خطوط قوسی در ذیل مندرج میباشند :-
(۱) اگر چند حد ما بین خطوط قوسی محدود باشند و پیش آن اشاره + باشد
خطوط قوسی مذکور بدون تغیر اشارات حدود داخله آن رفع میشود
(۲) اگر چند حد ما بین خطوط قوسی محدود باشند و پیش آن اشارت - باشد
خطوط قوسی مذکور باین شرط رفع میشود که اشارت هر حد داخل خطوط
قوسی از جمع بتفریق و از تفریق بجمع تبدیل شود - و دلیل قواعد مذکور
ظاهر است چرا که هرگاه یک جمله داخل خطوط قوسی باشد و پیش از آن
اشارت + باشد مفهوم اینست که جمله مذکو رجمع شود و همچنین اگر پیش
ازان اشارت - باشد پس مفهوم اینست که آن جمله تفریق شود
مثلاً ا - ب + ( ج - د + ی ) = ا - ب + ج - د + ی
و نیز ا - ب - ( ج - د + ی ) = ا - ب - ج + د - ی
و برعکس آن
(۱) چند حد را در خطوط قوسی که پیش ازان اشارت + باشد محدود کرده میتوانیم
(۲) و چند حد را در خطوط قوسی که پیش ازان اشارت - باشد نیز محدود کرده میتوانیم


۷۲
بشرط اینکه اشارت سرحد را از جمع بتفریق و از تفریق بجمع تبدیل نموده
در اینچنین خطوط قوسی بنویسیم
مثلاً ا - ب + ج - د + ی - ف = ا - ب - (ج - د - ی + ف)
تنبیه اکثر اوقات قسمی از خطوط قوسی در خطوط قوسی دیگر واقع میشود
مثلاً در جمله ذیل ۳ ا - [ ۳ ب - { ۴ ج - (۵ د - ۶ ی) } ] پس
مفهوم اینچنین خطوط قوسی اینست که جمله داخله { } از ۳ ب تفریق شود
و باقی از ۳ ا تفریق شود و نیز جمله داخله { } اینطور دریافت نمود
میشود که جمله داخله ( ) از ۴ ج تفریق شود
وقتیکه اختصار جمله مانند جمله سابقه مطلوب باشد برای مبتدی بهتر
انیست که ابتدای عمل را از خطوط قوسی خورد بنماید
مثال ۱ - مختصر کنید: ا - {ب - (ج - د)}
ا - { ب - (ج - د) } = ا - {ب - ج + د}
= ا - ب + ج - د
مثال ۲ - مختصر کنید: ا - [ب - {ج - (د - ط)} - ف]
ا - [ب - {ج - (د - ط)} - ف] = ا - [ب - {ج - د + ط} - ف]
= ا - [ب - ج + د - ط - ف]
= ا - ب + ج - د + ط + ف


۷۳
مثال ۳ مختصر کنید: ۱+ [- ب - {ج - (د - ط - ف) - ک} ع]
جمله مفروضه = ۱+ [- ب - {ج - (د - ط + ف) - ک} - ع]
= ۱+ [- ب - {ج - د + ط - ف - ک} - ع]
= ۱+ [- ب - ج + د - ط + ف + ک - ع]
= ۱ - ب - ج + د - ط + ف + ک - ع
مثال ۴ مختصر کنید: ۱۲- [۳ ا+ {۴ ب - (۲ ا - ب) + ۵ ا} - ۷ ب]
جمله مفروضه = ۱۲- [۳ ا + {۴ ب - ۲ ا + ب + ۵ ا} - ۷ ب]
= ۱۲- [۳ ا + ۴ ب - ۲ ا + ب + ۵ ا - ۷ ب]
= ۱۲- ۳ ا - ۴ ب + ۲ ا - ب - ۵ ا + ۷ ب
= - ۴ ا + ۲ ب
مثال ۵ ۱- [- ب - {ج - (د - ط - ف)}] را مختصر کنید
باین طریق که اول [ ] و بعد ازان { } و بعد ازان ( ) رفع شود
جمله مفروضه = ۱ + ب + {ج - (د - ط - ف)}
= ۱ + ب + ج - (د - ط - ف)
= ۱ + ب + ج - د + ط - ف
= ۱ + ب + ج - د + ط - ف


۷۴

تنبیه جمله داخله ( ) بر دو حد مشتمل میباشد یعنی بر-ب و
- {ج - (د-ط-ف)} بنابرین وقتیکه این خطوط قوسی که پیش ازان
اشارت - است رفع شود باقی ب + {ج - (د-ط-ف)} میماند
و همین عمل در باقی خطوط قوسی جاری میباشد
این امر بغور ملاحظه شود که در یک وقت یک قسم خطوط قوسی رفع میشود
مثال ۶ مختصر کنید :-
{{(د ۴ - ج ۲) + ب ۳} - ۱۲} - {(د - ج) - ب} - ا}
{د + ج ۳ - ب} - ا = {(د - ج) - ب} - ا
= ا - ب + ج - د
{د ۴ - ج ۲ + ب ۳} - ۱۳ = {{(د ۴ - ج ۲) + ب ۳} - ۱۲} و
= ۱۲ - ۳ ب - ۲ ج + ۴ د
لهذا جمله مفروضه = (ا - ب + ج - د) - (۱۲ - ۳ ب - ۲ ج + ۴ د)
= ا - ب + ج - د - ۱۲ + ۳ ب + ۲ ج - ۴ د
= - ا + ۳ ب + ۳ ج - ۵ د
مثال ۷ از جمله ا + ب + ج + د - ط - ف سه حد اول و سه حد اخیر را
داخل خطوط قوسی جداگانه بنمائید و پیش ازانها اشارت - بنویسید


۷۵
بعد ازان دو حد اخیر هر یکی از خطوط قوسی فوق را داخل خطوط قوسی
دیگر که پیش از هر یکی از انها اشارت - باشد بنمائید - مثلاً
ا + ب ج + د - ط - ف = - { - ا - ب ج } - { - د + ط + ف }
= - { - ا - (ب ج ) } - { - د - ( - ط - ف ) }
مسئله (۱۳)
جمله های ذیل را مختصر کنید :-
(۱) ۱۲ - ۳ ب - (۴ و - ۶ ب ) + ( - ۱۲ + ۵ ب )
(۲) لا + ( - ی + ۴ لا ) - ( - ۲ لا + ۳ ی )
(۳) - ( ۵ لا - ی ) + ( - ۳ لا + ی ) - ( ۲ ی - ۶ لا )
(۴) ۱۳ - { ۱۶ - (۲ ب - ۱ ) } (۵) - ۱ - {۲ ب - (۱۹ + ۴ ب )}
(۶) ۱۲ + {۵ ب - ۷ ب - ۴ } (۷) ۳ - {۵ - (۶ - ۷ - ۹)}
(۸) - ۲ - { - ۲ - { - ۴ - (۵ - ۶)}}
(۹) - ۱ - { - ۳ ب - { - ۲ ا - ( - ا - ۴ ب)}}
(۱۰) ۱ - { ۲ ب - { ۳ ج - ( ۱ - ۲ ب - ۳ ج )}}
(۱۱) ۱۳ - { ۵ ی - {۱۰ ع - ( ۵ لا - ۱۰ ی - ۳ ع)}}
(۱۲) - ۱ - { - ب - { - ج - ( - ا - ب - ج)}}


۷۹
جمله‌های ذیل را مختصر کنید باین طریق که اولاً خطوط قوسی خارجی و بعد
ازان خطوط قوسی داخلی را رفع کنید-
(۱۳) ۲ لا - [ ۵ ی - { ۹ لا - ( ۱۰ ی - ۴ لا ) } ]
(۱۴) - ۱۵ - [ ۳ ب - { ۱۶ - ( ۵ ب - ۷ ) } ]
(۱۵) - ۴ م - [ ۳ ن - { ۸ م - ( ۴ ن - ۱۰ م ) } ]
(۱۶) - ۱۲ - [ - ۴ ب - { - ۶ ج - ( - ۱۸ - - ۱۰ ب - ۱۲ ج ) } ]
(۱۷) - ۳ لا - [ - ۵ ی - { - ۷۶ - ( - ۹ لا - - ۱۱ ی - ۱۳ ء ) } ]
(۱۸) - ۲ لا - [ - ۴ ی - { - ۶ ء - ( - ۱۳ - - ۵ ی - ۷ ء ) } ]
(۱۹) - لا - [ - ۳ ی + { - ۵ ء - ( - ۲ لا + - ۴ ی - ۶ ء ) } ]
(۲۰) - ۲ ر + [ - ۵ ب - { - ۸ ج + ( - ۳ ر - - ۶ ب + ۹ ج ) } ]
(۲۱) - لا + [ - ۵ ی - { - ۹ ء + ( - ۳ لا - - ۷ ی + ۱۱ ء ) } ]
مختصر کنید :-
(۲۲) { ۱۲ - ( ۳ ب - ۵ ج ) } - { ۱ - [ ۲ ب - ( ج - ۱۲ ) - ی ] }
(۲۳) { لا - [ ی - ( ۶ - لا ) - ( ی - ۶ ) ] - [ ۶ - لا - ( ی - ۶ ) ] }
(۲۴) { ۲ ر - ( ب  ج ) - [ ۲ ب - ( ۲ ر  ج ) ] } - [ ۱۲ + ( ج - ۴ ب ) ]
- [ ۳ ب - ( ۱۲ - ۴ ج ) + { ۲ ج - ( ۲ ب - ۱۳ ) } - { ۵ ج + ( ۱۶ - ۷ ب ) } ]


۷۷
در جمله ا - ب - ج + د - م + ن - لا + ی - ع :-
(٢٥) حد دوم و سوم و چهارم را در خطوط قوسی که قبل ازان اشارت - باشد بنویسید
و حد پنجم و ششم و هفتم را در خطوط قوسی دیگر که قبل ازان اشارت + باشد بنویسید
(٢٦) همه حدود که بعد از حد اول نباشند در خطوط قوسی که قبل ازان اشارت - باشد بنویسید
و چهار حد اخیر داخل این خطوط قوسی را داخل خطوط قوسی دیگر که قبل از ان اشارت + باشد بنویسید
(٢٧) پنج حد اول را داخل خطوط قوسی که قبل از ان هیچ اشارت نباشد بنویسید و چهار
حد اخیر را در خطوط قوسی دیگر که قبل از ان اشارت - باشد بنویسید و بعد از ان
حد اخیر هر دو خطوط قوسی را داخل اینچنین خطوط قوسی نمائید که قبل از انها اشارت باشد
(٢٨) از حد اول ابتدا نموده سه سه حد را در اینچنین خطوط قوسی که قبل از انها
اشارت - باشد بنویسید و بعد از ان دو حد اخیر این خطوط قوسی را در اینچنین
خطوط قوسی محدود کنید که پیش از انها اشارت - باشد
باب پنجم
ضرب
۳۹ - تعریف
مفهوم ضرب یکعدد اینست که تکرار یکعدد بقدر آحاد عدد دیگر نموده شود


۷۸

مثلا ۴ = ۱+۱+۱+۱

لهذا ۴ لا یا ۴ لا = لا+لا+لا+لا

و همچنین ۵ × ۵ = ۵+۵+۵+۵ = ۲۰

و ۳ × ۶ = ۶+۶+۶ = ۱۸ } ...... (۱)

و ۵ × ۳ = ۳+۳+۳+۳+۳= ۱۵

و نیز ۳ × (-۵) = (-۵)+(-۵)+(-۵)=-۱۵

و ۴ × (-۳) = (-۳)+(-۳)+(-۳)+(-۳)=-۱۲ } ...... (ب)

و ۵ × (-۴) = (-۴)+(-۴)+(-۴)+(-۴)+(-۴)=-۲۰

باز چون - ۴ = -۱-۱-۱-۱

لهذا (-۴) × لا = -لا-لا-لا-لا

و همچنین (-۴)×۵ = -۵-۵-۵-۵= -۲۰

و (-۳)× ۶ = -۶-۶-۶= -۱۸ } ...... (ج)

و (-۵)× ۳ = -۳-۳-۳-۳-۳=-۱۵

و نیز (-۳)÷(-۵) = -(-۵)-(-۵)-(-۵)

= ۵+۵+۵ = ۱۵

و (-۴)×(-۳) = -(-۳)-(-۳)-(-۳)-(-۳) } ...... (د)

= ۳+۳+۳+۳ = ۱۲

و (-۵)×(-۴) = -(-۴)-(-۴)-(-۴)-(-۴)-(-۴)

= ۴+۴+۴+۴+۴ = ۲۰


۷۹
اگر ا در ب ضرب شود ا را مضروب میگویند و ب را مضروب فیه
و حاصل را حاصل ضرب
امثله (۱۴)
بقرار تعریف فقره ۳۹ حاصل ضرب ارقام ذیل را دریافت کنید :
(۱) حاصل ضرب ۶ در ۵ (۲) حاصل ضرب ۷ در ۴
(۳) حاصل ضرب ۱۲ در ۳ (۴) حاصل ضرب - ۸ در ۴
(۵) حاصل ضرب - ۹ در ۵ (۶) حاصل ضرب - ۱۳ در ۶
(۷) حاصل ضرب ۸ در - ۳ (۸) حاصل ضرب ۱۲ در - ۵
(۹) حاصل ضرب ۱۵ در - ۳ (۱۰) حاصل ضرب - ۹ در - ۴
(۱۱) حاصل ضرب - ۱۲ در - ۵ (۱۲) حاصل ضرب - ۱۶ در - ۴
۴۰ قاعده اشارات
از فقره ۳۹ ظاهر است که اگر ا و ب دو عدد صحیح باشند
(+ا) × (+ب) = +(ا ب)
(+ا) × (-ب) = -(ا ب)
(-ا) × (+ب) = -(ا ب)
(-ا) × (-ب) = +(ا ب)


پس اگر دو عدد صحیح و متحدالاشاره در یکدیگر ضرب شود حاصل ضرب مثبت خواهد بود
و نیز اگر دو عدد صحیح و مختلف الاشاره در یکدیگر ضرب شود حاصل ضرب منفی خواهد بود
و همین قاعده در ضرب کسور نیز جاری میباشد مثلاً چون ٢/٣- = ١/٣-٢
یعنے چون -٢/٣ بدو دفعه تفریق حصه سوم یک واحد حاصل میشود لهذا
حاصل ضرب لادر-٢/٣ بدو دفعه تفریق حصه سوم لا حاصل خواهد شد
بنابرین (-٢/٣) × لا = -لا/٣ -لا/٣ = -٢لا/٣
همچنین (-٢/٣) × ٤/٥ = -٤/١٥ -٤/١٥ = -٨/١٥
و (-٢/٣) × (-٤/٥) = -(-٤/١٥) -(-٤/١٥)
= +٤/١٥ +٤/١٥ = ٨/١٥ و علیٰ ہذا القیاس
پس قاعده اشارات بطور وضاحت حسب ذیل خواهد بود:-
اگر اشارات مضروب و مضروب فیه متحد باشند حاصل ضرب مثبت خواهد بود
و اگر اشارات مضروب و مضروب فیه مختلف باشند حاصل منفی خواهد بود
نتیجه چونکه (-لا) × (-لا) = لا٢ و نیز (+لا) × (+لا) = لا٢
لہٰذا لا٢\ = لا+- پس ظاهر است که هر جمله جبریه دو جذر مربع دارد که قیمت
مطلق انها با هم مساوی و اشارات آنها مختلف میباشند-


۸۱
مثال جمله ذیل را مختصر کنید: (أ ب ج د) (ج- د)
اگر ا= -۲ و ب = -۳ و ج = -۴ و د= ۵ باشد
چونکه ا ب = (-۲) × (-۳) = ۲ × (-۳) = -۱۲
و ج د = (- ۴) × ۵ =
∴ أ ب ج د= -۱۲ - (-۲۰) = -۱۳+۲۰ =۸ . . . . ( ا)
ونیز چون ج = ( - ۴ )    = ١۶
و    د = (۵ )    = ۲۵
∴ ج - د = ١۶- ۲۵    = -٩ . . . . . (ب)
پس بموجب (ا) و (ب) (أ ب ج د) (ج - د) = ۸ × (-٩)= -۷۲
مسئله (۱۵)
قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید:-
(۱) ا ب ج د اگر ا = - ۲ و ب = -۳ و ج = -۸ و د = ۶
(۲) (أ - ب) ج اگر ا = - ۵ و ب = -۶ و ج = -٩
(۳) ا ب ج + ب ج ج د اگر ا = ۳ و ب = -۵ و ج = -۷ و د = -۴
(۴) (-ا) ب ج د + ب (ج ج) اگر ا = ۵ و ب = -۷ و ج = ۴ و د = -۳


۸۲
(۵) {آ+(ب-آ)-(ج-آ)} (ب ج- ا د) اگر آ = -۳ و ب = ۴ و ج = ۶ و د = -۹
(۶) آ (ب- ج) + ب (ج-ا) + ج (ا-ب) اگر ا = -۲ و ب = -۵ و ج = ۷
(۷) لآ(ی-ع) + ی۲(ع-لا) + ع۲(لا-ی) اگر لا = -۳ و ی = ۸ و ع = -۵
(۸) ط(ق-س) + ق(س-ط) س(ط-ق) اگر ط = -۳ و ق = -۵ و س = -۷
(۹) آ + ب۲ + ج۳ - ۳ ا ب ج اگر ا = -۱۲ و ب = -۱۳ و ج = -۱۵
(۱۰) ثابت کنید که (ا + ب)۴ = آ۴ + ۴ آ۳ب + ۱۰آ۲ب۲ + ۴ آ ب۳ + ب۴
اگر ا = -۵ و ب = ۲
ام اثبات این امر که ا * ب = ب * ا ست
(۱) فرض کنید که ا و ب هر دو مثبت میباشند
پس احاد ب را در یک خط عرضی بنویسید و اینقسم سطور را بقدر آحاد ا
باین طریق بنویسید که احاد علی الترتیب در یک سطر عمودی واقع باشد
۱ ۱ ۱ ۱ ۱ . . . . . "تا ب دفعه
۱ ۱ ۱ ۱ ۱ . . . . . " تا ب دفعه
۱ ۱ ۱ ۱ ۱ . . . . . " تا ب دفعه
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . الی ا


۸۳

پس ظاهر است که اگر عمل بقرار فوق نموده شود مفهوم آن همانست که آحاد را
در خطوط عرضی ب نوشته شود پس همگی آحاد را که بطریق فوق نوشته شدند شمار کنید
چون تعداد همه سطور عرضی ا است و در هر سطر ب احاد است
لهذا کل تعداد احاد = (تعداد احاد در سطر عرضی اول) + (تعداد احاد در سطر
عرضی دوم) + (تعداد احاد در سطر عرضی سوم) + . . . . . . . . .
(تعداد احاد در سطر عرضی اخیر) که بالف ازان تعبیر شده است = ب
+ ب + ب . . . . تا ا = ا × ب (۱)

و نیز چون تعداد همه قطارهای عمودی ب است و در هر قطار ا احاد هستند
لهذا کل تعداد احاد = (احاد در سطر عمودی اول) + (احاد در سطر عمودی دوم)
+ (احاد در سطر عمودی سوم) . . . . . . . . . + (احاد در سطر عمودی اخیر)
که به ب ازان تعبیر شده است = ا + ا + ا + . . . . تا ب = ب ا (۲)
بنا برین از (۱) و (۲) چنین اخذ میکنیم که ا × ب = ب × ا (۱)
یعنی ب دفعه ا = ا دفعه ب و همچنین در کسور نیز قاعده مذکوره جاری میباشد
نتیجه ا در فقره ۴ ثابت شده است که لا × (-ی) = - (لای) و (-ی)
× لا = - (ی لا) لیکن چون لای = ی لا ∴ لا × (-ی) = (-ی) × لا (ب)


۸۴
نتیجه ۲ در فقره ۴ ثابت شده است که ( - لا ) × ( - ی = + لا ی و ( - ی )
× ( - لا ) = + ی لا لیکن چون لا ی = ی لا ∴ ( - لا ) × ( - ی ) = ( - ی )
× ( - لا )
(ج)
پس از ( ا ) و ( ب ) و ( ج ) ثابت گردید که برای هر قسم
قیمتهای ا و ب ا × ب = ب × ا
مسئله (۱۶)
ثابت کنید که
(۱) ۲ × ۵ = ۵ × ۲
(۲) ۶ = ۳ × ۲
(۳) ۷ × ۵ = ۵ × ۷
(۴) ۴ × ۸ = ۸ × ۴
(۵) ۹ × ۵ = ۵ × ۹
۴۲ اثبات این امر که ( ا ب ) × ج = ا ( ب ج )
= ب × ( ا ج )
ب عدد احاد رج را که هر یک در خط قوسی باشد در سطر عرضی بنویسید
و ا عدد اینچنین سطور را باین طریق بنویسید که هر یک از خطوط قوسی در بر خط
قوسی دیگر علی الترتیب در یک سطر عمودی واقع باشند -


۸۵

[ج] [ج] [ج] [ج] . . الی ب
[ج] [ج] [ج] [ج] . . الی ب
[ج] [ج] [ج] [ج] . . الی ب

پس ظاهر است که در عمل فوق اگر بر جای ج ب نوشته شود و یا بر جای
ا ب یا ج باشد در هر سه صورت مفهوم عمل تغییر نمییابد
پس چون کل تعداد خطوط قوسی ا ب میباشد و نیز چون در هر یک
از خطوط قوسی ج احاد میباشند بنا برین کل تعداد احاد = (ا ب)
x ج . . . . . . . . . . . (۱)
باز چون در یک سطر عرضی ب خطوط قوسی است و در هر یک از
خطوط قوسی ج احاد هستند بنا برین تعداد احاد در یک سطر عرضی
ب ج میباشد و نیز چون کل تعداد سطور عرضی ا هست بنا برین
کل تعداد احاد = ا x (ب ج) میباشد . . . . . . (ب)
باز چون در یک سطر عمودی ا خطوط قوسی است و در هر یک از


٨٦
خطوط قوسی ج احاد است بنابرین تعداد احاد در یک سطر عمودی
ا ب ج میباشد و نیز چون کل تعداد سطور عمودی ب است بنابر
کل تعداد احاد = ب * (ا ب ج) میباشد . . . . . . (ج)
لهذا از (ا) و (ب) و (ج) نتیجه ذیل اخذ میشود:
(ا ب) * ج = ا * (ب ج) = ب * (ا ب ج)
نتیجه از فقره ۴۱ و ۴۲ ظاهر است که ا ب ج = ب ج ا = ج ا ب
پس نتیجه اینست که بهر ترتیب که مضروبات یکعدد نوشته شود در حاصل
ضرب هیچ تفاوت نمیشود
تنبیه اگرچه ترتیب مضروبات بر حاصل ضرب هیچ اثر ندارد
لیکن بهتر اینست که مضروبات بترتیب حروف تهجی علی الترتیب نوشته شود
مثلاً بهتر است که ج * د * ا * ب * آ را بصورت ا ب ج د آ نوشته شود
۴۳ اثبات این امر که آن * ام = آن+م اگر م و ن اعداد
صحیح و مثبت باشند
چون آن = ا *
و ام = ا * ا


۸۶
.۰. ا۲ × ا۳ = (ا ا) × (ا ا ا)
= ا ا ا ا ا     {فقره ۲ م
= ا۵ = ا۲+۳
و نیز چون ا۴ = ا ا ا ا
و ا۶ = ا ا ا ا ا ا
.۰. ا۴ × ا۶ = (ا ا ا ا) × (ا ا ا ا ا ا)
= ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا {فقره ۲ م
= ا۱۰ = ا۴+۶
و بالعموم ام = ا ا ا ا . . . . . تا م
و ان = ا ا ا ا . . . . تا ن
.۰. ام × ان = (ا ا ا ا . . . تا م) × (ا ا ا ا . . . تا ن)
= ا ا ا ا ا ا ا ا ا . . . . تا (م+ن)
= ام+ن
نتیجه ۱ ام × ان× اط = ام+ن+ط اگر م و ن و ط هر یک عدد صحیح و مثبت باشد
و چون ام × ان = ام+ن .۰. ام × ان× اط = ام+ن × اط = ام+ن+ط
نتیجه ۲ (ام) م = ام م اگر م و ن هر دو عدد صحیح و مثبت باشند
زیرا که (ام) م = ام × ام× ام × . . . . . تا ن
= ام+م+م+م
= ام م


۸۸
۴۴ تطبیقات فقرات سابقه
مثال ۱ ثابت کنید که (- ا ب ) ۲ = ا ۲ ب ۲
(- ا ب)۲ = (- ا ب ) (- ا ب )
= ( ا ب ) ( ا ب )  { فقره ۴۰
= ا × ب × ا × ب  { فقره ۴۲
= ا × ا × ب × ب  { نتیجه فقره ۴۲
= ( ا ا ) × ( ب ب )  { فقره ۴۲
= ا ۲ ب ۲  { فقره ۴۳
مثال ۲ ضرب کنید: - ۵ ا ۲ ب را در ۴ ا ۳ ب ۳ (- ۵ ا ۲ ب)
× (۴ ا ۳ ب ۳ ) = - { ( ۵ ا ۲ ب ) × ( ۴ ا ۳ ب ۳ ) }  { فقره ۴۰
= - { ۵ ا ۲ × ب × ۴ × ا ۳ × ب ۳ }  { فقره ۴۲
= - { ۵ × ۴ × ا ۲ × ا ۳ × ب × ب ۳ }  { نتیجه فقره ۴۲
= - { ۲۰ × ( ا ۲ ا ۳ ) × ( ب ب ۳ ) }  { فقره ۴۲
= - ۲۰ ا ۵ ب ۴
مثال ۳ جملهای ذیل را مختصر کنید :-
( - ۲ لا ۳ ی ۵ ع۴ ) × ( ۴ لا ی ۴ ع ۵ ) × ( - ۶ لا ی ۲ ع ۳ )
( - ۲ لا ۳ ی ۵ ع۴ ) × ( ۴ لا ی ۴ ع ۵ ) = - { ( ۲ لا ۳ ی ۵ ع۴ ) × ( ۴ لا ی ۴ ع ۵ ) }
= - { ۲ × لا ۳ ی ۵ × ع۴ × ۴ × لا × ی ۴ × ع ۵ }


۸۹

{۴×۲ لا × لا × ی × ی × ع × ع} = -
{(لا×لا) × (ی×ی)×(ع×ع)} × ۸- = -
۸- لا ی ع = -
بنا برین جمله مفروضه = (-۸ لا ی ع ) × (-۶ لا ی ع )
= (۸ لا ی ع ) × (۶ لا ی ع )
= ۸ × لا × ی × ع × ۶ × لا × ی × ع
= ۸×۶ × لا × لا × ی × ی × ع × ع
= ۴۸ (لا لا) × (ی ی) × (ع ع)
= ۴۸ لا ی ع
مسئله (۱۷)
ثابت کنید که:-
(۱) (ا-) × (۳ب) = -۳ ا ب (۲) (۲ا) × (-۴ب) = -۸ ا ب
(۳) (-۳ ا) × (-۶ ا) = ۱۸ ا (۴) (-۴ب) × (-۱۵) = ۲۰ ب
(۵) (-۷ج) × (-۳ ا ب) = ۲۱ ا ب ج (۶) ۱۰ × ۲۵ = ۳۵ × ۱۲
(۷) ۱۵ × ۷۵ = ۵ × ۳ (۸) (-ا) = -ا
(۹) (ا ب) = ا ب (۱۰) (-ا ب) = - ا ب
(۱۱) (- ا ب) = ا ب (۱۲) (-لا) = - لا
(۱۳) (-لا ی) = - لا ی


۹۰
ضرب کنید :-
(۱۴) ۶ لآی را در ۷ لآی (۱۵) - ۳ لآی را در ۸ لآی
(۱۶) - ۵ لآی را در - ۸ لآی (۱۷) - ۱۲ لآی ۶ را در ۳ لآی ۶
(۱۸) - ۴ لآی ۶ را در - ۱۰ لآی ۶
مختصر کنید :-
(۱۹) (- ۳ ا ب) × (۴ ا ب) × (- ۲ ا ب)
(۲۰) (- ۲ ا) × (- ۷ ا ب) × (- ۵ ا ب)
(۲۱) (- ۶ لآی ۶) × (۲ ۶ لآی) × (- ۴ ی ۶ لا)
(۲۲) (- ۳ لآی) × (۴ ۶ ی لا) × (- لآ ۶ ی) × (۲ ۶ لا ی)
۴۵ حاصل ضرب جملہای مفرد دائماً بقرار فقرات سابقہ معلوم میشود
لیکن در حل اکثر سوالات مغلق چنان ضرورت می افتد که عمل ضرب
در ذہن کرده شود - لہذا برای افاده و مشق طلبہ چند مثال در با
اینچنین عمل ذہنی در ذیل مندرج گشتہ :-
مثال ۱ حاصل ضرب ۳ لا و - ۵ لای بنویسید
۳ لا × (- ۵ لای) = - ۱۵ لآی
مثال ۲ حاصل ضرب - ۵ ا ب و - ۸ ا ب را بنویسید
(- ۵ ا ب) × (- ۸ ا ب) = ۴۰ ا ب


۹۱
مسئله (۱۸)
حاصل ضرب جملهای ذیل را بنویسید:-
(۱) ۲ آ در ۵ آ (۲) ۵ آ ب در - ۴ ا ب
(۳) - ۳ م ن در - ۷ ن م (۴) ۳ لآی در - ۶ لای
(۵) - آب در - ۳ آ ب (۶) ۵ م ن در - ۸ م ن
(۷) - ۱۰ لای ع در - ۵ لای ع (۸) م۲ در - ۶ لای ع
(۹) - ۶ لآی ع در ۸ لآی ء (۱۰) - ۵ آ ب ج در - ۵ آ ب ج
(۱۱) ۳ لآی ع در - ۸ لای ع (۱۲) - ۴ ا ب لای در + ۸ آلاب ی
(۱۳) - ۷ آب ع در - ۵ ا ب ع (۱۴) ۵ آلای در - ۱۲ لآی ا
(۱۵) - ۴ الای در - ۵ لآی ع (۱۶) ۲ ا ب ج در - ۹ آ ب ج
(۱۷) - ۷ آلای در - ۹ لآی ا (۱۸) - ۸ لآی ع در - ۲۰ ی ع لا
(۱۹) - ۱۳ ا ب ج در - ۵ ب ج ا
(۲۰) - ۷ آلای ع در - ۱۶ ع لا ا ی
۴۶ اثبات این امر که ا(ب+ج) = ا ب + ا ج
اگر ا عدد صحیح و مثبت باشد قیمت عددی ب و ج معین نباشد
ا(ب+ج) = (ب+ج)+(ب+ج)+(ب+ج) ..... تا ا
=(ب+ب+ب....تا ا)(ج+ج+ج).....تا ا
=ا ب+ا ج ............(۱)


۹۲

اگر ا عدد صحیح ومنفی باشد مثلاً ا = -لا باشد
پس (-لا)(ب+ج) = -[لا(ب + ج)]
= -(لاب + لاج)
= -لاب - لاج
= (-لا)ب + (-لا)ج
پس برای هر قیمت منفی ا لازم است که ا(ب+ج) = اب+اج
نتیجه ۱ بر عکس فوق اب + اج = ا(ب+ج)
و همچنین لای ا+لای ب= لای (ا+ب)
نتیجه ۲ چون ب-ج = ب+(-ج)
ا(ب-ج)= ا[ب+(-ج)]
= اب+ا(-ج)
= اب-اج
و بر عکس آن اب-اج=ا(ب-ج)
لهذا ۳الا-۲امی = ۲ا(لا-می)
نتیجه ۳ ا(ب+ج+د)=ا{ب+(ج+د)}
= اب+ا(ج+د)= اب+اج+اد
و همچنین ا(ب+ج+د+ط+ع+ف . . . . . . .)
= اب+اج+اد+اط+اع . . . . . . .


۹۳

پس هرگاه یک جمله مرکب در یک جمله مفرد ضرب شود حاصل ضرب انها
مساوی مجموع ان حدود میباشد که از حاصل ضرب هر حد جمله مرکب مذکو
در حد جمله مفرد مذکور پیدا میشوند -
وبرعکس ان اب + اج + اد + اط .... = ا ( ب + ج + د + ط .....)
مثال ۱ ۲ اب - ۳ ب را در ۵ اب ضرب کنید -
۵ اب (۲ اب - ۳ ب) = ۵ اب {۲ اب + (-۳ب)}
= ۵ اب × ۲ اب + ۵ اب × (-۳ب)
= ۱۰ اب۲ - ۱۵ اب۲

مثال ۲ آ۲ - ۳ آ + ۵ آ - ۶ آ + ۴ را در -۶ آ ضرب کنید -
(-۶ آ) (آ۲ - ۳ آ + ۵ آ - ۶ آ + ۴)
= (-۶ آ) {آ۲ + (-۳ آ) + ۵ آ + (-۶ آ) + ۴}
= (-۶ آ) (آ۲) + (-۶ آ) (-۳ آ) + (-۶ آ) (۵ آ) + (-۶ آ) (-۶ آ) + (-۶ آ) (۴)
= -۶ آ۳ + ۱۸ آ۲ - ۳۰ آ۲ + ۳۶ آ۲ - ۲۴ آ

تنبیه مبتدی را باید که حل امثله را بطریق فوق بنماید لیکن چون قدری
استعمال بنماید پس اختصار عمل لازم است چنانکه از امثله ذیل ظاهر خواهد
مثال ۳ حاصل ضرب -۴ آ۲ + ۵ آ ب - ۶ آ ب۲ - ۸ ا ب۳ + ۹ ب۴ و -۳ ا۲ ب را سنجی
-۴ آ۲ + ۵ آ ب - ۶ آ ب۲ - ۸ ا ب۳ + ۹ ب۴
- ۳ آ۲ ب
۱۲ آ۴ ب - ۱۵ آ۳ ب۲ + ۱۸ آ۲ ب۳ + ۲۴ آ۲ ب۴ - ۲۷ آ۲ ب۵


۹۴

مثال ۴ مختصر کنید :- ۲ لا (۳ لا - ۲) + ۲ لا (۲ لا + ۳) - (لا ۳) ۶
چون ۲ لا (۳ لا - ۲) = ۶ لا ۲ - ۴ لا
و ۲ لا (۳ لا + ۳) = ۴ لا ۲ + ۶ لا
و ۶ (لا - ۳) = ۶ لا - ۱۸
.·. جمله مفروضه = (۶ لا ۲ - ۴ لا) + (۴ لا ۲ + ۶ لا) - (۶ لا - ۱۸)
= ۶ لا ۲ - ۴ لا + ۴ لا ۲ + ۶ لا - ۶ لا + ۱۸
= ۱۰ لا ۲ + ۱۸
مثال ۵ جملہای ذیل را مختصر کنید: ۳ ۱ (۱ ۲ - ۵) - ۳ ۱ ۲
بر جای (۱ ۲ - ۵) لا را بنویسید وبجای (۱ ۲
.·. ۳ ۱ (۱ ۲ - ۵) - ۳ ۱ (۱ - ۶) = ۳ ۱ لا - ۳ ۱ ی
= ۳ ۱ (لا - ی)
= ۳ ۱ { (۱ ۲ - ۵) - (۱ - ۶) }
= ۳ ۱ (۱ + ۱) = ۳ ۱ ۲ + ۳ ۱
مسئله (۱۹)
ضرب کنید :-
(۱) (۲ ا - ۳ ب) در - ۱ ب (۲) ۱ - ۲ ب + ۳ ج
(۳) ۲ ا ۲ - ۳ ب ۲ ج ۲ در ا ب ج (۴) لا ۲ ی - ۲ لا ی ۲ - ی در - ۳ لای
(۵) - ا ۲ ب + ا ب ۲ - ۳ ا ۲ ب + ۵ ا ۲ در - ۷ ب ۲
(۶) ۲ ا ب - ۳ ب ج + ۴ ا ج - ۵ ا ب ج در - ۸ ا ۲ ب ج


۹۵

حاصل ضرب جملهای ذیل را بنویسید:-
(۷) ۳ أ لا - ۴ الاً + ۵ ۱ لا و - ۲ أ
(۸) - ۲ مً + ۳ مً ن - ۵ م نً و ۴ م ن
(۹) ۵لاً - ۶لأ + ۷لأ - ۸ لا و - ۴ لأ
(۱۰) - ۲ جً د + ۳ دً ج - ۵ ج دً - ۴ جً دً و - ۶ جُ دُ
(۱۱) ۸ أ - ۶ أ ب + ۵ أ بً - ۴ ا بً و - ۲ أ بَ
(۱۲) - أ ب ج + ا بً ج - ا ب جً + أ بً - بً جُ و - أ بً جً
جملهای ذیل را مختصر کنید :-
(۱۳) ۷ لاً (لا - ۲) - ۲ لاً (لا - ۳) - ۸ لاً (۱ - ۲ لا)
(۱۴) - ۵لاً ( لا + ۷ ) - ۷ لاً ( ۳ - ۵لا ) + ۳ لا (۷لا - ۴ ) + ۷ الا
(۱۵) ۹ لاً (لاً - ۲ ی ) + ۵ ی (۳ لاً + یً ) + ۳ یً ( لاً - ۱۰یً)
(۱۶) لاً (لاً + ۲لاً + ۲لا) - ۲ لا ( لاً + ۲لاً + ۲لا) + ۲ (لاً + ۲ لأ + ۲ لا)
(۱۷) اً بَ ( أ بً - ۲ أ بً + ۲ أ ب) + ۲ أ بً ( أ بً - ۲ أ بً +۲ أب)
+ ۲ أ ب ( أ بً - ۲ أ بً + ۲ أ ب)
(۱۸) ۲ أً بَ ( ۲ اً بَ + ۶ اً بَ + ۹ أ بً) - ۶ أ بً ( ۲ أً بَ + ۶ اً بَ + ۹ أ بً)
+ ۹ أ بً ( ۲ اً بَ + ۶ ا بَ + ۹ أ بً)
(۱۹) أً (۲لا - ۳ ی) + أً (۳ لا + ۳ ی) - أً ( ۵لا - ۲ی)
(۲۰) ۲ ا ب ( ۳ أ - ۴ بً) - ۲ ا ب ( ۴ أ - ۳ بً) - ۲ ا ب ( ۳ أ - بً)
(۲۱) لاً (۲لا + ۳ ب لا + ۴ ج لا) - لاً ( لا + ۲ ب لا + ۳ج لا) - لاً (ب لا + ج لا)


٩۶
۴۷ اثبات این امر که (ا + ب) (ج + د) = ا ج
+ ا د + ب ج + ب د
فرض کنند که ج + د = لا
:. (ا + ب) (ج + د) = (ا + ب) لا
= لا (ا + ب)
= لا ا + لا ب ..... [فقره ۴۲
= ا لا + ب لا
= ا (ج + د) + ب (ج + د)
= ا ج + ا د + ب ج + ب د ... [فقره ۴۳
نتیجه ابطریق فوق این هم ثابت شده میتواند که
(ا + ب + ج + د + ۰۰۰۰) (م + ن + ط + ق + ۰۰۰۰)
= ا (م + ن + ط + ق + ۰۰۰۰) + ب (م + ن + ط + ق + ۰۰۰۰)
+ ج (م + ن + ط + ق + ۰۰۰۰) + د (م + ن + ط + ق + ۰۰۰۰) و علی هذا القياس
پس برای معلوم کردن حاصل ضرب یک جمله مرکب در یک جمله
مرکب دیگر قاعده اینست که هر حد جمله اول را در کل حدود جمله دوم ضرب
کرده مجموع جبری همه این حاصل ضربهای جزوی نوشته شود
نتیجه ۲ چون ا - ب = ا + (- ب) و ج - د = ج + (- د)
لہذا (ا - ب) (ج - د) = {ا + (- ب)} {ج + (- د)}
= ا ج + ا (- د) + (- ب) ج + (- ب) (- د)
= ا ج - ا د - ب ج + ب د


۹۷
مثال ۱ ضرب کنید :- ۱۲+۳ب را درم ۱+۵ب
(۱۲+۵ب) (۱۲+۳ب) = (۱۲) (۱۲) + (۱۲) (۳ب) + (۵ب)
(۱۲) + (۵ب) (۳ب)
= ۲ ۱+۱۲اب +۱۰اب + ۱۵اب
= ۲ ۱+۲۲اب + ۱۵اب
مثال ۲ ضرب کنید:- (۳لا-۷ی) را در (۲لا-۵ی)
(۲لا-۵ی) (۳لا-۷ی) = (۲لا) (۳لا) + (۲لا) (-۷ی) + (-۵ی)
(۳لا) + (-۵ی) (-۷لا)
مسئله (۴۰)
ضرب کنید :-
(۱) ۱۲+۳ب را در ۱+ب
(۲) ۲م -۳ن را در م -ن
(۳) ۱+ب+ج را در ۱+ب+ج
(۴) ۱-ب+ج را در ۱-ب+ج
(۵) ۱-ب-ج را در ۱-ب-ج
(۶) ۱-۲ب -۳ج را در ۲ ۱- ب-ج
(۷) ۲لا-۳ی-۴ع را در لا-ی -ع
(۸) -۵لا+۲ ۱-۳ب را در -لا-۱+ب
(۹) لا+ی+ع را در لا-ی -ع
(۱۰) لای+یع+علا را در لای-یع-علا
۴۸ تنظیم جمله جبریه بلحاظ صعود و نزول قوای یک حرف خاص
هرگاه حدود مختلفه یک جمله جبریه که قوتهای مختلفه یک حرف خاص داشته باشند
چنین تنظیم داده شود که اول آن حد نوشته شود که دران قوت انحرف خاص اکبر


۹۸

زیاده تر باشد و قوای ما بعد آنحرف بالتدریج کمتر شده برود و درینصورت
این چنین عمل را تنظیم جمله نظر به قوای متناقصه آن حرف خاص گفته میشود
لیکن اگر تنظیم جمله بر عکس فوق باشد آنرا تنظیم جمله نظر بقولی متزائده
آن حرف گفته میشود-

مثلا جمله منتظمه ۴لا + ۳آلاسی - ۵آلاسی + ۴ولاسی۳ - ۲ ولاس۴ + لاس۵
نظر بقولی ا متناقص و نظر بقولی ی متزائد میباشد
و جمله منتظمه ذیل - ۵آلاسی + لاس۵ + ۴ولاس۴ + ۴لا - ۲ آلاسی + ۳آلای
نظر بقولی لا متناقص میباشد

تنبیه هر گاه ضرب یک جمله در جمله دیگر مطلوب باشد بهتر اینست
که اولاً مضروب و مضروب فیه هر دو را نظر بقولی متزائده یا متناقصه
یک حرف خاص تنظیم داده عمل ضرب نموده شود-
مثال ۱ أ - ب - ا ب را در اب - ب + أ ضرب کنید
مضروب = أ - اب - ب
مضروب فیه = أ + ا ب - ب
حاصل ضرب در أ = أ - أ ب - أ ب
و حاصل ضرب ب = اب + أ ب - أ ب - ا ب


۹۹
وحاصل ضرب -ب = - اً ب + ا ب۲ + ب۳
.: حاصل ضرب = اً۳ - ۳ اً ب + ب۳
تنبیه - تشریح عمل فوق
اولاً مضروب ومضروب فیه نظر بقولی متناقصه تنظیم شده
زیر یکدیگر نوشته وتحت آن یک خط عرضی کشیده شده است بعد
از ان حاصل ضرب هر حد مضروب فیه در کل حدود مضروب اینطور
نوشته شده که حدود مشابهه زیر حدود مشابهه وحدود غیر مشابهه جدا
میباشند و بعد از ضرب حد اخیر مضروب فیه در تحت آن یک خط عرضی
کشیده شده است وبعد از ان همه سطور عمودی جمع شده اند-
مثال ۲ ۳اً۲ - ۳ لا - ۵ الا را در - ۳ لا + ۳ اً + ۵ الا ضرب کنید
اول مضروب ومضروب فیه هر دو را نظر بقولی متزایده لاً تنظیم کنید
پس مضروب = ۳ اً۲ - ۵ ا لا - ۳ لاً
مضروب فیه = ۳ اً + ۵ ا لا - ۳ لاً
۹ اً۳ - ۱۵ اً۲ لا - ۹ اً لاً
+ ۱۵ اً۲ لا - ۲۵ اً لاً - ۱۵ ا لاً۲
- ۹ اً لاً + ۱۵ ا لاً۲ + ۹ لاً۳
حاصل ضرب = ۹ اً۳ - ۳۴ اً لاً + ۹ لاً۳


۱۰۰
مثال ۳ ۲آ۳ب - ۵ ا ب۲ - ا۴ + ۳ آ۲ ب را در۲ آ - ۳ ا۲ب
+۴ ا ب۲ - ۵ ا۳ب ضرب کنند-
اول مضروب و مضروب فیه هر دو را نظر بقولی متناقصه تنظیم کنید
مضروب = - ا۴ + ۲ آ۳ب + ۳ آ۲ب۲ - ۵ ا ب۳
مضروب فیه = ۲ ا۳ - ۳ ا۲ب - ۵ ا ب۲ + ۴ ب۳
- ۲ ا۷ + ۴ ا۶ ب + ۶ ا۵ ب۲ - ۱۰ ا۴ب۳
+ ۳ ا۶ب - ۶ ا۵ب۲ - ۹ ا۴ب۳ + ۱۵ ا۳ب۴
+ ۵ ا۵ب۲ - ۱۰ ا۴ب۳ - ۱۵ ا۳ب۴ + ۲۵ ا۲ب۵
- ۴ ا۴ب۳ + ۸ ا۳ب۴ + ۱۲ ا۲ب۵ - ۲۰ ا ب۶
حاصل ضرب = -۲ ا۷ + ۷ ا۶ب + ۵ ا۵ب۲ - ۳۳ ا۴ب۳ + ۸ ا۳ب۴ + ۳۷ ا۲ب۵ - ۲۰ ا ب۶
تنبیه در مثال فوق مضروب و مضروب فیه هر دو جمله متجانس
درجه چهارم میباشند و حاصل ضرب نیز جمله متجانس درجه هشتم است
و بهمین طریق ثابت شده میتواند که هرگاه مضروب و مضروب فیه هردو
جمله متجانس باشند حاصل ضرب نیز جمله متجانس خواهد بود و درجه حاصل ضرب
مساوی مجموع درجه های مضروب و مضروب فیه خواهد بود-
پس معلوم کردن صحت حاصل ضرب اینچنین جملها بسیار آسانست زیرا که هرگاه
حد غیر متجانس در حاصل ضرب واقع شو ظاهر است که حاصل ضرب نذکور غلط خواه بو


۱۰۱
مثال ۴ ا۴-اب + ب۲ و ا۲+اب + ب۲ وا۲- ا۲ب + ب۲ را با هم ضرب کنید
(۱) ا۲-اب + ب۲
ا۲+ اب + ب۲
ا۴-ا۳ب + ا۲ب۲
ا۳ب - ا۲ب۲+ ا ب۳
+ ا۲ب۲- ا ب۳+ ب۴
+ ا۲ب۲ + ب۴
(۲) ا۴+ ا۲ب۲+ ب۴
ا۲- ا۲ب + ب۲
ا۶+ ا۴ب۲+ ا۲ب۴
- ا۶ب۲ + ا۴ب۴- ا۲ب۶
+ ا۴ب۲ + ا۲ب۴+ ب۶
+ ا۲ب۴ + ب۶
مثال ۵ م لا۳-ن لا - ط را در لا۲+ ط لا - ا ضرب کنید:-
مضروب = م لا۳-ن لا - ط
مضروب فیه = لا۲+ ط لا - ۱
م لا۳-ن لا۳-ط لا۲
+ط م لا۴-ط ن لا۲- ط۲لا
- م لا۳+ن لا+ ط
م لا۵-لا۴(ن- ط م) -لا۳(ط+ ط ن+ م)+لا(ن- ط۲)+ط۲


۱۰۳
تنبیه مجموع سطور عمودی بحکم نتایج فقره ۴ و بموجب قواعد خطوط
قوسی نوشته شده است -
مسئله (۲۱)
ضرب کنید :-
(۱) لا۴ - لا + ۱ را در لا + لا + ۱ (۲) ا - ا ب + ب۲ را در ا + ب
(۳) ا۲ + ا ب + ب را در ا - ب (۴) ا۴ -۲ ا ب + ب۲ را در ا۲+ ۲ ا ب + ب۲
(۵) لا۴ + لا۲ + ۱ را در لا۲ - لا + ۱ (۶) ی۴ - لای۲ + لا۲ را در لا + لای۲ + ی۴
(۷) م۴ - من + ن۲ را در م۲ + ن۲ (۸) ط۴ ق۴ + ط۲ق۲ را در - ق۴ + ط۲
(۹) ۲۵ ب۴ + ۳۰ ا ب + ۹ ا۲ را در ۱۳ - ۵ ب
(۱۰) ا۲ + ۵ ا ب۲ - ۶ ا۲ ب را در ۵ ب۲ + ا۲ + ۶ ا ب
(۱۱) ۱۲ - ۳ ب + ۴ ج را در ۱۲ + ۳ ب - ۴ ج
(۱۲) لا۴ - ۳ لا۲ + ۳ لا - ۱ را در لا۲ + ۳ لا + ۱
(۱۳) ۲ لا۴ + ا۲ + ۳ ا لا + لا۲ + ۲ ا لا را در ا۲ + لا۲ - ۲ ا لا
(۱۴) ا۲ + ۳ ا۲ ب + ب۴ + ۳ ا ب۲ را در ۳ ا ب۲ - ب۲ + ا - ۳ ا۲ ب
(۱۵) لا۴ - ۱۱ + لا۳ - ۴ لا + ۲ لا۲ را در ۳ + لا۲ - ۲ لا
(۱۶) ۱ + ۲ لا + لا۲ + ۲ لا۳ + ۳ لا۴ را در ۱ + لا۲ - ۳ لا
(۱۷) ب۷ + ا ب۶ + ا۲ ب۵ + ا۳ ب۴ را در ا ب۴ - ا۲ ب۳ - ا۳ ب۲ - ا۴ ب۲


۱۰۳
(۱۸) لا- لامی - لاء + ی۲ - می ع + ع را در لا + می + ع
(۱۹) ا + ب ۲ + ج - ب رج - ج ا - ا ب را در ا + ب + ج
(۲۰) ۵ ا ب + ۴ ب۲ + ۲ ا - ۳ ا ب را در ۲ ا ب۲ - ۳ ا ب + ا - ۵ ب۲
جملهای ذیل را با هم ضرب کنید :-
(۲۱) ا + ب و ا - ب و ا ۲ + ب ۲
(۲۲) ا ۲ + ا ب + ب۲ و ا + ب و ا - ب
(۲۳) لا۲ + لا ی۲ + ی۴ و لا۲ + ی۲ و لا۲ - ی۲
(۲۴) ۲ لا۲ + ۳ لا ی + ۵ ی۲ و لا۲ - ۳ لا ی + ۵ ی۲ و لا۴ - لا۲ ی۲ + ی۴
(۲۵) ا ۴ + ا ۲ ب ۲ + ب۴ و ا ۲ + ا ب + ب۲ و ا + ب و ا - ب
ضرب کنید :-
(۲۶) ا لا + ب لا - ج در ط لا - ق
(۲۷) م لا۲ - ن لا - س در ن لا - س
(۲۸) ولا۳ - ب لا + ج در لا۲ - ب لا - ج
(۲۹) ا لا۲ - ب لا + ج لا - د در ب لا - رج لا + د
(۳۰) ط لا ۲ - (ق - س) لا + س در م لا ۲ - ن لا - س
(۳۱) لا + ا و لا + ب و لا + رج را با هم ضرب کنید :-
(۳۲) لا - ا و لا - ب و لا - ج را با هم ضرب کنید :-


۱۰۴
بواسطۀ مساوات اُ×اُ=اُم +ن که در جمیع قیمتهای م و ن صحیح
میباشد مساوات ذیل را ثابت کنند :۔
(۳۳) اُ۳/۱×اُ۳/۲=اُ {اُ۳/۲×اُ۳/۱=اُ۳/۲+۳/۱=اُ۳/۳=اُ۱=اُ}
(۳۴) لا۳/۱×لا۳/۲=لا
(۳۵) اُ۲/۱×اُ۳/۱×اُ۶/۱=اُ [اُ۶/۱×اُ۳/۱×اُ۲/۱=اُ۶/۱+۳/۱+۲/۱=اُ۶/۶=اُ۱=اُ]
(۳۶) اُ۲/۱=(اُ۲)۴/۱
[اُ۲/۱=(اُ۲)۴/۱=اُ۲×۴/۱=اُ۴/۲=اُ۲/۱=اُ۱=اُ.ا.=اُ]
(۳۷) لا۳/۴=(لا۴)۳/۱ (۳۸) ی۵/۴=(ی۴)۵/۱
(۳۹) ء۴/۳=(ء۳)۴/۱ (۴۰) ب۳/۲×ب۲/۳=ب۶/۱۳
(۴۱) ج۵/۱×ج۵/۲×ج۵/۳=ج۵/۶ (۴۲) ی۳/۱×ی۴/۱×ی۵/۱=ی۶۰/۴۷
(۴۳) لا۱/۳×لا۱/۲[لا۱/۲×لا۱/۳=لا۲+۳=لا۵] (۴۴) ی۵/۳×ی۷/۴=ی۳۵/۴۱
(۴۵) ء۵/۶×ء۶/۵=ء۳۰/۶۱ (۴۶) اُ۳/۴=(اُ۴)۳/۱
[اُ۳/۴=(اُ۴)۳/۱=اُ۴×۳/۱=اُ۳/۴=اُ۳/۴=اُ.ا.=اُ۳/۴]
(۴۷) ب۳/۵=(ب۵)۳/۱ (۴۸) ج۵/۴=(ج۴)۵/۱
(۴۹) اُ-۳/۲×اُ-۴/۳=اُ-۱۲/۱۷ (۵۰) لا-۳/۴×لا-۴/۳=لا-۱۲/۲۵


۱۰۵

حاصل ضرب جملهای ذیل را بنویسید:-

(۵۱) -۳ لا در ۲ لا ۴ (۵۲) ۵ ی۴ در - ۴/۵ ی۵

(۵۳) ۲ لای در ۳ لای (۵۴) - ۵ لای در - ۳ لای

(۵۵) ۴ ا ب در - ۳/۴ ا ب (۵۶) ۳/۴ ا ی در - ۵/۴ ا ی

(۵۷) -۴ ا ب ج در ۳ ا ب ج (۵۸) - ۵ لا ی ع در - ۳ لا ی ع

(۵۹) - ۶ ا ب ج در ۵ ا ب ج (۶۰) - ۴/۷ لا ی در - ۱/۲ لا ی

ضرب کنید:-

(۶۱) ۱/۲ + ب در ۱/۳ + ب (۶۲) ۱/۲ - ب در ۱/۳ - ب

(۶۳) ۳ لا - ۴ ی در ۲ لا + ۴ ی (۶۴) ۱/۲ - ا ب + ب در ۱/۲ + ب

(۶۵) لا + لای + ی در لا - ی (۶۶) ۱/۲ - ا ب + ب در ۱/۳ + ا ب + ب

(۶۷) ۲ لا - ۵ لای - ۳ ی در ۲ لا + ۵ لای - ۳ ی

(۶۸) ۱/۴ + ۱/۲ ب + ا ب + ا ب + ا ب + ب در ۱/۲ - ب

(۶۹) لا - لا ی + لا ی - ی در لا + ی

(۷۰) ۱/۲ + ا ب + ا ب + ب در ۱/۲ - ب

(۷۱) لا + ی + ع - لا ی - ی ع - ع لا در لا + ی + ع


١٠٦
(٧٢) آن - ولا + لاً درآ + لاً
(٧٣) آ- ۴ آب+ ۴ أبّ - بً درآ - ٢ آب + بّ
(٧٤) لاً + ٣ لاّ یً + ٢ یً درلاً - ٣ لاّ یً + ٢ یً
(٧٥) ٢ أ + ٣ أ بً - ٥ بً در٢ أ + ١٣ أ بّ + ٥ بّ
(٧٦) ٣ لاّ - ٥ لاً یً + ٢ یً در ٣ لاً + ٥ لاّ یً - ٢ یً
(٧٧) جمله ذیل را نظر بقوای مناقصهٔ لاً تنظیم کنید
٨ لاً أ - ٣ لاّ أ + ٦ لاً أ + ٢ لاّ - ٧ لاً أ - ٥ لاً أ + ۴ لاّ أ
(٧٨) جمله ذیل را نظر بقوای متزایدهٔ آ تنظیم کنید
٥ أ بّ + ٨ أّ بّ - ٣ آ - ٥ أ بّ - ٧ أّ بّ + ٩ أّ بّ + ٢ أ بّ
باب هشتم
۴٩ دساتیریه جبریه یا اشکال جبریه و استعمال آنها
تعریف
نتایج جبریه را که بواسطه علامات وحروف از ان تعبیر میشود دساتیر جبریه
ومراد از دساتیر جبریه چند قواعد عمومیه در باب مقادیر حسابیه وجبریه میباشند
تنبیه چون بیان مفصل این دساتیر جبریه برای حل سوالات


١٠٧
و باقی عملیات جبری نهایت ضروری میباشد بنابرین برای افاده
طلبه آنرا درج نمودیم لیکن طالبعلم میباید که اولا دساتیر آسانرا ذهن نشین خود
بسازد و دساتیر دیگر را که علامات معینه دارد بعد از حصول مشق بخوابد
۵۰ دستور (ا + ب)۲ = ا۲ + ۲ ا ب + ب۲
(ا + ب)۲ = (ا + ب) (ا + ب)
= ا(ا + ب) +ب (ا + ب)
= (ا۲ + ۲ ا ب + ب۲)
یعنی مربع مجموع دو مقدار جبری مساوی مجموع مربع هر یکی از انها
و دو چند حاصل ضرب آنها میباشد -
نتیجه ا۲ + ب۲ = (ا۲ + ۲ ا ب + ب۲) - ۲ ا ب
= (ا + ب)۲ - ۲ ا ب
مثال ۱ مربع ۲ لا + ۳ ی را معلوم کنید -
(۲ لا + ۳ ی)۲ = (۲ لا)۲ + ۲ (۲ لا) (۳ لا) + (۳ ی)۲
= ۴ لا۲ + ۱۲ لا ی + ۹ ی۲
مثال ۲ مربع ۵ لا + ۴ را معلوم کنید -
(۵ لا + ۴)۲ = (۵ لا)۲ + ۲ (۵ لا) (۴) + (۴)۲
= ۲۵ لا۲ + ۴۰ لا + ۱۶


مثال ۳ مربع ۴ آ + ۷ ب را معلوم کنید
(۴ آ + ۷ ب) ۲ = (۴ آ) ۲ + ۲ (۴ آ) (۷ ب) + (۷ ب) ۲
= ۱۶ آ۲ + ۵۶ آ ب + ۴۹ ب ۲
مثال ۴ مربع ا + ب + ج را معلوم کنید
(ا + ب + ج)۲ = {ا + (ب + ج)}۲ (ب + ج را یک حد تصور کنید)
= آ۲ + ۲ ا (ب + ج) + (ب + ج)۲
= آ۲ + ۲ ا ب + ۲ ا ج + ب۲ + ۲ ب ج + ج۲
= ا + ب۲ + ج۲ + ۲ ا ب + ۲ ا ج + ۲ ب ج
مثال ۵ مربع ا + ب + ج + د را معلوم کنید -
(ا + ب + ج + د)۲ = {(ا + ب) + (ج + د)}۲ باز (ا + ب) را یک حد
و (ج + د) را حد دیگر تصور کنید
= (ا + ب)۲ + ۲ (ا + ب) (ج + د) + (ج + د)۲
= ا۲ + ب۲ + ۲ ا ب + ۲ ا ج + ۲ ا د + ۲ ب ج ۲ + ب د + ج۲ + ج د + د۲
= ا۲ + ب۲ + ج۲ + د۲ + ۲ ا ب + ۲ ا ج + ۲ ا د + ۲ ب ج + ۲ ب د + ۲ ج د
مثال ۶ جمله ذیل را مختصر کنید :-
(ا + ب - ج)۲ + ۲ (ا + ب - ج) (ا - ب + ج) + (ا - ب + ج)۲
فرض کنید که (ا + ب - ج) = لا و (ا - ب + ج) = ی
لہذا جمله مفروضه = لا ۲ + ۲ لا ی + ی ۲ = = (لا + ی)۲
= {(ا + ب - ج) + (ا - ب + ج)}۲ = (۲ ا)۲ = ۴ ا۲


۱۰۹
مثال ۷ اگر لا= ۵ اوی = - ۹ باشد قیمت عددی ۹ لا + ۳۰ لای
+ ۲۵ ی۲ را معلوم کنید
جمله مفروضه = (۳ لا)۲ + ۲ (۳ لا) (۵ی) + (۵ی)۲
= (۳ لا + ۵ی)۲
لیکن ۳لا+ ۵ی = ۳لا+ ۵ی = ۳× ۱۵+ ۵ × (-۹)
= ۴۵ - ۴۵ = ۰
.. جمله مفروضه = ۰
مسئله (۳۲)
مربع جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۳لا+ ۴ (۲) ۷ لا + ۸ (۳) ۱+ ۵ب (۴) ۱۲ + ۷ ب
(۵) ۳ لا + ۸ی (۶) ۵ م + ۸ ن (۷) ۱ لا + ۳ب ی (۸) ۴ اب + ج۲
(۹) ۲ أ + ۵ ب۲ (۱۰) ۴ م۲ + ن۲ (۱۱) ۱ + ۲ب + ۳ ج (۱۲) ا ب + ج ب + ج ا
(۱۳) ۲ط + ۳ ق + ۴س (۱۴) لا + ی۲ + ء۲
(۱۵) ۲لا + ۳ ی + ۴ء (۱۶) لا+ ی۲ + ء۲
(۱۷) لا + ی + ۲ أ + ۳ب (۱۸) ۳ أ + ۴ ب + ج + ۲ د
(۱۹) ۲ أ + لا + ۴ ی + ۳ء (۲۰) ۴ م + ۳ ن + ۳ ط + ۲ق
جملهای ذیل را مختصر کنید :-
(۲۱) (لا + ی)۲ + ۲ (لا + ی) (لا - ی) + (لا - ی)۲
(۲۲) (لا - ی + ء) + (ی+ ء - لا)۲ + ۲ (لا - ی + ء) (ی+ ء - لا)


۱۱۰
(۲۳) (۱۲ - ۳ ب + ۴ ج) ۲ + ( ۱۲ + ۳ ب - ۳ ج) ۲ + ۲ ( ۱۲ - ۳ ب + ۴ ج)
( ۱۲ + ۳ ب - ۴ ج )
(۲۴) (۱۵ - ۷ ب) ۲ + (۵ لا - ۷ ب) ( ۹ ب - ۳ و ) + (۹ ب - ۳ و)
(۲۵) (۱۲ لا - ۵ ی - ۶۳) ۲ + (۶ ی + ۶۳ - لا) ۲ + ۲ (۱۲لا - ۵ ی - ۶۳)
(۶ ی + ۶۳ - لا )
قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۲۶) ۴ لا + ۲۸ لا + ۴۹ اگر لا = - ۴
(۲۷) ۲۵ ا + ۲۰ ا ب + ۱۶ ب ۲ اگر ا = - ۱۸ و ب = ۲۳
(۲۸) ۸۱ لا ۲ + ۹۰ لا ی + ۲۵ ی ۲ اگر لا = ۱۵ و ی = - ۲۷
(۲۹) ۱۶ م ۲ + ۵۶ م ن + ۴۹ ن ۲ اگر م = - ۱۳ و ن = ۷
(۳۰) ۶۴ ا + ۱۶ ا ۲ ج + ج ۲ اگر ا = ۶ و ج = - ۸۹
(۳۱) ۸۱ لا + ۱۸ لا ع + ع ۲ اگر لا = ۷ و ع = - ۶۷
(۳۲) ۳۶ ط ۲ + ۱۳۲ ط ق + ۱۲۱ ق ۲ اگر ط = ۱۲ و ق = - ۷
(۳۳) اگر م + ۱ / م = ۴ باشد ثابت کنید که م ۲ + ( ۱ / م ۲) = ۱۴
۵۲ دستور ( ۱ - ب) ۲ = ۱ ۲ - ۲ ا ب + ب ۲
( ا - ب) ۲ = ( ا - ب) ( ا - ب)
= ا (ا - ب) - ب ( ا - ب)
= ا ۲ - ا ب - ب ا + ب ۲


یعنی مربع تفاضل دو مقدار جبری مساوی مجموع مربع هر یکی از مقادی
مذکور ناقص دو چند حاصل ضرب مقادیر مذکور میباشد
نتیجه ۱- ۲(ا+ب) = (ا۲+ ۲اب+ ب۲) + ۲اب = (ا-ب)۲ + ۴اب
نتیجه ۲- چون (ا+ب)۲ = ا۲+ ۲اب+ ب۲ و (ا-ب)۲ = ا۲- ۲اب+ ب۲
لهذا (ا+ب)۲ = (ا-ب)۲ + ۴اب
و (ا-ب)۲ = (ا+ب)۲ - ۴اب
مثال ۱ مربع (۳ا - ۴ب) را معلوم کنید.
(۳ا - ۴ب)۲ = (۳ا)۲ - ۲(۳ا)(۴ب) + (۴ب)۲
= ۹ا۲ - ۲۴اب + ۱۶ب۲
مثال ۲ مربع لا - ی - ۶ را معلوم کنید.
(لا - ی - ۶)۲ = {لا - (ی + ۶)}۲
= لا۲ - ۲لا(ی + ۶) + (ی + ۶)۲
= لا۲ - ۲لای - ۱۲لا + ی۲ + ۱۲ی + ۳۶
= لا۲ + ی۲ + ۳۶ - ۲لای - ۱۲لا + ۱۲ی
مثال ۳ مربع (۲لا - ۳ی - ۴۶) را معلوم کنید
(۲لا - ۳ی - ۴۶)۲ = {۲لا - (۳ی + ۴۶)}۲
= (۲لا)۲ - ۲(۲لا)(۳ی + ۴۶) + (۳ی + ۴۶)۲
= ۴لا۲ - ۱۲لای - ۱۶لا + ۹ی۲ + ۲۴ی + ۱۶۶۲
= ۴لا۲ + ۹ی۲ + ۱۶۶۲ - ۱۲لای - ۱۶لا + ۲۴ی


۱۱۲
مثال ۴ مربع (ا - ب - ج + د) را معلوم کنید :-
(ا - ب - ج + د) ۲ = { (ا - ب) - (ج - د) }۲
= (ا - ب) ۲ - ۲ (ا - ب) (ج - د) + (ج - د) ۲
= (ا۲ - ۲ ا ب + ب۲) - ۲ (ا ج - ا د - ب ج + ب د)
+ (ج۲ - ۲ ج د + د۲)
= ا۲ - ۲ ا ب + ب۲ - ۲ ا ج + ۲ ا د + ۲ ب ج
- ۲ ب د + ج۲ - ۲ ج د + د۲
= ا۲ + ب۲ + ج۲ + د۲ - ۲ ا ب - ۲ ا ج + ۲ ا د + ۲ ب ج
- ۲ ب د - ۲ ج د
مثال ۵ جمله ذیل را مختصر کنید :-
(ا لا - ب ی + ج ء) ۲ + (ا لا - ب ی - ج ء) ۲ - ۲ (ا لا - ب ی + ج ء)
(ا لا - ب ی - ج ء)
فرض کنید که (ا لا - ب ی + ج ء) = م
(ا لا - ب ی - ج ء) = ن
.: جمله مفروضه = م۲ + ن۲ - ۲ م ن
= (م - ن)۲
= { (ا لا - ب ی + ج ء) - (ا لا - ب ی - ج ء) }۲
= (۲ ج ء) ۲ = ۴ ج۲ ء۲


۱۱۳

مثال ۶ قیمت جمله ذیل را معلوم کنید :-
۹ اَ - ۴۸ اب + ۶۴ ب۲ اگر ا = ۱۵ و ب = ۶
جمله مفروضه = (۱۳)۲ - ۲ (۱۳) (۸ ب) + (۸ ب)۲
= ( ۱۳ - ۸ ب )۲
= ( ۴۸ - ۴۵ )۲
= ( - ۳ )۲ = ۹

مسئله ( ۲۳ )
مربع جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۱۲ا - ۷ (۲) ۸ لا - ۵ (۳) ۱۱ا - ب ی
(۴) - ۵ لا - ۳ی (۵) ۴ م - ۸ ن (۶) - ا ب - ج د
(۷) اَ ب ۲ ج۲ د (۸) ل۲ - ۲ ی ۶ (۹) - م ن ط - ق س
(۱۰) ۲ اَ - ۵ ب۲ (۱۱) ۱ - ۲ ب ۳ ج (۱۲) ۳ لا - ۳ ی - ۴ ۶
(۱۳) ۳ م - ۴ ن - ۵ ق (۱۴) اَ۲ - ۳ ب۲ - ۵ ج۲ (۱۵) لا - ی - ۱ - ب
(۱۶) ۱ - ۲لا - ۳ ب - ۴ی (۱۷) ۹۰ - ۱ (۱۸) ۱۲۰ - ۳
(۱۹) ۵۰۰ - ۲ (۲۰) ۱۰۰۰ - ۷
جملهای ذیل را مختصر کنید :-
(۲۱) ( ۱ + ۳ ب )۲ - ۲ ( ۱ + ۳ ب ) ( ۱ - ۳ ب ) + ( ۱ - ۳ ب )۲
(۲۲) ( ۱۲ - ۴ ب + ۵ ج )۲ + ( ۱۲ + ۴ ب + ۵ ج )۲ - ۲ ( ۱۲ - ۴ ب + ۵ ج )
( ۱۲ + ۴ ب + ۵ ج )


۱۱۴

(۲۳) (۱۳+۵ب+۴ج)۲+(۴ج-۲ا+۵ب)۲-۲(۱۳+۵ب+۴ج)
(۴ج-۲ا+۵ب)
(۲۴) (۲لا۲-ی۲-۵ع۲)۲-۲(۲لا۲-ی۲-۵ع۲) (۶ع۲+۲لا۲-ی۲)
+(۶ع۲+۲لا۲-ی۲)۲
(۲۵) (اب-ب ج+ج ا)۲+(اب+۲ب ج+۲ج ا)۲-۲(اب-ب ج+ج ا)
(اب+۲ب ج+۲ج ا)
قیمت عددی جملهای ذیل را معلوم کنید:-
(۲۶) ۳ب ا-۱۲اب ج+۳۶ج۲ اگر ا=۲ و ب=۷ و ج=۵
(۲۷) لای۲-۲۴لایع+۱۴۴ع۲ اگر لا=۷ و ی=۹ و ع=۶
(۲۸) ۲۵(لا+ی)۲+۶۰-۱۰ع(لا+ی) اگر لا=۲۷ و ی=-۲۳ و ع=۲۹
(۲۹) وج۲-۲بج (ا+ب)+۴۹(ا+ب)۲ اگر ا=-۳۷ و ب=۵۷ و ج=۴۵
(۳۰) ۶۴(۷ط-۵ق)۲-۹۶(۷ط-۵ق)س+۳۶س۲
اگر ط=۲۸ و ق=۳۲ و س=۴۶
(۳۱) اگر ج-۱/۲ج=۴ باشد پس ثابت کنید که ج۲+(۱/۲ج)۲=۱۸
۵۲ (ا+ب)(ا-ب)=ا۲-ب۲
(ا+ب)(ا-ب)=ا(ا-ب)+ب(ا-ب)
=ا۲-ب۲
یعنی حاصل ضرب مجموع و تفاضل دو مقدار جبری مساوی تفاضل مربع مقادیر مذکور
و نیز برعکس ان چون ا۲-ب۲=(ا+ب)(ا-ب) میباشد بنابرین هرگاه
یک جمله شکل ا۲-ب۲ را داشته باشد مضروبات آنرا معلوم کرده میتوانیم


۱۱۵
مثال ١ ۳ لا + ۵ی و ۳لا - ۵ی را باهم ضرب کنید-
(۳لا+۵ی) (۳لا -۵ی)= (۳لا)٢ - (۵ی)٢
= ۹لا٢ - ۲۵ی٢
مثال ٢  آ + ب ج و آ - ب + ج را با هم ضرب کنید-
(آ+ ب ج) (آ- ب +ج)= {آ+(ب ج)}{آ-(ب - ج)}
= آ٢ - (ب- ج)٢
= آ٢ - (ب٢- ٢ب ج+ج٢)
= آ٢- ب٢ + ۲ب ج - ج٢
مثال ۳ لآ + لای + ی٢ ولآ - لای + ی٢ را با هم ضرب کنید-
(لآ+ لای + ی٢)(لآ- لای+ی٢)={لآ+ی٢)+ لای} { (لآ+ی٢) - لای }
= (لآ +ی٢)٢ - لآی٢
=لآ٢ + ٢لآی٢ + ی۴- لآی٢
=لآ٢ + لآی٢ + ی۴
مثال ۴ جمله ذیل را مختصر کنید(آ٢ + اب + ب٢)٢ - (آ٢ - اب + ب٢)٢
جمله مفروضه = {(آ٢+ ا ب + ب٢) + (آ٢- ا ب + ب٢)}{ (آ٢+ ا ب + ب٢)
- (آ٢- ا ب + ب٢)}
= (٢ آ٢ + ٢ب٢)(٢ ا ب)
=۴ اب (آ٢ + ب٢)


١١٦

مثال ۵ قیمت (۹۷۲۶۸۵۴ - ۹۷۲۶۸۴۹) را معلوم کنید
جمله مفروضه = (۹۷۲۶۸۵۴ + ۹۷۲۶۸۴۹) (۹۷۲۶۸۵۴ - ۹۷۲۶۸۴۹)
= ۱۹۴۵۳۷۰۳ × ۵
= ۹۷۲۶۸۵۱۵

مثال ۶ مضروبات جمله ذیل را معلوم کنید :-
(ا + ب)۲ - (ج - د)۲
جمله فوق = { (ا + ب) + (ج - د) } { (ا + ب) - (ج - د) }
= (ا + ب + ج - د) (ا + ب - ج + د)

مثال ۷ ۱۶ ا۴ - ۸۱ لا۴ را بمضروبات تفریق کنید
جمله فوق = (۴ ا۲)۲ - (۹ لا۲)۲
= (۴ ا۲ + ۹ لا۲) (۴ ا۲ - ۹ لا۲)
و چون ۴ ا۲ - ۹ لا۲ = (۲ ا)۲ - (۳ لا)۲
= (۲ ا + ۳ لا) (۲ ا - ۳ لا)
∴ جمله مفروضه = (۴ ا۲ + ۹ لا۲) (۲ ا + ۳ لا) (۲ ا - ۳ لا)

مسئله (۴۴)
جملهای ذیل را با هم ضرب کنید :-
(۱) ۷ لا + ب ی و ا لا - ب ی (۲) ۵ لا + ۸ و ۵ لا - ۸
(۳) ج لا + د و ج لا - د (۴) ا ب + ب ج و ا ب - ب ج


(۵) ا + ۳ ب و ۲ ا - ۳ ب (۶) ۴ ا - ۵ ب ۲ و ۴ ا + ۵ ب ۲
(۷) م ۲ - ۳ ن و م ۲ + ۳ ن (۸) ۲ ا ب - ۷ ب ج و ۲ ا ب + ۷ ب ج
(۹) ل ۱ + ۱ و ل ۱ - ۱ و لا ۲ + ۱ (۱۰) ا ۲ + ب ۲ وا ۲ - ب ۲ وا ۲ + ب ۲
(۱۱) ا + ب + ج وا + ب - ج (۱۲) ا + ب + ج وا - ب - ج
(۱۳) م ۲ + م ن + ن ۲ و م ۲ - م ن + ن ۲
(۱۴) ۱ لا + ب ی - ج ء و ۱ لا - ب ی + ج ء
(۱۵) ۱ - ۲ ب + ۳ ج وا + ۲ ب - ۳ ج
(۱۶) لا ۲ - لا + ۱ و لا ۲ + لا + ۱
(۱۷) لا ۳ - لا ۲ + ۱ و لا ۳ + لا ۲ + ۱
(۱۸) لا ۲ + ۲ لا ی + ۲ ی ۲ ولا ۲ - ۲ لا ی + ۲ ی ۲
(۱۹) ا ۳ + ا ب ۲ + ب ۳ وا ۳ - ا ب ۲ + ب ۳
(۲۰) لا ۳ - ۲ لا + ۱ و لا ۳ + ۲ لا + ۱ ولا ۳ + ۲ لا ۲ + ۱
جملہای ذیل را مختصر کنید :-
(۲۱) ( ۱ + ب - ج ۲ ) - ( ۱ - ب + ج ۲ )
(۲۲) ( ۱ - ۲ ب + ۳ ج ۲ ) - ( ۱ + ۲ ب - ۳ ج ۲ )
(۲۳) ( لا ۲ + لا ی + ی ۲ ) - ( لا ۲ - لا ی + ی ۲ )
(۲۴) ( لا + ی - ۱ + ب ۲ ) - ( لا - ی + ۱ - ب ۲ )
(۲۵) ( ۱۲ + ۳ ب - ۵ ج + ۷ د ۲ ) - ( ۱۲ - ۳ ب + ۵ ج - ۷ د ۲ )


۱۱۸

قیمت جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۲۶) ۲۳۴۵ × ۲۳۴۵ - ۲۳۴۳ × ۲۳۴۳
(۲۷) (۵۳۴۹۷)۲ - (۵۳۴۸۷)۲
(۲۸) ۴۹۸۵۶۷ × ۴۹۸۵۶۷ - ۴۹۸۵۶۲ × ۴۹۸۵۶۲
جملهای ذیل را بمضروبات تفریق کنید :-
(۲۹) ۲۵ لا۲ - ۳۶
(۳۰) ۹ وا۲ - ۱۶ ج۲
(۳۱) ۱۶ م۲ - ۴۹ ن۲
(۳۲) ۴ ط۲ - ۸۱ ق۲
(۳۳) آ لا۴ - ۶۴ ب۴
(۳۴) ۳۶ لا۲ - ۱۲۱ ی۲
(۳۵) ۴۹ - ۶۴ د۲
(۳۶) ۴۴۱ ج۲ - ۲۲۵ د۲
(۳۷) (ا + ب)۲ - ج۲
(۳۸) (ا + ۲ ب)۲ - ۲۵ ج۲
(۳۹) ۴ لا۲ - ( ۳ و - ۴ ب)۲
(۴۰) آ۲ - (۲ ب - ۳ ج)۲
(۴۱) آ۴ - ۸۱ ب۴
(۴۲) (لا - ی)۲ - (ا - ب)۲
(۴۳) ۸۱ لا۲ - ۶۲۵ ی۴
(۴۴) (۲ و - ۵ لا)۲ - ۳۶ لا۲
(۴۵) ۲۵ لا۲ - (۴ لا + ا)۲
(۴۶) (۴ و + ۷ ب)۲ - (۳ و - ۸ ب)۲
(۴۷) (۳ لا + ۵ ی)۲ - (۲ لا - ۷ ی)۲
(۴۸) (ا + ۲ ب - ۳ ج)۲ - (ا + ب - ج)۲
(۴۹) (۲ م + ۳ ن - ۵ ط)۲ - (۲ ن + ۳ ط)۲
(۵۰) (۳ لا - ۴ ی + ۶ ط)۲ - (۲ لا - ۳ ی + ۵ ط)۲


۱۱۹
۵۳ دستور (ا + ب) ۳ = ا۳ + ۳ ا ۲ ب + ۳ ا ب ۲ + ب ۳
یا = ا۳ + ب۳ + ۳ ا ب ( ا + ب )
( ا + ب )۳ = ( ا + ب ) ( ا + ب )۲
= ( ا + ب ) ( ا۲ + ۲ا ب + ب۲)
= ا ( ا۲ + ۲ ا ب + ب۲ ) + ب ( ا۲ + ۲ ا ب + ب۲)
= ا۳ + ۳ ا۲ب + ۳ اب۲ + ب۳
و نیز = ا۳ + ۳ ا ب ( ا + ب ) + ب۳
= ا۳ + ب۳ + ۳ ا ب ( ا + ب )
نتیجه ا۳ + ب۳ = { ا۳ + ب۳ + ۳ ا ب ( ا + ب ) } - ۳ ا ب ( ا + ب)
= (ا + ب )۳ - ۳ ا ب ( ا + ب )
مثال ۱ کعب ( ۳ ا + ۵ ب ) را معلوم کنید
( ۳ ا + ۵ ب) ۳= (۳ ا) ۳ + ۳ ( ۳ ا) ۲ (۵ ب) + ۳ (۳ ا) (۵ ب) ۲ + ( ۵ ب )۳
= ۲۷ ا۳ + ۳(۹ ا۲) ( ۵ ب ) + ۳ ( ۳ ا ) ( ۲۵ ب۲ ) + ۱۲۵ ب۳
= ۲۷ ا۳ + ۱۳۵ ا۲ب + ۲۲۵ ا ب۲ + ۱۲۵ ب۳
مثال ۲ مختصر کنید :- (لا - ی)۳ + ( لا + ی)۳ + ۳
(لا - ی) ۲ (لا + ی) + ۳ (لا + ی)۲ (لا - ی)
فرض کنید که ا = لا - ی و ب = لا + ی
:. جمله مضروب = ا۳ + ب۳ + ۳ ا۲ب + ۳ ب۲ ا
= ا۳ + ۳ ا۲ب + ۳ ب۲ ا + ب۳
و ∴ = ( ا + ب )۳
= { (لا - ی) + (لا + ی) }۳
= ( ۲لا )۳ = ۸ لا۳


۱۲۰
مثال ۳ اگر ا+ ب = ۵ و ا ب = ۶ باشد قیمت عددی آ+ بّ را معلوم کنید
آ + ب = (ا + ب) ۳ – ۳ ا ب (ا + ب)
∴ بقرار شرط سوال = (۵) ۳ – ۳ × ۶ × ۵
= ۱۳۵ – ۹۰ = ۴۵
مثال ۴ اگر لا + = ط باشد ثابت کنید که لآ + (  ) = ط۳ - ۳ ط
چون آ + ب = (ا + ب)۳ – ۳ ا ب (ا + ب)
∴ لا + = (لا +  )۳ – ۳ لا ×  (لا +  )
= (لا +  )۳ – ۳ (لا +  )
پس قیمت مطلوب = ط۳ - ۳ ط
مثال ۵ مکعب ط + ق + س را معلوم کنید :-
(ط + ق + س)۳ = {(ط + ق) + س}۳
= (ط + ق)۳ + ۳(ط + ق)۲ س + ۳ (ط + ق) س۲ + س۳
= (ط۳ + ۳ ط۲ ق + ۳ ط ق۲ + ق۳) + ۳ (ط۲ + ۲ ط ق + ق۲)
+ ۳ س۲ (ط + ق) + س۳
= ط۳ + ق۳ + س۳ + ۳ ط۲ ق + ۳ ق۲ ط + ۳ ط۲ س + ۳ ق۲ س
+ ۳ ق۲ س + ۳ ق س۲ + ۶ ط ق س
مثال ۶ اگر لا = ۵ و ی = - ۲ باشد قیمت عددی لآ + ۹ لای۲
+ ۲۷ لا ی۲ + ۲۷ ی۳ را معلوم کنید
جملۀ مفروضه = لآ + ۳ لا۲ (۳ ی) + ۳ لا (۳ ی)۲ + (۳ ی)۳
= (لا + ۳ ی)۳ = (۵ - ۶)۳
= (-۱)۳ = -۱


۱۲۱
مسئله (۲۵)
مکعب جملهای ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۲ لا + ۱
(۲) ۳ لا + ۵ ی
(۳) ۲ لا + ۳ لو
(۴) آ + ۲ ب
(۵) ۱ ب + ۵ ج
(۶) ۱ + ۲ لا + ب
(۷) ۲ م + ۳ ن + ط
(۸) لای + ی ع + ع لا
جملهای ذیل را مختصر کنید :-
(۹) (۳م + ۵ن)۳ + ۳(۳م + ۵ن)۲ (۲م - ۵ن) + ۳ (۳م + ۵ن)
(۲م - ۵ن)۲ + (۲م - ۱۵ن)۳
(۱۰) (۳ لا - ۸ ی)۳ + (۹ی - ۲لا)۳ + ۳(لا + ی)(۳ لا - ۸ ی)
(۹ی - ۲لا)
(۱۱) (۱۳ - ۷ب)۳ + (۱۰اب - ۱۳)۳ + ۹ ب(۱۳ - ۷ب)(۱۰اب - ۱۳)
(۱۲) (۵لا - ۲)۳ + (۳ - ۴ لا)۳ + ۳(لا + ۱)(۵لا - ۲)(۳ - ۴لا)
(۱۳) (۳ - ۷لا)۳ + (۸ لا - ۱)۳ + ۳(۱ - ۸لا)(۳ - ۷لا)(لا + ۲)
(۱۴) (۱ - ب + ج)۳ + (۱ + ب - ج)۳ + ۶ {۱ - (ب - ج)۲}
قیمت عددی آ۳ + ب۳ را در دو سوال ذیل معلوم کنید :-
(۱۵) اگر ا + ب = ۶ و ا ب = ۷
(۱۶) اگر ا + ب = ۷ و ا ب = ۸
(۱۷) اگر ا + ۱/ا = ۳ باشد ثابت کنید که ا۳ + (۱/ا )۳ = ۱۸
(۱۸) اگر ء + ۱/ء = ۴ باشد قیمت عددی ء۳ + (۱/ء )۳ را معلوم کنید -


۱۲۲
قیمت عددی جملہای ذیل را معلوم کنید
(۱۹) ۶۴ + ۳۸ لا + ۱۲ لا۲ + لا۳ اگر لا = - ۸
(۲۰) ۸م + ۳۶م ن + ۵۴م ن۲ + ۲۷ن۳ اگر م = ۶ و ن = - ۵
(۲۱) لا۳ + ۱۵ لا۲ + ۷۵ لا + ۱۸۹ اگر لا = - ۹
(۲۲) لا۳ + ۱۸ لا۲ + ۱۰۸ لا + ۳۵۱ اگر لا = - ۱۱
(۲۳) اگر لا + ی = ۵ باشد ثابت کنید که لا۳ + ی۳ + ۱۵لای = ۱۲۵
(۲۴) اگر ا + ب = ج باشد ثابت کنید که ا۳ + ب۳ + ۳ا ب ا = ج۳
(۲۵) اگر ط + ق = ۲ باشد ثابت کنید که ط۳ + ق۳ + ۶ ط ق = ۸
۵۴ دستور ( ا - ب)۳ = ا۳ - ۳ا۲ب + ۳ ا ب۲ - ب۳
یا = ا۳ - ب۳ - ۳ ا ب ( ا - ب)
( ا - ب)۳ = ( ا - ب) (ا۲ - ۲ا ب + ب۲) = (ا - ب) (ا - ب)۲
= ا(ا۲ - ۲ا ب + ب۲) - ب(ا۲ - ۲ا ب + ب۲)
= ا۳ - ۳ ا۲ب + ۳ ا ب۲ - ب۳
= ا۳ - ۳ ا ب ( ا - ب) - ب۳
= ا۳ - ب۳ - ۳ ا ب ( ا - ب)
نتیجه ا۳ - ب۳ = { ا۳ - ب۳ - ۳ ا ب ( ا - ب)} + ۳ا ب ( ا - ب)
= ( ا - ب)۳ + ۳ ا ب ( ا - ب)


۱۳۳

مثال ۱ مکعب ۳ لا - ۴ ی را معلوم کنید -

(۳ لا - ۴ ی) ۳= (۳ لا) ۳ - ۳ (۳ لا)۲ (۴ی) + ۳ (۳لا) (۴ی)۲ - (۴ی)۳
= ۲۷ لا ۳ - ۳ (۹لا۲) (۴ی) + ۳ (۳لا) (۱۶ی۲) - ۶۴ ی۳
= ۲۷ لا ۳ - ۱۰۸ لا ۲ ی + ۱۴۴ لا ی ۲ - ۶۴ ی ۳

مثال ۲ مکعب ا - ب - ج را معلوم کنید -

(ا - ب - ج)۳ = {(ا - ب - ج)}۳
= (ا - ب)۳ - ۳ (ا - ب)۲ ج + ۳ (ا - ب) ج۲ - ج ۳
= (ا ۳ - ۳ ا ۲ ب + ۳ ا ب ۲ - ب ۳) - ۳ (ا ۲ - ۲ ا ب + ب ۲)
ج + ۳ (ا - ب) ج ۲ - ج ۳
= ا ۳ - ب ۳ - ج ۳ - ۳ ا ۲ ب + ۳ ا ب ۲ - ۳ ا ۲ ج + ۳ ا ج ۲ - ۳ ب ۲ ج
- ۳ ب ج ۲ + ۶ ا ب ج

مثال ۳ قیمت عددی ۲۷ لا ۳ - ۵۴ لا ۲ + ۳۶ لا - ۶۴ را معلوم کنید
اگر لا = ۴ ۲
جمله مفروضه = (۳ لا) ۳ - ۳ (۹ لا ۲) × ۲ + ۳ (۳ لا) ۴ - ۸ - ۵۶
= (۳ لا - ۲) ۳ - ۵۶
قیمت مطلوب = (۷ - ۲) ۳ - ۱
۵۶ - ۱۲۵ =
۶۹ =


۱۲۴
امثله (۲۶)
مکعب جملہای ذیل را معلوم کنید :-
(۱) ۱-۲ا	(۲) ۲-۳لا	(۳) ۳-۴لا
(۴) ۵م-۴ن	(۵) ۲ط-۵ق	(۶) ۲لا-ی-۶
(۷) ۲م-۳ن-ط	(۸) ل-م-ن
جملہای ذیل را حل کنید :-
(۹) (ا+۲ب)۳-۳(ا+۲ب)۲(ا-۲ب)+۳(ا+۲ب)(ا-۲ب)۲-(ا-۲ب)۳
(۱۰) (۳لا-۸ی)۳-(۳لا-۷ی)۳-۳(۳لا-۸ی) (۳لا-۷ی) (لا-ی)
(۱۱) (۵لا-۸)۳-(۳لا-۸)۳-۶لا(۵لا-۸)(۳لا-۸)
قیمت عددی جملہای ذیل را معلوم کنید :-
(۱۲) م۳-۱۲م۲ن+۴۸من۲-۶۴ن۳	اگرم= ۱۲ ون= ۳
(۱۳) ۲۷ا۳-۱۳۵ا۲+۲۲۵ا -۱۲۵	اگرا= ۴
(۱۴) ۸-۱۹ا+۲۷ا۲-۲۷ا۳	اگرا= ۳
(۱۵) ۲۱۶-۴۴ا لا+۱۰۸لا۲-۲۷لا۳	اگر لا= ۳
(۱۶) اگر ا - ۱/ا = ۳ باشد قیمت عددی ا۳-(۱/ا۳) را معلوم کنید
(۱۷) اگر ج - ۱/ج = ۵ باشد قیمت عددی ج۳-(۱/ج۳) را معلوم کنید
(۱۸) اگر لا- ی = ۳ باشد ثابت کنید که لا۳-ی۳- ۹لا ی = ۲۷
(۱۹) اگر ط-۲ق = ۴ باشد ثابت کنید که ط۳-۸ق۳-۲۴ ط ق= ۶۴
(۲۰) اگر ۲ا-۳ب = ۵ باشد ثابت کنید که ۸ا۳-۲۷ب۳-۹۰ اب= ۱۲۵


۱۲۵
۵۵ دستور (ا + ب) (ا۲ - اب + ب۲) - ا۳+ب۳
[(ا + ب) (ا۲ - اب + ب۲) = ا (ا۲ - اب + ب۲) + ب (ا۲ - اب + ب۲)]
= (ا۳ - ا۲ب + اب۲) + (ا۲ب - اب۲ + ب۳)
= ا۳ + ب۳]
و برعکس آن ا۳ + ب۳ = (ا + ب) (ا۲ - اب + ب۲)
لهذا هر جمله که شکل آن ا۳ + ب۳ باشد بمضروبات تجزیه میشود
مثال ۱ لا۲ - لا + ۱ را در لا + ۱ ضرب کنید
فرض کنید ا = لا و ب = ۱
∴ لا۲ - لا + ۱ = (لا)۲ - لا × ۱ + (۱)۲
= ا۲ - اب + ب۲
پس (لا + ۱) (لا۲ - لا + ۱) = (ا + ب) (ا۲ - اب + ب۲)
= ا۳ + ب۳
= (لا)۳ + (۱)۳ = لا۳ + ۱
مثال ۲ ۹ لا۲ - ۱۲لا + ۱۶ را در ۳ لا + ۴ ضرب کنید
فرض کنید که ا = ۳ لا
و ب = ۴
پس چون ۹ لا۲ - ۱۲لا + ۱۶ = (۳ لا)۲ - (۳ لا) × ۴ + (۴)۲
= ا۲ - اب + ب۲
∴ (۳ لا + ۴) (۹ لا۲ - ۱۲لا + ۱۶) = (ا + ب) (ا۲ - اب + ب۲)
= ا۳ + ب۳
= (۳ لا)۳ + (۴)۳
= ۲۷ لا۳ + ۶۴


۱۳۶
مثال ۳ ۱۶ آ۲- ۲۰ ا ب + ۲۵ ب۲ را در ۴ ا + ۵ ب ضرب کنید
فرض کنید که لا = ۴ ا
وی = ۵ ب
چون ۱۶ آ۲ - ۲۰ اب + ۲۵ ب۲ = (۴ ا)۲ - (۴ ا) (۵ ب) + (۵ ب)۲
= لا۲ - لای + ی۲
لهذا (۴ ا + ۵ ب) (۱۶ آ۲ - ۲۰ ا ب + ۲۵ ب۲)
= (لا + ی) (لا۲ - لای + ی۲)
= لا۳ + ی۳
= (۴ ا)۳ + (۵ ب)۳ = ۶۴ آ۳ + ۱۲۵ ب۳
مثال ۴ آ۳ ب۳ + ۸ ج۳ را بمضروبات تجزیه کنید -
آ۳ ب۳ + ۸ ج۳ = (ا ب)۳ + (۲ ج)۳
= (ا ب + ۲ج) { (ا ب)۲ - (ا ب) (۲ ج) + (۲ ج)۲}
= (ا ب + ۲ج) { آ۲ ب۲ - ۲ ا ب ج + ۴ ج۲}
مسئله (۴۷)
ضرب کنید -
(۱) آ۲ - آ + ۱ را در آ + ۱ (۲) ۴ لا۲ - ۲ لا + ۱ را در ۲ لا + ۱
(۳) ۲۵ م۲ - ۵م + ۱ را در ۵ م + ۱ (۴) ۱۶ آ۲ - ۲۸ لای + ۴۹ ی۲ را در ۴ لا + ۷ی
(۵) ۹ م۲ - ۶ م ن + ۴ ن۲ را در ۳ م + ۸ ن
(۶) آ۲ ب۲ - ۴ ا ب ج + ۱۶ ج۲ را در ا ب + ۴ ج
(۷) آ۲ لا۲ - ۵ ا ب لا + ۲۵ ب۲ را در ا لا + ۵ ب
(۸) ۳۵ آ۲ - ۴۵ ا ب + ۸۱ ب۲ را در ۵ ا + ۹ ب


۱۲۷

جملهای ذیل را بمضروبات تجزیه کنید :-
(۹) لا ۳ + ۸ (۱۰) م ۳ + ۱ (۱۱) م ۳ + ۲۷
(۱۲) ۲۷ لا ۳ + ۱ (۱۳) ی ۳ + ۶۴ (۱۴) ۱۲۵م ۳ + ۱
(۱۵) م ۳ + ۳ م ۲ لا (۱۶) ۶۴ لا ۳ + ۲۷ ی ۳
۵۶ دستور (ا-ب) (ا ۲ + اب + ب ۲) = ا ۳ - ب ۳
(ا-ب) (ا ۲ + اب + ب ۲) = ا(ا ۲ + اب + ب ۲) - ب(ا ۲ + اب + ب ۲)
= ا ۳ + ا ۲ب + ا ب ۲ - ب ا ۲ - ا ب ۲ - ب ۳
= ا ۳ - ب ۳

و برعکس آن ا ۳ - ب ۳ = (ا-ب) (ا ۲ + اب + ب ۲)
لهذا هر جمله که بشکل آن مثل ا ۳-ب ۳ باشد بمضروبات تجزیه شده میتواند-
مثال ۱ ۴ ا ۲ ب ۲ + ۲ ا ب + ۱ را در ۲ ا ب - ۱ ضرب کنید -
(۲ ا ب - ۱) (۴ ا ۲ ب ۲ + ۲ ا ب + ۱)
={(۲ ا ب) - (۱)}{(۲ ا ب) ۲ + (۲ ا ب)×۱ + (۱) ۲}
= (۲ ا ب) ۳ - (۱) ۳
= ۸ ا ۳ ب ۳ - ۱

مثال ۲ ۶۴ لا ۳ - ا ی ۳ را بمضروبات تجزیه کنید
۶۴ لا ۳ - ۲ ی ۳ = (۴ لا) ۳ - (ا ی) ۳
={(۴ لا) - (ا ی)} {(۴ لا) ۲ + (۴ لا) (ا ی) + (ا ی) ۲}
= (۴ لا - ا ی) (۱۶ لا ۲ + ۴ م لا ی + ا ۲ ی ۲)


۱۲۸
مسئله (۲۸)
ضرب کنید :-
(۱) ۱ + ۳ و + ۹ واً را در ۱-۳ و (۲) ۱۶ لا۲ + ۴ لا + ۱ را در ۴ لا-۱
(۳) ۲۵ م۲ + ۱۵ م ن + ۹ ن۲ را در ۵م-۳ن (۴) لا۴ + ۲ لاى ۶ + ۴ ى۱۲ را در لا -۲ى ۶
(۵) ۹ آ۲ + ۳ ا ب ج + ب۲ ج۲ را در ۳ ا - ب ج
بمضروبات تجزیه کنید
(۶) ۲۵ آ۲-۱ (۷) ۴۴۳ لا۲ - ۸ م۲ (۸) ۲۱۶ ک۲ - ۱۲۵ ل۲
(۹) ۱- ۵۱۲ک۳ (۱۰) ۷۲۹ م۲ - ۶۴ تون
۵۷ دستور (لا + ا) (لا + ب) = لا۲ + (ا + ب) لا + ا ب
[(لا + ا) (لا + ب) = لا (لا + ب) + ا (لا + ب)
= لا۲ + (ا + ب) لا + ا ب]
و نیز ظاهر است که (۱) (لا - ا) (لا - ب) = لا۲ - (ا + ب) لا + ا ب
(۲) (لا - ا) (لا + ب) = لا۲ + (ب - ا) لا - ا ب
(۳) (لا + ا) (لا - ب) = لا۲ + (ا - ب) لا - ا ب
پس توضیح دستور فوق بالفاظ ذیل میشود :-
(لا + ا) (لا + ب) = لا۲ + (مجموع جبری ا و ب) + حاصل ضرب ا و ب
مثال ۱ حاصل ضرب لا + ۳ و لا + ۴ را معلوم کنید :-
چون ۳ + ۴ = ۷ {∴ حاصل ضرب مطلوب = لا۲ + ۷ لا + ۱۲
و ۳ × ۴ = ۱۲}


۱۲۹
مثال ٢ لا - ٤ را در لا + ٤ ضرب کنید :-
چون - ٤ + ٤ = - ٣ } .:. حاصل ضرب مطلوب = لا٢ - ٣ لا - ٢٨
و ( - ٤ ) x ٧ = -٢٨ {
مثال ٣ حاصل ضرب لا + ٥ ولا - ٩ را بنویسید :-
چون ٥ - ٩ = - ٤ } .:. حاصل ضرب مطلوب = لا٢ -٤ لا - ٤٥
و ٥ x ( - ٩ ) = -٤٥ {
مثال ٤ حاصل ضرب لا - ٣ ولا + ٤ را بنویسید :-
چون - ٣ + ٤ = ٥ } .:. حاصل ضرب مطلوب = لا٢ + ٥ لا - ١٢
و - ٣ x ٤ = -١٢ {
مثال ٥ حاصل ضرب لا - ٥ ولا - ٨ را بنویسید :-
چون - ٥ - ٨ = - ١٣ } .:. حاصل ضرب مطلوب = لا٢ - ١٣ لا + ٤٠
و ( - ٥ ) x ( - ٨ ) = ٤٠ {
مسئله ( ۳۹ )
حاصل ضرب جملہائے ذیل را بنویسید :-
(١) لا + ٢ در لا + ٨ (٢) لا + ٣ در لا + ٥ (٣) لا + ٦ در لا + ١١
(٤) م + ٤ در م + ٩ (٥) لا - ٦ در لا + ٢ (٦) م - ٢ در م + ٨
(٧) لا - ٣ در لا - ٤ (٨) لا + ٥ در لا - ٣ (٩) لا - ٤ در لا + ٩
(١٠) لا + ٥ در لا - ١٠ (١١) لا - ١٢ در لا + ٥ (١٢) (ک - ١٤) (ک + ٣)
(١٣) ا + ٥ در ا + ١٤ (١٤) م - ١٤ در م + ٦ (١٥) لا - ٥ در لا - ١٣


۱۳۰
(۱۶) لا+۷ درلا +۱۲ (۱۷) ر-۳ درر -۱۱ (۱۸) لا+۴ درلا -۳
(۱۹) م + ۵ درم -۱۲ (۲۰) لا- ۸ درلا -۱۰ (۲۱) ا +۶ در ۱ -۱۲
(۱۳) م-۷ درم + ۱۳ (۲۳) لا- ۱۰ در لا -۱۶ (۲۴) لا+۵ درلا-۱۰
(۲۵) لا-۱۶ درلا+۱۰
۵۸ دستور (لا+۱) (لا+ب) (لا+ج) = لآ+ (ا+ب+ج)
لآ+ (ا ب + اج + ب ج) لا+ ا ب ج
اثبات این دستور بسیار اسانست خود طالب علم این را بطریق ضرب حال نما
و نیز (لا-ا) (لا- ب) (لا- ج)
= لآ- (ا + ب + ج) لآ+ (ا ب + ا ج + ب ج) لا - ا ب ج
و (لا+ ۱) (لا+ ب) (لا- ج)
= لآ+ (ا + ب + ج) لآ+ (ا ب - ا ج - ب ج) لا - ا ب ج
و (لا+ ۱) (لا- ب) (لا- ج)
= لآ+ (ا - ب + ج) لآ- (ا ب + ا ج - ب ج) لا + ا ب ج
تنبیه این نتایج بطریق ضرب نیز حاصل میشود
مثال ۱ حاصل ضرب لا+ ۲ ولا+ ۴ ولا+ ۶ را معلوم نمائید
۱۲ = ۶+۴+۲
۴۴ = ۲۴+۱۲+۸ = ۶x۴+۶x۲+۴x۲
۴۸ = ۶x۴x۲
پس حاصل ضرب مطلوب = لآ+۱۲ لاّ+ ۴۴ لا+ ۴۸


مثال ۲ حاصل ضرب جمله ذیل را بنویسید لا - ۳ ولا - ۵ ولا - ۷
۱۵ - = (۷-) + (۵-) + (۳-)
۷۱ = ۳۵ + ۲۱ + ۱۵ = (۷-)(۵-) + (۷-)(۳-) + (۵-)(۳-)
۱۰۵ - = (۷-)(۵-)(۳-)
پس حاصل ضرب مطلوب = لا۳ - ۱۵ لا۲ + ۷۱ لا - ۱۰۵
مثال ۳ حاصل ضرب جمله ذیل را بنویسید لا - ۴ ولا + ۵ ولا - ۳
۲ - = (۳-) + ۵ + (۴-)
۲۳ - = ۱۵ - ۱۲ + ۲۰ - = (۳-) ۵ + (۳-) (۴-) + ۵ × (۴-)
۶۰ = (۳-) ۵ × (۴-)
پس حاصل ضرب مطلوب = لا۳ - ۲ لا۲ - ۲۳ لا + ۶۰
مثال ۴ حاصل ضرب لا + ۳ ولا + ۵ ولا - ۸ را معلوم کنید
۰ = (۸-) + ۵ + ۳
۴۹ - = ۴۰ - ۲۴ - ۱۵ = (۸-) × ۵ + (۸-) × ۳ + ۵ × ۳
۱۲۰ - = (۸-) × ۵ × ۳
پس حاصل ضرب مطلوب = لا۳ - ۰ لا۲ - ۴۹ لا - ۱۲۰
= لا۳ - ۴۹ لا - ۱۲۰
مسئله ( ۳۰ )
حاصل ضرب جملهای ذیل را بنویسید
(۱) لا + ۱ ولا + ۲ ولا + ۳ (۲) لا + ۲ ولا + ۵ ولا + ۷
(۳) لا + ۳ ولا - ۶ ولا + ۲ (۴) لا + ۴ ولا + ۵ ولا - ۱۰


(۵) لا - ۸ ولا + ۳ ولا + ۱ (۶) لا - ۵ ولا - ۲ ولا + ۸
(۷) لا - ۳ ولا + ۷ ولا - ۴ (۸) لا + ۶ ولا - ۵ ولا - ۷
(۹) لا - ۵ ولا - ۷ ولا - ۱۱ (۱۰) لا - ۳ ولا - ۶ ولا - ۹
(۱۱) لا + ۴ ولا - ۵ ولا - ۱۲ (۱۲) لا + ۵ ولا + ۹ ولا + ۱۱
(۱۳) لا - ۶ ولا + ۸ ولا - ۲ (۱۴) لا - ۳ ولا - ۷ ولا - ۱۳
(۱۵) لا - ۳ ولا + ۱۲ ولا + ۴ (۱۶) لا - ۹ ولا - ۱۰ ولا + ۱۲
(۱۷) لا + ۹ ولا - ۵ ولا - ۷ (۱۸) لا + ۸ ولا + ۱۲ ولا + ۱۵
(۱۹) لا - ۱۴ ولا + ۸ ولا + ۶ (۲۰) لا - ۵ ولا - ۱۰ ولا - ۱۶

۴۹ مربع جملهای ذو حدود کثیره
در مثال چهارم و پنجم فقره ۵۰ ثابت شده است که
(ا + ب + ج)۲ = آ۲+ ب۲ + ج۲ + ۲ ا ب + ۲ ا ج + ۲ ب ج
ونیز (ا + ب + ج + د)۲ = آ۲ + ب۲ + ج۲ + د۲ + ۲ ا ب + ۲ ا ج + ۲ ا د + ۲ ب ج + ۲ ب د + ۲ ج د
پس در هر یک از صورتهای فوق می بینیم که مربع جملهای مذکور
باین طریق حاصل شده است که اولاً مربع هر حد گرفته شده و ثانیاً با آن
مجموع دو چند حاصل ضرب هر حد و هر یکی از ان حدود که بعد از حد
مذکور می آیند علیحده علیحده جمع گشته لهذا نتایج مذکور بصورت ذیل
بخوبی ظاهر میشود :-
(ا + ب + ج)۲ = آ۲ + ب۲ + ج۲ + ۲ ا (ب + ج) + ۲ ب ج
(ا + ب + ج + د)۲ = آ۲ + ب۲ + د۲ + ۲ ا (ب + ج + د) + ۲ ب (ج + د) + ۲ ج د


و همین قاعده در معلوم کردن مربع هر جمله ذوحدود کثیره جاری میباشد
مثلاً فرض کنید که مربع ا + ب + ج + د + ی مطلوب است
(ا + ب + ج + د + ی)٢ = {(ا + ب + ج) + (د + ی)}٢
= (ا + ب + ج)٢ + ٢(ا + ب + ج)(د + ی) + (د + ی)٢
= {ا٢ + ب٢ + ج٢ + ٢ا(ب + ج) + ٢ب ج} + {٢ا(د + ی)
+ ٢ب(د + ی) + ٢ج(د + ی)} + (د٢ + ی٢ + ٢دی)
= ا٢ + ب٢ + ج٢ + د٢ + ی٢ + ٢ا(ب + ج + د + ی) + ٢ب
(ج + د + ی) + ٢ج(د + ی) + ٢دی
پس ظاهر است که مربع یک جمله مرکب مساوی مجموع مربع‌های هر حد جمله مذکور
با دو چند حاصل ضرب هر حد در هر یکی از ان حدودیکه بعد از حد مذکور می‌آیند میباشد
تنبیه چون (ا + ب + ج)٢ = ا٢ + ب٢ + ج٢ + ٢(ا ب + ا ج + ب ج)
پس ٢(ا ب + ا ج + ب ج) = {(ا + ب + ج)٢ + ٢(ا ب + ا ج + ب ج)}
- (ا٢ + ب٢ + ج٢)
= (ا + ب + ج)٢ - (ا٢ + ب٢ + ج٢)
و بهمین طریق (ا٢ + ب٢ + ج٢) = (ا + ب + ج)٢ - ٢(ا ب + ا ج + ب ج)
مثال مربع لا - ی + ء - د را دریافت کنید.
(لا - ی + ء - د)٢ = لا٢ + ی٢ + ء٢ + د٢ + ٢لا(- ی + ء - د) + ٢(- ی)(ء - د) + ٢ء(- د)
= لا٢ + ی٢ + ء٢ + د٢ - ٢لای + ٢لا ء - ٢لاد - ٢ی ء + ٢ی د - ٢ء د


مثال ۲ مربع - ا + ۲ ب - ۳ ج - د را معلوم کنید :-
( - ۱ + ۲ ب - ۳ ج - د) ۲ = آ۲ + ۴ ب۲ + وج۲ + د۲ + ۲ (-۱) (۲ ب - ۳ ج - د)
+ ۲ (۲ ب) (-۳ ج - د) + ۲ (-۳ ج) (-د)
= ا۲ + ۴ ب۲ + ۹ ج۲ + د۲ - ۴ ا ب + ۶ ا ج + ۲ ا د
- ۱۲ اب ج - ۴ ب د + ۶ ج د
مثال ۳ قیمت عددی ۱۲ + ب۲ + ج۲ + ۲ ا ب - ۲ ا ج - ۲ ب ج را دریافت
اگر ا = ۱۹ و ب = ۱۸ و ج = ۳۲
جملہ مفروضہ = ا۲ + ب۲ + ج۲ + ۲ ا (ب - ج) + ۲ ب (-ج)
= (ا + ب - ج) ۲
پس قیم مطلوب = (۱۹ + ۱۸ - ۳۲)۲ = (۵)۲ = ۲۵
مثال ۴ اگر لا = ب + ج و ی + ج - ا و ۶ = ا - ب باشد پس ثابت کنید کیا
لا۲ + ی ۲ + ۶ ۲ - ۲ لا ی - ۲ لا ۶ + ۲ ی ۶ = ۴ ب۲
لا۲ + ی۲ + ۶ ۲ - ۲ لا ی - ۲ لا ۶ + ۲ ی ۶
= لا۲ + ی۲ + ۶ ۲ + ۲ لا (-ی - ۶) + ۲ (-ی) (-۶)
= (لا - ی - ۶)۲
= { (ب + ج) - (ج - ا) - (ا - ب)}۲
= (۲ ب)۲ = ۴ ب۲
مسئله (۳۱)
مربع جملہای ذیل را بنویسید
(۱) لا + ی - ۶ (۲) لا - ی + ۶ (۳) -لا + ی + ۶
(۴) -لا - ی + ۶ (۵) لا - ی - ۶ (۶) ۱ - لا + ی - ۶